I-Shou University Institutional Repository:Item 987654321/1282

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(1)具多個時延因子之參考模型時間延遲系統的簡易型補償器設計. Easily-implemented compensation design of model reference time-delay systems with multiple time delays. 研究生：呂崇瑋撰指導教授：孫永莒博士. 義守大學電機工程學系碩士班碩士論文. A Thesis Submitted to the Department of Electrical Engineering of I-Shou University in Partial Fulfillment of the Requirements for the Master Degree with a Major in Electrical Engineering June, 2009 Kaohsiung, Taiwan Republic of China. 中華民國九十八年. 六月.

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(4) 致謝. 在義守大學研究所的這兩年裡，首先要感謝我的指導教授孫永莒博士，感謝老師這兩年來於學業研究上的細心指導和許多生活上的關切，我深深體會老師對於我們的用心和期盼。並且要感謝高苑科技大學的江瑞利教授、永達科技大學的曾俊傑助理教授、和高雄大學的潘欣泰副教授三位老師在忙碌之中抽空來擔任我的口試委員，也感謝老師們給予我許多在論文修正上的指導和意見使我受獲良多。另外要感謝哲弘學長、元恩學長、怡靜學姊，還有研究室的同學玉麒、志成、威廷、毓甯、盈佐、致遠、永錫以及學弟子銘、聖閔、振銘大家在學業上的幫忙和生活中的照顧。也謝謝大家讓我在研究所兩年中留下了許多美好難忘的回憶。最後，我最要感謝我的家人們，爸媽這一路上辛苦的培育我直到研究所碩士畢業，以及妹妹時常給予我的鼓勵和關心，我由衷傾心的感謝你們，有你們當我的家人真好。. I.

(5) 具多個時延因子之參考模型時間延遲系統的簡易型補償器設計. 研究生：呂崇瑋. 指導教授：孫永莒. 義守大學電機工程研究所. 摘要. 在本篇論文中，擬針對具多個時延因子之參考模型時間延遲系統，探討其追蹤控制器的設計。利用時域分析法及回授控制法則，吾人針對具多個時延因子之參考模型時間延遲系統，設計一套簡易補償器，促使整個系統的誤差訊號以全域指數穩定的方式收斂至零，達成參考系統之輸出與系統輸出同步化的要求。此外我們亦針對上述系統，推導出誤差訊號的指數收斂速度。最後，吾人將提出一些範例並輔以電腦模擬來說明上述定理之正確性及有效性。. 關鍵詞：參考模型網路、時間延遲網路、多重時間延遲、追蹤控制。. II.

(6) Easily-implemented compensation design of model reference time-delay networks with multiple time delays. Student: Chong-Wei Lu. Advisor: Yeong-Jeu Sun. Department of Electrical Engineering I-Shou University. Abstract. In this thesis, a class of model reference time-delay networks with multiple time delays is investigated. Based on the time-domain approach and feedback control methodolody, an easily-implemented control is proposed to realize synchronization for a class of model reference time-delay networks with multiple time delays. Furthermore, the guaranteed exponential convergence rate can be correctly estimated. Finally, several numerical examples and computer simulations are provided to illustrate the feasibility and effectiveness of the obtained results.. Key Words ： Model reference networks, Time-delay network, Multiple time delays, Tracking control.. III.

(7) 目錄致謝............................................................................................................I 中文摘要...................................................................................................II 英文摘要………………………………………………………………..III 目錄……………………………………………………………………..IV 圖表目錄……………………………………………………………..VII 第一章. 前言........................................................................................1. 1.1. 簡介........................................................................................1. 1.2. 符號定義................................................................................2. 第二章. 定義與定理 ……………………………………………3. 2.1. 控制系統及其基本架構 ……………………………..3. 2.2. 時間響應的基本觀念 ………………………………..5. 2.3. 頻率響應的基本觀念………………………………………6. 2.4. 反拉式轉換…………………………………………………8. 2.5. 梅森增益公式(Mason’s Gain Formula)………………….9. 2.6. 轉移函數…………………………………………………..10 2.6.1. 線性性質……………………………………………...10. 2.6.2. 非時變性質 … … … … … … … … … … … … … … … … . . . 11. 2.6.3. 轉移函數的定義……………………………………...12 IV.

(8) 2.6.4. 轉移函數的延伸討論………………………………...12. 2.6.5. 多輸入多輸出系統的轉移函數矩陣………………...13. 控制系統的穩定度………………………………………..14. 2.7. 2.7.1. 穩定度………………………………………………...14. 2.7.2. 閉迴路系統穩定度的設計…………………………...17. 2.8. 穩定(stability)與不穩定(instability)…………………….18. 2.9. 漸進穩定與指數穩定..........................................................18. 2.10. 局部穩定(local stability)與全域穩定(global stability)....19. 2.11. 控制系統的設計與補償…………………………………..19. 2.12. Ly a p u n o v 的穩定性 … … … … … … … … … … … … . 2 1. 2.12.1 定義 Ly a p u n o v 穩定 … … … … … … … … … … … . 2 1 2.12.2 L y a p u n o v 穩定性判斷 … … … … … … … … … … 2 2 2.12.3 證明 Ly a p u n o v 穩定 … … … … … … … … … … … . 2 3 第三章. 主要定理………………………………………………….24. 3.1. 系統描述………………………………………………….24. 3.2. 主要定理………………………………………………….25. 3.3. 範例說明………………………………………………….27 3.3.1. 範例說明(I) ………………………………………….27. 3.3.2. 範例說明(II)………………………………………….28 V.

(9) 3.3.3. 範例說明(III)………………………………………...30. 第四章. 結論以及未來研究方向…………………………………..33. 4.1. 結論………………………………………………………..33. 4.2. 未來研究方向……………………………………………..33. 參考文獻………………………………………………………………..3 4. VI.

(10) 圖表目錄圖 2-1 開迴路控制系統的基本方塊示意圖..................................................................3 圖 2-2 閉迴路控制系統的基本方塊示意圖..................................................................4 圖 2-3 一階系統 ............................................................................................................7 圖 2-4 回授控制系統方塊圖..........................................................................................17 圖 2-5 串聯補償..............................................................................................................20 圖 2-6 回授補償..............................................................................................................20 圖 2-7 串聯回授補償(兩個自由度) .............................................................................. 20 圖 2-8 狀態回授補償......................................................................................................21 圖 2-9 Lyapunov 穩定圖.............................................................................................22 圖 2-10 Lyapunov 漸進穩定圖...................................................................................22 圖 3-1 系統(3.1)的回授控制網路..................................................................................25 圖 3-2 系統(3.4)未加入補償器的誤差訊號圖..............................................................27 圖 3-3 系統(3.4)加入補償器後的誤差訊號圖..............................................................28 圖 3-4 系統(3.5)未加入補償器的誤差訊號圖..............................................................29 圖 3-5 系統(3.5)加入補償器後的誤差訊號圖..............................................................30 圖 3-6 系統(3.6)未加入補償器的誤差訊號圖..............................................................31 圖 3-7 系統(3.6)加入補償器後的誤差訊號圖..............................................................32 表 2-1 標準測試訊號的數學描述..................................................................................5. VII.

