有關錯排列的探討 - 政大學術集成

全文

(1)國立政治大學應用數學系碩士學位論文. 有關錯排列的探討治政 Derangements A Study about 大立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 碩士班學生：王思堯撰. 指導教授：李陽明博士中華民國一零二年十一月四日.

(2) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v.

(3) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v.

(4) 有關錯排列的探討學生：王思堯. 指導教授：李陽明博士國立政治大學應用數學研究所要. 摘. 在本論文中，令Dn 是{戱戬戲戬· · · , n}的錯排列所形成的集合，而讓dn 代表Dn 的個數。我們討論一個常用的遞迴關係式：dn 戽戨n − 戱戩戨dn−1 戫 dn−2 戩。針對這個公. 政治大遞迴關係式，就是構造出兩個函數，分別從類D 和D 立並且證明這兩個函數是對射的函數。. 式，我們將會先給一個組合論證；而本文將提供一個更為簡潔的方式來證明這個 n−1. n−2 的集合映射到Dn 上，. ‧ 國. 學. 本文第一章先對錯排列作一個簡單的介紹，第二章則說明我們錯排列之間的. ‧. 映射是如何製造出來的，並且證明這樣的映射是沒有問題的，第三章則提供其他錯排列遞迴關係式的資訊，讓其他有興趣的夥伴們能一起探討。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 扩扶. i n U. v.

(5) 扁扂打扔扒扁扃扔扌扥扴 Dn 扢扥扴扨扥扳扥扴扯扦扤扥扲扡扮执扥扭扥扮扴扯扦 {戱戬戲戬· · · , n}戬扡扮扤扬扥扴 dn 扢扥扴扨扥扮扵扭扢扥扲扯扦 Dn 戮扉扮扴扨扩扳扤扩扳扳扥扲扡扴扩扯扮戬扷扥扷扩扬扬扤扩扳扣扵扳扳扴扨扥扷扥扬扬戭扫扮扯扷扥扮扤扥扲扡扮执扥扭扥扮扴扦扯扲扭扵扬扡 dn 戽戨n − 戱戩戨dn−1 戫 dn−2 戩戮扗扥戌扲扳扴执扩扶扥扡扰扲扯扯扦扢批扣扯扭扢扩扮扡扴扯扲扩扡扬扡扲执扵扭扥扮扴戮扔扨扥扮扷扥扰扲扯扶扩扤扥扡扮扯扴扨扥扲扳扩扭扰扬扥扲扰扲扯扯扦扢批扤扥戌扮扩扮执扴扷扯扦扵扮扣扴扩扯扮扳扦扲扯扭扣扥扲扴扡扩扮扳扥扴扳扤扥扲扩扶扥扤扦扲扯扭 Dn−1 扡扮扤 Dn−2 扩扮扴扯扴扨扩扳扳扥扴 Dn 戮扗扥扷扩扬扬扳扨扯扷扴扨扡扴扴扨扩扳扴扷扯扦扵扮扣扴扩扯扮扳扡扲扥扢扩扪扥扣扴扩扶扥戬扡扮扤扴扨扩扳扷扩扬扬戌扮扩扳扨扴扨扥扰扲扯扯扦扯扦扴扨扥扤扥扲扡扮执扥扭扥扮扴扦扯扲扭扵扬扡戮扆扩扲扳扴戬扩扮扣扨扡扰扴扥扲扯扮扥戬扷扥扷扩扬扬扩扮扴扲扯扤扵扣扥扴扨扥扮扥扣扥扳扳扡扲批扢扡扣扫执扲扯扵扮扤扯扦扤扥扲扡扮执扥戭. 政治大扭扥扮扴扩扯扮扥扤扡扢扯扶扥扡扲扥扣扯扮扳扴扲扵扣扴扥扤戮立扗扥扷扩扬扬扡扬扳扯扳扨扯扷扴扨扡扴扴扨扥扳扥扴扷扯扦扵扮扣扴扩扯扮扳扡扲扥扭扥扮扴扳戮扉扮扣扨扡扰扴扥扲扴扷扯戬扷扥扷扩扬扬扳扨扯扷扨扯扷扴扨扥扤扥扲扡扮执扥扭扥扮扴扡扮扤扴扨扥扴扷扯扦扵扮扣扴扩扯扮扳. ‧ 國. 學. 扢扩扪扥扣扴扩扶扥扡扮扤戌扮扩扳扨扴扨扥扰扲扯扯扦戮扆扩扮扡扬扬批戬扩扮扣扨扡扰扴扥扲扴扨扲扥扥扷扥扰扲扯扶扩扤扥扭扯扲扥扩扮扦扯扲扭扡扴扩扯扮扯扮扴扨扥扤扥扲扡扮执扥扭扥扮扴扦扯扲扭扵扬扡扤扥扲扡扮执扥扭扥扮扴扷扨扩扣扨扭扡批扬扥扡扤扴扯扦扵扲扴扨扥扲扤扩扳扣扵扳扳扩扯扮扦扯扲扴扨扯扳扥扷扨扯扡扲扥扩扮扴扥扲扥扳扴扥扤扩扮扴扨扩扳扩扳扳扵扥戮. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 扶. i n U. v.

