第三章：幾何與證明 第三節：多邊形的外心與內心 一、選擇
1. （ ）下列哪一個圖形必有內切圓？
(A)菱形 (B)六邊形 (C)等腰梯形 (D)平行四邊形
《答案》A
2. （ ）下列哪一個四邊形不一定有內心？
(A)菱形 (B)箏形 (C)正方形 (D)等腰梯形
《答案》D
3. （ ）下列關於四邊形的敘述，何者正確？
(A)每個箏形都有外心，且在對角線交點上 (B)每個箏形都有內心，且在對角線交點上 (C)每個長方形都有外心，且在對角線交點上 (D)每個長方形都有內心，且在對角線交點上
《答案》C
4. （ ）小華在圓上取 A、B、C、D、E、F 六點，並連接 AB 、 BC 、 CD 、 DE 、 EF 、 AF ，如圖所示。若想找到圓心，則可用 下列何種方式？
A
C D
E F
B
(A)取∠B 和∠D 的角平分線交點 (B)取 AF 和 CD 的中垂線交點
(C)取∠A 的角平分線和 EF 的中垂線交點 (D)取 DE 的中垂線和∠E 的角平分線交點
《答案》B
5. （ ）如圖，若 O 點為圓內接四邊形 ABCD 的外心，則下列敘述何者不一定正確？
O A
C B D
(A) OB 平分∠ABC (B)∠A＋∠C＝180°
(C) OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD (D) CD 的中垂線必過 O 點
《答案》A
6. （ ）小明將一個圓形紙片對摺 2 次後打開，則下列敘述何者錯誤？
(A)摺痕沒有交點
(B)對摺 2 次後，其圓心角為 90°
(C)摺痕有交點，其為四邊形的外心
(D)摺痕的交點到四邊形各頂點的距離均相等
《答案》A
7. （ ）已知正六邊形 ABCDEF 外接圓的直徑為 24，則此正六邊形的周長為多少？
(A)60 (B)72 (C)80 (D)96
《答案》B
8. （ ）下列對於正 n 邊形的敘述，何者錯誤？
(A)有 n 條對稱軸
(B)正 n 邊形的外心與內心不一定是同一點 (C)正 n 邊形都有外心
(D)正 n 邊形都有內心
《答案》B
9. （ ）若 O 點為五邊形 ABCDE 的內心，且 O 點到五邊形各邊距離的和為 60，則此五邊形內切 圓的面積為多少？
(A)36π (B)64π (C)100π (D)144π
《答案》D
10. （ ）下列敘述何者正確？
(A)每一個多邊形都有外心 (B)每一個多邊形都有內心
(C)每一個長方形都有外心與內心 (D)每一個正多邊形都有外心與內心
《答案》D
11. （ ）下列有關多邊形外接圓及內切圓的敘述，何者錯誤？
(A)任一個正五邊形都有外接圓及內切圓 (B)任一個三角形不一定有外接圓及內切圓 (C)任一個箏形都有內切圓，但不一定有外接圓 (D)任一個長方形都有外接圓，但不一定有內切圓
《答案》B
12. （ ）下列哪一個四邊形不一定有外心？
(A)正方形 (B)長方形 (C)等腰梯形 (D)菱形
《答案》D
13. （ ）下列對於圓外切多邊形的敘述，何者錯誤？
(A)圓外切多邊形任一角的角平分線一定會通過圓心 (B)圓外切多邊形的各邊到內心的距離等於圓的半徑 (C)圓外切多邊形的每個邊都與內切圓相切
(D)每一個多邊形都有內心
《答案》D
14. （ ）如圖，若 O 點為圓外切四邊形 ABCD 的內心，則下列敘述何者正確？
A O
B C
D
(A) BC 的中垂線必過 O 點 (B) OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD (C) OC 平分∠BCD (D)∠A＋∠C＝180°
《答案》C
15. （ ）下列對於圓內接多邊形的敘述，何者正確？
(A)每一個多邊形都有外心
(B)圓內接多邊形的各邊都是該圓的弦 (C)任一弦的垂直平分線不一定會通過圓心