(11) 第一章前言 1.1 簡介在這幾年，時間延遲系統的穩定問題已被廣泛的研究，如文獻[1-26]。在實際的系統分析和控制方面的設計，不同的控制系統有其不同的工作性能要求，例如飛彈控制系統的設計著重其機動性或靈敏性，相對穩定性的要求可能其次；但冷氣恆溫系統的控制，相對穩定性的要求就非常重要。一般而言，規格的選取將影響閉迴路極點(特性根)的設計位置。一旦規格確定，便可利用控制理論分析其性能是否達到預定的目標。若系統的性能不佳，則必須設計控制器或補償器來改善系統性能，以滿足規格的要求。設計的方法可利用古典控制理論搭配 PID 控制器、相位領先、落後補償器或利用現代控制理論搭配狀態回授控制器。於本篇論文，吾人針對一類具多個時延因子的參考模型時間延遲系統，設計一個回授控制器，促使誤差訊號能以指數型方式收斂至零。本篇論文之研究步驟如下: (1) 針對一類具多個時延因子之參考模型時間延遲系統，設計一個簡易型補償器，促使追蹤誤差訊號可以指數型方式收斂至零。 (2) 求出上述系統的指數收斂速度。 (3) 提供數值範例以驗證研究成果的正確性。. 1.

(12) 1.2 符號定義數學符號介紹如下 u (t ) := 系統輸入訊號 y (t ) := 系統輸出訊號 e(t ) := 誤差訊號. खି૚ := 反拉氏轉換. ∀ := 對所有 Σ := 累加之和. a := 實數 a 的絕對值 ⎧1 , for t ≥ 0 u s (t ) := ⎨ ⎩0 , for t < 0. y ss := 穩態輸出. 2.

(13) 第二章. 定義與定理. 2.1 控制系統及其基本架構 “控制”一詞意謂著對某一特定命令的調整或追蹤。而”自動控制系統”即為達成此一特定命令所構成的系統。控制系統的主要機構為受控元件與控制元件：受控元件一般稱之為受控廠或受控系統或受控程序；而控制元件則稱為控制器或補償器。控制系統達成控制目標的基本架構，根據是否有回授的存在，分為下列兩大類。 1. 開迴路控制系統(open-loop control system) 輸出訊號對輸入的動作，沒有任何影響的控制系統，定義為開迴路控制系統。圖 2-1 為開迴路控制系統的基本方塊示意圖：. r. u. 控制器. 受控廠. y. 圖 2-1 開迴路控制系統的基本方塊示意圖其中， r ：參考輸入(reference input)或命令(command)，. u ：致動訊號(actuating signal)， y ：系統輸出(system output)。. 開迴路控制系統的動作原理，是給定一個參考輸入或命令後，希望系統的輸出能自動到達或追隨此一命令，但是動作過程中系統的輸出訊號並不回授。開路控制系統只適用於系統輸入、輸出關係已知，且無任何外來干擾的控制系統。其結構雖然簡單，但系統的精密度也較低。 2. 閉迴路控制系統(closed-loop control system) 輸出訊號對輸入的動作，有直接影響的控制系統，定義為閉迴路控制系統。圖 2-2 為閉迴路控制系統的基本方塊示意圖：. 3.

(14) r. 比較器. e. 控制器. u. 受控廠. y. b 測量器. 圖 2-2 閉迴路控制系統的基本方塊示意圖其中， r ：參考輸入(reference input)或命令(command)。. u ：致動訊號(actuating signal)。 y ：系統輸出(system output)。. b ：回授訊號(feedback signal)。. e ：誤差訊號(error signal)。閉迴路控制系統的動作原理，是給定一個參考輸入或命令後，將系統的輸出訊號經由測量器回授，命令值 r 與回授訊號 b 在比較器中比較之後，產生誤差訊號. e ，控制器接受誤差訊號後合成致動訊號 u 到授控廠以減少誤差，並降低外來的雜訊及干擾，使輸出漸近達到預定之值。閉迴路控制系統由於回授的存在使得結構較複雜，但系統的精密度卻較高。另外，閉迴路控制系統中，若誤差訊號為參考命令與回授訊號的差，亦即 e = r − b ，則稱為負回授控制系統，否則若. e = r + b ，則稱為正回授控制系統。. 4.

(15) 2.2 時間響應的基本觀念穩定度在回授控制系統中，是最重要的問題。但系統除了穩定度之外，也必須要求工作性能(performance) 方能達到控制系統的工作目的。古典控制理論中研究控制系統性能的方法有很多種，其中較為重要的有所謂的時間響應（time response）與頻率響應 (frequency response)兩個方法。本章節將首先研究控制系統的時間響應，而時間響應的觀念簡單來說，就是對系統輸入一個控制訊號後，觀察其輸出的響應行為，藉以判斷控制性能的優劣，並找出控制器的設計方法。但是控制系統的輸入訊號並沒有一定的形式，因此我們常規劃一些標準測試訊號來探討系統的性能，雖然控制系統的輸入不一定與這些標準測試訊號完全相同，但基於此類訊號所測試並設計出來的控制器，將來應用到真實系統操作時，通常仍能有令人滿意的結果。下表為標準測試訊號的數學描述：. 表 2-1 標準測試訊號的數學描述 r (t ). 標準測試訊號. 拉氏轉換 R(s). 單位步階函數. r (t ) = u s (t ). 1 s. 單位斜坡函數. r (t ) = tu s (t ). 1 s2. 單位拋物線函數. r (t ) =. t2 u s (t ) 2. 1 s3. 控制系統的時間響應可分為兩個部分： (1) 暫態響應(transient response) 暫態響應指的是響應初期的輸出行為，此行為與系統的極點(特根性)及初始值有關。. (2) 穩態響應(steady-state response) 穩態響應指的是時間趨近於無窮大時的系統輸出行為，此行為與系統的輸入訊號及極點(特性根)有關。 5.

