數學探究教學對數學解題能力提升之個案研究

數學探究教學對數學解題能力提升

之個案研究

秦爾聰

1

林勇吉

1*

林晶珮

2

段曉林

1 1_{國立彰化師範大學 科學教育研究所} 2_{南投縣立水里國民中學} * _{b5209@gmail.com} （投稿日期：2009..15；修正日期：2009..1，2009.9.22；接受日期：2009.10.2）

摘

要

本研究旨在探討數學探究教學如何提升學生數學解題能力，透過個案研究 的設計，以四位不同數學成就的七年級學生為研究對象，其中高成就與低成就 各一位、中成就兩位；主要透過「任務為基礎的訪談」 (task-based interview) ，輔以「課室觀察」、「學習日誌」與「教學日誌」進行資料的收集。研究結 果發現高成就學生因為其他同學優異的探究表現，促使她改變解題信念，提升 「回顧問題」的能力；其中一位中成就學生透過探究教學中的自主探索與接受 同學挑戰，展露更佳的「暸解問題」與「回顧問題」能力；另外一位中成就學 生，利用探究教學中解釋自己與組員想法的機會，提升「解決問題」與「回顧 問題」能力；低成就學生則是在探究教學中，藉由其他同學的畫圖解題方式得 以提升個人整體的解題能力。 關鍵字：個案研究、解題能力、數學探究 科學教育研究與發展季刊

2009，第五十五期，-11 頁 Research and Development in Science Education Quarterly2009, No.55, -11



壹、前言

自「九年一貫課程改革」推行以來，國民中、小學數學教育開啟一個嶄 新視野，強調以「學習者為主體，以知識的完整面為教育的主軸」（教育部， 200，頁19），此理念與當今數學教育改革之趨勢一致（如 National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000）。隨著這波改革，教學不能再停留於 過往的講述式教學，必須轉而協助學生成為「獨立的學習者」 (Feiman-Nemser, 2001) 。「數學探究教學」 (mathematics inquiry teaching) （或稱探究教學） 便據此油然而生，因為在數學探究教學中，教師必須幫助學生藉由「臆測」 (conjecture) 、「推理」 (reasoning) 、「論證」 (arguments) 、「討論」、「解 釋」等「思考數學」的行為，主動參與建構知識的過程，這將有助學生成為獨 立的學習者 (Brown, Wilson, & Fitzallen, 200) 。

另外一方面，長久以來「數學解題」都是數學教育工作者關注的焦點（如 Polya, 195）。對學生而言，解題不僅是學習數學的目標，也是學習數學的 主要手段 (NCTM, 2000) ，因此發展「數學解題能力」，直接影響學生的數學 學習，部分學者甚至認為培養數學解題能力就是學習數學的代名詞 (Brown, Wilson, & Fitzallen, 200) ；是故發展數學解題能力之重要性，不言可喻。

文 獻 指 稱 「 數 學 探 究 教 學 」 能 有 效 率 提 升 學 生 的 「 數 學 解 題 能 力 」 (Whitin, 200) ，然而文獻並沒有深入探討其關聯。迄今，我們仍不明瞭「數學 探究教學如何幫助學生提升數學解題能力」，也不清楚「提升哪些數學解題能 力」，此外，對於「不同數學成就學生而言，有何差異」，釐清這些問題，將 一、有助於實施探究教學；二、更深度的提升學生的解題能力；三、幫助不同 成就學生的學習；有鑑於此，本研究目的如下：探討數學探究教學對四位不同 成就的七年級學生數學解題能力之影響。

數學探究教學對數學解題能力提升之個案研究

5

貳、文獻探討

一、 數學探究教學

英國教育技能部 (Department for Education and Skills [DfES], 2001, p. 21) 主 張「探究是數學的核心，探究技能可以讓學生問問題、定義探究的問題、計畫 研究 (plan research) 、預期結果 (predict outcomes) 、推論與作結論」。 Whitin (200) 提出六個數學探究教學的重要特徵 (key feature) ：（一）細心觀察； （二）採用多元的觀點；（三）引起 (raising) 題；（四）提供臆測；（五）設 計與執行計畫；（六）反思這個結果。 McNeal 與 Simon (2000) 認為數學探究 教學是：（一）由老師或學生佈題；（二）學生在小組中工作；（三）教師要 求學生提出具說服力 (persuasive) 的論證；（四）並且學生討論這些論證。因 此，教師與學生在數學探究教學中的工作，分別如表1： ߄1 ௲ৣᆶᏢғӧኧᏢ௖ز௲Ꮲύޑπբ ௲ৣୖᆶ௖ز௲ᏢᙖҗǺ Ꮲғୖᆶ௖ز௲ᏢᙖҗǺ 1.ा؃ှញ 1.ว߄གྷݤ (ideas) 2.ा؃ዂమ܈Ңጄ 2.ୢ۶Ԝୢᚒ 3.ा؃λಔගрፕ᛾ 3.ӧ૸ፕύࡷᏯ (challenge) ܈ᆒᗗ (refine) གྷݤ 4.թཥޑୢᚒ ߄2 ௖ز௲Ꮲࢎᄬ ໘ࢤ ௲ৣࢲ୏ Ꮲғࢲ୏ 1.௃ ნթ ֽᆶ ౢғ ୢᚒ 1. ࡷᏯᏢғޑচۈགྷݤǴᗺᐯᏢғޑ ᑫ፪٠ᆫขӧॶள૸ፕޑ᝼ᚒ΢。 2. ೸ၸ௲ৣϟಏҺ୍ǴെଆᏢғޑ߃ ۈགྷݤᆶట௖زЬᚒϐޕ᛽。 3. మཱ߄ၲ௖زҞ኱。 1. ᏢғӣགྷၸѐޑӃഢޕ᛽ᆶᏢಞ ࿶ᡍ。 2. Ꮲғୖᆶ໒ܫԄޑ௖زҺ୍ϐύ。 2.λ ಔᆶ ঁΓ ௖ز 1. ᆒЈЇᏤ٠ᔅշλಔ/ঁΓ຾Չ௖ز πբ。 2. ӣᔈᏢғӧ௖زਔޑሡ؃Ǵӵගٮ ᏢғόӕޑࡘᆢБԄ。 1. Ꮲғ໒ۈ຾Չᖆෳǵϩ݋ǵ௢౛ ᆶ၂ᡍ฻௖زՉࣁ。 2. ᕇள௖زࡕޑ߃؁่݀Ȑၸำύ ёаᆶλಔ૸ፕȑ。 3.ྎ ೯ᆶ ׎ԋ ่ፕ 1. ๏ϒᏢғᐒ཮Ǵϩ٦௖ز่݀。 2. ᏢғӧᆶдΓྎ೯௖ز่݀ਔǴЇ Ꮴ٠ᔅշд຾Չ૸ፕ。 3. ፾ਔЇᏤ܈ᔅշᏢғբ่ፕȐё٬ Ҕ᎙᠐௲ࣽਜ฼ౣȑ。 1. ᏢғѸ໪ᏢಞӵՖឍॊԾρޑགྷ ݤȐӵၮҔ߄਱ǵკ׎ǵ᛾ܴ฻ȑǴ ᆶӣᔈдΓޑཀـ。 2. ࡭ុᆶдΓ૸ፕǴᙖҗ࣬ϕᒣ҅ Ȑidentifyȑǵፕ᛾ޑၸำǴᕇठၨ ᆒጏ่݀。 4.ϸ ࡘᆶ ᆒጏ ϯ 1. మཱᇥܴख़ाޑ௖ز่݀کཀက。 2. ᆶᏢғ૸ፕ௖زၸำᆶ܌ಞளኧᏢ ޕ᛽。 3. ᙖҗຑ᠘Ꮲғޑ௖زၸำǴᔅշᏢ ғᆒ຾Πԛޑ௖ز。 1. ᏢғѸ໪ϸࡘ೭᏾ঁ௖زޑၸำ ᆶዴᇡӧ௖زၸำύ܌ᕇளޑኧ Ꮲޕ᛽。 2. ٩ᏵϸࡘǴёૈ׎ԋཥޑ௖زୢ ᚒǴ໒௴Π΋ঁཥޑ௖زൻᕉ。

ΒǵኧᏢှᚒૈΚ

綜合上述，數學探究猶如數學的「實驗」或「探索」過程，包含「問題－ 臆測－論證－精緻」的循環程序。首先（一）學生可以自己產生欲探究問題 （也可由老師佈題引發）；（二）接著產生對題目的一或多個想法（臆測）； （三）並對這個想法提出數學的解釋（論證）；（四）再接受其他學生的挑 戰，修改這個想法（精緻）；（五）並可再度回到（一）產生新的探究問題。

 科學教育研究與發展季刊第五十五期

二、數學解題能力

Polya (195) 認為解題包含四個階段：（一）瞭解問題：強調瞭解題目的 已知與未知，即識別清楚解題所需為何；（二）擬定計畫：解題者必須將階段 （一）中的所有資訊整合起來，藉此獲得解題想法；（三）執行計畫：解題者3 1.ा؃ှញ 1.ว߄གྷݤ (ideas) 2.ा؃ዂమ܈Ңጄ 2.ୢ۶Ԝୢᚒ 3.ा؃λಔගрፕ᛾ 3.ӧ૸ፕύࡷᏯ (challenge) ܈ᆒᗗ (refine) གྷݤ 4.թཥޑୢᚒ ߄2 ௖ز௲Ꮲࢎᄬ ໘ࢤ ௲ৣࢲ୏ Ꮲғࢲ୏ 1.௃ ნթ ֽᆶ ౢғ ୢᚒ 1. ࡷᏯᏢғޑচۈགྷݤǴᗺᐯᏢғޑ ᑫ፪٠ᆫขӧॶள૸ፕޑ᝼ᚒ΢。 2. ೸ၸ௲ৣϟಏҺ୍ǴെଆᏢғޑ߃ ۈགྷݤᆶట௖زЬᚒϐޕ᛽。 3. మཱ߄ၲ௖زҞ኱。 1. ᏢғӣགྷၸѐޑӃഢޕ᛽ᆶᏢಞ ࿶ᡍ。 2. Ꮲғୖᆶ໒ܫԄޑ௖زҺ୍ϐύ。 2.λ ಔᆶ ঁΓ ௖ز 1. ᆒЈЇᏤ٠ᔅշλಔ/ঁΓ຾Չ௖ز πբ。 2. ӣᔈᏢғӧ௖زਔޑሡ؃Ǵӵගٮ ᏢғόӕޑࡘᆢБԄ。 1. Ꮲғ໒ۈ຾Չᖆෳǵϩ݋ǵ௢౛ ᆶ၂ᡍ฻௖زՉࣁ。 2. ᕇள௖زࡕޑ߃؁่݀Ȑၸำύ ёаᆶλಔ૸ፕȑ。 3.ྎ ೯ᆶ ׎ԋ ่ፕ 1. ๏ϒᏢғᐒ཮Ǵϩ٦௖ز่݀。 2. ᏢғӧᆶдΓྎ೯௖ز่݀ਔǴЇ Ꮴ٠ᔅշд຾Չ૸ፕ。 3. ፾ਔЇᏤ܈ᔅշᏢғբ่ፕȐё٬ Ҕ᎙᠐௲ࣽਜ฼ౣȑ。 1. ᏢғѸ໪ᏢಞӵՖឍॊԾρޑགྷ ݤȐӵၮҔ߄਱ǵკ׎ǵ᛾ܴ฻ȑǴ ᆶӣᔈдΓޑཀـ。 2. ࡭ុᆶдΓ૸ፕǴᙖҗ࣬ϕᒣ҅ Ȑidentifyȑǵፕ᛾ޑၸำǴᕇठၨ ᆒጏ่݀。 4.ϸ ࡘᆶ ᆒጏ ϯ 1. మཱᇥܴख़ाޑ௖ز่݀کཀက。 2. ᆶᏢғ૸ፕ௖زၸำᆶ܌ಞளኧᏢ ޕ᛽。 3. ᙖҗຑ᠘Ꮲғޑ௖زၸำǴᔅշᏢ ғᆒ຾Πԛޑ௖ز。 1. ᏢғѸ໪ϸࡘ೭᏾ঁ௖زޑၸำ ᆶዴᇡӧ௖زၸำύ܌ᕇளޑኧ Ꮲޕ᛽。 2. ٩ᏵϸࡘǴёૈ׎ԋཥޑ௖زୢ ᚒǴ໒௴Π΋ঁཥޑ௖زൻᕉ。

