數位光學測量於固體材料變形分析之應用

1*_{國立成功大學材料科學與工程學系 助理教授} 2_{國立高雄大學土木與環境工程學系 助理教授} 3_{國立高雄第一科技大學營建工程學系 副教授}

數位光學測量於固體材料變形分析之應用

郭瑞昭1* 童士恒2 施明祥3 陳志慶1 1_{國立成功大學材料科學與工程學系} 2_{國立高雄大學土木與環境工程學系} 3_{國立高雄第一科技大學營建工程學系} 關鍵詞：實驗力學、光學量測法、塑性變形、數位影像相關係數。 摘要 對應變分佈的解析在塑性力學以及具應力集中的問題而言，是極為重要的課題。習知的 應 變 量 測 技 術 只 能 對 特 定 位 置 進 行 點 應 變 的 觀 測 而 精 密 的 儀 器 如 干 涉 儀 (Raman Spectroscopy)雖能以無接觸的方式進行面的量測，卻因儀器昂貴而不能廣泛用於研究或工程 中。相對的，數位光學測量可以提供低價而精度高的應變分佈,是很適於推廣的應變解析利 器。本文提出應用數位影像處理的技術，分析塑性變形過程中試片表面形成之應變場。該影 像處理的核心在於“找尋演算法＂，所謂“找尋演算法＂是利用數位影像相關係數，藉著比 較變形前後網格內灰階值之總合，在變形後影像中尋找變形後網格的相對位置。經由變形前 後網格的相對位置，即可計算出各網格之應變量。鋁試片經過壓縮變形後，利用數位影像處 理的技術，呈現出塑性變形之不均勻應變分佈。本文顯示運用數位影像處理的技術，成功地 將塑性形變過程“視覺化＂。

Application of Digital-Image-Correlation Techniques to crystal plasticity

Jui-Chao Kuo1*, Shih-Heng Tung2, Ming-Hsiang Shih3, Delphic Chen1

1

Department of Materials Science and Engineering National Cheng-Kung University,

Tainan 70101, Taiwan, R.O.C.

2

Department of Civil and Environment Engineering National University of Kaohsiung,

Kaohsiung 811, Taiwan, R.O.C.

3

Department of Construction Engineering

National Kaohsiung First University of Science and Engineering, Kaohsiung 824, Taiwan, R.O.C.

Key words: Experimental Mechanics, optical measurement, Plasticity, digital image correlation. ABSTRACT

The analysis of strain distribution plays an important role at plasticity and stress concentration. A well known technique measuring strain, which can be used to the observation of strain change, is directly to calculate the displacement change between two positions. With the help of Raman-Spectroscopy it is also possible to determine strain fields over the surface by a non-contact method. Due to the cost of Raman-Spectroscopy this technique can not be generally used in all

fields of research and engineering. In contrast to Raman-Spectroscopy a digital optic measurement provides a cheap and precise measurement of strain distribution. In this study a novel image processing is demonstrated to determine on-plane strain fields on the sample surface after plastic deformation. Numerical procedure for deformation analysis using digital-image-correlation (DIC) is applied to find correlation between regions in a “source” and displaced regions in a “destination” image. Gray scales of pixels contained in rectangular regions are correlated via a least square algorithm. An aluminum poly-crystal was used to compress in a channel-die. During deformation process, pronounced strain heterogeneity is observed by strain field distributions. This demonstration shows the ability to visualize deformation histories during processing.