(16) 2.3 頻率響應的基本觀念古典控制理論中，控制系統性能的分析與設計，除了時間響應法外，另外一個非常重要且實用的工具是頻率響應法（frequency response）。頻率響應定義為控制系統對正弦輸入（sinusoidal input）訊號的穩態響應，簡單的說，頻率響應就是研究正弦訊號輸入控制系統後，時間趨近於無窮大時的輸出行為。然而我們第一個問題想要思考的是，這樣的正弦輸入之穩態響應有何物理意義？下面定理說明了一個很重要的事實。定理 2.3.1：考慮一個線性非時變的穩定系統，假設系統轉移函數為 G(s)當輸入正弦訊號，且暫態響應完全消失後，輸出的穩態響應將呈現一個與輸入相同頻率，但振幅大小（ magnitude ）與相位角（ phase ）可能不同的正弦訊號。換言之，若輸入訊號為 u (t ) = A sin ωt ，則輸出的穩態響應 y ss (t ) = B sin(ωt + φ ) ，其中，. B = A G( jω ). , φ = ∠G ( jω ). 證明：因為 u (t ) = A sin ωt ，所以 U (s ) = Y (s ) = G (s ) ×. =. Aω 。而輸出 Y（s）為 s +ω2 2. Aω s +ω2 2. kn V V k1 ω s + …+ + 1 2 + 2 2 2 s + pn ω s + ω ω s +ω2 s + p1. 其中 − p1 ，… − pn 代表 G(s ) 的極點， k1 … k n 分別是 s = − p1 ‚… − pn 的剩值。因為 G(s ) 是穩定的系統，所以 G(s ) 的極點均位於 s 左半平面，亦即 y ss (t ) = lim y (t ) = t →∞. V1. ω. sin ωt +. V2. ω. cos ωt. （2.1）. 利用共軛複數根部分分式的做法， V1 與 V2 的求解如下所示：. (s. 2. ). + ω 2 Y (s ). s = jω. = AωG ( jω ). = Aω G( jw) e j∠G ( jω ) = Aω G( jω ) cosφ + jAω G( jω ) sin φ 6.

(17) 其中 φ = ∠G ( jω ) 。因此. V1 = Aω G( jω ) cosφ. (2.2). V2 = Aω G( jω ) sin φ. (2.3). 將(2.2)、(2.3)代入(2.1)可得：. y ss (t ). = A G(s )(sin ωt cos φ + cos ωt sin φ ) = A G(s ) sin(ωt + φ ). (2.4). 頻率轉移函數或正弦轉移函數（sinusoidal transfer function）：若系統的轉移函數為 G(s ) ，則其相對應的頻率轉移函數（正弦轉移函數）定義為. G( jω ) = G( jω ) ∠G( jω ) 註：頻率響應就是研究系統在正弦輸入與其穩態輸出之間的大小與相位的變化關係，而根據定理 2.3.1 的敘述，這個大小與相位的關係正好與頻率轉移函數 G ( jω ) 有直接的關聯。簡言之，正弦輸入與其穩態輸出之間的振幅大小倍率正好等於 G( jω ) ，正弦輸入與其穩態輸出之間的相位差值正好等於 ∠G ( jω ) 。. 範例 2-1：考慮圖 2-3 所示系統。其轉移函數為 G (s ) =. x. K Ts + 1. K 1 + Ts. G (s ). 圖 2-3 一階系統 7. y.

(18) 對於正弦輸入訊號 x(t ) = X sin ωt ，系統的穩態輸出訊號 y ss (t ) 可以求得如下：用 jω 代替 G(s ) 中的 s ，得到. G ( jω ) =. K jTω + 1. 輸出量對輸入量的幅值比為. G ( jω ) =. K 1 + T 2ω 2. 而相位角 ϕ 則為. ϕ = ∠G( jω ) = − tan −1 Tω 因此，對正弦輸入訊號 x(t ) = X sin ωt ，系統的穩態輸出量 y ss (t ) 可以求得如下：. y ss (t ) =. XK 1+ T ω 2. 2. (. sin ωt − tan −1 Tω. ). 由上式可以看出，當 ω 很小時，穩態輸出 y ss (t ) 的振幅，約等於輸入量振福的 K 倍。當 ω 很小時，輸出量的相位移也很小。當 ω 很大時，輸出量的振幅很小，並且差不多與 ω 成反比關係。當 ω 趨於無窮大時，相位移趨近於 − 90 0 。. 2.4 反拉式轉換反拉式轉換的定義:. f (t ) = L−1[ F ( s)] =. 1 σ +∞ F ( s )e st ds ∫ σ − ∞ j 2πj. (2.5). 反拉式轉換的解法: 一般而言，若 G (s ) 不是嚴格真分(strictly proper)有理函數(亦即 G (s ) 的分子階層大於或等於分母階層)，則 G (s ) 可改寫如下：. G ( s) = β m s m + β m−1 s m−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + β1s + β 0 + F ( s). (2.6). 其中 F (s ) 是嚴格真分有理函數。此時 G (s ) 的反拉式轉換 g (t ) 可寫成. g (t ) = β mδ ( m) (t ) + β m−1δ ( m−1) (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + β1δ ' (t ) + β 0δ (t ) + L−1[ F ( s)] 8. (2.7).

(19) 因此， G (s ) 的反拉式轉換關鍵就在於求解 L−1[ F ( s)] . (1) 對單根 s + a 的反拉式轉換: F (s) =. A + ⋅⋅⋅ s+a. f (t ) = Ae −at + ⋅ ⋅ ⋅ (2) 對 m 個重根 ( s + a) m 的反拉式轉換: F (s) =. Am. (s + a). f (t ) = Am. m. +. Am−1. ( s + a). m −1. + ⋅⋅⋅ +. A1 + ⋅⋅⋅ ( s + a). m −1. t t m−2 −at e −at + Am−1 e + ⋅ ⋅ ⋅ + A1e −at + ⋅ ⋅ ⋅ (m − 1)! (m − 2)!. (3) 對共軛複根 ( s + α + jω )( s + α − jω ) 的反拉式轉換:. ω s +α ⎛ V2 ⎞ ⎛V ⎞ + ⋅⋅⋅ F ( s) = ⎜ 1 ⎟ + ⎟ ⎜ ⎝ ω ⎠ (s + α ) 2 + ω 2 ⎝ ω ⎠ (s + α ) 2 + ω 2 ⎛V ⎛V ⎞ f (t ) = ⎜ 1 ⎟e −αt sin ωt + ⎜ 2 ⎝ω ⎝ω ⎠. ⎞ −αt ⎟e cos ωt + ⋅ ⋅ ⋅ ⎠. 2.5 梅森增益公式(Mason’s Gain Formula) 梅森增益公式是用來決定訊號流程圖中，輸出節點與輸入節點之間的增益關係。. M =. N y out M Δ =∑ k k y in Δ k =1. 其中， M := yin 與 y out 之間增益。. y in :=輸入節點。 y out :=輸出節點。 N :=前進路徑總數。 Δ :=1-(所有迴路增益的和) 9.