(6) 誌. 謝. 這篇論文能夠完成，我感覺很光榮。首先要感謝指導教授李陽明老師，如果沒有老師課堂上的教導，我不會對於錯排列產生興趣。另外，老師花了很多額外的時間，教導我課業以及待人接物的道理，也常常為了我一大早就跑來學校，不厭其煩的指導我，因此，我要向老師致上最真誠的感謝。感謝洪聰於學長的論文提供我靈感。感謝許雲峰、羅文隆、涂健晏同學以及其他的好朋友們，常常會適時的給我建議，提醒我有什麼地方需要加強。感謝李. 治政大手，感謝曾經指導我、鼓勵我的老師們，讓我一點一點的進步，如今才能完成這立篇論文。. 沛承學長和王偉名同學，在電腦程式上的指導，在我需要協助時適時的伸出援. ‧ 國. 學. 要做好一篇論文其實需要很多的時間以及專注的能力，感謝高彗娟小姐，在過程中給我的支持與陪伴，也感謝我的家人，無時無刻的照顧，讓我可以毫無顧. ‧. 忌的完成學業。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 扶扩. i n U. v.

(7) 目. 錄. 論文口試委員審定書戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮. 扩扩. 授權書戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮. 扩扩扩. 中文摘要戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮. 扩扶. 英文摘要戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮. 扶. 誌謝戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮. 扶扩. 治政目錄戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮大戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮立. 扶扩扩戱. 戱戮戱. 關於錯排列戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮. 戱. 戱戮戲. 錯排列的計算方式戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮. ‧. ‧ 國. 學. 第一章、錯排列的簡介戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮. Nat. io. sit. y. 第二章、錯排列的研究戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮. 戲戵. 製造錯排列的方式戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮. 戵. 戲戮戲. v i n 製造方式的證明戮戮戮 C 戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮 hengchi U. 户. er. 戲戮戱. n. al. 第三章、更多關於錯排列的探討戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戱戶參考文獻戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戮戱户. 扶扩扩.

(8) 第一章 1.1. 錯排列的簡介. 關於錯排列. 錯排列的問題，最早是由扎扩扫扯扬扡扵扳扉戮扂扥扲扮扯扵扬扬扩和扌扥扯扮扨扡扲扤扅扵扬扥扲所研究。這個問題有許多版本，例如：聖誕節的時候，許多人都喜歡玩交換禮物的遊戲，也就是每個人準備一份禮物和其他人交換，這時候每個人都會希望拿到的禮物不會是自己帶來的，因此，. 政治大. 這樣交換禮物的過程，沒有人拿到自己禮物的方法數，就是錯排列的個數。. 立. ‧ 國. 學. 或者：. 古代戲戶個英文字母的加密，就是將某個字母用另外一個字母取代，例. ‧. 如扡扰扰扬扥就用扢扱扱扭扦取代，只要將所有字母的順序往前一個單位就可以還原。那麼. y. sit. n. al. er. io. 或者：. Nat. 如果要求所有字母都不得出現在原來的位置上，則有幾種方法？. Ch. i n U. v. 某班老師希望幫學生配對，每個人皆是另一位同學的小天使，也是另一位同. engchi. 學的小主人，當然老師不希望有同學自己是自己的小天使與小主人，因此，這種分配學生的方法數，也是錯排列的計算。. 戱.

(9) 1.2. 錯排列的計算方式. 我們為了方便表達錯排列，之後就用數字戱戬戲戬戳戬戴戬· · · 戬 n的排列，並且不允許戱出現在第一個位置，戲出現在第二個位置，· · · ，n出現在第n個位置，我們假設Dn 是{戱戬戲戬· · · , n}的錯排列所形成的集合，其中dn 代表Dn 的個數。當數字比較少的時候，就可以用窮舉法。 d1 戽戰 d2 戽戱 d3 戽戲 d4 戽戹 d5 戽戴戴. 立. d6 戽戲戶戵. 政治大. ‧ 國. 學. 表格如下：. ‧. d1 戽戰. 因為戱自己做排列，一定只有第一個位置可以選，所以不可能有錯排列. sit er. al. n. d3 戽戲. io. D2 ：戨戲戱戩. y. Nat. d2 戽戱. Ch. engchi. i n U. v. D3 ：戨戲戳戱戩戬戨戳戱戲戩. d4 戽戹   戨戲戳戴戱戩 D4 ：  戨戳戴戲戱戩.   戨戴戳戱戲戩.   戨戲戴戱戳戩.  戨戳戱戴戲戩.  戨戴戱戲戳戩. 戲.     戨戴戳戲戱戩    戨戳戴戱戲戩      戨戲戱戴戳戩.

(10) d5 戽戴戴. 戳戵戲戱戩戵戴戲戱戩. ‧ 國. 立. Nat.     戨戵        戨戵        戨戳       戨戴. 戳戱戵戲戩戱戴戵戲戩戴戱戳戲戩戱戵戳戲戩. 戨戲       戨戴       戨戴         戨戵      戨戲. 戳戵戱戲戩治政大戴戱戵戲戩戱戴戳戲戩. 戴戲戱戳戩戵戱戲戳戩戱戴戲戳戩戴戱戵戳戩戱戲戵戳戩戵戲戱戳戩戴戱戲戳戩戱戴戵戳戩. 戳戴戲戱戩. ‧. D5 ：戨戲戴戵戳戱戩       戨戴戵戲戳戱戩        戨戴戳戲戵戱戩         戨戳戴戵戲戱戩      戨戲戵戴戳戱戩    戨戲戳戵戱戴戩        戨戳戵戲戱戴戩        戨戵戳戱戲戴戩         戨戳戱戵戲戴戩    戨戲戵戱戳戴戩       戨戵戱戲戳戴戩        戨戵戳戲戱戴戩         戨戳戵戱戲戴戩      戨戲戱戵戳戴戩. 戴戵戱戲戩. 戵戴戱戳戩. 戴戲戳戱戩. y. 戴戲戵戱戩. 戳戴戱戲戩. 戵戴戱戲戩. io. 戵戱戳戲戩. sit. 戳戴戵戱戩.    戨戲        戨戵        戨戴         戨戵   . 學.    戨戵        戨戳        戨戴         戨戳    戨戵       戨戴        戨戴         戨戳      戨戵. er.    戨戲        戨戳        戨戴         戨戳   . n.  al   v 戨戲戴戵戱戳戩  i   n Ch   U   戨戴戱 e 戵戲n戳戩g c h i        戨戲戳戱戵戴戩       戨戳戱戲戵戴戩. 戳.

