圓內接六邊形的面積

圓內接六邊形的面積

李輝濱

壹、前言

三 角 形 與 圓 內 接 四 邊 形 的 面 積 公 式 非 常 規 律 對 稱，簡 潔 完 美；三 角 形 的 面 積 公 式 就 是 著 名 的Heron 公 式，而 圓 內接 四 邊 形 的面 積 公 式 就是 印 度 著 名 的 Brahmagupta 公 式，兩 者 公 式 中 皆 僅 含 邊 長 的 運 算 關 係。其 所 以 如 此，是 因 三 角 形 為 圓 內 接 奇 數 邊 多 邊 形 的 最 少 邊 數 多 邊 形，而 圓 內 接 四 邊 形 則 是 圓 內 接 偶 數 邊 多 邊 形 的 最 少 邊 數 多 邊 形。作 者 研 究 並 檢 視 邊 數 大 於 或 等 於 五 的 圓 內 接 多 邊 形 的 面 積 公 式 中；發 現 除 了 邊 長 之 外，還 多 出 許 多 項 多 邊 形 各 頂 角 的 三 角 函 數 運 算 關 係 項 ， 很 明 顯 地,頂 點 共 圓 的 特 性 ， 並 沒 有 減 低 圓 內 接 多 邊 型 面 積 公 式 的 複 雜 度 ！ 再 詳 細 檢 驗 這 些 面 積 公 式 時，最 值 得 注 意 及 欣 慰 的 事 是；圓 內 接 五 邊 形 與 圓 內 接 六 邊 形 的 面 積 公 式 雖 然 都 不 夠 簡 要 ， 但 各 邊 長 與 各 頂 角 在 公 式 中 出 現 的 相 關 位 置 卻 很 有 規 律 性 ！ 作 者 已 計 算 出 圓 內 接 五 邊 形 面 積 的 平 方 式 公 式(見 本 文 內 引理 5)， 可 以看 得 出 公 式中 各 邊 長 與 各 頂 角 出 現 的 幾 個 項 數 很 具 規 律 性 ； 如



V2 V3 V4 V5 V1



,



V3V4  V5 V V1 2



,





3 4 5 1 2 3 4 5 2 V V V V V   V V V , V V V V V_{1 2 3 4 5} 2 3 5 1 1 [ cos ( ) 2 A A V  ＋ 2 4 1 2 1 cos ( ) 2 A A V  ＋ 2 5 2 3 1 cos ( ) 2 A A V  ＋ 2 1 3 4 1 cos ( ) 2 A A V  ＋ 2 2 4 5 1 cos ( ) 2 A A V  ] , ...等 等 ， 這 規 律 特 性 亦 不 失 為 各 頂 點 共 圓 所 致 的 效 果 。 接 下 來，圓 內 接 六 邊 形 的 面 積 公 式 會 呈 現 出 怎 麼 樣 的 面 貌 ？ 有 我 們 所 期 待 的 對 稱 規 律 性 嗎?在 參 酌對 照 已 知 的 相 關 完 整 資 料 ， 著 手 規 劃 擬 定 思 考 的 策 略 方 向 ， 從 而 審 慎 進 行 論 述 推 導 的 圓 內 接 六 邊 形 面 積 公 式 會 帶 給 我 們 怎 麼 樣 的 想 像 與 啟 發 呢? 請 看 下 列 本 文 的 敘 述 發 展 。

貳、本文

Heron 公 式 ，Brahmagupta 公 式及 圓 內接 五 邊 形 的面 積 公 式 三者 的 內 涵 是按 順 序 一 致 相 容 的，意 指 圓 內 接 五 邊 形 的 面 積 公 式 必 定 涵 蓋 統 合Brahmagupta 及 Heron 公 式，即每 個 後 者 都 是 前 者 的 推 廣! 我 的策 略 方 針 是利 用 分 割 面積；將 六 邊形 切 開 成 兩個 四 邊 形 且此 兩 四 邊 形 共 同 擁 有 一 邊 長 的 特 徵，再 經 數 學 運 算 找 出 一 個 能 完 全 涵 蓋 統 合 前 三 者 的 圓 內 接 六 邊 形 面 積 公 式 ， 使 這 四 種 不 同 的 面 積 公 式 內 涵 完 全 一 致 相 容 。

在 以 下 撰 文 推 理 演 繹 的 運 算 過 程 中，須 應 用 或 對 照 到 下 列 已 知 的 數 個 基 本 數 學 性 質；

一、數學基本性質--引理

引 理 １ 在平面 上給 定 一 個 凸四 邊 形 A A A A1 2 3 4， 令 線 段 A A1 2=V1， A A2 3=V2，A A3 4=V3， A A4 1 =V₄， 則 此 凸 四 邊 形 的 面 積 型 餘 弦 公 式 為 2 4 V = 2 1 V + 2 2 V + 2 3

V － 2VV_{1 2}cosA₂－2V V_{2 3}cosA₃+ 2V₁V₃cos



A₂A₃



因 上 列 公 式 中 各 項 的 量 綱 都 是 邊 長 的 平 方 ， 故 稱 為 面 積 型 餘 弦 公 式 。 證 明 ： 略 。(請 參閱 本 文 末 參考 文 獻 之 1.)

