2-2

(1)

Ch2-2 多項式的運算與應用

主題1 多項式四則運算

1.加減法：同次項對應項相加減。次數滿足deg(f(x)g(x)) (deg f(x)與degg(x)之較大者）。 2.乘法：以分配律各單項相乘，同次整理合併。其次數滿足 ) ( deg ) ( deg )) ( ) ( deg(f x g x  f x  g x 。 3.k 0，若 f(x)為x 的多項式，則deg(f(xk) f(x))n_deg(f(x) n1。 ※ f(x)：

n

次多項式，n1, 0，deg(f(x) f(x))n1 4.除法：設 f (x)、g(x)為二多項式且g(x)不是零多項式，則恰有二多項式q(x)【商式】及 ) (x r 【餘式】滿足： f(x) g(x)q(x)r(x)，其中r(x) 0或　degr(x)degg(x)，除法較常用的方法為長除法和綜合除法。 ※利用分離係數和直式運算乘法。 ※先將多項式依降冪排列，缺項補 0，計算時同次項對齊。 5.除法原理： f(x) g(x)Q(x)r(x)，0deg(r(x))deg(g(x))。 6.綜合除法： (1)設以x a 除多項式 ( ) 1 1 1 0 n n n n f x a x a x_    a x a ﹐其綜合除法的演算方式如下： 1 1 0 2 1 1 1 n n n n n a a a a aa ab ab a a b b r                 （箭頭表示書寫的順序）其中商式為 1 1 2 1 n n n n a x  b x_    b ，餘式為r (2)設以ax b 除多項式 ( ) 1 1 1 0 n n n n f x a x a x_    a x a ﹐其綜合除法的演算方式如下： 1 1 0 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n a a a a b b b b a b b a a a a a a b b r a b b a a a                      （箭頭表示書寫的順序）其中商式為an _xn 1 bn 1_xn 2 b1 a a a  _   _{ }  ，餘式為r﹒

(2)

7.多項式相等： (1).設兩多項式 1 1 1 0 ( ) n n n n f x a x a x_    a x a 及 ( ) 1 1 1 0 m m m m g x b x b x_    b x b 相等，則： ①deg ( ) deg ( )f x  g x _﹒ ②an bm, an1bm1, , a1b1且a0 b0﹒ (2).設deg ( )f x n且deg ( )g x n﹐若有n1個以上的相異數使得 f x( )g x( )﹐則 f x( )恆等於g x( ) 8.設 f(x)anxn an1xn1 ...a1xa0，則 (1)常數項a_  f(0)。 (2)係數和=aa1a2...an  f(1)。 (3)偶次項係數和= 2 ) 1 ( ) 1 (  f  f ，奇次項係數和= 2 ) 1 ( ) 1 (  f  f 。 (4) ( ( ) ( )) Im( ()) 2 1 7 5 3 1 a a a _i f i f i f i a    _    。 (5) ( ( ) ( )) Re( ()) 2 1 6 4 2 0 a a a _i f i f i f i a    _    。

(3)

※重要範例

1.設多項式 f (x)，g (x)的次數各為 m，n，即 deg f (x)  m，deg g (x)  n，m，n 為非負的整數， 則(A) deg[f (x)  g (x)]  m 或 n　(B) deg[f (x)．g (x)]  m  n　(C) deg f (g (x))  mn　(D) deg[f (x)  g (x)]  m 或 n　(E) f (x)除以 g (x)的商為 m  n 次多項式。 【解答】(B)(C) (A)(D) deg[f (x)  g (x)]  不一定，情形如下 (1) m  n (2)











n

m

n

m

，

 max{m，n}，m  n  2 | |m n n m   ，m  n (B) deg[f (x)．g (x)]  deg f (x)  deg g (x)  m  n

