第二講 向量空間

線性代數五講一一

第二講 向量空間

龔 昇 · ^張德健

2.1. 基底與矩陣表示

在第一講的開始, 我們就明確地指出: 線性代數是研究線性空間, 即向量空間、 模和其上 的線性變換以及與之相關的問題的數學學科。 這一講中, 將仔細討論向量空間。 關於向量空間有 以下這些常規、 常用的定義。

A. S 是體 F 上的向量空間V 的部分集合, 如果將 V 的加法與 F 對 V 的純量乘積限制 在 S 上, S 也成為一個向量空間, 則稱 S 為 V 的子空間。 我們用一個簡潔的方法來看這個定 義: S 為 V 的子空間若且唯若

α ~u + β ~v ∈ S, ∀ ~u, ~v ∈ S, ∀ α, β ∈ F. (2.1.1) 首先, 若 S 為一向量空間, 則來自V 上的向量加法與純量乘積必須滿足封閉性而成為在 S 上 的兩個二元運算, 故 (2.1.1)成立; 另一方面, 既然這兩個運算都是來自原來的向量空間 V, 所 以, 加法的交換律、 結合律、 純量乘積與加法之間的分配律當然成立, 我們只要驗證在 S 上存 在加法單位元素與反元素。 在 (2.1.1)中取 α = β = 0, 則 ~0 ∈ S; 若令 α = −1 及 β = 0, 則 −~u ∈ S, 故 S 為一向量空間。

B. 若 V¹, . . .Vⁿ 是體 F 上的 n 個向量空間, 令 V =

(~v1, . . . ~vn) : ~vj ∈ V^j, j = 1, . . . , n , 且在其上定義加法

(~v1, . . . ~vn) + (~u1, . . . , ~un) = (~v1+ ~u1, . . . , ~vn+ ~un), F 對V 的純量乘積為

α (~v1, . . . , ~vn) = (α ~v1, . . . , α ~vn),

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這裡 α ∈ F, 則 V 成為一個向量空間, 稱為向量空間 V¹, . . . ,Vⁿ 的直和 (direct sum), 記作 V = V¹⊕ · · · ⊕ Vⁿ.

若 S1 是向量空間 V 的一個子空間, 且有子空間 S², 使得 V = S¹⊕ S², 則稱 S2 為 S1 的補 空間 (complement)。 記作 S₁^c。 可證 V 的任一子空間一定有補空間。

C. 向量空間V 中的一個 (有限) 非空部分集合 S 稱為線性獨立 (linearly independent), 如果由

α1~v1+· · · + αⁿ~vn = ~0

可導出 α1 = · · · = αⁿ = 0, 這裡 ~vj ∈ V^j, αj ∈ F, j = 1, . . . , n。 V 一個部分集合如果不 是線性獨立, 則稱為線性相依 (linearly dependent)。 事實上, 我們可以將這個概念推廣到有 無限個元素的部分集合上去: V 為一向量空間, S ⊂ V, 若 S 中之任何有限個元素皆為線性獨 立, 則集合 S 稱為線性獨立; 否則稱 S 為線性相依。

D. 我們稱向量空間 V 的一個部分集合 S 生成 (span) V, 如果 V 中的每個向量可以寫 成 S 中的一些向量的線性組合, 即對每個 ~v ∈ V, 可以寫成

~v = α1~v1 +· · · + αⁿ~vn

這裡 ~vj ∈ S, α^j ∈ F, j = 1, . . . , n。

若 S 為向量空間 V 的一個部分集合, 在 A. 中我們已討論過, S 未必是 V 的一個子空 間; 考慮由 S 中的元素之線性組合的全體所組成的另一集合hSi, 記作

hSi = span(S) =

α1~v1+· · · + α^k~vk : αj ∈ F, ~v^j ∈ S, k = 1, 2, · · · . 不難證明 hSi 是 V 中包含集合 S 最小的一個子空間。

E. 向量空間V 中的一個線性獨立且生成 V 的部分集合, 稱為 V 的基底。 向量空間 V 的 基底的基數 (cardinality) 稱為 V 的維數 (dimension), 記作 dim(V)。 當基底為有限集合時, 這就是基底中元素的個數。

這樣定義的基底是否存在? 這樣定義的維數是否合理? 我們有下面的命題。

命題2.1.1: 除了零空間 {0} 之外, 任意向量空間一定存在一組基底。

證明: 設 V 是非零向量空間, V 中線性獨立的部分集合的全體記作 A。 任取一個非零向 量 ~v ∈ V, 令 S = {~v}, 則 S 是 V 中的一個線性獨立的部分集合, 故 A 6= ∅。 在 A 中可按

集合的包含關係 “⊂” 定義一個偏序 (partially order), 若 I¹ ⊂ I² ⊂ · · · 是 V 中線性獨立 部分集合的一條鏈, 則

U =∪^jIj

仍為 V 中一個線性獨立的部分集合, 故任一條鏈必有上界。 因此, 由 Zorn 引理 (Zorn引理:

若 P 為一個偏序集合 (partially ordered set), 每個鏈都有上界, 則 P 有極大元素), 我們知 道 A 必有極大元素, 即 V 有極大線性獨立的部分集合 B, 也就是說 B 是線性獨立的, 但任意 真包含 B 的部分集合一定不是線性獨立的, 於是 B 生成 V, 若不然, 必存在向量 ~u ∈ V \ B, 它不是 B 中的向量的線性組合, 於是 B ∪ {~u} 是一個真包含 B 的線性獨立的部分集合, 因而 得到矛盾。 這便證明了向量空間基底的存在性。

命題2.1.2: 當向量空間的基底為有限集合時, 這樣定義的維數是合理的。

證明: 我們先來證明如下的結果。 若 V 是一向量空間, 向量 ~v¹ . . . , ~vn 是線性獨立的, 而 向量 ~w1 . . . , ~wm 生成 V, 因此推出 n ≤ m。 先列出這兩個集合:

w~1, . . . , ~wm

; 

~v1, . . . , ~vn

.

將後面的向量 ~vn 移到前一個集合, 成為

~vn, ~w1 . . . , ~wm

; 

~v1, . . . , ~vn−1

.

由於 ~w1, . . . , ~wm 生成 V, 故 ~vⁿ 可以寫成 ~w1, . . . , ~wm 的線性組合, 故可以從 ~wj, j = 1, . . . , m 中移走其中的一個, 我們不妨假設是 ~w1, 這樣, ~vn, ~w2, . . . , ~wm 仍然能生成 V; 因 而得到新的兩個集合:

~vn, ~w2 . . . , ~wm

; 

~v1, . . . , ~vn−1

.

我們繼續將後面的向量 ~vn−1 移到前一個集合, 成為

~vn−1, ~vn, ~w2 . . . , ~wm

; 

~v1, . . . , ~vn−2

.