(20) +(所有兩個未接觸的迴路增益乘積的和) -(所有三個未接觸的迴路增益乘積的和) +…. M k :=第 k 個前進路徑增益。 Δ k :=與第 k 個前進路徑不接觸的迴路所求得 Δ 。. 2.6 轉移函數在控制系統中，我們列舉一個系統(例如 y (t ) = au (t ) + b )，其輸出訊號 y (t ) 與輸入訊號 u (t ) 之間所呈現的是一種簡單的靜態行為，我們稱之為靜態系統(static system)，這類系統的方程式在數學上通常以代數方程式呈現。而大部分常見的控制系統，不論是機械、電機、化工或熱流系統，其輸出訊號與輸入訊號之間所呈現的是較複雜的動態行為，我們稱之為動態系統 (dynamic system) ，這類系統的方程式在數學上則會以微分方程式 (differential equation)來呈現。控制系統的微分方程式通常是用物理定律來推導求得，例. 如推導機械運動所使用的牛頓定律 (Newton’s Law) 或推導電路系統的克希霍夫定律 (Kirchhoff’s Law)等。至於一般控制系統輸出、輸入訊號間所呈現出的 n 階微分方程式. 可以用下式表達之:. y ( n) (t ) + a1 y ( n−1) (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a n y (t ) = b0 u ( m) (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + bm u (t ). (2.8). 其中 y (t ) 為系統輸出， u (t ) 為系統輸入， a1 ,⋅ ⋅ ⋅, a n , b0 ,⋅ ⋅ ⋅, bm ∈ R 為系統參數 (system parameters)。下面我們證明，若系統能表達成(2.8)式的微分方程式，則此系統即為線性. 非時變的系統。為了方便起見，我們利用下列的一階微分方程式來討論 y ' (t ) + ay (t ) = bu (t ). (2.9). 對於一般的 n 階微分方程式可依此類推。 2.6.1 線性性質當系統輸入 u (t ) = u1 (t ) ，此時所得的輸出訊號稱為 y1 (t ) ， 10.

(21) 當系統輸入 u (t ) = u 2 (t ) ，此時所得的輸出訊號稱為 y 2 (t ) ，當系統輸入 u (t ) = α1u1 (t ) + α 2 u 2 (t ) ，此時所得的輸出訊號稱為 y c (t ) ，根據(2.9)式， y1 (t ) , y 2 (t ) , y c (t ) 將分別滿足下列微分方程式:. y1' (t ) + ay1 (t ) = bu1 (t ). (2.10). y 2' (t ) + ay 2 (t ) = bu 2 (t ). (2.11). y c' (t ) + ay c (t ) = b(α1u1 (t ) + α 2 u 2 (t )). (2.12). 將(2.10) × α1 +(2.11) × α1 得:. (α1 y1 (t ) + α 2 y 2 (t )) ' + a(α1 y1 (t ) + α 2 y 2 (t )) = b(α1u1 (t ) + α 2 u 2 (t )). (2.13). 比較(2.12)式與(2.13)式可得 yc (t ) = α1 y1 (t ) + α 2 y 2 (t ) ，因此系統即為線性系統。. 2.6.2 非時變性質當系統輸入 u (t ) = u * (t ) ，此時所得的輸出訊號稱為 y1 (t ) ，當系統輸入 u (t ) = u * (t − τ ) ，此時所得的輸出訊號稱為 y 2 (t ) ，根據(2.9)式， y1 (t ) , y 2 (t ) 將分別滿足下列微分方程式:. y1' (t ) + ay1 (t ) = bu * (t ). (2.14). y 2' (t ) + ay 2 (t ) = bu * (t − τ ). (2.15). 若 a，b 均為常數時，將(2.14)式的時間變數 t 以 t − τ 替換後可得:. y1' (t − τ ) + ay1 (t − τ ) = bu * (t − τ ). (2.16). 比較(2.15)式與(2.16)式可得 y 2 (t ) = y1 (t − τ ) ，因此系統為非時變系統。. 利用代表該系統的微分方程式，我們便可以針對某一輸入訊號來求解系統所獲致的響應 (response)。這組代表系統的微分方程式又稱為系統的數學模式。但是求解微分方程式是 11.

(22) 一個複雜繁瑣的工作，控制理論為了便於分析、設計與模擬，於是發展一種特殊的表示法，這個概念結合拉式轉換的數學理論與線性非時變的系統理論，就是轉移函數(transfer function)的觀念與由來。. 2.6.3 轉移函數的定義假設一個線性非時變的動態控制系統，經由其物理特性可推得代表系統動態的微分方程式為. y ( n) (t ) + a1 y ( n−1) (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a n y (t ) = b0 u ( m) (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + bm u (t ) 其中 y (t ) 為系統輸出， u (t ) 為系統輸入， a1 ,⋅ ⋅ ⋅, a n , b0 ,⋅ ⋅ ⋅, bm ∈ R 為系統參數。令系統在時間 t = 0 的初始值為零，亦即. y ( n−1) (0) = ⋅ ⋅ ⋅ = y (0) = u ( m−1) (0) = ⋅ ⋅ ⋅ = u (0) = 0 對上述微分方程式取拉式轉換並定義 Y ( s ) = L[ y (t )], U ( s ) = L[u (t )] ，則. s nY ( s) + a1s n−1Y ( s ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a nY ( s ) = b0 s mU ( s) + ⋅ ⋅ ⋅ + bmU ( s) 整理可得:. G(s) ≡. bm s m + ⋅ ⋅ ⋅ + b0 Y (s) = U ( s ) a n s n + a n−1s n−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1s + a0. 其中 G (s ) 即定義為此系統輸出與輸入之間的轉移函數。. 2.6.4 轉移函數的延伸討論 (1) 轉移函數通常亦表示成所謂的極零點型式(pole-zero form). G ( s) =. K ( s + z1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( s + z m ) ( s + p1 )( s + p 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( s + p n ). 其中 s = − z1 , L,− z m 稱為系統零點(zero)， s = − p1 , L,− p n 稱為系統極點(pole)，K 稱為系統增益常數(gain constant)。. 12.

(23) (2) 由定義可知，轉移函數是系統輸出與輸入之間的拉式轉換比值，函數本身只與微分. 方程式的係數 a1 ,⋅ ⋅ ⋅, a n , b0 ,⋅ ⋅ ⋅, bm 有關，亦即只與系統的特性有關，與輸出、輸入是什麼訊號則無任何關係。. (3) 能表示成轉移函數的動態系統必須是線性非時變，且初始值為零的系統。非線性或. 時變系統是無法求得其轉移函數。例如，非線性微分方程式: y ' (t ) + y 2 (t ) = u (t ) 時變微分方程式: ty ' (t ) + y (t ) = u (t ) 均無法表示成轉移函數。. (4) 以轉移函數來表現控制系統時，系統輸出的拉式轉換 Y(s)等於轉移函數 G(s). 與系. 統輸入拉式轉換 U(s)的乘積，亦即 Y ( s ) = G ( s )U ( s ) 。這使得我們不必辛苦地在時域中求解(2.8)式的微分方程式以獲得輸出響應 y (t ) ，而是可以透過反拉式轉換直接求解 L−1[G( s)U ( s)] ，這也是轉移函數的優點之一。. 2.6.5 多輸入多輸出系統的轉移函數矩陣前面討論的轉移函數，基本上是針對單輸入單輸出(SISO)系統。若系統的輸入或輸出多於一個，則稱之為多輸入多輸出(MIMO)系統，多輸入多輸出的系統描述是把轉移函數的觀念擴充為轉移函數矩陣(transfer function matrix)，而矩陣內的每一個元素仍是轉移函數。轉移函數矩陣的定義: 設 Yi (s) 為系統的第 i 個輸出，U j ( s ) 為系統的第 j 個輸入，則 Gij ( s ) =. Yi ( s ) 定義為 U j (s). 系統由第 i 個輸出到第 j 個輸入的轉移函數，而 G ( s ) = [Gij ( s )] 即為系統的轉移函數矩陣。. 13.