(C) deg f (g (x))  mn (E)當 m  n 時，f (x)除以 g (x)的商為(m  n)次 當m  n 時，f (x)除以 g (x)的商為 0（無次數可言） 2.設 f (x)  (x5_{ 2x}4_{ x}3_{ 2x}2_{ 3x  2)．(3x}6_{ 2x}5_{ x}4_{ x}3_{ 2x}2_{ 3x  1)，則 f (x)的} (A) x7_{係數為  2　(B) x}9_係數為_{2　(C)各項係數和為  13　(D)各奇次項係數和為  9　(E)領} 導係數為3。【解答】(A)(B)(C)(D)(E) (A) x7_係數為_{2  2  1  4  9   2} (B) x9_係數為_{1  4  3  2} (C) f (x)的各項係數和為  f (1)  ( 1)．13   13 (D) f (x)的各奇次項係數和為 2 ) 1 ( ) 1 (  f  f  2 ) 5 ( ) 13 (    9 (E) f (x)的領導係數  3x11_{的係數  3} 3.若多項式 x3_{ 4x}2_{ 5 x  3 除以 f (x)之商式為 x  2，餘式為 2x 1，則 f (x) 　　　　　。} 【解答】x2_{ 2x 1} 由除法定理知x3_{ 4x}2_{ 5x  3  f (x)(x + 2)  2x 1　∴　f (x)(x  2)  x}3_{ 4x}2_{ 3x  2} 除以x  2 得 f (x)  (x3_{ 4x}2_{ 3x  2)  (x  2)  x}2_{ 2x 1} 隨堂練習.設 x3_{ 4x}2_{ 5x  3 除以 f (x)之商式為 x  2，餘式為 2x  1，則 f (x) 　　　　　。} 【解答】x2_{ 2x  1} ∵　x3_{ 4x}2_{ 5x  3  (x  2) f (x)  2x  1} ∴　(x  2) f (x)  x3_{ 4x}2_{ 3x  2　∴　f (x) }x34x2 3x2_{ x}2_{ 2x  1}

(4)

4.若 x3_{ 3x}2_{ mx  2 可被 x}2_{ nx  1 整除，則(m,n)  　　　　　。} 【解答】(3,1) 【詳解】 ∵　整除　∴　 1 3n  n m 1  1 2 ；則



















1

2

1

2

1

3 n

m

n

得









1

3 n

m

，故數對(m，n)  (3,1) 隨堂練習..f (x)  2x3_{ 5x}2_{ 8x  a，g (x)  x}2_{ 4x  b，已知 f (x)是 g (x)的倍式，則 a } ，b 　　　　　。【解答】6；2 【詳解】f (x)  2x3_{ 5x}2_{ 8x  a 是 g (x)  x}2_{ 4x  b 的倍式，即 g (x)整除 f (x)，用綜合除法} 餘式為0，故 4  2b  0，a  3b  0 得 b  2，a  6 隨堂練習.若 b   2 且 x4_{ 2x}3_{ 7x}2_{ ax  10 可被 x}2_{ 2x  b 整除，則 a  b 　　　　　。} 【解答】 1















0

7

10

0

14

2

b

a

　　(a，b)  (4，5)，(10， 2)（不合） ∴　a  b  4  5   1

(5)

5.若₂_x3__ax_₁₀_除以_x2_₃_{x b}_ _的商為_{2x c}_ _餘式₃_x_₂_﹐求_{( , , )}_{a b c} _{____________}_﹒ 【解答】( 11, 2, 6) 2 6 1 3 2 0 10 2 6 2 6 ( 2 ) 10 6 18 6 ( 2 18) (10 6 ) b a b a b b a b b                  商為2x6﹐餘式(a2b18)x(10 6 ) b ∴ 6 2 18 3 10 6 2 c a b b              11 a  _﹐b2 6.設多項式 f (x)除以 2x  3 的商為 Q (x)，餘式為 r，則 (A) f (x)除以 x  2 3 的商為2Q (x)，餘式為 r　(B) f (x)除以 5(2x  3)的商為 5 ) (x Q ，餘式為r　 (C) xf (x)除以 2x  3 的商為 xQ (x)，餘式為 r　(D) f ( 2 x )除以 x  3 的商為 Q ( 2 x )，餘式為 r (E) f (3x)除以 2x  1 的商為 3Q (3x)，餘式為 r。【解答】(A)(B)(D)(E) 【詳解】由f (x)  (2x  3)．Q (x)  r (A) f (x)  (x  2 3 )．2Q (x)  r　∴　f (x)除以 x  2 3 之商為2Q (x)，餘式為 r (B) f (x)  5(2x  3)． 5 ) (x Q  r ∴　f (x)除以 5(2x  3)之商為 5 ) (x Q ，餘式為r　 (C) xf (x)  x(2x  3) Q (x)  rx  x(2x  3) Q (x)  2 r (2x  3)  2 3r ∴　xf (x)除以 2x  3 之商為 xQ (x)  2 r ，餘式為 2 3r (D) f ( 2 x )  (x  3) Q ( 2 x )  r　∴　f ( 2 x )除以 x  3 之商為 Q ( 2 x )，餘式為 r (E) f (3x)  (6x  3) Q (3x)  r　∴　f (3x)除以 2x  1 之商為 3Q (3x)，餘式為 r