同樣理由可以從前面的集合中移走其中的一個, 我們不妨假設是 ~w2, 這樣, ~vn−1, ~vn, ~w3, . . . , ~wm

仍然能生成 V; 因而得到新的兩個集合:

~vn−1, ~vn, ~w3, . . . , ~wm

; 

~v1, . . . , ~vn−2

.

這個步驟可以一直進行下去, 直到所有的 ~vj, j = 1, . . . , n, 或所有的 ~wk, k = 1, . . . , m 全部移完為止, 這一過程稱為對向量集合 { ~w1, . . . , ~wm} 進行 Steinitz 替換。 若所有的 ~wk,

k = 1, . . . m 首先移完, 即 m < n, 則前一個集合只是後一個集合{~v¹, . . . , ~vn} 的一個真部 分集合, 而這又生成 V, 這與 ~v¹, . . . , ~vn 是線性獨立相互矛盾, 故必須是 m ≥ n。 由此結果便 得到: 若 V 由有限個向量所生成, 則 V 的任意兩個基底有相同的基數, 即在此情形下, 維數的 定義是合理的, 命題因而證畢。

從上面的討論, 我們雖然只涉及有限維的向量空間, 但在線性代數中, 的確存在無限維的 向量空間; 例如 L²([0, 2π]), 定義在閉區間 [0, 2π] 上所有平方可積函數所成的集合, 這是一個 向量空間。 在富氏分析中我們知道{1, cos(nx), sin(nx)}^n∈N 為 C([0, 2π]) 的一組基底。 但在 這五次的演講中, 我們只討論有限維的向量空間。

由命題 2.1.2, 不難證出若 V 是一 n 維的向量空間, 則 {~v¹, . . . , ~vn} 是 V 的一組基底 之充分必要條件為 {~v¹, . . . , ~vn} 是線性獨立。 假設 {~v¹, . . . , ~vn} 線性獨立, 故對任一 ~u ∈ V, {~v¹, . . . , ~vn, ~u} 是線性相依, 因為 dim(V) = n。 故存在不全為零的數 α¹, . . . , αn, β ∈ F 使

得 Xn

j=1

αj~vj + β~u = ~0 我們知 β 6= 0, 否則 Pn

j=1αj~vj = ~0; 但是 {~v¹, . . . , ~vn} 是線性獨立, 因此 α^j = ~0, j = 1, . . . , n。 所以

~u =−1

β α1~v1+· · · + αⁿ~vn

,

即 h{~v¹, . . . , ~vn, ~u}i = V, 因此 {~v¹, . . . , ~vn} 生成 V。

F. 若 W 是體 F 上的向量空間 V 的子空間, ~u, ~v ∈ V, 若 ~u − ~v ∈ W, 則稱 ~u 與 ~v 同 餘模W (congruent modulo W), 記作

~u ∼= ~v, modW.

將所有與 ~v 同餘的元素的全體記作 [~v], 換句話說, ~u∈ [~v] 若且唯若 ~u ∼= ~v, modW。 稱 [~v]

為向量空間 V 中 W 的一個陪集 (coset)。 同餘是一個等價關係, 它將 V 進行劃分, 而 [~v] 是 塊。 若V = {~v ∈ V 且 ~v 只在唯一的陪集中} 則陪集的全體可記作e

V/W =

~v +W : ~v ∈ eV . 在 V/W 中定義的加法為

(~v +W) + (~u + W) = (~v + ~u) + W, F 對V/W 的純量乘積為

α (~v +W) = α ~v + W,

則 V/W 為一個向量空間, 稱為 V 模 W 的商空間 (quotient space of V modulo W)。

由以上這些定義, 可以得到如下命題。

命題2.1.3: 如果 B 是體 F 上 n 維向量空間 V 的部分集合, 則以下敘述是等價的 1. B 是 V 的一組基底;

2. V 中的每一個向量 ~v 可唯一的寫為

~v = α1~b¹ +· · · + αⁿ~bn, 這裡 ~bj ∈ B, α^j ∈ F, j = 1, . . . , n;

3. B 是 V 中極小生成集;

4. B 是 V 中極大線性獨立集合。

命題2.1.4: 若 W¹ 與 W² 為有限維向量空間 V 的兩個子空間, 則

dim(W¹) + dim(W²) = dim(W¹+W²) + dim(W¹ ∩ W²) (2.1.2) 若V 是體 F 上 n 維向量空間, B = {~b¹, . . . ,~bn} 是 V 的一組基底, 則對每個向量 ~v ∈ V 存在唯一的一組有限數列 (α1, . . . , αn) 使得 ~v 可以寫成

~v = α1~b1+· · · + αⁿ~bn =~b1, · · · , ~bⁿ"

α...1

αn

# .

故對基底 B 來講, ~v 可以用列向量 [α¹, . . . , αn]^T 表示之, 記作 [~v]B, 稱為向量 ~v 在基底 B 下的座標。 如果 C = {~c¹, . . . , ~cn} 也是 V 的一組基底, 則存在唯一的 n × n 可逆矩陣 M^B,C = [ ~A1, . . . , ~An], 這裡 ~Aj, j = 1, . . . , n 為 n 個列向量, 使得

[~v]C = MB,C[~v]B. 若取 ~v = ~bj, 則得到 ~Aj = [~bj]C, j = 1, . . . , n, 即

MB,C =

[~b1]C, . . . , [~bn]C

.

若V 是體 F 上 n 維向量空間, B 是 V 的一組基底, 考慮映射 ΦB : V → Fⁿ, ΦB(~v) = [~v]B, ∀ ~v ∈ V.

我們很容易證明: ΦB 是 V 到 Fⁿ 的同構映射, 即 ΦB 是一線性雙射。 因此, V 與 Fⁿ 是同構 的! 於是我們有如下的定理:

定理2.1.1:體 F 上 n 維向量空間V 同構於 Fⁿ。體 F 上兩個向量空間同構若且唯若它們 的維數相同。

這個定理告訴我們, 在同構意義下, n 維向量空間只有一個, 即為大家十分熟悉的 Fⁿ。 當 F= R 時, 這便是我們所熟悉的 n 維歐氏空間。

2.2. 對偶空間

有了線性空間, 即向量空間, 首先要討論的是定義在其上最簡單的一類線性函數, 即線性 泛函 (linear functional)。

定義2.2.1: 若 V 是體 F 上 n 維向量空間, 函數 f : V → F 滿足

f (α ~u, +β ~v) = α f (~u) + β f (~v), 對任意 α, β ∈ F 與 ~u, ~v ∈ V 都成立, 則稱 f 為 V 上的線性泛函。

將V 上所有線性泛函的全體記作 V^∗, 若 f, g∈ V^∗, 定義加法為: 對任意 ~u∈ V, (f + g) (~u) = f (~u) + g(~u),

定義 F 對 V^∗ 的純量乘積為: 對任意 ~u ∈ V 及 α ∈ F, (α f ) (~u) = α f (~u).

