第一章 有理數

全文

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本基金會網站所提供之各項試題及其解答。可直接下載

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目 錄

第一章 有理數

……….……… 1 一 有理數的意義……… 1 二 有理數的加法與減法……… 13 三 有理數的乘法與除法……… 27 四 有理數的乘方……… 37

第二章 整式的加減

………...……… 59 一 整式……… 59 二 整式的加減……… 81

第三章 一元一次方程

………...………...……… 99

第四章 一元一次不等式

…...………...…...……… 135

第五章 二元一次方程組

……….……… 151

第六章 整式的乘除

………...……… 183 一 整式的乘法……… 183 二 乘法公式……… 200 三 整式的除法……… 213

第七章 因式分解

………...……...………...……… 229

第八章 分式

…...………...…...………..………… 257

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說 明

一、 本冊包括:有理數、整式的加減、一元一次方程與一元一 次不等式、二元一次方程組、整式的乘除、因式分解、分 式等章節,供七年級使用。 二、 本書的習題共分三類:練習、習題、複習參考題。 (1) 練習 供課內練習使用。 (2) 習題 供課內課外作業選用。 (3) 複習參考題 供每章複習選用,其中少量帶有「*」號 的題可供學有餘力的學生參考使用。 三、 本套書據大陸地區 1984 發佈之初級中學課本改編。

如何使用本書自學

1. 先逐字逐句閱讀各章節之解說。 2. 遇有例題先讀懂之後,再將書本合上,另自行在筆記本上模 擬解法。 3. 在筆記本上寫各章節之練習、習題、複習參考題之詳解,可 不抄題目,但要標明題號與頁碼,每一題都必須詳細寫出演 算過程與想法。若有幾何圖形必須準確繪製。 4. 每一題做完後必須養成立即驗算的習慣,驗算無誤後在題號 上作「ˇ」之記號。 5. 遇有不會作或不明確題意的問題,請回頭重複閱讀此章節之 解說,直到完全明白為止。 6. 可組織 4-6 人之讀書會,編定進度,定期聚會互相討論。 7. 本套書可在三個月內(共約費時 200 小時)完全學好初中全部 數學課程,其中代數與幾何可併行研讀。

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註:本書中所使用之度量衡單位有

長度單位: km (kilometer,公里)、m (meter,公尺)、 cm (centimeter,公分)、mm (millmeter,公釐); 1 km = 1000 m,1 m = 100 cm = 1000 mm; 重量單位: T (Tonne,公噸)、kg (kilogram,公斤)、 g (gram,公克); 1 T = 1000 kg,1 kg = 1000 g; 容量單位: kL (kiloliter,公秉)、L (liter,公升)、 mL (milliliter,毫升); 1 kL = 1000 L,1 L = 1000 mL。

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一、有理數的意義

1.1 正數與負數

我們在日常生活中常常須要計算物體的個數,就使用了正整 數 1、2、3、…;為了用數表示沒有物體,就使用了數 0;在測 量物體的長度、重量的時候,往往不能正好得到整數的結果,就 使用的分數與小數。這些數我們在小學已經學習過了。 只有這些數能不能滿足實際需要呢? 我們看下面的例子:某一天最高溫是零上 5°C,最低溫度是零下 5°C (圖 1-1)。要表 示出這兩個溫度,如果只用小學學過的 數,把它們都記作 5°C,就不能把它們區 別清楚。 零上 5°C 與零下 5°C 雖然都是 5°C, 但它們的意義是相反的,從溫度計的刻度 可知,一個在 0°C 的上面,一個在 0°C 的 下面。為了要區別這種具有相反意義的量,我們把零上 5°C 記作 +5°C (讀作正 5°C)或 5°C;把零下 5°C 記作-5°C(讀作負 5°C), 也就是說,我們把一種意義的量—零上溫度規定為正的,把另一 種與它相反意義的量—零下溫度規定 為負的。正的量用小學學過的數之前面 放上「+」(讀作正)號來表示,也可以 把「+」號省略不寫,仍舊用以前學過 的數表示;負的量就用小學學過的數之 前面放上「-」(讀作負)號來表示。 具有相反意義的量之例子很多。例 如,甲地高出海平面 5.2 m (meter,公 尺),乙地低於海平面 3.6 m (圖 1-2); 20 15 10 5 0 5 10 20 15 10 5 0 5 10 圖 1-1 5 .2 3 .6 圖 1-2 甲 乙

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昨天運進貨物81 2 T(Tonne,公噸),今天運出貨物 1 4 2 T;等等。 我們可以把高出海平面 5.2 m 記作+5.2 m 或 5.2 m,低於海平面 3.6 m 記作-3.6 m;運進貨物81 2 T 記作+ 1 8 2 T 或 1 8 2 T,運出 貨物41 2 T 記作- 1 4 2 T。

練 習

1. (口答) 舉出一些具有相反意義的量之實例。 2. (口答) 如果向東走 5 km (kilometer,公里)記作+5 km,那 麼向西走 6 km 記作什麼? 3. (口答) 如果下降 400 m 記作-400 m,那麼上升 800 m 記作 什麼? 4. (口答) 如果結餘 10.32 元記作+10.32 元,那麼虧損 4.15 元 記作什麼? 像+5、+81 2、+5.2 等帶有正號的數叫做正數(正號也可省 略不寫)。像-5、-41 2、-3.6 等帶有負號的數叫做負數。規定 0 既不是正數,也不是負數,也可稱為中性數。

練 習

(口答) 讀出下列各數,它們各是正數還是負數? +6、-8、75、-0.4、0、 3 7 、9.15、- 2 3 、+ 4 1 5 。

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【例】 所有正數組成正數集合,所有的負數組成負數集合。把 下列各數中的正數與負數分別填在正數集合與負數集 合的圈裡: -11、4.8、+73、-2.7、1 6、+ 7 12 、-8.12、- 3 4 。

解 到現在為止,我們學過的數有: 正整數:如+1、+2、+3、…; 零:0; 負整數:如-1、-2、-3、…; 正分數:如+81 2、+5.2 (即+ 1 5 5)、 2 3 、…; 負分數:如-41 2 、-3.6 (即- 3 3 5)、- 6 37 、…; 正整數、零、負整數統稱整數;正分數、負分數統稱分數。 整數與分數統稱有理數。 正數集合 負數集合 圖 1-3 正數集合 負數集合 圖 1-4 4.8、+73、1 6、+ 7 12 -11、-2.7、 -8.12、- 3 4

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注意:1. 整數也可看作是分母為 1 的分數,因此分數包括整數。 有時為了研究需要,也把整數與分數分開,這裡的分數 是指不包括整數的分數。 2. 一般所指的自然數,在美系的用法中,通常不包括 0, 而在歐系的用法中則包括 0。為避免混淆,最好使用正 整數表示 1、2、3、…;用非負整數表示 0、1、2、3、…。

練 習

1. (口答) 下列各數,是整數還是分數?是正數還是負數? -7、10.1、-1 6、89、0、-0.67、 3 1 5。 2. (口答) 說出幾個正整數、負整數、正分數、負分數。

1.2 數軸

生活中,常常在一條直線上畫出刻度,用這些刻度來表示量 的大小。例如,利用溫度計上的刻度來表示溫度的高低;零上一 個刻度,表示 1°C;零下兩個刻度,表示-2°C;…。又如,用 直尺上的刻度表示長度的大小,用秤杆上的刻度表示重量之大 小,…,等等。 同樣,我們可以在一條直線上畫出點,用這些點表示正數與 負數,方法如下: 如圖 1-5,畫一條直線(一般畫水平的直線),在這條直線上任 取一點 O 作為原點,用這點表示零。規定這條直線的一個方向為 正方向(一般取從左到右的方向),那麼相反的方向(從右到左的方 向)就是負方向。再任取一條線段的長度作為單位長度。 O D C B A 單位長度 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 圖 1-5

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像這樣規定了原點、正方向與單位長度的直線叫作數軸。 於是,+5 就可用在數軸上原點右邊 5 個單位的 A 點表示、 -4 可用數軸上原點左邊 4 個單位的 B 點表示、+2.4 可用數軸上 原點右邊 2.4 個單位的 C 點表示、-11 2 可用數軸上原點左邊 1 1 2 個 單位的 D 點表示,…,等等。這樣所有的有理數,都可以用數軸 上的點表示。 【例】 在數軸上標記出下列各數: +1、-5、-2.5、+41 2 、0。

1.3 相反數

我們看+6 與-6 這兩個數,只有符號不同,一正一負。在 數軸上表示這兩個數的點,分別在原點的兩旁,離開原點的距離 相等。21 2與- 1 2 2 也是這樣。 0 +1 -5 -2.5 圖 1-6 1 4 2 +

練 習

1. (口答) 下面數軸上的 A 點表示什麼數?B、C、D、E 各點呢? 2. 畫一條數軸,並在數軸上標記出下列各數: +6、1.5、-6、21 2 、0、0.5、- 1 2 2 。 E D A B C 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 圖 1-7

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像這樣只有符號不同的兩個數,我們說其中一數是另一數的 相反數。+6 是-6 的相反數,-6 是+6 的相反數,+6 與-6 互為相反數。同樣,21 2與- 1 2 2互為相反數。 0 的相反數是 0。

練 習

1. (口答) +9 的相反數是什麼?-7 的相反數是什麼? 2. (口答) -2.4 是什麼數的相反數? 3 5是什麼數的相反數? 我們知道,+2 與 2 是一樣的,也就是說+2 = 2。同樣地, +(+3) =+3,+(-4) =-4。 -2 是 2 的相反數,同樣地,-(+3)是+3 的相反數,就是 -(+3) =-3;-(-4)是-4 的相反數,就是-(-4) = 4。 在一個數前面添上一個「+」號,仍與原數相同;在一個數 前面添上一個「-」號,就成為原數的相反數。 +0 = 0,-0 = 0。