(6)

隨堂練習.設多項式 f (x)被 ax  b（a  0）除之商為 q(x)，餘式為 r，下列何者為真？ (A)以 x  a b 除f (x)之餘式為 ar　(B) f (bx)被 ax  1 除之餘式為 r　(C) f (bx)被 ax  1 除之商為 bq(x)　(D) a f (x)被 x  a b 除之餘式為ar　(E) x f (x)被 x  a b 除之餘式為 a br 。【解答】(B)(D)(E) 【詳解】由已知f (x)  (ax  b) q(x)  r (A) f (x)  (x  a b )．aq(x)  r，商為 aq(x)，餘式 r (B) f (bx)  (abx  b)q(bx)  r  (ax  1)．bq(bx)  r，商為 bq(bx)，餘式 r (C)商為 bq(bx)，非 bq(x) (D) a f (x)  (ax  b) aq(x)  ar  (x  a b ) a2_q(x)_{ ar，商為 a}2_{q(x)，餘式 ar} (E) x f (x)  (ax  b)．xq(x)  rx  (x  a b )．axq(x)  r (x  a b )  a br  (x  a b )[axq(x)  r]  a br 商為ax q(x)  r，餘式 a br 隨堂練習.設多項式 f (x)，以 ax  b 除之得商 q(x)，餘式為 r（a  0），試求以 ax  b 除 x2_f (x)的商及餘式。【解答】商 x2_{q(x) } a r x  ₂ a br ，餘式 ₂ 2 a r b 【詳解】已知 f (x)  (ax  b) q(x)  r，則 x2_{f (x)  (ax  b)．x}2_q(x)_{ rx}2 又x2_{ (ax  b)(} _x a 1  ₂ a b )  ₂2 a b ∴　x2_{f (x)  (ax  b) x}2_q(x)_{ (ax  b)(} _x a r  ₂ a br )  2₂ a r b  (ax  b) [x2_q(x)_ _x a r  ₂ a br ]  2₂ a r b 故x2_{f (x)除以 ax  b 的商為 x}2_{q(x) } a r x  ₂ a br ，餘式 ₂ 2 a r b 7.設 f (x)  x5_{ 7x}4_{ 58x}3_{ 16x}2_{ 460x  200，則 f (12)  　　　　　。}

(7)

【解答】40 f (x)  x5_{ 7x}4_{ 58x}3_{ 16x}2_{ 460x  200} 以x 12 除 f (x)的餘式即為 f (12)，用綜合除法得 故f (12)  40 8.設 f (x)  351x5_{ 692x}4_{ 23x}3_{ 9x}2_{ 36x  50，則 f (2)  　　　　　。} 【解答】 10 由上綜合除法可知：餘式r  f (2)   10 隨堂練習.多項式 f (x)  2x5_{ 13x}4_{ 9x}3_{ 11x}2_{ 15x  17 除以 x  7 之餘式　　　　　。} 【解答】 59 由綜合除法由餘式定理知f (x)除以 x  7 之餘式為 f (7)   59 隨堂練習.75_{ 6  7}4_{ 4  7}3_{ 26  7}2_{ 33  7  21 　　　　　。} 【解答】7 令f (x)  x5_{ 6x}4_{ 4x}3_{ 26x}2_{ 33x  21，所求  f (7)} 由綜合除法 ∴　所求  f (7)  7

(8)