引 理 ２ 在 平面 上 給 定 一個 凸 四 邊 形 A A A A_{1 2 3 4}， 令 線 段 A A_{1 2}=V₁， A A_{2 3}=V₂，A A_{3 4}=V₃， A A_{4 1}

=V4， 令 此 凸 四 邊 形 面 積 為 S(4) ， 則 此凸 四 邊 形 的面 積 與 各 邊長 及 角 度 關係 為 2 S(4) = V V1 2sinA2+V V2 3sinA3－V V1 3sin



A2A3



證 明 ： 略 。 (請 參閱 本 文 末 參考 文 獻 之 1.) 引 理 ３ 在平面 上給 定 一 個圓 內 接 偶 數 邊 多 邊 形 A A A A_{1 2 3 4}....A A_{n1 n}，n 為 偶數 ， 則此 多 邊 形 內 角 總 和 為 A₁A₂A₃A₄....A_n₁A_n 



n2



 且 _{1 3 5} .... _{3 1}



2



2 n n n A A A A A         =A₂A₄A₆....A_n2A_n 證 明 ： 略 。 引 理 ４ 在平面 上給 定 一 圓 內 接 四 邊 形 A A A A_{1 2 3 4}，見 下 圖(1)，令A A_{1 2}V₁，A A_{2 3}V₂，A A_{3 4}V₃， 4 1 4 A A V ， 則 下 列 方 程 式 ( T−1 )式 必定 恆 成 立 。

線段 A A_{1 2}=V₁  V₂cosA₄V₃cos



A₃A₄



V₄cosA₃ ( T−1 )

圖 (1)

證 明 ： 由 圖(1)知 線 段 A A_{1 2}V₂cosA V₂ ₃cos_A₂



A₃



_V₄cosA₁

















2cos 4 3cos 4 3 4cos 3

V  A V  A  A V  A

   _    _ 





2cos 4 3cos 3 4 4cos 3

V A V A A V A

    

同 理 ， 還 可 證 明 出 線 段A A_{2 3}V₂  V₃cosA V₁ ₄cos



A₄A₁



V₁cosA₄ ( T−2) 線段 A A_{3 4}V₃  V₄cosA₂V₁cos



A₁A₂



V₂cosA₁ ( T−3) 線段 A A_{4 1}V₄  V₁cosA V₃ ₂cos



A₂A₃



V₃cosA₂ ( T−4) 引 理 ５ 在 平 面 上 給 定 一 圓 內 接 五 邊 形 A A A A A_{1 2 3 4 5}， 見 下 圖(2) ,令 A A1 2V1，A A2 3V2， 3 4 3 A A V ，A A_{4 5}V₄，A A_{5 1}V₅。 圖(2) 再 令 此 圓 內 接 五 邊 形 的 面 積 為S_p，則 此 圓 內 接 五 邊 形 面 積 的 平 方_{( )}2 p S 與 各 邊 長 及 各 頂 角 之 運 算 關 係 為 2 ( )S_p  1



_{2 3 4 5 1}



16 V    V V V V



V3V4  V5 V V1 2



 2 2 2 2 2 1 2 3 4 4 5 5 3 3 [(V V ) (V V ) (V V) (V V ) V  2 4 V 2 5 V  ] +





3 4 5 1 2 3 4 5 2 V V V V V   V V V −V V V V V1 2 3 4 5 2 3 5 1 1 [ cos ( ) 2 A A V  _ 2 4 1 2 1 cos ( ) 2 A A V  _ 2 5 2 3 1 cos ( ) 2 A A V   2 1 3 4 1 cos ( ) 2 A A V   2 2 4 5 1 cos ( ) 2 A A V  ] 證 明 ： 略 。(請 參閱 本 文 末 參考 文 獻 之 2.)

二、平面凸六邊形的面積

在 平 面 上 給 定 一 個 凸 六 邊 形 A A A A A A_{1 2 3 4 5 6}， 令A A_{1 2}=V₁， A A_{2 3}=V₂，A A_{3 4}=V₃， 圖 (3) 4 5 A A =V₄，A A_{5 6}=V₅，A A_{6 1}=V₆，並 且 連 接 一 對 角 線A A_{1 4}，如 圖(3)，將 圖 形 分 割成 兩 個 四 邊 形A A A A_{1 2 3 4}與A A A A_{1 4 5 6}，這 兩 圖 形 共 同 擁 有 邊 長A A_{1 4}，則 由 引 理 1. 平 面凸 四 邊 形 的面 積 型 餘 弦 公 式 可 得

2 1 V + 2 2 V + 2 3

V － 2VV_{1 2}cosA₂－2V V2 3cosA3+ 2V1V3cos



A2A3



= 2 4 V + 2 5 V + 2 6

V －2V V_{4 5}cosA₅－ 2V V_{5 6}cosA₆+ 2V₄V₆cos



A₅A₆



移 項 後 ， 得

2 1 V + 2 2 V + 2 3 V － 2 4 V － 2 5 V － 2 6 V

= 2VV_{1 2}cosA₂+2V V_{2 3}cosA₃−2V₁V₃cos



A₂A₃



−2V V_{4 5}cosA₅−2V V_{5 6}cosA₆+2V V_{4 6}cos



A₅A₆



1 ( 2 2 1 V + 2 2 V + 2 3 V － 2 4 V － 2 5 V － 2 6 V

)

=VV1 2cosA2+V V2 3cosA3−V1V3cos



A2A3



−V V4 5cosA5−V V5 6cosA6+V4V6cos



A5A6



(1)

現 在 ， 令 凸 六 邊 形 面 積 為 S(6)， 則 此 S(6)等 於 兩 個四 邊 形 面 積之 和 ， 由 引 理 2. 得

2 S(6) =V V_{1 2}sinA₂+V V_{2 3}sinA₃−V V_{1 3}sin



A₂A₃



+V V_{4 5}sinA₅+V V_{5 6}sinA₆−V V_{4 6}sin



A₅A₆



(2)

觀察此兩式中的sin 項及 cos 項的文字係數完全相似，只需利用此特徵即可縮減計算的流程； 聯 立 解 (1)、(2) 兩 關 係 式 ; 先 將 (1)式 的 平 方 加 上 (2)式 的平 方 ， 經 化簡 可 得 4



S(6)