一、前言 應變分佈之解析在土木工程與機械工程 等相關領域中，是極為重要而不可缺少的量 測技術，特別是在探討塑性力學以及破壞力 學中應力集的問題。傳統應變量測技術主要 可分為兩種，方法一:針對特定位置中之兩點 位置，進行應變的量測，無法獲得變形面應 變之分佈。方法二:在變形前先於試片表面上 製造網格，變形後直接計算各個網格之位移 量，而推算各個網格之應變場，但分析過程 需要相當長的時間。精密應變量測儀器如拉 曼干涉儀(Raman Spectroscopy)、電子散斑干 涉 儀 (Electrical Speckle Pattern Interferometer)，雖然能以非接觸的方式進行 面應變場的量測，卻因儀器昂貴以及穩定度 等因素，無法廣泛應用於科研究或工程中。 數位光學測量卻可以提供低價而精度高的全 場應變分佈,適合推廣的應變解析的利器,該 實驗分析技術為數值計算驗證之有效的工 具。 數位光學應變測量的基本原理，首先在 分 析 物 體 的 表 面 產 生 所 謂 “ 結 構 性 的 斑 紋＂，結構性的斑紋系為表面灰階的分佈， 表面灰階的分佈即為影像處理的重要特徵。 利用灰階分佈的特徵，對變形前後的影像進 行特徵比對，獲得變形前後影像的相對位 置。藉此變形前後影像的相對位置，計算影 像中各點之位移向量，其他物理量都可以此 位移向量為基礎而推算出，諸如 X、Y 方向 的應變場，XY 方向的剪應變，von Mises 的 應變等。 二、數位光學應變測量之基礎理論 2.1 2D 數位影像相關係數法 影像相關係數法廣泛應用於影像識別技 術相關領域，其原理主要在比對兩張影像的 局部相關性，以此相關性判定變形前後影像 中局部的對映關係(通常假設此對映關係為 函數關係)。茲以圖 1 為例說明該對映關係， 在圖 1 中變形前中心點位置為 P 點，變形後 P 點位置改為 P*位置，兩者間之函數關係如 下: ) , ( ) , ( * * y x v y y y x u x x + = + = 對未變形的影像，可以應用有限元素法 的觀念，將影像切割成數個次級影像(如圖 2 所示)。在變形前後相對應之次級影像，其次 級影像內灰階值的總和相同，此一特性為影 像辨識法之基本原理。假設變形前影像為影 像 A 而變形後影像為影像 B，兩者間存在著 對應關係稱為函數關係如上述，該函數可以 為剛體平移與旋轉運動。其次，依影像相關 係數法判定兩者間的相關程度，影像相關係 數定義如下:[3,5]

∑

∑

∑

⋅ = 2 2 ~ ~ j i ij j i ij g g g g COF 其中，g 及_ij g~ 分別是影像 A 在_ij ( ji, )座標上 及影像 B 在(i, j)座標上的灰階，而(i, j)座標 為影像 A 上( ji, )座標在影像 B 上的對應點座 標。

圖 1: 物體表面上方變形前與變形後次級影 像(格形)之相對位置示意圖。[3] 對每一＂次級影像＂的相關係數進行最 佳化處理，以最佳化程序決定對應函數之最 佳參數，即可獲得變形前後每一次級影像的 對應座標。應用此變形前後的對應座標即可 計算其各別的位移量，進而獲得位移場。 圖 2: 物體表面上之次級影像(方格)示意圖。 2.2 應變場之計算 Green-Lagrange’s 張量 E 定義為:

[

F F I

]

E= T ⊗ − 2 1 其中 F 為位移場梯度張量，而 I 為單位 矩陣。張量 E 可改寫為位移場的函數如下:[3]

(

ij ji

)