ΒǵኧᏢှᚒૈΚ

本研究並搭配 Siegel、Borasi與 Fonzi (199) 的探究環，提出探究教學架構 如表2：

數學探究教學對數學解題能力提升之個案研究  必須仔細謹慎的執行解題步驟；（四）回顧：解題者必須重新審視自己的解 答、討論它並在必要時精緻它。基於 Polya (195) 和 Schoenfeld (195) 提出四 個類型的知識，用來解釋解題者的行為：（一）資源：一個人的基本數學知 識或數學程序的知識；（二）啟發法 (heuristics) ：關於解題的策略或技巧，例 如逆回去計算、畫圖等；（三）控制：解題時的後設認知，包括如何，以及 何時使用何種資源或策略等；（四）信念：解題者的數學本質觀，可以決定 一個解題者如何解題。上述中， Schoenfeld 尤其強調「控制」（後設認知）的 重要。更進一步， Garofalo 與 Lester (195) 討論解題中的四種「後設認知」活 動：（一）「定位」 (orientation) ：包含理解策略、分析問題的條件與訊息、 評估題目的熟悉度、評估問題的難度與成功機會、初步與進階的表徵問題等； （二）「組織」 (organization) ：關於找出目標與擬定計畫、子計畫等；（三） 「執行」 (execution) ：包括局部行為、監控程序與計畫等；（四）「驗證」 (verification) ：意謂衡量決策與執行計畫的結果。 Mayer (1992) 認為解題是由 「認知程序」 (cognitive processing) 所引導的，包括四個步驟：（一）「問題轉 譯」是解題者將題目的敘述轉化到內部心理模式，即是解題者解釋和表徵題目 的過程；（二）「問題整合」是將片斷的資訊，整合至一致性的結構，為下一 個步驟作準備；在（三）「解答計畫」中，解題者形成具體的解題計畫；並在 （四）「解答執行」中，逐步執行所擬定的計畫。 本研究擬以 Garofalo 與 Lester (195) 的看法作為「後設認知」定義， 因為（一） Garofalo 與 Lester 的研究是整合 Polya 與 Schoenfeld 所產生的， 較具完整性。（二） Garofalo 與 Lester 是以國中生為主，與本研究較相關 （Schoenfeld, 195的研究以大學生為主），因此 Garofalo 與 Lester 考慮更多 年輕學生的問題，如認知資源的缺乏，同時也涉及課室文化、教學與後設認知 上的關係 (Goos & Galbraith, 199) 。（三） Schoenfeld 的研究較缺乏研究上的 信、效度。 綜合上述，本研究以 Polya 的理論為主軸，並輔以其他學者的觀點，使 Polya 的理論更加完善，包括：（一） Mayer (1992) 的「認知程序觀點」： 例如學生如何轉譯問題、從先備知識發展策略進行解題；（二） Garofalo 與 Lester 的「後設認知」觀點：例如解題過程中是否瞭解目標為何，如何修正自 己的解題思維，與解題後如何重新精緻這些策略；（三） Schoenfeld 的「信 念」觀點：例如解題者的信念與學習動機為何。整合成本研究對解題能力之定 義。 3 ߄1 ௲ৣᆶᏢғӧኧᏢ௖ز௲Ꮲύޑπբ ௲ৣୖᆶ௖ز௲ᏢᙖҗǺ Ꮲғୖᆶ௖ز௲ᏢᙖҗǺ 1.ा؃ှញ 1.ว߄གྷݤ (ideas) 2.ा؃ዂమ܈Ңጄ 2.ୢ۶Ԝୢᚒ 3.ा؃λಔගрፕ᛾ 3.ӧ૸ፕύࡷᏯ (challenge) ܈ᆒᗗ (refine) གྷݤ 4.թཥޑୢᚒ ߄2 ௖ز௲Ꮲࢎᄬ ໘ࢤ ௲ৣࢲ୏ Ꮲғࢲ୏ 1.௃ ნթ ֽᆶ ౢғ ୢᚒ 1. ࡷᏯᏢғޑচۈགྷݤǴᗺᐯᏢғޑ ᑫ፪٠ᆫขӧॶள૸ፕޑ᝼ᚒ΢。 2. ೸ၸ௲ৣϟಏҺ୍ǴെଆᏢғޑ߃ ۈགྷݤᆶట௖زЬᚒϐޕ᛽。 3. మཱ߄ၲ௖زҞ኱。 1. ᏢғӣགྷၸѐޑӃഢޕ᛽ᆶᏢಞ ࿶ᡍ。 2. Ꮲғୖᆶ໒ܫԄޑ௖زҺ୍ϐύ。 2.λ ಔᆶ ঁΓ ௖ز 1. ᆒЈЇᏤ٠ᔅշλಔ/ঁΓ຾Չ௖ز πբ。 2. ӣᔈᏢғӧ௖زਔޑሡ؃Ǵӵගٮ ᏢғόӕޑࡘᆢБԄ。 1. Ꮲғ໒ۈ຾Չᖆෳǵϩ݋ǵ௢౛ ᆶ၂ᡍ฻௖زՉࣁ。 2. ᕇள௖زࡕޑ߃؁่݀Ȑၸำύ ёаᆶλಔ૸ፕȑ。 3.ྎ ೯ᆶ ׎ԋ ่ፕ 1. ๏ϒᏢғᐒ཮Ǵϩ٦௖ز่݀。 2. ᏢғӧᆶдΓྎ೯௖ز่݀ਔǴЇ Ꮴ٠ᔅշд຾Չ૸ፕ。 3. ፾ਔЇᏤ܈ᔅշᏢғբ่ፕȐё٬ Ҕ᎙᠐௲ࣽਜ฼ౣȑ。 1. ᏢғѸ໪ᏢಞӵՖឍॊԾρޑགྷ ݤȐӵၮҔ߄਱ǵკ׎ǵ᛾ܴ฻ȑǴ ᆶӣᔈдΓޑཀـ。 2. ࡭ុᆶдΓ૸ፕǴᙖҗ࣬ϕᒣ҅ Ȑidentifyȑǵፕ᛾ޑၸำǴᕇठၨ ᆒጏ่݀。 4.ϸ ࡘᆶ ᆒጏ ϯ 1. మཱᇥܴख़ाޑ௖ز่݀کཀက。 2. ᆶᏢғ૸ፕ௖زၸำᆶ܌ಞளኧᏢ ޕ᛽。 3. ᙖҗຑ᠘Ꮲғޑ௖زၸำǴᔅշᏢ ғᆒ຾Πԛޑ௖ز。 1. ᏢғѸ໪ϸࡘ೭᏾ঁ௖زޑၸำ ᆶዴᇡӧ௖زၸำύ܌ᕇளޑኧ Ꮲޕ᛽。 2. ٩ᏵϸࡘǴёૈ׎ԋཥޑ௖زୢ ᚒǴ໒௴Π΋ঁཥޑ௖زൻᕉ。

ΒǵኧᏢှᚒૈΚ



三、數學探究教學、數學解題教學與小組合作學習

Yore、Pimm 與 Tuan (200) 認為解題和探究是兩個平行的辭彙，只是一個 通常被用在數學教育，相對的另一個則是用在科學教育之中。然而探究的一些 特點，更能幫助學生學習。例如探究所強調的精神，比解題提供了更多瞭解學 生思考的機會，因為探究強調的「臆測」與「論證」（或證明），較能充分顯 露學習的過程 (Lederman & Niess, 2000) 。 Borasi (199) 認為解題是指問題由教 師設定，並且教師已預先知道解答。然而在探究的模式下，學生參與在一個更 開放與產生性 (generative) 的過程，在事前不管是教師或學生都可能不知道探究 結果，並且學生通常主動的融入關於探究的方向與範圍的決策。

「小組合作」被視為實施探究教學的一種策略 (National Research Council, 2000) ，符合當代對於改革取向教學的要求，例如 Elbers (200) 所提出的「探 究的社群」 (community of inquiry) ，意謂學生使用研究者的態度進行學習，透 過同儕的討論、溝通與反思，共同建構數學知識。 Staples (200) 的「全班性的 合作探究」 (whole-class collaborative inquiry) 。他認為改革取向的潮流，是讓學 生有機會能在「學習者的」社群中建構知識。

參、研究方法

本研究為個案研究，以同組四位不同數學程度學生為個案，使用「任務為 基礎的訪談」 (task-based interview) ，作為分析學生「解題能力」的主要依據。 並以「課室觀察」記錄學生在探究教學中的表現，再搭配學生與教師在探究教 學課程後撰寫的「學習日誌」與「教學日誌」，進行整體性的分析。

一、研究情境

本研究在七年級上學期的數學課進行，教學單元是「一元一次方程式的 應用」，接續在「以符號列式」、「一次式的運算」、「一元一次方程式的解 法」單元後實施，為期五週，每週六節，共三十節課，期間經歷四次課程（課 程內容如附錄一）。選取此單元的原因是：（一）傳統的教學方式，導致學生 在此單元的學習困難，如無法依據題意列出方程式等 (Vlassis, 2002) ，本研究

數學探究教學對數學解題能力提升之個案研究 9 擬透過探究教學提升學生在此單元的學習成效。（二）學生在這個單元中有較 多「應用」數學知識的機會，必須思索如何解題，非單純記憶公式，這有利於 探究教學的實施 (DfES, 2001) 。 本探究教學是以小組合作的方式進行。依照學生暑期輔導數學成績與第一 次段考數學成績的平均，以S型方式分組，共分七組，每組四人，包括一位高 數學成就（前25％）、二位中數學成就（中間50％）及一位低數學成就的學生 （後25％），其中一組僅三人（全班共2人，男生10人，女生1人）。

二、探究教學活動設計

探究教學活動設計係參考 Borasi (199) ，以（一）學生易錯誤之題目（答 案不是立即可知，可引發較多討論）；以及（二）有多種解法，可以提供學生 論證機會（對自己想法提出說明），為設計理念；同時參考各版本教科書、參 考書與段考中常見問題設計而成。圖1是研究者改編自部編版（國立教育研究 院籌備處，200，頁1）之範例： 據說希臘數學家丟番圖的墓誌銘，是一首藏著他年齡的詩謎，依據下面的文 字，你可以解出這個謎嗎？ 童年占他六分之一的人生，又過十二分之一，人已鬍髯如戟，再添七分之 一的年歲，點燃起結婚的蠟燭。五年之後，天賜麟兒，可惜這位遲到的寶貝， 享年僅及其父之半，便進入冰冷的墓。悲傷只有用數論的研究去彌補，又過四 年，他也走完了人生的旅途。 圖1 探究活動範例：丟番圖墓誌銘 კ 1 ឦȨܰᒱᇤޑᚒҞȩǴᏢғޑ֚ᜤӧܭόޕӵՖவЎӷ௶ॊǴᙯ᝿ԋ ኧᏢԄηǶӧԜၸำёЇว೚ӭ૸ፕǴٯӵᏢғёૈჹᚒཀౢғόӕှ᠐Ǵᇡ ࣁȨΞၸΜΒϩ΋ȩࢂࡰȨ΋ғޑΜΒϩ΋Ǵ _x 12 1 _{ȩ܈ࢂȨԌѐϤϩϐ΋ࡕޑ} ΜΒϩϐ΋Ǵ 12 1 ) 6 1 (x− x × ȩǶ კ 1 ឦȨܰᒱᇤޑᚒҞȩǴᏢғޑ֚ᜤӧܭόޕӵՖவЎӷ௶ॊǴᙯ᝿ԋ ኧᏢԄηǶӧԜၸำёЇว೚ӭ૸ፕǴٯӵᏢғёૈჹᚒཀౢғόӕှ᠐Ǵᇡ ࣁȨΞၸΜΒϩ΋ȩࢂࡰȨ΋ғޑΜΒϩ΋Ǵ _x 12 1 _{ȩ܈ࢂȨԌѐϤϩϐ΋ࡕޑ} ΜΒϩϐ΋Ǵ 12 1 ) 6 1 (x− x × ȩǶ კ 1 ឦȨܰᒱᇤޑᚒҞȩǴᏢғޑ֚ᜤӧܭόޕӵՖவЎӷ௶ॊǴᙯ᝿ԋ ኧᏢԄηǶӧԜၸำёЇว೚ӭ૸ፕǴٯӵᏢғёૈჹᚒཀౢғόӕှ᠐Ǵᇡ ࣁȨΞၸΜΒϩ΋ȩࢂࡰȨ΋ғޑΜΒϩ΋Ǵ _x 12 1 _{ȩ܈ࢂȨԌѐϤϩϐ΋ࡕޑ} ΜΒϩϐ΋Ǵ 12 1 ) 6 1 (x− x × ȩǶ 初步設計完成教案後，研究者與研究團隊（二位資深國中數學教師與一位 數學教育專家學者）進行討論，確保教學活動之可靠性。

90

三、探究教學範例

表是本研究探究教學的範例。其中在（三）「溝通與形成結論」階段， 可看到學生提出不同想法，進行「論證」（陳述為何其論點為真）的過程，此 為探究教學的最大特色。 ߄3 ௖ز௲ᏢጄٯǺҧพკოᇞሎ ໘ࢤ ࢲ୏ϣ৒ Ȑ΋ȑ ௃ნթ ֽᆶౢ ғୢᚒ ΋໒ۈǴԴৣၟӕᏢ૸ፕϙሶࢂȨ҂ޕኧȩᆶȨБำԄȩǴаϷӵՖᔈҔѬǴ ᙖԜӣ៝ӕᏢӧፐำ΋܌ᏢǶٯӵ၌ୢȨգॺޕၰϙሶࢂ҂ޕኧȩǹȨԖব٤ ٬Ҕ҂ޕኧ܈БำԄޑ࿶ᡍȩǹௗ๱Դৣᘜયεৎޑ૸ፕǴᇥܴȨှᚒ൩Ⴝ ࢂӧ౒ᖮǴှ҂ޕኧޑၸำ൩Ⴝࢂӧפрᖮۭ΋ኬȩǴᡣӕᏢ᝺ளှᚒࢂԖ ፪ޑπբǶϐࡕӛӕᏢཷౣϟಏҧพკޑࡺ٣ǴፎᏢғઇှдოᇞሎ΢ޑઝ ஏǴЇଆӕᏢ௖زȨҧพკოᇞሎȩȐკ1ȑϐ୏ᐒǶ Ȑ Β ȑ λ ಔ ᆶ ঁ Γ ௖ ز ᏢғӧԜၸำǴр౜೚ӭགྷݤᆶᅪൽǴٯӵჹȨᚒཀᕕှόమȩǵȨคݤӈр ֹ᏾ޑБำԄȩǵȨคݤፕ᛾Ծρޑ౒གྷȩ฻ǹԴৣߡଞჹ೭٤ᅪൽǴЇᏤᏢ ғ຾Չ௖زǶΠय़ޑჹ၉ࢂࢌ΋λಔޑᏢғӧीᆉ ₄ 2 1 5 7 1 12 1 6 1_{+ + + + + ޑၸำ} ύளډ ₉ 8475 + Ǵ܌а౒ෳเਢࢂ84 ྃǴԴৣЇᏤᏢғѐፕ᛾ԾρޑเਢǺ سΚ۔ஃਢլਢ84 ᄣΛȐᖆෳȑ ஃΚ܃৻ᏖጩऱΛ سΚݺଚشෲऱΔڂ੡ނ٤ຝऱ։ᑇףದࠐΔ։ئਢ84Δݺଚᤚ൓ڶױ ౨༉ਢ84…Ȑፕ᛾ȑ ஃΚ܃ଚऱ࿠ூਢኙऱΔױਢ܃ଚլ౨ڂ੡ຏ։ਢ84 ༉ᤚ൓ਢ 84Δ૞უ ᙄऄᎅࣔຍᑌऱუऄਢኙऱ…ȐࡷᏯȑ سΚΰ՛ิ࢖ڼಘᓵ৵…αႵ…ݺवሐ…הऱԫسਢ 1 ቪ…׽૞ބנ ₁ 84 84 = … ༉ױאᎅהਢ84 ᄣ…Ȑፕ᛾ȑ Ȑ Ο ȑ ྎ ೯ ᆶ ׎ ԋ ่ ፕ ԴৣЇᏤӚಔ܈ӕᏢ΢Ѡว߄ԾρޑགྷݤǴ٠ௗڙӕᏢࡷᏯǴӧԜр౜೚ӭ ݾፕǴᏢғߡଞჹ೭٤ݾፕ຾Չፕ᛾Ǵᕇठ่ፕǶٯӵᏢғჹܭȨӆబΎϩ ΋ȩࢂࡰȨ΋ғޑΎϩ΋Ǵ _x 7 1 _{ȩ܈ࢂȨԌѐ߻य़ࡕޑΎϩϐ΋Ǵ} 7 1 ) 12 1 6 1 (x− x− x × ȩ Їวݾ᝼Ǻ سΚ۔ஃຍଡψ٦෌ωࠩࢍਢչᏖრ৸ΛȐࡷᏯȑ ஃΚݺՈլवሐΔ܀ਢ܃ଚױאኔ᧭઎઎Δ೗๻ _x 7 1 _ፖ 7 1 ) 12 1 6 1 (x− x− x × ߒຶ ڶչᏖլԫᑌΛ سΚԫଡጩנࠐਢ84ΰᇞ _{x+ x+ x+ + x+4=x} 2 1 5 7 1 12 1 6 1 _{αΙ׼ԫଡਢ63ΰᇞ} x x x x x+ + + + +4= 2 1 5 28 3 12 1 6 1 _{αॳȐፕ᛾ȑ} ஃΚ߷܃ଚᤚ൓84 ᄣֺለױ౨Δᝫਢ 63 ᄣΔუუ઎Δୌԫଡ࿠ூٽ෻Λ ੡չᏖΛ ߄3 ௖ز௲ᏢጄٯǺҧพკოᇞሎ ໘ࢤ ࢲ୏ϣ৒ Ȑ΋ȑ ௃ნթ ֽᆶౢ ғୢᚒ ΋໒ۈǴԴৣၟӕᏢ૸ፕϙሶࢂȨ҂ޕኧȩᆶȨБำԄȩǴаϷӵՖᔈҔѬǴ ᙖԜӣ៝ӕᏢӧፐำ΋܌ᏢǶٯӵ၌ୢȨգॺޕၰϙሶࢂ҂ޕኧȩǹȨԖব٤ ٬Ҕ҂ޕኧ܈БำԄޑ࿶ᡍȩǹௗ๱Դৣᘜયεৎޑ૸ፕǴᇥܴȨှᚒ൩Ⴝ ࢂӧ౒ᖮǴှ҂ޕኧޑၸำ൩Ⴝࢂӧפрᖮۭ΋ኬȩǴᡣӕᏢ᝺ளှᚒࢂԖ ፪ޑπբǶϐࡕӛӕᏢཷౣϟಏҧพკޑࡺ٣ǴፎᏢғઇှдოᇞሎ΢ޑઝ ஏǴЇଆӕᏢ௖زȨҧพკოᇞሎȩȐკ1ȑϐ୏ᐒǶ Ȑ Β ȑ λ ಔ ᆶ ঁ Γ ௖ ز ᏢғӧԜၸำǴр౜೚ӭགྷݤᆶᅪൽǴٯӵჹȨᚒཀᕕှόమȩǵȨคݤӈр ֹ᏾ޑБำԄȩǵȨคݤፕ᛾Ծρޑ౒གྷȩ฻ǹԴৣߡଞჹ೭٤ᅪൽǴЇᏤᏢ ғ຾Չ௖زǶΠय़ޑჹ၉ࢂࢌ΋λಔޑᏢғӧीᆉ ₄ 2 1 5 7 1 12 1 6 1_{+ + + + + ޑၸำ} ύளډ ₉ 8475 + Ǵ܌а౒ෳเਢࢂ84 ྃǴԴৣЇᏤᏢғѐፕ᛾ԾρޑเਢǺ سΚ۔ஃਢլਢ84 ᄣΛȐᖆෳȑ ஃΚ܃৻ᏖጩऱΛ سΚݺଚشෲऱΔڂ੡ނ٤ຝऱ։ᑇףದࠐΔ։ئਢ84Δݺଚᤚ൓ڶױ ౨༉ਢ84…Ȑፕ᛾ȑ ஃΚ܃ଚऱ࿠ூਢኙऱΔױਢ܃ଚլ౨ڂ੡ຏ։ਢ84 ༉ᤚ൓ਢ 84Δ૞უ ᙄऄᎅࣔຍᑌऱუऄਢኙऱ…ȐࡷᏯȑ سΚΰ՛ิ࢖ڼಘᓵ৵…αႵ…ݺवሐ…הऱԫسਢ 1 ቪ…׽૞ބנ ₁ 84 84 = … ༉ױאᎅהਢ84 ᄣ…Ȑፕ᛾ȑ Ȑ Ο ȑ ྎ ೯ ᆶ ׎ ԋ ่ ፕ ԴৣЇᏤӚಔ܈ӕᏢ΢Ѡว߄ԾρޑགྷݤǴ٠ௗڙӕᏢࡷᏯǴӧԜр౜೚ӭ ݾፕǴᏢғߡଞჹ೭٤ݾፕ຾Չፕ᛾Ǵᕇठ่ፕǶٯӵᏢғჹܭȨӆబΎϩ ΋ȩࢂࡰȨ΋ғޑΎϩ΋Ǵ _x 7 1 _{ȩ܈ࢂȨԌѐ߻य़ࡕޑΎϩϐ΋Ǵ} 7 1 ) 12 1 6 1 (x− x− x × ȩ Їวݾ᝼Ǻ سΚ۔ஃຍଡψ٦෌ωࠩࢍਢչᏖრ৸ΛȐࡷᏯȑ ஃΚݺՈլवሐΔ܀ਢ܃ଚױאኔ᧭઎઎Δ೗๻ _x 7 1 _ፖ 7 1 ) 121 6 1 (x− x− x × ߒຶ ڶչᏖլԫᑌΛ سΚԫଡጩנࠐਢ84ΰᇞ _{x+ x+ x+ + x+4=x} 2 1 5 7 1 12 1 6 1 _{αΙ׼ԫଡਢ63ΰᇞ} x x x x x+ + + + +4= 2 1 5 28 3 12 1 6 1 _{αॳȐፕ᛾ȑ} ஃΚ߷܃ଚᤚ൓84 ᄣֺለױ౨Δᝫਢ 63 ᄣΔუუ઎Δୌԫଡ࿠ூٽ෻Λ ੡չᏖΛ