(D)圓內接多邊形的每個頂點不一定都在圓上
《答案》B
16. （ ）下列關於多邊形內心與外心的敘述，何者錯誤？
(A)任意多邊形必有內心及外心
(B)若 O 點為某正多邊形的外心，則 O 點也是此正多邊形的內心 (C)若 O 點為某多邊形的外心，則 O 點到此多邊形各頂點的距離相等 (D)若 O 點為某多邊形的內心，則 O 點到此多邊形每邊的距離相等
《答案》A
17. （ ）如圖，O 點為四邊形 ABCD 的內心，圓 O 為內切圓，若
∠1＝30°，∠2＝50°，∠3＝60°，則∠4＝？
1
2 3
4 A
C D
B O
(A)30° (B)40° (C)50° (D)60°
《答案》B
18. （ ）如圖，已知 O 點為正五邊形 ABCDE 的內心，H 為切點，若正五邊形的周長＝120，OC ＝ 15，則 OH 為多少？
A
C H D
B E
O
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11
《答案》B
19. （ ）下列有關正六邊形的敘述，何者錯誤？
(A)正六邊形的外心到各頂點的連線，將它分成 6 個全等的正三角形 (B)正六邊形有外心和內心，而且是同一點
(C)正六邊形的外接圓面積：內切圓面積＝2： 3 (D)正六邊形的面積＝
2 3
3 ×外接圓半徑的平方
《答案》C
20. （ ）已知 O 點為箏形 ABCD 的外心，且 AC 通過 O 點，∠BAD＝120°，若 AB ＝10，則箏形 ABCD 的面積為多少？
(A)50 (B)100 (C)100 3 (D)無法求得
《答案》C
（ ）如圖，正六邊形 ABCDEF 中，直線 L 為 EF 的中垂線，且交 CF 於 O 點，則下列敘述何者不 正確？
O
A F
C D
B E
L
(A) CF 為∠C 和∠F 的角平分線 (B)直線 L 也是 BC 的垂直平分線
(C)直線 L 和 CF 都是正六邊形 ABCDEF 的對稱軸 (D)O 點是正六邊形 ABCDEF 的外心，但不是其內心
《答案》D
22. （ ）如圖，I 點為菱形 ABCD 的內心，J 點為箏形 CDEF 的內心，
且 C 點在 BF 上， CD ＝ CF ，則∠ICJ＝？
A
F B
C
E I D
J
(A)60° (B)75° (C)90° (D)120°
《答案》C
23. （ ） 如圖，圓 O 為四邊形 ABCD 的內切圓，已知△AOB 面積與△COD 面積的比為 6：5，若 CD
＝25，則四邊形 ABCD 的周長＝？
(A)100 (B)110 (C)125 (D)150
A D
O
B C
《答案》B
24. （ ）小豪在圓上取點，並做七點的切線，兩兩相交於 A、B、C、
D、E、F、G，如圖所示。若想找到圓心，則可用下列何種方式？
A
C
D E F
B G
(A)取 BC 和 EF 的中垂線交點 (B)取∠B 和∠D 的角平分線交點
(C)取∠E 的角平分線和 AB 的中垂線交點 (D)取 FG 的中垂線和∠C 的角平分線交點
《答案》B
25. （ ）已知圓 O 為長方形 ABCD 的外接圓，若 AB ＝10，圓 O 的半徑＝13，則長方形 ABCD 的 面積＝？
(A)130 (B)240 (C)250 (D)260
《答案》B
26. （ ）如圖，圓 O 為梯形 ABCD 的外接圓， AD // BC ， AB ＝ CD ，且 AC 與 BD 交於 P 點，若
∠ABC＝80°， AB ︵
＝105°，則 BC ︵
＝？
(A)80° (B)85° (C)90° (D)95°
O P
A D
B C
《答案》D
27. （ ）如圖，若 O 點為六邊形 ABCDEF 的內心，且∠CDE＋∠DEF
＝260°，則∠DOE＝？
A F C
D B
E O
(A)40° (B)45° (C)50° (D)60°