(11) 隨著數字越來越大，用窮舉的方式變得沒有效率，因此我們利用公式：定理：d1 戽戰, d2 戽戱戬 ∀n ≥ 戳戬 dn 戽戨n − 戱戩戨dn−1 戫 dn−2 戩證明：假設n個數字作排列，因為戱號不能在第一個位置，所以如果戲號在第一個位置，而戱號又恰好在第二個位置，則我們可以把戱號戲號遮住不看，剩下的數字作排列會有dn−2 種方法。如果戳號在第一個位置，而戱號又恰好在第三個位置，則我們可以把戱號和戳號遮住不看，剩下的數字作排列也會有dn−2 種方法，以此類推，如果n號在第一個位置，而戱號又恰好在第n個位置，則我們可以把戱號和n號遮住不看，剩下的數字作排列會有dn−2 種方法，所以共有n − 戱個dn−2 。. 政治大. 而另外一種情況是，如果戲號在第一個位置，而戱號不在第二個位置的時候，. 立. 則戱號不能在第二個位置，戳號不能在第三個位置，· · · ，n號不能在第n個位置，所. ‧ 國. 學. 以共有dn−1 種方法。如果戳號在第一個位置，而戱號不在第三個位置的時候，則戲號不能在第二個位置，戱號不能在第三個位置，· · · ，n號不能在第n個位置，所以也. ‧. 有dn−1 種方法。以此類推，如果n號在第一個位置，而戱號不在第n個位置的時候，則戲號不能在第二個位置，戳號不能在第三個位置，· · · ，戱號不能在第n個位置，所. n. al. er. sit. . io. 例如：. y. Nat. 以共有n − 戱個dn−1 。. Ch. engchi. d5 戽戴戨d4 戫 d3 戩. i n U. v. 戽戴扛戳戨d3 戫 d2 戩戫戲戨d2 戫 d1 戩扝戽戴{戳扛戲戨d2 戫 d1 戩戫 d2 扝戫戲戨d2 戫 d1 戩} 戽戴扛戳戨戳d2 戫戲d1 戩戫戲d2 戫戲d1 扝戽戴戨戹d2 戫戶d1 戫戲d2 戫戲d1 戩戽戴戨戱戱d2 戫戸d1 戩戽戴戴由這樣的過程，我們不難發現只要我們知道後面兩項，就可以得到新的一項。因此這個遞迴式可以計算出錯排列的個數，但是這樣的方法，或許並不是這麼淺顯易懂，尤其是對於遞迴不太熟悉的人來說，更是一頭霧水。所以，希望有一個簡單的對應，能夠讓大眾都能明瞭，讓錯排列的問題，有更多人能了解。. 戴.

(12) 第二章 2.1. 錯排列的研究. 製造錯排列的方式. 定義一：令戨a1 , a2 , · · · , an 戩, 戨b1 , b2 , · · · , bn 戩 ∈ Dn 若∀ i 戽戱, 戲, · · · , n 戬 ai 戽 bi 戬則稱兩錯排列戨a1 , a2 , · · · , an 戩, 戨b1 , b2 , · · · , bn 戩相等. 政治大. 符號為戨a1 , a2 , · · · , an 戩戽戨b1 , b2 , · · · , bn 戩. 立. ‧ 國. 學. 定義二：. . 給定戱 ≤ k ≤ n − 戱戮. ‧. (k). 讓Dn−1 戽 {戨a1 , a2 , · · · , an−1 , k戩 | 戨a1 , a2 , · · · , an−1 戩 ∈ Dn−1 }戮. y. Nat (k). io. sit. 則定義函數fk 戺 Dn−1 → Dn 如下. n. al. er. fk 戨a1 , a2 , · · · , an−1 , k戩戽戨a1 , · · · , aj−1 , n, aj+1 , · · · , an−1 , k戩對於某個aj 戽 k. 例如：戨n 戽戵, k 戽戳戩    戨戲戳戴戱        戨戳戴戲戱        戨戴戳戱戲         戨戳戱戴戲    (3) D4 ：戨戲戴戱戳       戨戴戱戲戳        戨戴戳戲戱         戨戳戴戱戲      戨戲戱戴戳. Ch. n U engchi. iv. 戳戩. ⇒. f3 戨戲戳戴戱戳戩戽戨戲戵戴戱戳戩. 戳戩. ⇒. f3 戨戳戴戲戱戳戩戽戨戵戴戲戱戳戩. 戳戩. ⇒. f3 戨戴戳戱戲戳戩戽戨戴戵戱戲戳戩. 戳戩. ⇒. f3 戨戳戱戴戲戳戩戽戨戵戱戴戲戳戩. 戳戩. ⇒. f3 戨戲戴戱戳戳戩戽戨戲戴戱戵戳戩. 戳戩. ⇒. f3 戨戴戱戲戳戳戩戽戨戴戱戲戵戳戩. 戳戩. ⇒. f3 戨戴戳戲戱戳戩戽戨戴戵戲戱戳戩. 戳戩. ⇒. f3 戨戳戴戱戲戳戩戽戨戵戴戱戲戳戩. 戳戩. ⇒. f3 戨戲戱戴戳戳戩戽戨戲戱戴戵戳戩. 戵. .