9.下式是小明利用綜合除法計算三次多項式 f (x)除以 x  1 的算式﹐因不小心將飲料翻倒在計 算紙上﹐所以只能辨識部分數字：（無法辨識的數字以英文字母代替）若小明沒有計算錯誤﹐求a + b + c + d 的值為____________﹒ 1 ) 5 3 8 a b c d e f g h          【解答】 8 a = g﹐g  1 = 5 ∴ g = 5﹐b + 5 = 3 ∴ b =  2﹐3  1 = e ∴ e = 3 又c + e = h ∴ c + 3 = h﹐h  1 = f﹐d + f =  8 　a + b + c + d = 5 + (  2) + (h  3) + (  8  f) = 5 + (  2) + (f  3) + (  8  f) =  8 隨堂練習.（　　　）使用綜合除法計算 f (x) = ax4_{+ 3x}3_{+ 5x}2_{+ bx + 6 除以} 1 2 x 的過程如下﹕ 1 3 5 6 2 1 2 2 4 6 a b d e c f              則下列敘述何者正確﹖　(1) a + b > 0　(2)c  d + e 為偶數　(3) f (x)除以 x +1 2的餘式為3　 (4) f (x)除以 2x + 1 的餘式為 9　(5) f (x)除以 2x + 1 的商式為 2x3_{+ 2x}2_{+ 4x  6} 【解答】24 a = 2﹐c = 3 + (  1) = 2﹐d = 2  ( 1 2) =  1﹐b + (  2) =  6 ∴ b =  4﹐e =  6  ( 1 2) = 3﹐f = 6 + e = 6 + 3 = 9 (1)╳；a + b = 2 + (  4) =  2 < 0 (2)○；c  d + e = 2  (  1) + 3 = 6 為偶數 (3)╳；餘式 = f = 9 (4)○；餘式 = f = 9 (5)╳；商式 =1 2(2x 3_{+ cx}2_{+ 4x  6) =}1 2 (2x 3_{+ 2x}2_{+ 4x  6) = x}3_{+ x}2_{+ 2x  3}

(9)

10.設 f (x)  x4_{ 8x}3_{ 25x}2_{ 30x  8  a(x  2)} 4_{ b(x  2)} 3_{ c(x  2)} 2_{ d(x  2)  e，則} (1) a  b  c  d  e 之值為　　　　　。 (2) f (1.99)的近似值為　　　　　。（至小數點以下第二位，第三位四捨五入） 【解答】(1) 8　(2)  0.06 (1) 　a  1，b  0，c  1，d  6，e  0 ∴　a  b  c  d  e  8 (2) f (1.99)  1．(1.99  2) 4_{ 0．(1.99  2)} 3_{ 1．(1.99  2)} 2_{ 6．(1.99  2)  0}  ( 0.01) 4_{ ( 0.01)} 2_{ 6 ( 0.01)  0.06} 11.設 g(x)  16x4_{ 8x}3_{ 28x}2_{ 16x  5  a(2x  1)}4_{ b(2x  1)}3_{ c(2x  1)}2_{ d(2x  1)  e，則} (1)序組(a，b，c，d，e)  　　　　　。 (2) g(0.499)  　　　　　。（求近似值到小數第三位，第四位四捨五入） 【解答】(1) (1，3， 4， 5，6)　(2) 6.010 (1) 得序組(a，b，c，d，e)  (1，3， 4， 5，6) (2)由(1)，g(x)  (2x  1)4_{ 3(2x  1)}3_{ 4(2x  1)}2_{ 5(2x  1)  6} 則g(0.499)  6  5  (  0.002)  4(  0.002)2_{ …  6.009984… 6.010}

(10)

12.若 f (x)  27x4_{ 9x}3_{ 18x}2_{ 17x } 3 4  a(3x  1)4_{ b(3x  1)}3_{ c(3x  1)}2_{ d(3x  1)  e﹐} (1)求 a﹐b﹐c﹐d﹐e 之值﹒ (2)求 f (0.333)之值﹒（四捨五入至小數點以下第三位） 【解答】(1) a  3 1 ﹐b  1﹐c   1﹐d  2﹐e  5;(2) f (0.333)≒4.998 (1) 由上可知﹐a  3 1 ﹐b  1﹐c   1﹐d  2﹐e  5 (2)由(1)　　f (x)  5  2(3x  1)  (3x  1)2_{ (3x  1)}3_ 3 1 (3x  1)4 則 f (0.333)  5  2  (  0.001)  (  0.001)2_{ …≒4.998}