數學探究教學對數學解題能力提升之個案研究 91

四、訪談任務設計

關於訪談任務設計，首先考量（一） Yerushalmy (2000) ，他認為訪談中的 任務，需讓受訪者感受情境（可以有較深入的解題思維）；並能呈現豐富的解 題歷程（有利於分析解題能力）。其次，（二）我們從探究教學活動，選出較 具代表性的問題，設計結構相仿的訪談任務。這些訪談任務，可依據解題條件 分成「速度」、「年齡」與「餘數」等三類（表）。設計訪談任務的過程與 探究教學活動設計過程相似，也歷經與研究團隊討論、修正的程序。 7 ߄3 ௖ز௲ᏢጄٯǺҧพკოᇞሎ ໘ࢤ ࢲ୏ϣ৒ Ȑ΋ȑ ௃ნթ ֽᆶౢ ғୢᚒ ΋໒ۈǴԴৣၟӕᏢ૸ፕϙሶࢂȨ҂ޕኧȩᆶȨБำԄȩǴаϷӵՖᔈҔѬǴ ᙖԜӣ៝ӕᏢӧፐำ΋܌ᏢǶٯӵ၌ୢȨգॺޕၰϙሶࢂ҂ޕኧȩǹȨԖব٤ ٬Ҕ҂ޕኧ܈БำԄޑ࿶ᡍȩǹௗ๱Դৣᘜયεৎޑ૸ፕǴᇥܴȨှᚒ൩Ⴝ ࢂӧ౒ᖮǴှ҂ޕኧޑၸำ൩Ⴝࢂӧפрᖮۭ΋ኬȩǴᡣӕᏢ᝺ளှᚒࢂԖ ፪ޑπբǶϐࡕӛӕᏢཷౣϟಏҧพკޑࡺ٣ǴፎᏢғઇှдოᇞሎ΢ޑઝ ஏǴЇଆӕᏢ௖زȨҧพკოᇞሎȩȐკ1ȑϐ୏ᐒǶ Ȑ Β ȑ λ ಔ ᆶ ঁ Γ ௖ ز ᏢғӧԜၸำǴр౜೚ӭགྷݤᆶᅪൽǴٯӵჹȨᚒཀᕕှόమȩǵȨคݤӈр ֹ᏾ޑБำԄȩǵȨคݤፕ᛾Ծρޑ౒གྷȩ฻ǹԴৣߡଞჹ೭٤ᅪൽǴЇᏤᏢ ғ຾Չ௖زǶΠय़ޑჹ၉ࢂࢌ΋λಔޑᏢғӧीᆉ ₄ 2 1 5 7 1 12 1 6 1_{+ + + + + ޑၸำ} ύளډ ₉ 84 75 + Ǵ܌а౒ෳเਢࢂ84 ྃǴԴৣЇᏤᏢғѐፕ᛾ԾρޑเਢǺ سΚ۔ஃਢլਢ84 ᄣΛȐᖆෳȑ ஃΚ܃৻ᏖጩऱΛ سΚݺଚشෲऱΔڂ੡ނ٤ຝऱ։ᑇףದࠐΔ։ئਢ84Δݺଚᤚ൓ڶױ ౨༉ਢ84…Ȑፕ᛾ȑ ஃΚ܃ଚऱ࿠ூਢኙऱΔױਢ܃ଚլ౨ڂ੡ຏ։ਢ84 ༉ᤚ൓ਢ 84Δ૞უ ᙄऄᎅࣔຍᑌऱუऄਢኙऱ…ȐࡷᏯȑ سΚΰ՛ิ࢖ڼಘᓵ৵…αႵ…ݺवሐ…הऱԫسਢ 1 ቪ…׽૞ބנ ₁ 84 84 = … ༉ױאᎅהਢ84 ᄣ…Ȑፕ᛾ȑ Ȑ Ο ȑ ྎ ೯ ᆶ ׎ ԋ ่ ፕ ԴৣЇᏤӚಔ܈ӕᏢ΢Ѡว߄ԾρޑགྷݤǴ٠ௗڙӕᏢࡷᏯǴӧԜр౜೚ӭ ݾፕǴᏢғߡଞჹ೭٤ݾፕ຾Չፕ᛾Ǵᕇठ่ፕǶٯӵᏢғჹܭȨӆబΎϩ ΋ȩࢂࡰȨ΋ғޑΎϩ΋Ǵ _x 7 1 _{ȩ܈ࢂȨԌѐ߻य़ࡕޑΎϩϐ΋Ǵ} 7 1 ) 121 6 1 (x− x− x× ȩ Їวݾ᝼Ǻ سΚ۔ஃຍଡψ٦෌ωࠩࢍਢչᏖრ৸ΛȐࡷᏯȑ ஃΚݺՈլवሐΔ܀ਢ܃ଚױאኔ᧭઎઎Δ೗๻ _x 7 1 _ፖ 7 1 ) 12 1 6 1 (x− x− x × ߒຶ ڶչᏖլԫᑌΛ سΚԫଡጩנࠐਢ84ΰᇞ _{x+ x+ x+ + x+4=x} 2 1 5 7 1 12 1 6 1 _{αΙ׼ԫଡਢ63ΰᇞ} x x x x x+ + + + +4= 2 1 5 28 3 12 1 6 1 _{αॳȐፕ᛾ȑ} ஃΚ߷܃ଚᤚ൓84 ᄣֺለױ౨Δᝫਢ 63 ᄣΔუუ઎Δୌԫଡ࿠ூٽ෻Λ ੡չᏖΛ 7 ߄3 ௖ز௲ᏢጄٯǺҧพკოᇞሎ ໘ࢤ ࢲ୏ϣ৒ Ȑ΋ȑ ௃ნթ ֽᆶౢ ғୢᚒ ΋໒ۈǴԴৣၟӕᏢ૸ፕϙሶࢂȨ҂ޕኧȩᆶȨБำԄȩǴаϷӵՖᔈҔѬǴ ᙖԜӣ៝ӕᏢӧፐำ΋܌ᏢǶٯӵ၌ୢȨգॺޕၰϙሶࢂ҂ޕኧȩǹȨԖব٤ ٬Ҕ҂ޕኧ܈БำԄޑ࿶ᡍȩǹௗ๱Դৣᘜયεৎޑ૸ፕǴᇥܴȨှᚒ൩Ⴝ ࢂӧ౒ᖮǴှ҂ޕኧޑၸำ൩Ⴝࢂӧפрᖮۭ΋ኬȩǴᡣӕᏢ᝺ளှᚒࢂԖ ፪ޑπբǶϐࡕӛӕᏢཷౣϟಏҧพკޑࡺ٣ǴፎᏢғઇှдოᇞሎ΢ޑઝ ஏǴЇଆӕᏢ௖زȨҧพკოᇞሎȩȐკ1ȑϐ୏ᐒǶ Ȑ Β ȑ λ ಔ ᆶ ঁ Γ ௖ ز ᏢғӧԜၸำǴр౜೚ӭགྷݤᆶᅪൽǴٯӵჹȨᚒཀᕕှόమȩǵȨคݤӈр ֹ᏾ޑБำԄȩǵȨคݤፕ᛾Ծρޑ౒གྷȩ฻ǹԴৣߡଞჹ೭٤ᅪൽǴЇᏤᏢ ғ຾Չ௖زǶΠय़ޑჹ၉ࢂࢌ΋λಔޑᏢғӧीᆉ ₄ 2 1 5 7 1 12 1 6 1_{+ + + + + ޑၸำ} ύளډ ₉ 8475 + Ǵ܌а౒ෳเਢࢂ84 ྃǴԴৣЇᏤᏢғѐፕ᛾ԾρޑเਢǺ سΚ۔ஃਢլਢ84 ᄣΛȐᖆෳȑ ஃΚ܃৻ᏖጩऱΛ سΚݺଚشෲऱΔڂ੡ނ٤ຝऱ։ᑇףದࠐΔ։ئਢ84Δݺଚᤚ൓ڶױ ౨༉ਢ84…Ȑፕ᛾ȑ ஃΚ܃ଚऱ࿠ூਢኙऱΔױਢ܃ଚլ౨ڂ੡ຏ։ਢ84 ༉ᤚ൓ਢ 84Δ૞უ ᙄऄᎅࣔຍᑌऱუऄਢኙऱ…ȐࡷᏯȑ سΚΰ՛ิ࢖ڼಘᓵ৵…αႵ…ݺवሐ…הऱԫسਢ 1 ቪ…׽૞ބנ ₁ 84 84 = … ༉ױאᎅהਢ84 ᄣ…Ȑፕ᛾ȑ Ȑ Ο ȑ ྎ ೯ ᆶ ׎ ԋ ่ ፕ ԴৣЇᏤӚಔ܈ӕᏢ΢Ѡว߄ԾρޑགྷݤǴ٠ௗڙӕᏢࡷᏯǴӧԜр౜೚ӭ ݾፕǴᏢғߡଞჹ೭٤ݾፕ຾Չፕ᛾Ǵᕇठ่ፕǶٯӵᏢғჹܭȨӆబΎϩ ΋ȩࢂࡰȨ΋ғޑΎϩ΋Ǵ _x 7 1 _{ȩ܈ࢂȨԌѐ߻य़ࡕޑΎϩϐ΋Ǵ} 7 1 ) 12 1 6 1 (x− x− x × ȩ Їวݾ᝼Ǻ سΚ۔ஃຍଡψ٦෌ωࠩࢍਢչᏖრ৸ΛȐࡷᏯȑ ஃΚݺՈլवሐΔ܀ਢ܃ଚױאኔ᧭઎઎Δ೗๻ _x 7 1 _ፖ 7 1 ) 121 6 1 (x− x− x× ߒຶ ڶչᏖլԫᑌΛ سΚԫଡጩנࠐਢ84ΰᇞ _{x+ x+ x+ + x+4=x} 2 1 5 7 1 12 1 6 1 _{αΙ׼ԫଡਢ63ΰᇞ} x x x x x+ + + + +4= 2 1 5 28 3 12 1 6 1 _{αॳȐፕ᛾ȑ} ஃΚ߷܃ଚᤚ൓84 ᄣֺለױ౨Δᝫਢ 63 ᄣΔუუ઎Δୌԫଡ࿠ூٽ෻Λ ੡չᏖΛ 7 ߄3 ௖ز௲ᏢጄٯǺҧพკოᇞሎ ໘ࢤ ࢲ୏ϣ৒ Ȑ΋ȑ ௃ნթ ֽᆶౢ ғୢᚒ ΋໒ۈǴԴৣၟӕᏢ૸ፕϙሶࢂȨ҂ޕኧȩᆶȨБำԄȩǴаϷӵՖᔈҔѬǴ ᙖԜӣ៝ӕᏢӧፐำ΋܌ᏢǶٯӵ၌ୢȨգॺޕၰϙሶࢂ҂ޕኧȩǹȨԖব٤ ٬Ҕ҂ޕኧ܈БำԄޑ࿶ᡍȩǹௗ๱Դৣᘜયεৎޑ૸ፕǴᇥܴȨှᚒ൩Ⴝ ࢂӧ౒ᖮǴှ҂ޕኧޑၸำ൩Ⴝࢂӧפрᖮۭ΋ኬȩǴᡣӕᏢ᝺ளှᚒࢂԖ ፪ޑπբǶϐࡕӛӕᏢཷౣϟಏҧพკޑࡺ٣ǴፎᏢғઇှдოᇞሎ΢ޑઝ ஏǴЇଆӕᏢ௖زȨҧพკოᇞሎȩȐკ1ȑϐ୏ᐒǶ Ȑ Β ȑ λ ಔ ᆶ ঁ Γ ௖ ز ᏢғӧԜၸำǴр౜೚ӭགྷݤᆶᅪൽǴٯӵჹȨᚒཀᕕှόమȩǵȨคݤӈр ֹ᏾ޑБำԄȩǵȨคݤፕ᛾Ծρޑ౒གྷȩ฻ǹԴৣߡଞჹ೭٤ᅪൽǴЇᏤᏢ ғ຾Չ௖زǶΠय़ޑჹ၉ࢂࢌ΋λಔޑᏢғӧीᆉ ₄ 2 1 5 7 1 12 1 6 1_{+ + + + + ޑၸำ} ύளډ ₉ 84 75 + Ǵ܌а౒ෳเਢࢂ84 ྃǴԴৣЇᏤᏢғѐፕ᛾ԾρޑเਢǺ سΚ۔ஃਢլਢ84 ᄣΛȐᖆෳȑ ஃΚ܃৻ᏖጩऱΛ سΚݺଚشෲऱΔڂ੡ނ٤ຝऱ։ᑇףದࠐΔ։ئਢ84Δݺଚᤚ൓ڶױ ౨༉ਢ84…Ȑፕ᛾ȑ ஃΚ܃ଚऱ࿠ூਢኙऱΔױਢ܃ଚլ౨ڂ੡ຏ։ਢ84 ༉ᤚ൓ਢ 84Δ૞უ ᙄऄᎅࣔຍᑌऱუऄਢኙऱ…ȐࡷᏯȑ سΚΰ՛ิ࢖ڼಘᓵ৵…αႵ…ݺवሐ…הऱԫسਢ 1 ቪ…׽૞ބנ ₁ 84 84 = … ༉ױאᎅהਢ84 ᄣ…Ȑፕ᛾ȑ Ȑ Ο ȑ ྎ ೯ ᆶ ׎ ԋ ่ ፕ ԴৣЇᏤӚಔ܈ӕᏢ΢Ѡว߄ԾρޑགྷݤǴ٠ௗڙӕᏢࡷᏯǴӧԜр౜೚ӭ ݾፕǴᏢғߡଞჹ೭٤ݾፕ຾Չፕ᛾Ǵᕇठ่ፕǶٯӵᏢғჹܭȨӆబΎϩ ΋ȩࢂࡰȨ΋ғޑΎϩ΋Ǵ _x 7 1 _{ȩ܈ࢂȨԌѐ߻य़ࡕޑΎϩϐ΋Ǵ} 7 1 ) 12 1 6 1 (x− x− x × ȩ Їวݾ᝼Ǻ سΚ۔ஃຍଡψ٦෌ωࠩࢍਢչᏖრ৸ΛȐࡷᏯȑ ஃΚݺՈլवሐΔ܀ਢ܃ଚױאኔ᧭઎઎Δ೗๻ _x 7 1 _ፖ 7 1 ) 12 1 6 1 (x− x− x × ߒຶ ڶչᏖլԫᑌΛ سΚԫଡጩנࠐਢ84ΰᇞ _{x+ x+ x+ + x+4=x} 2 1 5 7 1 12 1 6 1 _{αΙ׼ԫଡਢ63ΰᇞ} x x x x x+ + + + +4= 2 1 5 28 3 12 1 6 1 _{αॳȐፕ᛾ȑ} ஃΚ߷܃ଚᤚ൓84 ᄣֺለױ౨Δᝫਢ 63 ᄣΔუუ઎Δୌԫଡ࿠ூٽ෻Λ ੡չᏖΛ Ȑ Ѥ ȑ ϸࡘᆶ ᆒጏϯ ӧԜ໘ࢤǴԴৣޑπբЬाࢂᘜયӧ΢ॊ௖زၸำ܌ᏢǴ٠ᙖҗ૸ፕ೭٤௖ زၸำǴᆒጏᏢғޑࡘᆢᆶЇวཥޑ௖ز᝼ᚒǶٯӵǺ ஃΚړΔൕଶଶٺ՛ิऱ࿇।Δࡉಘᓵऱመ࿓Δ܃ଚᖂ฾ࠩԱչᏖΛ سΚႵ…ᖂࠩ৻Ꮦشֱ࿓ڤጩנࠐ࿠ூ ஃΚ߷ᇞຍଡᠲؾڶୌࠄֱऄΛ سΚױא೗๻ψԫسωਢxΔྥ৵ނຍࠄ༓։հ༓೗๻נࠐ٨ֱ࿓ڤΔ່ ৵ጩנࠐ࿠ூ ஃΚৰړΔ߷ױլױאլ૞شآवᑇऱֱऄΛ سΚଶଶڶԳਢشຏ։ބנᨃ ₁ 84 84 = ऱֱऄΔה༉޲ڶشآवᑇΙᝫڶԳ ش ₎ 2 1 7 1 12 1 6 1 1 ( ) 5 4 ( + ÷ − − − − Ոױאጩנ࿠ூ… ѤǵೖፋҺ୍೛ी ᜢܭೖፋҺ୍೛ीǴ२ӃԵໆȐ΋ȑ Yerushalmy (2000) Ǵдᇡࣁೖፋύޑ Һ୍Ǵሡᡣڙೖޣགڙ௃ნȐёаԖၨుΕޑှᚒࡘᆢȑǹ٠ૈև౜ᙦ൤ޑှᚒ ᐕำȐԖճܭϩ݋ှᚒૈΚȑǶځԛǴȐΒȑךॺவ௖ز௲Ꮲࢲ୏Ǵᒧрၨڀж߄ ܄ޑୢᚒǴ೛ी่ᄬ࣬үޑೖፋҺ୍Ƕ೭٤ೖፋҺ୍Ǵё٩ᏵှᚒచҹϩԋȨೲ ࡋȩǵȨԃសȩᆶȨᎩኧȩ฻ΟᜪȐ߄4ȑǶ೛ीೖፋҺ୍ޑၸำᆶ௖ز௲Ꮲࢲ୏೛ ीၸำ࣬՟ǴΨᐕ࿶ᆶࣴزი໗૸ፕǵঅ҅ޑำׇǶ