顯面易見這樣定義了加法與純量乘積之後, V^∗ 也是一個向量空間, 稱為 V 的對偶空間 (dual space)。

設 V 是一個 n 維向量空間, B = {~b¹, . . . ,~bn} 是 V 的一組基底, 對每一個 ~b^j, j = 1, . . . , n, 可以定義一個線性泛函 ~b^∗_j ∈ V^∗, 使得

~b^∗_j(~bk) = δjk, j, k = 1, . . . , n, (2.1.3) 這裡 δjk 是 Kronecker 函數, 即 δjj = 1, δjk = 0, j 6= k。 不難證明, B^∗ ={~b^∗1, . . . ,~b^∗_n} 是 V^∗ 的一組基底, 稱 B^∗ 為 B 的對偶基底 (dual basis)。 由此立得

dim(V) = dim(V^∗).

由於 V^∗ 也是向量空間, 故 V^∗ 有對偶空間 V^∗∗ = (V^∗)^∗, 若V 是有限維向量空間, 則 dim(V^∗∗) = dim(V^∗) = dim(V).

因此由定理 2.1.1知: 對有限維向量空間V, 有 V ≈ V^∗。 若

T1 : ~x = Xn

j=1

xj~bj → ~v^∗ = Xn

j=1

xj~b^∗_j ∈ V^∗.

由於 dim(V^∗) = dim(V) 及定理2.1.1, 我們知道 T¹ 是一個同構映射, 且 V ≈ V^∗。 對任意

~y =Pn

k=1yk~bk ∈ V, 由(2.1.3),

~x^∗(~y) = Xn

j=1

xj~b^∗_j(~y) = Xn

j=1

xj~b^∗_jXⁿ

k=1

yk~bk

= Xn

j=1

xjyj.

同樣對每個 ~b^∗_j, j = 1, . . . , n, 可以定義一個線性泛函 ~b^∗∗_j ∈ V^∗∗, 使得

~b^∗∗_j (~b^∗_k) = δjk, j, k = 1, . . . , n,

這裡 δjk 是 Kronecker 函數。 不難證明, B^∗∗ ={~b^∗∗1 , . . . ,~b^∗∗_n } 是 V^∗∗ 的一組基底, 為 B^∗ 的 對偶基底。若

T2 : ~x^∗ = Xn

j=1

xj~b^∗_j → ~v^∗∗= Xn

j=1

xj~b^∗∗_j ∈ V^∗∗, 與上面同樣理由, T2是一個同構映射, 且 V^∗ ≈ V^∗∗。 對任意 ~z =Pn

l=1zl~bl ∈ V^∗, 由(2.1.3)知,

~z(~bk) = Xn

l=1

zl~b^∗_l(~bk) = zk.

故 ~z =Pn

k=1~z(~bk)~b^∗_k。 於是

~x^∗∗(~z) = Xn

j=1

xj~b^∗∗_j (~z)

= Xn

j=1

xj~b^∗∗_j Xⁿ

k=1

~z(~bk)~b^∗_k

= Xn

j=1

xj~z(~bj)

= ~wXⁿ

k=1

xk~bk

= ~z(~x).

令 T = T2 ◦ T¹, 則 T : V → V^∗∗是一個同構映射, 且 T (~x) = T2(T1(~x)) = T2(~x^∗) = ~x^∗∗

對每個 ~x V 都成立。 已證 ~x^∗∗(~z) = ~z(~x) 對每個 ~z V^∗ 都成立。 由上述兩式可見, ~x 在 V 的 同構映射 T 下的像不依賴於 V 中基底的選取。 稱這樣的同構映射為自然同構映射。 在這樣的 自然同構映射下, 可以把 ~x 與 T (~x) = ~x^∗∗ 等同。 從而把 V 與 V^∗ 互為對偶空間。 這就是把 V^∗ 稱為 V 的對偶空間的原因。 讀者可參閱命題2.2.4、 命題3.2.2及命題3.2.3的 (2) 與 (3)。

一個十分重要的線性泛函是零化子。

定義2.2.2: 若 M 是向量空間 V 的非空部分集合, 在 V^∗ 中的集合 M^◦ =

f ∈ V^∗ : f (M) = 0 稱為 M 的零化子 (annihilator), 這裡 f (M) ={f(~v) : ~v ∈ M}。

關於零化子有如下一些結論。

命題2.2.1: M^◦ 是 V^∗ 的子空間, 即使 M 不是 V 的子空間。

命題2.2.2: 當 M 是 n 維向量空間的子空間, 則 dim(M) + dim(M^◦) = n.

證明: 若 U = {~u¹, . . . , ~uk} 是 M 的一組基底, 將 U 擴充為 B =

~u1, . . . , ~uk, ~v1, . . . , ~vn−k

,

使 B 成為 V 的一組基底, 則

B^∗ =

~u^∗1, . . . , ~u^∗_k, ~v^∗1, . . . , ~v_n−k^∗ ,

是 B 的對偶基底。 我們現在來證 {~v^1∗, . . . , ~v_n−k^∗ } 是 M^◦ 的一組基底。 顯然它們是線性獨立的;

現在只要證它們生成 M^◦。若 f ∈ M^◦, 則 f ∈ V^∗, 故 f 可以寫成 f = α1~u^∗1+· · · + α^k~u^∗_k+ β1~v1^∗ +· · · + β^n−k~v_n−k^∗ ,

這裡 αj ∈ F, j = 1, . . . , k, β^j ∈ F, j = 1, . . . , n − k。 由於 f ∈ M^◦, 則 f (~uj) = 0, 但 f (~uj) = αj, 故 αj = 0, j = 1, . . . , k。 因此,

f = β1~v^∗1 +· · · + β^n−k~v_n−k^∗ . 於是 {~v^∗1, . . . , ~v_n−k^∗ } 生成 M^◦; 因此命題得證。

命題2.2.3: 若 M, N 是向量空間 V 的部分集合, 且 M ⊂ N, 則 N^◦ ⊂ M^◦.

命題2.2.4: 若 V 是有限維向量空間, 如視 V^∗∗ 與 V 等同, 則對 V 的任一部分集合 M, 都有

M^◦◦ = span(M).

若 W 為 V 的子空間, 則 W^◦◦ =W。

命題2.2.5:若 W¹ 與 W² 是有限維向量空間 V 的子空間, 則 W¹ ∩ W^2
◦

=W1^◦+W2^◦, 及

W¹+W^2
◦

=W1^◦ ∩ W2^◦.