《答案》C
28. （ ）如圖，圓 O 為△ABC 的外接圓，OD ⊥ AB ，OE ⊥ BC，OF ⊥ AC ，且 OD ＝ OE ＝ OF ， 若 AB ＝12，則△ABC 的面積為多少？
O A
B E C
D F
(A)36 3 (B)48 3 (C)60 3 (D)72 3
《答案》A
29. （ ）如圖，已知菱形 ABCD，下列對於菱形 ABCD 的敘述，何者錯誤？
A
B
C D
(A)菱形 ABCD 沒有外心
(B)菱形 ABCD 各邊的中垂線不會交於一點 (C)菱形 ABCD 有內心
(D)菱形 ABCD 各角的角平分線不會交於一點
《答案》D
30. （ ）如圖，等腰梯形 ABCD 中，O 點為內切圓圓心，若∠BOC＝110°，則∠AOD＝？
A D
B C
O
(A)45° (B)50° (C)65° (D)70°
《答案》D
31. （ ）如圖，已知正六邊形的周長為 36，則關於正六邊形的敘述，何者錯誤？
(A)正六邊形的內切圓半徑為 3 3 (B)正六邊形的外接圓半徑為 6
(C)內切圓與外接圓之間的環形面積為 3π (D)正六邊形可以等分成 6 個正三角形
《答案》C
32. （ ）如圖，已知平行四邊形 ABCD，則下列敘述何者正確？
A D
B C
(A)平行四邊形 ABCD 沒有外心，但有內心 (B)平行四邊形 ABCD 沒有內心，但有外心
(C)平行四邊形 ABCD 各邊的中垂線不會交於一點 (D)平行四邊形 ABCD 各角的角平分線會交於一點
《答案》C
33. （ ）如圖，正八邊形 ABCDEFGH 中，連接 AE 、 BF ，相交於 O 點，若 BF ＝12，則此正八 邊形的面積為多少？
(A)12 2 (B)48 2 (C)60 2 (D)72 2 A
B C
G F H
D E O
《答案》D 二、填充
1. 如圖，O 點為四邊形 ABCD 的外心，圓 O 為外接圓，若
∠1＋∠2＋∠3＝145°，則∠4＝ 度。
1
2 3
A 4
C D
B
O
《答案》35
2. 已知正六邊形 ABCDEF 的邊長為 a，則此正六邊形外接圓的面積＝ 。(以 a 表示)
《答案》a 2 π
3. 如圖，O 點為四邊形 ABCD 的內心，若 AD ＝3， BC ＝4，則四邊形 ABCD 的周長＝ 。
O
A D
B C
《答案》14
4. 若七邊形 ABCDEFG 的周長為 84，面積為 252，則此七邊形的內切圓面積＝ 。
《答案》36π
5. 下列哪些圖形的內心與外心落在同一點？
答： 。(填代號)
(A)等腰梯形 (B)正方形 (C)正九邊形 (D)平行四邊形 (E)矩形 (F)菱形
《答案》B、C
6. 如圖，圓 O 為五邊形 ABCDE 的內切圓，F、G、H、I、J 為切點，且 AJ ＝ BF ＝ CG ＝ DH ＝6，
EI ＝10，則此五邊形 ABCDE 的周長＝ 。
A B
C H I D
E F J
G
O
《答案》68
7. 如圖，圓 O 為梯形 ABCD 的內切圓，圓 O 切 AD 、BC 於 E、F 兩點，且 EF 為直徑， AD // BC ， 若圓 O 的半徑為 8， AB ＝17， CD ＝18，則：
(1) AD ＋ BC ＝ 。
(2)梯形 ABCD 的面積＝ 。
O A E D
B F C
《答案》(1)35 (2)280
8. 已知圓 O 為四邊形 ABCD 的內切圓，若圓 O 的半徑為 5，四邊形 ABCD 的周長為 80，則四邊形 ABCD 的面積＝ 。
《答案》200
9. 如圖，圓 O 為正五邊形 ABCDE 的外接圓，且 PE 切圓於 E 點，則：
(1)∠OED＝ 度。
(2)∠PED＝ 度。
A
D E
P O
B
C
《答案》(1)54 (2)36