練 習

1. 簡化下列各數的符號: -(+8);+(-9);-(-6);-(+7);+(+ 2 3 )。 2. 下列各對數中,哪些是相等的數?哪些是互為相反數? +(-8) 與-8; +(+8) 與-8; -(-8) 與+(-8); -(-8) 與+(+8); -(-8) 與-8; -(+8) 與+(+8); -(-8) 與+8; +8 與+(-8)。

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1.4 絕對值

為了區分具有相反意義的量,我們用了正數與負數,例如, 兩輛汽車,一輛向東行駛了 5 km,第二輛向西行駛了 4 km。如 果要表示它們行駛的方向(向東為正)與路程,就分別記作+5 km 與-4 km。 但是,有的時候我們只需要研究行駛的路程,不須要考慮方 向,就可以分別記作 5 km 與 4 km。這裡的 5 叫作+5 的絕對值, 4 叫作-4 的絕對值。 我們說,一個正數的絕對值是它本身;一個負數的絕對值是 它的相反數;零的絕對值仍然是零。 例如,+5 的絕對值就是它本身 5,-4 的絕對值就是它的相 反數-(-4)即 4。同樣,1 3與- 1 3 的絕對值都是 1 3 。 從數軸上看,一個數的絕對值就是表示這個數的點離開原點 之距離。 例如,+3 的絕對值是 3 代表+3 的點離開原點之距離是 3 個單位長度;-4 的絕對值是 4 代表-4 的點離開原點之距離是 4 個單位長度 (圖 1-8)。 要表示一個數的絕對值,是在這個數的兩旁各畫一條豎線。 例如,+4 的絕對值記作|+4|,-6 的絕對值記作|-6|;用記 號 2 3 + 表示+ 2 3 的絕對值,用記號|-4.5|表示-4.5 的絕對值。 【例】 |+8| =? |-8| =? 1 4 + =? 1 4 - =?

解 |+8| =8;|-8| = 8; 1 4 + = 1 4 ; 1 4 - = 1 4 。 0 +3 -4 圖 1-8

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練 習

1. (口答) 說出下列各數的絕對值是什麼? +7、-2、 3 4 、-9.6。 2. |-3| =? 11 2 + =? |-1| =? |9| =? |0| =? |-0.4| =?

1.5 有理數大小的比較

+6 與+2 哪一個數較大?在數軸上,+6 與+2 哪一個在右 邊(圖 1-9)? +6 比+2 大。因為在數軸上,+6 在+2 的右邊。我們記作: +6>+2,或是+2<+6。 這裡,記號「>」是大於號,記號「<」是小於號。 讓我們想一想:甲地的高度是+4 m,乙地的高度是-10 m (圖 1-10),哪一個地方較高?在數軸上,+4 與-10 哪一個數在 右邊(圖 1-11)? 甲地的高度是-3 m,乙地的高度是-8 m (圖 1-12),哪一個 地方較高?在數軸上,-3 與-8 哪一個數在右邊(圖 1-13)? 0 +2 +6 圖 1-9 圖 1-10 +4 -10 圖 1-12 -3 -8 圖 1-11 0 +4 -10 圖 1-13 0 -3 -8

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在數軸上表示的兩個有理數,右邊的數總比左邊的數大。 例如,從圖 1-11 與 1-13,+4>-10,-3>-8。 關於有理數大小的比較,我們有:正數都大於零,負數都小 於零,正數大於負數;兩個負數,絕對值大的反而小。

練 習

(口答) 比較下列每對數的大小: 10 與 2;-10 與-1;4 與-12;-3 與 7;-5 與-20; -18 與 1;8 與 0;0 與-100;0.9 與 1.1;-0.9 與-1.1; -1.1 與-1.09;+1.1 與-1.09。 【例 1】 比較- 2 3 與- 3 4 的大小。

解 ∵ 2 2 8 3 12 3 = = - , 3 3 9 4 12 4 = = - 又 ∵ 8 9 12 <12 , ∴ 2 3 3 > 4 - - 。 註:上面符號「∵」讀作「因為」;符號「∴」讀作「所以」。

練 習

(口答) 比較下列每對數的大小,並說明理由。 7 10 與 3 10 ;- 7 10 與- 3 10 ; 1 2 與 1 3;- 1 2 與- 1 3; 1 5與 1 20 ;- 1 5與- 1 20 ; 1 2 與 2 3 ;- 1 2 與- 2 3 ;- 1 2 與 2 3 。 【例 2】 用「>」連接下列三個數:-7、2、-3。

解 把三個數從大到小排列,得 2、-3、-7, 用「>」連接:2>-3>-7。

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習 題 一

1. 水庫水位上升 0.07 m 記作+0.07 m,下降 0.04 m 記作什麼? 2. 如果-50 元表示支出 50 元,那麼+200 元表示什麼? 3. 如果向北為正,那麼走-70 m 是什麼意思?如果向南為正, 那麼走-70 m 是什麼意思? 4. 用正數或負數表示下列具有相反意義的量: (1) 珠 穆 朗 瑪 峰 ( 即 聖 母 峰 , Mount Everest) 高 出 海 平 面 8844.43 m (2005 年測得之資料); (2) 太平洋最深處低於海平面 11022 m。 5. 山區氣象站測得某一天四個時刻的氣溫分別為: 零下 2.2°C、零上 5.7°C、零下 0.4°C、零下 4.9°C。 用正數或負數表示這些溫度。 6. 糧倉進出白米的記錄如下(運進為正): 9 月份 日期 14 15 16 17 18 19 20 進出(T) +82 -17 -30 +68 -25 +40 -56 說明各天的記錄之意義。 7. (1) 任意寫出三個正數; (2) 任意寫出三個負數。 8. 把下列各數中的正數填入左圈正數集合裡,負數填在右圈負 數集合裡: -16、0.004、+1 8 、- 1 2 、9651、25.8、-3.6、-4、 3 5。 正數集合 負數集合 (第 8 題)

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9. 把下列各數填在相應的大括號裡: 1、- 4 5 、8.9、-7、 5 6、 -3.2、+1008、-0.05、28、-9。 正整數集合:{1, } 負整數集合:{ } 正分數集合:{ } 負分數集合:{ } 10. 有理數中有沒有這樣的數,它既不是正數,也不是負數?如 果有的話,有幾個?是什麼數? 11. 下面數軸上,A、B、C、D、E 各點表示什麼數? 12. 在數軸上記出下列各數:+5.5、-6、4、-3.5、0、1.5。 13. -5 的相反數是什麼?+1 的相反數是什麼?-3 的相反數是 什麼?0 的相反數是什麼? 14. -1.6 是什麼數的相反數?什麼數的相反數是-0.2? 1 4 與什 麼數互為相反數?1 2 與-0.5 是不是互為相反數? 15. 在數軸上記出 2、-4.5、0 各數與它們的相反數。 16. 簡化下列各數的符號: (1) -(-16); (2) -(+20); (3) +(+50); (4) -(-31 2); (5) +(-8.07); (6) -(+ 1 5); 17. |+1| =? |-9| =? 1 2 - =? |10.5| =? E D C B A 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 (第 11 題)

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18. +3 的絕對值是什麼?-3 的絕對值是什麼?絕對值是 3 的數 有幾個?絕對值是 4 的數有哪幾個?絕對值是 0 的數呢? 19. |-5| =-5 對不對? |-5| = 1 2 對不對? 20. 計算: (1) |-28|+|-17|; (2) 53 8 - - 35 6 - ; (3) |-16| × |-5|; (4) |-0.15| ÷ |-6|。 21. -5 大於-4,對不對? -1 5大於- 1 4 ,對不對? 22. 比較下列每對數的大小: (1) -9 與-7; (2) -100 與+0.01; (3) -5 8與- 3 8 ; (4) 4 5 與 3 4 ; (5) -1.9 與-2.1; (6) -0.75 與-0.748; (7) 0.85 與- 7 8 ; (8) - 3 11與-0.273。 23. 把三個數從小到大排列,再用符號「<」連接: (1) 3、-5、-4|; (2) -9、16、-11。 24. 比較下列每對數的大小: (1) +(-4.8)與-(+43 4);(2) -(- 3 4 )與-(- 3 5); (3) |-4|與-4; (4) -|-2|與-(-2); (5) -(-11 3)與 2 1 3 + ; (6) -(+3.25)與-|-3.245|。 25. 下表是世界上幾個城市某年一月份的平均氣溫,把它們按照 從高到低的順序排列。 北京 紐約 台北 莫斯科 首爾 -4.6°C 3.1°C 15.1°C -19.4°C 2.4°C

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26. 煤礦井下 A、B、C、D 四處的標高分別是: A(-97.4 m)、B(-159.8 m)、 C(-136.5 m)、D(-71.3 m)。 請問哪一處最高?哪一處最低? 27. 甲型、乙型、丙型、丁型四個稻米試驗品種與 A 型品種的產 量比較如下(比 A 型增產為正): 甲型:+12.4%; 乙型:-9.8%; 丙型:-6.4%; 丁型:+8.6%。 四個實驗品種哪一個產量最高?哪一個產量最低?