(13) fk 表示一個函數，當k固定之後，定義域是一個很像Dn−1 的集合，把定義域映射到Dn 這個集合，後面我們會說明，這個函數是一對一的。因此，利用fk 這個函數的作用方式，我們就能創造出Dn 的一部分。定義三：給定戱 ≤ k ≤ n − 戱戮 (k). 讓Dn−2 戽 {戨a1 , · · · , ak−1 , k, ak , · · · , an−2 , n戩 | 戨a1 , a2 , · · · , an−2 戩 ∈ Dn−2 }戮 (k). 則定義函數gk 戺 Dn−2 → Dn 如下. 政治大. gk 戨a1 , a2 , · · · , ak−1 , k, ak , · · · , an−2 , n戩戽戨a01 , a02 , · · · , a0k−1 , n, a0k , · · · , a0n−2 , k戩    ai 當 ai < k 0 ai 戽   ai 戫戱當 ai ≥ k. 立. ‧. ‧ 國. 學. ⇒. g3 戨戲 3 戳 4 戱戶戩戽戨戲 4 戶 5 戱戳戩. 戱戶戩. ⇒. g3 戨3 4 戳戲戱戶戩戽戨4 5 戶戲戱戳戩. n. al. 戲戶戩. sit. er. io 戲戶戩. y. 戱戶戩. Nat. 例如：戨n 戽戶, k 戽戳戩   戨戲戳戳戴        戨戳戴戳戲        戨戴戳戳戱         戨戳戱戳戴    (3) D4 ：戨戲戴戳戱       戨戴戱戳戲        戨戴戳戳戲         戨戳戴戳戱      戨戲戱戳戴. v i n C h⇒ e n g c hgi戨3U戱戳 4 戲戶戩戽戨4 戱戶 5 戲戳戩 ⇒. g3 戨4 3 戳戱戲戶戩戽戨5 4 戶戱戲戳戩 3. 戳戶戩. ⇒. g3 戨戲 4 戳戱 3 戶戩戽戨戲 5 戶戱 4 戳戩. 戳戶戩. ⇒. g3 戨4 戱戳戲 3 戶戩戽戨5 戱戶戲 4 戳戩. 戱戶戩. ⇒. g3 戨4 3 戳戲戱戶戩戽戨5 4 戶戲戱戳戩. 戲戶戩. ⇒. g3 戨3 4 戳戱戲戶戩戽戨4 5 戶戱戲戳戩. 戳戶戩. ⇒. g3 戨戲戱戳 4 3 戶戩戽戨戲戱戶 5 4 戳戩. gk 表示一個函數，當k固定之後，定義域是一個很像Dn−2 的集合，把定義域映射到Dn 這個集合，後面我們會說明，這個函數是一對一的。因此，利用gk 這個函數的作用方式，我們就能創造出Dn 的另外一部分。利用這兩個函數，我們希望能夠把Dn 內的全部元素都找出來。但是要完成這個期望，我們必須先證明他們是一對一函數。戶.

(14) 2.2. 製造方式的證明. 定理一：∀k 戽戱, 戲, · · · , n − 戱戬 fk 是一對一函數證明：   ~x 戽戨x1 , x2 , · · · , xn−1 , k戩. 給定. (k). ~x, ~y ∈ Dn−1.  ~y 戽戨y1 , y2 , · · · , yn−1 , k戩若fk 戨~x戩戽 fk 戨~y 戩則 ∃xi 戽 k 戬 ∃yj 戽 k ⇒ 戨x1 , x2 , · · · , xi−1 , n, xi+1. 立. 治政 , · · · , x , k戩戽戨y , y 大 ,··· ,y n−1. 1. 2. ‧ 國. 如果 i > j戬則∃xj 戽 n ⇒ 戨x1 , x2 , · · · , xn−1 戩 ∈ / Dn−1. · · ·. ~x 戽 ~y. y. sit. io. al. n. 例如：戨n 戽戵, k 戽戲戩    戨戲戳戴戱        戨戳戴戲戱        戨戴戳戱戲         戨戳戱戴戲    (2) D4 ：戨戲戴戱戳       戨戴戱戲戳        戨戴戳戲戱         戨戳戴戱戲      戨戲戱戴戳. er. . ‧. i 戽 j 且 x1 戽 y1 , x2 戽 y2 , · · · , xn−1 戽 yn−1. Nat. · · ·. 戲戩. Ch. 戲戩戲戩戲戩戲戩戲戩戲戩戲戩戲戩. , yn−1 , k戩. 學. 如果 i < j戬則∃yi 戽 n ⇒ 戨y1 , y2 , · · · , yn−1 戩 ∈ / Dn−1. j−1 , n, yj+1 , · · ·. ⇒. iv n U 戳戴戱戲戩戽戨戵戳戴戱戲戩.    f2 戨戲        f2 戨戳        f2 戨戴         f2 戨戳    (2) f2 戨D4 戩： f2 戨戲       f2 戨戴        f2 戨戴         f2 戨戳      f 戨戲. engchi. 2. 由上例子可以發現上述戹種結果皆相異。. 户. 戴戲戱戲戩戽戨戳戴戵戱戲戩戳戱戲戲戩戽戨戴戳戱戵戲戩戱戴戲戲戩戽戨戳戱戴戵戲戩戴戱戳戲戩戽戨戵戴戱戳戲戩戱戲戳戲戩戽戨戴戱戵戳戲戩戳戲戱戲戩戽戨戴戳戵戱戲戩戴戱戲戲戩戽戨戳戴戱戵戲戩戱戴戳戲戩戽戨戵戱戴戳戲戩.

