行政院國家科學委員會專題研究計畫 期末報告
馬可夫跳躍過程下美式選擇權之評價：黃金之實證分析
計 畫 類 別 ： 個別型 計 畫 編 號 ： NSC 101-2410-H-004-060- 執 行 期 間 ： 101 年 08 月 01 日至 102 年 08 月 31 日 執 行 單 位 ： 國立政治大學金融系 計 畫 主 持 人 ： 廖四郎 報 告 附 件 ： 出席國際會議研究心得報告及發表論文 公 開 資 訊 ： 本計畫涉及專利或其他智慧財產權，2 年後可公開查詢中 華 民 國 102 年 12 月 19 日
中 文 摘 要 ： 本研究計畫針對美式選擇權的評價並以美式黃金選擇權進行 實證分析，從過去黃金的報酬序列分析發現不同時期黃金價 格產生的跳躍頻率也有所不同。文獻上 Mills (2004)的觀 察，發現黃金報酬率存在高狹峰與波動度具有長期的序列相 關現象，若僅使用幾何布朗運動與 Merton (1976)的跳躍擴 散模型皆無法完全描述黃金報酬的特性。因此，本研究將採 用 Chang, et al. (2013)馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型，來 描述黃金價格的動態過程，此模型不僅能解釋報酬率為非對 稱高狹峰、波動度微笑現象，亦能解釋長記憶與波動叢聚現 象。利用 EM 演算法估計跳躍擴散模型及馬可夫狀態轉換跳躍 擴散模型之參數，並以 SEM 演算法估計參數之共變異數矩 陣。在評價理論的推導方面，Merton (1976)測度假設跳躍風 險為非系統性且可分散的風險，而 Gerber and Shiu (1994) 採用的 Esscher 測度轉換允許跳躍風險為系統性且不可分散 的風險，為考量跳躍風險是否可分散下有無風險溢酬，本計 畫利用 Merton 測度及 Esscher 測度轉換推導風險中立機率測 度下金價之動態過程，再利用 Longstaff 和 Schwartz (2001)所提出的最小平方蒙地卡羅模擬進行美式黃金選擇權 之評價。 中文關鍵詞： 美式黃金選擇權、馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型、Merton 測 度、Esscher 測度轉換、最小平方蒙地卡羅模擬
英 文 摘 要 ： From the analysis of gold return, we find different jump rates of gold price appearing in corresponding periods. According to Mills (2004), there exists highly leptokurtic and long-run correlation in the return and volatility of the gold price respectively. However, the phenomena described above cannot be explained by the model of GBM and jump diffusion. Hence, we will adopt Markov modulated Poisson process model proposed by Chang, et al. (2013) to model the dynamics of the gold price. The advantage of using this model lies in its more perfectly characterizing the phenomena of leptokurtosis and volatility
clustering existing in the return of the gold.
Further, we use the EM and SEM algorithm to estimate the parameters of the model and the covariance matrix of the parameters respectively. Regarding the pricing methodology, the risk of jump is characterized as the diversifiable non-systematic risk under the
and Shiu (1994) took the risk of jump as
undiversifiable systematic risk the and used Esscher tranfrom to take the risk premium of the jump into consideration. Accordingly, we use these two
different methods to derive the dynamics of the gold price under risk-neutral measure and apply the least-squares Monte Carlo simulation proposed by Longstaff and schwartz (2001) to price the American options on the gold under the above two different risk-neutral measures.
英文關鍵詞： American gold option； Markovian regime-switching jump-diffusion model； Merton measure； Esscher transform； Least-squares Monte Carlo simulation
中文 中文中文 中文摘要摘要摘要 摘要 本研究計畫針對美式選擇權的評價並以美式黃金選擇權進行實證分析，從過 去黃金的報酬序列分析發現不同時期黃金價格產生的跳躍頻率也有所不同。文獻 上Mills (2004)的觀察，發現黃金報酬率存在高狹峰與波動度具有長期的序列相關 現象，若僅使用幾何布朗運動與Merton (1976)的跳躍擴散模型皆無法完全描述黃 金報酬的特性。因此，本研究將採用Chang, et al. (2013)馬可夫狀態轉換跳躍擴散 模型，來描述黃金價格的動態過程，此模型不僅能解釋報酬率為非對稱高狹峰、 波動度微笑現象，亦能解釋長記憶與波動叢聚現象。利用EM演算法估計跳躍擴 散模型及馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型之參數，並以SEM演算法估計參數之共變 異數矩陣。在評價理論的推導方面，Merton (1976)測度假設跳躍風險為非系統性 且可分散的風險，而Gerber and Shiu (1994)採用的Esscher測度轉換允許跳躍風險 為系統性且不可分散的風險，為考量跳躍風險是否可分散下有無風險溢酬，本計 畫利用Merton測度及Esscher測度轉換推導風險中立機率測度下金價之動態過 程，再利用Longstaff 和Schwartz (2001)所提出的最小平方蒙地卡羅模擬進行美式 黃金選擇權之評價。 關鍵詞 關鍵詞 關鍵詞 關鍵詞：：：：美式黃金選擇權、馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型、Merton 測度、 Esscher 測度轉換、最小平方蒙地卡羅模擬
Abstract
From the analysis of gold return, we find different jump rates of gold price appearing in corresponding periods. According to Mills (2004), there exists highly leptokurtic and long-run correlation in the return and volatility of the gold price respectively. However, the phenomena described above cannot be explained by the model of GBM and jump diffusion. Hence, we will adopt Markov modulated Poisson process model proposed by Chang, et al. (2013) to model the dynamics of the gold price. The advantage of using this model lies in its more perfectly characterizing the phenomena of leptokurtosis and volatility clustering existing in the return of the gold. Further, we use the EM and SEM algorithm to estimate the parameters of the model and the covariance matrix of the parameters respectively. Regarding the pricing methodology, the risk of jump is characterized as the diversifiable non-systematic risk under the assumption of Merton (1976); nevertheless, Gerber and Shiu (1994) took the risk of jump as undiversifiable systematic risk the and used Esscher tranfrom to take the risk premium of the jump into consideration. Accordingly, we use these two different methods to derive the dynamics of the gold price under risk-neutral measure and apply the least-squares Monte Carlo simulation proposed by Longstaff and schwartz (2001) to price the American options on the gold under the above two different risk-neutral measures.