二、有理數的加法與減法

1.6 有理數加法法則

從一點出發,經過兩次運動(向東為正),結果怎樣?看下面 的例子: (1) 向東 5 m,再向東 3 m,結果是向東 8 m。 這就是求兩次向東運動的和。與小學所學一樣,可以用加法 來解答: (+5)+(+3) = +8。 (2) 向西 5 m,再向西 3 m,結果是向西 8 m。 (-5)+(-3) = -8。 看一看(1)與(2)中的兩個式子,加號的符號有什麼特點?和的 符號與加數的符號有什麼關係?和的絕對值與加數的絕對值有 什麼關係? (3) 向東 5 m,再向西 3 m (圖 1-14)。 0 +1 +2 +3 圖 1-14 +4 +5 +5 -3 + +2

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結果是向東 2 m。因為向西 3 m 可以看成向東-3 m,所以在 學了有理數之後,這個問題仍可以用加法來解答: (+5)+(-3) = +2。 (4) 向東 3 m,再向西 5 m (圖 1-15)。 結果是向西 2 m。(+3)+(-5) = -2。 看一看(3)與(4)中的兩個式子,加號的符號有什麼特點?和的 符號與加數的符號又有什麼關係?和的絕對值與加數的絕對值 有什麼關係? (5) 向東 5 m,再向西 5 m,結果是 0 m。 (+5)+(-5) = 0。 看上式,兩個加數有什麼關係? (6) 向西 5 m,再向東 0 m,結果是向西 5 m。 (-5)+0 = -5。 綜合以上各種狀況,得到有理數加法的法則: 1. 同號兩數相加,取原來的符號,並把絕對值相加。 2. 異號兩數相加,取絕對值較大的加數之符號,並用較大的絕 對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得零。 3. 一個數與零相加,仍得這個數。 -2 -1 0 1 圖 1-15 2 3 +3 -5 + -2

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練 習

1. (口答) 上升 8 cm,再上升 6 cm,結果怎樣? (+8)+(+6) =? 2. (口答) 下降 8 cm,再下降 6 cm,結果怎樣? (-8)+(-6) =? 3. (口答) 上升 8 cm,再下降 6 cm,結果怎樣? (+8)+(-6) =? 4. (口答) 上升 6 cm,再下降 8 cm,結果怎樣? (+6)+(-8) =? 【例】 計算: (1) (-3)+(-9); (2) (- 1 2 )+(+ 1 3)。

解 (1) (-3)+(-9) = -12; (2) (-1 2 )+(+ 1 3) =- 1 6。

練 習

1. (口答) (+4)+(+7);(-4)+(-7);(+4)+(-7); (+7)+(-4);(+4)+(-4);(+9)+(-2); (-9)+(+2);(-9)+0;0+(+2);0+0。 2. 計算: (+12)+(-18);(-42)+(+8);(+84)+(+36); (-35)+(-25);(-0.9)+(+1.5);(+2.7)+(-3); (-1.1)+(-2.9);(+2.8)+(+3.7);(+1 2 )+(+ 1 4 ); (-1 3)+(+ 1 2 );(+ 1 2 )+(- 2 3 );(- 1 4 )+(- 1 3 )。

(21)

1.7 加法的運算律

計算:(+30)+(-20);(-20)+(+30)。 兩次所得的結果相同嗎? 換兩個數再試一試。 關於有理數的加法,有下面的交換律: 兩個數相加,交換加數的位置,其和不變。 加法交換律:a + b = b + a。 這裡 a、b 表示任意兩個有理數。 計算:[(+8)+(-5)]+(-4);(+8)+[(-5)+(-4)]。 兩次所得的結果相同嗎? 換三個數再試一試。 關於有理數的加法,還有下面的結合律: 三個數相加,先把前兩個數相加,或者先把後兩個數相加, 其和不變。 加法結合律:(a + b) + c= a + (b + c)。 這裡 a、b、c 表示任意三個有理數。 根據加法交換律與結合律可以推出:三個以上有理數相加, 可以任意交換加數的位置,也可以先把其中幾個數相加。 【例 1】 計算(+16)+(-25)+(+24)+(-32)。

解 (+16)+(-25)+(+24)+(-32) = [(+16)+(+24)]+[(-25)+(-32)] = (+40)+(-57) = -17 注意:在上例中,我們把正數與負數分別結合在一起再相加,計 算就比較簡便。 【例 2】 10 袋稻米,以每袋 180 kg 為準,超過的 kg 數記作正數, 不足的 kg 數記作負數,秤重的記錄如圖 1-16。總計是超過多少 kg 或是不足多少 kg?10 袋稻米的總重量是多少 kg?

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解 (+7)+(+5)+(-4)+(+6)+(+4) +(+3)+(-3)+(-2)+(+8)+(+1) = [(+4)+(-4)]+[(+5)+(-3)+(-2)] +[(+7)+(+6)+(+3)+(+8)+(+1)] = 0+0+(+25) =+25 180 × 10 + 25 = 1825。 答:總計是超過 25 kg;總重量是 1825 kg。 注意:在上例中,我們把相加得零的數結合起來相加,計算就會 比較簡便。

習 題 二

1. 計算: (1) (+3)+(-8); (2) (-3)+(-8); (3) (+3)+(+8); (4) (-3)+(+8); (5) (-10)+(+6); (6) (+12)+(-14); (7) (-5)+(-7); (8) (+6)+(+9); (9) (-12)+(+18); (10) (-16)+(-9)。 2. 計算: (1) +7 (2) -6 (3) -9 (4) +5 +) -5 +) -6 +) +8 +) -5 +7 +5 -4 +6 +4 +3 -3 -2 +8 +1 圖 1-16

(23)

(5) + 4 (6) +20 (7) +17 (8) -10 +) -12 +) - 8 +) + 9 +) 0 (9) 0 (10) 0 +) -7 +) 0 3. 在圖中,把輸入數各加上(-3),填寫出輸出數。 4. 在表中的各個小方格裡,填寫所在橫列的第一個數與所在直 行的第一個數之和。 +5 +(-3) 輸入 輸出 +3 +(-3) +1 +(-3) 0 +(-3) -1 +(-3) -3 +(-3) (第 3 題) + -4 -2 0 +2 +4 -4 -6 -2 -6 0 +2 +4 (第 4 題)

(24)

5. 計算: (1) (+67)+(-73); (2) (-84)+(-59); (3) (+33)+(+48); (4) (-56)+(+37); (5) (+105)+(-76); (6) (-91)+(-24)。 6. 計算: (1) (-0.9)+(-2.7); (2) (+3.8)+(-8.4); (3) (-0.5)+(+3); (4) (+3.92)+(+1.78); (5) (+7)+(-3.04); (6) (-2.9)+(-0.31)。 7. 計算: (1) (+ 2 5 )+(- 3 5); (2) (- 1 3)+(- 2 3 ); (3) (+ 1 2 )+(- 2 2 3); (4) (- 1 2 )+(- 1 1 3); (5) (-1 3)+(+ 2 5 ); (6) (- 5 6)+(- 1 8 )。 8. 根據下列條件,用有理數加法計算倉庫理兩天一共運進或者 運出了多少袋米: (1) 第一天運進 250 袋,第二天運出 150 袋; (2) 第一天運出 100 袋,第二天運出 120 袋; (3) 第一天運出 180 袋,第二天運進 140 袋; (4) 第一天運進 175 袋,第二天運進 175 袋。 9. 用字母寫出加法交換律與加法結合律,並用有理數各舉一例。 10.計算: (1) (-8)+(+10)+(+2)+(-1); (2) (+5)+(-6)+(+3)+(+9)+(-4)+(-7); (3) (-0.8)+(+1.2)+(-0.7)+(-2.1)+(+0.8)+(+3.5); (4) (+1 2 )+(- 2 3 )+(+ 4 5 )+(- 1 2 )+(- 1 3 )。

(25)

11.先計算下列各式的結果,再比較各對式子的大小: (1) |(+4)+(+5)| 與 |+4|+|+5|; (2) |(-4)+(-5)| 與 |-4|+|-5|; (3) |(+4)+(-5)| 與 |+4|+|-5|; (4) |(-4)+(+5)| 與 |-4|+|+5|。 12.計算: (1) (-17)+(+59)+(-37); (2) (-18.65)+(-6.15)+(+18.15)+(+6.15); (3) (-42 3)+(- 1 3 3)+(+ 1 6 2 )+(- 1 2 4 ); (4) (-0.5)+(+31 4)+(+2.75)+(- 1 5 2 )。 13.某人一星期中各天的收支情況如下(收入為正): +41.28 元 -27.64 元 -5 元 +84 元 -16.8 元 -31.09 元 +25.7 元 收支相抵後,合計收入或者支出多少元? 14.八筐蔬菜,以每筐 50 kg 為準,超過的 kg 數記作正數,不足 的 kg 數記作負數,秤重的記錄如下: +3、-6、+4、-1、+2、-4、-4、-5。 總計是超過多少 kg 或者是不足多少 kg?八筐蔬菜的總重量是 多少 kg?

1.8 有理數減法法則

與小學學過的減法意義相同,有理數的減法是有理數加法的 逆運算。有理數減法就是已知兩個數的和與其中一個加數,求另 一個加數的運算。 我們看下面的例子: (1) (+3)-(+5)。

(26)

這個算式就是求+5 與什麼數相加得+3。 ∵ (+5)+(-2) =+3, ∴ (+3)-(+5) =-2。 從有理數的加法,我們知道 (+3)+(-5) =-2。 ∴ (+3)-(+5) = (+3)+(-5)。 (2) (+3)-(-5)。 這個算式就是求-5 與什麼數相加得+3。 ∵ (-5)+(+8) =+3, ∴ (+3)-(-5) =+8。 從有理數的加法,我們知道 (+3)+(+5) =+8。 ∴ (+3)-(-5) = (+3)+(+5)。 綜合以上的情況,得到有理數的減法法則: 減去一個數,等於加上這個數的相反數。 這樣,在進行有理數減法運算時,把減數的符號改變後,就可以 按有理數加法的法則進行運算了。 【例 1】 計算: (1) (-3)-(-5); (2) 0-(-7)。

解 (1) (-3)-(-5) = (-3)+(+5) = 2; (2) 0-(-7) = 0+(+7) = 7。 【例 2】 零上 7 度比零上 3 度高多少度?零上 7 度比零下 3 度高 多少度?