(24) 根據線性系統的重疊原理，每一個輸入都會獨立地影響到某一個輸出 Yi (s) ，所以. Yi ( s) = Gi1 ( s)U1 ( s) + L + Gin ( s)U n ( s), i = 1,2,L, n ⎡ Y1 ( s ) ⎤ ⎡G11 ( s) L G1n ( s) ⎤ ⎡U 1 ( s) ⎤ O M ⎥⎥ ⎢⎢ M ⎥⎥ ⇒ Y ( s) = G ( s)U ( s) 因此， ⎢⎢ M ⎥⎥ = ⎢⎢ M ⎢⎣Yn ( s )⎥⎦ ⎢⎣Gn1 ( s) L Gnn ( s)⎥⎦ ⎢⎣U n ( s )⎥⎦ 討論: MIMO 系統求解轉移函數矩陣的觀念與方法，與 SISO 系統是非常類似的。但必須. 注意的是，SISO 串聯結構中的轉移函數 G1 ( s )G2 ( s ) = G 2 ( s )G1 ( s ) ，而 MIMO 串聯結構中的轉移函數矩陣相乘一般沒有交換性，因此 G1 ( s)G 2 ( s) ≠ G 2 ( s)G1 ( s) ，另外，MIMO 回授結構中的閉迴路轉移函數矩陣求解方法，也和 SISO 的求解過程有些許差異。. 2.7 控制系統的穩定度 2.7.1 穩定度穩定度在回授控制系統中，是最重要的問題之一。伺服馬達系統是否正常運轉？飛彈的飛行是否保持在預設的軌道上？這都是回授控制系統的穩定度問題。基本上，控制系統的穩定度是由外界輸入或干擾而造成的響應來決定。當系統在外加有限的輸入或干擾時，其輸出響應亦為有限，當所有外加的激勵來源消失後，系統將回復到原來的靜止狀態，則此系統稱之為穩定的系統。一般穩定度的分類有下列兩種: (1) 絕對穩定度(Absolute Stability). 指系統是穩定或不穩定的一種量測指標。在古典控制學上，絕對穩定度等效於 BIBO 穩定度。 (2) 相對穩定度(Relative Stability). 指系統穩定程度的一種量測指標。在控制系統的分析與設計中，相對穩定度是允許系統某些參數變動時，仍能保持系統穩定的一種重要量度。. 14.

(25) BIBO 穩定度(Bounded-Input Bounded-Output stability)定義: 系統的輸入為 u (t )，輸出為 y (t )。若系統對任何有限輸入 u (t )，均可得有限輸出 y (t ) ，亦即，存在實數 N , M > 0 ，使得. u (t ) ≤ N < ∞ ⇒ y (t ) ≤ M < ∞ 則稱此系統為 BIBO 穩定。. 定理 2.7.1: 一個線性非時變系統是 BIBO 穩定的充分必要條件為 +∞. ∫−∞ g (τ ) dτ ≤ P < ∞. (2.17). 其中 g (τ ) 是系統的單位脈衝響應(unit impulse response)。. 證明:一個線性非時變系統的輸入、輸出可表示成 y (t ) = ∫. +∞. −∞. 首先證明:若 ∫. g (t − τ )u (τ )dτ = ∫. +∞. −∞. +∞. −∞. g (τ )u (t − τ )dτ. (2.18). g (τ ) dτ ≤ P < ∞ ⇒ 系統是 BIBO 穩定. 由(2.17)式可得: y (t ) =. +∞. +∞. ∫−∞ g (τ )u (t − τ )dτ ≤ ∫−∞ g (τ ) u (t − τ ) dτ. 若輸入滿足 u (t ) ≤ N < ∞ ，則 u (t − τ ) ≤ N < ∞ ，因此 y (t ) ≤ ∫. +∞. −∞. g (τ ) N dτ = N ∫. +∞. −∞. g (τ ) dτ ≤ N ⋅ P = M < ∞. 由此即證得系統是 BIBO 穩定。其次證明:若系統是 BIBO 穩定 ⇒ ∫. +∞. −∞. 此問題等效於:若 ∫. +∞. −∞. g (τ ) dτ ≤ P < ∞. g (τ ) dτ = ∞ ⇒ 系統不是 BIBO 穩定. ⎧ 1, g (τ ) > 0 ⎪ 為證明此問題，我們選一特殊輸入訊號 u (t − τ ) = sgn ( g (τ ) ) = ⎨ 0, g (τ ) = 0 ⎪− 1, g (τ ) < 0 ⎩ 15.

(26) 很明顯地，輸入訊號是有限的，但此時 y (t ) = ∫. +∞. −∞. g (τ )u (t − τ )dτ. =∫. +∞. =∫. +∞. −∞. −∞. g (τ ) sgn ( g (τ ) )dτ g (τ ) dτ. =∞. 亦即輸出是無限大的，所以根據定義，系統不是 BIBO 穩定。得證。. 定理 2.7.2: 一個線性非時變系統是 BIBO 穩定的充分必要條件是. Re( pi ) < 0, ∀i = 1,2,L, n 其中 Re 代表實部， pi 為系統轉移函數 G (s ) 的極點。. 證明:令轉移函數 G (s ) 經部分分式後，可表示成下列的一般式: l. αi. i =1. ( s − pi ) ki. G ( s) = ∑. 其中 pi 為 G (s ) 的極點(實根或共軛複根)， α i 為部分分式係數， k i 為重根數。經過反拉式轉換後可推得單位脈衝響應為 t ki −1 g (t ) = ∑ α i e pit u s (t ) (k i − 1)! i =1 l. 註:一般在控制系統上討論時間函數時，都限定在 t ≥ 0 的範圍內，所以反拉式轉. 換後. 的時間函數都不會特意乘上 u s (t ) 。但是，若問題討論的時間範圍是 ( −∞ , + ∞ ) ，則必須乘上 u s (t ) 。根據定理 2.7.1，系統是 BIBO 穩定的充分必要條件是 +∞. ∫−∞. g (t ) dt = ∫. +∞. 0. g (t ) dt ≤ P < ∞. (2.19). 16.