Keywords: American gold option; Markovian regime-switching jump-diffusion model; Merton measure; Esscher transform; Least-squares Monte Carlo simulation
目 目 目 目錄錄錄錄 中文摘要 中文摘要 中文摘要 中文摘要... I Abstract ... II 目錄 目錄 目錄 目錄... III 一、前言與研究目的... 1 (一) 前言 ... 1 (二) 研究目的 ... 5 二、文獻探討... 6 (一) 黃金相關文獻 ... 6 (二) 美式選擇權相關文獻 ... 6 (三) 資產價格動態過程相關文獻 ... 8 三、研究方法... 9 (一) 馬可夫調控普瓦松過程 ... 9 (二) 模型設定 ... 10 (二) Merton 測度轉換 ... 11 (二) Esscher 測度轉換 ... 12 四、實證分析與結論... 14 (一) 參數估計與檢定 ... 14 (二) 定價誤差 ... 16 (二) 結論 ... 17 參考文獻... 18
一 一 一 一、、、、前言前言前言前言與與與研究與研究研究目的研究目的目的 目的 本文為整合財務經濟學及金融工程學之研究，本研究背景從黃金市場特性開 始論述，佐以實際資料的動態圖形為證，並詳述本研究之動機與主要目的。 (一一一一) 前言前言前言前言 對大多數的投資人而言，將投資組合多角化的主要目的乃為降低所擁有資產 的報酬率波動度與規避一些非系統性風險，在投資組合的資產配置上尋找彼此負 相關或低度相關的資產來建構，此舉有助於降低風險或提高報酬率。近年來投資 人將黃金納入投資組合中的原因，大致上可歸因於：(一)黃金與其他資產類別的 相關性低(WGC, 2009)，故納入此資產有助投資組合的風險分散；(二)黃金與其 他 商 品 相 異 ， 因 其 較 具 耐 久 性 、 相 對 較 易 運 送 與 全 球 通 用 的 替 代 性 貨 幣 (Worthington and Pahlavani, 2007)等特性，且在經濟與政治動盪的不確定年代，扮 演著重要的角色(Aggarwal and Lucey, 2007)，故可作為規避通貨膨脹、政治風險 與匯率風險(Blose, 1996; Wang et al., 2011)的投資工具；(三)黃金具有一些貨幣功 能，其中最重要的是有如同貨幣一般的購買力(Wang and Lee, 2011)。以往黃金的 需求不斷地增加，但在 1971 年金本位制度瓦解後的黃金價格改由市場決定，使 其在全球金融市場的重要性已不復往昔(Salant and Henderson, 1978; Solt and Swanson, 1981)。歷經 1997 年的亞洲金融危機與 2007 年的次貸風暴等時期，黃 金履次顯示出其重要性，且被利用為避險的工具，而黃金素來有安全的天堂資產 (safe heaven asset)之稱，主要乃因全球有重大突發事件發生時，黃金相對於其他 資產有較好的績效表現(Baur and McDermott, 2010)。
黃金在財富管理上是重要的貴金屬，長時間被視為全球通用的替代性貨幣。 1944 年，布列敦森林會議(Bretton Woods conference)固定黃金價格為每盎司 35 美元後，金價就一直維持穩定。1971 年，美國尼克森總統宣布美元貶值和美元 停兌黃金，金本位制度開始瓦解，美國市場開放後，黃金的財富保值功能放大。 過去在面臨石油危機及金融危機之際，資金往往蜂擁投入美元資產，但近來歐債 危機未平，美債問題難解，美元等貨幣競相貶值，各國央行為分散貨幣風險大舉 買入黃金，世界黃金協會(WGC, 2011)數據顯示，2011 年 7 月止各國政府黃金儲 備增加 203.5 公噸，2010 年同期增量為 76 公噸。因此，全球貨幣貶值浪潮使黃 金避險的需求大幅增加，全球貨幣系統再次朝金本位制度趨近。2011 年，美國 主權信用評等史無前例遭標準普爾調降後，全球股災持續蔓延，市場恐慌加劇， 投資人拋售風險性資產，避險資金再度湧向黃金市場，黃金價格在 2011 年 8 月 首度突破每盎司 1900 美元的歷史新高。
1968/01/030 1974/01/01 1980/01/01 1986/01/01 1992/01/01 1998/01/01 2004/01/01 2010/12/31 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 Time U S $ /O u n ce Larger Jump Rate Larger Jump Rate Smaller Jump Rate Larger Jump Rate
Common State Volatile State
Volatile State 1968/01/04 1974/01/01 1980/01/01 1986/01/01 1992/01/01 1998/01/01 2004/01/01 2010/12/31 -0.21 -0.18 -0.15 -0.12 -0.09 -0.06 -0.03 0 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15 0.18 0.21 Time R et u rn 1973 Oil Crisis 1979 Oil Crisis Global Financial Crisis Jump Jump
Volatility Clustering Jump
圖 1 黃金價格及黃金報酬率相對動態圖 圖 1 顯示 1968-2010 年的黃金價格每日歷史趨勢及黃金報酬率相對動態過 程。首先，我們假設黃金報酬率漲跌幅超過 3%為跳躍現象，則我們可以在黃金 報酬率中發現許多跳躍活動。查閱跳躍時點的相關資料，發現 1973-1975 年有第 一次石油危機，1979-1980 年有第二次石油危機，1991 年有波斯灣戰爭，2000-2001 年有網路泡沫、911 恐怖攻擊事件及阿富汗戰爭，2003 年有伊拉克戰爭，2006-2010 年有伊朗核危機、美國次級房貸危機、能源危機及歐洲主權債務危機分別對應跳 躍的發生，這些證據顯示幾何布朗運動(geometric Brownian motion, GBM)無法衡 量 真 實 資 料 中 黃 金 報 酬 率 的 跳 躍 現 象 ， 故 本 研 究 引 入 跳 躍 擴 散 模 型 (jump diffusion model, JDM)以捕捉這些資料特性。如果突發事件發生的頻率過程 (intensity process)服從一個普瓦松過程(Poisson process, PP)，則跳躍頻率在每一年