(15) 定理二：∀k 戽戱, 戲, · · · , n − 戱戬 gk 是一對一函數證明：. 給定.   ~x 戽戨x1 , x2 , · · · , xk−1 , k, xk , · · · , xn−2 , n戩. (k). ~x, ~y ∈ Dn−2.  ~y 戽戨y1 , y2 , · · · , yk−1 , k, yk , · · · , yn−2 , n戩如果 gk 戨~x戩戽 gk 戨~y 戩 0 0 , k戩 , n, yk0 , · · · , yn−2 則戨x01 , x02 , · · · , x0k−1 , n, x0k , · · · , x0n−2 , k戩戽戨y10 , y20 , · · · , yk−1     y i xi 當 yi < k 當 xi < k 0 0 , yi 戽 xi 戽   y i 戫戱當 y i ≥ k xi 戫戱當 xi ≥ k. 立. 0 n−2. ‧ 國. 學. ⇒ x01 戽 y10 , x02 戽 y20 , · · · , x0n−2   x0p 戽 xp 如果 ∃p > 戰 3  y 0 戽 y p 戫戱 p. 政治大戽y. ‧.   x0q 戽 xq 戫戱. ⇒ k < xq 戫戱戽 yq ≤ k 矛盾. y. Nat. 如果 ∃q > 戰 3. ⇒ k < yp 戫戱戽 xp ≤ k 矛盾. io. 戽戱, 戲, · · · , n − 戲戬 xj 戽 yj 或 xj 戫戱戽 yj 戫戱 ⇒ ~x 戽 ~y. n. al. er. · · · ∀j. sit.  y 0 戽 y q q. 例如：戨n 戽戶, k 戽戲戩    戨戲戲戳戴        戨戳戲戴戲        戨戴戲戳戱         戨戳戲戱戴    (2) D4 ：戨戲戲戴戱       戨戴戲戱戲        戨戴戲戳戲         戨戳戲戴戱      戨戲戲戱戴. Ch. 戱戶戩戱戶戩戲戶戩戲戶戩戳戶戩戳戶戩戱戶戩戲戶戩戳戶戩. ⇒. engchi. i n U.    g2 戨戲        g2 戨戳        g2 戨戴         g2 戨戳    (2) g2 戨D4 戩： g2 戨戲       g2 戨戴        g2 戨戴         g2 戨戳      g 戨戲 2. 戸. v. . 戲戳戴戱戶戩戽戨戳戶戴戵戱戲戩戲戴戲戱戶戩戽戨戴戶戵戳戱戲戩戲戳戱戲戶戩戽戨戵戶戴戱戳戲戩戲戱戴戲戶戩戽戨戴戶戱戵戳戲戩戲戴戱戳戶戩戽戨戳戶戵戱戴戲戩戲戱戲戳戶戩戽戨戵戶戱戳戴戲戩戲戳戲戱戶戩戽戨戵戶戴戳戱戲戩戲戴戱戲戶戩戽戨戴戶戵戱戳戲戩戲戱戴戳戶戩戽戨戳戶戱戵戴戲戩.

(16) 由上例子可以發現上述戹種結果皆相異。我們知道這兩個函數都是一對一後 n−1 S. 定義h：. k=1. (k). (k). Dn−1 ∪ Dn−2 → Dn 戬其中 h|D(k) 戽 fk 戬 h|D(k) 戽 gk n−1. n−2. 之後我們要去說明，他們的定義域是沒有重疊的，否則如果有的話，同一個元素被作用兩次，這樣h可能連函數都不成了！ (k ). (k ). 1 2 定理三：給定戱≤ k1 , k2 ≤ n − 戱戬 Dn−1 ∩ Dn−2 戽∅. 證明： (k1 ) Dn−1. 治政 ∩D 大 (k ). 2 若 ∃ 戨x1 , x2 , · · · , xn 戩 ∈ n−2   戨x1 , x2 , · · · , xn 戩戽戨a1 , a2 , · · · , an−1 , k1 戩則  戨x1 , x2 , · · · , xn 戩戽戨b1 , b2 , · · · , bk−1 , k, bk , · · · , bn−2 , n戩. 立. ‧ 國. 學. (k ). n. al. sit. io. 例如：戨n 戽戵, k1 戽戴, k2 戽戱戩    戨戲戳戴戱戴戩        戨戳戴戲戱戴戩        戨戴戳戱戲戴戩        戨戳戱戴戲戴戩    (4) D4 ：戨戲戴戱戳戴戩       戨戴戱戲戳戴戩        戨戴戳戲戱戴戩        戨戳戴戱戲戴戩      戨戲戱戴戳戴戩. y. . er. (k ). 2 1 戽∅ ∩ Dn−2 Dn−1. Nat. · · ·. ‧. ⇒ k1 戽 n 矛盾. (4). Ch. engchi. i n U.   戨戱戲戳戱戵戩. (1). D3 ：.  戨戱戳戱戲戵戩. (1). 由上例子可以發現D4 和D3 沒有重複。. 戹. v.