命題2.2.6: 若向量空間 V 是它的兩個子空間 W¹ 與 W² 的直和, 即 V = W¹ ⊕ W², 則

(1) W^1∗ ≈ W^2◦ 及 W^2∗ ≈ W^1◦; (2) W¹⊕ W^2
∗

=W^1◦⊕ W^2◦。

證明: 我們先證 (1): 若 f ∈ W2^◦ ⊂ V^∗, 則 f (W²) = 0。 定義映射 T : f → f_W

1

, 即將 f ∈ W^2◦ 視為 f 在 W¹ 上的限制, 顯然, f_W

1

∈ W^1∗, 故這是 W^2◦ 到 W^1∗ 的映射, 易 見這是線性的。 若 f_W

1

= 0, 則因 f (W²) = 0, 這便導出 f = 0。 故映射 T 是一對一。 若 g ∈ W^1∗, 定義 f 為

f ( ~w1+ ~w2) = g( ~w1), 這裡 ~w1 ∈ W¹, ~w2 ∈ W², 顯然 f ∈ V^∗。 由於

f (~0 + ~w2) = g(~0) = 0, 對所有 ~w2 ∈ W² 都成立, 故 f ∈ W^2◦。而 f_W

1

= g, 故任給 g ∈ W^1∗, 就有 f ∈ W^2◦ ⊂ V^∗, 使得 f_W

1

= g, 故 T 為滿射。 因此, W2^◦ ≈ W1^∗, W2^◦ ≈ W1^∗; 同樣可證, W2^∗ ≈ W1^◦。 繼續來證明 (2): 若 f ∈ W1^◦ ∩ W2^◦, 則 f (W¹) = 0 及 f (W²) = 0, 故 f = 0, 即 W1^◦ ∩ W2^◦ ={0}。 而 W1^◦ 與W2^◦ ={0} 是 V^∗ 的子空間, 故

W^1◦⊕ W^2◦ ⊂ W¹⊕ W^2
∗ . 若 f ∈ (W¹ ⊕ W²)^∗, 定義

g( ~w1+ ~w2) = f ( ~w2), h( ~w1+ ~w2) = f ( ~w1),

這裡 ~w1 ∈ W¹, ~w2 ∈ W², 顯然 g, h ∈ (W¹⊕ W²)^∗。 由於 g(W¹) = 0 及 h(W²) = 0, 故 g ∈ W^1◦ 及 h∈ W^2◦。而

f ( ~w1+ ~w2) = f ( ~w1) + f ( ~w2) = g( ~w1+ ~w2) + h( ~w1+ ~w2) = (g + h)( ~w1+ ~w2).

因此, f = g + h∈ W1^◦⊕ W²)^◦, 於是 W¹ ⊕ W^2
∗

⊂ W^1◦⊕ W^2◦. 這便得到 (2), 命題因此證畢。

2.3. 雙線性型式

在上一節中, 討論了向量空間上最簡單的一類線性函數, 即線性泛函, 對有限維向量空間, 我們證明了它的對偶空間同構於它自己。 還定義討論了對偶空間中一類重要的子空間, 零化子 空間, 這在以後十分有用。

a. 討論了線性函數, 順理成章的是討論向量空間上雙線性型式及二次型式。 在這一節中, 討論的向量空間全是有限維的。

定義2.3.1: 若 V 是體 F 上的向量空間, 映射 h, i : V × V → F

稱為雙線性型式 (bilinear form), 若對每個坐標而言都是線性函數, 即對任意 ~x, ~y, ~z ∈ V 及 α, β ∈ F, 有

hα~x + β~y, ~zi = α h~x, ~zi + β h~y, ~zi 及

h~z, α~x + β~yi = α h~z, ~xi + β h~z, ~yi.

h~x, ~xi, ~x ∈ V 稱為 V 上的二次型式 (quadratic form)。

如果對任意 ~x, ~y ∈ V, 有

h~x, ~yi = h~y, ~xi,

則稱h, i 為對稱 (symmetric) 雙線性型式。 如果對任意 ~x, ~y ∈ V, 有 h~x, ~yi = − h~y, ~xi,

則稱h, i 為斜對稱 (skew-symmetric) 雙線性型式。

命題2.3.1: 設體 F 的特徵不等於 2, h, i 是斜對稱的雙線性型式若且唯若: 對任意的

~z∈ V, 我們有 h~z, ~zi = 0。

證明: 若對任意的 ~z ∈ V, 有 h~z, ~zi = 0, 則任取 ~x, ~y ∈ V, 則 0 =h~x + ~y, ~x + ~yi

=h~x, ~xi + h~x, ~yi + h~y, ~xi + h~y, ~yi

=h~x, ~yi + h~y, ~xi,

即h~x, ~yi = − h~y, ~xi, 故 h, i 為斜對稱。 這部分對任一特徵均正確。 若 h, i 為斜對稱, 則對任意 的 ~x ∈ V, 有 h~x, ~xi = − h~x, ~xi, 即 2h~x, ~xi = 0, 由於 F 的特徵不等於 2, 從而 h~x, ~xi = 0;

命題證畢。

b. 在向量空間V 上, 如果定義了雙線性型式 h, i, 則稱 (V, h, i) 為度量向量空間 (metric vector space), 有時就寫成V。 而取定的雙線性型式 h, i 稱為度量向量空間的度量。 一個度量 向量空間稱為非奇異 (non-singular), 若對任意的 ~v ∈ V, h~x, ~vi = 0 可以導出 ~x = ~0。 若 (V, h, i) 是非奇異度量向量空間, 且 h, i 是對稱的, 則稱 (V, h, i) 為體 F 上的對稱度量向量空 間, 也稱 V 是體 F 上的正交幾何 (orthogonal geometry)。 若 (V, h, i) 為體 F 上的斜對稱 度量向量空間, 也稱 V 是體 F 上的辛幾何 (sympletic geometry)。 此處我們只討論正交幾何 和辛幾何。 先來證明重要的秩和零度定理。

若 V, W 為兩個向量空間, 令 L(V, W) 為由 V 到 W 的線性變換所成之集合。 假設 T ∈ L(V, W), 則有 ker(T ) = {~v ∈ V : T (~v) = ~0} 與 Im(T ) = {T (~v), ~v ∈ V} 兩個子空 間, 我們稱 dim(ker(T )) 為 T 的零度 (nullity), 記作 null(T ); 稱 dim(Im(T )) 為 T 的秩 (rank), 記作 rank(T )。

定理2.3.1 (秩與零度定理): 若 T ∈ L(V, W), 則有 rank(T ) + null(T ) = dim(V).

證明: 由於 T ∈ L(V, W), 故 ker(T ) 是 V 的一個子空間, 於是有補空間 ker(T )^c, 即 ker(T )⊕ ker(T )^c =V.