應該維持在相同的水準。然而，圖 1 的黃金報酬率動態圖明顯揭露，隨時間經過 突發事件發生的頻率也會有所不同，尤其在幾個不同時期有較大的跳躍活動，例 如：1970 年代的能源危機及 2000 年代晚期的全球金融危機，在過去 40 年間(以 1971-2010 年的每日黃金報酬率為基準)均有較大的跳躍比率；其他時間存在較小 的跳躍活動，則有較小的跳躍比率。由上述事實可知，當突發事件發生時，其訊 息造成黃金報酬率的跳躍頻率很高，且會維持一段時間，其他時間無突發事件發 生時，其訊息造成黃金報酬率的跳躍頻率很低，並同樣會持續一段時間。因此， 黃金報酬率具有大波動伴隨大幅度變動，小波動伴隨小幅度變動，且均會維持一 段時間之波動叢聚(volatility clustering)的現象。 圖 1 的黃金價格趨勢圖顯示，1973-1980 年及 2001-2010 年兩時期的歷史黃 金價格出現兩次大幅上漲，究其原因，突發事件的發生是一次次引導金價劇烈波 動的重要助力；而 1981-2000 年的金價走勢相較於前述兩時期則持續呈現區間震 盪。根據圖 1 中黃金價格的變動，將 1968-1980 年及 2001-2010 年兩時期定義為 相對高波動狀態並認定為變動狀態(或第二狀態)，而 1981-2000 年則定義為相對 低波動狀態並認定為一般狀態(或第一狀態)。由於全期(1968-2010 年)及一般狀態 的黃金報酬率漲跌幅超過 3%之個數分別有 382 次與 117 次，經由計算結果可知， 全期的平均跳躍頻率為 8.88，變動狀態及一般狀態的平均跳躍頻率分別為 11.52 與 5.85，故可推斷變動狀態將導致高於長期平均跳躍活動的黃金報酬率，另可推 斷一般狀態將導致低於長期平均跳躍活動的黃金報酬率。通常市場不同狀態之轉 移機率較小，當停留在經濟不穩定狀態一段時間後，才改變為另一種狀態，如圖 1 所示，1968-1980 年在狀態 2，到 1981-2000 年轉移到狀態 1，而 2001-2010 年 則又轉移回狀態 2。因此，突發事件發生的頻率過程會依黃金價格處於不同狀態 而有所不同，且兩種狀態的移轉似乎服從一個同質馬可夫過程(homogenous Markov process) ， 故 本 研 究 利 用 馬 可 夫 狀 態 轉 換 跳 躍 擴 散 模 型 (Markovian regime-switching jump diffusion model, RSJDM)以捕捉這些現象。隨著突發事件的 增加，特別是 2000 年代晚期的全球金融危機，已經造成黃金及數種黃金連結商 品(例如:黃金選擇權)價格與可利用性的劇烈波動。因此，對應時間異質性，適當 地將跳躍活動的動態過程模型化及定價黃金選擇權，對於黃金市場的發展是相當 重要的。
表 1 黃金報酬率之敘述統計表 2005 2006 2007 2008 2009 2010 總計 交易天數 251 252 253 254 256 261 1527 平均數 0.0007 0.0009 0.0011 0.0001 0.0010 0.0009 0.0008 標準差 0.0082 0.0152 0.0098 0.0215 0.0131 0.0103 0.0137 偏態 0.0451 -0.4077 -0.5152 -0.0852 -0.0476 -0.3808 -0.2500 峰態 3.9677 4.1217 4.4910 5.6810 3.9999 4.6083 7.7529 漲幅超過 3% 0 8 1 13 4 1 27 跌幅超過 3% 0 11 2 18 4 1 36 漲跌幅超過 3% 0 19 3 31 8 2 63 觀察表 1 中各年度黃金報酬率的平均數，發現各年度均呈現正向報酬率，而 2008 年的報酬率僅只 0.0001 為各年度中最低者，顯示黃金市場受到美國次級房 貸危機及能源危機影響而導致低報酬率；觀察各年度標準差，發現 2006-2010 年 的波動度均大於 2005 年的標準差為 0.0082，顯示受到伊朗核危機、美國次級房 貸危機、能源危機及歐洲主權債務危機影響，經濟處於相對不穩定的狀態，使得 黃金報酬率的波動變化較劇烈；觀察各年度的偏態及峰態，發現均有正偏(2005 年)、負偏(2006-2010 年)及非對稱高狹峰(2005-2010 年)的性質，由於 BS 模型不 適合描述實際資料中黃金報酬率的動態過程，故本研究引入跳躍擴散模型以捕捉 這些非常態性質。表 1 顯示各年度黃金報酬率漲跌幅超過 3%的個數，發現 2006-2010 年均有跳躍現象，這些期間正值伊朗核危機、美國次級房貸危機、能 源危機及歐洲主權債務危機發生的時間點上，2006 年及 2008 年發生跳躍的個數 分別為 19 次與 31 次，相較於其他跳躍較少的年度(2007 年及 2009-2010 年)或無 跳躍現象產生的年度(2005 年)，顯示跳躍頻率應具有狀態轉換之性質。由於狀態 變遷及突發事件發生均會導致黃金市場產生不尋常之變動，故本研究利用馬可夫 狀態轉換跳躍擴散模型以捕捉這些現象。 過去評價美式選擇權的方式，大多是建構在股價服從幾何布朗運動的 Black-Scholes 模型下，然而 Mills (2004)從每日的黃金價格觀察到報酬率存在高 狹峰與波動度具有長期序列相關等現象，若採用幾何布朗運動與 Merton (1976) 所提的跳躍擴散模型皆無法描述 Mills (2004)觀察到的高狹峰與長記億等現象。 因而，本計畫採用 Chang, et al. (2013)提出的馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型，藉 此描繪出過去幾何布朗運動、Merton (1976)與 Kou (2002)所無法同時解釋的非對 稱高狹峰、波動度微笑與波動叢聚等現象。此外，McCown and Zimmerman (2006) 利用 CAPM 與 APT 模型以迴歸方法驗證黃金具有無市場風險的 zero-beta 特性，
隱含黃金的風險都是可分散的。因此，本計畫將從評價的角度考量跳躍風險為來 自黃金本身可分散的非系統性分險或受外在總體環境影響下不可分散的系統性 風險，在兩種風險中立機率測度下利用 Longstaff and Schwartz (2001)提出的最小 平方蒙地卡羅模擬比較美式黃金選擇權價格與實際市場報價的誤差，藉此驗證黃 金之跳躍風險是否為可分散，若可分散則驗證 McCown and Zimmerman (2006) 的結果，若不可分散亦可作為投資人進行資產配置重分配之參考依據。 (二二二二) 研究目的研究目的研究目的研究目的 Chang, et al. (2013)以馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型來評價歐式選擇權，本計 畫將立基於此模型進行實證分析討論重大突發事件發生時造成黃金價格巨大的 跳躍現象。再進一步運用兩種風險中立機率測度，在考量跳躍現象為可分散的非 系統性風險與不可分散的系統性風險下是否有無跳躍風險溢酬及其對美式黃金 選擇權評價之影響。本計畫之研究目的主要有三方面： (一)黃金價格動態過程之實證分析，利用 Chang, et al. (2013)發展的馬可夫 狀態轉換跳躍擴散模型，討論黃金價格是否有此動態過程的現象，以實證方法(例 如：利用概似函數做估計與檢定)分析黃金價格的動態過程。 (二)風險中立機率測度之推導，在評價美式黃金選擇權時，必須先將上述的 黃金價格動態過程轉換為風險中立機率測度下的型式，本計畫考量造成黃金價格 產生不同的跳躍情況：可分散的非系統性風險與不可分散的系統性風險，從而進 行兩種測度轉換，檢視有無風險溢酬及其對美式黃金選擇權評價之影響。 (三)美式黃金選擇權之評價，依據上述馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型之實證 參數估計及兩種風險中立機率測度下的黃金價格動態過程，本計畫將利用 Longstaff and Schwartz (2001)提出的最小平方蒙地卡羅模擬評價美式黃金選擇 權。