(11)

13.（　　　）設 a﹐b﹐c 為相異三個實數且 f (x) (₍x_c_a_a)(₎₍_cx__bb₎)₍(_ax__bb)(₎₍_ax__cc₎) ) )( ( ) )( ( a b c b a x c x     ﹐則 (1) f (a)  1　(2) f (b)  1　(3) f (c)  1　(4) f (2000)  1　 (5) f (1)  f (2)  f (3)  …  f (10)  55 【解答】 1234 ∵　f (x)為二次形式﹐而 f (a)  1﹐f (b)  1﹐f (c)  1 ∴　f (x)  1　∴　f (2000)  1 而f (1)  f (2)  f (3)  …  f (10)      個 10 1 1 1 1    _{ 10} 14.設 k 為實數﹐若多項式 f (x)有下列性質﹕f (x + k) = f (x) + 2k﹐f (1) = 5﹐則 f (x) = ___________﹒ 【解答】 2x + 3 ∵ f (x + k)  f (x) = 2k 為零次多項式 ∴ deg f (x) = 1﹐令 f (x) = ax + b 　f (x + k) = a (x + k) + b = ax + ak + b ∴ f (x + k)  f (x) = (ax + ak + b)  (ax + b) = 2k ∴ ak = 2k　　a = 2﹐又 f (1) = 5 ∴ 2  1 + b = 5 ∴ b = 3 即f (x) = 2x + 3 15.x 的多項式 f (x)滿足 f (x  1)  f (x)  2x  3 且 f (0)  2，則最低次的 f (x) 　　　　　。 【解答】x2_{ 4x  2} 已知f (x  1)  f (x)  2x  3，知 f (x)最低次數為二次 令f (x)  ax2_{ bx  c，f (0)  2　　c  2} 又f (x  1)  a (x  1)2_{ b (x  1)  2  ax}2_{ (2a + b) x  a  b + 2，f (x)  ax}2_{ bx  2} ∴　f (x  1)  f (x)  2ax  a  b  2x  3 比較係數，得2a  2，a  b   3　∴　a  1，b   4 故f (x)  x2_{ 4x  2}

(12)

主題2：餘式定理 1.餘式定理：多項式 f (x)除以

x





之餘式為 f()，推論：多項式 f(x)除以axb之餘式 ) ( a b f 。 2.餘式的假設法：已知被除式為 f x( )﹐則： (1)若除式為x a ，則 f x( ) ( x a Q x ) ( ) f a( )﹒ (2)若除式為(x a x b )(  )﹐則 f x( ) ( x a x b Q x )(  ) ( )mx n 或 f x( ) ( x a x b Q x )(  ) ( )k x a(  ) f a( ) (3) 除式為_xn_1_型

(13)