解 (+7)-(+3) = (+7)+(-3) = 4; (+7)-(-3) = (+7)+(+3) = 10。 答:零上 7 度比零上 3 度高 4 度;零上 7 度比零下 3 度高 10 度。

(27)

練 習

1. (口答) (+8)-(+5);(+8)-(-5);(+6)-(+9); (+6)-(-9);(-6)-(+4);(-6)-(-4); (-7)-(+8);(-7)-(-8)。 2. (口答) (+9)-(+4);(+9)-(-4);(+4)-(+9); (+4)-(-9);(-9)-(+4);(-9)-(-4); (-4)-(+9);(-4)-(-9)。 3. (口答) (+5)-(-5);(-5)-(-5);(+5)-(+5); (-5)-(+5);0-(-5);(-5)-0; 0-(+9);(+5)-0。

1.9 加減法統一改成加法

在式子(-20)-(+5)+(+3)-(-7)裡,有加法,也有減法。 根據有理數減法的法則,可以把它改寫成: (-20)+(-5)+(+3)+(+7)1。 這樣一來,式子裡的減法就都轉化成加法。 因此,一切加法與減法的運算,都可以統一改成加法運算。 在一個算式裡,通常把各個加號省略不寫。例如 (-20)+(-5)+(+3)+(+7) 可以寫成省略加號的形式: -20-5+3+7。 讀作「負 20、負 5、正 3、正 7 的和」。 事實上,上式又可看作是(-20)-(+5)+(+3)+(+7),所以也可 讀作「負 20 減 5 加 3 加 7」。

練 習

把(-8)-(+4)+(-6)-(-1)中的減法改成加法,再寫成省略加 號的算式。 1 像這樣把加減法統一寫成加法的式子,有時也叫作代數和。

(28)

【例】 計算: (1) 12+7-5-30+2; (2) (+1 3 )-(+ 1 2 )+(- 3 4 )-(- 2 3 )。

解 (1) 12+7-5-30+2 = 12+7+2-5-30 = 21-35 =-14; (2) (+1 3)-(+ 1 2 )+(- 3 4 )-(- 2 3 ) = 1 3- 1 2 - 3 4 + 2 3 = 1 3+ 2 3 - 1 2 - 3 4 =1-11 4 =- 1 4 。 注意:在這裡,我們運算了加法運算交換律,這是因為在代數中, 加減法都可以統一改成加法。

練 習

計算: (1) 5-8; (2) -4+7-6; (3) 6+9-15+3。

習 題 三

1. 計算: (+2)-(+4);(+2)-(-4);(-4)-(+2); (-4)-(-2);(+15)-(+7);(+15)-(-7); (-15)-(+17);(-15)-(-17)。 2. 計算: (-8)-(+8);(-8)-(-8);(+8)-(-8); (+8)-(+8);0-(+6);(+6)-0;0-(-6); (-6)-0。 3. 計算: +5 -5 +5 -5 -5 -) -3 -) +3 -) -5 -) -5 -) 0

(29)

-5 -5 +5 0 0 -) +5 -) -3 -) 0 -) -3 -) +3 4. 在圖中,把輸入數各減上(+9),填寫出輸出數。 5. 在圖中,把輸入數各減上(-9),填寫出輸出數。 +10 -(+9) 輸入 輸出 +8 -(+9) +5 -(+9) 0 -(+9) -4 -(+9) -9 -(+9) (第 4 題) +12 -(-9) 輸入 輸出 +9 -(-9) +6 -(-9) 0 -(-9) -4 -(-9) -9 -(-9) (第 5 題)

(30)

6. 計算: (1) (+16)-(+47); (2) (+28)-(-74); (3) (-37)-(-85); (4) (-112)-(+98); (5) (-131)-(-129); (6) (+341)-(+249)。 7. 計算: (1) (+1.6)-(-2.5); (2) (+0.4)-(+1); (3) (-3.8)-(+7); (4) (-5.9)-(-6.1); (5) (-2.3)-(+3.6); (6) (+4.2)-(+5.7)。 8. 計算: (1) (+ 2 5 )-(- 3 5); (2) (- 2 5 )-(- 3 5); (3) (+ 1 2 )-(+ 1 3); (4) (- 1 2 )-(+ 1 3); (5) (-1)-(- 1 2 ); (6) (-1)-(+ 1 1 2 )。 9. 計算: (1) (+8)+(+6); (2) (+8)-(+6); (3) (-8)-(-6); (4) (-8)+(-6); (5) (+8)+(-6); (6) (-8)+(+6); (7) (-8)-(+6); (8) (+8)-(-6); (9) (-6)+(+8); (10) 0-(-8); (11) 0+(-6); (12) 0-(+8)。 10.計算: (1) (+2.9)+(-1.7); (2) (-3.1)-(+7); (3) (-4.5)-(-2.6); (4) (-0.06)+(-0.47); (5) (+ 1 2 )-(- 1 3); (6) (- 1 1 5)+(+ 3 5); (7) (+22 3 )+(+ 1 1 2 ); (8) (+ 3 4 )-(+ 5 6); (9) 0-(+ 2 3 ); (10) 0-(- 4 7 )。

(31)

11.一天內最高溫度與最低溫度的差叫作「日溫差」。計算下表內 的日溫差。 溫度單位:°C 月/日 12/1 12/2 12/3 12/4 12/5 12/6 12/7 12/8 12/9 12/10 最高溫度 10 12 11 9 7 5 6 8 7 7 最低溫度 2 1 0 -1 -4 -5 -5 -3 -4 -6 日溫差 12.如圖,以地面為準,A 點的高度是+2.5 m、 B 點的高度-17.8 m、C 點的高度-32.4 m。 A 點比 B 點高多少?B 點比 C 點呢?A 點比 C 點呢? 13.把下列各式寫成省略加號的形式: (1) (+10)+(-8); (2) (-3)-(-7)+(-6); (3) (+15)+(-30)-(+14)-(-25)。 14.計算: (1) 3-8; (2) -4+7; (3) -6-9; (4) 8-12; (5) -15+7; (6) 0-2; (7) -5-9+3; (8) 10-17+8; (9) -3-4+19-11; (10) -8+12-16-23。 15.計算: (1) -4.2+5.7-8.4+10; (2) 6.1-3.7-4.9+1.8; (3) 1 3- 2 3 +1; (4) - 1 4 + 5 6+ 2 3 - 1 2 。 16.把下列各式寫成省略加號的形式,並計算它們的值: (1) (+12)-(-18)+(-7)-(+15); (2) (-40)-(+28)-(-19)+(-24)-(-32); (3) (+4.7)-(-8.9)-(+7.5)+(-6); (4) (- 2 3 )+(- 1 6)-(- 1 4 )-(+ 1 2 )。 (第 12 題) A B C

(32)

17.計算: (1) |(+3)-(+4)| 、 |+3|-|+4|; (2) |(-3)-(-4)| 、 |-3|-|-4|; (3) |(-3)-(+4)| 、 |-3|-|+4|; (4) |(+3)-(-4)| 、 |+3|-|-4|。 18.計算: (1) -216-157+348+512-678; (2) 81.26-293.8+8.74+111; (3) -42 3+ 11 1 12 - 1 17 4 - 17 2 18 ; (4) 2.25+33 4- 5 12 12 - 3 8 8 。

三、有理數的乘法與除法

1.10 有理數乘法法則

我們來看下列問題: 問題一:水池的水位平均每小時上升 3 m,2 小時上升了多 少 cm? 這個問題可以用乘法來解答:3 × 2 = 6 (cm) (1) 水位上升了 6 cm (圖 1-18)。 問題二:水池的水位平均每小時下降 3 m,2 小時下降了多 少 cm? 6 cm 原水面位置 2 小時後 水面位置 圖 1-18 6 cm 原水面位置 2 小時後 水面位置 圖 1-19

(33)

顯然,結果是水位下降了 6 cm (圖 1-19)。 如果我們像前面講過的那樣,上升的量用正數表示,下降的 量用負數表示,仍用乘法來解答這個問題,那麼算式就應該寫成: (-3) × 2 = -6 (cm) (2) 把它與(1)式對比,可以看出,當把一個因數「3」換成它的 相反數「-3」時,所得的積是原來的積「6」之相反數「-6」。 這就啟發了我們一個規則: 把一個因數換成它的相反數,所得的積是原來的積之相反 數。 按照這個規則,我們來計算: 3 × (-2) =? 把它與(1)式對比,這裡把一個因數「2」換成了它的相反數 「-2」,由上面的規則可以得知,所得的積是原來的積「6」之 相反數「-6」,即 3 × (-2) = -6 (3) 最後,我們來計算:: (-3) × (-2) =? 把它與(3)式對比,這裡把一個因數「2」換成了它的相反數 「-2」,所得的積是原來的積「-6」之相反數「6」,即 (-3) × (-2) = 6 (4) 看上面(1)~(4)式,積的符號與因數的符號有什麼關係?積的 絕對值與因數的絕對值有什麼關係? 此外,我們將一個因數換成零時,所得的積也是零。 例如(-3) × 0 = 0。 綜合上面各種情況,得到有理數乘法的法則: 兩數相乘,同號得正,異號得負,並把絕對值相乘。 任何數與零相乘,都得零。

(34)

練 習

1. 計算: (+8) × (-5);(-37) × (-3);(-25) × (+4.8); (-1) × (-1.5);(+ 4 7 ) × (- 1 2 );(- 5 12 ) × (- 8 15 ); (+11 2 ) × (- 2 3 );(-8) × 0。 2. 溫度每升高 1°C,溫度計內水銀柱就均勻升高 2 mm。溫度升 高 12°C 時,水銀柱升高多少 mm?溫度升高-15°C 時呢? 想一想,下列各式的積是正的還是負的? (-2) × (+3) × (+4) × (+5); (-2) × (-3) × (+4) × (+5); (-2) × (-3) × (-4) × (+5); (-2) × (-3) × (-4) × (-5); 你能從中找出規律嗎? 幾個不等於零的有理數相乘,積的符號由負因數之個數決 定。當負因數有奇數個時,其積為負;當負因數有偶數個時,其 積為正。 【例 1】 計算:(-3) × (+5 6) × (- 4 1 5 ) × (- 1 4 )。