二 二 二 二、、、、文獻文獻文獻文獻探討探討探討 探討 茲將本研究之黃金相關文獻、美式選擇權相關文獻及資產價格動態過程相關 文獻詳述如下： (一一一一) 黃金相黃金相黃金相黃金相關關關關文獻文獻文獻文獻 過去諸多學者應用不同模型工具研究黃金價格及選擇權市場。Tschoegl (1982)檢驗歐洲選擇權交易所中黃金選擇權標的資產的價格波動度變化。Beckers (1984)進行黃金選擇權定價程序有效性的檢測，驗證買權賣權平價關係的條件， 並發現不存在無風險套利機會。McCown and Zimmerman (2006)利用 CAPM 及 APT 證實黃金沒有市場風險(即黃金具有零 beta 風險的特性)且具有良好的抗通膨 能力。Ismail, et al. (2009)利用複線性迴歸模型檢視 CRB 指數、匯率、通貨膨脹 率、貨幣供給(M1)、股價指數(NYSE&SPX)、國庫券及美元指數等經濟變數對於 黃金價格之影響並進行預測。石油價格是影響黃金市場的總體經濟變數之一 (Tully and Lucey, 2007)。Zhang and Wei (2010)證實油價及金價間具有顯著的正相 關，兩市場不但有長期均衡關係且油價會影響金價。歷次石油危機及全球金融危 機期間，受到美元貶值、油價上漲及全球經濟的不確定性等主要因素影響，黃金 的保值及避險需求增加，因此，也造成國際金價短期內屢創歷史新高。Baur and McDermott (2010)利用 GARCH 模型證實黃金為主要歐洲股市及美國股市的安全 避險天堂。 (二二二二) 美式選擇權相關美式選擇權相關美式選擇權相關美式選擇權相關文獻文獻文獻 文獻 美式選擇權與歐式選擇權性質的差異在於，美式選擇權可以在到期日前提前 執行，且市面上所交易的選擇權大多以美式選擇權為主，因此，美式選擇權的價 值包含了可提早履約的溢酬(early-exercised premium)，所以美式選擇權一般都會 比歐式選擇權的價值來的高，而根據 Barone-Adesi and Whaley (1987)所定義的提 早履約的溢酬為美式選擇權與歐式選擇權價格的差異，換言之，美式選擇權的價 格為歐式選擇權的價格再加上提早履約的溢酬。由於市面上所交易美式選擇權指 目 前 為 止 依 然 沒 有 封 閉 解 ， 且 在 Merton (1973) 的 文 章 認 為 在 不 發 放 股 利 (non-dividend)的標的資產上，美式選擇權將不會被提早執行，其定價公式將與歐 式選擇權相同。在 Merton (1973)的架構下，使得一些研究美式選擇權的學者站 在歐式選擇權定價公式(Black and Scholes, 1973)的基礎上來評價美式選擇權，例 如：Roll (1977)、Geske (1979)、Barone-Adesi and Whaley (1986)，推出在已知股 利支付日期下美式選擇權的價格。由於美式選擇權持有者可以在契約的到期日前 就執行履約，因此，評價美式選擇權的困難點在於決定最佳執行點(optimal execution point)，依美式股票賣權來說，只要標的股價低於臨界價格，賣權持有
者就應該馬上執行賣權(Bunch and Johnson, 2000)。然而，對於在那一個時點或是 價格才是的最佳的執行點難以決定，因此，過去文獻對於美式選擇權的評價探討 可分為二種：(1)數值分析方法(numerical analysis method)； (2)解析近似公式 (analytic approximation method)。在無封閉解的情況下，過去評價美式選擇權的 數值分析方法有三種：(1) 利用方格法(lattice approach)來求美式選擇權，例如： Cox, Ross and Rubinstein (1979)(簡稱 CRR)提出的二元樹法(binomial method)與延 伸的 CRR 模型，例如：Boyle (1988)與 Kamrad and Ritchken (1991)的多元樹模型 (multinomial method)、Broadie and Detemple (1996)、Heston and Zhou (2000)與 Chung and Shih (2007)等；(2)利用 Brennan and Schwartz (1977)提出有限差分法來 評價美式選擇權，而在執行有限差分法時有兩種不同的方式，一種為顯式有限差 分法(explicit finite difference method)，另一種為隱式有限差分法(implicit finite difference method)；(3)Boyle (1977)利用蒙地卡羅模擬來求算選擇權價格。蒙地卡 羅模擬用於選擇權評價之概念是基於風險中立假設，是一種基於大數法則的實證 方法，當實驗次數愈多，其平均值就會愈趨於理論值，但其有一個很大限制為較 適合評價歐式選擇權，Tilley (1993)首先提出利用蒙地卡羅模擬解決美式選擇權 提前履約的問題，此類利用蒙地卡羅模擬的方式找出最適的提早執行策略來求解 美式選擇權的理論價格主要分成求解臨界股價(critical exercise price)與最適的停 止時間(Carriere, 1996)來當成美式選擇權是否提前履約的依據，進而求算出美式 選擇權的價格。然而，影響選擇權價格的因素往往並不是單因子，而可能是多個 因子。在多因子模型下，利用二元樹或是有限差分法來求解衍生性商品的理論價 值時將會變得窒礙難行(Longstaff and Schwartz, 2001)，故 Longstaff and Schwartz (2001)發展最小平方蒙地卡羅模擬(least-squares Monte Carlo simulation)，利用傳 統的蒙地卡羅模擬得到股價路徑後，在每一個可能提前履約的時點，決定是否提 早履約。而提早履約的判斷依據為當立即轉換之價值大於利用最小平方蒙地卡羅 模擬得出持有到期條件期望現流量折現值時，便會決定提早履約，而模擬的路徑 也就在履約時終止，將每個路徑之現金流量折現再平均，便為美式選擇權的價 值。