92 10 ߄4 ௲Ꮲ߻ࡕೖፋҺ୍ ϩᜪ ᇥܴ ໘ࢤ Һ୍ ௲Ꮲ߻ ೖፋ ܫᏢࡕգ஥๱գॺৎޑλކѐᏢਠᏹ൑ණ؁Ǵଷ೛գوၡ ޑೲࡋࢂλކޑ_ ७Ǵգॺ΋ଆவາၰрว΋ࢤਔ໔ࡕǴΞ ӧ྽߃ޑଆᗺၶډλކǴգࡐӳڻλކزഖوΑ൳୮ǴԜ ਔ਒ᜐԖՏӳЈޑढ़ғΓගᒬգॺᕴӅوΑ 10 ୮Ǵՠጋ ༡ޑգࠅב૶Ծρوޑ୮ኧǴӧ೭٤Ԗज़ޑచҹΠǴգᗋ ԖᒤݤޕၰλކوΑ൳୮༏ǻ ೲࡋ ሡ٬Ҕ ೲࡋཷ ۺ ௲Ꮲࡕ ೖፋ ଷ೛գࢂଯ៓ޑႝတπำৣǴգௗᕇҔႝတኳᔕКၨଯ៓ ᆶѠ៓Չًਔ໔ޑҺ୍Ǵӧ೬ᡏύգѸ໪ӃϩձᒡΕଷ೛ ޑଯ៓ᆶѠ៓ೲࡋǵՉ຾໔ޑຯᚆ฻ၗ਑Ǵӧ΋ԛޑኳᔕ ύǴႝတᡉҢ่݀ӵΠǺȨଯ៓ೲࡋ15 Ϧٚ/λਔǹѠ៓ೲ ࡋ10 Ϧٚ/λਔǴଯ៓КѠ៓Ԑܢၲಖᗺ 10 ϩដȩՠӢس ಍΢ޑᒱᇤǴᏤठգפόډ྽߃܌ଷ೛ޑຯᚆǹգૈவ΢ ॊ೭٤่݀פрՉ຾໔ޑຯᚆ༏ǻ ௲Ꮲ߻ ೖፋ Ԗ΋ϺۃۃୢኧᏢԴৣϞԃ൳ྃǻኧᏢԴৣᇥǺȨךႽգ೭ ሶεਔǴգω5 ྃǹ฻գډך೭ሶεਔǴך൩ς࿶ 32 ྃ ΑǶȩፎգᔅᔅۃۃᆉрኧᏢԴৣ౜ԃࢂ൳ྃǻ ԃស ሡޕၰ ٿޣԃ សৡຯ ڰۓ ௲Ꮲࡕ ೖፋ ಉЈޑλआ൰೏εഁਫ਼ਆՐΑǴଯᑫޑεഁਫ਼ྗഢஒӴᅹ ੘ࡕӞ௞Ǵז೏ᓵܶޑλआ൰धधࠉ؃Ǵεഁਫ਼ܭࢂ๏Α Ӵ΋ԛᐒ཮ǴؤᇥǺȨନߚیૈ౒рך൳ྃǻך൩ܫΑیǼȩ εഁਫ਼ޑගҢӵΠǺȨךႽی೭ሶεਔǴیω6 ྃǹیډך ೭ሶεਔǴך൩21 ྃΑǶȩᆙ஭ޑλआ൰ǴೱԾρ൳ྃ೿ ᓵளב૶ΑǴ࡛ሶᒤǻ௱௱λआ൰փǼգૈᆉрٰεഁਫ਼ ޑྃኧ༏ǻ ௲Ꮲ߻ ೖፋ ଷ೛ךॺᏢਠ೏ᒧࣁω᛬੤Ե၂ޑ൑ӦǴ౜ӧόޕၰൔԵ ΓኧǴΨόޕၰᏢਠගٮӭϿঁ၂൑ǴՠࢂவԴৣޑፋ၉ ύǴգว౜ӵ݀؂ঁ၂൑а50 ΓϩଛǴځύ཮Ԗ 2 ঁ၂൑ ѝԖ40 Γǹऩ؂ঁ၂൑а 40 ΓٰϩଛǴٗሶځύԖ 3 ঁ ၂൑཮ϩଛډ60 ΓǴவ΢य़ޑૻ৲ǴգёаޕၰӅԖ൳ঁ ၂൑ǴൔӜΓኧԖӭϿΓ༏ǻ Ꭹኧ ሡᕕှ ܌؃ޑ ᕴኧڰ ۓ ௲Ꮲࡕ ೖፋ ଷ೛գ႖Ꮫ੤ޑӳܻ϶ࢂϞϺޑॶВғǴдޑπբࢂϩଛ ᔼᎦϱᓓޑᜮᓐ๏੤΢ӕᏢǶ౜ӧς࿶ޕၰд੤΢ӅԖ50 ΓǴᜮᓐК੤΢ӕᏢᗋӭǴӅԖ60 ঁǴҗܭζғ१ໆၨλǴ ࿶੤΢ӕᏢ૸ፕࡕǴεৎ،ۓتғ1 ঁΓёаӞ 2 ঁǹζ ғ߾ࢂ3 ঁΓӞ 2 ঁǴ೭ኬখӳёаע܌ԖޑᜮᓐϩଛֹǴ ٗሶգޕၰ႖Ꮫ੤ԖӭϿتғǵζғ༏ǻ

ϖǵኧᏢှᚒૈΚຑໆ

ҁࣴز٬ҔٿᅿБԄȐໆᆶ፦ȑٰϩ݋ှᚒૈΚǶ

數學探究教學對數學解題能力提升之個案研究

9

五、數學解題能力評量

本研究使用兩種方式（量與質）來分析解題能力。 （一）解題能力量化分析量表

此量表 (Szetela & Nicol, 1992) 是以 Polya (195) 的解題架構為基礎，內含 三個向度：「瞭解問題」、「解決問題」與「回答問題」。因此「瞭解問題」 與解題者是否識別清楚解題所需有關；「解決問題」與解題者如何「擬定計 畫」有關；「回答問題」與解題者如何「執行計畫」有關。然其中缺乏對「回 顧問題」的評量，經研究團隊討論後加上此向度，以0－2分描述學生在回顧問 題的表現，其中2分意味能夠精緻原本的解題策略，發展出更佳的解題方式； 或是能夠以其他合宜的方式解題（評分範例見附錄二）。 10 ߄4 ௲Ꮲ߻ࡕೖፋҺ୍ ϩᜪ ᇥܴ ໘ࢤ Һ୍ ௲Ꮲ߻ ೖፋ ܫᏢࡕգ஥๱գॺৎޑλކѐᏢਠᏹ൑ණ؁Ǵଷ೛գوၡ ޑೲࡋࢂλކޑ_ ७Ǵգॺ΋ଆவາၰрว΋ࢤਔ໔ࡕǴΞ ӧ྽߃ޑଆᗺၶډλކǴգࡐӳڻλކزഖوΑ൳୮ǴԜ ਔ਒ᜐԖՏӳЈޑढ़ғΓගᒬգॺᕴӅوΑ 10 ୮Ǵՠጋ ༡ޑգࠅב૶Ծρوޑ୮ኧǴӧ೭٤Ԗज़ޑచҹΠǴգᗋ ԖᒤݤޕၰλކوΑ൳୮༏ǻ ೲࡋ ሡ٬Ҕ ೲࡋཷ ۺ ௲Ꮲࡕ ೖፋ ଷ೛գࢂଯ៓ޑႝတπำৣǴգௗᕇҔႝတኳᔕКၨଯ៓ ᆶѠ៓Չًਔ໔ޑҺ୍Ǵӧ೬ᡏύգѸ໪ӃϩձᒡΕଷ೛ ޑଯ៓ᆶѠ៓ೲࡋǵՉ຾໔ޑຯᚆ฻ၗ਑Ǵӧ΋ԛޑኳᔕ ύǴႝတᡉҢ่݀ӵΠǺȨଯ៓ೲࡋ15 Ϧٚ/λਔǹѠ៓ೲ ࡋ10 Ϧٚ/λਔǴଯ៓КѠ៓Ԑܢၲಖᗺ 10 ϩដȩՠӢس ಍΢ޑᒱᇤǴᏤठգפόډ྽߃܌ଷ೛ޑຯᚆǹգૈவ΢ ॊ೭٤่݀פрՉ຾໔ޑຯᚆ༏ǻ ௲Ꮲ߻ ೖፋ Ԗ΋ϺۃۃୢኧᏢԴৣϞԃ൳ྃǻኧᏢԴৣᇥǺȨךႽգ೭ ሶεਔǴգω 5 ྃǹ฻գډך೭ሶεਔǴך൩ς࿶ 32 ྃ ΑǶȩፎգᔅᔅۃۃᆉрኧᏢԴৣ౜ԃࢂ൳ྃǻ ԃស ሡޕၰ ٿޣԃ សৡຯ ڰۓ ௲Ꮲࡕ ೖፋ ಉЈޑλआ൰೏εഁਫ਼ਆՐΑǴଯᑫޑεഁਫ਼ྗഢஒӴᅹ ੘ࡕӞ௞Ǵז೏ᓵܶޑλआ൰धधࠉ؃Ǵεഁਫ਼ܭࢂ๏Α Ӵ΋ԛᐒ཮ǴؤᇥǺȨନߚیૈ౒рך൳ྃǻך൩ܫΑیǼȩ εഁਫ਼ޑගҢӵΠǺȨךႽی೭ሶεਔǴیω6 ྃǹیډך ೭ሶεਔǴך൩21 ྃΑǶȩᆙ஭ޑλआ൰ǴೱԾρ൳ྃ೿ ᓵளב૶ΑǴ࡛ሶᒤǻ௱௱λआ൰փǼգૈᆉрٰεഁਫ਼ ޑྃኧ༏ǻ ௲Ꮲ߻ ೖፋ ଷ೛ךॺᏢਠ೏ᒧࣁω᛬੤Ե၂ޑ൑ӦǴ౜ӧόޕၰൔԵ ΓኧǴΨόޕၰᏢਠගٮӭϿঁ၂൑ǴՠࢂவԴৣޑፋ၉ ύǴգว౜ӵ݀؂ঁ၂൑а50 ΓϩଛǴځύ཮Ԗ 2 ঁ၂൑ ѝԖ40 Γǹऩ؂ঁ၂൑а 40 ΓٰϩଛǴٗሶځύԖ 3 ঁ ၂൑཮ϩଛډ60 ΓǴவ΢य़ޑૻ৲ǴգёаޕၰӅԖ൳ঁ ၂൑ǴൔӜΓኧԖӭϿΓ༏ǻ Ꭹኧ ሡᕕှ ܌؃ޑ ᕴኧڰ ۓ ௲Ꮲࡕ ೖፋ ଷ೛գ႖Ꮫ੤ޑӳܻ϶ࢂϞϺޑॶВғǴдޑπբࢂϩଛ ᔼᎦϱᓓޑᜮᓐ๏੤΢ӕᏢǶ౜ӧς࿶ޕၰд੤΢ӅԖ50 ΓǴᜮᓐК੤΢ӕᏢᗋӭǴӅԖ60 ঁǴҗܭζғ१ໆၨλǴ ࿶੤΢ӕᏢ૸ፕࡕǴεৎ،ۓتғ1 ঁΓёаӞ 2 ঁǹζ ғ߾ࢂ3 ঁΓӞ 2 ঁǴ೭ኬখӳёаע܌ԖޑᜮᓐϩଛֹǴ ٗሶգޕၰ႖Ꮫ੤ԖӭϿتғǵζғ༏ǻ

