科技部補助專題研究計畫成果報告
期末報告
高齡死亡模型與長壽風險
計 畫 類 別 ： 個別型計畫 計 畫 編 號 ： MOST 103-2410-H-004-093- 執 行 期 間 ： 103 年 08 月 01 日至 104 年 07 月 31 日 執 行 單 位 ： 國立政治大學統計學系 計 畫 主 持 人 ： 余清祥 計畫參與人員： 碩士班研究生-兼任助理人員：李昇龍 碩士班研究生-兼任助理人員：楊崇甫 博士班研究生-兼任助理人員：梁穎誼 報 告 附 件 ： 出席國際會議研究心得報告及發表論文 處 理 方 式 ： 1.公開資訊：本計畫涉及專利或其他智慧財產權，2 年後可公開查詢 2.「本研究」是否已有嚴重損及公共利益之發現：否 3.「本報告」是否建議提供政府單位施政參考：否中 華 民 國 104 年 08 月 24 日
中 文 摘 要 ： 隨著醫藥科技等因素的發展，我國國民平均壽命逐年上升， 高齡人口的死亡率下降尤為明顯，人口老化速度愈發明顯， 國人對於退休生活、醫療需求更形殷切。但壽命增加蘊含不 確定性，提高了應對需求的難度，這類型的問題通稱為長壽 風險，對商業保險而言，保險公司可能因壽命延長使得年金 提領增加而造成資金不足，或是醫療保險的給付增加而造成 經營危機；社會保險也可能因為壽命延長而面臨破產的窘 境，不得不增加保費、或是減少給付項目。由於老年人的醫 療使用量較多，退休後經濟需求也以高齡人口為主，長壽風 險的解決多以老年人為目標，使得高齡死亡率模型格外受到 重視，再搭配創新金融商品（如延壽年金、風險證券化 等），是許多國家解決長壽風險的主要方法之一。 本計畫探討高齡死亡模型，主要分為兩類：關係模型、隨機 模型，比較哪些模型適合用於因應長壽風險，考慮的模型包 括 Gompertz、Coale and Kisker (1990)、Lee and Carter (1992)、Renshaw and Haberman (2006)、Cairns et al. (2006a)以及王信忠與余清祥(2011)提出的模型，其中後者結 合工程上可靠度函數 Weibull 分佈，提出折扣數列比值韋伯 模型（DSW）。本文以實證資料評估模型優劣，使用台灣、日 本、美國三國五齡組及單齡組死亡率資料，除了估計效果的 比較，也以交叉驗證檢驗預測預測結果（短期預測、長期預 測）。分析發現 Lee and Carter 模型有最好的結果，本文提 出的 DSW 模型也不錯，但若死亡率資料為五齡組，則推薦傳 統的 Gompertz 模型。
中文關鍵詞： 長壽風險、高齡死亡模型、交叉驗證、Lee-Carter 模型、折 扣數列
英 文 摘 要 ： Prolonging life expectancy is a common phenomenon in the 21st century and taking care of the elderly becomes a major policy issue in many countries. Longevity risk, or the continuing mortality
improvement, is the key factor of determining if the financial solvency of these policies. Stochastic mortality models are a popular and powerful tool to deal with the longevity risk. Although their short-term predictions are quite satisfactory, they often fail to provide reliable long-term forecasts. In this project, we plan to enhance the age link between age-specific mortality rates in the stochastic mortality models and improve their long-term predictions. Alternatively, we will also try to modify the
relational models (e.g., Gompertz＇s Law), adding stochastic factors, and let the modified models can be used in mortality forecasts.
We consider two types of mortality models for the elderly, which are relational models and stochastic models, and evaluate which model(s) are suitable for dealing with the longevity risk. Mortality models considered in this study include those by Gompertz, Coale and Kisker (1990), Lee and Carter (1992), Renshaw and Haberman (2006), Cairns et al. (2006a) and Wang and Yue (2011). In specific, we propose using the Weibull distribution to predict discount sequence by Wang and Yue, namely DSW. We use the mortality data from Taiwan, Japan, and U.S. to
evaluate these models, via cross-validation. We found that, with respect to estimation and prediction
errors, Lee and Carter model is the best, following by the DSW. Also, if the data is in the 5-age format, the traditional Gompertz model is recommended.
英文關鍵詞： Longevity Risk, Elderly Mortality Models, Lee-Carter Model, Cross Validation, Discount Sequence Model
行政院國家科學委員會補助專題研究計畫期末報告
（計畫名稱）
高齡死亡模型與長壽風險
計畫類別：
□個別型計畫
計畫編號：MOST 103-2410-H-004 -093
執行期間： 103 年 8 月 1 日至 104 年 7 月 31 日
執行機構及系所：國立政治大學統計系
計畫主持人：余清祥
本計畫除繳交成果報告外，另含下列出國報告，共 1 份：
□出席國際學術會議心得報告
處理方式：除列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢
中 華 民 國 104 年 8 月 24 日
高齡死亡模型與長壽風險
Mortality Models for the Elderly and Longevity Risk
摘要
隨著醫藥科技等因素的發展，我國國民平均壽命逐年上升，高齡人口的死 亡率下降尤為明顯，人口老化速度愈發明顯，國人對於退休生活、醫療需求更 形殷切。但壽命增加蘊含不確定性，提高了應對需求的難度，這類型的問題通 稱為長壽風險，對商業保險而言，保險公司可能因壽命延長使得年金提領增加 而造成資金不足，或是醫療保險的給付增加而造成經營危機；社會保險也可能 因為壽命延長而面臨破產的窘境，不得不增加保費、或是減少給付項目。由於 老年人的醫療使用量較多，退休後經濟需求也以高齡人口為主，長壽風險的解 決多以老年人為目標，使得高齡死亡率模型格外受到重視，再搭配創新金融商 品（如延壽年金、風險證券化等），是許多國家解決長壽風險的主要方法之一。 本計畫探討高齡死亡模型，主要分為兩類：關係模型、隨機模型，比較哪 些模型適合用於因應長壽風險，考慮的模型包括 Gompertz、Coale and Kisker (1990)、Lee and Carter (1992)、Renshaw and Haberman (2006)、Cairns et al. (2006a) 以及王信忠與余清祥(2011)提出的模型，其中後者結合工程上可靠度函數Weibull 分佈，提出折扣數列比值韋伯模型（DSW）。本文以實證資料評估模型
優劣，使用台灣、日本、美國三國五齡組及單齡組死亡率資料，除了估計效果 的比較，也以交叉驗證檢驗預測預測結果（短期預測、長期預測）。分析發現 Lee and Carter 模型有最好的結果，本文提出的 DSW 模型也不錯，但若死亡率 資料為五齡組，則推薦傳統的 Gompertz 模型。
ABSTRACT
Prolonging life expectancy is a common phenomenon in the 21st century and taking care of the elderly becomes a major policy issue in many countries. Longevity risk, or the continuing mortality improvement, is the key factor of determining if the financial solvency of these policies. Stochastic mortality models are a popular and powerful tool to deal with the longevity risk. Although their short-term predictions are quite satisfactory, they often fail to provide reliable long-term forecasts. In this project, we plan to enhance the age link between age-specific mortality rates in the stochastic mortality models and improve their long-term predictions. Alternatively, we will also try to modify the relational models (e.g., Gompertz’s Law), adding stochastic factors, and let the modified models can be used in mortality forecasts.