在解析近似公式方面的文獻，例如：Barone-Adesi and Whaley (1987)利用二 次逼近方法(quadratic approximation approach)推導出連續支付股利的美式買權解 析逼近公式，其主要是從提早執行的臨界價格觀點來解決評價美式選擇權的問 題，作者認為美式選擇權的價格為歐式選擇權的價格再加上美式選擇權提早執行 的貼水(early exercise premium)，並假設提早履約貼水為某一個特殊型式，透過求 算提早履約的貼水價值，進而求出美式選擇權的價格。Kim (1990)也是利用在每 一時點提早執行的臨界價格觀念，在一些界線條件下利用循環積分方式(recursive integration approach)解出提早執行的臨界價格，進而求算美式選擇權的價格。過 去 評 價 美 式 選 擇 權 的 方 式 ， 大 多 是 建 構 在 資 產 價 格 服 從 幾 何 布 朗 運 動 的 Black-Scholes 模型下，並無法描述 Mandelbrot (1963)和 Garvin (2000)在金融和商 品市場中所觀察到的現象，即資產報酬率是一個厚尾(fat tails)的分配，而 Merton (1976)提出的跳躍擴散模型，亦無法描述 Ding et al. (1993)發現報酬率時間序列具
有相當緩慢的自我相關現象及 Mills (2004)從每日的黃金價格所觀察到報酬率存 在高狹峰與波動度具有長期的序列相關等現象。
(三三三三) 資產資產資產資產價價格動態過程價價格動態過程格動態過程格動態過程相關相關相關文獻相關文獻文獻 文獻
Merton (1976)提出跳躍擴散模型(jump diffusion model, JDM)，將股價報酬率 的隨機波動分為兩部份，第一部分解釋股價報酬率正常變動，第二部分為重大訊 息來臨造成股價產生不規則的跳躍情形，而此重大訊息來臨服從普瓦松過程。 Merton (1976)改良了過去研究股價的模型大都是採用 Samuelson (1965)所提出的 幾何布朗運動模型(exponential-or geometric-Brownian motion, GBM)，此模型的假 設是認為取對數後的資產相對價格變動是成對稱型態的常態分配，但 Mandelbrot (1963)和 Garvin (2000)提出了他們在金融和商品市場所觀察到的資產報酬率是一 個厚尾(fat tails)分配，透過取對數後資產相對價格變動之分配的偏態(skewness) 與峰態(kurtosis)係數呈現超額峰態(excess kurtosis)。Mills(2004)從每日的黃金價 格觀察到報酬率存在高狹峰與波動度具有長期序列相關等現象。Ding et al. (1993) 發現報酬率時間序列具有相當緩慢的自我相關現象，此稱為長期記憶(long memory)。但跳躍擴散模型並不能解釋上述現象，Kou (2002)利用跳躍振幅服從 雙指數分配的雙指數跳躍擴散模型解釋報酬率的非對稱高狹峰及波動度微笑等 性質，但也說明該模型的缺點是無法解釋波動叢聚及長期記憶等現象。因此，本 計 畫 採 用 Chang, et al. (2013) 的 馬 可 夫 狀 態 轉 換 跳 躍 擴 散 模 型 (Markovian regime-switching jump-diffusion model, RSJDM)，將跳躍擴散模型中資產不規則跳 躍過程從普瓦松過程之假設推廣至馬可夫調控普瓦松過程(Markov modulated Poisson process, MMPP)，此過程假設訊息有若干種(或市場有若干狀態)，其變遷 服從馬可夫過程，並假設訊息處在不同狀態時，資產價格的跳躍頻率服從普瓦松 分配，唯參數不同且假設跳躍幅度與當時市場所處的狀態無關。利用此模型不僅 能解釋報酬率為非對稱高狹峰及波動度微笑等性質，亦能解釋波動叢聚及長期記 憶等現象。
三 三 三 三、、、、研究方法研究方法研究方法研究方法 描述資產價格變化對於美式選擇權相關的衍生性商品相當重要，且資產價格 變動可能存在不規則的跳躍情況，受到市場狀態轉換之影響。Chang, et al. (2013) 提出馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型，假設市場有多種狀態，其變遷過程服從馬可 夫過程，且不同狀態下的跳躍頻率不同，因此原先跳躍擴散模型的跳躍過程由普 瓦松過程變成馬可夫調控普瓦松過程，此模型可以有效描述報酬率的非對稱高狹 峰、波動度微笑、波動叢聚及長記憶性。在數值分析方面，本計畫假設跳躍頻率 與市場訊息狀態有關且跳躍幅度平均數不為零，利用 EM 演算法估計跳躍擴散模 型及馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型之參數，並以 SEM 演算法估計參數之共變異 數矩陣，使用金價日資料作為實證對象，檢定馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型是否 比跳躍擴散模型更適合描述金價報酬率，並分析馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型下 金價報酬率的非對稱高狹峰及波動叢聚等性質。在理論推導方面，Merton (1976) 測度假設跳躍風險為非系統性且可分散的風險，而 Gerber and Shiu (1994)採用的 Esscher 測度轉換允許跳躍風險為系統性且不可分散的風險，為考量跳躍風險是 否可分散下有無風險溢酬，本計畫利用 Merton 測度及 Esscher 測度轉換推導風險 中立機率測度下金價之動態過程，後續再以最小平方蒙地卡羅模擬進行美式黃金 選擇權之評價。 (一一一一) 馬可夫調控普瓦松過程馬可夫調控普瓦松過程馬可夫調控普瓦松過程馬可夫調控普瓦松過程 圖 1 的實證資料顯示，突發事件發生的頻率會因每日歷史黃金價格處於不同 狀態而有顯著的差異。鑒於我們觀察到的事實，本研究提出一個藉由突發事件發 生的頻率過程服從馬可夫調控普瓦松過程及由同質馬可夫鏈所管控的市場狀態 模型。我們認為黃金價格的樣本路徑除了在有限的時間點內是連續的，且突發事 件發生的頻率依賴於經濟環境的狀態。馬可夫調控普瓦松過程 ( )Φ t 為一個在有限 狀態空間X= 1, 2,..., I
{
}
下其頻率λX t( ) 受到一個同質馬可夫過程X t 及其轉移函( ) 數P t 所調控的普瓦松過程。從狀態ij( ) X(0)=i轉移到狀態X(t)= j的轉移速度 ) , ( ji Ψ 可表示為 ( , ), ( , ) ( , ), i j v i j i j i j v i j otherwise ≠ ≠ Ψ =− ∑
, (1) 此處i, j∈X。從X t 的馬可夫結構，我們可以經由( ) Laplace 逆轉換得到X t 及( ) ) (t Φ 的聯合分配函數之動差生成函數如下0 ( , ) ( , ) n n P ζ t P n t ζ ∞ Θ = =
∑