2+1( 4 2 1 V + 2 2 V + 2 3 V − 2 4 V − 2 5 V − 2 6 V ₎2₌ 2 1 2 (V V) + 2 2 3 (V V ) + 2 1 3 (V V) 2 4 5 (V V )  + 2 5 6 (V V ) 2 4 6 (V V )  + 2 2 1 2 3 2 3 [V V V cos(A A)- 2 1 2 3cos 3 V V V A-V V V V1 2 4 5cos(A2A5)-V V V V1 2 5 6cos(A2A6)+ 1 2 4 6cos( 2 6 5) VV V V A A A - 2 1 2 3 cos 2 V V V A -V V V V_{2 3 4 5}cos(A₃A₅)-V V V V_{2 3 5 6}cos(A₃A₆)+ 2 3 4 6cos( 3 5 6) V V V V A A A +VV V V1 3 4 5cos(A2A3A5)+VV V V1 3 5 6cos(A2A3A6)− 1 3 4 6cos( 2 3 5 6) V V V V A A A A + 2 4 5 6cos( 5 6) V V V A A - 2 4 5 6cos 6 V V V A - 2 4 5 6 cos 5] V V V A = (VV_{1 2}+V V_{2 3}+V V_{1 3} V V_{4 5}+V V_{5 6} 2 4 6) V V  +2 2 1 2 3 2 3 {V V V[cos(A A) 1] - 2 1 2 3[cos 3 1] V V V A  − 1 2 4 5[cos( 2 5) 1] V V V V A A  -V V V V_{1 2 5 6}[cos(A₂A₆) 1] +VV V V_{1 2 4 6}[cos(A₂A₆A₅) 1] − 2 1 2 3 [cos 2 1] V V V A  -V V V V2 3 4 5[cos(A3A5) 1] -V V V V2 3 5 6[cos(A3A6) 1] + 2 3 4 6[cos( 3 5 6) 1] V V V V A A A  +V V V V1 3 4 5[cos(A2A3A5) 1] +V V V V1 3 5 6[cos(A2A3A6) 1] − 1 3 4 6[cos( 2 3 5 6) 1] VV V V A A A A  + 2 4 5 6[cos( 5 6) 1] V V V A A  − 2 4 5 6[cos 6 1] V V V A  − 2 4 5 6 [cos 5 1]} V V V A  = (V V_{1 2}+V V_{2 3}+V V1 3 V V4 5+V V5 6 2 4 6) V V  −4 2 2 2 3 1 2 3 [ sin ( ) 2 A A VV V  + 2 2 3 1 2 3cos ( ) 2 A V V V + 2 2 5 1 2 4 5cos ( ) 2 A A V V V V  + 2 2 6 1 2 5 6cos ( ) 2 A A VV V V  + 2 2 5 6 1 2 4 6sin ( ) 2 A A A V V V V   + 2 2 2 1 2 3 cos ( ₂) A VV V + 2 3 5 2 3 4 5cos ( ₂ ) A A V V V V  + 2 3 6 2 3 5 6cos ( ₂ ) A A V V V V  + 2 3 5 6 2 3 4 6sin ( ) 2 A A A V V V V   + 2 2 3 5 1 3 4 5sin ( ) 2 A A A V V V V   + 2 2 3 6 1 3 5 6sin ( ) 2 A A A V V V V   + 2 2 3 5 6 1 3 4 6cos ( ₂ ) A A A A V V V V    + 2 2 5 6 4 5 6sin ( ₂ ) A A V V V  + 2 2 6 4 5 6cos ( ₂) A V V V + 2 2 5 4 5 6 cos ( ₂)] A V V V

再 移 項 並 整 理, 得平 面 凸 六邊 形 面 積 的平 方 式





2 (6) S =1 4(V V1 2+V V2 3+V V1 3 V V4 5+V V5 6 2 4 6) V V  − 1 ( 16 2 1 V + 2 2 V + 2 3 V － 2 4 V －V －₅2 2 6 V

)

2− 2 2 2 3 1 2 3 [ sin ( ) 2 A A VV V  + 2 2 3 1 2 3cos ( ) 2 A V V V + 2 2 5 1 2 4 5cos ( ) 2 A A V V V V  + 2 2 6 1 2 5 6cos ( ) 2 A A VV V V  + 2 2 5 6 1 2 4 6sin ( ₂ ) A A A V V V V   + 2 2 2 1 2 3 cos ( ₂) A VV V + 2 3 5 2 3 4 5cos ( ₂ ) A A V V V V  + 2 3 6 2 3 5 6cos ( ₂ ) A A V V V V  + 2 3 5 6 2 3 4 6sin ( ₂ ) A A A V V V V   + 2 2 3 5 1 3 4 5sin ( ₂ ) A A A V V V V   + 2 2 3 6 1 3 5 6sin ( ₂ ) A A A V V V V   + 2 2 3 5 6 1 3 4 6cos ( ₂ ) A A A A V V V V    + 2 2 5 6 4 5 6sin ( ₂ ) A A V V V  + 2 2 6 4 5 6cos (₂ ) A V V V + 2 2 5 4 5 6 cos ( ₂)] A V V V = 1[ 16 (2V V1 2+2V V2 3+2V V1 32V V4 5+2V V5 6 2 4 6 2V V )  − 2 1 (V + 2 2 V + 2 3 V － 2 4 V －V －₅2 2 6 V _{) ]}2 ₋ 2 2 2 3 1 2 3 [ sin ( ) 2 A A VV V  + 2 2 3 1 2 3cos (₂ ) A V V V + 2 2 5 1 2 4 5cos ( ₂ ) A A V V V V  + 2 2 6 1 2 5 6cos ( ₂ ) A A VV V V  + 2 2 5 6 1 2 4 6sin ( ₂ ) A A A V V V V   + 2 2 2 1 2 3 cos ( ₂) A VV V + 2 3 5 2 3 4 5cos ( ₂ ) A A V V V V  + 2 3 6 2 3 5 6cos ( ₂ ) A A V V V V  + 2 3 5 6 2 3 4 6sin ( ₂ ) A A A V V V V   + 2 2 3 5 1 3 4 5sin ( ₂ ) A A A V V V V   + 2 2 3 6 1 3 5 6sin ( ₂ ) A A A V V V V   + 2 2 3 5 6 1 3 4 6cos ( ₂ ) A A A A V V V V    + 2 2 5 6 4 5 6sin ( ) 2 A A V V V  + 2 2 6 4 5 6cos ( ) 2 A V V V + 2 2 5 4 5 6 cos ( )] 2 A V V V (3) 現 在 將(3)式 裡 第一 個 中 括 弧[ ]內 的 所 有項 作 因 式 分解 ， 再 經 移項 ,組 合 及 化簡 ， 計 算 過程 如 下 ; 1 2 (2V V +2V V_{2 3}+2V V_{1 3} 2V V_{4 5}+2V V_{5 6} 2 4 6 2V V )  − 2 1 (V + 2 2 V + 2 3 V − 2 4 V − 2 5 V − 2 6 V