We consider two types of mortality models for the elderly, which are relational models and stochastic models, and evaluate which model(s) are suitable for dealing with the longevity risk. Mortality models considered in this study include those by Gompertz, Coale and Kisker (1990), Lee and Carter (1992), Renshaw and Haberman (2006), Cairns et al. (2006a) and Wang and Yue (2011). In specific, we propose using the Weibull distribution to predict discount sequence by Wang and Yue, namely DSW. We use the mortality data from Taiwan, Japan, and U.S. to evaluate these models, via cross-validation. We found that, with respect to estimation and prediction errors, Lee and Carter model is the best, following by the DSW. Also, if the data is in the 5-age format, the traditional Gompertz model is recommended.
Key Words: Longevity Risk, Elderly Mortality Models, Lee-Carter Model, Cross Validation,
壹、前言
人口老化及少子化是二十一世紀各國的共同趨勢，聯合國的世界人口展望報告 (World Population Prospects: The 2012 Revision) 指出，由於過去數十年總生育率持續下降， 雖然減緩了全球人口的成長速度，但老年人口卻快速增加，預估全球 60 歲以上人口將由 2013 年的 8.4 億人，增加至 2050 年的 20 億人。此外，全球的兩性零歲平均餘命（俗稱 平均壽命）將由 2005-2010 年 69 歲增至 2045-2050 年 76 歲；其中，經濟高度開發地區由 77 歲增至 83 歲，低度開發地區由 67 歲增至 75 歲。臺灣地區在 2012 年兩性平均壽命為 79.5 歲（資料來源：內政部統計處），根據經濟建設委員會（現併入國家發展委員會）的 2012 年人口推估，預期在 2060 年壽命將延長至 80 歲以上，而 65 歲以上人口（或稱老人 人口）比例在 2025 年超過 20%，進入超高齡社會。 表 1、歷年美國女性各年齡層對平均餘命的貢獻 1（單位：%） 年齡層 1850- 1901 1901- 1925 1925- 1950 1950- 1975 1975- 1990 1990- 2009 0 14 32 15 21 10 4 1-14 55 8 16 12 4 2 15-49 25 38 39 20 7 4 50-64 3 13 19 17 20 11 65-79 2 8 11 24 41 37 80+ 0 1 0 6 17 41 加總 100 100 100 100 100 100 註：紅字為貢獻較為顯著的年齡層。 隨著環境衛生改善、醫藥科技等因素的進步，嬰幼兒等年輕族群的死亡改善率已大 幅減緩，未來平均餘命的延長與高年齡層死亡改善有關（Thatcher 1999 ; Vladimir and Robert 2005）。陳寬政（2009）以 2005 年的男、女性年齡別死亡率，以分別降低 0.964％ 與 1.413％的條件，模擬經建會推估之 2055 年與 2015 年的各年齡死亡率，發現 60 歲以 下的死亡率都無變化，且主要變化都集中在 60 歲以上。表 1 為美國女性零歲死亡率改善 對平均餘命貢獻的比例，從 1850-1901 年 14%下降至 1990-2009 年 4%，但是 80 歲以上死
1 表 1 源自於 Vaupel J.W. 2014 美國精算學會(Society of Actuaries)舉辦之 Living to 100 Symposium V 研討會發表
亡率改善對平均餘命貢獻的比例則從 0%上升至 41% (Vaupel 2014)。另外，由日本、美國 及台灣的男、女性的死亡率變化趨勢（圖 1），也顯示出零歲死亡率由原先 1970 年的快速 下降，在 2009 年的下降幅度已逐漸平緩，但高齡死亡率下降並無減緩的趨勢（圖 2）。其 中日本高齡人口的死亡率下降趨勢最為明顯，日本女性在 1970 至 2009 年間，85 歲及 95 歲死亡率大致減半。 圖 1、 零歲死亡率歷年趨勢圖（左：男性、右：女性） Mayhew (2005)指出人口老化會造成勞動力老化、勞工短缺，以及退休期間長、年金 成本升高與稅收減少等問題；另一方面，老年人的醫療利用也高於年輕族群，像是重大 傷病發生率隨年齡而上升（黃泓智等人，2004），預期國人醫療需求將隨人口老化更形殷 切。然而，無論社會保險或商業保險商品，需要依賴可靠的死亡率預測，但目前全民健 保等社會保險及商業保險並並未將死亡率改善列入考量，勢必低估壽命延長的衝擊（或 稱為長壽風險），長期而言會增加國家財務負擔、影響個人的財務規劃，以及造成保險公 司的經營危機。這也是近年許多國家及公司積極投入延壽研究的主因，尤其是建立合宜 的高齡死亡率模型主因，其中高齡死亡模型搭配創新金融商品（如延壽年金、風險證券 化等），是許多國家因應長壽風險的主要方法之一。 根據上述的老年定義，不少已開發國家將退休年齡由 60 歲（例如：日本、法國）、 65 歲（例如：英國、德國）等逐步提高至 62 歲到 67 歲。對照 Sanderson and Scherbov 的 剩餘平均餘命概念，以台灣、日本及美國為例如（表 2），2009 年 65 歲的日本男性、女 性分別相當於 1970 年的 56 歲、54 歲；2009 年 65 歲美國男性、女性則相當於 1970 年的 Year qx 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 0. 0 0. 005 0. 010 0. 015 0. 020 0. 025 0. 030 Age 0 Japan U.S. Taiwan Male Year qx 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 0. 0 0. 005 0. 010 0. 015 0. 020 0. 025 0. 030 Age 0 Japan U.S. Taiwan Female Mortality Rate at Birth :1970-2009