※重要範例 1.設二多項式 f (x)，g (x)其次數均大於 2，已知 f (x)與 g (x)除以 x2_{ x 1 之餘式分別為 2x  1} 與x  3，則： (1) f (x)  g (x)除以 x2_{ x 1 之餘式為　　　　　。} (2) 2f (x)  3g (x)除以 x2_{ x 1 之餘式為　　　　　。} (3) f (x)．g (x)除以 x2_{ x 1 之餘式為　　　　。} 【解答】(1) 3x  2　(2) x  11　(3)  3x  1 由除法定理，令f (x)  (x2_{ x 1) q} 1(x)  2x  1，g (x)  (x2 x 1) q2(x)  x  3 (1) f (x)  g (x)  (x2_{ x 1)[ q} 1(x)  q2(x)]  3x  2 ∴　f (x)  g (x)除以 x2_{ x 1 的餘式為 3x  2} (2) 2f (x)  3g (x)  [ 2(x2_{ x 1) q} 1(x)  4x  2]  [ 3(x2 x 1) q2(x)  3x  9]  (x2_{ x 1) [ 2q} 1(x)  3q2(x) ]  x  11 ∴　2f (x)  3g (x)除以 x2_{ x 1 的餘式為 x  11} (3) f (x) g (x)  [(x2_{ x 1) q} 1(x)  2x  1] [(x2 x 1) q2(x)  x  3]  (x2_{ x 1)}2_q 1(x) q2(x)  (x2 x 1)(x  3) q1(x)  (x2 x 1)(2x  1) q2(x)  (2x  1)(x  3)  (x2_{ x 1) Q(x)  (2x  1)(x  3)  (x}2_{ x 1) Q(x)  2(x}2_{ x 1)  3x  1}  (x2_{ x 1) [Q(x)  2 ]  3x  1} ∴　f (x) g (x)除以 x2_{ x 1 的餘式為 3x  1} 【說明】 f (x) g (x)除以 x2_{ x 1 的餘式，即 f (x)及 g (x)除以 x}2_{ x 1 之餘式 2x  1 與 x  3 之乘積除以} x2_{ x 1 的餘式} 2.(x  1)h(x)被 x2_{ x  1 除的餘式為 6x  3﹐則多項式 h(x)被 x}2_{ x  1 除的餘式為__________} __﹒ 【解答】 3x 設h(x)  (x2_{ x  1)q(x)  ax  b} (x  1)h(x)  (x  1)(x2_{ x  1)q(x)  (x  1)(ax  b)}  (x2_{ x  1)(x  1)q(x)  [ax}2_{ (b  a)x  b]}  (x2_{ x  1)(x  1)q(x)  [a(x}2_{ x  1)  (b  2a)x  (  a  b)]}  (x2_{ x  1)[(x  1)q(x)  a]  (b  2a)x  (  a  b)} 　(b  2a)x  (  a  b)  6x  3　∴　















3

6

2 b

a

b

得













0

3 b

a

故餘式r(x)  ax  b   3x

(14)

















16

2 )2

(

9 )1(

b

a

f

b

a

f

　　









2

7 b

a

　∴　餘式  7x  2

(15)

4.設多項式 f (x)除以 x  1，x2_{ 2x  3 之餘式依次為 2，4x  6，則 f (x)除以(x  1)(x}2_{ 2x  3)} 的餘式為　　　　　。【解答】 4x2_{ 12x  6} f (x)  (x  1)(x2_{ 2x  3) h(x)  a(x}2_{ 2x  3)  4x  6} f (1)  2a + 10  2　　a   4 ∴　餘式為  4x2_{ 12x  6} 隨堂練習.設多項式 f (x)除以(x  1)(x  2)(x  3)之餘式為 2x2_{ x  7，則} (A) f (x)除以 x  1 的餘式為 4　(B) f (x)除以 x  2 的餘式為 3　(C) f (x)除以 x  3 的餘式為 14 (D) f (x)除以(x  1)(x  2)的餘式為 7x  11　(E) f (x)除以(x  2)(x  3)的餘式為 11x  19 【解答】(B)(C)(D) 設f (x)  (x  1)(x  2)(x  3) Q(x)  2x2_{ x  7} (A) f (x)除以 x  1 的餘式  x  1 除 2x2_{ x  7 之餘式   4} (B) f (x)除以 x  2 的餘式  x  2 除 2x2_{ x  7 之餘式  3} (C) f (x)除以 x  3 的餘式  x  3 除 2x2_{ x  7 之餘式  14} (D) f (x)除以(x  1)(x  2)的餘式  (x  1)(x  2)除 2x2_{ x  7 之餘式  7x  11} (E) f (x)除以(x  2)(x  3)的餘式  (x  2)(x  3)除 2x2_{ x  7 之餘式  11x  19} 隨堂練習.設 deg f (x)  4，f (x)除以(x  1)2_餘式為_{3x  2，除以(x  2)}2_餘式為_{5x  3，則} (A) x  1 除 f (x)餘式為 5　(B) x  2 除 f (x)餘式為  13　(C) (x  1) (x  2)除 f (x)餘式為 6x  1 (D) (x  1)2_{(x  2)除 f (x)餘式為  x}2_{ 5x  1　(E) (x  1)}2_{(x  2)} 2_除_{f (x)餘式為}_{ x}2_{ 5x  1} 【解答】(A)(B)(C)(D) 1 ∵　(x  1)2_除_{f (x)餘式為 3x}_{ 2　∴　x  1 除 f (x)餘式為 5} 又(x  2)2_除_{f (x)餘式為 5x}_{ 3　∴　x  2 除 f (x)餘式為 13} 2 設 f (x)  g (x)(x  1)(x  2)  ax  b ∵　f (1)  5，f ( 2)   13　∴　a  6，b   1 ∴　(x  1)(x  2)除 f (x)餘式為 6x  1 3 設 f (x)  Q (x)(x  1)2_{(x  2) }__{(x  1)}2_{ (3x  2)} ∵　f ( 2)   13　∴　 1 ∴　(x  1)2_{(x  2)除 f (x)餘式為  (x  1)} 2_{ (3x  2)   x}2_{ 5x 1} 4 設 f (x)  h (x)(x  1)2_{(x  2)} 2_{ (mx  n)(x  1)} 2_{ (3x  2)} 又f (x)  h (x)(x  1)2_{(x  2)} 2_{ (mx  t)(x  2)} 2_{ (5x  3)} ∴　(mx  n)(x  1) 2_{ (3x  2)  (mx  t)(x  2)} 2_{ (5x  3)} 令x  1，9(m  t)  2  5；令 x   2，9( 2m  n)  4   13； 令x  0，n  2  4t  3 ∴　 m t  3 1 ∴　t 7 ，m   4 ，n  17