設K 是 ker(T ) 的基底, C 是 ker(T )^c 的基底。 由於 K ∩ C = ∅ 及 K ∪ C 是 V 的基底, 故 dim(ker(T )) + dim(ker(T )^c) = dim(V).

將 T 限制在 ker(T )^c 上, 記作 T^c, 則易證

T^c : ker(T )^c → Im(T )

是同構。 我們先證 T^c 為單射。 若 ~v ∈ ker(T )^c, 且 T^c(~v) = ~0, 由於 T^c 是 T 在 ker(T )^c 上 的限制, 故 T (~v) = ~0。 於是 ~v ∈ ker(T )^c ∩ ker(T ), 從而 ~v = ~0。 我們再證 T^c 為滿射。 若 T (~v)∈ Im(T ), 則 ~v = ~u + ~w, 這裡 ~u ∈ ker(T ), ~w∈ ker(T )^c。 於是

T (~v) = T (~u) + T ( ~w) = T ( ~w) = T^c( ~w),

從而 T (~v) ∈ Im(T^c), 即 Im(T ) ⊂ Im(T^c); 而 Im(T^c) ⊂ Im(T ) 是顯而易見的, 故 Im(T^c) = Im(T )。 因此 T^c 是將 ker(T )^c 映到 Im(T ) 上的滿射, 而 T^c 顯然是線性的, 故 T^c 是 ker(T )^c 到 Im(T ) 的同構映射, 即

ker(T )^c ≈ Im(T ).

定理因而證畢。

由定理 2.3.1 可得到一系列重要推論。

推論2.3.1: 若 T ∈ L(V, W), 且 dim(V) = dim(W) < ∞, 則 T 為單射若且唯若 T 為滿射。

推論2.3.2 (第一同構定理): 若 T ∈ L(V, W), V/ker(T ) 是 V 模 ker(T ) 的商空間, 則 V/ker(T ) ≈ Im(T ).

證明: 定義映射 T^′ : V/ker(T ) → W 為

T^′(~v + ker(T )) = T (~v).

先來證這樣定義的 T^′ 是有意義的, 這就要證明: 若 ~u, ~v ∈ V, 且 ~u + ker(T ) = ~v + ker(T ), 則 T^′(~u + ker(T )) = T^′(~v + ker(T ))。 這也就是要證明: 若 ~u + ker(T ) = ~v + ker(T ), 則 T (~u) = T (~v)。 換句話說, 我們要證明: ~v− ~u ∈ ker(T ), 則 T (~v − ~u) = ~0。 這是當然成立的, 故這樣定義的 T^′ 是有意義的, 且 T^′ 是單射。 顯然 T^′ : V/ker(T ) → W 是一個線性變換, 由定理 2.3.1及 T^′ 是單射, 我們知道

dim(Im(T^′)) = dim V/ker(T )
, 但

Im(T^′)) =

T^′(~v + ker(T )) : ~v + ker(T )∈ V/ker(T )

=

T (~v) : ~v ∈ V

= Im(T ),

故 T^′ 是滿射, 所以

V/ker(T ) ≈ Im(T ).

推論證畢。

推論2.3.3: 若 W 是向量空間 V 的一個子空間, W^c 是 W 的補空間, 則 V/W ≈ W^c,

且

dim(W) + dim(W^c) = dim(V).

證明: V 中任一向量 ~v 可以唯一地寫成 ~v = ~w + ~w^c, 這裡 ~w∈ W 及 ~w^c ∈ W^c。 定義 線性算子 ˜T : V → V 為

T ( ~˜ w + ~w^c) = ~w^c, 這樣定義的 ˜T 是有意義的, 顯然 Im( ˜T ) =W^c 及

ker( ˜T ) =

~

w + ~w^c ∈ V : ~w^c = ~0

=W.

故由第一同構定理, 得 V/W ≈ W^c。 由定理 2.3.1, 得

dim(W) + dim(W^c) = dim(V).

推論證畢。

由第一同構定理還可以導出如下推論。

推論2.3.4 (第二同構定理): 若 V 是一個向量空間, W¹ 及 W² 為 V 的二個子空間, 則 W¹+W²

W² ≈ W¹ W¹ ∩ W².

推論2.3.5: (第三同構定理): 若 V 是一個向量空間, W¹ ⊂ W² ⊂ V 為 V 的子空間, 則 V / W¹

W²/W¹ ≈ V W².

推論 2.3.4與推論 2.3.5的證明從略。 我們就留給有興趣的讀者作為練習。

在非奇異的度量空間上, 上一節所討論的線性泛函, 都可以用雙線性形式來表示。

定理2.3.2 (Riesz 表示定理): 若 (V, h, i) 是有限非奇異的度量空間, 任取 f ∈ V^∗, 則一 定存在唯一的向量 ~v ∈ V, 使得

f (~u) =h~u, ~vi,

對所有的 ~u∈ V 都成立。

證明: 若 ~v ∈ V, 定義映射 Φ^~v : V → F 如下 Φ~v(~u) = h~u, ~vi.

顯易而證 Φ~v ∈ V^∗, 故可定義函數 T : V → V^∗ 為 T (~v) = Φ~v. 顯然, 這是線性的, 由於V 是非奇異的, 故其核

~v ∈ V : Φ^~v = ~0

=

~v ∈ V : ∀ ~u ∈ V, h~u, ~vi = 0

是 V 的只含有零向量的部分集合, 故 T 是單射。 T 可以在整個 V 上定義, 且為單射, 而已知 dim(V) = dim(V^∗), 故由推論 2.3.1, T 在 V 上是滿射。 因此, T 是一個同構映射, 將 V 映 到 V^∗, 即V 的任一個線性泛函都可以表示為 Φ^~v 之型式, 這裡 ~v∈ V, 定理因而證畢。

Riesz 表示定理告訴我們, 在有限維非奇異的度量空間, 其上的線性泛函只有一類, 那就是 定義度量向量空間的雙線性型式。

c. 若 (V, h, i) 是 n 維度量向量空間, B = {~b¹, . . . ,~bn} 是 V 的一組基底, 於是, h, i 完 全可以由 n× n 矩陣

MB = ajk

 =

h~b^j,~bki 來決定, MB 稱為雙線性型式在基底 B 下的矩陣表示。

若 ~x, ~y ∈ V, 且

~x = Xn

j=1

xj~bj, ~y = Xn

j=1

yj~bj, 則

h~x, ~yi = Xn

j=1

Xn k=1

xjykh~b^j,~bki =

~xT BM^B

~y

B. 這裡

~xT B, 

~y

B 表示在基底 B 下的坐標, 即

~xT B =

x1, . . . , xn

T

, 

~yT B =

y1, . . . , yn

T

. h, i 是對稱的若且唯若 M^B 是對稱矩陣, 即

ajk = akj, j, k = 1, . . . , n.

h, i 是斜對稱的若且唯若 M^B 是斜對稱的, 即

ajj = 0, ajk=−a^kj, j, k = 1, . . . , n, j 6= k.