57 歲、60 歲；而 2009 年 65 歲台灣男性、女性則相當於 1970 年 57 歲。隨著死亡率下降， 預期未來的剩餘平均餘命將繼續延長，換言之，退休年齡也應隨之調整，我國近年公務 人員退休制度由 75 制改為 85 制，也可視為根據壽命延長調整的制度。然而，代入剩餘 平均餘命概念調整退休年齡，也需要未來各年齡層人口的死亡率，尤其是高齡人口，因 此探討高齡死亡率模型是本文的研究目標。 圖 2、65 歲、85 歲及 95 歲死亡率歷年趨勢圖（左：男性、右：女性） 表 2、2009 年與 1970 年的年齡對照表 男性（1970 年的年齡） 女性（1970 年的年齡） 2009 年 的年齡 台灣 日本 美國 台灣 日本 美國 55 47 46 47 47 44 50 65 57 56 57 57 54 60 75 66 66 68 67 65 71 85 76 77 81 78 76 82 95 87 88 94 89 87 93 有關高齡死亡率模型的研究，大致區分成兩種：關係模型(Relational Model)及隨機模 型(Stochastic Model)。關係模型假設死亡率等生命函數符合某種函數，每個年度各自找出 該函數的參數，類似統計的參數估計，再以求出的參數描述死亡率的特性及變化，知名 的 Gompertz 模型(Gompertz, 1825)即假設對數死亡率隨年齡而直線增高，其他模型包括： Makeham (1860)、Weilbull (1951)、Heligman and Pollard (1980)等。而隨機死亡率模型較
Year qx 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 0. 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 Age 65 Age 85 Age 95 Japan U.S. Taiwan Male Year qx 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 0. 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 Age 65 Age 85 Age 95 Japan U.S. Taiwan Female
為強調死亡率與時間（年代）、世代的關連，由各年齡死亡率找出共同變化趨勢，像是 Lee-Carter 模型 (Lee and Carter, 1992)假設各年齡的對數死亡率隨時間線性下降， Renshaw and Haberman (2006)、CBD model (Cairns et al., 2006a)也是常見隨機模型。
因為早期的死亡率研究大多描述年齡與死亡率的關係，傳統上以關係模型為主，但 近年研究著重於死亡率推估，加入時間變化的隨機模型較受歡迎，兩者各有所長。但是 否表示關係模型不適用於死亡率預測？這也是本文的探討焦點之一。除外，本文延續王 信忠、余清祥(2011)的規律則扣數列模型，提出新的死亡率推估方法，並與了上述兩類死 亡模型比較。本文編排如下：第二節介紹本文探討的各種高齡死亡率模型；第三節為實 證資料分析與模型配適並介紹以平均絕對誤差 (Mean Absolute Percentage Error, MAPE) 及貝氏訊息準則 (Bayesian Information Criterion, BIC) 做為模型配適的判斷標準；第四節 則進行模型預測比較；第五節則為結論與建議，提出研究心得與後續研究的可能方向。
貳、文獻探討與研究方法
死亡率模型是否能捕捉死亡率的特性，也取決於資料品質、資料量等因素，高齡死亡 率尤其如此，80 歲以上人口的資料在 1980 年代之前非常缺乏，近二十多年才有較為可信 且充足的高齡資料，這也是高齡死亡模型進展較慢的原因之一。以台灣為例，即使擁有 較為可信的戶籍登記制度，但最高年齡組的紀錄在 1950 年代僅至 70 歲，1980 年代提高 至 85 歲、到 1990 年代才增至 100 歲及以上（記為 100+）。換言之，如果探討台灣高高齡 （85 歲以上）人口的死亡率，頂多只有三十年左右的資料，其中 100+的資料更只有十餘 年。但即便有完整及可信的資料，高齡人口常因人數較少，死亡率較易呈現不規則震盪 的，因此年齡越高、死亡率震盪程度越大。 受限於資料量及資料品質，早期大多假設高齡死亡率服從某種函數，廣為人知的 Gompertz（1825）模型是知名範例之一，假設瞬間死亡率隨年齡呈現指數成長，稍後將 提供更完整的介紹。這類型的死亡模型可稱為關係模型，大多以每一年度的年齡別死亡 率估計模型參數，不會受到資料年數不足的影響，且可用於編算生命表的高齡死亡率等， 至今使用依舊頻繁，我國生命表即假設高齡死亡率滿足 Gompertz 模型。Coale-Kisker 模 型（Coale and Kisker, 1990）是另一個常見的關係模型，假設 85 歲以上死亡改變率的增幅隨年齡而線性下降，這個模型可視為 Gompertz 模型的推廣，底下會有較詳細的介紹。 其他常見的關係模型還有英國精算學會（Continuous Mortality Investigation Bureau, CMIB; 1999）的縮減因子（Reduction Factor） 模型，用於英國 60 歲以上公務人員；以及王信 忠、余清祥（2011）折扣數列（Discount Sequence）模型等。
隨機模型因為資料品質、資料累積等的進步而受到注意，其特點為代入所有年度及年齡 的死亡資料，同時求出所有參數的估計值，這與使用單一年度資料的關係模型不同。促 成隨機模型盛行的另一因素是電腦的進步，因為代入所有資料需仰賴矩陣之類的高維度 計算，以人工計算並不實際，知名 Lee-Carter 模型（Lee and Carter, 1992）的參數求解可 做為代表，通常透過奇異值分解法 （Singular Value Decomposition），其原理類似矩陣裡 的特徵值（Eigenvalue）。如果在年齡、時間（或年代）之外再加上世代效應，像是 RH 模型（Renshaw and Haberman, 2006），其參數求解過程就更為複雜，大多藉由遞迴（Iteration） 反覆計算，但其中牽涉非線性數值優化（Non-linear Optimization），不見得能保證估計值 的穩定性，這也是近年隨機模型進展減緩的主因之一。
以下先介紹本文探討的幾個關係模型，接著再介紹常見的隨機模型。首先我們將推廣王 信忠、余清祥（2011）的折扣數列模型，透過韋伯分配（Weibull Distribution），推估未來 死亡率：
一、折扣數列韋伯模型（Discount Sequence Ratio with Weibull，簡稱 DSW 模型） 王信忠、余清祥的規律折扣數列模型，引進吃角子老虎問題 （Bandit Problem） 規 律折扣數列的概念，其想法是在累積更多資訊與獲得立即獎勵 （Information vs. Immediate Payoff）中取得平衡。折扣數列用於死亡率時如同存活函數，具有漸增失敗率（Increasing Failure Rate）的特性，折扣數列若具有規律性，尋找最佳化策略會比較容易。首先定義 折扣數列比值 （以下簡稱 DS，Discount Sequence）： ) ( ) ( ) ( 1 t p t p t r x x x + = ， (1) 其中 ) ( ) ( ) ( 1 t l t l t p x x x + = 為 x 歲在第t年之存活機率。 折扣數列比值可藉由參數函數或無母數方法求取參數。以台灣 1970-2009 年男、女 性歷年折扣數列比值為例（圖 3），發現數值具有收斂現象 (其他國家也類似)，建議以
Weibull 函數配適折扣數列比值2 = ) (t
rx exp(−(x/b(t))a(t))， (2) 其中，a(t)為形狀參數（Shape Parameter ），b(t)為尺度參數（Scale Parameter）。
圖 3、折扣數列比值曲線圖
為了計算存活機率p ，以兩個步驟方式求解。首先，因為x ln
(
−ln(rx(t)))