解 (-3) × (+5 6) × (- 4 1 5 ) × (- 1 4 ) = -3 × 5 6 × 9 5 × 1 4 = - 1 1 8 。 注意:幾個不等於零的有理數相乘,首先確定積的符號,然後把 絕對值相乘。 想一想,怎樣計算(+7.8) × (-8.1) × 0 × (-19.6)? 幾個有理數相乘,其中有一個因數為零,積就為零。

(35)

【例 2】 計算: (1) 8+5 × (-4); (2) (-3) × (-7)-9 × (-6)。

解 (1) 8+5 × (-4) = 8+(-20) = -12; (2) (-3) × (-7)-9 × (-6) = 21-(-54) = 75。 注意:含加減乘除的算式中,沒有括號指明運算順序時,要先算 乘除,後算加減。

練 習

計算: (1) (-5) × (+8) × (-7) × (-0.25); (2) (-6)-(-3) × 1 3; (3) (-1) × (+8)+3 × (-2); (4) 1+0 × (-1)-(-1) × (-1)-(-1) × 0 × (-1); (5) 3 × 5 × 7-(-3) × (-5) × (-7)-(-3) × (-5) × 7 +3 × (-5) × 7。

1.11 乘法的運算律

小學學過的乘法的運算律有哪些? 小學學過的加法的運算律對有理數仍然適用,乘法的運算律 適用不適用呢?我們看下面的例子: (+5) × (-6) = -30;(-6) × (+5) = -30。 就是 (+5) × (-6) = (-6) × (+5)。 [(+3) × (-4)] × (-5) = (-12) × (-5) = 60; (+3) × [(-4) × (-5)] = (+3) × (+20) = 60。 就是 [(+3) × (-4)] × (-5) = (+3) × [(-4) × (-5)]。 換一些數再試一試。一般地,我們有: 兩個數相乘,交換因數的位置,其積不變。 乘法交換律:ab = ba。

(36)

三個數相乘,先把前兩個數相乘,或者先把後兩個數相乘, 其積不變。 乘法結合律:(ab)c = a(bc)。 在上面,我們把 a × b 寫成 ab。在不引起誤會的時候,乘號 可以用「×」,或者用「‧」,或者省略不寫。 再看下面的例子: 5‧ +3)+(-7)] = 5 ([( ‧ -4) = -20, 5‧ +3)+5 (( ‧ -7) = 15+(-35) = -20, 就是 5 × [(+3)+(-7)] = 5 × (+3)+5 × (-7)。 換一些數再試一試。一般地,我們有: 一個數與兩個數的和相乘,等於把這個數分別與這兩個數相 乘,再把積相加。 分配律:a(b+c) = ab+ac。

練 習

下列式子各說明哪一條運算律?怎樣用字母表示這條運算律? 1. (口答) (-4)‧8 = 8‧(-4)。 2. (口答) (3+9)+(-5) = 3+[9+(-5)]。 3. (口答) (-6)‧ +2] = (-6) 7[7 ‧ +(-6) 2‧ 。 4. (口答) (5 × 4) × 6 = 5 × (4 × 6)。 5. (口答) (-8)+(-9) = (-9)+(-8)。 【例 1】 計算:(1 4 + 1 6- 1 2 ) × 12。

解 ( 1 4 + 1 6- 1 2 ) × 12 = 1 12 4× + 1 12 6× - 1 12 2× = 3+2-6 =-1。

(37)

【例 2】 計算: 918 19 × 15。

解 918 19 × 15 = (10 - 1 19 ) × 15 = 150- 15 19= 4 149 19 。 注意:應用運算律,有時可使運算變得簡便些。

練 習

計算: (1) (-85)(-25)(-4); (2) (- 7 8 ) × 15 × (- 1 1 7 ); (3) ( 9 10 - 1 15 ) × 30; (4) 24 25 × 7。

1.12 有理數除法法則

與小學學過的除法意義相同,有理數除法是有理數乘法的逆 運算,有理數除法就是已知兩個因數的積與其中一個因數,求另 一個因數的運算。 我們看下面幾種情況的結果。 從 (+3) × (+2) = +6,可以得到 (+6) ÷ (+2) = +3。 從 (+3) × (-2) = -6,可以得到 (-6) ÷ (-2) = +3。 從 (-3) × (+2) = -6,可以得到 (-6) ÷ (+2) = -3。 從 (-3) × (-2) = +6,可以得到 (+6) ÷ (-2) = -3。 此外,從 0 × (-2) = 0,可以得到 0 ÷ (-2) = 0。 綜合以上各種狀況,得到有理數除法的法則: 兩數相除,同號得正,異號得負,並把絕對值相除。 零除以任何一個不等於零的數都得零。 注意:零不能作為除數。

(38)

練 習

1. (口答) (-18) ÷ (+6);(-63) ÷ (-7);(+36) ÷ (-3); (+32) ÷ (-8);(-54) ÷ (-9);0 ÷ (-8)。 2. 計算: (+84) ÷ (-7);(-96) ÷ (-16);(-6.5) ÷ (+0.13); (+8) ÷ (-0.02);(-3 5) ÷ (- 2 5 );(- 7 8 ) ÷ (+ 3 4 )。 把 3 4 的分子分母顛倒,就得到一個數 4 3。這就是 1 除以 3 4 的 商。一般地,1 除以一個數的商,叫作這個數的倒數。 例如,3 4 的倒數是 4 3 , 4 3 的倒數是 3 4 。又如,- 3 4 的倒數是 - 4 3 ,2 的倒數是 1 2 ,-2 的倒數是- 1 2 。 注意:零沒有倒數。(為什麼?)

練 習

(口答) 說出下列各數的倒數: 5 6、- 4 7 、0.2、 1 3、-5、 1 1 3、-1 把除數變為它的倒數,除法就可以轉化為乘法。 【例 1】 計算:-3.5 ÷7 8 × (- 3 4 )。

解 -3.5 ÷ 7 8 × (- 3 4 ) = 7 8 3 2× ×7 4= 3。 【例 2】 計算: (1) 8+32÷(-4); (2) -9‧ -2)-15÷(-3)。 (

解 (1) 8+32÷(-4) = 8+(-8) = 0; (2) -9‧ -2)-15÷(-3) = 18-(-5) = 23。 (

(39)

練 習

計算: (1) -0.25 ÷ (- 2 3 ) × (- 3 1 5); (2) 14+56 ÷ (-7); (3) -81 ÷ 3+27 ÷ (-9)。

習 題 四

1. 計算: (-8) × (-7)、 (+12) × (-5)、 (-36) × (-1)、 (-25) × (+16)。 2. 在圖中,把輸入數各乘以(-3),填寫出輸出數。 3. 在表中的各個小方格裡,填 寫 所 在橫列的第一個數 與 所在直行的第一個數之積。 4. 計算: (1) 2.9 × (-0.4); (2) (-30.5) × 0.2; (3) (+100) × (-0.001); (4) (-4.8) × (-1.25); (5) (-7.6) × 0.03; (6) (-4.5) × (-0.32)。 8 × (-3) 輸入 輸出 6 × (-3) 3 × (-3) 0 × (-3) -1 × (-3) -5 × (-3) (第 2 題) × -3 -2 -1 0 1 2 3 3 9 2 4 1 1 0 -1 -2 -3 (第 3 題)

(40)

5. 計算: (1) 1 4 × (- 8 9); (2) (- 5 6) × (- 3 10 ); (3) (-2 4 15 ) × 25; (4) (-0.3) × (- 3 1 7 ) 。 6. (-1) × (-5) =? -(-5) =? (-1) × (-5) 與 -(-5)是不是相等? 7. 計算: (1) (-2)(+3)(-4); (2) (-6)(-5)(-7); (3) 0.1 × (-0.001) × (-1); (4) (-100) × (-1) × (-6) × (-0.5); (5) (-17) × (-49) × 0 × (-8) × (+37)。 8. 計算: (1) -9 × (-6)-18; (2) 5+23 × (-2); (3) -12 × 4-(-8) × 6; (4) 8‧(-9)-7‧ -15); ( (5) (-2 3 ) × 1 2 + 1 3 × (-4)。 9. 高度每增加 100 m,氣溫大約降低 0.6°C。現在地面溫度是 19°C,那麼 4000 m 高空的氣溫是多少°C? 10.用字母寫出加法交換律、加法結合律、乘法結合律與分配律。 11.計算: (1) (-4 1 20 )(+1.25)(-8); (2) (-10)(-8.24)(-0.1); (3) (- 5 6)(+2.4) (+ 3 5 ); (4) ( 7 9 - 5 6+ 3 4 - 7 18 ) × 36; (5) - 3 4 × (8- 1 1 3-0.04); (6) 15 71 16 × (-8)。

(41)

12.計算: (1) -91 ÷ 13; (2) -56 ÷ (-14); (3) (-42) ÷ 0.6; (4) -25.6 ÷ (-0.064); (5) 16 ÷ (-3); (6) 1 ÷ (- 2 3 ); (7) 4 5 ÷ (-1); (8) - 1 3 7÷ 11 12 ; (9) -0.25 ÷3 8; (10) - 1 4 ÷ (-1.5)。 13.把圖中第一個圈裡的每一 個數,各除以(-5),得到第 二個圈裡的一個數。 14.填寫下表: 原來的數 7 8 4 5 − −2.5 1 6 −2 1 3 3 − 1 它的倒數 15.計算: (1) (- 3 4 ) × (- 1 1 2 ) ÷ (- 1 2 4); (2) -6 ÷ (-0.25) × 11 14 。 16.計算: (1) -8+4 ÷ (-2); (2) 6-(-12) ÷ (-3); (3) 3‧ -4)+(-28) ÷ 7; (4) (-7)(-5)-90 ÷ (-15); ( (5) (-48) ÷ 8-(-25)(-6); (6) 42 × (- 2 3 )+(- 3 4 ) ÷ (-0.25)。 (第 13 題) ÷ (-5) -5 +10 +8 +4 +1 -20 0 1 5 −