若C = {~c¹, . . . , ~cn} 是 V 的另一組基底, 則由2.1節的最後知, 對任意 ~v ∈ V, 有

~v

C = M^C,B

~v

B

及 

~v

B = MB,C

~v

C

於是

h~x, ~yi =

~xT BMB^T

~yT B =

~xT

C MC^T,BMBMC,B

~y

C =

~xT C MC

~y

C. 這就得到

M^C = MC^T,BM^BM^C,B. 也就是說 MC 與 MB 是相合的。

d. 要弄清楚對稱的、 斜對稱的雙線性型式一共有多少, 也就是在相合的意義下雙線性型式 的矩陣有多少標準型式, 這是線性代數最基本問題之一, 我們先要先引入正交的概念。

向量 ~x 與向量 ~y 稱為正交的(orthogonal), 記作 ~x ⊥ ~y, 若 h~x, ~yi = 0。 對於對稱雙線 性型式及斜對稱雙線型式, 顯然有 ~x ⊥ ~y 若且唯若 ~y ⊥ ~x。

若X 與 Y 是度量向量空間 (V, h, i) 的兩個子空間, 我們稱它們是正交的, 記作 X ⊥ Y, 若對所有 ~x∈ X 與 ~y ∈ Y, 都有 h~x, ~yi = 0。

集合{~v ∈ V : ~v ⊥ S} 稱為 S 的正交餘集 (orthogonal complement), 記作 S^⊥。若 (V, h, i) 是度量向量空間, X 與 Y 是它的子空間, 並且

V = X ⊕ Y, X ⊥ Y,

則稱V 是 X 與 Y 的 正交直和 (orthogonal direct sum), 記作 X ⊕^⊥Y。

定理2.3.3: 若 (V, h, i) 是非奇異的度量空間, W 是 V 的子空間, 則 V = W ⊕ W^⊥

若且唯若 W 是非奇異的。

為了要證明定理 2.3.3, 我們先來證明下面的引理。

引理2.3.1: 若 W 是非奇異的度量向量空間 (V, h, i) 的一個子空間, 則

dim(W) + dim(W^⊥) = dim(V). (2.3.1)

證明: 對每個 ~v ∈ V, 在 W 上定義線性泛函 Φ^~v : W → F 如下:

Φ~v( ~w) =h ~w, ~vi, 這裡 ~w∈ W, 顯然 Φ^~v ∈ W^∗, 定義映射 T :V → W^∗ 為

T (~v) = Φ~v( ~w), 顯然這是一個線性映射, 且

ker(T ) = 

~v ∈ V : Φ^~v = 0

=

~v∈ V : ∀ ~w∈ W, h ~w, ~vi = 0

=W^⊥. (2.3.2) 此外, 由定理 2.3.2, W^∗ 中任一線性泛函均可用W 上的雙線性型式來表示之, 故

T_W : W → W 是滿射, 從而 Im(T ) = W^∗. 由定理 2.3.1 知

dim(ker(T )) + dim(Im(T )) = dim(V).

而 dim(Im(T )) = dim(W^∗) = dim(W), 由 (2.3.2) 知 ker(T ) = W^⊥, 故引理得證。

我們現在用引理 2.3.1來完成定理 2.3.3之證明。 由 (2.1.2)及引理 2.3.1 知道 dim(W + W^⊥) = dim(W) + dim(W^⊥)− dim(W ∩ W^⊥)

= dim(V) − dim(W ∩ W^⊥).

若W 是非奇異的, 則 W ∩W^⊥={~0}, 因此 V = W ⊕ W^⊥, 這就證明了V = W ⊕^⊥ W^⊥。 反之, 若 W 不是非奇異的, 則 V = W ⊕^⊥ W^⊥ 不成立。

e. 有了這些準備, 就可以討論正交幾何和辛幾何的正交分解, 也就是要定出正交幾何和辛 幾何的標準型式, 先來討論辛幾何。

若 (V, h, i) 為辛幾何, 由於 h, i 是斜對稱的, 故對每個 ~x ∈ V 都有 h~x, ~xi = 0。 取一個非 零向量 ~x∈ V, 由於 V 是非奇異的, 故一定存在一個 ~y ∈ V 使得 h~x, ~yi 6= 0。 考慮以 {~x, ~y}

為一組基底的二維空間 H, 則

h~x, ~xi = h~y, ~yi = 0.

而 h~x, ~yi = α 6= 0, 以 α⁻¹~y 來代替 ~y, 就有

h~x, ~yi = 1, h~y, ~xi = −1.

於是在 H 的基底 {~x, ~y} 下, h, i 的矩陣為

N2 =

"

0 1

− 1 0

# .

由於 V 非奇異, 故由定理2.3.3, 可將 V 進行正交分解:

V = H ⊕^⊥ H^⊥

而H^⊥ 仍是一個非奇異的斜對稱度量向量空間, 所以我們仍可對H^⊥進行這樣的正交分解。 重 複這樣的步驟, 由於 V 是有限維, 故 V 最終可正交分解為

V = H¹ ⊕^⊥ H² ⊕^⊥ · · · ⊕^⊥ H^k. 歸納起來, 我們可得如下之結論:

定理2.3.4: 若 (V, h, i) 為非奇異的斜對稱度量向量空間, 則存在 k ∈ N, 使得 V 可正交 分解為

V = H¹ ⊕^⊥ H² ⊕^⊥ · · · ⊕^⊥ H^k.

這裡H^j, j = 1, . . . , k 為二維斜對稱度量子空間, 而 h, i 在其上對應的矩陣為

N2 =

"

0 1

− 1 0

# .

也就是說, 在V 中取到一組基底, 使得 h, i 對應的矩陣為

M =

















0 1 0 0 . . . 0 0

− 1 0 0 0 . . . 0 0 0 0 0 1 . . . 0 0 0 0 − 1 0 . . . 0 0

· · ·

0 0 0 0 . . . 0 1 0 0 0 0 . . . − 1 0















 .

因此, 非奇異的斜對稱度量向量空間的維數都是偶數。

用矩陣的語言表達為: 若 P 是一個 n 階非奇異的斜對稱矩陣, 則 P 相合於 M, 即存在

n 階非奇異矩陣 Q, 使得

P = Q^T









N2 O2 . . . O2

O2 N2 . . . O2

... ... . .. ... O2 O2 . . . N2







 Q.