為 x 的線性函 數，可以使用加權最小平方法（Weighted Least Squares, WLS）求得a(t)與 b(t)的參數估 計值及rˆ tx( )。接著，使用非線性極值（Nonlinear Maximization, NM）及統計軟體 R 中的“nlminb” (a local minimizer for smooth nonlinear functions subject to bound-constrained parameters) 函數，藉由最小化式（3）求得存活機率起始值pˆ tx( )。
(
)
∑
+ − − x x x x x t Px w p t p t r t 2 1 ) ( ˆ ln( ( ) ln(ˆ ( )) ln(ˆ ( )) min ， (3) 其中w 為x x 歲的死亡人數。再由 ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ 1 t p t p t r x x x + = 計算得到所有年齡層的存活機率pˆy， , 2 , 1 + + =x x y 。另外，如果折扣數列具有規律性，即滿足px+1(t)≤ px(t)，則式（3）才2 韋伯分配（Weibull Distribution）是可靠度分析（Reliability Analysis）的常見模型，用以描述金屬等材質隨時間
退化的現象。 age D is c ount S equenc e R at io 0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1. 0 1. 1 Male Year 1970 Year 1980 Year 1990 Year 2000 Year 2009 age D is c ount S equenc e R at io 0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1. 0 1. 1 Female Year 1970 Year 1980 Year 1990 Year 2000 Year 2009
能求得較佳的起始估計值。 二、Gompertz 模型 Gompertz（1825）根據 19 世紀介於 20 至 60 歲成年人的死亡率資料，發現死力會隨 著年齡呈現指數上升。其假設瞬間死亡率滿足年齡函數，如下式： 1 , 0 , > > =BCx B C x
µ
， (4)其中µx為瞬間死亡率 （Instaneous Mortality Rate）或死力（Force of Mortality），B、C 為 Gompertz 假設參數，x 代表年齡。Gompertz 模型的參數求解方法選擇較多，NM 及 WLS 都是選項之一，細節可參考 Yue（2002）的介紹。
三、Coale-Kisker 模型（以下簡稱 CK 模型）
Coale and Kisker（1990）提出類似 Gompertz 的高齡死亡模型，假設x 歲的死亡改變 率kx=lnmx−lnmx−1服從某種函數，其中m 為 x 歲的中央死亡率（Central Death Rates）x 。
CK 模型有兩個基本假設： 1. 85 歲以上死亡改變率的增幅度隨年齡而線性下降， kx=k85+(x−85)⋅s， (5) 其中 s 代表k 變化的斜率。 x 2. 110 歲人口的中央死亡率是固定值，並不隨時間而改變，男、女性的m110數值 分別為 1.0 與 0.8。 根據第 1 個假設可以求得各年齡中央死亡率為: ) ) 85 ( ( exp( 85 85 84
∑
= ⋅ − + = x y x m k y s m ， (6) Wilmoth (1995)將式（6）改為: ) 2 ) 85 )( 84 ( ) 84 exp(( 85 84 s x x k x m mx − − + − = ， (7) 取對數可得2 85 84 2 ) 85 )( 84 ( ) 84 ( ) ln( ) ln(mx = m + x− k + x− x− s=A+Bx+Cx ， (8) 再以 WLS 即可求出參數值。 四、Lee-Carter 模型（以下簡稱 LC 模型）
Lee and Carter（1992）年提出預測美國、日本死亡率變動的模型:
t x t x x t x m ,) , ln( =β +β κ +ε ， (9) 其中qx,t =1−exp(−mx,t)為 x 歲第 t 年的死亡率， t x t x t x E D m , , , = 為 x 歲第 t 年的中央死亡率， x β 為年齡組死亡率的平均曲線，β 為年齡組之相對死亡率變化速度，x κ 是 t 年之死亡率t 強度，ε 是誤差項。Brouhns et al.（2002）修正原始的 LC 模型，假設死亡人數x,t Dx,t服從 Poisson分佈，即假設 Dx,t ~Poisson(Ex,tµx(t))，µx(t)=exp(βx +βxκt)。 (10)
五、Renshaw and Haberman 三因子模型（以下簡稱 RH 模型）
Renshaw and Haberman（2006）提出的廣義 Lee-Carter 模型加入世代效應（Cohort Effect）因子，並以英格蘭和美國的男性死亡資料做實證，得到比 Lee-Carter 模型較小的 BIC （Bayes Information Criterion），但其有過度配適及缺乏穩健性的問題。其模型如下：
log(mx,t)=βx(1) +βx(2)κt(2) +βx(3)gc(3) +ε*x,t， (11) 其中
∑
(2) =0 t t κ ，∑
(2) =1 x x β ， 0 , ) 3 ( =∑
− t x x t g ，∑
(3) =0 x x β ； (1) x β 為年齡組死亡率的平均曲線， ) 2 ( x β 、 (3) x β 為年齡組之相對死亡率變化速度， (2) t κ 是 t 年之死亡率強度， (3) c g 是 c 世代之死 亡率強度， * ,t x ε 是誤差項。 六、CBD 隨機死亡率模型（以下簡稱 CBD 模型）t x II t I t t x x x e q it( , ) ( ) , log =κ +κ − + ， (12) 其中 ) 1 ln( ) ( log , , , t x t x t x q q q it − = ，qx,t =1−exp(−mx,t)， t x t x t x E D m , , , = ；假設死亡人數服從具有平 均數Ex,t⋅mx,t的Poisson分配，即Dx,t ~Poisoon(Ex,tmx,t)。 x 代表採用資料範圍年齡的平均 數，mx,t代表在年代 t, x 年齡組人口的中央死亡率，Dx,t為 x 歲年齡組在年代 t 的死亡人 數，Ex,t為 x 歲年齡組在年代 t 的生存人數。CBD 模型假設第一個參數 I t κ 對所有年齡的 死亡率皆有影響，第二個參數 II t κ 對於高齡死亡率的影響幅度會高於低年齡層所受的影響； 而且 I t κ 、 II t κ 為時期效應（Period Effect），其中 I t κ 為死亡率水準（Level of Mortality）， II t κ 為斜率（Slope Coefficient），ex,t為 x 歲年齡組在年代 t 的隨機誤差。 本文的 LC 、RH 與 CBD 模型，參數估計參考 Cairns et al.（2006b）的最大概似估計 法（Maximum Likelihood Estimation；簡稱 MLE），或是參考 Brillinger（1986）及 Haberman and Renshaw（2009）的遞迴方式來估計參數。而 Gompertz 與 CK 模型參數估計，則利用 生 存 人 數 或 死 亡 人 數 加 權 最 小 平 方 法 （ WLS ） 方 法 ， 五 齡 組 死 亡 機 率 公 式 採 用 t x t x t x m m q , , , 5 5 2 5 2 × + × × = 。 我們將在下節進行實證分析，為了比較 DSW 模型與其他模型的配適能力，以 MAPE(Mean Absolute Percentage Error)作為模型優劣的比較基準，定義如下：