(27) 很明顯地， g (t ) 滿足(2.19)的充分必要條件是 Re( pi ) < 0, ∀i = 1,2,L, n. 結論:古典控制學上將穩定度的觀念定義為 BIBO 穩定度(當然，穩定度的定義不是只有 BIBO 穩定度)，而定理 2.7.1 與定理 2.7.2 提供了線性非時變系統 BIBO 穩定度的判斷方. 法。這個判斷方法與極點有非常直接的關聯，若今 p1 , p 2 ,L, p n 為系統轉移函數 G (s ) 的極點，則 BIBO 穩定度與轉移函數極點具有下列的重要關係: 系統是 BIBO 穩定 ⇔ Re( pi ) < 0, i = 1,2, L, n 。. 2.7.2 閉迴路系統穩定度的設計回授控制系統的最基本要求就是穩定度的問題。而迴路控制器的主要功能之一正是扮演穩定閉迴路系統的角色。在控制器設計中，最簡單的控制器其實就是一個可調整的放大器(通常我們用 K 來代表)。如何調整控制器或其他的控制參數，使得閉迴路能穩定地操作，是控制器設計的第一個要求。羅斯穩定準則正是應用於這個課題的重要工具，下面我們使用一個範例來說明此一觀念與用法。. 範例 2-2: 假設回授控制系統的方塊圖如圖 2-4 所示，其中受控廠轉移函數. G ( s) =. 1 2. s( s + s + 1)(s + 2). ，控制器轉移函數 Gc ( s) = K 。若希望閉迴路穩定，亦即閉迴. 路極點在 s 左半平面，則控制器 K 值的範圍為何？. 圖 2-4 回授控制系統方塊圖. 17.

(28) 解:閉迴路轉移函數為. Gc ( s)G ( s) Y ( s) K = = 4 R( s ) 1 + Gc ( s )G ( s) s + 3s 3 + 3s 2 + 2s + K 所以閉迴路特性方程式為 s 4 + 3s 3 + 3s 2 + 2s + K = 0，建立特性方程式的羅斯表如下:. s4 s. 3. s2 s1 s0. 1. 3. 3 7 3 9 2− K 7 K. 2. K. K. 若希望閉迴路系統穩定，亦即閉迴路極點均在 s 左半平面，則羅斯表第一行元素必須全部為正(沒有正負變號)，所以 2 −. 9 14 K > 0 且 K > 0 ，亦即 0 < K < 7 9. 2.8 穩定(stability)與不穩定(instability) 定義: 考慮 f (0) = 0，對於任何 R > 0，均存在 r > 0，使得當 x(0) < r 時， x(t ) < R, ∀t ≥ 0 ，則稱此平衡點 x * = 0 為穩定，否則此平衡點稱為不穩定平衡點。. 2.9 漸進穩定(asymptotic stability)與指數穩定(exponential stability) 定義: 一個穩定的平衡點 x * = 0 ，若存在一正整數 r ，使得 x(0) < r 時， lim x(t ) = 0 ，則 t →∞. 稱此平衡點 x * = 0 為漸進穩定。定義: 一個平衡點 x * = 0，假設初始狀態 x (0) 在一個 ball Br 內，且存在一個函數 α (⋅) 與一個嚴格正數 λ 使得 18.

(29) x (t ) ≤ α ( x(0) )e − λt , ∀t > 0. (2.20). 則稱平衡點 x * = 0 為指數穩定。換句話說，(2.20)式的意義為，指數穩定系統的狀態向量比指數函數收斂至原點的速度快；而此正數 λ ，吾人稱為指數收斂速率。. 2.10 局部穩定(local stability)與全域穩定(global stability) 上述定義只限定在描述系統平衡點附近的行為，局部的特性通常無法說明系統整體行為，以下介紹全域穩定的觀念。定義: 假設局部漸進穩定(或局部指數穩定)在任何初始狀態下均成立，則稱之為全域漸進穩定(或全域指數穩定)。. 2.11 控制系統的設計與補償在控制系統的分析中，我們知道，除了穩定度是控制系統的基本要求之外，許多性能規格的要求，也是一個好的控制系統不能忽略的要素。因為性能規格大致能指出控制系統的響應速度，相對穩定度及系統的容許誤差。一般而言，在時域中常見的規格有: (1)最大超越量(maximum overshoot) 。 (2)上升時間(rise time) 。 (3)安定時間(settling time) 。 (4)延遲時間(delay time) 。 (5)誤差常數(error constant) 。. 在頻域中常見的規格有: (1)共振峰值(resonant peak) 。 (2)共振頻率(resonant frequency) 。 (3)頻帶寬度(bandwidth) 。 19.

(30) (4)增益邊限(gain margin) 。 (5)相位邊限(phase margin) 。. 若控制系統無法滿足特定的規格要求，就必須調整系統中的可變參數或改變閉迴路結構。調整變數或改變結構以提供滿意的工作性能，我們稱之為補償(compensation)。因補償而加入系統的元件則稱之為控制器(controller)或補償器 (compensator)。基本的補償控制系統結構，可如圖 2-5、2-6、2-7、2-8 所示:. R +. U. Gc (s). −. Y. Gp (s). 圖 2-5 串聯補償. R +. +. U. −. Gp (s). −. Y. Gh (s) 圖 2-6 回授補償. R +. −. Gc (s). +. U. −. Gp (s) Gh (s). 圖 2-7 串聯回授補償(兩個自由度). 20. Y.

(31) r+. •. u. X = AX + Bu. −. X. C. y. K 圖 2-8 狀態回授補償在圖 2-5 中，控制器與受控系統串聯，稱為串聯補償(series or cascade compensation)，這是古典控制系統最常用的補償設計結構。圖 2-6 中，控制器被放置在內回授路徑 (inner feedback path)，稱之為回授補償(feedback compensation)。一般而言，串聯補償比. 較好設計，但在實際的控制設計中，究竟選擇串聯或回授補償結構，與系統訊號特性、功率位準、元件、設計者經驗與經濟成本考量等，都有密切的關係。圖 2-8 則稱為狀態回授補償(state feedback compensation)。以上三種補償結構都只有一個控制器，是屬於一個自由度(one degree of freedom)的設計。一個自由度的控制結構其設計當然比較容易，但是能滿足的工作性能也必定受到限制。圖 2-7 即為一個結合串聯與回授的二自由度 (two degree of freedom)設計範例。. 2.12 Lyapunov 的穩定性 2.12.1 定義 Lyapunov 穩定吾人稱平衡點 x = 0 為 Lyapunov 穩定，若下列條件滿足：對任一 ε > 0 ，恆存在 δ = δ (ε ) ，當初始值 x(0) < ε 滿足時，則恆有 x(t ) < ε ， ∀t ≥ 0 也就是說，當 x(t)之起始值距離原點在半徑 δ 之範圍內時，則當系統開始動以後， x (t ) 也始終在 ε 之半徑內運動，不會越跑離原點越遠；不管 ε 多小，只要 δ 取的夠小（初始值 x (0) 離原點夠近），一定可以保證 t ≥ 0 以後之 x (t ) 一定落於原先所指定之 ε 半徑。. 21.