(16)

5.設 f (x)除以(x  1)2_的餘式是_x_{ 2，除以(x  2)}2_的餘式是_{3x  4，則 f (x)除以(x  1)(x  2)}2 的餘式是　　　　　。【解答】 4x2_{ 19x  12} 已知





















4

3 )

(

)2

(

)

(

2 )

(

)1

(

)

(

2 2 1 2

x

q

x

f

x

q

x

f

　　f (1)  3 設f (x)  (x  1)(x  2)2_Q(x)_{ [a (x  2)}2_{ 3x  4]} 令x  1 代入　　f (1)  a  (3  4)  3 得 a   4 故餘式為  4(x  2)2_{ 3x  4   4x}2_{ 19x  12} 6.（　　　）設 a﹐b Î R﹐若多項式 f (x)  (x  6)30_{ ax  b 有 x  5 與 x  7 兩個因式﹐則} (1) a  0　(2) b  1　(3) x  6 除 f (x)之餘式為  1　(4) x  4 除 f (x)之餘式為 1027　(5) x  8 除f (x)之餘式為 f (4) 【解答】1235 f (x)有 x  5﹐x  7 兩個因式 ∴　f (5)  0﹐f (7)  0

∴　5a  b  1  0﹐7a  b  1  0　∴　a  0﹐b   1 x  6 除 f (x)餘式為 f (6)  6a  b   1 x  4 除 f (x)餘式為 f (4)  230_{ 4a  b  2}30_{ 1  1027} x  8 除 f (x)餘式為 f (8)  230_{ 8a  b  2}30_{ 1  f (4)} 7.求以(x  1)2_除_x12_的餘式。【解答】 12x  11 設x12_{ (x  1)}2_{q(x)  a(x  1)  b} x   1 代入得，1  b　∴　x12_{ 1  (x  1)}2_{q(x)  a(x  1)} 再除以x  1 得 x11_{ x}10_{ x}9_{ x}8_{ x}7_{ x}6_{ x}5_{ x}4_{ x}3_{ x}2_{ x  1  (x  1) q(x)  a} x  1 代入，得 a   12 故所求餘式為  12(x  1)  1   12x  11 隨堂練習.求以 x8_{ x}4_{ 1 除 x}12_{ 99 的餘式。} 【解答】100 【詳解】令x8_{ x}4_{ 1  0，則 x}8_{  x}4_{ 1} x12_{ 99  x}8_．_x4_{ 99  ( x}4_1)．x4_{ 99   x}8_{ x}4_{+ 99  (x}4_{ 1)  x}4_{ 99  100}