% 100 ˆ 1 1 × − =
∑
= n i i i i Y Y Y n MAPE ， (13)其中Y 為觀察值、i Yˆ 為估計值。根據 Lewis (1982) 依 MAPE 的預測能力分級，以 20%i 為良好、50%為合理預測界限，詳細分級參照表 3。
表 3、MAPE 預測能力分級（Lewis, 1982）
MAPE <10% 10%~20% 20%~50% >50% 預測能力 高精確度 良好 合理 不正確
另外，由於 MAPE 有對稱性問題（Lack of Symmetry），本文也搭配 AIC （Akaike Information Criterion）和 BIC（Bayes Information Criterion）兩種指標綜合檢驗模型的配適 能力。AIC 公式中加入了參數個數，以修正多餘參數的造成的影響；BIC 公式中則同時加 入了參數個數、觀察值個數，以抵銷觀察值個數的影響；兩者皆為值愈小、模型配適能 力愈佳。AIC 與 BIC 的定義如下： AIC=-2log(L)+2k BIC=-2log(L)+klog(n) 其中 L 為最大概似估計量，k 為模型中參數個數，n 為觀察值個數。
參、 實證模擬
本文的實證分析使用美國加州大學柏克萊分校（University of California, Berkeley）的 死亡資料庫（Human Mortality Database, HMD），挑選台灣、日本、美國三國的男女兩性
五齡組及單齡資料，因為本文以高齡為研究目標，五齡組為 60-64 ~ 94-99 歲（八組），單 齡為 60-99 歲（40 組）與 85-99 歲（20 組）死亡率資料。本文以交叉驗證（Cross-validation） 評估模型優劣，資料分成估計（Training）及預測（Testing）兩部分，為了測試資料區間 對結果的影響，分為三組不同時期的資料：1970~2009 年、1980~2009 年及 1990~2009 年， 共有 108 種情況。 我們先說明折扣數列模型的分析方式，圖 4 為台灣、日本及美國 60 歲以上五齡組的 折扣數列比值盒形圖(Boxplot)，明顯比值小於 1（或是px+1(t)≤ px(t)），滿足規律性的要 求。然而單齡資料不少違反規律性的要求（參考附錄圖 1），亦即折扣數列比值大於 1， 其中以台灣居多，因此模型估計結果較差，表 4 為 DSW 在五齡組及單齡資料的 MAPE
值，台灣男女兩性的 60-99 歲的單齡結果最差，其他狀況的 MAPE 平均在 10%以下，美 國的 MAPE 平均不到 5%，其中又以高高齡組（85~99 歲）者最佳。換言之，當折扣數列 比值小於 1 時，使用規律折扣數列模型確實能捕捉高齡死亡率的變化。其他模型的估計 方法參考第二節的說明。 圖 4、五齡組折扣數列比值盒形圖（1970、1980、1990、2000、2009 年） 接著以 1970-2009 年資料為代表，示範各種模型的比較，其中為了便於說明各模型的 估計結果，我們以 2007-2009 年的三年平均死亡率對數值為對象，比較死亡率及各模型估 計值的差異（台灣的結果參考圖 5）。台灣男性、女性五齡組的死亡率估計，所有模型的 估計值與觀察值都很接近，又以 Gompertz、RH 及 CBD 模型的配適效果好；日本及美國 的五齡組結果大致類似，只有 CBD 模型明顯異於其他模型，估計值與觀察值差異很大。 因為模型參數愈多、估計誤差通常較小，以下進一步計算 AIC 及 BIC 等數值，將參數個 數列入比較考量，評估這幾個模型的優劣。 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1. 0 1970 1980 1990 2000 2009 year di s c ount s equenc e rat io Taiwan Male 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1. 0 1970 1980 1990 2000 2009 year di s c ount s equenc e rat io Taiwan Female 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1. 0 1970 1980 1990 2000 2009 year di s c ount s equenc e rat io Japan Male 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1. 0 1970 1980 1990 2000 2009 year di s c ount s equenc e r at io Japan Female 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1. 0 1970 1980 1990 2000 2009 year di s c ount s equenc e r at io U.S. Male 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1. 0 1970 1980 1990 2000 2009 year di s c ount s equenc e r at io U.S. Female The Ratios Comparison of Taiwan, Japan and U.S. 5 Age Group 60-99 years
表 4、DSW 在台灣、日本、美國的模型估計誤差（MAPE） MAPE(%) 配適期間 台灣 日本 美國 男 女 男 女 男 女 五齡組 (年齡 60~99 歲) 1970-2009 6.2 6.6 14.0 12.3 6.0 4.9 1980-2009 7.1 6.9 12.4 12.1 6.8 4.6 1990-2009 7.5 7.4 10.3 7.8 7.9 4.8 單齡 (年齡 60~99 歲) 1970-2009 40.3 58.4 8.9 12.2 6.4 6.5 1980-2009 44.4 64.3 7.2 12.0 4.0 4.6 1990-2009 40.7 57.2 6.8 8.7 3.5 5.3 單齡 (年齡 85~99 歲) 1970-2009 7.3 7.5 3.3 2.6 1.3 1.0 1980-2009 8.8 9.1 2.4 2.2 1.0 0.9 1990-2009 9.3 9.7 1.9 1.4 1.0 0.8 註：數字加底色者為模型配適較差。 圖 5、台灣 2007-2009 年五齡組死亡率對數值的估計（左、右圖為男、女性) age 60-99 log( qx ) 60 65 70 75 80 85 90 95 -2 .5 -1 .5 -0 .5 Taiwan Male (2007-2009) Observed Data Gompertz CK DSW age 60-99 log( qx ) 60 65 70 75 80 85 90 95 -2 .5 -1 .5 -0 .5 Taiwan Male(2007-2009) Observed Data LC RH CBD age 60-99 log( qx ) 60 65 70 75 80 85 90 95 -3 .5 -2 .5 -1 .5 -0 .5 Taiwan Female (2007-2009) Observed Data Gompertz CK DSW age 60-99 log( qx ) 60 65 70 75 80 85 90 95 -3 .5 -2 .5 -1 .5 -0 .5 Taiwan Female(2007-2009) Observed Data LC RH CBD