(42)

17.某人每天在早晨 8 時測量室外溫度(攝氏),記錄如下: 溫度單位:°C 2012 年 11 月 日 期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 上旬 平均 溫 度 6 6.5 7 4 2.5 3 1 1.5 -2 -3 日 期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 中旬 平均 溫 度 -1 0 1.5 0.5 -2 -3.5 -4 -1 2 1 日 期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 下旬 平均 溫 度 1.5 0.5 0 -3 -5 -2 -1 -4 -5.5 -7.5 月平均: 計算早晨 8 時 11 月上旬、中旬、下旬平均溫度與月平均溫度。

四、有理數的乘方

1.13 有理數的乘方

我們來計算:1.邊長是 7 cm 的正方形之面積;2.稜長是 5 cm 的正方體之體積(圖 1-20)。 圖 1-20

(43)

7 × 7 = 49 (cm2);5 × 5 × 5 = 125 (cm3)。 7 × 7、5 × 5 × 5 都是相同因數的乘法。 為了簡便起見,相同的因數相乘,可以只寫一個因數,而在 它的右上角寫上相同的因數之個數。例如, 7 × 7 記作7 ,5 × 5 × 5 記作2 5 。 3 同樣,(-2) (-2) (-2) (-2)記作(-2 4 ) , 3 4 × 3 4 × 3 4 × 3 4 × 3 4 記作 5 3 4       。

練 習

1. (口答) 8 × 8 × 8 怎樣記? 2. (口答) (-6) (-6) (-6) (-6)怎樣記? 3. (口答) 0.1 表示什麼意思? 2 4. (口答) 3 2 5     -  表示什麼意思? n 個相同的因數 a 相乘,即 n a ai i ⋯ i a 個 ,記作 n a 。 這種求 n 個相同因數的積之運算,叫做乘方,乘方的結果叫 做冪。在 n a 中,a 叫做底數,n 叫做指數,a 讀作 a 的 n 次方。n an 看作是 a 的 n 次方之結果時,也可讀作 a 的 n 次冪。 例如,在9 中,底數是 9,指數是 4,4 9 讀作 9 的 4 次方,4 或 9 的 4 次冪。

練 習

1. (口答) 10 讀作什麼?其中底數是什麼?指數是什麼? 2 2. (口答) 7 讀作什麼?其中 3 叫什麼?7 叫什麼數? 3

(44)

二次方也叫平方,三次方也叫作立方。像上面的10 可以讀2 作「10 的平方」, 3 7 可以讀作「7 的立方」。 一個數可以看作這個數本身的一次方。例如,5 就是5 。指1 數 1 通常省略不寫。

練 習

1. 計算: 2 ;3 3 ;2 0.1 ;3 5 ;4 2 2 3       ; 3 1.2 ; 3 1 1 2       ; 1 9 。 2. 計算: (+2) ;(+21 ) ;(+22 ) ;(+23 ) ;(+24 ) ; 5 (-2) ;(-21 ) ;(-22 ) ;(-23 ) ;(-24 ) 。 5 想一想,正數的 2 次冪、3 次冪、… 是正數還是負數?負數 的 2 次冪、3 次冪、… 是正數還是負數?有些什麼規律? 正數的任何次冪都是正數;負數的奇次冪是負數,負數的偶 次冪是正數。 【例】 計算: (1) (- 4 3) ; (2) -3 ; 4 (3) 3 2× 3; (4) (3 2)× 3; (5) -2 3× 4; (6) (-2 3)× 4; (7) 8 2÷ 2; (8) (8 2)÷ 2 。

解 (1) (-3) = 81; 4 (2) -3 = -81; 4 (3) 3 2× 3= 3 8× = 24; (4) (3 2)× 3=6 = 216; 3 (5) -2 3× 4=- 2 81× =-162; (6) (-2 3)× 4= (-6) = 1296; 4 (7) 8 2÷ 2= 8 4÷ = 2; (8) (8 2)÷ 2 =4 = 16。 2 注意:乘方與乘除在一起的時候,要先算乘方,再算乘除。如果 有括號,就先算括號裡面的。

(45)

練 習

計算: 1. -8 ; 2 2. (-8) ; 2 3. 4 2× 2; 4. (4 2)× 2; 5. -3 2× 3; 6. (- 3 2× ) ; 3 7. (6 3)÷ 2; 8. 6 3÷ 2。

1.14 有理數的混合運算

一個算式裡含有加、減、乘、除、乘方等幾種運算時,要按 照下面的順序進行演算: 先算乘方,再算乘除,最後算加減,如果有括號,就先算括 號裡面的。 【例 1】 計算:-11 2 + 1 3 + 5 6- 1 1 4 。

解 -11 2 + 1 3+ 5 6- 1 1 4 =-1- 1 2 + 1 3+ 5 6-1- 1 4 =-1-1+ 6 4 10 3 12 − + + − =-2+ 5 12 =-1 7 12

練 習

計算: 1. 1.6+5.9-25.8+12.8-7.4。 2. -51 2 + 2 8 3- 5 12 6 。

(46)

【例 2】 計算:21 5 × 1 1 3 2      - × 3 11÷ 1 1 4 。

解 21 5 × 1 1 3 2      - × 3 11÷ 1 1 4 = 1 2 5 × 1 6     - × 3 11÷ 1 1 4 =

11

(

1

)

3

4

5

6

11 5

×

× × =

- 2 25。

練 習

計算: 1. -2.5 × (-4.8) × 0.09 ÷ (-0.07)。 2. 21 4 × 6 7     - ÷ 1 2 2      - 。 【例 3】 計算:-10+8 ÷ (-2 2 ) -(-4) × (-3)。

解 -10+8 ÷ (-2 2 ) -(-4) × (-3) =-10+8 ÷ 4-12 =-10+2-12 =-20。

練 習

計算: 1. -9+5 × (-6)-(-4) ÷ (-8)。 2 2. 2 × (-3) -4 × (-3)+15。 3

習 題 五

1. 把下列各式寫成乘方運算的形式: 6 × 6 × 6 × 6,(-3) (-3) (-3) (-3) (-3), 1.1 × 1.1,1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 。

(47)

2. 把下列各式寫成乘法運算的形式: 4 3 ,4 ,(-73 ) ,2 6.74 ,4 5 1 3     -  。 3. 在4 中,指數是多少?在(-12 ) 中呢?在2 7.5 中呢?在1 a 中n 呢? 4. 在2 中,底數是多少?在7 5 1 2     -  中呢?在 3 1 中呢?在a 中n 呢? 5. 計算:2 ;5 5 ;(-12 ) ;7 1.1 ;3 0 ;5 4 1 2       ; 2 5 1 6     -  。 6. (1) 3 與 3 × 2 是不是一樣?為什麼? 2 (2) 3 與2 2 是不是一樣?為什麼? 3 7. 3 的平方是多少?-3 的平方是多少?平方得 9 的數有幾個? 有沒有平方得-9 的有理數? 8. 把第一個圈裡的每一個數,用 箭頭連接到第二個圈裡它的平 方數上去。 9. 1.2 =? 2 2 2 2 2 12 120 0.12 0.012  = =  = =  ? ? ? ? 底數的小數點向右或向左移動一位,平方數的小數點怎樣移 動?底數的小數點向右或向左移動兩位呢? 10.1.2 =? 3 3 3 3 3 12 120 0.12 0.012  = =  = =  ? ? ? ? 底數的小數點向右或向左移動一位,立方數的小數點怎樣移 動?底數的小數點向右或向左移動兩位呢? (第 8 題) 平方 -4 7 4 5 -5 -7 49 25 16 -49 -25 -16

(48)

11.計算: (1) (-2) ; 3 (2) -(-2) ; 3 (3) 4 i (-2) ; 2 (4) (-3) (-34 ) ; (5) -4 2 3× 3; (6) (- 2 3× ) ; 3 (7) (6 3)÷ 3; (8) 6 3÷ 3。 12.計算: (1) (-2) ; 4 (2) -(-2) ; 4 (3) 4 i(-2) ; 3 (4) (-2) (-32 ) ; 2 (5) -9 ÷ (-3) ; 2 (6) (-9 ÷ 3) ; 3 (7) 2 1 1 15     -  ; (8) (-1.7 2 ) ; (9) -(-0.8) ; 3 (10) 4 1 2       - - ; (11) -5.25 ; 2 (12) (-5)3 3 5       i - 。 13.計算: (1) -2 -(-32 ) ; 2 (2) 4-5 3 1 2       i - ; (3) -2 -3 i (-13 ) -(-13 ) ; 4 (4) -2 +(3-74 ) -2 i (-12 ) ; 2 (5) -2 i (0.1) (-0.23 ) +(-0.8); 2 (6) 11 2 × 2 2 3 1 3          i - - - 1 3× (-2 3 ) ; (7) -2 ÷3 9 4 × 2 2 3     -  ; (8) -1 -(1-0.5) ×4 1 3× 2 2 3)    -(- 。

(49)

14.計算: (1) -1 2 + 1 1 5- 7 2 10 ; (2) 2.28-3.76+11 2 - 3 4 ; (3) -12 3 × 2 0.5 3      - ÷ 1 1 9; (4) 17-8 ÷ (-2)+4 i (-5); (5) -21 2+ 3 5 5(-2)× 5 14     - ; (6) 4 i (-3) 4-5 × (-3)+6; 2 (7) (-56) ÷ (-12+8)+(-2) × 5; (8) -3- 5 1 0.2 3 ( 2) 5     + × ÷   - - - ; (9) 1 ÷ (-1)+0 ÷ 4-(-4) (-1); (10) 18+32 ÷ (-2) -(-43 ) × 5; 2 (11) (-5)(+8)-(-2) (-6)+(-32 ) ÷ (-27); 4 (12) (0.01-0.03) -(3 2 0.04× 2-0.0015)。