ϖǵኧᏢှᚒૈΚຑໆ

ҁࣴز٬ҔٿᅿБԄȐໆᆶ፦ȑٰϩ݋ှᚒૈΚǶ 11

Ȑ΋ȑှᚒૈΚໆϯϩ݋ໆ߄ (Szetela & Nicol, 1992)

Ԝໆ߄ࢂа Polya (1945) ޑှᚒࢎᄬࣁ୷ᘵǴϣ֖ΟঁӛࡋǺȨᕕှୢᚒȩǵȨှ ،ୢᚒȩᆶȨӣเୢᚒȩǶӢԜȨᕕှୢᚒȩᆶှᚒޣࢂց᛽ձమཱှᚒ܌ሡԖᜢǹ Ȩှ،ୢᚒȩᆶှᚒޣӵՖȨᔕۓीฝȩԖᜢǹȨӣเୢᚒȩᆶှᚒޣӵՖȨ୺Չ ीฝȩԖᜢǶฅځύલЮჹȨӣ៝ୢᚒȩޑຑໆǴ࿶ࣴزი໗૸ፕࡕу΢ԜӛࡋǴ а0ɡ2 ϩඔॊᏢғӧӣ៝ୢᚒޑ߄౜Ǵځύ 2 ϩཀښૈ୼ᆒጏচҁޑှᚒ฼ౣǴ ว৖р׳٫ޑှᚒБԄǹ܈ࢂૈ୼аځдӝەޑБԄှᚒȐຑϩጄٯـߕᒵΒȑǶ ߄5 ှᚒૈΚϩ݋ࢎᄬ ӛࡋ ளϩᆶᇥܴ ᕕှୢᚒ 0ɡؒԖ჋၂ǹ1ɡ൳Яᒱᇤှ᠐ୢᚒǹ2ɡᒱᇤှ᠐ୢᚒޑЬा೽ϩǹ3ɡ ᒱᇤှ᠐λ೽ϩୢᚒǹ4ɡֹӄᕕှୢᚒ ှ،ୢᚒ 0ɡؒԖ჋၂ǹ1ɡֹӄό፾ӝޑှᚒीฝǹ2ɡ೽ϩ҅ዴޑำׇՠε೽ϩ ࢂᒱޑǹ3ɡ୷ҁ΢ำׇ҅ዴՠԖλ೽ϩޑ౧ᅅ܈ำׇᒱᇤǹ 4ɡؒԖᆉೌᒱᇤ٠ૈளډ҅ዴှเޑीฝ ӣเୢᚒ 0ɡؒԖ჋၂܈ό፾ӝޑှᚒीฝᏤठᒱᇤǹ1ɡכቪᒱᇤǹीᆉᒱᇤǹϿ ቪ΋٤ှเǹؒԖჹှเඔॊǹჹเਢޑඔॊᒱᇤǹ2ɡֹӄ҅ዴ ӣ៝ୢᚒ* 0ɡؒԖ჋၂ǹ1ɡૈᔠᡍเਢࢂց҅ዴǹ2ɡૈගр࡞྽ޑόӕှᚒ฼ౣ ຏǺȨ*ȩ, ҁࣴزཥቚޑӛࡋ ȐΒȑှᚒૈΚ፦܄ϩ݋኱ྗ ҁࣴزი໗٩ᏵPolya (1945) ޑࢎᄬԾጓԶԋǶ٩ځࢎᄬǴԖਏ౗ޑှᚒᔈ ၀х֖Ǻ1.ૈ୼మཱᕕှᚒཀǴᇥܴᚒҞޑచҹǹ2.ૈ୼ࢬᄣޑ٬ҔኧᏢޕ᛽Ǵග рှᚒ฼ౣ຾Չှᚒǹ3.྽ှᚒၶډ਋שਔǴૈख़ཥಔᙃᚒҞޑၗૻǴගрόӕ ޑ฼ౣǹ4.ૈղᘐเਢࢂցӝ౛Ǵ٠ԖૈΚගрόӕޑှᚒ฼ౣǶ΢ॊஒගٮҁ ࣴزӧ፦܄ϩ݋ਔޑ኱ྗǶ

Ϥǵࣴزୖᆶޣ

ҁࣴزᏢਠՏܭࠄ׫Ӧ୔ǴឦύλࠠೕኳǴӄਠӅ21 ੤Ǵ೽ϩᏢғࢂচՐ҇Ƕ ᏾ᡏԶقǴᏢғԋᕮ߄౜ౣৡǶҁࣴزᒧڗΎԃભޑ΋ঁ੤ભբࣁঁਢ੤ભǴЬ ӢȐ΋ȑ၀੤ᏢғၨࢲዃǴԖճܭ௖زਔ૸ፕࢲ୏ޑ຾ՉǹȐΒȑԜ੤ભኧᏢԋᕮ （二）解題能力質性分析標準 本研究團隊依據 Polya (195) 的架構自編而成。依其架構，有效率的解題 應該包含：1.能夠清楚瞭解題意，說明題目的條件；2.能夠流暢的使用數學知 識，提出解題策略進行解題；.當解題遇到挫折時，能重新組織題目的資訊， 提出不同的策略；.能判斷答案是否合理，並有能力提出不同的解題策略。上 述將提供本研究在質性分析時的標準。

9

六、研究參與者

本研究學校位於南投地區，屬中小型規模，全校共21班，部分學生是原住 民。整體而言，學生成績表現略差。本研究選取七年級的一個班級作為個案班 級，主因（一）該班學生較活潑，有利於探究時討論活動的進行；（二）此班 級數學成績屬該校的中上程度，有一些表現較突出的學生，可在探究時，作為 領導者的角色。 為了深入探討不同成就學生的解題能力，以及瞭解同組內的互動，我們刻 意選擇一個組別為參與者。選取該組的原因是該組學生彼此有良好的互動，也 很投入於探究教學。介紹如下（匿名）： 1. 怡璇：女生，高成就。個性內向，很用功也很積極，上課總是以很認真 的表情在聽講，不過遇到問題時都不曾發問，也不喜歡發表想法，但私 底下是一位很有想法的學生。 2. 紹庭：男生，中成就。上課反應很冷淡，從他上課時的表情及反應，很 難看出他是否理解老師教的內容，喜歡寫一些簡短的算式來突顯自己的 數學能力，但有時不知所云。此外，計算能力不佳，易有小錯誤。 . 雅慈：女生，中成就。在班上成績並不突出，上課也很少回應，平常上 課很少注意到她。但她的口語表達能力很不錯，曾多次代表班上參加演 講比賽，只是在數學課並不常發言，可能是因為成績沒有很好，比較有 顧忌。 . 婉伶：女生，低成就。個性非常活潑外向，非常喜歡表現自己。上課最 有反應且回答最大聲，可惜數學程度不佳，所以常會回答錯誤，不過每 次被其他同學取笑時，她似乎不太在意，很開朗的女生。

七、資料來源

資料來源有四，說明如下： （一）任務為基礎的訪談 採一對一，每位學生一小時，並於過程中錄影。分別在探究教學前後實施 （共兩次），每次需回答三題訪談任務，各類一題（表）；目的是瞭解學生 在探究教學前後，解題能力的差異。前後訪談任務，結構相仿但不一致。訪談

數學探究教學對數學解題能力提升之個案研究 95 程序是先讓學生自己解決訪談中的「任務」，接著研究者依據學生的解答，詢 問學生「瞭解問題」、「解決問題」、「回答問題」與「回顧問題」等四個向 度之相關問題，例如：1.請概略解釋題意與題目所求。例如什麼是已知數？什 麼是未知數？題目的條件為何？（瞭解問題）2.請說明你如何解決這個問題？ 怎麼想到這個解題策略的？如果沒有想出解題策略，那麼你的困難在哪？（解 決問題與回答問題）.你如何驗證你的答案？是否還有其他解題方法？（回顧 問題）。此外，在教學後訪談並增加.探究教學對你解題上的影響？等相關問 題。 （二）課室觀察 利用錄影、錄音與相機記錄探究教學之情形。 （三）學習日誌 在每次課程結束後撰寫。目的是瞭解學生在探究中的學習與其解題思維， 透過學生敘述探究過程中的心得，並對解題進行反思與回顧。如1.在這次教學 活動中，我學到…（如數學知識、解題能力、探究技巧或是其他）2.在這次教 學活動中，我印象最為深刻的是….在這次教學活動中，你覺得自己解題的表 現如何？ （四）教學日誌 在每次課程結束後撰寫。教學後，研究者會針對每堂課的教學進行記述性 的描述與反思，包括記錄小組討論情形，教學對話，學生學習表現等，作為輔 助分析之用。如：1.此次的上課過程的摘要描述。2.此次探究教學過程中，個 案學生的學習表現。

八、資料分析與編碼

資料分析，可分為兩個階段。第一階段先對「訪談」與「課室觀察」的錄 影、錄音進行必要的轉錄。接著依據學生在訪談中的表現，使用「解題能力分 析量表」（表）與「解題能力質性分析標準」進行初步的評分與註解（描述 個案解題能力）。這個過程，是由研究團隊先共同檢視個案在訪談中解決任務 的過程，先在轉錄稿中寫下關於個案解題能力的註解，並給予初步的評分，評

9 分者信度介於.9-.9之間，對於爭議之處（評分不一致），研究團隊進行反覆 的磋商與討論，直到達成共識。 第二階段的分析，是從上述四種不同資料來源，整體性的分析探究教學如 何影響學生的解題能力。依據 Warfield、Wood 與 Lehman (2005) 的質性資料分 析程序，先將上述四種不同資料來源逐一檢視，接著進行互相比較，瞭解其關 聯，藉此勾勒探究教學對解題能力的影響。 本研究使用「資料來源-日期」作為編碼的依據，如2009年1月1日「學習日 誌」上所寫的內容標示為「SJOUR-090101」。其他代碼說明如下：課室錄影或 錄音，「REC」；訪談，「INT」；教學日誌，「TJOUR」。

九、三角校正

本研究使用「資料來源」與「分析者」的三角校正。例如研究者在分析學 生的解題表現時，會仔細檢視本研究蒐集的不同資料，並且透過研究團隊的分 析與討論，才做最後的論述。諸如表，研究者對怡璇回顧問題能力的詮釋， 係透過四種不同資料 (INT、REC、SJOUR、TJOUR) 交叉檢驗，以及與研究團 隊討論後，才形成共識： ҁࣴز٬ҔȨၗ਑ٰྍȩᆶȨϩ݋ޣȩޑΟفਠ҅Ƕٯӵࣴزޣӧϩ݋Ꮲғ ޑှᚒ߄౜ਔǴ཮вಒᔠຎҁࣴزᇆ໣ޑόӕၗ਑Ǵ٠Ъ೸ၸࣴزი໗ޑϩ݋ᆶ ૸ፕǴω଺നࡕޑፕॊǶፏӵ߄ 6Ǵࣴزޣჹ܃⪭ӣ៝ୢᚒૈΚޑ၍ញǴ߯೸ၸ Ѥᅿόӕၗ਑ (INTǵRECǵSJOURǵTJOUR) ҬΰᔠᡍǴаϷᆶࣴزი໗૸ፕࡕǴ ω׎ԋӅ᛽Ǻ ߄6 Οفਠ҅ᖐٯ ࣴزޣ၍ញǺ܃⪭ޑȨӣ៝ୢᚒȩӛࡋȐගрόӕှᚒ฼ౣޑૈΚȑ߄౜ό٫Ǵᆶځ ှᚒߞۺԖᜢǶ ૸ፕ (TJOUR-09 0108) Ȑᄔᒵǹ R1ǵR2ǵR3 ࣴزი໗ԋ঩ȑ R1Κ޲ᙄऄشլٵ࿜ฃऱ଺ڂৰڍΔ࡬৻Ꮦᒔࡳڔਢॾ࢚ऱംᠲΛ R2Κڂ੡ࠡኔڔګᜎৰլᙑΔᑇᖂवᢝ޲ڶംᠲΔ׽ਢუऄ֜ڽࣨ…ᚨᇠᎅڶ រࡐച…լ֜౨൷࠹ࠡהᇞऄΖ R3ΚݺՈٵრR2 ऱᎅऄΔ܃઎ໝΔቝڔڇ๶ᓫऱழଢ༉ڶ༼ࠩ…ΰ֧شڍց ᢞᖕࠐᎅࣔα INT (081024) ȐೖǴೖፋޣǹ܃Ǵ܃⪭ȑ! ๶Κ࡬ᎁ੡ԫଡᠲؾױլױ౨ڶࠡהऱᇞऄࡋΛ ࢣΚאছᑇᖂᠲؾຟ׽ᄎڶԫଡإᒔᇞऄΔࢬאլ֜ױ౨ᄎڶࠟଡܣΜ REC (081031) ȐಏǴಏ৥ȑ! ฯΚ࡬ຍଡᠲؾױאش྽ቹΰ྽ᑇᒵαࠐუ… ࢣΚᑇᒵΔ৻Ꮦ྽Λ ฯΚ༉ਢຍᑌ೿ΰٻࢣⱍᇞᤩڕ۶྽α… ࢣΚݺᦫլᚩ… ฯΚ੡չᏖΛ ࢣΚݺᤚ൓ຍጟᠲؾ༉ᚨᇠشx ጩΔ܃ຍᑌৰ࡛ࢡ…ΰုΚ׽౨൷࠹זᑇᇞऄα SJOUR (081226) ڇຍڻ੒೯խݺᏆஔࠩຍ؁ᇩΚψאլٵऱߡ৫װ઎ৱᠲؾޓ౨ტ࠹ࠩᑇᖂऱ ࡛ݎፖᑗᔊωΔ׊ݺՈᖂࠩڕ۶شಭٻ৸ەऱֱڤװᇞᠲΰုΚॾ࢚ޏ᧢αΖ TJOUR (081027) ൕ๶ᓫխઔߒृ࿇෼ࢣඝऱ࿠ூڂ੡֟ᐊࠡה࿠ூΔࢬאᖄીྤऄஞࠩ٤ຝऱ ։ᑇΔຘመ๶ᓫթवሐڇڔऱᎁवᇙ૿ਢլױ౨ᄎڶլٵऱ࿠ூΖ