表 5、1970-2009 年五齡組各模型的 BIC 值比較 模型 台灣 日本 美國 男性 女性 男性 女性 男性 女性 Gompertz -645 -822 -1162 -1182 -1338 -1318 CK -466 -548 -268 -410 -1421 -1661 DSW -1208 -1418 -887 -1221 -406 -616 LC -757 -1020 -805 -961 -932 -1276 RH -581 -640 -474 -652 -655 -737 CBD -228 -390 284 189 262 173 註：數字加黃色底色的結果最佳、綠色次之、藍色第三。
接著我們分別以 BIC、AIC 及 MAPE 綜合評斷模型優劣，各模型的 BIC 數值參考表 5。大致而言，若以 MAPE 為評斷依據，Gompertz、LC、RH 模型的效果較佳；若以加入 參數個數的 AIC 及加入觀察值個數的 BIC 為依據，則是 Gompertz、DSW、LC 三個模型 較佳。我們將各種資料期間、年齡格式的結果整理為表 6，列出各種狀況下前三名模型， 模型的各種評斷標準的數值。
因為模型優劣與資料類型（期間、年齡格式）有關，並無模型在所有狀況都居於絕 對優勢，在此套用統計學習理論(Statistical Learning Theory)的投票(Voting)作法，計算各 模型名列前三名的次數。平均而言，各種模型表 6 中至多出現 54 次；換個角度思考，因 為總共有 6 種模型，只要在表 6 出現次數超大於 27 次就是超乎預期，亦即模型的估計效 果較佳。以這個角度思考（參考表 7），計算各模型前三名的總次數超過 27 者分別為 LC、 DSW、RH 這三個模型，其中 LC 模型在高齡組表現都不錯，只有近年的高高齡單齡結果 稍差；DSW 模型在五齡組較佳，但在台灣的單齡資料中不盡理想；RH 模型則是在單齡 的結果特別突出，但在五齡組的表現平平。進一步比較三個關係模型（Gompertz, CK, DSW）、三個隨機模型（LC, RH, CBD），發現兩種類型的前三名次數大致相當（關係模 型 80 次 vs. 隨機模型 82 次），亦即以估計的角度，關係模型和隨機模型並無明顯的優劣， 建議讀者可依據個人偏好、實際狀況挑選合乎需求的模型。
表 6、不同年齡組、資料時間的推薦模型（以 BIC 為指標） 年齡 組 資料 期間 優 先 順 序 台灣 日本 美國 男性 女性 男性 女性 男性 女性 五齡 組 (60-99 歲) 1970 -2009 1 DSW DSW G DSW CK CK 2 LC LC DSW G G G 3 G G LC LC LC LC 1980 -2009 1 DSW DSW DSW DSW DSW DSW 2 G LC G G G G 3 LC G LC LC LC LC 1990 -2009 1 G DSW G LC DSW DSW 2 DSW LC DSW DSW LC LC 3 LC G LC G G G 單齡 (60-99 歲) 1970 -2009 1 RH RH RH RH RH RH 2 CK CK LC DSW LC DSW 3 LC LC DSW LC CBD CBD 1980 -2009 1 RH RH RH RH RH DSW 2 CK CK LC DSW DSW RH 3 LC LC DSW LC LC LC 1990 -2009 1 RH RH RH RH RH DSW 2 CBD LC LC DSW DSW RH 3 LC CK DSW LC LC LC 單齡 (85-99 歲) 1970 -2009 1 RH RH RH RH RH RH 2 G LC CK CK CK CK 3 CBD CK LC CBD DSW DSW 1980 -2009 1 G CBD RH RH RH RH 2 CK CK CK CK DSW DSW 3 RH RH LC CBD CK CK 1990 -2009 1 CBD CBD CK CK RH DSW 2 CK CK RH DSW DSW CK 3 G G LC RH CK RH 註：加底色者為 DSW 模型；Gompertz 模型以符號 G 表示。 以 1970~2009 年、1980~2009 年及 1990~2009 年不同資料期間比較模型，除了發現兩 類模型在估計不分軒輊，也發現模型效果的確與資料的年齡格式有關，修正模型在單齡
資料明顯優於原始模型。例如：CK 模型可視為 Gompertz 模型的推廣，在高齡組及高高 齡的單齡都有改善（表 7），但有趣的是高齡五齡組反而較差；RH 模型為 LC 模型的進階 版（加入世代效應），在高齡組的單齡資料確實有明顯改善，但高高齡沒有多少差異，甚 至在高齡五齡組效果較差。整體而言，修正者未必優於原始模型，LC 模型仍舊是所有模 型中最佳者，只有在高高齡單齡資料中較差。 表 7、各模型在 BIC 為指標的前三名次數 模型 五齡組 單齡 （高齡） 單齡 （高高齡） 各模型 總數 DSW 16 11 7 34 LC 18 17 4 39 Gompertz 18 0 4 22 CK 2 5 17 24 RH 0 18 16 34 CBD 0 3 6 9 各年齡總數 54 54 54 162 除了估計結果的比較外，下一節將繼續比較模型的預測，但限於篇幅，原則上預測 以本節較佳的模型為代表。其中，RH 模型中的世代效應有別於年代（或時間）效應，通 常不是時間的線性函數或是簡單的多項函數，實務上多半只在估計時加入世代效應，預 測時只考慮年代效應 3，因此隨機模型僅討論 LC 和 CBD 模型。關係模型的著眼點也類 似，因為 Gompertz 和 CK 模型的參數，也不是時間的簡單函數，以電腦模擬方法（例如： 區塊拔靴法）也未必有效果，以下的關係模型將僅考量 DS 模型。
肆、模型預測比較
本節延續前述的模型比較，探討高齡死亡率模型的預測特性，套用實證資料與交叉 驗證（Cross-validation），將資料分成測試期（Training Period）與驗證期（Testing Period）， 先以測試期資料找出各模型的參數，再預測在驗證期的死亡率，並與驗證期的實際資料 比對預測誤差。上述方法或稱為 Backcast，可譯為後見預測、或是事後預測，因為未來結3 Renshaw and Haberman (2006) 以 RH 模型預測英格蘭和美國的男性死亡率，發現有過度配適及缺乏穩健性的
果不能預知，只能假設我們回到五年前（或十年前），以歷史資料預測過去這五年。不過， 因為中長期事後預測的誤差較大（王信忠等人，2012），本研究僅考量五年的短期預測， 基底年數（Baseline Year）則統一訂為十年，換言之，我們以過去十年的資料預測未來五 年的死亡率4。另外，為避免推估年度的影響，在此也變動資料年度，類似 Moving Window 的作法，計算所有預測誤差的平均值。 舉例而言，本研究考量台灣、日本、美國三個國家男性與女性的60-99歲年齡的死亡 率，資料時間為1970～2009年。例如：我們以1970～1979年（十年）資料配適模型，再 預測1980～1984年（五年）的死亡率；相同步驟也用於（測試期、驗證期）分別為（1971~1980 年、1981~1985年）、…、（1995~2004年、2005~2009年），如此共有26種組合。接著計算 所有組合的預測誤差之平均，作為評估模型優劣的依據。 如前一節所述，本節只考量LC、CBD、DS三個模型的預測結果。其中LC模型與CBD 模型，除了採用的時間數列方法（ARIMA）外，本研究仿造王信忠等人的作法（2012）， 採用類似隨機模型的區塊拔靴法，以電腦模擬推估出未來數值。DS模型使用兩種預測方 法：一是透過LC模型及ARIMA方法求出60歲死亡率的預測值qˆ60(t)，再以1000次區塊拔 靴法模擬未來60歲至99歲高齡存活機率的比值 ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ 1 t P t P t r x x x + = ，兩者相乘即可得出各年齡死 亡 率 的 預 測 值 qˆ tx( ) ； 另 一 種 是 透 過 中 央 死 亡 率 分 解 成 兩 個 函 數 的 乘 積 ， 即 ) ( ) ( ) (t h t r t mx = x × x ，分別以區塊拔靴法推估未來的hˆ tx( )及rˆ tx( )。以下是這些預測方法的 整理： Model DS1：以 LC 模型推估 60 歲死亡率qˆ60(t)，再以區塊拔靴法模擬 1000 次存活機 率的比值，取中位數作為rx(t)的預測值。 Model DS2：以區塊拔靴法模擬 1000 次hx(t)及rx(t)，取中位數為預測值。 4 十年或其他年數的事後預測的作法類似，限於篇幅，在此僅展示五年的死亡率預測。