10. 如圖，圓 O 為正方形 ABCD 的內切圓，E、F、G、H 分別為各邊的切點，且正方形的周長為 120 公分，則正方形 ABCD 與內切圓所圍成的鋪色部分面積＝ 平方公分。
O A
E G
H D
B F C
《答案》900－225π
11. 如圖，圓內接正六邊形 ABCDEF 中，若 AB ＝8 公分，則：
O
A F
C D
B E
(1)△COD 為何種三角形？答： 三角形。
(2)正六邊形 ABCDEF 的面積＝ 平方公分。
《答案》(1)正 (2)96 3
12. 長方形 ABCD 中，若 AB ＝12， BC ＝16，則外接圓的半徑＝ 。
《答案》10
13. 若 O 為五邊形 ABCDE 的外心，且 OA ＝10，則 OB ＋ OC ＋ OD ＋ OE ＝ 。
《答案》40
14. 若 O 為五邊形 ABCDE 五邊中垂線的交點，且 OE ＝9，則：
(1) OB ＋ OC ＋ OD ＝ 。
(2)五邊形 ABCDE 外接圓面積＝ 。
《答案》(1)27 (2)81π
15. 如圖，小明將正六邊形 ABCDEF 的色紙，摺出各角的角平分線，試回答下列問題：
A F
C D
B E
(1)這些摺痕是否會交於一點？答： 。
(2)承(1)，若會交於一點，則以該點為圓心，該點到 EF 的距離為半徑畫圓，則此圓是否會與正 六邊形 ABCDEF 每邊都相切？答： 。
(3)承(1)，若會交於一點，則此點稱為正六邊形 ABCDEF 的 心。
《答案》(1)是 (2)是 (3)內
16. 如圖，圓內接四邊形 ABCD 為長方形，若 AB ＝21， BC ＝7，則圓 O 的半徑為 。
O A D
B C
《答案》
2 10 7
17. 如圖，已知正六邊形 ABCDEF，試求：
A F
C D
B E
(1)若正六邊形 ABCDEF 的外接圓半徑為 1，則此正六邊形的內切圓半徑＝ 。 (2)若正六邊形 ABCDEF 的內切圓半徑為 1，則此正六邊形的外接圓半徑＝ 。
《答案》(1) 2
3 (2) 3
3 2
18. 如圖，O 點為五邊形 ABCDE 的內心，若內切圓半徑為 10， AB ＝11， BC ＝14，CD ＝18， DE
＝15， AE ＝7，則五邊形 ABCDE 的面積＝ 。
O A B
C
D E
《答案》325
19. 如圖，圓 O 為六邊形 ABCDEF 的外接圓，若 BC ︵
＝36°， EF ︵
＝34°，則∠A＋∠D＝ 度。
O A
C
D E F
B
《答案》215
20. 已知四邊形 ABCD 的面積為 72， AB ＝5， CD ＝7，若此四邊形有一內切圓，則此內切圓半徑
＝ 。
《答案》6
21. 如圖，有一圓內接正六邊形 ABCDEF，若△ADF 的面積為 50 3 ，則正六邊形 ABCDEF 的面積
為 。
A F
C D
B E
《答案》150 3
22. 如圖，箏形 ABCD 中， AB ＝ AD ，O 為內心，若∠1＝55°，∠2＝10°，則∠BCD＝ 度。
2 1
O A
C
B D
《答案》30
23. 正方形的內切圓與其外接圓的面積比為 。
《答案》1：2
※如圖，將一個正六邊形 ABCDEF 的色紙摺出對稱軸，試回答下列問題：
A F
C D
B E
(1)正六邊形 ABCDEF 的對稱軸共有 條。
(2)若花花摺出正六邊形 ABCDEF 各邊的對稱軸，發現這些對稱軸不但是各邊的中垂線，而且也 會交於一點，則該點稱為正六邊形的 心。
(3)若小明摺出正六邊形 ABCDEF 各頂點的對稱軸，發現這些對稱軸不但是各內角的角平分線，
而且也會交於一點，則該點稱為正六邊形的 心。
(4)阿豪看了花花與小明的作法後，做了以下的推論，請問何者錯誤？答： 。 甲：正六邊形 ABCDEF 各邊的中垂線交點與各角的角平分線交點其實都是同一點 乙：正六邊形的外心與內心都是同一點
丙：所有正多邊形的外心與內心都是同一點