, 0<ζ<1, (2) 此 處 ( , ) :P n t =P n tij( , ) :=P X ti( ( )= j,Φ( )t =n) :=P X( (0)=i X t, ( )= j, Φ( )t =n)代 表 從 狀 態 X(0)=i轉 移 到 狀 態 X(t)= j 並 發 生n 次 跳 躍 的 轉 移 機 率 。 利 用 Kolmogorov 的向前方程式求解上式，其唯一解為[
]
{
}
( , ) exp (1 ) PΘ ζ t = Ψ − − Λζ t , (3) 再應用 Laplace 逆轉換及唯一解，我們可以得到時間點 t 時的X t 及( ) Φ(t)之聯合 分配為 0 ( , ) ( , ) ! n n P n t P t nζ
ζζ
Θ = ∂ = ∂ . (4) (二二二二) 模型設定模型設定模型設定模型設定 令經濟體中的不確定性可由完整的濾網機率空間( , , , ( )T0) t t F P F = Ω 描述，此處 P 為一個真實世界中的機率測度，對於每一個t∈[
0,T]
，我們定義 W X t t t F =F ∨F 為σ
-algebra， W t F 及F 分別為由一個標準布朗運動tX W t 及一個連續時間隱藏馬可( ) 夫鏈過程X t 在( ) P 機率測度下生成擴大的自然濾網。在此，我們提出一個馬可 夫調控普瓦松過程將黃金價格S t( )的動態過程模型化，其可表示為(
)
( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) t k k dS t dt dW t d Y S tµ
σ
Φ = = + + ∑ − − . (5) 此處飄浮項 µ 及波動項σ 為常數，W t( )為一個 P 機率測度下的標準布朗運動，馬 可夫調控普瓦松過程 ( )Φ t 的隨機跳躍頻率λX t( ) 由一個一般連續時間有限狀態的 馬可夫鏈X t 所調控。此外，跳躍到達次數由具有馬可夫調控頻率( ) λX t( ) 的馬可夫調控普瓦松過程 ( )Φ t 所表明。此處，令
{
logYk :k≥1}
為一序列代表第kth跳躍 振幅且密度函數為 flogY(log )y 的獨立同分配非負隨機變數。如果跳躍到達次數為 k，則跳躍振幅由logYk控制，其服從平均數為µ 及變異數為J σJ2>0的常態分配。 給定 跳 躍 到 達 次 數 下 時 間 點 t 時 黃 金 價 格 S t( ) 的 平 均 百 分 比 跳 躍 為[
]
2 log 1 1 exp 1 (1) 1 2 k J J Y E Y β = − = µ + σ − =φ − ， ( ) ( ) 1 log t k X t k E∏
Φ= Y =λ
β
t = Λβ
t 代表 隨機跳躍過程的補償項。特別地，對於s≠t，我們假設logYS及logYt是獨立的， 且所有隨機衝擊過程W t( )、 ( )Φ t 、X t 及( ) logY 為相互獨立。因為跳躍發生次數k 和市場狀態皆為不可觀測的資料，因此可以利用 EM 演算法估計馬可夫狀態轉換 跳躍擴散模型之參數，詳細推導與說明可參考 Lange (1995 a,b)。另外，利用 SEM(Supplemented EM)演算法估計參數之共變異數矩陣，詳細解說可參考 Meng and Rubin (1991)。 (二二二二) Merton 測度轉換測度轉換測度轉換測度轉換 馬可夫調控普瓦松過程 ( )Φ t 的頻率具有以下性質 ( ) 1 log t k k Yβ
t Φ = − Λ∑
, (6) 其在 t 時為一個平賭過程，末項Λβt表示直到時間 t 時由於全部突發事件所發生 在黃金價格中跳躍的補償項。我們利用 Merton (1976)假設跳躍風險為可分散的 非系統性風險，故跳躍頻率與分配不隨原本自然機率測度 P 轉換到風險中立機率 測度 Q 而改變。等價平賭 Merton 測度 Q 下的黃金價格動態過程為 ( ) 2 1 1 ( ) (0) exp ( ) log 2 Q t Q Q Q k k S t S rβ
σ
tσ
W t Y Φ = = − Λ − + + ∑
, (7) 因此，在風險中立機率測度 Q 下布朗運動、跳躍振幅及轉移機率之 Merton 測度 轉換為 ( )Q ( ) r W t W t µ t σ − = + , (8)2 log Q ~ ( , ) k J J Y N µ σ , (9) ( , ) ( , ) Q n t =P n t . (10) 其中，轉移機率 ( , )Q n t 的轉移速度仍為Ψ ，跳躍頻率矩陣為Λ = Λ ，意味著投Q 資人不會從跳躍風險收到任何溢酬，且因此轉移機率與跳躍頻率不受測度轉換所 影響。 (二二二二) Esscher 測度轉換測度轉換測度轉換測度轉換 考量跳躍風險為不可分散的系統性風險，我們可以在 W X t t t F =F ∨F 上定義一 個與兩個參數 C θ 及 J θ 有關的 Esscher 測度轉換 C, J Qθ θ ∼P為
(
)
(
)
( ) , 1 , ( ) 1 exp log exp ( )exp ( ) exp log
C J C J t W t X t t J C k k t F t P C P J F k F k Y W t dQ L dP E W t E Y θ θ θ θ θ θ σ θ σ θ Φ = Φ = = = ⋅
∑
∑
( ) 2 1 1exp ( ) ( ) exp log 2 J t C C J k k W t t Y θ t θ σ θ σ θ β Φ = = − ⋅ − Λ
∑
, (11) 其中 2 log 1 1 exp ( ) 1 ( ) 1 2 J J J J J k J J Y E Y θ θ β = − = θ µ + θ σ − =φ θ − , (12) log ( )1 ( ) J J J t k X t k E∏
Φ= Yθ =λ
β
θ t= Λβ
θ t, (13) 由馬可夫狀態轉換跳躍模型所描述的黃金市場是不完整的，因此存在許多等價平 賭機率測度。藉由平賭條件Eθ θC, J exp(
−rt S t F)
( ) 0=S(0)，我們可以得到一組Esscher 參數解 為θC r µ2 β σ − + Λ = 及 2 2 1 2 J J J J µ σ θ σ − − = 。在等價 平賭機 率測 度 , C J Qθ θ 下布朗運動、轉移機率、跳躍頻率及跳躍振幅之 Esscher 測度轉換公式分 別為 ( ) ( ) C C Wθ t =W t −θ σt, (14)
(
)
(
)
( , ) ( , ) 1 exp J J n J Pθ n t =P n t βθ + −Λβθ t , (15)(
)
( )(
)
2 1 1 exp 2 J J Q J J X t J J θ θ β λ θ µ θ σ Λ = Λ + = + , (16)(
)
. . . 2 2 log , Ji i d Q J J J J k Y θ N µ +θ σ σ∼