數學探究教學對數學解題能力提升之個案研究 9

肆、發現與討論

一、怡璇的解題表現

表可以發現怡璇在教學前後訪談，「瞭解問題」、「解決問題」與「回 答問題」等向度皆有不錯的表現（.、、1.分；.、.、2分）；「回顧問 題」在教學前表現不佳（0.分），但在教學後訪談提升到1.分，這似乎意味 實施探究教學後，她具備更多提出不同解題策略的能力。 ҁࣴز٬ҔȨၗ਑ٰྍȩᆶȨϩ݋ޣȩޑΟفਠ҅Ƕٯӵࣴزޣӧϩ݋Ꮲғ ޑှᚒ߄౜ਔǴ཮вಒᔠຎҁࣴزᇆ໣ޑόӕၗ਑Ǵ٠Ъ೸ၸࣴزი໗ޑϩ݋ᆶ ૸ፕǴω଺നࡕޑፕॊǶፏӵ߄ 6Ǵࣴزޣჹ܃⪭ӣ៝ୢᚒૈΚޑ၍ញǴ߯೸ၸ Ѥᅿόӕၗ਑ (INTǵRECǵSJOURǵTJOUR) ҬΰᔠᡍǴаϷᆶࣴزი໗૸ፕࡕǴ ω׎ԋӅ᛽Ǻ ߄6 Οفਠ҅ᖐٯ ࣴزޣ၍ញǺ܃⪭ޑȨӣ៝ୢᚒȩӛࡋȐගрόӕှᚒ฼ౣޑૈΚȑ߄౜ό٫Ǵᆶځ ှᚒߞۺԖᜢǶ ૸ፕ (TJOUR-09 0108) Ȑᄔᒵǹ R1ǵR2ǵR3 ࣴزი໗ԋ঩ȑ R1Κ޲ᙄऄشլٵ࿜ฃऱ଺ڂৰڍΔ࡬৻Ꮦᒔࡳڔਢॾ࢚ऱംᠲΛ R2Κڂ੡ࠡኔڔګᜎৰլᙑΔᑇᖂवᢝ޲ڶംᠲΔ׽ਢუऄ֜ڽࣨ…ᚨᇠᎅڶ រࡐച…լ֜౨൷࠹ࠡהᇞऄΖ R3ΚݺՈٵრR2 ऱᎅऄΔ܃઎ໝΔቝڔڇ๶ᓫऱழଢ༉ڶ༼ࠩ…ΰ֧شڍց ᢞᖕࠐᎅࣔα INT (081024) ȐೖǴೖፋޣǹ܃Ǵ܃⪭ȑ! ๶Κ࡬ᎁ੡ԫଡᠲؾױլױ౨ڶࠡהऱᇞऄࡋΛ ࢣΚאছᑇᖂᠲؾຟ׽ᄎڶԫଡإᒔᇞऄΔࢬאլ֜ױ౨ᄎڶࠟଡܣΜ REC (081031) ȐಏǴಏ৥ȑ! ฯΚ࡬ຍଡᠲؾױאش྽ቹΰ྽ᑇᒵαࠐუ… ࢣΚᑇᒵΔ৻Ꮦ྽Λ ฯΚ༉ਢຍᑌ೿ΰٻࢣⱍᇞᤩڕ۶྽α… ࢣΚݺᦫլᚩ… ฯΚ੡չᏖΛ ࢣΚݺᤚ൓ຍጟᠲؾ༉ᚨᇠشx ጩΔ܃ຍᑌৰ࡛ࢡ…ΰုΚ׽౨൷࠹זᑇᇞऄα SJOUR (081226) ڇຍڻ੒೯խݺᏆஔࠩຍ؁ᇩΚψאլٵऱߡ৫װ઎ৱᠲؾޓ౨ტ࠹ࠩᑇᖂऱ ࡛ݎፖᑗᔊωΔ׊ݺՈᖂࠩڕ۶شಭٻ৸ەऱֱڤװᇞᠲΰုΚॾ࢚ޏ᧢αΖ TJOUR (081027) ൕ๶ᓫխઔߒृ࿇෼ࢣඝऱ࿠ூڂ੡֟ᐊࠡה࿠ூΔࢬאᖄીྤऄஞࠩ٤ຝऱ ։ᑇΔຘመ๶ᓫթवሐڇڔऱᎁवᇙ૿ਢլױ౨ᄎڶլٵऱ࿠ூΖ 13 ҁࣴز٬ҔȨၗ਑ٰྍȩᆶȨϩ݋ޣȩޑΟفਠ҅Ƕٯӵࣴزޣӧϩ݋Ꮲғ ޑှᚒ߄౜ਔǴ཮вಒᔠຎҁࣴزᇆ໣ޑόӕၗ਑Ǵ٠Ъ೸ၸࣴزი໗ޑϩ݋ᆶ ૸ፕǴω଺നࡕޑፕॊǶፏӵ߄ 6Ǵࣴزޣჹ܃⪭ӣ៝ୢᚒૈΚޑ၍ញǴ߯೸ၸ Ѥᅿόӕၗ਑ (INTǵRECǵSJOURǵTJOUR) ҬΰᔠᡍǴаϷᆶࣴزი໗૸ፕࡕǴ ω׎ԋӅ᛽Ǻ ߄6 Οفਠ҅ᖐٯ ࣴزޣ၍ញǺ܃⪭ޑȨӣ៝ୢᚒȩӛࡋȐගрόӕှᚒ฼ౣޑૈΚȑ߄౜ό٫Ǵᆶځ ှᚒߞۺԖᜢǶ ૸ፕ (TJOUR-09 0108) Ȑᄔᒵǹ R1ǵR2ǵR3 ࣴزი໗ԋ঩ȑ R1Κ޲ᙄऄشլٵ࿜ฃऱ଺ڂৰڍΔ࡬৻Ꮦᒔࡳڔਢॾ࢚ऱംᠲΛ R2Κڂ੡ࠡኔڔګᜎৰլᙑΔᑇᖂवᢝ޲ڶംᠲΔ׽ਢუऄ֜ڽࣨ…ᚨᇠᎅڶ រࡐച…լ֜౨൷࠹ࠡהᇞऄΖ R3ΚݺՈٵრR2 ऱᎅऄΔ܃઎ໝΔቝڔڇ๶ᓫऱழଢ༉ڶ༼ࠩ…ΰ֧شڍց ᢞᖕࠐᎅࣔα INT (081024) ȐೖǴೖፋޣǹ܃Ǵ܃⪭ȑ! ๶Κ࡬ᎁ੡ԫଡᠲؾױլױ౨ڶࠡהऱᇞऄࡋΛ ࢣΚאছᑇᖂᠲؾຟ׽ᄎڶԫଡإᒔᇞऄΔࢬאլ֜ױ౨ᄎڶࠟଡܣΜ REC (081031) ȐಏǴಏ৥ȑ! ฯΚ࡬ຍଡᠲؾױאش྽ቹΰ྽ᑇᒵαࠐუ… ࢣΚᑇᒵΔ৻Ꮦ྽Λ ฯΚ༉ਢຍᑌ೿ΰٻࢣⱍᇞᤩڕ۶྽α… ࢣΚݺᦫլᚩ… ฯΚ੡չᏖΛ ࢣΚݺᤚ൓ຍጟᠲؾ༉ᚨᇠشx ጩΔ܃ຍᑌৰ࡛ࢡ…ΰုΚ׽౨൷࠹זᑇᇞऄα SJOUR (081226) ڇຍڻ੒೯խݺᏆஔࠩຍ؁ᇩΚψאլٵऱߡ৫װ઎ৱᠲؾޓ౨ტ࠹ࠩᑇᖂऱ ࡛ݎፖᑗᔊωΔ׊ݺՈᖂࠩڕ۶شಭٻ৸ەऱֱڤװᇞᠲΰုΚॾ࢚ޏ᧢αΖ TJOUR (081027) ൕ๶ᓫխઔߒृ࿇෼ࢣඝऱ࿠ூڂ੡֟ᐊࠡה࿠ூΔࢬאᖄીྤऄஞࠩ٤ຝऱ ։ᑇΔຘመ๶ᓫթवሐڇڔऱᎁवᇙ૿ਢլױ౨ᄎڶլٵऱ࿠ூΖ ߄7 ܃⪭ӧೖፋύޑ߄౜ ਔ໔ ᕕှୢᚒ ှ،ୢᚒ ӣเୢᚒ ӣ៝ୢᚒ ௲Ꮲ߻ೖፋ _{3.3/4 3/4 1.7/2 0.3/2} ௲Ꮲࡕೖፋ _{3.7/4 3.7/4 2/2 1.7/2} ຏǺϩ҆ࢂ၀ӛࡋޑᅈϩ

9 （一）教學前訪談，怡璇的「回顧問題」向度表現不佳，與其解題信念有關 怡璇在教學前訪談獲得不錯的分數，她都是以設未知數與列方程式（代 數）來解決這些任務，但只要無法使用代數解題時，就會放棄。以教學前訪 談－速度問題（表）為例，怡璇不知道如何假設此題的未知數，因而無法作 答，當研究者（訪談者）進一步要求她嘗試其他策略時，她認為不用代數解 題，就不能算是「數學的解法」： 訪：這題為什麼不會做？ 怡：我是看得懂題目，但這不能用數學式子（代數方式）來做運算，我就沒寫了。 訪：那如果用紹庭的方法呢（非代數方法）？妳認為呢？ 怡：我覺得那不能算是數學的解法。（INT-0102） 因此她在「回顧問題」表現不佳，顯示她缺乏思考不同解題策略的能力， 歸究其原因，可能是她的解題信念中，不能接受多樣的解題路徑（見表， INT）。 （二）其他同學在探究教學中的優異表現，刺激怡璇改變信念 隨著探究教學的進行，怡璇有機會接觸同組其他同學展現許多不同的解題 方式（如紹庭，圖），並且有時這些代數以外的解題方式能更有效的解決問 題，怡璇逐漸對她的解題信念感到懷疑，經一番掙扎後，也願意學習其他同學 的解題方式： 怡璇剛開始滿排斥探究的上課方式，因她認為一個題目不可能有不同解法，所以在探究教學 中，她也不願意思考其他的解題方法；相較於其他組員的投入（擁有多元的解題思維）讓她 感到挫折，但怡璇是一個好勝心很強的學生，探究教學對她的幫助是讓她感受其他組員的長 處，激起她的鬥志。（TJOUR-0102） 雖然這次的課程表現不是很理想，但是看到其他人的優異表現更能激發我的上進心，就是不 想輸給別人，下次我會贏回來的。（SJOUR-0102） 怡璇是高成就的學生，她的學習效率優於其他同學，因此在這些訪談任務 中，她能較熟悉的使用代數解題，並認為這就是唯一的解題方式。然而在數學

數學探究教學對數學解題能力提升之個案研究

99

探究中，不強調解答的「權威性」 (Siegel, Borasi, & Fonzi, 199) ，注重解題歷 程，鼓勵學生用多元方式解題，因此其他同學有機會在探究教學活動中展現不 同的解題策略，解決怡璇不會的問題；這挑戰著她的信念，同時這也激起她的 企圖心，她不願意輸給那些成績比她差的同學，於是逐漸願意接受這些代數以 外的解題方式。特別說明，在此並非強調代數的解法不好，只是解題能力應包 括靈活的使用解題策略。 （三）探究教學促進怡璇整合先前的數學知識，提升「回顧問題」能力 當怡璇逐漸改變信念時，她開始學習同組其他學生的非代數解法（如紹 庭），並在教學後訪談能提出多種不同的解題策略（如比例），提升「回顧問 題」能力。以教學後訪談－速度問題為例（表），怡璇在之前都是慣用代數 來解此類問題，但在教學後訪談，她並沒有因為列方程式受挫就放棄，反之她 嘗試從先備知識發展解題策略（圖2）。 圖2中，她很巧妙的利用「速度的倒數比」（把 ，轉換成 ，比較 每公里的時間差距）和「除法」（10分鐘是 的幾倍）解題成功。這個策略是 從先備知識發展而來，因在國小階段，學生就學習過類似的追趕問題，在此的 特別之處是怡璇能夠將每小時公里，轉換成每公里小時來解題，展現靈活的思 維。 從 Mayer (1992) 的解題認知程序來看，先備知識在解題中扮演重要角色， 因為先備知識牽繫「主動認知」的成功與否。探究教學中，學生擁有許多自主 探索的機會，並有機會與其他同學溝通討論這些探索的想法，這個過程可活化 學生的先備知識，因為當學生在主動探索問題時，都是由先備知識開始思考。 კ2 ܃⪭வӃഢޕ᛽ว৖ှᚒ฼ౣ 公里 小時 小時 公里 1 0

100 科學教育研究與發展季刊第五十五期

二、紹庭的解題表現

表可以發現紹庭在教學前「瞭解問題」表現較差，僅得1.分，另外「解 決問題」、「回答問題」也沒有很突出（2.、1分），因為他很容易出現計算 上的錯誤。但「回顧問題」卻是紹庭的長處，在解題過程中，他能提出許多不 同的解題策略，因此教學前後都能獲得不錯的分數（1.、2分）。 ߄8 ಏ৥ӧೖፋύޑ߄౜ ਔ໔ ᕕှୢᚒ ှ،ୢᚒ ӣเୢᚒ ӣ៝ୢᚒ ௲Ꮲ߻ೖፋ 1.3/4 2.7/4 1/2 1.7/2 ௲Ꮲࡕೖፋ 4/4 3/4 1.3/2 2/2 18 ؂Ϧٚޑਔ໔ৡຯȑکȨନݤȩȐ10 ϩដࢂ 30 1 _{ޑ൳७ȑှᚒԋфǶ೭ঁ฼ౣࢂவ} Ӄഢޕ᛽ว৖ԶٰǴӢӧ୯λ໘ࢤǴᏢғ൩Ꮲಞၸᜪ՟ޑଓᇴୢᚒǴӧԜޑ੝ձ ϐೀࢂ܃⪭ૈ୼ஒ؂λਔϦٚǴᙯඤԋ؂ϦٚλਔٰှᚒǴ৖౜ᡫࢲޑࡘᆢǶ வ Mayer (1992) ޑှᚒᇡޕำׇٰ࣮ǴӃഢޕ᛽ӧှᚒύתᄽख़ाفՅǴ ӢࣁӃഢޕ᛽౐ᛠȨЬ୏ᇡޕȩޑԋфᆶցǶ௖ز௲ᏢύǴᏢғᏱԖ೚ӭԾЬ௖ ઩ޑᐒ཮Ǵ٠Ԗᐒ཮ᆶځдӕᏢྎ೯૸ፕ೭٤௖઩ޑགྷݤǴ೭ঁၸำёࢲϯᏢғ ޑӃഢޕ᛽ǴӢࣁ྽ᏢғӧЬ୏௖઩ୢᚒਔǴ೿ࢂҗӃഢޕ᛽໒ۈࡘԵǶ