)

2 = (2V V_{1 2}+2V V_{2 3}+2V V1 3 2V V4 5+2V V5 6 2V V4 6+ 2 1 V + 2 2 V + 2 3 V − 2 4 V − 2 5 V − 2 6 V

) 

1 2 (2V V +2V V_{2 3}+2V V1 3 2V V4 5+2V V5 6 2V V4 6− 2 1 V − 2 2 V − 2 3 V + 2 4 V +V +₅2 2 6 V

)

= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 4 4 4 5 6 [(V V V ) (V 2V V V ) ( V 2V V V ) ( V 2V V V )V V V ]



2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 5 6 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 2 3 [(V V V ) (V 2V V V ) ( V 2V V V ) ( V 2V V V )V V V ]

= 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 5 6 6 4 4 5 6 [(V V V ) (V V) (V V ) (V V ) V V V ]



2 2 2 2 2 2 2 4 5 6 1 2 2 3 3 1 1 2 3 [(V V V ) (V V ) (V V) (V V) V V V ] (4) 將 此(4)式 代 回入 (3)式 裡第 一 個 中 括弧[ ]內 ， 最後 整 理 得





2 (6) S = 1 16 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 5 6 6 4 4 5 6 [(V V V) (V V ) (V V ) (V V ) V V V ]



2 2 2 2 2 2 2 4 5 6 1 2 2 3 3 1 1 2 3 [(V V V ) (V V) (V V) (V V) V V V ]− 2 2 3 5 6 1 3 4 6cos ( ₂ ) A A A A V V V V    − 2 2 5 6 1 2 4 6sin ( ₂ ) A A A V V V V   − 2 3 5 6 2 3 4 6sin ( ₂ ) A A A V V V V   − 2 2 3 5 1 3 4 5sin ( ₂ ) A A A V V V V   − 2 2 3 6 1 3 5 6sin ( ₂ ) A A A V V V V   − 2 2 5 1 2 4 5cos ( ₂ ) A A V V V V  − 2 2 6 1 2 5 6cos ( ₂ ) A A V V V V  − 2 3 5 2 3 4 5cos ( ₂ ) A A V V V V  − 2 3 6 2 3 5 6cos ( ₂ ) A A V V V V  − 2 2 2 1 2 3 cos 2 A VV V − 2 2 3 1 2 3cos ₂ A V V V − 2 2 5 4 5 6 cos ₂ A V V V − 2 2 6 4 5 6cos ₂ A V V V − 2 2 2 3 1 2 3sin ( ₂ ) A A VV V  − 2 2 5 6 4 5 6sin ( ₂ ) A A V V V  (5) 這 方 程 式(5)就 是一 般 平 面 凸六 邊 形 面 積的 平 方 式 公式。因 為 這公 式 的 內 文項 數 很 多 很長， 故 採 用 列 出 面 積 的 平 方 式 公 式 敘 述 要 比 原 本 面 積 公 式 的 平 方 根 表 示 更 適 當 明 確 ！ 於 是 得 下 列 定 理 ； 定 理 １ 在 平 面 上 給 定 一 個 凸 六 邊 形A A A A A A_{1 2 3 4 5 6}，令 A A_{1 2}=V₁，A A_{2 3}=V₂，A A_{3 4}=V₃，A A_{4 5}= 4 V ，A A_{5 6}=V₅，A A_{6 1}=V₆，如 上 圖(3)，則 此 一般 平 面 凸 六邊 形 面 積 的平 方 式 公 式與 其 各 邊 長 及 各 頂 角 的 運 算 關 係 為 上 述 方 程 式(5)。 詳 細 檢 視 方 程 式(5)， 發 現 此定 理 1.的 美妙 之 處 在 於它 涵 蓋 下 列三 個 特 例 ； 特 例 1. 若 令 A A1 2=V10且A A6 2=V6， 則 平 面 凸 六 邊 形A A A A A A1 2 3 4 5 6面 積 的 平 方 式 公 式 將 退 化 成 平 面 凸 五 邊 形 A A A A A_{2 3 4 5 6}面 積 的 平 方 式 公 式 ， 令 平 面 凸 五 邊 形A A A A A_{2 3 4 5 6}面 積 為 S(5)， 則





2 (5) S = 1 16 (V3V4 V5 V6V2) (V4  V5 V6 V2V3)



2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 5 5 6 6 4 4 5 6 [(V V ) (V V) (V V ) (V V ) V V V ] － 2 2 4 2 3 4 6cos ( ₂ ) A A V V V V  － 2 3 5 2 3 4 5cos ( ₂ ) A A V V V V  － 2 3 6 2 3 5 6cos ( ₂ ) A A V V V V  － 2 2 5 4 5 6 cos 2 A V V V － 2 2 6 4 5 6cos 2 A V V V － 2 2 5 6 4 5 6sin ( ) 2 A A V V V  ..(6) 上 述 (6)式 是 經 (5)式 轉 換而 來 ， 請 對照 本 文 末 參考 文 獻 之 1。