丁：所有正多邊形的對稱軸既是各內角的角平分線，也是各邊的中垂線
《答案》(1)6 (2)外 (3)內 (4)丁
25. 如圖，正方形 ABCD 中，對角線 AC 的長為 20，則此正方形 ABCD 的內切圓半徑為 。
A D
B C
《答案》5 2
26. 如圖，圓 O 為四邊形 ABCD 的內切圓，∠A＝∠C＝90°，若 AB ＝ BC ＝10， AD ＝ CD ＝24，則 圓 O 的半徑＝ 。
A
B O D
C
《答案》
17 120
27. 下列多邊形中，對於內心與外心的敘述，請填入正確的選項：
(A)等腰梯形 (B)矩形 (C)正方形 (D)平行四邊形 (E)正七邊形 (F)菱形 (G)箏形 (H)正十四邊形 (1)多邊形一定有內心的是 。
(2)多邊形一定有外心的是 。
(3)多邊形的內心與外心為同一點的是 。
《答案》(1)C、E、F、G、H (2)A、B、C、E、H (3)C、E、H
28. 如圖，圓內接等腰梯形 ABCD 中， AD // BC ，外心 O 在 AD 上，若 AD ＝10，∠A＝60°，則：
A D
B C
O
(1)圓 O 的半徑＝ 。 (2)梯形 ABCD 的高＝ 。
《答案》(1)5 (2) 2
3 5
29. 已知正六邊形的面積為 96 3 平方公分，則此正六邊形的邊長為 公分。
《答案》8
30. 圓 O 為五邊形 ABCDE 的內切圓，若圓 O 的半徑為 6，五邊形 ABCDE 的面積為 210，則五邊形 ABCDE 的周長為 。
《答案》70
31. 如圖，圓 O 為四邊形 ABCD 的內切圓，且 P、Q 為切點，若 AB ＝13， PD ＝4，
CQ
＝6，則四 邊形 ABCD 的周長為 。《答案》46
如圖，已知正六邊形 ABCDEF 的外接圓面積為 100π平方公分，則此正六邊形外接圓與內切圓所 圍成的環形面積為
平方公分。
A F
C D
B E
O
《答案》25π
33. 如圖，已知四邊形 ABCD 有外心，若∠1＝55°，則∠2＝
度。
《答案》55
34. 已知 O 點為六邊形 ABCDEF 的內心，OG ⊥ AB 於 G 點，OH ⊥ BC 於 H 點，OI ⊥ CD 於 I 點，
OJ ⊥ DE 於 J 點， OK ⊥ EF 於 K 點， OL ⊥ AF 於 L 點，若 OG ＝10，則 OH ＋ OI ＋ OJ ＋ OK
＋ OL ＝ 。
《答案》50
35. 如圖，圓內接四邊形 ABCD 中，外心 O 在 BD 上， AB ＝ AD ，若 BC ＝6， CD ＝8，則：
A
C D
B
O
(1)圓 O 的半徑＝ 。 (2) AD ＝ 。
《答案》(1)5 (2)5 2
36. 如圖，五邊形 ABCDE 中，∠C＝∠D＝90°， AB ＝ AE ， BC ＝10， CD ＝24，若此五邊形有外 接圓，則：
A
B C
E D
(1)外接圓半徑＝ 。 (2) AC ＝ 。
《答案》(1)13 (2)6 13
37. 如圖，箏形 ABCD 中， AB ＝ AD ＝13， BC ＝ CD ＝15，若 BD ＝24，則內切圓圓 O 的半徑
＝ 。
O A
C
B D
《答案》6
38. 如圖，圓 O 為五邊形的內切圓，A、B 為切點，若圓 O 的半徑為 8，AB ︵
＝60°，則 OC ＝ 。
O C
A
B
《答案》
3 16 3
39. 如圖，五邊形 ABCDE 中，∠C＝90°， BA ＝ AE ＝ ED ， BC ＝ CD ＝4，若此五邊形有外心，則 AE ＝ 。
A E
B D
C
《答案》2 2
40. 如圖，圓 O 為五邊形 ABCDE 的內切圓， BC // ED ，若 OC ＝21， OD ＝20，則圓 O 的半徑
＝ 。
A
D B E
C O
《答案》
29 420 三、作圖
1. 判斷下圖的等腰梯形是否有外心。
《答案》有