Βǵಏ৥ޑှᚒ߄౜

߄8 ёаว౜ಏ৥ӧ௲Ꮲ߻Ȩᕕှୢᚒȩ߄౜ၨৡǴ໻ள 1.3 ϩǴќѦȨှ ،ୢᚒȩǵȨӣเୢᚒȩΨؒԖࡐँрȐ2.7ǵ1 ϩȑǴӢࣁдࡐ৒ܰр౜ीᆉ΢ޑ ᒱᇤǶՠȨӣ៝ୢᚒȩࠅࢂಏ৥ޑߏೀǴӧှᚒၸำύǴдૈගр೚ӭόӕޑှ ᚒ฼ౣǴӢԜ௲Ꮲ߻ࡕ೿ૈᕇளόᒱޑϩኧȐ1.7ǵ2 ϩȑǶ ߄8 ಏ৥ӧೖፋύޑ߄౜ ਔ໔ ᕕှୢᚒ ှ،ୢᚒ ӣเୢᚒ ӣ៝ୢᚒ ௲Ꮲ߻ೖፋ 1.3/4 2.7/4 1/2 1.7/2 ௲Ꮲࡕೖፋ 4/4 3/4 1.3/2 2/2 Ȑ΋ȑ௲Ꮲ߻ೖፋǴಏ৥ޑȨᕕှୢᚒȩӛࡋ߄౜ό٫ ಏ৥Ԗ๱όᒱޑࡘԵှᚒ฼ౣૈΚǴӧ௖ز௲ᏢၸำύǴૈ୼ගр೚ӭόӕ ှᚒགྷݤǴЇวλಔ௖زޑݗൎǴՠȨᕕှୢᚒȩࢂಏ৥ၨ১ޑ΋ᕉǶკ3 ࢂಏ ৥ӧ௲Ꮲ߻ೖፋǴӢჹᚒҞȨգوၡޑೲࡋࢂλކޑ 2 3_{७ȩှ᠐ᒱᇤȐ߄4ȑǴ} ޔᢀᇡࣁȨךȩᆶȨλކȩޑೲࡋКࢂ1Ǻ 2 3_{ǴᏤठஒȨךȩޑೲࡋଷ೛ࣁxǹȨλ} ކȩޑೲࡋଷ೛ࣁ 2 3 xȐკ 3 ѰୁǴ҅ዴޑଷ೛λކޑೲࡋᔈࣁ 3 2 xȑǴᕇளᒱᇤ เਢ6 ୮Ȑკ 3 ѰୁѺ୮ೀȑǶ კ3 ಏ৥ᒱᇤှ᠐ᚒཀǴᕇளᒱᇤเਢ 6 ୮ ಏ৥ӧೖፋޣޑा؃ΠǴΨҔќѦٿᅿБԄᡍ᛾เਢǶಃ΋ঁБԄᆶচٰޑ གྷݤ࣬ӕǴѝࢂஒচҁଷ೛ޑ҂ޕኧϕඤȐკ3ύ໔ȑǴҗܭؒԖঅ҅ٿޣޑೲ ࡋКȐӧԜᔈଷ೛Ȩךȩޑೲࡋࣁ 2 3 xȑǴ٩ฅᕇளᒱᇤเਢ xɨ6ǶಃΒঁБԄ߾ ࢂ٬ҔКٯǶӃஒٿޣೲࡋК࣬уȐ 2 3_ɠ1ɨ 2 5_{ȑǴௗ๱ஒȨᕴ୮ኧȩᆶȨᕴКٯȩ} ࣬ନȐ10÷ 2 5_{ȑǴᕇளȨךȩາ4 ୮Ǵՠ٩ฅᇡࣁךᆶλކೲࡋКࢂȨ1Ǻ} 2 3_ȩǴϝ ᕇள6 ୮ޑᒱᇤှเǶ ΢ॊಏ৥౛ှᚒҞచҹᜢ߯ޑૈΚό٫ǴᏤठှᚒᒱᇤǴջ٬ԖૈΚҔόӕ БԄှᚒǴ٩ฅคݤᔅշдว౜ᒱᇤǶΠय़ޑೖፋǴࣴزޣගҢдଷ೛ԖᇤǴᔕ ᕕှдࢂցόλЈ࣮ᒱᚒҞǴՠவдޑӣเǴд՟ЯϝόޕᒱᇤࣁՖǺ ๶Κ܃ऱ೗๻ړቝᇿᠲؾऱრ৸լԫᑌΛ ฯΚڶႯΛݺՈլवሐ…ױ౨ਢڶழଢᆰ࿢୲ؚ࣐࿨ܣΔݺՈ޲ᙄऄॳΜȐINT-081024ȑ ȐΒȑ௖ز௲Ꮲύޑλಔ૸ፕǴᔅշಏ৥Ȩᕕှୢᚒȩ ӧࡕय़ޑ௖زፐำΟύǴךॺΨ૸ፕ΋٤ᜪ՟ޑೲࡋୢᚒǴಏ৥ߡஒ೭ঁೖ ፋҺ୍ගрٰǴբࣁȨϸࡘᆶᆒጏϯȩ໘ࢤޑ௖ز᝼ᚒǶ૸ፕၸำύǴ໡ཁǵ܃ ⪭ޑှᚒགྷݤתᄽᜢᗖفՅǺ კ3 ಏ৥ᒱᇤှ᠐ᚒཀǴᕇளᒱᇤเਢ 6 ୮ ಏ৥ӧೖፋޣޑा؃ΠǴΨҔќѦٿᅿБԄᡍ᛾เਢǶಃ΋ঁБԄᆶচٰޑ གྷݤ࣬ӕǴѝࢂஒচҁଷ೛ޑ҂ޕኧϕඤȐკ3ύ໔ȑǴҗܭؒԖঅ҅ٿޣޑೲ ࡋКȐӧԜᔈଷ೛Ȩךȩޑೲࡋࣁ 2 3 xȑǴ٩ฅᕇளᒱᇤเਢ xɨ6ǶಃΒঁБԄ߾ ࢂ٬ҔКٯǶӃஒٿޣೲࡋК࣬уȐ 2 3_ɠ1ɨ 2 5_{ȑǴௗ๱ஒȨᕴ୮ኧȩᆶȨᕴКٯȩ} ࣬ନȐ10÷ 2 5_{ȑǴᕇளȨךȩາ4 ୮Ǵՠ٩ฅᇡࣁךᆶλކೲࡋКࢂȨ1Ǻ} 2 3_ȩǴϝ ᕇள6 ୮ޑᒱᇤှเǶ ΢ॊಏ৥౛ှᚒҞచҹᜢ߯ޑૈΚό٫ǴᏤठှᚒᒱᇤǴջ٬ԖૈΚҔόӕ БԄှᚒǴ٩ฅคݤᔅշдว౜ᒱᇤǶΠय़ޑೖፋǴࣴزޣගҢдଷ೛ԖᇤǴᔕ ᕕှдࢂցόλЈ࣮ᒱᚒҞǴՠவдޑӣเǴд՟ЯϝόޕᒱᇤࣁՖǺ ๶Κ܃ऱ೗๻ړቝᇿᠲؾऱრ৸լԫᑌΛ ฯΚڶႯΛݺՈլवሐ…ױ౨ਢڶழଢᆰ࿢୲ؚ࣐࿨ܣΔݺՈ޲ᙄऄॳΜȐINT-081024ȑ ȐΒȑ௖ز௲Ꮲύޑλಔ૸ፕǴᔅշಏ৥Ȩᕕှୢᚒȩ ӧࡕय़ޑ௖زፐำΟύǴךॺΨ૸ፕ΋٤ᜪ՟ޑೲࡋୢᚒǴಏ৥ߡஒ೭ঁೖ ፋҺ୍ගрٰǴբࣁȨϸࡘᆶᆒጏϯȩ໘ࢤޑ௖ز᝼ᚒǶ૸ፕၸำύǴ໡ཁǵ܃ ⪭ޑှᚒགྷݤתᄽᜢᗖفՅǺ

數學探究教學對數學解題能力提升之個案研究 101 訪：你的假設好像跟題目的意思不一樣？ 紹：有嗎？我也不知道…可能是有時候腦筋容易打結吧，我也沒辦法阿！（INT-0102） （二）探究教學中的小組討論，幫助紹庭「瞭解問題」 在後面的探究課程三中，我們也討論一些類似的速度問題，紹庭便將這 個訪談任務提出來，作為「反思與精緻化」階段的探究議題。討論過程中，雅 慈、怡璇的解題想法扮演關鍵角色： 19 კ3 ಏ৥ᒱᇤှ᠐ᚒཀǴᕇளᒱᇤเਢ 6 ୮ ಏ৥ӧೖፋޣޑा؃ΠǴΨҔќѦٿᅿБԄᡍ᛾เਢǶಃ΋ঁБԄᆶচٰޑ གྷݤ࣬ӕǴѝࢂஒচҁଷ೛ޑ҂ޕኧϕඤȐკ3ύ໔ȑǴҗܭؒԖঅ҅ٿޣޑೲ ࡋКȐӧԜᔈଷ೛Ȩךȩޑೲࡋࣁ 2 3 xȑǴ٩ฅᕇளᒱᇤเਢ xɨ6ǶಃΒঁБԄ߾ ࢂ٬ҔКٯǶӃஒٿޣೲࡋК࣬уȐ 2 3_ɠ1ɨ 2 5_{ȑǴௗ๱ஒȨᕴ୮ኧȩᆶȨᕴКٯȩ} ࣬ନȐ10÷ 2 5_{ȑǴᕇளȨךȩາ4 ୮Ǵՠ٩ฅᇡࣁךᆶλކೲࡋКࢂȨ1Ǻ} 2 3_ȩǴϝ ᕇள6 ୮ޑᒱᇤှเǶ ΢ॊಏ৥౛ှᚒҞచҹᜢ߯ޑૈΚό٫ǴᏤठှᚒᒱᇤǴջ٬ԖૈΚҔόӕ БԄှᚒǴ٩ฅคݤᔅշдว౜ᒱᇤǶΠय़ޑೖፋǴࣴزޣගҢдଷ೛ԖᇤǴᔕ ᕕှдࢂցόλЈ࣮ᒱᚒҞǴՠவдޑӣเǴд՟ЯϝόޕᒱᇤࣁՖǺ ๶Κ܃ऱ೗๻ړቝᇿᠲؾऱრ৸լԫᑌΛ ฯΚڶႯΛݺՈլवሐ…ױ౨ਢڶழଢᆰ࿢୲ؚ࣐࿨ܣΔݺՈ޲ᙄऄॳΜȐINT-081024ȑ ȐΒȑ௖ز௲Ꮲύޑλಔ૸ፕǴᔅշಏ৥Ȩᕕှୢᚒȩ ӧࡕय़ޑ௖زፐำΟύǴךॺΨ૸ፕ΋٤ᜪ՟ޑೲࡋୢᚒǴಏ৥ߡஒ೭ঁೖ ፋҺ୍ගрٰǴբࣁȨϸࡘᆶᆒጏϯȩ໘ࢤޑ௖ز᝼ᚒǶ૸ፕၸำύǴ໡ཁǵ܃ ⪭ޑှᚒགྷݤתᄽᜢᗖفՅǺ Ȑ໡Ǵ໡ཁȑ! ฯΚ܃ਢ৻ᏖጩऱΛ ႁΚ೗๻՛दߨ1 എழΔݺ༉ߨ 2 3 എΔࢬאԫڻ༉ᄎߨ 2 3 1 എΔڂڼނ 2 3 1 10 ÷ ༉वሐ൓ߨ4 ڻΔ ࢬא՛द༉ᄎߨ4 എॳ… ฯΚݺՈਢڶشᇿ܃ԫᑌऱ೚ऄॳΔױਢ㻽չᏖݺጩנࠐ༉ਢ6 എΰսྥլवሐ۞ա೗๻ڶᎄα… ࢣΚ܃ᙑԱ೺Δ܃ނ՛दᇿݺऱ଍ᑇ઎ᙑ ฯΚΰუԱԫՀα…ڶႯΛݺਢݺ୮՛दऱ 2 3 ଍Δ߷ਢ՛दֺለݶॳ… ࢣΚլኙΔᚨᇠਢψݺωֺለݶΔψছ૿ωΰԳαऱֺψ৵૿ωΰदαऱݶ… ฯΚ㻽չᏖΛ ࢣΚ܃઎ໝ…ݺਢ՛दऱ 2 3 ଍Δ߷ז।՛दਢ 1 ଍ऱழଢΔݺਢ 2 3 ଍Δࢬא՛दߨ 2 എΔݺ༉ᄎ ߨ3 എΔψছ૿ωਢψ৵૿ωऱ଍ᑇ೺… ฯΚໝΔ߷ݺᚩԱΔݺჶᙑ،ଚऱᣂএԱΰᠲრαΰREC-081031α ΢ॊךॺว౜௖ز௲ᏢύǴ໡ཁǵ܃⪭೸ၸ૸ፕǴϩ٦۶ԜޑှᚒБԄǴ ᔅշಏ৥ȨᕕှୢᚒȩǴёـ௖ز௲Ꮲύޑፕ᛾Ȑϩ٦܈ှញԾρޑགྷݤȑჹှ ᚒૈΚࡐԖᔅշǴό໻ߦ຾ԾρࡘԵǴΨૈᔅշჹБ׳ᕕှᚒཀǶ ȐΟȑ௲ᏢࡕޑೖፋǴಏ৥৖౜׳ᆒጏޑȨӣ៝ୢᚒȩૈΚ ೸ၸ຾΋؁ޑ፦܄ϩ݋Ǵךॺว౜ಏ৥ӧ௲ᏢࡕೖፋǴԖ๱׳ᆒጏޑӣ៝ୢ ᚒૈΚǴૈᡫࢲޑ٬Ҕှ฼ౣǴ٠׳уᅱ௓дޑှᚒՉࣁǶٯӵ௲ᏢࡕೖፋɡᎩ ኧୢᚒȐ߄ 4ȑǴдନΑૈажኧբเǴΨૈѯ֮ޑၮҔȨКٯȩᆶȨӈ߄ȩ௢ ౛рเਢǶှᚒၸำࢂӃ٩Ᏽتғ1 ΓӞ 2 ঁޑКٯǴ٩ׇӈрتғΓኧᆶӞޑ ঁኧȐ10 Γɨ20 ঁǵ20ɨ40 ঁ…ȑǴӈډ 50 ΓࡕȐӢ੤΢ӅԖ 50 ΓǴόሡӆ ۳ΠӈȑǴд໒ۈԵቾᜮᓐޑঁኧѝԖ60 ঁǴӢԜ 30 Γǵ40 Γǵ50 Γޑเਢ೿ όёૈǴϒаմѐȐᜮᓐኧЊ ǴᆶᚒཀόӝȑǶௗ๱ӆӈрζғӞޑঁኧǴՠ60 όࢂႽتғ΋ኬவ10 Γ໒ۈӈǴдԵቾӄ੤Ԗ 50 ΓޑచҹǴаኧჹޑБԄٰӈ ߄ǴӢԜتғ10 ΓਔǴჹᔈζғΓኧࢂ 40 ΓȐՠᜮᓐኧߚ᏾ኧᆶᚒཀόӝǴࡺ մѐȑǹࡐזޑǴӧتғ20 ΓਔǴζғࢂ 30 Γ௢౛р҅ዴှเȐᜮᓐኧࣁ 20ɠ 40ɨ60Ǵᆶᚒཀ࣬಄ȑȐკ 4ȑǺ