特 例2. 若 令 A A_{1 2}=V₁0且 A A_{6 1}=V₆0，A A_{5 2}=V₅，則 平 面 凸 六 邊 形A A A A A A_{1 2 3 4 5 6}面 積 的 平 方 式 公 式 將 退 化 成 平 面 凸 四 邊 形 A A A A_{2 3 4 5}面 積 的 平 方 式 公 式 ， 令 此 平 面 凸 四 邊 形 2 3 4 5 A A A A 面 積 為 S(4) ， 這 類 一 般 平 面 凸 四 邊 形 A A A A2 3 4 5面 積 就 是 德 國 數 學 家 Bretschneider 在 1842 年 所計 算 發 表 出當 年 著 名 的平 面 凸 四 邊形 面 積 的 平方 式 公 式 ， 則





2 (4) S = 1 16 [(V2 V3 V4V5) (V3V4 V5 V2) (V4 V5 V2V3) (V5V2 V3 V4)] − 2 3 5 2 3 4 5cos ( ) 2 A A V V V V  …(7) 特 例3. 若 令 A A_{1 2}=V₁0且A A_{6 1}=V₆0，A A_{5 6}=V₅0，A A_{4 2}=V₄，則 平 面 凸 六 邊 形 A A A A A A_{1 2 3 4 5 6} 面 積 的 平 方 式 公 式 將 退 化 成 平 面 三 角 形

A

₂

A

₃

A

₄面 積 的 平 方 式 公 式，令 此 三 角 形 面 積 為 S(3)， 則





2 (3) S = 1 16 [(V2 V3 V4) (V3V4V2) (V4V2V3) (V2 V3 V4)] …(8) 此 公 式 (8) 即 為希 臘 著 名 的三 角 形 Heron 面 積 平 方式 公 式 。

三、圓內接六邊形的面積

定 理 ２ 在 平 面 上 給 定 一 個 圓 內 接 六 邊 形A A A A A A_{1 2 3 4 5 6}， 令A A_{1 2}=V₁，A A_{2 3}=V₂， A A_{3 4}=V₃， 4 5 A A =V₄， A A_{5 6}=V₅， A A_{6 1}=V₆， 如 下 圖 (4)， 圖(4) 令 此 圓 內 接 六 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄

A

₅

A

₆面 積 為S_H， 則 其 面 積 的 平 方 式 公 式 為 2 [SH]  1 16 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 5 6 6 4 4 5 6 [(V V V ) (V V) (V V ) (V V ) V V V ]



2 2 2 2 2 2 2 4 5 6 1 2 2 3 3 1 1 2 3 [(V V V) (V V ) (V V ) (V V) V V V ] 4 5 6 1 2 3 1 ( ) 2 V V V VV V    (V V₁ ₂   V₃ V₄ V₅ V₆)− 1 2 3 4 5 6 V V V V V V  2 1 4 2 5 1 {[ cos ( ) 2 A A V V   2 2 5 3 6 1 _{cos ( )} 2 A A V V   2 3 6 4 1 1 _{cos ( )]} 2 A A V V  

2 1 2 6 2 1 [ sin ( ) 2 A A V V  _ 2 2 3 1 3 1 _{sin ( )} 2 A A VV   2 3 4 2 4 1 _{sin ( )} 2 A A V V   2 4 5 3 5 1 _{sin ( )} 2 A A V V   2 5 6 4 6 1 sin ( ) 2 A A V V  _ 2 6 1 5 1 1 sin ( )] 2 A A V V  _ 2 1 6 1 1 [ cos ( ) 2 A V V  2 2 1 2 1 cos ( ) 2 A V V  2 3 2 3 1 _{cos ( )} 2 A V V  2 4 3 4 1 cos ( ) 2 A V V  2 5 4 5 1 _{cos ( )} 2 A V V  2 6 5 6 1 _{cos ( )]}} 2 A V V (9) 證 明 ： (1). 因 為是 圓 內 接 六邊 形 ， 所 以利 用 引 理 3.性 質 將 方 程式(5)中 7 個 cos 與 sin 項 作 角 度 的 變 換 ， 再 化 簡 ， 按 序 整 理 排 列 ， 得 下 列 方 程 式 (10) : 2 [SH]  1 16 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 5 6 6 4 4 5 6 [(V V V ) (V V) (V V ) (V V ) V V V ]



2 2 2 2 2 2 2 4 5 6 1 2 2 3 3 1 1 2 3 [(V V V) (V V ) (V V ) (V V) V V V ] － 2 1 4 1 3 4 6cos ( ) 2 A A VV V V  － 2 2 5 1 2 4 5cos ( ₂ ) A A V V V V  － 2 3 6 2 3 5 6cos ( ₂ ) A A V V V V  － 2 1 2 1 3 4 5sin ( ₂ ) A A VV V V  － 2 2 2 3 1 2 3sin ( ₂ ) A A VV V  － 2 3 4 1 3 5 6sin ( ₂ ) A A VV V V  － 2 4 5 1 2 4 6sin ( ) 2 A A V V V V  － 2 2 5 6 4 5 6sin ( ) 2 A A V V V  － 2 6 1 2 3 4 6sin ( ) 2 A A V V V V  － 2 1 2 3 4 5cos ( )₂ A V V V V － 2 2 2 1 2 3 cos ( ₂) A VV V － 2 2 3 1 2 3cos ( ₂) A V V V － 2 4 1 2 5 6cos ( ₂) A VV V V － 2 2 5 4 5 6 cos (₂ ) A V V V － 2 2 6 4 5 6cos ( ₂) A V V V (10) (2). 觀 察檢 視 方 程 式 (10)，在 所 有 cos 與 sin 項 中 看 到 6 個 項 的 係數 有 出 現 邊長 的 平 方 ， 這 與 其 他 項 係 數 不 同 ， 造 成 係 數 出 現 不 規 律 性 ， 需 要 變 換 這 6 個 項 的係 數 讓 每 一 項 邊 長 都 是 一 次 方 。 因 對 照 之 下 ， 再 回 頭 審 閱 圓 內 接 五 邊 形 的 面 積 平 方 式 公 式， 公 式 裡 顯 示 出 所 有 cos 項 的 係 數 都僅 出 現 邊 長一 次 方，符 合 係 數 出 現的 規 律 性，請 參 考 本 文 末 參 考 文 獻 之2.及 引 理 5. 。故 要 找到 適 當 解 決方 法 將 上 述出 現 邊 長 平 方 之 6 個 項的 係 數 轉 換成 邊 長 都 是一 次 方，使 方 程 式 (10)中各 項 係 數都 能 完 全 趨 於 一 致 性 ， 不 致 有 差 異 。 現 在 連 接 一 對 角 線 A A_{1 4}， 如 下 圖 (5)，