1.15 近似值與有效數字

我們看: (1) 七年二班有 48 位同學; (2) 工廠有 126 台機器; 這裡的 48、126 是與實際完全相符的準確數; (3) 月球離地球的距離約是 38 萬 km; (4) 李大為的身高約是 1.57 m; 這裡的 38 萬、1.57 是與實際接近的近似數。

(50)

月球離地球的距離約是 38 萬 km,是經過四捨五入得來的, 這表示月球與地球的距離大於或等於 37.5 萬 km 而小於 38.5 萬 km (圖 1-21)。 李大為的身高約是 1.57 m,表示李大為的身高大於或等於 1.565 m 而小於 1.575 m (圖 1-22)。 我們說,上面的近似數 38 萬,精確到萬位;近似數 1.57,精確到百分位(或精確 到 0.01)。一般地,一個近 似數,四捨五入到哪一位, 就說這個近似數精確到哪 一位。 這時,從左邊第一個不 是零的數碼起,到這一位數 碼止,所有的數碼,都叫作 這個數的有效數字。如上面的近似數 38 萬有兩個有效數字 3、8; 近似數 1.57 有三個有效數字 1、5、7。 【例 1】 下列由四捨五入得到的近似數,各精確到哪一位?各有 幾個有效數字? (1) 10 億; (2) 507 萬; (3) 43.8; (4) 0.002; (5) 0.03086; (6) 2.4 萬。

解 (1) 10 億,精確到億位,有兩個有效數字 1、0; (2) 507 萬,精確到萬位,有三個有效數字 5、0、7; (3) 43.8,精確到十分位(即精確到 0.1),有三個有效數 字 4、3、8; 圖 1-21 38 39 37 萬 km 1.58 1.56 圖 1-22 1.57 1.575 1.565 1.57 0.01 m

(51)

(4) 0.002,精確到千分位(即精確到 0.001),有一個有 效數字 2; (5) 0.03086,精確到十萬分位(即精確到 0.00001),有 四個有效數字 3、0、8、6; (6) 2.4 萬,精確到千位,有兩個有效數字 2、4。

練 習

(口答) 圓周率π =3.14159265⋯。取近似值 3.14,是精確到哪一 位?有幾個有效數字?取近似值 3.142 呢?取近似值 3.1416 呢? 【例 2】 用四捨五入法,按要求對下列各 數取近似值: (1) 0.85149 (精確到千分位); (2) 47.6 (精確到個位); (3) 0.02076 (保 留三個 有 效數 字); (4) 1.5972 (精確到 0.01)。

解 (1) 0.85149 ≈ 0.851; (2) 47.6 ≈48; (3) 0.02076≈ 0.0208; (4) 1.5972 1.60≈ 。 注意:上面的(4)中,由四捨五入得來的 1.60,跟 1.6 不一樣,不能把最後 一個 0 隨便去掉。例如,王大明的 身高約 1.60 m,是說他的身高大 於或等於 1.595 m 小於 1.605 m, 精確到 0.01 m (圖 1-23);而張小 玲的身高約 1.6 m,是說她的身高 大於或等於 1.55 m 小於 1.65 m, 精確到 0.1 m (圖 1-24)。 圖 1-23 1.605 1.65 1.61 1.60 1.59 1.55 1.595 1.6 1.7 1.5 1.65 1.55 圖 1-24

(52)

練 習

用四捨五入法,對下列各數字按括號中的要求取近似值: 1. 56.32 (保留三個有效數字)。 2. 0.6648 (精確到 0.01)。 3. 0.7096 (精確到千分位)。

1.16 用計算器計算平方與冪次

在現今日常生活中,計算器是一種方便實用的計算工具。經 由不斷地改進,它已附加在電腦、手錶、手機中,功能也日益強 大,除可計算加減乘除外,還可以計算平方、開平方根,一些工 程用計算器甚至可做 n 次冪、開 n 次方根或高等數學的運算。 如何利用簡易的計算器計算平方與冪次呢?計算器有許多 不同的型號與功能,操作方法也略有不同。以下我們以最簡易的 計算器為例,介紹其操作方法。 在計算器上進行有理數混合運算時,只要按算式依序輸入數 字與符號,輸入完後,按等號鍵即可得到結果。 CUT UP 5/4 F 4 3 2 0 ADD2

0 00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

MR M- M+ MC OFF AC C

%

+ −

÷

GT

×

+

=

i

(53)

【例 1】 用計算器計算 5 3− 。

解 依序按鍵

5 、

- 、

3 、

= ,計算器螢幕上即可顯示 結果為 2。 【例 2】 用計算器計算 2 3.35 。

解 依序按鍵

3 、

˙ 、

3 、

5 、

× 、

= ,計算器螢幕 上即可顯示結果為 11.2225。 註: 在計算器按鍵上方,可選擇顯示之位數。F 表示全部顯示, CUT 表示無條件捨去,UP 表示無條件進位,5/4 表示四捨 五入。因此,本算式當選擇 F 時,結果為 11.2225;當選擇 CUT 時,必須在選擇取小數點後多少位,選 3 位則顯示 11.222,選 2 位則顯示 11.22,選 0 位則顯示 11;當選擇 UP 時,選 3 位則顯示 11.223,選 2 位則顯示 11.23,選 0 位則 顯示 12;當選擇 5/4 時,選 3 位則顯示 11.223,選 2 位則 顯示 11.22,選 0 位則顯示 11。 【例 3】 用計算器計算 2 2 3 +4 。

解 依序按鍵

3 、

× 、 M+ 、

4 、

× 、 M+ 、 MR , 計算器螢幕上即可顯示結果為 25。

練 習

用計算器計算 2 2.29 、2.15 、2 2.07 、2 2.3 。 2 【例 4】 用計算器計算 2 2.468 (精確到小數點後第三位)。

解 先選擇 5/4 及取小數點後三位,接著依序按鍵

2 、

˙ 、

4 、

6 、

8 、

× 、

= ,螢幕上即顯示結果為 6.091。

練 習

用計算器計算 2 2.291 、2.157 、2 2.073 、2 2.307 (精確到小數點後2 第三位)。

(54)

【例 5】 用計算器計算 2 246.8 (精確到個位數)、0.2468 (精確到小2 數點後四位)。

解 先選擇 5/4 及取小數點後 0 位,接著依序按鍵

2 、

4 、

6 、

˙ 、

8 、

× 、

= ,螢幕上即顯示結果為 60910; 再取小數點後四位,接著依序按鍵

0 、

˙ 、

2 、

4 、

6 、

8 、

× 、

= ,螢幕上即顯示結果為 0.0609。

練 習

用計算器計算 2 22.91 、0.2157 、2 207.3 、2 0.02307 (精確到小數點2 後第三位)。 【例 6】 用計算器計算 3 5.19 (精確到小數點後第三位)。

解 先選擇 5/4 及取小數點後三位,接著依序按鍵

5 、

˙ 、

1 、

9 、

× 、

5 、

˙ 、

1 、

9 、

× 、

5 、

˙ 、

1 、

9 、

= ,螢幕上即顯示結果為 139.798。 註: 本問題不可以依序按鍵

5 、

˙ 、

1 、

9 、

× 、

= 、

× 、

5 、

˙ 、

1 、

9 、

= ,因為當第一次按了

= 鍵後,計 算結果已經取了近似值,最後的結果可能會出現誤差。 如果是使用工程用的計算器,本問題可依序按鍵

5 、

˙ 、

1 、

9 、 y 、x

3 、 = 。

練 習

用計算器計算 3 5.37 、5.06 、3 5.21 、3 5.4 (精確到小數點後第三位)。 3

(55)

【例 7】 用計算器計算 (a) 3 5.263 ; (b) 5.268 ; (c) 3 5.194 ; 3 (d) 5.198 。(精確到小數點後第一位)。 3

解 因計算器無法選擇取小數點後一位,只能用人工調整, 為了避免有四捨五入影響結果,開始時計算器要選擇 CUT 並取小數點後二位,接著依序按鍵: (a)

5 、

˙ 、

2 、

6 、

3 、

× 、

5 、

˙ 、

2 、

6 、

3 、

× 、

5 、

˙ 、

2 、

6 、

3 、

= , 此時在計算器螢幕上顯示結果為 145.78,經調整精 確到小數點後第一位,可得 145.8; (b)

5 、

˙ 、

2 、

6 、

8 、

× 、

5 、

˙ 、

2 、

6 、

8 、

× 、

5 、

˙ 、

2 、

6 、

8 、

= , 此時在計算器螢幕上顯示結果為 146.19,經調整精 確到小數點後第一位,可得 146.2; (c)

5 、

˙ 、

1 、

9 、

4 、

× 、

5 、

˙ 、

1 、

9 、

4 、

× 、

5 、

˙ 、

1 、

9 、

4 、

= , 此時在計算器螢幕上顯示結果為 140.12,經調整精 確到小數點後第一位,可得 140.1; (d)

5 、

˙ 、

1 、

9 、

8 、

× 、

5 、

˙ 、

1 、

9 、

8 、

× 、

5 、

˙ 、

1 、

9 、

8 、

= , 此時在計算器螢幕上顯示結果為 140.44,經調整精 確到小數點後第一位,可得 140.4。 註: 在(d)中若將計算器選擇 5/4 及取小數點後二位,則在計算器 螢幕上顯示結果為 140.45,,經調整精確到小數點後第一位 後會得到 140.5,這是錯誤的結果。由此可知計算器必須選 擇 CUT。

(56)

練 習

用計算器計算 (a) 5.373 ; (b) 3 5.069 ; (c) 3 5.215 ;(d) 3 5.398 。(精確到小數3 點後第一位)。 【例 8】 球的體積公式是 球體積 = 4 3 3× ×π 半徑 。 請用計算器計算半徑是 0.89 m 的球之體積 (精確到小數 點後第一位,