(32) 圖 2-9 Lyapunov 穩定圖 2.12.2 Lyapunov 穩定性判斷 •. 設 x = 0 為 x = f (x ) 之平衡點，D 為 x = 0 之一鄰域。V：D → R 是一在 D 區域內連續可微的函數。若 V 滿足 (a) V (0) = 0 (b) V ( x ) > 0 in D – {0} •. (c) V ( x) ≤ 0 in D. 則稱 x = 0 為 Lyapunov 穩定，若 V (x ) 又滿足額外條件 •. (d) V ( x ) < 0 in D –{0}. 則 x = 0 為漸進穩定。. 圖 2-10 Lyapunov 漸進穩定圖 22.

(33) 2.12.3 證明 Lyapunov 穩定對 ∀ε ≥ 0 ，存在 δ 使得. x(0) < δ ⇒ x(t ) < ε 對任一給定之 ε ，選擇 r ∈ (0, ε ] 使得. {. }. Br = x ∈ R n x ≤ r ⊂ D. 設 α = min V ( x ) → α > 0 由條件(b)，再取 β ∈ (0, α ) 並設 x =r. Ω β = {x ∈ Br V ( x ) ≤ β }，表 Ω β 全部位於 Br 之內部。此時 Ω β 有一特性，當軌跡在 t=0 時，由 Ω β 內之ㄧ點開始運動時，則此軌跡必一直位於. Ω β 之內，可由下列式子得知 •. 條件(c) ⇒ V ( x (t )) ≤ 0 •. •. ⇒ V (x(t )) ≤ V ( x(0 )) ≤ β , ∀t ≥ 0. 由於 V 為連續且 V (0 ) = 0 ，吾人可以找到一 δ > 0 使得. x ≤ β ⇒ V (x ) < β Bδ ⊂ Ω β ⊂ Br 於是. x(0 ) ∈ Bδ ⇒ x(0 ) ∈ Ω β ⇒ x(t ) ∈ Ω β ⇒ x(t ) ∈ Br. ⇒ x(0) < δ ⇒ x(t ) < r ≤ ε , ∀t ≥ 0 ⇒ Lyapunov 穩定 23.

(34) 第三章主要定理 3.1 系統描述茲考慮下述受控系統(3.1a)與參考模型(3.1b)： L[ y p (t )] L[u p (t )]. =. Y p ( s) U p (s). =. n p ( s) d p (s). e −as. (3.1a). r. ∑ nm,i (s) ⋅ e −b s i. L[ y m (t )] Ym ( s) = = L[u m (t )] U m ( s). i =1. d m (s). (3.1b). 其中 y p 和 ym 分別為受控系統和參考模型的輸出， a 和 bi ， ∀i = 1,2, L , r 為延遲因子且. 0 ≤ a ≤ bi ， ∀i = 1,2, L , r ，而 u p 和 um 分別為受控系統和參考模型的輸入，再則，多項式. d p (s) 、 d m (s) 、 n p ( s) 和 nm,i (s) ， ∀i = 1,2, L , r 均為穩定型的多項式，亦即多項式解的實部均為負數。本論文擬使用時域與頻域分析法，尋找一簡易補償器 u p ，促使閉迴路系統的誤差 e(t ) 最終收斂至零，其中 e(t ) 表示為參考模型的輸出和受控系統的輸出之間的差距。. 24.

(35) 3.2 主要定理定理一: 針對參考模型系統(3.1)，吾人提出控制法則如下：. U p ( s) = Gc ( s )[U m ( s) − Y p ( s)] 如圖 3-1 所示,預期誤差 e(t ) 將以指數型方式收斂至零。. ∑ n m ,i ( s ) ⋅ e r. Um. i =1. Gc (s ). d p (s ) n p (s ). + _. + +. −bi s. d m (s ). ∑ nm ,i (s ) ⋅ e r. i =1. Ym. − (bi − a ) s. Up. d m (s ). n p (s ) ⋅ e − as d p (s ). e − as. 圖 3-1 系統(3.1)的回授控制網路證明吾人定義如下穩定型多項式 d m ( s) := a n s n + a n−1s n−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1s + a0 及誤差 e(t ) := y m (t ) − y p (t ) 根據圖 3-1 及藉由梅森增益公式(Mason’s gain formula)，可輕易獲得如下式. 25. Yp.

(36) r. d p ( s) ⋅ ∑ nm,i ( s) ⋅ e −(bi −a ) s i =1. d m (s) ⋅ n p (s). Gc ( s ) =. r. ∑ nm,i (s) ⋅ e −b s i. 1−. i =1. d m (s). 及. Gc ( s ) ⋅. Y p (s) U m (s). =. n p (s). e −as. d p (s) n p ( s ) −as 1 + Gc ( s ) ⋅ e d p (s) r. ∑ nm,i (s) ⋅ e −b s i. =. i =1. d m ( s). .. 如此可推得 a n y (pn ) (t ) + a n −1 y (pn −1) (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 y (p1) (t ) + a 0 y p (t ) ⎡⎛ r ⎤ ⎞ = L−1 ⎢⎜ ∑ n m,i ( s ) ⋅ e −bi s ⎟ ⋅ U m ⎥ ⎟ ⎜ ⎢⎣⎝ i =1 ⎥⎦ ⎠. (3.2). 根據系統(3.1b)，可推得下式 a n y m( n ) (t ) + a n −1 y m( n −1) (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 y m(1) (t ) + a 0 y m (t ) ⎡⎛ r ⎤ ⎞ = L−1 ⎢⎜ ∑ n m,i ( s ) ⋅ e −bi s ⎟ ⋅ U m ⎥ ⎜ ⎟ ⎢⎣⎝ i =1 ⎥⎦ ⎠. (3.3). 根據 (3.2) 及 (3.3) ，吾人可輕易得知. a n e ( n ) (t ) + a n −1e ( n −1) (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + a1e (1) (t ) + a 0 e(t ) = 0，由於 d m (s) 為穩定型多項式，故誤差 e(t ) 將以指數型方式收斂至零。如此可得證此證明。. 26.