圖(5)

並 定 焦 看 圖(5)中的 圓 內 接 四邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄及 圓 內 接 四 邊 形

A

₄

A

₅

A

₆

A

₁， 由 引 理 4. 知 線 段 A A_{4 1} V₁cosA V₃ ₂cos



A₂A₃



V₃cosA₂ ( T−4) 必 成 立 。且

線 段A A_{4 1}  V₁cosA V₃ ₂cos



A₂A₃



V₃cosA₂  V₄cosA₆V₅cos



A₅A₆



V₆cosA₅

在 方 程 式(10)中 ，令 F = － 2 2 2 3 1 2 3sin ( ) 2 A A VV V  － 2 2 2 1 2 3 cos ( ₂) A VV V － 2 2 3 1 2 3cos ( ) 2 A V V V =－ 2 2 3 1 2 3 [ sin (2 ₂ ) A A VV V V  2 2 3cos (₂) A V  2 3 1cos (₂ )] A V  =－ 2 3 1 2 3 2 1 cos( ) [ 2 A A V V V V    2 3 1 cos 2 A V    3 1 1 cos _] 2 A V    1 2 3 1 2 3





1 2 3 1 3 2 2 3 3 2

( ) [ cos cos cos ]

2 2

V V V _{V V V} V V V _{V A V A A V A}

        

1 2 3 1 2 3





1 2 3 4 6 5 5 6 6 5

( ) [ cos cos cos ]

2 2 V V V V V V V V V V A V A A V A          1 2 3 1 2 3 ( ) 2 V V V V V V      1 2 3 2 6 2 5 6 2 5 4 5 6

{ [2 cos ( ) 1] [1 2sin ] [2 cos ( ) 1]}

2 2 2 2 V V V A A A A V V    V       _{ }      1 2 3 1 2 3 ( ) 2 V V V _{V V V}      1 2 3 2 6 2 5 6 2 5 4 4 5 5 6 6

[ 2 cos ( ) 2sin 2 cos ( ) ]

2 2 2 2

V V V A A A A

V V V V    V V

      _{ }  

1 2 3 4 5 6 1 2 3 ( ) 2 V V V _{V V V V V V}       － 2 5 1 2 3 6cos ( ₂) A V V V V － 2 6 1 2 3 4cos ( ₂) A V V V V － 2 5 6 1 2 3 5sin ( ₂ ) A A VV V V  (11) 同 理 ， 再 選 取 G



－ 2 2 5 6 4 5 6sin ( ) 2 A A V V V  － 2 2 5 4 5 6 cos ( ) 2 A V V V － 2 2 6 4 5 6cos ( ) 2 A V V V 參 考 圖(5)， 並 仿效 前 述 獲 得 (11)式 的 方法 ， 可 得 G 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ( ) 2 V V V _{V V V V V V}       － 2 2 3 4 5 6cos (₂) A V V V V － 2 3 1 4 5 6cos ( ₂) A V V V V － 2 2 3 2 4 5 6sin ( ₂ ) A A V V V V  (12) (11)式與(12)式 已成 功 地 將 邊長 平 方 項 轉換 成 邊 長 的一 次 方 。 (3). 現 在將(11)式與(12)式 同時 一 併 代 入 (10)式 中 ，移 項 ， 化 簡， 再 整 理 ，即 得 2 [S_H]  1 16 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 5 6 6 4 4 5 6 [(V V V ) (V V) (V V ) (V V ) V V V ]



2 2 2 2 2 2 2 4 5 6 1 2 2 3 3 1 1 2 3 [(V V V) (V V ) (V V ) (V V) V V V ] 4 5 6 1 2 3 1_{( )} 2 V V V VV V   (V V₁ ₂   V₃ V₄ V₅ V₆)－ 2 1 4 1 3 4 6cos ( ₂ ) A A VV V V  － 2 2 5 1 2 4 5cos ( ) 2 A A V V V V  － 2 3 6 2 3 5 6cos ( ) 2 A A V V V V  － 2 1 2 1 3 4 5sin ( ₂ ) A A VV V V  － 2 2 3 2 4 5 6sin ( ₂ ) A A V V V V  － 2 3 4 1 3 5 6sin ( ₂ ) A A VV V V  － 2 4 5 1 2 4 6sin ( ₂ ) A A V V V V  － 2 5 6 1 2 3 5sin ( ₂ ) A A VV V V  － 2 6 1 2 3 4 6sin ( ₂ ) A A V V V V  － 2 1 2 3 4 5cos ( )₂ A V V V V － 2 2 3 4 5 6cos (₂) A V V V V － 2 3 1 4 5 6cos ( ₂) A V V V V － 2 4 1 2 5 6cos (₂) A VV V V － 2 5 1 2 3 6cos (₂ ) A V V V V － 2 6 1 2 3 4cos (₂ ) A V V V V (13) 再 將(13)式 內 所 有 cos 與 sin 項的 係 數共 同 提 出VV V V V V_{1 2 3 4 5 6}， 再 整 理 ， 最 後 得 2 [SH]  1 16 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 5 6 6 4 4 5 6 [(V V V ) (V V) (V V ) (V V ) V V V ]



2 2 2 2 2 2 2 4 5 6 1 2 2 3 3 1 1 2 3 [(V V V) (V V ) (V V ) (V V) V V V ]