Model LC1：以 ARIMA 推估 1000 次參數κ ，取其中位數作為預測值。 t Model LC2：採用區塊拔靴法1000次模擬推估參數κ 預測值，取中位數當作預測值。 t Model CBD1：以ARIMA推估1000次參數 I t κ 、 II t κ ，取其中位數作為預測值。 Model CBD2：採用區塊拔靴法1000次模擬推估參數 I t κ 、 II t κ ，取兩者的中位數為預 測值。 因為各國男女兩性各有 26 個事後預測的 MAPE 誤差值，為簡化討論，在此只列出 預測誤差的平均數（表 8），詳細結果列於附表 6 至附表 8。雖然 LC1 模型有最小的平均 預測誤差，而且在六種國家及性別的組合中有兩次最佳，但各模型的預測誤差並無明顯 差異，單以誤差數值的平均判斷模型未必合適，我們仿造前一節的作法，也以各模型佔 六種模型前三名的總次數為評估依據（表 9）。前三名總次數的結果大致與平均 MAPE 誤 差的結果類似，MAPE 較小的 LC1、LC2、DS2 模型，前三名的總次數也較多，而 LC1 模型以 MAPE 平均數、前三名總次數都是最佳。 表 8、各模型五年預測誤差 MAPE（單位%） 模型 台灣 日 本 美國 平均 男性 女性 男性 男性 女性 男性 DS1 9.9 8.9 5.2 5.2 3.7 4.3 6.2 DS2 8.3 7.4 4.7 5.0 3.4 4.1 5.5 LC1 8.3 7.3 4.3 4.3 3.5 4.0 5.3 LC2 9.2 7.5 4.6 4.1 3.5 4.5 5.6 CBD1 8.0 7.4 5.2 7.2 3.8 6.4 6.3 CBD2 8.3 6.7 5.1 7.1 4.2 7.0 6.4 註：數字加底色者為模型預測最佳者。 我們也嘗試了十年前的短期預測，同樣採用上述的事後預測，根據十年資料預測未 來十年，結果也和五年預測類似，平均 MAPE 預測誤差都小於 10%，屬於高精確性等級 的預測，而且 LC1 模型是六個模型中最佳者，限於篇幅在此不詳細說明。雖然過去有研 究指出 LC 模型套用於所有年齡層的死亡率估計及預測時，可能在幼齡或高齡產生較大的
誤差，但綜合本節的事後預測、上一節的模型估計，若 LC 模型只用於高齡死亡率，其結 果仍是各模型最佳。推測原因，可能是高齡死亡率的特性及趨勢變化較為一致，亦即死 亡率特性較為均質（Homogeneous），用於描述台灣、日本、美國 60~99 歲高齡死亡率有 不錯的效果。不過，由表 8 五年預測誤差的數值，我們認為本文考量的三種預測模型的 準確率都很高，如同上節的估計，關係模型及隨機模型都適用於高齡死亡率的短期預測。 表 9、各模型的為預測前三名的總次數 模型 台灣 日 本 美國 總次數 男性 女性 男性 男性 女性 男性 DS1 5 2 7 14 11 14 53 DS2 11 13 13 16 17 18 88 LC1 17 13 18 19 19 23 109 LC2 8 13 18 25 18 20 102 CBD1 17 15 12 5 8 3 60 CBD2 19 22 10 0 4 0 55 註：數字加底色者為模型預測最佳者。
伍、結論與建議
壽命延長是二十一世紀的共同趨勢，預期近期內將延續過去趨勢，平均每年增加約 1/4 歲的壽命，若以 Sanderson and Scherbov（2008）的剩餘平均餘命衡量也是，比較日本、美國與台灣的剩餘 5 年及 10 年平均餘命之特定年齡（圖 6），我國與日本均持續上升，美 國女性有些微減緩的現象。剩餘平均餘命與退休年齡有關，1970 年 57 歲的台灣男性等同 於 2009 年的 65 歲（表 2），如果未來退休年齡不變，因為預計會繼續壽命延長，必須有 更多準備才能因應退休後的需求。換言之，壽命延長同時衝擊個人及社會，造成勞動力 不足、影響社會資源分配等問題，現在應全面檢討當前的政策與規定（包括退休年齡相 關規定），避免人口老化對全民形成重大負擔。 近年我國政府也推出幾項新政策以因應延壽風險，包括勞退新制、公務人員退撫新 制、以及籌辦中的長期照護保險等，但這些措施都需要估算未來的死亡率及平均餘命（尤
其是高齡者），確保這些制度的財務自主、以及符合民眾的實際需求。本研究研究高齡死 亡模型，希冀研究結果可作為政策參考，本文主要探討兩種死亡模型：關係模型、隨機 模型，以實證分析評估兩種模型的優劣，其中關係模型包括 Gompertz、Coale and Kisker （1990）以及王信忠與余清祥（2011）三個模型，隨機模型則有 Lee and Carter (1992)、 Renshaw and Haberman (2006)、Cairns et al. (2006a) 三個模型。
圖 6、剩餘 5 年及 10 年平均餘命之特定年齡比較 本文比較關係模型與隨機模型的六種模型，雖然近年隨機模型受到較多的注意，但 本文分析台灣、日本、美國資料，以估計的角度而言，無論依據估計 MAPE、或是加入 參數個數（及觀察值個數）的 AIC 及 BIC，發現關係模型毫不遜色，在估計死亡率依舊 具有一定優勢。以預測的角度衡量，關係模型也很有競爭力，比較台灣、日本、美國的 五年及十年的短期事後預測（Backcast），雖然折扣數列模型的誤差略遜 LC 模型一籌，也 與隨機模型非常接近，同屬於 Lewis （1982）的高精確性等級。因為關係模型操作較為 簡單，且其參數的詮釋能力也較強，若能兼顧估計方法（Yue, 2002），建議讀者仍可將關 係模型列入考量，根據各國國情、以及問題需要等因素，在這兩類模型中做出合宜的選 擇。 Year A ge 1947 1955 1963 1971 1979 1987 1995 2003 65 70 75 80 85 90 95 Remaining 5 years Remaining 10 years Male Japan U.S. Taiwan Year A ge 1947 1955 1963 1971 1979 1987 1995 2003 65 70 75 80 85 90 95 Remaining 5 years Remaining 10 years Female Japan U.S. Taiwan