ki k j ij u u u u E _{, , , ,} 2 1 2 1 _{+ +} = 其中i,j,k∈(x,y)而且ui,j =δui/δj。所以 應變可計算如下： ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 2 2 1 x u x u x ux x y xx ε ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 2 2 1 y u y u y uy x y yy ε ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = y u x u y u x u x u y ux y x x y y xy 2 1 2 1 ε 三、固體材料變形過程之視覺化 以下應用由本研發團隊所自行開發的影 像分析應變軟體，首先進行剛體平移與轉動 之測試，藉以探討影像處理程式之理論解析 度。原始的影像分別沿 X、Y 方向平移 8、32、 128 pixels，同時也將原始的影像沿順時鐘方 向轉動 20°、40°、80°，然後以平移與轉動 後的影像分析表面應變分佈。該平移與轉動 後之影像並無任何變形，理論上應變量應該 為 0。經由應變軟體計算的結果可視為實驗 數值，以此實驗數值與理論應變量相比較， 可得知應變軟體之解析度。 其次，再以實際平面壓縮(plane strain compression)為例分析變形過程，即所謂將變 形過程視覺化。 3.1 剛體平移之分析 3.1.1 沿+X 方向平移 應用影像處理軟體，將原始影像沿+X 方 向分別進行剛體平移 8、32、128 pixels，即 可獲得剛體平移後之影像，再以應變軟體分 別對不同平移量進行分析其微應變之分佈。 圖 3 分別顯示沿+X 平移 8 、pixels、32 pixels 與 128 pixels 後微應變的分佈，von Mises 應 變平均值約為 10-4_{，相當於 0.01%。理論值應} 為 0。在程式中準確度設為 0.01 pixels 時可計 算出誤差值為 0.01%。 以上 von Mises 應變分佈圖祇能顯示微 觀應變分佈，無法獲得巨觀平均值的量，將 所有結點的應變值平均，即可得巨觀平均值 與標準差。表 1 顯示應變的平均值約為 10- 4_， 此即為應變軟體計算過程之誤差值。

(a)

(b)

(c)

圖 3: 沿+X 方向平移 (a) 8 pixels, (b)32 pixels, (c) 128 pixels 之 von Mises Strain 分佈 圖。 X 方 向平 移量 x ε εy εxy εvM 8 -0.1±18.3 -0.1±7.0 0.2±9.1 14.5±9.1 32 -0.1±17.4 0.1±7.7 -0.9±9.1 14.0±9.1 128 -0.5± 8.1 -0.4±5.8 -0.6±5.5 8.0±4.4 表 1: 經應變軟體計算沿+X 方向平移量 (pixels)之微應變量的平均值及其標準 差X ±SD(×10-5 ) 。 3.1.2 沿+Y 方向平移 在此延續前述之方法應用影像處理軟 體，而將原始影像沿+Y 方向分別進行剛體平 移 8、32、128 pixels，即可獲得剛體平移後 之影像，再以應變軟體分別對不同平移量進 行分析其微應變之分佈。 圖 4 分別顯示沿+Y 平移 8 、pixels、32 pixels 與 128 pixels 後微應變的分佈，von Mises 應變平均值約為 10-4，相當於 0.01%。 理論值應為 0。因此，在程式中準確度設為 0.01 pixels 時可以計算出誤差值為 0.01%。 (a) (b) (c)

圖 4: 沿+Y 方向平移 (a) 8 pixels, (b)32 pixels, (c) 128 pixels 之 von Mises Strain 分佈 圖。

該結果顯示應變軟體所解析出之平均應 變值約在 10- 4_{數量級如表 2。因此，在程式}

中準確度設為 0.01 pixels 時可以計算出誤差 值為 0.01%。

Y 方 向平 移量 x ε εy εxy εvM 8 0.7±13.5 0.1±10.4 -0.4±8.4 12.4±8.1 32 -0.7±14.9 0.4± 6.7 -0.6±7.1 11.8±7.0 128 -1.7±15.0 -0.1± 6.5 0.4±9.2 13.7±6.8 表 2: 經應變軟體計算沿+Y 方向平移量 (pixels)之微應變量的平均值及其標準 差X ±SD(×10-5 ) 。 3.2 剛體轉動之分析 此部分實驗是以原始圖片中心為軸，進 行順時針方向轉動，轉動角度分別為 20°、 40°、80°，探討分析軟體是否能夠成功判斷 剛體轉動，以及是否會因為轉動而造成誤差。 (a) (b) (c) 圖 5: 沿順時鐘方向轉動 (a) 20°, (b) 40°, (c) 80° 之 von Mises Strain 分佈圖。