4 5 6 1 2 3 1_{( )} 2 V V V VV V   (V V1 2   V3 V4 V5 V6)－ 1 2 3 4 5 6 V V V V V V  2 1 4 2 5 1 {[ cos ( ) 2 A A V V  _ 2 2 5 3 6 1 cos ( ) 2 A A V V   2 3 6 4 1 1 cos ( )] 2 A A V V   2 1 2 6 2 1 [ sin ( ) 2 A A V V  _ 2 2 3 1 3 1 _{sin ( )} 2 A A VV   2 3 4 2 4 1 _{sin ( )} 2 A A V V   2 4 5 3 5 1 _{sin ( )} 2 A A V V   2 5 6 4 6 1 _{sin ( )} 2 A A V V   2 6 1 5 1 1 _{sin ( )]} 2 A A V V   2 1 6 1 1 [ cos ( ) 2 A V V  2 2 1 2 1 cos ( ) 2 A V V  2 3 2 3 1 _{cos ( )} 2 A V V  2 4 3 4 1 cos ( ) 2 A V V  2 5 4 5 1 _{cos ( )} 2 A V V  2 6 5 6 1 _{cos ( )]}} 2 A V V (9) 以 上 定 理 2. 證明 完 成，方 程式(9)即 為 圓內 接 六 邊 形面 積 平 方 式公 式。從 方程 式(9)可 察驗 出 大 括 弧{ }內 有 3 組 中 括 弧[ ]， 而 每 一組 中 括 弧[ ]內 之 邊 長 與角 度 都 在 各項 的 位 置 內出 現 規 律 性 分 佈 ， 與 前 言 中 想 像 的 期 望 與 推 測 不 謀 而 合 。 審 視 方 程 式 (9)， 又察 覺 此 定 理 2.的 美 妙之 處 在 於 它涵 蓋 下 列 三個 特 例 ; 特 例1. 在 方 程式 (9)中 包含 所 有 cos 與 sin 的 項數 共 有 15 項，找 到 這 些項 中 係 數 沒有 出 現

V

₁的 ， 只 有 5 個 ， 將其 中 4 個 作 角 度 變換 ; (a) 將_{sin (}2 2 3₎ 2 A A 轉 換 成_{sin (}2 1 2 5₎ 2 A A A =_{sin (}2 3 4 6₎ 2 A A A (b) 將_{sin (}2 6 1₎ 2 A A 轉 換 成_{sin (}2 3 5 6₎ 2 A A A (c) 將_{cos ( )}2 1 2 A 轉 換 成_{cos (}2 3 5₎ 2 A A (d) 將_{cos (}2 2₎ 2 A 轉 換 成_{cos (}2 4 6₎ 2 A A ， 現 在 再 將 這 4 個 變 換項 代 入方 程 式 (9)中 ，形 成 2 [SH]  1 16 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 5 6 6 4 4 5 6 [(V V V ) (V V) (V V ) (V V ) V V V ]



2 2 2 2 2 2 2 4 5 6 1 2 2 3 3 1 1 2 3 [(V V V) (V V ) (V V ) (V V) V V V ] 4 5 6 1 2 3 1_{( )} 2 V V V VV V (V V1 2   V3 V4 V5 V6)－ 1 2 3 4 5 6 V V V V V V  2 1 4 2 5 1 {[ cos ( ) 2 A A V V  _ 2 2 5 3 6 1 cos ( ) 2 A A V V  _ 2 3 6 4 1 1 cos ( )] 2 A A V V  _

2 1 2 6 2 1 [ sin ( ) 2 A A V V  _ 2 3 4 6 1 3 1 sin ( ) 2 A A A VV   _ 2 3 4 2 4 1 sin ( ) 2 A A V V  _ 2 4 5 3 5 1 sin ( ) 2 A A V V   2 5 6 4 6 1 sin ( ) 2 A A V V   2 3 5 6 5 1 1 sin ( )] 2 A A A V V    2 3 5 6 1 1 [ cos ( ) 2 A A V V   2 4 6 1 2 1 _{cos ( )} 2 A A VV   2 3 2 3 1 _{cos ( )} 2 A V V  2 4 3 4 1 cos ( ) 2 A V V  2 5 4 5 1 _{cos ( )} 2 A V V  2 6 5 6 1 _{cos ( )]}} 2 A V V (14) 然 後 對 此 方 程 式 (14) 令 V₁0，A₁0且 A A_{6 2}=V₆， 則 圓 內 接 六 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 退 化 成 圓 內 接 五 邊 形 A A A A A_{2 3 4 5 6}面 積 平 方 式 公 式 ， 整 理 即 得 2 ( )Sp 



3 4 5 6 2



1 16 V    V V V V



V4 V5 V6V2V3





2 2 2 2 2 2 3 4 5 5 6 6 4 4 [(V V ) (V V) (V V ) (V V ) V  2 5 V 2 6 V 

]

+





4 5 6 2 3 4 5 6 2 V V V V    V V V V −V V V V V2 3 4 5 6 2 4 6 2 1 [ cos ( ) 2 A A V   2 3 4 6 3 1 sin ( ) 2 A A A V    2 6 3 4 1 _{cos ( )} 2 A A V   2 3 5 6 5 1 _{sin ( )} 2 A A A V    2 3 5 6 1 _{cos ( )} 2 A A V  ] (15) 方 程 式(15)式 中有 兩 項 是 sin 的 項 數 需要 將 它 們 變換 成 cos 的 項 ，再 利 用五 邊 形 內 角 和 等 於 3 的 性 質 ， 將 _{sin (}2 3 4 6₎ 2 A A A 轉 化 成 _{cos (}2 5 2₎ 2 A A ， 又 將 2 3 5 6 sin ( ) 2 A A A 轉 化 成_{cos (}2 2 4₎ 2 A A ，一 起 代 入 (15)式 而得 到 下 列 (16)式 圓 內 接 五 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 ， 2 ( )Sp 



3 4 5 6 2



1 16 V    V V V V



V4 V5 V6V2V3





2 2 2 2 2 2 3 4 5 5 6 6 4 4 [(V V ) (V V) (V V ) (V V ) V  2 5 V 2 6 V 

]

+





4 5 6 2 3 4 5 6 2 V V V _{V    V V V V −} 2 3 4 5 6 V V V V V 2 4 6 2 1 [ cos ( ) 2 A A V   2 5 2 3 1 _{cos ( )} 2 A A V   2 6 3 4 1 _{cos ( )} 2 A A V  _ 2 2 4 5 1 cos ( ) 2 A A V   2 3 5 6 1 _{cos ( )} 2 A A V  ] (16) 請 將 此 方 程 式(16)式 與 引 理 5.相 互 對 照， 兩 者 完 全一 致!