本文各模型的預測比較，因考量的國家、年齡、時間等因素較繁雜，僅以短期預測 （五年及十年）為目標，未來可考量高齡死亡記錄更完整的國家，例如：英國、冰島有 超過 80 年以上的百歲資料，瑞典、法國甚至有 100 年以上的高齡死亡記錄 5，如此便可 進行中長期的 Backcast。有了更長時期的資料，我們可依據不同資料區間及年齡層探討模 型的穩健度，更全面性的比較關係模型及隨機模型，除了以誤差比較死亡率外，也可探 索模型參數代表的意義，比較兩種模型參數的變化，以不同角度詮釋高齡死亡率的趨勢。 無論是本文考量的關係模型及隨機模型，或是其他常見的模型，許多研究和我們都認為 死亡率會繼續下降，壽命極有可能會延續近年的趨勢，人口老化勢必加重國家的負擔， 現行許多觀念及制度必須因時制宜，搭配本文探討的高齡死亡模型才能顯出成效。除了 上述提到的延後退休年齡的可行性，包括賦稅等的配套措施，或許國人對於生涯規劃、 老年定義等的議題需要重新思考，以因應少子化及社會變遷對家庭及個人造成的衝擊。 例如：過去平均受教育年數約 12 年（高中、高職畢業），亦即在 20 歲前後進入職場，若 在 60 歲退休、且平均壽命 70 歲，等同於以一生工作 40 年支持 70 年的生活支出；若平 均壽命為 80 歲，且假設和過去生產力相當，則現代人一生需工作大約 45 年，何時退休 也根據進入職場年齡、薪資所得、個人生活需求等因素調整。
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國科會補助專題研究計畫出席國際學術會議心得報告
2014 年 10 月 25 日 計畫編號 MOST 103-2410-H-004 -093 計畫名稱 高齡死亡模型與長壽風險 報告人姓 名 余 清 祥 服務機構 及職稱 國立政治大學統計系 會議時間 2014 年 10 月 24 日至 26 日 會議地點 中國山西太原市 會議 名稱 (中文)第二屆世界老人學及老人醫學會議(英文) BIT's 2nd Annual World Congress of Geriatrics and Gerontology 發表
論文 題目
(中文)壽命、死亡模型與死亡壓縮
(英文) Life Expectancy, Mortality Laws, and Mortality Compression
報告內容應包括下列各項： 一、參加會議經過 二、與會心得 三、考察參觀活動(無是項活動者省略) 四、建議 五、攜回資料名稱及內容 六、其他
2014 年
第二屆世界老人學及老人醫學會議參加心得
政治大學統計系余清祥 這次是第一次參加世界老人學及老人醫學會議(BIT's Annual World Congress of Geriatrics and Gerontology)。因為二十一世紀的全球人口特徵之一是老化，愈來愈 多國家及團體、組織投入老人相關研究，因此今年世界老人學及老人醫學會議舉辦 才是第二屆（去年首度在中國大連市舉行），參加成員已遍及全球各地，吸引了許 多研究亞洲及開發中國家人口老化的學者，明年預計在臺灣高雄市，持續各界在壽 命延長的研究心得交流。10 月 24~26 日的三天會議皆在太原市的煤礦交易中心 (Coal Transaction Center)，與全球健康研討會同步舉行(Global Health Conference)， 參與會議的代表來自各大洲，照例以地主國家的代表最多，臺灣也有近十位學者及 醫護人員，參與領域相當多元。 印象裡太原以產煤礦著稱，山西又位處內陸，因為有過度開發的傾向，加上附 近有不少車輛、工廠，空氣據說不是很好。果然一抵達太原市，就發現有空氣污染 的問題，即使是大白天，天空彷彿籠罩在一個灰色的薄膜之下，與會外學者也頗有 同感，即使污染嚴重的北京市也沒有這麼嚴重，經常感覺呼吸不順暢。或許因為近 年中國經濟的快速崛起，民眾大多仍著眼於改善經濟生活，對於環境及衛生不甚關 心，許多路口不但沒有紅綠燈可供參考，即使有燈號，過馬路時還得左顧右盼，提 防腳踏車和電動機車的突襲；另外，不少道路正在拓寬及改建，塵土漫天自是可期 待，但建材廢棄物及垃圾到處都是，就不敢領教了。 由機場（下午四點左右）到住宿飯店搭乘巴士，想要體會太原市的居民生活， 不巧趕上接近下班的車潮，見識了人口迅速增加的都會膨脹，雖然距離機場不遠（回 程學乖搭計程車），感覺像是到了東南亞等開發中國家。不過，經濟進步在會場的 規模上可看出正面成效，會議在山西煤礦交易中心，本身是一個接近圓形的建築， 佔地面積相當寬闊，足可容納兩三萬人，不過進去會場還需經過金屬探測門，和大 陸地鐵及機場的設計相同。 中國因為 1980 年代以來的一胎化，嚐到了人口加速老化的苦果，除了正式廢除 一胎化政策減緩高齡化的速度，近年也積極參考各國面對長壽風險的作法，去年
（2013 年）筆者參加歐洲主辦的長壽風險研討會，也是首度在中國（北京市）舉 行。中國人口老化速度非常快，預計在 2040 年 60 歲以上人口數超過四億，佔全國 15 億人口比例超過 27%，與同時期的臺灣 65 歲以上人口比例很接近，預期中國的 老年人口比例在 21 世紀後半段超越臺灣。另外，因為人口總數眾多，60 歲老年人 口總數現在已有 2 億人，以規模經濟的角度思考，勢必造成許多社會問題，像是 2014 年 2 月中國總理李克強即宣誓重大疾病是未來的發展重點，以保障民眾的健 康。然而，這和過去中國自豪民眾無經濟安全及醫療需求明顯有矛盾，壽命延長已 引發貧富不均、醫療等資源分配的問題，未來平均壽命將持續上升，更加衝擊統治 階層的穩固。 相較起來，臺灣的發展稍微好一些，全民健康保險制度實施已接近 20 年，其中 重大傷病患者免部分負擔，其精神上述中國的重大疾病類似，符合禮運大同篇中照 顧鰥寡孤獨等弱勢者的精神。本次會議中國邀請不同領域的專家，不侷限在老年人 的經濟需求或是照護需求，以筆者發表的場次而言，講題包括美國的全民健保（或 簡稱為 Obamacare）、美國及加拿大的長期照護(Long-term Care)、澳洲的老人年金 保險(Pension)，涵蓋老年生活的三大需求：經濟生活、健康醫療、退休生活（例如：
長期照護），個人收穫非常豐富。筆者本次報告的題目為「Life Expectancy, Mortality
law and Mortality Compression」，探討死亡率的變化與壽命極限（及疾病壓縮）的
問題，希望提供因應老化及壽命延長的對策。
本次會議「BIT's 2nd Annual World Congress of Geriatrics and Gerontology」的議
程及資料，可查詢主辦單位網頁：http://http://www.bitlifesciences.com/wcgg2014/，
(附上一張筆者在會場大廳拍攝的議程相片)
科技部補助計畫衍生研發成果推廣資料表
日期:2015/01/23科技部補助計畫
計畫名稱: 高齡死亡模型與長壽風險 計畫主持人: 余清祥 計畫編號: 103-2410-H-004-093- 學門領域: 財務無研發成果推廣資料
103 年度專題研究計畫研究成果彙整表
計畫主持人：余清祥 計畫編號： 103-2410-H-004-093-計畫名稱：高齡死亡模型與長壽風險 量化 成果項目 實際已達成 數（被接受 或已發表） 預期總達成 數(含實際已 達成數) 本計畫實 際貢獻百 分比 單位 備 註 （ 質 化 說 明：如 數 個 計 畫 共 同 成 果、成 果 列 為 該 期 刊 之 封 面 故 事 ... 等） 期刊論文 1 1 100% 研究報告/技術報告 0 0 100% 研討會論文 1 1 100% 篇 論文著作 專書 0 0 100% 申請中件數 0 0 100% 專利 已獲得件數 0 0 100% 件 件數 0 0 100% 件 技術移轉 權利金 0 0 100% 千元 碩士生 2 2 100% 博士生 1 1 100% 博士後研究員 0 0 100% 國內 參與計畫人力 （本國籍） 專任助理 0 0 100% 人次 期刊論文 0 0 100% 研究報告/技術報告 0 0 100% 研討會論文 1 1 100% 篇 論文著作 專書 0 0 100% 章/本 申請中件數 0 0 100% 專利 已獲得件數 0 0 100% 件 件數 0 0 100% 件 技術移轉 權利金 0 0 100% 千元 碩士生 0 0 100% 博士生 0 0 100% 博士後研究員 0 0 100% 國外 參與計畫人力 （外國籍） 專任助理 0 0 100% 人次其他成果