102 科學教育研究與發展季刊第五十五期 上述我們發現探究教學中，雅慈、怡璇透過討論，分享彼此的解題方式， 幫助紹庭「瞭解問題」，可見探究教學中的論證（分享或解釋自己的想法）對 解題能力很有幫助，不僅促進自己思考，也能幫助對方更瞭解題意。 （三）教學後的訪談，紹庭展現更精緻的「回顧問題」能力 透過進一步的質性分析，我們發現紹庭在教學後訪談，有著更精緻的回 顧問題能力，能靈活的使用解策略，並更加監控他的解題行為。例如教學後 訪談－餘數問題（表），他除了能以代數作答，也能巧妙的運用「比例」與 「列表」推理出答案。解題過程是先依據男生1人吃2個的比例，依序列出男生 人數與吃的個數（10人＝20個、20人＝0個…），列到50人後（因班上共有50 人，不需再往下列），他開始考慮饅頭的個數只有0個，因此0人、0人、50 人的答案都不可能，予以刪去（饅頭數≧0，與題意不合）。接著再列出女生 吃的個數，但不是像男生一樣從10人開始列，他考慮全班有50人的條件，以數 對的方式來列表，因此男生10人時，對應女生人數是0人（但饅頭數非整數與 題意不合，故刪去）；很快的，在男生20人時，女生是0人推理出正確解答 （饅頭數為20＋0＝0，與題意相符）（圖）： 20 ႁΚ೗๻՛दߨ1 എழΔݺ༉ߨ 2 3 എΔࢬאԫڻ༉ᄎߨ 2 1 എΔڂڼނ 2 3 1 10 ÷ ༉वሐ൓ߨ4 ڻΔ ࢬא՛द༉ᄎߨ4 എॳ… ฯΚݺՈਢڶشᇿ܃ԫᑌऱ೚ऄॳΔױਢ㻽չᏖݺጩנࠐ༉ਢ6 എΰսྥլवሐ۞ա೗๻ڶᎄα… ࢣΚ܃ᙑԱ೺Δ܃ނ՛दᇿݺऱ଍ᑇ઎ᙑ ฯΚΰუԱԫՀα…ڶႯΛݺਢݺ୮՛दऱ 2 3 ଍Δ߷ਢ՛दֺለݶॳ… ࢣΚլኙΔᚨᇠਢψݺωֺለݶΔψছ૿ωΰԳαऱֺψ৵૿ωΰदαऱݶ… ฯΚ㻽չᏖΛ ࢣΚ܃઎ໝ…ݺਢ՛दऱ 2 3 ଍Δ߷ז।՛दਢ 1 ଍ऱழଢΔݺਢ 2 3 ଍Δࢬא՛दߨ 2 എΔݺ༉ᄎ ߨ3 എΔψছ૿ωਢψ৵૿ωऱ଍ᑇ೺… ฯΚໝΔ߷ݺᚩԱΔݺჶᙑ،ଚऱᣂএԱΰᠲრαΰREC-081031α ΢ॊךॺว౜௖ز௲ᏢύǴ໡ཁǵ܃⪭೸ၸ૸ፕǴϩ٦۶ԜޑှᚒБԄǴ ᔅշಏ৥ȨᕕှୢᚒȩǴёـ௖ز௲Ꮲύޑፕ᛾Ȑϩ٦܈ှញԾρޑགྷݤȑჹှ ᚒૈΚࡐԖᔅշǴό໻ߦ຾ԾρࡘԵǴΨૈᔅշჹБ׳ᕕှᚒཀǶ ȐΟȑ௲ᏢࡕޑೖፋǴಏ৥৖౜׳ᆒጏޑȨӣ៝ୢᚒȩૈΚ ೸ၸ຾΋؁ޑ፦܄ϩ݋Ǵךॺว౜ಏ৥ӧ௲ᏢࡕೖፋǴԖ๱׳ᆒጏޑӣ៝ୢ ᚒૈΚǴૈᡫࢲޑ٬Ҕှ฼ౣǴ٠׳уᅱ௓дޑှᚒՉࣁǶٯӵ௲ᏢࡕೖፋɡᎩ ኧୢᚒȐ߄ 4ȑǴдନΑૈажኧբเǴΨૈѯ֮ޑၮҔȨКٯȩᆶȨӈ߄ȩ௢ ౛рเਢǶှᚒၸำࢂӃ٩Ᏽتғ1 ΓӞ 2 ঁޑКٯǴ٩ׇӈрتғΓኧᆶӞޑ ঁኧȐ10 Γɨ20 ঁǵ20ɨ40 ঁ…ȑǴӈډ 50 ΓࡕȐӢ੤΢ӅԖ 50 ΓǴόሡӆ ۳ΠӈȑǴд໒ۈԵቾᜮᓐޑঁኧѝԖ60 ঁǴӢԜ 30 Γǵ40 Γǵ50 Γޑเਢ೿ όёૈǴϒаմѐȐᜮᓐኧЊ ǴᆶᚒཀόӝȑǶௗ๱ӆӈрζғӞޑঁኧǴՠ60 όࢂႽتғ΋ኬவ10 Γ໒ۈӈǴдԵቾӄ੤Ԗ 50 ΓޑచҹǴаኧჹޑБԄٰӈ ߄ǴӢԜتғ10 ΓਔǴჹᔈζғΓኧࢂ 40 ΓȐՠᜮᓐኧߚ᏾ኧᆶᚒཀόӝǴࡺ մѐȑǹࡐזޑǴӧتғ20 ΓਔǴζғࢂ 30 Γ௢౛р҅ዴှเȐᜮᓐኧࣁ 20ɠ 40ɨ60Ǵᆶᚒཀ࣬಄ȑȐკ 4ȑǺ კ4 ಏ৥৖౜ڑຫޑӣ៝ୢᚒૈΚ ಏ৥ӧှԜᚒਔǴ৖౜ڑຫޑӣ៝ୢᚒૈΚǶдૈᑼ཮ೣ೯ᚒཀǴкϩඓඝ ᚒҞޑచҹǴӢԜӧӈ߄Ȩ჋၂ᒱᇤȩȐմѐόӝ౛เਢȑၸำύǴόሡӈрࡐ ӭёૈเਢǹΨࡐԖמѯޑஒتғᆶζғޑΓኧҔኧჹٰ߄౜ǴӧीᆉζғӞޑ ᜮᓐኧਔǴΨૈᕕှζғΓኧᆶᜮᓐኧޑКࣁȨ1Ǻ 3 2_{ȩǴ೭٤߄౜೿Ꮴӛܭჹᚒ} ཀкϩᕕှǴ٠Ъ׳уᅱ௓ԾρޑှᚒՉࣁǶ ߻ॊךॺමගϷ௖زޑၸำǴ൩ࢂȨᖆෳɡፕ᛾ɡᔠᡍɡᆒጏȩޑϸᙟำׇǴ ךॺᇡࣁಏ৥ޑԋߏǴٰԾ௖ز௲ᏢύѸ໪ӛӕᏢᇥܴགྷݤȐፕ᛾ȑᆶௗڙࡷᏯ ȐᔠᡍȑǴҗܭಏ৥ҁٰ൩ࢂ΋ՏԖࡐӭှᚒགྷݤޑᏢғȐёගрၨӭᖆෳȑǴӢ ԜдԖ׳ӭᐒ཮࿶ᐕ೭ঁ௖زൻᕉǴߦ٬д΋ӆϸࡘԾρޑှᚒࡘᆢǴ຾Զගϲ Ȩӣ៝ୢᚒȩૈΚǶ

Οǵ໡ཁޑှᚒ߄౜

߄ 9 ёаว౜໡ཁӧ௲Ꮲ߻ೖፋύǴȨှ،ୢᚒȩǵȨӣเୢᚒȩᆶȨӣ៝ୢ ᚒȩޑ߄౜೿ό౛གྷȐ1.3ǵ0.3ǵ0 ϩȑǴՠӧ௲ᏢࡕೖፋǴӚঁӛࡋ೿ԖԋߏȐ3.3ǵ 1.7ǵ1.7 ϩȑǴ೭՟ЯᡉҢ໡ཁӧ࿶ᐕ௖ز௲ᏢࡕǴගϲځှᚒૈΚǶ ߄9 ໡ཁӧೖፋύޑ߄౜ ਔ໔ ᕕှୢᚒ ှ،ୢᚒ ӣเୢᚒ ӣ៝ୢᚒ ௲Ꮲ߻ೖፋ _{3.3/4 1.3/4 0.3/2 0/2} ௲Ꮲࡕೖፋ _{4/4 3.3/4 1.7/2 1.7/2} Ȑ΋ȑ௲Ꮲ߻ೖፋǴ໡ཁӧȨှ،ୢᚒȩᆶȨӣเୢᚒȩӛࡋ߄౜ό٫Ǵᆶ௲Ꮲ БԄԖᜢǶ

數學探究教學對數學解題能力提升之個案研究 10 紹庭在解此題時，展現卓越的回顧問題能力。他能融會貫通題意，充分掌 握題目的條件，因此在列表「嘗試錯誤」（刪去不合理答案）過程中，不需列 出很多可能答案；也很有技巧的將男生與女生的人數用數對來表現，在計算女 生吃的饅頭數時，也能瞭解女生人數與饅頭數的比為「1：2_ 」，這些表現都 導向於對題意充分瞭解，並且更加監控自己的解題行為。 前述我們曾提及探究的過程，就是「臆測－論證－檢驗－精緻」的反覆程 序，我們認為紹庭的成長，來自探究教學中必須向同學說明想法（論證）與接 受挑戰（檢驗），由於紹庭本來就是一位有很多解題想法的學生（可提出較多 臆測），因此他有更多機會經歷這個探究循環，促使他一再反思自己的解題思 維，進而提升「回顧問題」能力。

三、雅慈的解題表現

表9可以發現雅慈在教學前訪談中，「解決問題」、「回答問題」與「回 顧問題」的表現都不理想（分數：1.、0.、0），但在教學後訪談，各個向度 都有成長（分數：.、1.、1.），這似乎顯示雅慈在經歷探究教學後，提升 其解題能力。 21 კ4 ಏ৥৖౜ڑຫޑӣ៝ୢᚒૈΚ ಏ৥ӧှԜᚒਔǴ৖౜ڑຫޑӣ៝ୢᚒૈΚǶдૈᑼ཮ೣ೯ᚒཀǴкϩඓඝ ᚒҞޑచҹǴӢԜӧӈ߄Ȩ჋၂ᒱᇤȩȐմѐόӝ౛เਢȑၸำύǴόሡӈрࡐ ӭёૈเਢǹΨࡐԖמѯޑஒتғᆶζғޑΓኧҔኧჹٰ߄౜ǴӧीᆉζғӞޑ ᜮᓐኧਔǴΨૈᕕှζғΓኧᆶᜮᓐኧޑКࣁȨ1Ǻ 3 2 ȩǴ೭٤߄౜೿Ꮴӛܭჹᚒ ཀкϩᕕှǴ٠Ъ׳уᅱ௓ԾρޑှᚒՉࣁǶ ߻ॊךॺමගϷ௖زޑၸำǴ൩ࢂȨᖆෳɡፕ᛾ɡᔠᡍɡᆒጏȩޑϸᙟำׇǴ ךॺᇡࣁಏ৥ޑԋߏǴٰԾ௖ز௲ᏢύѸ໪ӛӕᏢᇥܴགྷݤȐፕ᛾ȑᆶௗڙࡷᏯ ȐᔠᡍȑǴҗܭಏ৥ҁٰ൩ࢂ΋ՏԖࡐӭှᚒགྷݤޑᏢғȐёගрၨӭᖆෳȑǴӢ ԜдԖ׳ӭᐒ཮࿶ᐕ೭ঁ௖زൻᕉǴߦ٬д΋ӆϸࡘԾρޑှᚒࡘᆢǴ຾Զගϲ Ȩӣ៝ୢᚒȩૈΚǶ

Οǵ໡ཁޑှᚒ߄౜

߄ 9 ёаว౜໡ཁӧ௲Ꮲ߻ೖፋύǴȨှ،ୢᚒȩǵȨӣเୢᚒȩᆶȨӣ៝ୢ ᚒȩޑ߄౜೿ό౛གྷȐ1.3ǵ0.3ǵ0 ϩȑǴՠӧ௲ᏢࡕೖፋǴӚঁӛࡋ೿ԖԋߏȐ3.3ǵ 1.7ǵ1.7 ϩȑǴ೭՟ЯᡉҢ໡ཁӧ࿶ᐕ௖ز௲ᏢࡕǴගϲځှᚒૈΚǶ ߄9 ໡ཁӧೖፋύޑ߄౜ ਔ໔ ᕕှୢᚒ ှ،ୢᚒ ӣเୢᚒ ӣ៝ୢᚒ ௲Ꮲ߻ೖፋ 3.3/4 1.3/4 0.3/2 0/2 ௲Ꮲࡕೖፋ _{4/4 3.3/4 1.7/2 1.7/2} Ȑ΋ȑ௲Ꮲ߻ೖፋǴ໡ཁӧȨှ،ୢᚒȩᆶȨӣเୢᚒȩӛࡋ߄౜ό٫Ǵᆶ௲Ꮲ БԄԖᜢǶ （一）教學前訪談，雅慈在「解決問題」與「回答問題」向度表現不佳，與教 學方式有關。 雅慈在教學前訪談的表現，低於研究者的預期，因為從她平常的考試成 績，研究者認為她在前三個向度不至於與紹庭差距太大（不含「回顧問題」， 因此向度紹庭本來就較佳），然而事實上她在「解決問題」與「回答問題」都 較紹庭差（1.＜2.；0.＜1）。從訪談中，我們發現這是因為雅慈在「一元一 次方程式」單元學習不佳，因此就算她可以瞭解問題，卻無法發展有效的解題 策略： ߄7 ܃⪭ӧೖፋύޑ߄౜ ਔ໔ ᕕှୢᚒ ှ،ୢᚒ ӣเୢᚒ ӣ៝ୢᚒ ௲Ꮲ߻ೖፋ _{3.3/4 3/4 1.7/2 0.3/2} ௲Ꮲࡕೖፋ _{3.7/4 3.7/4 2/2 1.7/2} ຏǺϩ҆ࢂ၀ӛࡋޑᅈϩ

10 訪：我看你好像都不太會做這些題目（教學前訪談任務）？ 雅：對阿… 雅：我不太知道怎麼寫… 訪：為什麼？我們不是教過一些未知數的東西，你可以試著從假設未知數來著手阿… 雅：但是其實我不太懂這個章節（一元一次方程式）的內容，可以說完全沒吸收進去… 訪：為什麼？ 雅：因為我都只是聽老師在講，沒有自己做題目，然後我聽不太懂，也沒有機會去想這些該 怎麼用…（INT-0102） 從上述訪談，我們發現可能是過多講述，剝奪雅慈嘗試應用這些概念的機 會，阻礙她的學習，所以透過學生為中心的探究教學，也許對雅慈能有助益。 然而事實上，這也與研究者的期待有所出入，雅慈一開始在探究教學中的表現 也不好，她沒有很投入探究的活動（無法主動提出臆測與同學討論）。 （二）剛開始雅慈無法適應探究教學，但同學的表現激起她的學習動機 由於雅慈在先前的學習不佳（以符號列式、解方程式），導致她沒辦法投 入同學的討論，也不明瞭同學討論的內容： 我還是不太懂這個單元耶，只是一直聽大家講，但是大家也只是口頭上討論，也沒有寫下 來，所以討論完也不知道結論是什麼…（REC-0102） 儘管如此，雅慈並沒有放棄，相反的，她卻因為別人能夠發表許多解題想 法，刺激她也想要有好的表現，雅慈也是個好勝心很強的學生，這個特質與怡 璇相仿： 雖然跟不上他們的思考速度，但卻激起我要學好數學的決心，我相信這只是一個小起步，下 次收穫一定會更多，希望我能融會貫通。（SJOUR-0102） 這是個有趣的現象。探究教學中強調的臆測與論證，讓一些原本數學程 度較差的學生，有較多的發言機會，因為他們可以從先備知識發展一些解題想 法，雖然有時候這些想法對解題沒有幫助，但卻對好勝心較強怡璇、雅慈有很 大的刺激。她們會因為別人積極的表現，引發自己的學習動機，這是探究教學