(17) 接下來，值域內的集合，如果有重複，我們就必須知道重複的部分是哪些，才能知道我找出來Dn 內的元素究竟有多少個。由下面的證明，我們發現對應域不會重複。. (k ). (k ). 1 2 定理四：給定戱≤ k1 , k2 ≤ n − 戱戬 fk1 戨Dn−1 戩 ∩ gk2 戨Dn−2 戩戽∅. 證明： (k ). (k ). 1 2 若 ∃戨y1 , y2 , · · · , yn 戩 ∈ fk1 戨Dn−1 戩 ∩ gk2 戨Dn−2 戩   戨y1 , y2 , · · · , yn 戩戽戨a1 , a2 , · · · , aj−1 , n, aj+1 , · · · , an−1 , k1 戩則  戨y1 , y2 , · · · , yn 戩戽戨b0 , b0 , · · · , b0 , n, b0 , · · · , b0 , k2 戩 n−2 1 2 k2 k2 −1. 政治大對於某個 a 戽 k 戬 j 6戽 k. 立. ‧ 國. ‧.  j < k2. ∃ b0j 戽 n ⇒ bj 戽 n − 戱或 bj 戽 n 矛盾. io. n. al. 如果 j 戽 k2 ⇒ j 戽 k1 矛盾戨· · · aj 戽 k1 戩 ·. · ·. (k ). (k ). sit. 如果 j 6戽 k2 ⇒. y. ∃ ak2 戽 n 矛盾. Nat.   j > k2. er. ⇒ k1 戽 k2. 學. 戨a1 , a2 , · · · , an−1 戩 ∈ Dn−1 j 1 1    bi 當 bi < k2 0 以及戨b1 , b1 , · · · , bn−2 戩 ∈ Dn−2 bi 戽  bi 戫戱當 bi ≥ k2. Ch. 1 2 戩 ∩ gk2 戨Dn−2 戩戽∅ fk1 戨Dn−1. engchi. . 戱戰. i n U. v.

(18) 例如：戨n 戽戵, k1 戽戱, k2 戽戴戩    f1 戨戲戳戴戱戱戩戽戨戲        f1 戨戳戴戲戱戱戩戽戨戳        f1 戨戴戳戱戲戱戩戽戨戴         f1 戨戳戱戴戲戱戩戽戨戳    (1) f1 戨D4 戩： f1 戨戲戴戱戳戱戩戽戨戲       f1 戨戴戱戲戳戱戩戽戨戴        f1 戨戴戳戲戱戱戩戽戨戴         f1 戨戳戴戱戲戱戩戽戨戳      f 戨戲戱戴戳戱戩戽戨戲 1. 戴戲戵戱戩戳戵戲戱戩戵戴戲戱戩戴戵戳戱戩. (4). g4 戨D3 戩：.   g4 戨戲戳戱戴戵戩戽戨戲戳戱戵戴戩  g4 戨戳戱戲戴戵戩戽戨戳戱戲戵戴戩. 戵戲戳戱戩. 治政戳戲戵戱戩大戴戵戲戱戩. 學. ‧ 國. 立. 戳戴戵戱戩. 戵戴戳戱戩. (1). (4). 由上例子可以發現f1 戨D4 戩和g4 戨D3 戩沒有重複。. ‧. 最後我們想證明，其實這兩個函數的值域全部聯集起來，就是我們想要找. al. n. 引理五：給定戱 ≤ k ≤ n − 戱. er. io. sit. y. Nat. 的Dn 。. Ch. engchi. 讓~x 戽戨x1 , x2 , · · · , xk−1 , k, xk , · · · , xn−2 , n戩   xi 戽 y i 當 xi < k 若i < k 戬  xi 戽 y i − 戱當 xi ≥ k. 若i ≥ k 戬.   xi 戽 yi+1. 當 xi < k.  xi 戽 yi+1 − 戱當 xi ≥ k. 其中戨y1 , y2 , · · · , yn 戩 ∈ Dn (k). 我們會得到~x ∈ Dn−2 i.e.戨x1 , x2 , · · · , xn−2 戩 ∈ Dn−2. 戱戱. i n U. v.

(19) 證明：求證：∀i 戽戱, 戲, · · · , n − 戲戬 xi 6戽 i 如果∃j > 戰 3 xj 戽 j 戬若j < k ⇒ xj < k ⇒ xj 戽 yj 戽 j 矛盾若j ≥ k ⇒ xj ≥ k ⇒ xj 戽 yj+1 − 戱戽 j ⇒ yj+1 戽 j 戫戱矛盾 · · · ∀i. 戽戱, 戲, · · · , n − 戲戬 xj 6戽 i. 政治大. 求證：∀i 戽戱, 戲, · · · , n − 戲戬戱 ≤ xi ≤ n − 戲. 立. 學. ‧ 國. 給定戱 ≤ l ≤ n − 戲. 如果xl 戽 n > k 戬若l < k ⇒ xl 戽 yl − 戱戽 n. ‧. ⇒ yl 戽 n 戫戱矛盾. Nat. n. al. sit er. io. ⇒ yl+1 戽 n 戫戱矛盾. y. 若l ≥ k ⇒ xl 戽 yl+1 − 戱戽 n. i n U. 如果xl 戽 n − 戱 ≥ k 戬若l < k ⇒ xl 戽 yl − 戱戽 n − 戱. Ch. engchi. v. ⇒ yl 戽 n. ⇒ l 戽 k 矛盾若l ≥ k ⇒ xl 戽 yl+1 − 戱戽 n − 戱 ⇒ yl+1 戽 n ⇒l戫戱戽k ⇒ k − 戱戽 l ≥ k 矛盾 · · · ∀i. 戽戱, 戲, · · · , n − 戲戬戱 ≤ xi ≤ n − 戲. 戱戲.