π

取 3.14)。

解 此即要計算 4 3.14 0.893 3× × 之值。選擇 CUT 並取小數點 後二位,接著依序按鍵

4 、

× 、

3 、

˙ 、

1 、

4 、

× 、

˙ 、

8 、

9 、

× 、

˙ 、

8 、

9 、

× 、

˙ 、

8 、

9 、

÷ 、

3 、

= ,此時在計算器螢幕上顯示 結果為 2.95,經調整精確到小數點後第一位,可得 3.0。 答:半徑是 0.89 m 的球之體積約為 3.0 m3。

練 習

1. 用計算器計算3.14 0.95× 2(精確到小數點後第二位)。 2. 球體積 = 1 3 6× ×π 直徑 。用計算器計算直徑為 2.35 m 的球之 體積 (精確到小數點後第一位,

π

取 3.14)。

習 題 六

1. 下列由四捨五入得到的近似數,各精確到哪一位?各有幾個 有效數字? (1) 18.32; (2) 35; (3) 0.708; (4) 6.409; (5) 54.80; (6) 0.0074; (7) 89.3; (8) 0.0540; (9) 5.02; (10) 2.00。

(57)

2. 用四捨五入法對下列各數按括號中的要求取近似值: (1) 12.17、0.009403、8.607 (保留三個有效數字); (2) 2.768、3.4017、92.598 (精確到百分位); (3) 19.74、8.965、0.409 (精確到 0.1)。 3. 用計算器求下列平方數: (1) 1.98 ; 2 (2) 8.79 ; 2 (3) 4.08 ; 2 (4) 6.3 ; 2 (5) 3.168 ; 2 (6) 3.186 ; 2 (7) 5.064 ; 2 (8) 7.707 ; 2 (9) 45.6 ; 2 (10) 0.087 ; (11) 2 604 ; 2 (12) 0.538 ; 2 (13) 0.02108 ; 2 (14) 750.6 ; 2 (15) 30.48 ; 2 (16) 0.8008 ; 2 (17) ( 2.49)− 2 ; (18) −56.72。 4. 用計算器求下列立方數: (1) 8.57 ; 3 (2) 1.709 ; 3 (3) 6.43 ; 3 (4) 9.58 ; 3 (5) 4.384 ; 3 (6) 2.173 ; (7) 3 7.058 ; 3 (8) 8.009 ; 3 (9) 11.74 ; 3 (10) 0.356 ; (11) 3 ( 0.0489)− 3;(12) −699.83; 5. 用計算器計算: (1) 4.752 +2.932; (2) 8.273 −6.423; (3) 0.7462 −0.9852; (4) 91.083 +64.373; (5) 4 3.986× 2 − ×10 3.986 9− 。 6. 用計算器計算(精確到小數點後第二位): (1) 3.14 1.77× 2 ; (2) 1 3.14 0.572 3× × ; (3) 4 3.14 1.93 3× × 。 7. 用計算器計算(精確到小數點後第三位): (1) 邊長為 0.846 m 的正方形面積(正方形的面積 邊長 ); = 2 (2) 稜長為 2.95 m 的正方體體積(正方體的體積 稜長 )。 = 3

(58)

8. 用計算器計算(精確到小數點後第三位,

π

取 3.14): (1) 半徑為 4.8 m 的圓之面積(圓面積 = ×π 半徑 ); 2 (2) 直徑為 0.37 m 的球之體積( 1 3 6 π = × × 球體積 直徑 ); (3) 半徑為 0.96 m 的球之表面積(球的表面積 = × ×4 π 半徑 )。 2 9. 用計算器計算(精確到小數點後第三位,π 取 3.14): (1) 高為 0.82 m、底半徑為 0.47 m 的圓柱之體積 (圓柱的體積 = 底面積 高 ); × (2) 高為 7.6 cm、底半徑為 2.7 cm 的圓錐之體積 ( 1 3 = × × 圓錐的體積 底面積 高 )。

小 結

一、本章主要內容是有理數的有關概念及其運算。 二、「數學從人的需要中產生的」。正數與負數的概念是實際 生活中大量存在相反意義的量之反映,它們構成了數學中的一對 矛盾。 三、有理數包括正整數、零、負整數、正分數、負分數。有 理數可以用數軸上的點表示出來。 高 底半徑 底半徑 高 (第 9 題)

(59)

四、有理數加法的法則:兩數相加,同號的取原來之符號, 並把絕對值相加;異號的取絕對值較大的加數之符號,並用較大 的絕對值減去較小的絕對值。 有理數乘法的法則:兩數相乘,同號得正,異號得負,並把 絕對值相乘。 減去一個數,等於加上這個數的相反數。 除以一個數,等於乘以這個數的倒數。 五、有理數的運算律有: 加法交換律 a + b = b + a; 加法結合律 (a + b) + c = a + (b + c); 乘法交換律 ab = ba; 乘法結合律 (ab)c = a(bc); 分配律 a(b + c) = ab + ac。 六、求幾個相同因數的積之運算是乘方,即 n n a ai i ⋯ i a = a

複習參考題一

1. 計算: (1) 376+489; (2) 742-145; (3) 64 × 28; (4) 893 ÷ 19; (5) 5487+694; (6) 4503-784; (7) 325 × 48; (8) 4623 ÷ 87; (9) 9+27 ÷ 3; (10) 18-10 ÷ 2; (11) 9+27 ÷ 3; (12) 12-2 × 5; (13) 36 × 7-48 ÷ 2; (14) 117 ÷ 13+64 × 25。 2. 計算: (1) 15.8+2.74; (2) 4.2-0.39; (3) 3.5 × 0.68; (4) 12.96 ÷ 0.072。

(60)

3. 計算: (1) 3 5 + 1 5 ; (2) 5 6- 1 6; (3) 1 2 + 2 3 ; (4) 2 3 - 1 4 ; (5) 1 6+ 3 10 ; (6) 1 3 4- 5 2 6 。 4. 計算: (1) 3 1 5 5× ; (2) 5 1 6 ÷ 6; (3) 7 4 8×5 ; (4) 8 5 9 ÷ 6; (5) 1 1 1 2×6 ; (6) 3 1 2 4 ÷ 2。 5. 計算: (1) 31%+1.5%; (2) 1+0.5%; (3) 27%-12.4%; (4) 1-35%; (5) 32 × 2.4%; (6) 100 × 0.1%; (7) 1 ÷ 25%; (8) 0.75 ÷ 15%。 6. 比較下列每對數的大小: (1) 4 9 與 8 9 ; (2) 1 10 與 1 100 ; (3) 7 11與 7 22 ; (4) 5 7 與 7 9 ; (5) 0.78 與 0.87; (6) 3 4 與 0.7。 7. 把有理數 6.4、-9、2 3 、+10、- 3 4、-0.02、1、-1、 1 7 3、 -8.5、25、-100 按正整數、負整數、正分數、負分數分成 四個集合。 8. 有理數-3、+8、- 1 2 、+0.1、0、 1 3、-10.5、-0.4 中,哪 些屬於整數的集合?哪些屬於分數的集合?那些屬於正數的 集合?哪些屬於負數的集合?

(61)

9. 把表示下列各數的點畫在數軸上,再從大到小的順序。用「>」 號把這些數連結起來: +3、-5、+51 2 、- 1 2 2、-4、+4、0。 10.按照從小到大的順序,用「<」號把下列各數連結起來: -41 2 、 2 3 、0.6、-0.6、-4.2、5。 11.水凍結成冰的溫度是 0°C,酒精凍結的溫度是-117°C,水銀 凍結的溫度是-39°C。哪一個凍結溫度最高?哪一個最低? 12.在數軸上畫出大於-5 而小於+5 的 所有整數。 13.在圖中五個有理數組成的集合裡找出 最大數與最小數。 14.一個數的絕對值一定是正數嗎?為什 麼? 15.有理數中有沒有最小的數?有沒有絕對值最小的數?有沒有 最小的正整數?有沒有最小的負整數?如果有,各是什麼 數? 16.加工一根軸承,圖紙上註明 它的直徑是 0.03 0.02 30 φ + − ,其中 30 φ 表示直徑是 30 mm,小 字+0.03 表示合格品的直 徑只能比規定的直徑最多 大 0.03 mm,且-0.02 表示 合格品的直徑只能比規定 的直徑最多小 0.02 mm。那 麼合格品的直徑最大是多少?最小是多少? (第 13 題) 1 2 3 1 2 3 − 0 +2 -3 0.03 0.02 30 φ + − (第 16 題)

(62)

17.有 30 袋稻穀過秤,各袋的 kg 數記錄如下: 183、 178、 181、 180、 179、 185、 176、 180、 180、 176、 184、 177、 175、 186、 184、 181、 185、 174、 177、 185、 180、 186、 179、 184、 178、 183、 182、 186、 180、 184。 以每袋 80 kg 為準,超過的 kg 數記作正數,不足的 kg 數記作 負數,計算超過或不足的總數,並求 30 袋稻穀的總重。 18.某中學男子排球隊共有十名隊員,身高分別為: 1.73 m、1.74 m、1.70 m、1.76 m、1.80 m、 1.75 m、1.77 m、1.79 m、1.74 m、1.72 m。 計算此男排球隊員的平均身高。 19.整數 9 與-13 的和是多少?它們的和之絕對值是多少?它們 的絕對值之和是多少?比較三個結果的大小。 20.寫出下列各數的相反數與倒數: 原 數 5 -6 2 3 1 -0.5 -1 相反數 倒 數 21.任意寫出兩個互為相反數的數。它們的和與商各是什麼? 22. (1) 兩個有理數相乘,在什麼情況下它們的積是正數?是負 數?是零? (2) 兩個有理數相除,在什麼情況下它們的商是 1?是-1? 沒有意義? 23.某冷凍廠庫房的室溫是-2°C,現有一批食品須要在-23°C 冷 藏。如果每小時庫房能降溫 4°C,幾小時後就能降到所要求的 溫度?

數據

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參考文獻

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