這裡 O2 為 2階零矩陣。 所以, 非奇異斜對稱矩陣一定是偶數階, 即 n 是偶數。

f . 下面我們對正交幾何之正交分解作進一步之討論

若 (V, h, i) 是一非奇異的對稱度量向量空間, 則存在非零向量 ~u ∈ V 使得 h~u, ~ui 6= 0, 這樣的 ~u 一定存在, 否則 h, i 是斜對稱的。 由 ~u 生成的子空間 S¹ = span{~u} 是非奇異的。

由於 V 是非奇異, 由定理2.3.3有正交分解 V = S¹ ⊕^⊥ S^1⊥, 而S^1⊥ 仍為非奇異的對稱度量向 量空間, 我們可以繼續對S^1⊥ 進行這樣的正交分解

V = S¹ ⊕^⊥ S² ⊕^⊥ S^2⊥, 這裡S¹, S² 都是一維的子空間, 重複這樣的步驟, 可得

V = S¹ ⊕^⊥ S² ⊕^⊥ · · · ⊕^⊥ Sⁿ,

這裡S^j 由向量 ~uj 生成, 且 h~u^j, ~uji 6= 0, j = 1, . . . , n, 故 {~u¹, . . . , ~un} 是 V 的一組正交 基底 (即基底中向量相互正交)。 若 h~u^j, ~uji = a^j, j = 1, . . . , n, 則有如下結論。

若 (V, h, i) 是 n 維非奇異的對稱度量向量空間, 則 V 有一組正交基底 B = {~u¹, . . . , ~un}, 使得在基底 B 下, 所對應的矩陣為

MB =









a1 0 · · · 0 0 a2 · · · 0 ... ... . .. ...

0 0 . . . an







 .

若取 06= r^j ∈ F, j = 1, . . . , n, 則 C = {r¹~u1, . . . , rn~un} 也是一組正交基底, 對基底 C, h, i 所對應的矩陣為

MC =









r1²a1 0 · · · 0 0 r²2a2 · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 · · · r²nan







 .

若 F 為代數封閉體 (algebraically closed field), 即 F[x] 中任一多項式均可在 F 上分解為一 次因子的乘積, 這時, 可取

rj = 1

√aj

, j = 1, . . . , n, 這裡 √aj 為 x² − a^j = 0 的根, 這樣

MC =









1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... . .. ...

0 0 · · · 1









= In,

這裡 In 為 n 階單位矩陣。 歸納起來就有如下定理

定理2.3.5: 若 (V, h, i) 為體 F 上 n 維非奇異的對稱度量向量空間, 則 V 有正交基底 U = {~v¹, . . . , ~vn}, 即 V 可正交分解為

V = S¹ ⊕^⊥ S² ⊕^⊥ · · · ⊕^⊥ Sⁿ,

這裡S^j 是由 ~vj 生成, j = 1, . . . , n, 若 h~u^j, ~uji = a^j, 則 h, i 相對于基底 U 有矩陣

MU =









a1 0 · · · 0 0 a2 . . . 0 ... ... . .. ...

0 0 · · · aⁿ







 .

若 F 為代數封閉體, 則 V 有一組正規正交基底 (orthonormal basis)(即若基底為 U = {~v¹, . . . , ~vn}, 則 h~v^j, ~vki = δ^jk, j, k = 1, . . . , n), h, i 相對於基底 U 有矩陣 M^U = In, 這裡 In 為 n 維單位矩陣。

用矩陣語言表達為: 若 P 是 n 階非奇異的對稱矩陣, 則 P 相合於對角矩陣









a1 0 · · · 0 0 a2 · · · 0 ... ... . .. ...

0 0 · · · aⁿ







 ,

這裡 aj 6= 0, j = 1, . . . , n; 即存在 n 階非奇異矩陣 Q, 使得

P = Q^T









a1 0 . . . 0 0 a2 . . . 0 ... ... . .. ...

0 0 . . . an







 Q.

若 F 為代數封閉體, 則 P 相合於 In, 即 P 可以寫成 P = Q^T Q, 這裡 Q 為 n 階非奇 異矩陣。

若 F 為實數體 R, R 雖然不是代數封閉體, 但可取 rj = 1

p|a^j|, j = 1, . . . , n, 於是

MU =















1 · · · 0 0 · · · 0 ... ... ... ... . .. ...

0 . . . 1 0 · · · 0 0 . . . 0 − 1 · · · 0

· · ·

0 . . . 0 0 · · · − 1













 ,

即在主對角線上的元素, 一部分為 +1, 一部分為−1, 也就是 V 有一組正規正交基底 {~u¹, . . .,

~uk, ~v1, . . . , ~vn−k}, 而 h~u^j, ~uji = 1, j = 1, . . . , k, h~v^j, ~vji = −1, j = 1, . . . , n − k。

下面要證 k 由h, i 唯一決定, 而與 V 的基底的選擇無關。 記

W = span{~u¹, . . . , ~uk}, P = span{~v¹, . . . , ~vn−k}.

若 ~w =Pk

l=1wl~ul ∈ W, 則 h ~w, ~wi =X^k

l=1

wl~ul, Xk m=1

wm~um

 = Xk

l=1

Xk m=1

wlwmh~u^l, ~umi = Xk l,m=1

wlwmδlm

= Xk

l=1

w_l² ≥ 0.

同樣可證: 若 ~p ∈ P, 則 h~p, ~pi ≤ 0。 如果 V 有另一組正交基底, {~u^′1, . . . , ~u^′_ℓ, ~v1^′, . . . , ~v_n−ℓ^′ }, 而 h~u^′j, ~u^′_ji = 1, j = 1, . . . , ℓ, h~vj^′, ~v_j^′i = −1, j = 1, . . . , n − ℓ, 記

W = span{~uf ^′1, . . . , ~u^′_ℓ}, P = span{~ve ^1′, . . . , ~v_n−ℓ^′ }.

則

W ∩ eP = {~0}.

這是因為: 若 ~w ∈ W ∩ eP, 則由於 ~w ∈ W, 我們有 h ~w, ~wi ≥ 0; 但另一方面 ~w ∈ eP, 我 們有 h ~w, ~wi ≤ 0, 因此, h ~w, ~wi = 0, 故 ~w = ~0。 由於 W 與 eP 均為子空間, 且其交集合為 {~0}, 故由命題2.1.4,

dim(W) + dim( eP) ≤ dim(V),

即 k + (n− ℓ) ≤ n, 也就是 k ≤ ℓ。 同理可證 ℓ ≤ k, 故 ℓ = k。 歸納起來, 我們有如下定 理:

定理2.3.6 (Sylvester 慣性定理): 若 (V, h, i) 為 n 維實數體 R 上的非奇異的對稱度量向 量空間, 則 V 有正交基底 B = {~u¹, . . . , ~uk, ~v1, . . . , ~vn−k}, 使得 h~u^j, ~uji = 1, j = 1, . . . , k, h~v^j, ~vji = −1, j = 1, . . . , n − k; 在基底 B 下, h, i 的矩陣為

MB =

"