(20) 求證：∀p 6戽 q 戬 xp 6戽 xq 給定戱 ≤ p < q ≤ n − 戲如果xp 戽 xq ≥ k 戱戮 q > p ≥ k 戬 xq 戽 yq+1 − 戱戽 yp+1 − 戱戽 xp ⇒ yq+1 戽 yp+1 ⇒ q 戽 p 矛盾戲戮 q ≥ k > p 戬 xq 戽 yq+1 − 戱戽 yp − 戱戽 xp. 政治大. 立. ⇒ yq+1 戽 yp. ‧ 國. 學. ⇒ q 戫戱戽 p ≤ q 矛盾. 戳戮 k > q > p 戬 xq 戽 yq − 戱戽 yp − 戱戽 xp. ‧. ⇒ yq 戽 yp. y. Nat. n. al. er. io. 如果k > xp 戽 xq. sit. ⇒ q 戽 p 矛盾. Ch. engchi. 戱戮 q > p ≥ k 戬 xq 戽 yq+1 戽 yp+1 戽 xp ⇒ yq+1 戽 yp+1 ⇒ q 戽 p 矛盾戲戮 q ≥ k > p 戬 xq 戽 yq+1 戽 yp 戽 xp ⇒ q 戫戱戽 p ≤ q 矛盾戳戮 k > q > p 戬 xq 戽 yq 戽 yp 戽 xp ⇒ q 戽 p 矛盾 · · · ∀p. 6戽 q 戬 xp 6戽 xq. . 戱戳. i n U. v.

(21) 定理六：Dn 戽. n−1 S. (k). (k). 扛fk 戨Dn−1 戩 ∪ gk 戨Dn−2 戩扝. k=1. 證明：給定~y 戽戨y1 , y2 , · · · , yn 戩 ∈ Dn 戬讓yn 戽 k, 戱 ≤ k ≤ n − 戱狀況一：yk 6戽 n ⇒ ∃戱 ≤ h ≤ n − 戱戬 h 6戽 k 戬 yh 戽 n ⇒ ~y 戽戨y1 , y2 , · · · , yh−1 , n, yh+1 , · · · , yn−1 , k戩讓~z 戽戨z1 , z2 , · · · , zn−1 , k戩戬其中zi 戽 yi 戬 ∀i 6戽 h 且 zh 戽 k ⇒ 戨z1 , z2 , · · · , zn−1 戩 ∈ Dn−1. 且 fk 戨~z戩戽戨z1 , z2 , · · · , zh−1 , n, zh+1 , · · · , zn−1 , k戩. ‧ 國. 學. ⇒ ~z ∈. 立. (k) Dn−1. 政治大. 戽戨y1 , y2 , · · · , yh−1 , yh , yh+1 , · · · , yn−1 , k戩戽 ~y. ‧. 狀況二：yk 戽 n. n. 若i ≥ k 戬. · · x ·~. Ch.   xi 戽 yi+1. engchi. sit er. io. al. y. Nat. 讓~x 戽戨x1 , x2 , · · · , xk−1 , k, xk , · · · , xn−2 , n戩   xi 戽 y i 當 xi < k 其中若i < k 戬  xi 戽 y i − 戱當 xi ≥ k. i n U. v. 當 xi < k.  xi 戽 yi+1 − 戱當 xi ≥ k. (k). ∈ Dn−2 戨由引理五戩. ⇒ gk 戨~x戩戽戨x01 , x02 , · · · , x0k−1 , n, x0k , · · · , x0n−2 , k戩其中x0i 戽戽戨y1 , y2 , · · · , yk−1 , n, yk+1 , · · · , yn−1 , k戩戽 ~y · y · ·~. ∈. n−1 S. (k). (k). 扛fk 戨Dn−1 戩 ∪ gk 戨Dn−2 戩扝. k=1. ⇒ Dn ⊆. n−1 S. (k). (k). 扛fk 戨Dn−1 戩 ∪ gk 戨Dn−2 戩扝. k=1. 戱戴.   xi. 當 xi < k.  xi 戫戱當 xi ≥ k.