(37) 3.3 範例說明 3.3.1 範例說明(I) 茲考慮下述受控系統(3.4a)及參考模型(3.4b):. y (p1) (t ) + 4 y p (t ) = u (p1) (t − 1) + 2u p (t − 1),. (3.4a). (1) y m( 2) (t ) + 3 y m (t ) + 2 y m (t ). (3.4b). = u m(1) (t − 2) + u m (t − 2) + u m(1) (t − 3) + 2u m (t − 3). 對照(3.4)及(3.1)，可獲得. a = 1,. r=2 ,. d p ( s) = s + 4 ,. d m ( s ) = s 2 + 3s + 2 ,. n p (s) = s + 2 ,. nm,1 ( s ) = s + 1 ,. n m, 2 ( s ) = s + 2 , b1 = 2 ,. b2 = 3 .. 1.5. 1. e(t). 0.5. 0. -0.5. -1. 0. 5. 10. 15. 20. 25 time. 30. 35. 40. 45. 圖 3-2 系統(3.4)未加入補償器的誤差訊號圖( u p (t ) = 1 ) 27. 50.

(38) -6. 2. x 10. 1 0. e(t). -1 -2 -3 -4 -5 -6. 0. 5. 10. 15. 20. 25 time. 30. 35. 40. 45. 50. 圖 3-3 系統(3.4)加入補償器後的誤差訊號圖( u p (t ) = 1 ). 根據定理一，吾人加入補償器 U p ( s) = Gc ( s)[U m ( s) − Y p ( s)] 後，如圖 3-1 所示，則誤差. e(t ) := y m (t ) − y p (t ) 最終以指數型方式收斂至零。圖 3-2 為系統(3.4)未加入補償器之誤差訊號圖，而圖 3-3 為系統(3.4)加入補償器後之誤差訊號圖，由圖 3-3 之電腦模擬顯示，加入補償器後將促使誤差訊號收斂至零。. 28.

(39) 3.3.2 範例說明(II) 茲考慮下述受控系統(3.5a)及參考模型(3.5b):. y (p1) (t ) + 4 y p (t ) = u (p1) (t − 1) + 2u p (t − 1),. (3.5a). y m( 2) (t ) + 3 y m(1) (t ) + 2 y m (t ) = u m(1) (t − 2) + u m (t − 2) + u m(1) (t − 3) + 2u m (t − 3) +. (3.5b). u m(1) (t − 4) + 3u m (t − 4) + u m(1) (t − 5) + 4u m (t − 5). 對照(3.5)及(3.1)，可獲得. a = 1,. r = 4,. d p ( s) = s + 4 , n p (s) = s + 2 ,. d m ( s ) = s 2 + 3s + 2 , nm,1 ( s ) = s + 1 ,. n m , 2 ( s ) = s + 2 , n m ,3 ( s ) = s + 3 , n m , 4 ( s ) = s + 4 , b1 = 2 ,. b2 = 3 ,. b3 = 4 ,. b4 = 5 .. 6. 5. 4. e(t). 3. 2. 1. 0. -1 0. 5. 10. 15. 20. 25 time. 30. 35. 40. 45. 圖 3-4 系統(3.5)未加入補償器的誤差訊號圖( u p (t ) = 1 ) 29. 50.

(40) -5. 1.5. x 10. 1. 0.5. e(t). 0. -0.5. -1. -1.5. -2. 0. 5. 10. 15. 20. 25 time. 30. 35. 40. 45. 50. 圖 3-5 系統(3.5)加入補償器後的誤差訊號圖( u p (t ) = 1 ). 根據定理一，吾人加入補償器 U p ( s ) = Gc ( s )[U m ( s ) − Y p ( s )] 後，如圖 3-1 所示，則誤差. e(t ) := y m (t ) − y p (t ) 最終以指數型方式收斂至零。圖 3-4 為系統(3.5)未加入補償器之誤差訊號圖，而圖 3-5 為系統(3.5)加入補償器後之誤差訊號圖，由圖 3-5 之電腦模擬顯示，加入補償器後將促使誤差訊號收斂至零。. 3.3.3 範例說明(III) 茲考慮下述受控系統(3.6a)及參考模型(3.6b):. y (p1) (t ) + 3 y p (t ) = u (p1) (t − 2) + 4u p (t − 2),. (3.6a). ( 2) ym (t ) + 5 y m(1) (t ) + 6 y m (t ) (1) (1) = um (t − 3) + u m (t − 3) + u m (t − 4) + 2u m (t − 4) + u m(1) (t − 5) + 3u m (t − 5).. 對照(3.6)及(3.1)，可獲得 30. (3.6b).

(41) r =3,. a = 2,. d m ( s ) = s 2 + 5s + 6 ,. d p (s) = s + 3 ,. n p (s) = s + 4 ,. nm,1 ( s ) = s + 1 ,. n m, 2 ( s ) = s + 2 ,. n m ,3 ( s ) = s + 3. b1 = 3 ,. b2 = 4 ,. b3 = 5 .. 200 150 100. e(t). 50 0 -50 -100 -150 -200. 0. 5. 10. 15. 20. 25 time. 30. 35. 40. 45. 50. 圖 3-6 系統(3.6)未加入補償器的誤差訊號圖( u p (t ) = 2 ). 31.

(42) 0.8 0.7 0.6 0.5. e(t0. 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1. 0. 5. 10. 15. 20. 25 time. 30. 35. 40. 45. 50. 圖 3-7 系統(3.6)加入補償器後的誤差訊號圖( u p (t ) = 2 ). 根據定理一，吾人加入補償器 U p ( s ) = Gc ( s )[U m ( s ) − Y p ( s )] 後，如圖 3-1 所示，則誤差. e(t ) := y m (t ) − y p (t ) 最終以指數型方式收斂至零。圖 3-6 為系統(3.6)未加入補償器之誤差訊號圖，而圖 3-7 為系統(3.6)加入補償器後之誤差訊號圖，由圖 3-7 之電腦模擬顯示，加入補償器後將促使誤差訊號收斂至零。. 32.

(43) 第四章結論以及未來研究方向 4.1 結論於本論文中，吾人針對具多個時延因子之參考模型時間延遲系統，設計一個回授控制器。在 3.1 節至 3.2 節中吾人使用時域與頻域分析法，尋找一簡易補償器 u p ，促使閉迴路系統的誤差訊號 e(t ) 最終以指數型方式收斂至零。最後，在 3.3 節中吾人提出數值範例來驗證本篇論文的主要結果，經由嚴密的証明並輔以電腦模擬驗證得知，本論文中所設計之控制器，的確可以達到誤差訊號收斂至零的目標。. 4.2 未來研究方向在本篇論文中，吾人針對具多個時延因子之參考模型時間延遲系統，設計一個簡易型的補償器，促使整個閉迴路系統的誤差訊號最終收斂至零。在未來的研究，吾人將分別以兩個方向來做探討：. 一、. 吾人將針對具多個時延因子之參考模型時間延遲系統，設計一個補償器，. 並在有限的時間內促使整個閉迴路系統的誤差訊號收斂至零。. 二、. 吾人將針對具多個時延因子之參考模型時間延遲系統，加入未知的擾動項，. 從而設計一個補償器，促使整個閉迴路控制系統的誤差訊號最終能收斂至零。. 33.

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