2. 如圖，已知六邊形 ABCDEF 有一外接圓，請利用尺規作圖 找出它的外心，並畫出外接圓。
A
B
C D
E F
《答案》 A
B
C D
E F O
3. 如圖，已知六邊形 ABCDEF 有一內切圓，請用尺規作圖找 出它的內心，並畫出內切圓。
A F
C D B
E
《答案》
O A
F C
D B
H E
4. 判斷下圖的五邊形是否有外心？若有外心，請找出外心並畫出外接圓。
《答案》有，
A
O
5. 如圖，四邊形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，請作出四邊形 ABCD 的外接圓。
A C
B D
《答案》
A C
B D O
6. 如圖，已知五邊形 ABCDE 有一內切圓，請用尺規作圖找出它 的內心，並畫出內切圓。
A
B D
C E
《答案》 A
B D
C E O
H
7. 判斷下圖的平行四邊形是否有外心。
《答案》沒有
8. 判斷下圖的箏形是否有內心？
《答案》有
9. 判斷下圖的菱形是否有外心。
《答案》沒有
10. 判斷下圖的正六邊形是否有外心？若有外心，請找出外心並畫出外接圓。
《答案》有，
A
O
11. 判斷下圖的等腰梯形是否有內心？
《答案》沒有
12. 如圖，已知正五邊形 ABCDE，請找出正五邊形 ABCDE 的外心與內心。
A
C D
B E
《答案》 A
C D
B E
O
13. 如圖，已知正六邊形 ABCDEF，請找出正六邊形 ABCDEF 的內心與外心。
A F
C D
B E
《答案》 A F
C D
B O E
14. 如圖，已知菱形 ABCD，請作出菱形 ABCD 的內切圓。
A
B
C D
《答案》 A
B
C E D O
15. 如圖，已知正方形 ABCD，請用尺規作圖找出它的外心及內心，並畫出外接圓及內切圓。
A D
B C
《答案》
O
A D
B H C
16. 如圖，已知正六邊形 ABCDEF，請畫出正六邊形 ABCDEF 的內切圓與外接圓。
A F
C
D B
E
《答案》
O A
F H C
D B
E
17. 判別下圖的五邊形是否有內心？
《答案》沒有
18. 判別下圖的菱形是否有內心？
《答案》有 四、計算
1. 如圖，正方形 ABCD 的邊長為 t，則正方形 ABCD 的外接圓面積與內切圓面積之比為何？
O A
C
B D
《答案》2：1
2. 如圖，正五邊形 ABCDE 中， AH ⊥ CD ， AH ＝26，若此正五邊形內切圓及外接圓的半徑分別 為 a、b，則 a＋b＝？
A
C D
B E
H
《答案》26
3. 如圖，正方形 ABCD 的邊長為 10，求此正方形內切圓及外接圓的半徑。
A D
B C
《答案》內切圓半徑＝5，外接圓半徑＝5 2
4. 如圖，圓 O 為菱形 ABCD 的內切圓，若 AB ＝50，r＝24，則 AC ＝？
r O A
C
B D
《答案》80
5. 如圖，已知正六邊形，求內切圓與外接圓的面積比為何？
《答案》3：4
6. 如圖，梯形 ABCD 中， AD // BC ，圓 O 分別與梯形 ABCD 的各邊相切，且 M、N 為切點，若 AM
＝8， BN ＝12，則圓 O 的半徑＝？
A M D
B N C
O
《答案》4 6
7. 如圖，箏形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°， AB ＝ AD ＝6， BC ＝8，I 點為內心，O 點為外心，則 IO ＝？
A
C B
O
I D
《答案》
7 5
8. 如圖，等腰梯形 ABCD 中， AB ＝ CD ，圓 O 為其內切圓，若 AD ＝4， BC ＝16，則內切圓半 徑＝？
A D
B C
O
《答案》4
9. 已知長方形的面積為 48，其外接圓面積為 25π，則此長方形的周長＝？
《答案》28