(22) (k). (k). 且∀k 戽戱, 戲, · · · , n − 戱戬 fk 戨Dn−1 戩 ⊆ Dn 戬 gk 戨Dn−2 戩 ⊆ Dn ⇒. n−1 S. (k). (k). 扛fk 戨Dn−1 戩 ∪ gk 戨Dn−2 戩扝 ⊆ Dn. k=1 · · ·. n−1 S. (k). (k). 扛fk 戨Dn−1 戩 ∪ gk 戨Dn−2 戩扝戽 Dn. . k=1. 例如：戨n 戽戴戩   戨戲戳戴戱戩 D4 ：  戨戳戴戲戱戩. (1). ←→ D3 ：.  戨戳戱戲戱戩 ⇒ f1 戨戳戱戲戱戩戽戨戳戴戲戱戩.   戨戴戳戱戲戩. (2). 立. (3).   戨戲戳戱戳戩 ⇒ f3 戨戲戳戱戳戩戽戨戲戴戱戳戩. 學. ←→ D3 ：.  戨戳戱戲戳戩 ⇒ f3 戨戳戱戲戳戩戽戨戴戱戲戳戩. ‧. (1). Nat. ←→ D2 ：戨戱戲戱戴戩 ⇒ g1 戨戱戲戱戴戩戽戨戴戳戲戱戩. y. ‧ 國. 2.  戨戴戱戲戳戩. (2). io. sit. ←→ D2 ：戨戲戲戱戴戩 ⇒ g2 戨戲戲戱戴戩戽戨戳戴戱戲戩 (3). ←→ D2 ：戨戲戱戳戴戩 ⇒ g3 戨戲戱戳戴戩戽戨戲戱戴戳戩. n. al. er.     戨戴戳戲戱戩    戨戳戴戱戲戩      戨戲戱戴戳戩. 政治大  戨戳戱戲戲戩 ⇒ f 戨戳戱戲戲戩戽戨戳戱戴戲戩   戨戲戳戱戲戩 ⇒ f2 戨戲戳戱戲戩戽戨戴戳戱戲戩. ←→ D3 ：.  戨戳戱戴戲戩   戨戲戴戱戳戩.   戨戲戳戱戱戩 ⇒ f1 戨戲戳戱戱戩戽戨戲戳戴戱戩. Ch. 由上例子可以發現D4 所有元素皆可被對應。. engchi. i n U. v. 於是完成了證明之後，現在不論我們想要找什麼樣的錯排列，我們都可以用對應的方式去找出來，回到我們第一章舉的幾個錯排列的例子中，假設某次的交換禮物，突然增加了一個人，我們利用原先預備好的交換模式，做些微的調整，就可以讓增加的人，也能參與這樣的活動。例如：六人交換禮物的錯排列戨戴戱戶戳戲戵戩代表戱號拿戴號的禮物，戲號拿戱號的禮物，戳號拿戶號的禮物，戴號拿戳號的禮物，戵號拿戲號的禮物，戶號拿戵號的禮物。如果突然多戱人，則我們可以安排那個人拿戳號的禮物戨戴戱戶戳戲戵戳戩經由f3 的作用得到戨戴戱戶户戲戵戳戩，便得到一個户人的錯排列。當然那個人也可以拿戴號的禮物戨戴戱戶戳戲戵戴戩經由f4 的作用得到戨户戱戶戳戲戵戴戩。. 戱戵.

(23) 第三章. 更多關於錯排列的探討. 前面提到遞迴式：d1 戽戰, d2 戽戱戬 ∀n ≥ 戳戬 dn 戽戨n − 戱戩戨dn−1 戫 dn−2 戩，我們可以進一步的化簡為：d1 戽戰戬 ∀n ≥ 戲戬 dn 戽 ndn−1 戫戨−戱戩n 證明如下： dn 戽戨n − 戱戩戨dn−1 戫 dn−2 戩 ∀n ≥ 戳戽戨n − 戱戩dn−1 戫戨n − 戱戩dn−2 ⇒ dn − ndn−1 戽 −扛dn−1 − 戨n − 戱戩dn−2 扝. 政治大. 戽戨−戱戩2 扛dn−2 − 戨n − 戲戩dn−2 扝. 立. 戽 ···. ‧. 戽戨−戱戩n−2 扛d2 − 戲d1 扝. n. al. . er. io. ≥ 戲戬 dn 戽 ndn−1 戫戨−戱戩n. y. 戽戨−戱戩n−2 扛戱 − 戲 × 戰扝戽戨−戱戩n−2. sit. Nat. · · · ∀n. 學. ‧ 國. 戽戨−戱戩3 扛dn−3 − 戨n − 戳戩dn−4 扝. Ch. engchi. i n U. v. 如此一來，只需要前一項就能知道新的一項。並且當n是奇數時，會多一項出來，n是偶數時，會少一項。既然 ∀n ≥ 戳戬 dn 戽戨n − 戱戩戨dn−1 戫 dn−2 戩我們找到了簡單的方式去對應，因此我們也認為∀n ≥ 戲戬 dn 戽 ndn−1 戫戨−戱戩n 這樣的數學式應該也會有一個簡單的對應。由於時間的關係，希望將來有機會繼續研究，當然也希望其他對於錯排列有興趣的夥伴們，能一起努力將對應給找出來。. 戱戶.

(24) 參考文獻 1.. Claude Berge. Principles of Combinatorics. Academic Press, New York, 1971.. 2.. Richard A. Brualdi. Introductory Combinatorics. North-Holland, New York, 1977.. 3.. Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik. Concrete Mathematics. Addison-Wesley, 1989.. 4.. Selmer M. Johnson, Generation of permutations by adjacent transposition. Math. Comp., 17:282-285, 1963.. 學. 6.. ‧ 國. 5.. 政治大 C. L. Liu. Introduction to Combinatorial Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New 立 York, 1968. John Riordan. An Introduction to Combinatorial Analysis. Princeton University. Fred S. Roberts. Applied Combinatorics. Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, NJ,. y. sit. io. er. 1984.. Nat. 7.. ‧. Press, Princeton, N.J., 1980. Reprint of the 1958 edition.. 8.. Alan Tucker. Applied Combinatorics. John Wiley & Sons Inc., New York, 1980.. 9.. 洪聰於，錯排列的對射證明，國立政治大學應用數學系碩士論文.，1994。. n. al. Ch. engchi. 17. i n U. v.

(25)