圖 5 分別顯示沿順時針方向轉動 20°、 40°、80°後微應變的分佈，von Mises 應變平 均值約為 10-4_{，相當於 0.01%。因此，在程式} 中準確度設為 0.01 pixels 時可以計算出誤差 值為 0.01%。 沿順時針方向轉動 20°、40°、80°後微 應變量之平均值則紀錄於表 3 中。該結果驗 證了分析軟體成功分析出剛體轉動，表 3 顯 示經剛體轉動，誤差值卻在 10 - 4 _數量級之 內，相當於 0.01%。 x ε εy εxy εvM 20° -0.1±14.4 -0.3±13.6 -0.3±10.3 16.3±7.9 40° 0.1±15.2 0.4±15.7 -0.5±11.6 17.6±9.5 80° -0.1±15.7 -0.4±17.0 -0.3±11.5 18.6±8.7 表 3: 經應變軟體計算沿順時針方向轉動角 度 之 微 應 變 量 的 平 均 值 及 其 標 準 差 SD X ± (×10-5 ) 。 3.3 變形過程之微觀應變分佈 在驗證分析軟體之準確性後，對鋁試片 進行平面壓縮應變測試。在試片表面噴覆黑 白兩種噴漆如圖 6 所示，之後再以數位相機 拍攝試片表面為實驗時的起始影像。分別對 試片進行約 5 % 與 8 %之壓縮量後，再以數 位相機拍攝試片變形 5 % 與 8 %後的影像， 利用分析軟體對應變前後之影像進行解析。 圖 6: 未變形前試片的表面。 圖 7 顯示其內部應變分佈情形，藉此可 以清楚觀察出變行過程中，應變分佈係為不 均勻分佈，而表 4 則是各應變量之平均值。 圖 7 中不論是 5 %(a)或是 8 %(b)的應變量所 對應之 von Mises Strain 分佈皆顯示上方產 生較大應變，而下方相對而言則較小，成功 地將塑性變形時所出現的異向性 (anisotropy)

特徵視覺化[1,2]。

(a)

(b)

圖 7: 平面應變 (a) 5 %, (b)8 %之 von Mises Strain 分佈圖。

x

ε εy εxy εvM

5% 4.5±2.0 -4.6±2.3 -0.12±1.2 5.4±2.5 8% 7.7±3.5 -7.3±3.2 -0.02±2.2 8.9±3.8

表 4: 經平面壓縮(plane strain compression) 應變實驗後微應變量的平均值及其標 準差X ±SD(×10-5 ) 。 四、結論 本研究使用數位光學應變量測法，成功 地分析出微觀應變分佈情形，也可以將變形 過程中的應變分佈視覺化。在本論文中將準 確度設為 0.01 pixels 而其誤差值為 0.01%， 日後將繼續探討準確度小於 0.01 pixels 時其 誤差值。同時也將應用本研發團隊所自行開 發的影像分析應變軟體，進行在不同尺度下 應變分佈之觀測與分析，甚至可以提供在微 奈米尺度下量測應變一個可行的途徑。 誌謝 本研究的經費主要由行政院國家科學委 員 會 支 持 ， 計 畫 編 號 為 NSC93-2218-E-006-073。 參考文獻

1. J.C. Kuo, S. Zaefferer, Z. Zhao, M. Winning and D. Raabe. (2003). “Deformation Behavior of Aluminum Bicrystals”,

Advanced Engineering Materials, 5 , p.563.

2. S. Zaefferer, J.C. Kuo, Z. Zhao, M. Winning and D. Raabe. (2003). “On the influence of the grain boundary misorientation on the plastic deformation of aluminum bicrystals”,

Acta Materialia, 51, p.4719.

3. T.C. Chu, W.F. Ranson, M.A. Sutton and W.H. Peters. (1985). “Application of Digital-Image-Correlation Techniques to Experimental Mechanics”, Experimental

Mechanics, 25(3), p.232.

4. G. Vendroux and W.G. Knauss. (1998). “Submicron Deformation Field Measurements: Part 2. Improved Digital Image Correlation”, Experimental

Mechanics, 38(2), p.86.

5. S.S. Russell and M.A. Sutton. (1989). “Strain field analysis aquired through correlation of x-ray radiography of a fiber reinforced composite laminate”,