特 例2. 在 方 程式 (9)中 包含 所 有 cos 與 sin 的 項數 共 有 15 項，找 到 這 些項 中 係 數 沒有 出 現V₁或V₆的 ，只 有 1 個 為_{cos ( )}2 1 2 A ， 將 其 轉 換 成_{cos (}2 3 5₎ 2 A A ， 代 入(9)式 中，再 令 1 2 A A =V10且 A A6 1=V60，A A5 2=V5，則 圓 內 接 六 邊 形 A A A A A A1 2 3 4 5 6面 積 的 平 方 式 公 式 將 退 化 成 圓 內 接 四 邊 形 A A A A_{2 3 4 5}面 積 的 平 方 式 公 式 ， 令 此 未 化 簡 的 圓 內 接 四 邊 形 A A A A_{2 3 4 5}面 積 為S₄， 則 2 4 [ ]S = 1 16 [(V2 V3 V4V5)(V3V4 V5 V2)(V4 V5 V2V3)(V5V2 V3 V4)] － 2 3 5 2 3 4 5cos ( ₂ ) A A V V V V  (17) 而 因 A₃A₅，使 得 _{cos (}2 3 5_{) 0} 2 A A _ ，令 化 簡 後 圓 內 接 四 邊 形A A A A_{2 3 4 5}面 積 為S_B， 則(17)式 變 換 成下 列 (18)式； 2 [SB] = 1 16 [(V2 V3 V4V5)(V3V4 V5 V2)(V4 V5 V2V3)(V5V2 V3 V4)] (18) 方 程 式 (18)式 即為 印 度 著 名 Brahmagupta 面 積 的 平方 式 公 式 。 特 例 3. 若 再 令 A A_{1 2}=V₁0且 A A_{6 1}=V₆0， A A_{5 6}=V₅0， A A_{4 2}=V₄， 則 圓 內 接 六 邊 形 1 2 3 4 5 6 A A A A A A 面 積 的 平 方 式 公 式 將 退 化 成 平 面 三 角 形A A A_{2 3 4}面 積 的 平 方 式 公 式 ， 令 此 三 角 形 面 積 為 S(3)， 則





2 (3) S = 1 16 [(V2 V3 V4)(V3V4V2) (V4V2V3) (V2 V3 V4)] (8) 此 公 式 (8) 即 為希 臘 著 名 的三 角 形 Heron 面 積 平 方式 公 式 。 至 此，平 面 凸 六 邊 形 面 積 的 平 方 式 公 式(5)與 圓 內 接六 邊 形 面 積平 方 式 公 式 (9)都 完 全涵 蓋 統 合 五 邊 形 與 四 邊 形 及 三 角 形 等 各 個 面 積 的 平 方 。

參、結論

本 文 最 主 要 概 念 是 提 供 一 套 適 當 ， 精 準,快 速 的 方 法 來 論 證 出 一 般 平 面 凸 多 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 。 由 內 文 敘 述 可 知 自 三 角 形,四邊 形 ,五 邊 形到 六 邊 形等 都 能 看 到公 式 內 容 的複 雜 度 愈 來 愈 增 高，但 亦 同 時 見 到 期 望 的 規 律 性 公 式 特 質 依 循 著 由 小 而 大 順 序 呈 現 出 推 廣 樣 貌 。 計 算 六 邊 形 面 積 公 式 時，作 者 嘗 試 不 同 的 分 割 法；將 平 面 凸 六 邊 形 分 割 成：(一 ) 一 個 三 角 形 與 一 個 凸 五 邊 形、(二 ) 兩 個 凸 四 邊 形、(三 ) 完 全 不 分 割 等 三 種 情 形，在 演 算 過 程

中 發 現 三 種 分 割 法 所 得 到 的 公 式 完 全 不 同。比 較 這 三 者 公 式 的 結 構 內 容；只 見 分 割 成 兩 個 凸 四 邊 形 所 得 的 公 式 內 涵 最 簡 要，規 律，而 計 算 過 程 也 最 快 速。相 對 地 選 取 另 兩 種 方 法 所 得 的 公 式 則 更 加 複 雜 ！ 而 特 別 的 是，當 此 兩 種 不 同 公 式 也 要 化 成 圓 內 接 六 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 時，更 是 要 費 盡 苦 心，傾 注 全 力，始 能 化 成 具 有 完 全 相 同 規 律 對 稱 性 的 內 涵。故 最 佳 要 領 就 是 ： (甲 )要 將 偶 數 邊 多 邊 形 分 割 成 兩 個 相 等 邊 數 的 小 多 邊 形 ； (乙 )要 將 奇 數 邊 多 邊 形 分 割 成 兩 個 邊 數 僅 相 差 一 個 邊 的 小 多 邊 形；如 分 割 五 邊 形 時，將 其 分 割 成 三 角 形A A A_{1 2 3} 與 凸 四 邊 形A A A A_{1 3 4 5}。 研 究 論 證 圓 內 接 六 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 時 ， 如 何 能 知 悉 要 演 繹 到 方 程 式(9)的 規 律 對 稱 性 特 質 ？ 當 然 就 是 因 為 在 推 證 運 算 時，一 直 都 是 以 圓 內 接 五 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 內 容 為 標 竿 來 作 為 演 算 推 廣 的 依 據。而 遵 循 此 同 樣 思 考 模 式 時，已 不 難 想 像 圓 內 接 七 邊 形 面 積 平 方 式 公 式 的 內 涵 了 ！

參考文獻

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