. (17) 其中，布朗運動經由 Esscher 測度轉換改變為 C( ) ( ) C Wθ t =W t −θ σt，意味著投資 人會從布朗運動收到風險溢酬，因此布朗運動會受到測度轉換所影響。經由 Esscher 測度轉換後轉移機率PθJ( , )n t 的轉移速度仍為 Ψ 。跳躍頻率矩陣經由 Esscher 測度轉換改變為(
1)
J J Qθ θ β Λ = Λ + ，意味著投資人會從跳躍風險收到風險 溢酬，因此跳躍頻率會受到測度轉換所影響，而當βθJ = 時，服從 Merton (1976)0 對於測度轉換之假設。將滿足平賭條件的 Esscher 參數解(即兩個參數 C θ 及 J θ 之 解)代入上述 Esscher 測度轉換公式，可求得等價平賭機率測度 C, J Qθ θ 下之布朗運 動及其風險溢酬、跳躍頻率及其風險溢酬與跳躍振幅。因此，在等價平賭機率測 度 C, J Qθ θ 下，黃金價格動態過程為 , , ( ) , 2 1 1 ( ) (0) exp ( ) log 2 C J Q C J t C J Q Q k k S t S r t W t Y θ θ θ θ θ θ σ σ Φ = = − + + ∑
, (18)四 四 四 四、、、、實證分析實證分析實證分析實證分析與結與結與結論與結論論 論 茲將本計畫之參數估計與檢定、定價誤差與結論詳述如下： (一一一一) 參數估計與檢定參數估計與檢定參數估計與檢定參數估計與檢定 BS 模型假設資產報酬率服從常態分配，由於報酬率為可觀測資料，故本文 利用最大概似估計法求算參數的最大概似估計值、估計值標準差及模型概似函數 值。在跳躍擴散模型及馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型中，因為包含不可觀測的資 料，即無法直接得知訊息來臨處於何種狀態，亦觀測不到跳躍次數，可稱訊息過 程與跳躍次數為遺失資料，而其參數的概似函數計算過於複雜，故本文利用 EM 演算法估計參數的最大概似估計值及模型概似函數值，並利用 SEM 演算法計算 參數估計值之標準差。最終，利用概似比檢定(likelihood ratio test, LRT)分別依序 檢測：(1)H 黃金報酬率為0: BS 模型 vs. H 黃金報酬率為跳躍擴散模型；1: (2)H0: 黃金報酬率為跳躍擴散模型 vs. H 黃金報酬率為馬可夫狀態轉換跳躍擴散模1: 型。表 2 為黃金報酬率之各模型參數估計及檢定結果。 觀察表 2 中的參數估計結果，假設黃金報酬率為 BS 模型時，估計其平均數 為 0.0006 及標準差為 0.0138。假設黃金報酬率為跳躍擴散模型時，估計其平均 數及跳躍幅度的平均數分別為 0.0021 和-0.0019，易言之，平均而言黃金報酬率 在一般情況下為正成長，跳躍發生時則平均會導致黃金報酬率呈現負成長；估計 其標準差及跳躍幅度的標準差分別為 0.0067 和 0.0130，代表跳躍發生導致黃金 報酬率產生的波動大於布朗運動所產生的波動，且跳躍擴散模型中布朗運動的波 動度小於 BS 模型的標準差，代表某部分的波動度已經被跳躍項所解釋，故跳躍 擴散模型中因跳躍產生的波動度會比 BS 模型的波動度大；當訊息來臨時使黃金 報酬率產生跳躍的跳躍頻率估計值為 0.8244，代表每天平均會發生 0.8244 次跳 躍。假設馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型有兩種市場狀態，且市場狀態只會影響跳 躍發生的頻率。轉移機率p 和11 p 分別代表時間點 t 到22 t+ 時，市場維持狀態 11 的機率及市場維持狀態 2 的機率，估計其p11 =0.9969及p22 =0.9879都很接近 1， 代表市場狀態的轉換並不會頻繁發生，即當市場進入某種狀態後通常會維持一段 時間，才改變為另一種狀態；估計其平均數為 0.0020 及跳躍幅度的平均數為 -0.0011，易言之，平均而言黃金報酬率在一般情況下為正成長，跳躍發生時則平 均會導致黃金報酬率呈現負成長；估計其標準差為 0.0069 及跳躍幅度的標準差 為 0.0105，代表跳躍發生導致黃金報酬率產生的波動大於布朗運動所產生的波 動，此與跳躍擴散模型的估計結果相當接近，故可知，馬可夫狀態轉換跳躍擴散 模型中布朗運動、跳躍幅度的平均數及標準差與跳躍擴散模型相似；在狀態 1 之跳躍頻率估計值為 0.6277，在狀態 2 之跳躍頻率估計值則為 3.7508，代表兩種 狀態下的跳躍頻率有很大的差異，即一種是跳躍次數稀少的市場狀態，另一種則
是跳躍次數頻繁的市場狀態，例如：石油危機或全球金融危機期間的市場狀態。 表 2 中的最後一行為各模型的對數概似函數值，其中**代表在型 I 誤差為 0.05 時該模型比前一個模型顯著。因此，可知本研究三個模型的檢定結果皆顯著，易 言之，黃金報酬率確實適合用馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型描述。 表 2 黃金報酬率之各模型參數估計及檢定 參數 BSM JDM RSJDM 11 p 0.9969 (0.0028) 22 p 0.9879 (0.0117) µ 0.0006 (0.0004) 0.0021 (0.0005) 0.0020 (0.0004) y µ -0.0019 (0.0008) -0.0011 (0.0005)
σ
0.0138 (0.0003) 0.0067 (0.0003) 0.0069 (0.0006) y σ 0.0130 (0.0003) 0.0105 (0.0011) 1 λ 0.8244 (0.2611) 0.6277 (0.1848) 2 λ 3.7508 (1.1795) Λ 126.68** 108.03** 1. BSM為 Black-Scholes 模型、JDM 為跳躍擴散模型及 RSJDM 為馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型。 2. Λ為概似比檢定統計量，**代表在型 I 誤差為 0.05 時該模型比前一個模型顯著。 3. (.)內數值為所估計參數之標準差。 觀察表 3 發現各模型的平均數及變異數均與資料結果相同；跳躍擴散模型及 馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型的偏態與資料結果皆呈現負偏現象，即加入跳躍項 的模型都可以捕捉到資料負偏的現象，兩模型負偏的程度相仿；跳躍擴散模型及 馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型的峰態都具有非對稱高狹峰的性質與資料結果相 同，即加入跳躍項的模型都可以捕捉到資料非對稱高狹峰的現象，且馬可夫狀態 轉換跳躍擴散模型略優於跳躍擴散模型的結果。 