Ik 0 0 − I^n−k

# , 這裡 k 由 h, i 唯一決定, 而與 V 的基底之選取無關。

用矩陣語言表達為:

若 P 為實數體 R 上的非奇異的對稱矩陣, 則 P 相合於

"

Ik 0 0 − I^n−k

# ,

這裡 k 由 P 唯一決定, 即存在 n 階非奇異的對稱矩陣 Q, 使得 P = Q^T

"

Ik 0 0 − I^n−k

# Q.

如果用雙線性形式的語言來說, 則 e 與 f 可以總結為如下的結論。

若 (V, h, i) 為數體 F 上的 n 維非奇異度量空間, 則

(i). 若 h, i 為斜對稱, 則存在 V 上的一組基底 B, 使得對任意 ~x, ~y ∈ V, 有 h~x, ~yi = x¹y2− x²y1+· · · + xⁿ⁻¹yn− xⁿyn−1,

這裡 [x1, . . . , xn]^T 與 [y1, . . . , yn]^T 分別為 ~x, ~y 在基底B 下的座標。

(ii). 若 h, i 為對稱, 則存在 V 上的一組正交基底 B = {~u¹, . . . , ~un}, 使得對任意

~x, ~y∈ V, 有

h~x, ~yi = Xn

j=1

ajxjyj,

這裡 [x1, . . . , xn]^T 與 [y1, . . . , yn]^T 分別為 ~x, ~y 在基底 B 下的座標, 而 a^j = h~u^j, ~uji, j = 1, . . . , n。 若 F 是代數封閉體, 則存在V 的一組正交基底 B = {~v¹, . . . , ~vn}, 使得對任意

~x, ~y∈ V, 有

h~x, ~yi = Xn

j=1

xjyj.

若 F 是實數體 R, 則存在 V 的一組正交基底 B = {~u¹, . . . , ~uk, ~v1, . . . , ~vn−k}, 使得對任意

~x, ~y∈ V, 有

h~x, ~yi = Xk

j=1

xjyj− Xn j=k+1

xjyj,

這裡 [x1, . . . , xn]^T 與 [y1, . . . , yn]^T 分別為 ~x, ~y 在基底B 下的坐標, 而 k 只與 h, i 有關, 而 與 V 的基底之選取無關。 特別對二次型式 h~x, ~xi 可表為

h~x, ~xi = Xn

j=1

ajx²_j.

當 F 是代數封閉體時,

h~x, ~xi = Xn

j=1

x²_j. 當 F 是實數體 R 時,

h~x, ~xi = Xk j=1

x²_j − Xn j=k+1

x²_j. 2.4 內積空間

當 F 是實數體 R 或複數體 C 時, V 就是大家十分熟悉的歐氏空間, 這是非常重要且有 很多應用的內積空間。

定義2.4.1: 若 V 是 F 上的向量空間, 這裡 F 是實數體 R 或複數體 C, 若存在映射 h, i : V × V → F

滿足

(a) 正定性 (positive definiteness) : 對所有 ~v∈ V, 有 h~v, ~vi ≥ 0.

而h~v, ~vi = 0 若且唯若 ~v = ~0。

(b) 當 F 為 C 時, 有共軛對稱 (或 Hermite 對稱) h~u, ~vi = h~v, ~ui.

當 F 為 R 時, 有對稱性

h~u, ~vi = h~v, ~ui.

(c) 第一座標是線性的 (linearity in the first coordinate) : 對所有的 ~u, ~v, ~w ∈ V 及 α, β ∈ F, 有

hα~u + β~v, ~wi = α h~u, ~wi + β h~v, ~wi.

則稱h, i 為 V 上的內積 (inner product), 有內積的向量空間稱為內積空間 (inner prod- uct space)。 當 F 為 R 時, 稱內積空間為實歐氏空間, 顯然這是一個正定的非奇異度量空 間。

當 F 為 C 時, 稱內積空間為複歐氏空間, 也稱酋空間 (unitary space)。 此時由 (b) 及 (c) 可得:

對所有的 ~u, ~v, ~w∈ V 及 α, β ∈ F, 有

h ~w, α~u + β~vi = ¯α h ~w, ~ui + ¯βh ~w, ~vi,

稱為共軛線性 (conjugate linearity)。 因此, 此時 h, i 不是雙線性型式, 故 (V, h, i) 不是度量 向量空間。

若 ~v∈ V, 稱

k~vk =p h~v, ~vi

為 V 的長度 (length) 或範數 (norm)。 若 ~u, ~v ∈ V, 稱 k~u − ~vk 為 ~u, ~v 之間的距離 (distance)。 記作 d(~u, ~v)。 有了距離的概念, 就可以在 V 上定義向量序列的收斂, 集合的閉 (open)、 開 (closed)、 鄰域 (neighborhood)、 緊緻 (compact)、 連通 (connectedness)、 完 備性 (completeness) 以及連續 (continuity) 等概念。 還可以有

1. (Cauchy 不等式) 對所有的 ~u, ~v∈ V, 有 h~v,~vi

 ≤ k~uk k~vk;

2. (三角不等式) 對所有的 ~u, ~v∈ V, 有

k~u + ~vk ≤ k~uk + k~vk;

3. (平行四邊形法則) 對所有的 ~u, ~v ∈ V, 有

k~u + ~vk²+k~u − ~vk² = 2k~uk²+ 2k~vk²;

4. (距離的三角不等式) 對所有的 ~u, ~v, ~w∈ V, 有

d(~u, ~v) ≤ d(~u, ~w) + d( ~w, ~v);

等等。

我們還可以由範數直接定義範數線性空間。 若 V 是一個向量空間, 且在 V 上有函數 k · k : V → R,

滿足

a. k~vk ≥ 0, 且 k~vk = 0 若且唯若 ~v = ~0;

b. 對所有 α∈ F 與 ~v ∈ V, 有 kα ~vk = |α| k~vk;

c. 對所有 ~u, ~v∈ V, 有

k~u + ~vk ≤ k~uk + k~vk.

則稱 k · k 為 V 上的一個範數, (V, k · k) 稱為範數線性空間 (normed linear space)。 這是 內積空間的一種推廣。 對內積空間, 也可以仿照上一節中那樣來定義正交的概念, 只是用內積來 代替雙線性型式, 於是可以有正交補空間、 正交基底及 Riesz 表示定理等。 我們在這裡只敘述 Riesz 表示定理。

若 V 是一個有限維內積空間, f ∈ V^∗, 則存在唯一的向量 ~x ∈ V, 使得對任意的 ~v ∈ V, 有

f (~v) =h~v, ~xi.

有關這個定理之證明及對於內積空間進一步的討論, 我們將在 3.3節及 3.5節中進行。

—本文作者龔昇任教於中國科技大學; 張德健任教於美國 Georgetown University 數學系—