表 3 資料及各模型的偏態與峰態 資料 BSM JDM RSJDM 平均數 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 變異數 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 偏態 0.0925 0 -0.3076 -0.3966 峰態 6.6019 3 5.1067 6.0758 1. BSM為 Black-Scholes 模型、JDM 為跳躍擴散模型及 RSJDM 為馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型。觀察圖 2 發現黃金報酬率服從馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型的自我相關函 數隨著落遲期數越長呈現緩慢遞減，易言之，馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型確實 可以描述黃金報酬率具有波動叢聚的現象。因此，透過加入不同市場狀態的轉換 過程，可有效修正 BS 模型及跳躍擴散模型無法描述波動叢聚的缺點，使模型更 貼近真實黃金報酬率的動態行為。 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Lag A u to co rr el at io n o f R S JD M 圖 2 黃金報酬率服從馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型之自我相關函數圖 (二二二二) 定定定定價誤差價誤差價誤差價誤差 利用選擇權市場的實際報價，可比較各模型定價公式與實際報價結果之間的 誤差情況。表 4 中的誤差計算方式是利用相對均方誤差(relative mean square error, RMSE)計算。觀察表 4，在不同履約價 K 下分析樣本內與樣本外的定價誤差，這 些數值例證顯示在馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型下的定價誤差在 RMSEs 均小於 其他模型。數值結果說明在評價美式黃金選擇權時馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型 會比幾何布朗運動與跳躍擴散模型更為精準。換句話說，無論使用 Merton 測度 或 Esscher 測度轉換推導風險中立的黃金價格動態，馬可夫狀態轉換跳躍擴散模 型都優於幾何布朗運動與跳躍擴散模型的定價表現。整體而言，實證證據支持我 們在評價美式黃金選擇權時應當考量狀態轉換的跳躍風險。
表 4 美式黃金選擇權之樣本內、外定價誤差 K BSM JDM RSJDM Merton測度 Esscher測度 樣本內定價誤差 (樣本數=64) 780 0.9700 0.9659 0.3549 0.3583 800 0.9587 0.9542 0.2910 0.2935 820 0.9429 0.9376 0.3176 0.3008 840 0.9231 0.9174 0.3512 0.3202 860 0.8985 0.8930 0.3836 0.3425 樣本外定價誤差 (樣本數=62) 780 0.9971 0.9955 0.7050 0.7089 800 0.9945 0.9925 0.7622 0.7423 820 0.9909 0.9882 0.8288 0.8100 840 0.9859 0.9822 0.9100 0.8428 860 0.9796 0.9737 0.8454 0.7900 1. , , 2 1 , 1 ( ) N MODEL i DATA i i DATA i C C RMSE N = C − = ∑ ，其中N 代表該檔選擇權至到期日的報價數目、 , DATA i C 代表實際資料的報價結果及CMODEL i, 代表模型定價公式計算的選擇權價格。 (二二二二) 結論結論結論結論 根據黃金報酬率的實證分析，我們發現在不同時期黃金價格存在不同的跳躍 頻率。實證結果發現黃金價格可由馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型適當描述。與傳 統跳躍擴散過程相比較，最主要的優點是我們在動態模型中考量了狀態轉換的跳 躍風險。在實證資料的分析中，這個隨機過程也能刻劃出高峽峰與波動叢聚的現 象。由服從馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型的黃金價格並在不同跳躍風險考量下， 我們利用 Merton 測度與 Esscher 測度轉換推導出風險中立的黃金價格動態。在決 定不同跳躍風險假設下的動態過程，我們利用最小平方蒙地卡羅模擬近似美式黃 金選擇權的價值。在本計畫中，我們檢視服從幾何布朗運動、跳躍擴散與馬可夫 狀態轉換跳躍擴散等隨機過程的美式黃金選擇權在利用最小平方蒙地卡羅模擬 下的樣本內與樣本外定價績效。數值結果顯示無論在 Merton 測度或 Esscher 測度 轉換下得到的風險中立黃金價格動態，馬可夫狀態轉換跳躍擴散模型均優於幾何 布朗運動與跳躍擴散模型的定價表現。我們發現隱含在馬可夫狀態轉換跳躍擴散 模型中的跳躍風險對於選擇權價格有相當顯著的影響。
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國科會補助計畫衍生研發成果推廣資料表
日期:2013/08/13國科會補助計畫
計畫名稱: 馬可夫跳躍過程下美式選擇權之評價：黃金之實證分析 計畫主持人: 廖四郎 計畫編號: 101-2410-H-004-060- 學門領域: 財務無研發成果推廣資料
101 年度專題研究計畫研究成果彙整表
計畫主持人：廖四郎 計畫編號： 101-2410-H-004-060-計畫名稱：馬可夫跳躍過程下美式選擇權之評價：黃金之實證分析 量化 成果項目 實際已達成 數（被接受 或已發表） 預期總達成 數(含實際已 達成數) 本計畫實 際貢獻百 分比 單位 備 註 （ 質 化 說 明：如 數 個 計 畫 共 同 成 果、成 果 列 為 該 期 刊 之 封 面 故 事 ... 等） 期刊論文 0 0 100% 研究報告/技術報告 0 0 100% 研討會論文 0 0 100% 篇 論文著作 專書 0 0 100% 申請中件數 0 0 100% 專利 已獲得件數 0 0 100% 件 件數 0 0 100% 件 技術移轉 權利金 0 0 100% 千元 碩士生 0 0 100% 博士生 3 3 100% 博士後研究員 0 0 100% 國內 參與計畫人力 （本國籍） 專任助理 0 0 100% 人次 期刊論文 0 0 100% 研究報告/技術報告 0 0 100% 研討會論文 0 0 100% 篇 論文著作 專書 0 0 100% 章/本 申請中件數 0 0 100% 專利 已獲得件數 0 0 100% 件 件數 0 0 100% 件 技術移轉 權利金 0 0 100% 千元 碩士生 0 0 100% 博士生 0 0 100% 博士後研究員 0 0 100% 國外 參與計畫人力 （外國籍） 專任助理 0 0 100% 人次其他成果