(17)

隨堂練習.求 f (x)  x88_{ x}27_{ 2x}10_{ 3x}5_{ x 除以 x}3_{ 2x}2_{ 2x  1 的餘式。} 【解答】 x2_{ 2x  3} x3_{ 2x}2_{ 2x  1  (x}3_{1)  2x (x  1)  (x  1)(x}2_{ x  1)} 1 f (x)  x88_{ x}27_{ 2x}10_{ 3x}5_{ x 除以 x  1 的餘式為 f ( 1)  0} 2 (x  1)(x2_{ x  1)  x}3_{ 1} f (x)  (x3₎29_．_x_{ (x}3₎ 9_{ 2(x}3₎3_．_x_{ 3x}3_．_x2_{ x 除以 x}3_{1 的餘式為} x  1  2x  3x2_{ x   3x}2_{ 1（以 x}3_{1 代入 f (x)）} ∴　f (x)  (x  1)(x2_{ x  1) g (x)  3x}2_{ 1}  (x2_{ x  1) [(x  1) g (x)]  3(x}2_{ x  1)  3x  4} 被x2_{ x  1 除的餘式為 3x  4} 3 令 f (x)  (x3_{ 2x}2_{ 2x  1) Q (x)  ax}2_{ bx  c}  (x  1)(x2_{ x  1) Q (x)  a (x}2_{ x  1)  3x  4} 由1，f (1)  0　　f (1)  a  3  4  0　　a  1 故所求餘式為  (x2_{ x  1)  3x  4   x}2_{ 2x  3} 8.多項式 f (x)  x2000_{ 3x}90_{ 5x}18_{ 7 除以 x}3_{ 1 之餘式為　　　　　。【解答】x}2_{ 5} 1.考慮 f (x)  Q (x)(x3_{ 1)  r (x)} 令x3_{ 1  0，即令 x}3_{ 1，可由 f (x)求得餘式 r (x)} 2.∵　f (x)  (x3₎ 666_x2_{ 3(x}3₎ 30_{ 5(x}3₎ 6_{ 7} ∴　f (x)除以 x3_{ 1 之餘式為 1} 666_x2_{ 3(1)} 30_{ 5(1)} 6_{ 7  x}2_{ 5} 隨堂練習.求以 132_{ 13  1 除 13}10_{ 13}4_{ 1 的餘數。【解答】27} 【詳解】先求以x2_{ x  1 除 x}10_{ x}4_{ 1 的餘式} 因x10_{ x}4_{ 1  (x}3_{1) g (x)  2x  1（x}3_{ 1 代入左式得 2x  1，即餘式）}  (x2_{ x  1)[(x  1) g (x)]  2x  1} ∴　x10_{ x}4_{ 1 除以 x}2_{ x  1 的餘式為 2x  1} 令x  13，得 1310_{ 13}4_{ 1 除以 13}2_{ 13  1 的餘數為 2  13  1  27} 隨堂練習.設 f (x)  (x  1)n_(x2_{ ax  b)除以(x  1)}2_的餘式為₂n_{(x  1)，求 a，b 之值。} 【解答】a   1，b  0 【詳解】令(x  1)n_(x2_{ ax  b)  (x  1)}2_{Q (x)  2}n_{(x  1)} 右端被x  1 整除　　左端被 x  1 整除　　x  1 | x2_{ ax  b} ∴　1  a  b  0…… 且 x2_{ ax  b  (x  1)( x  a  1)} 原式(x  1)n_{(x  1)(x  a  1)  (x  1)}2_{Q (x)  2}n_{(x  1)} 　(x  1)n_{(x  a  1)  (x  1) Q (x)  2}n x  1 代入，2n_{(a  2)  2}n_{　a  2  1　　a   1 代入得 b  0}

(18)

9.設 a，b，c 為相異三個實數且 f (x) (₍x_c_a_a)(₎₍_cx__bb₎)₍(_ax_b_b₎₍)(_ax__cc)₎ (₍_bx__cc)(₎₍_bx__aa₎)，則(A) f (a)  1　(B) f (b)  1　(C) f (c)  1　(D) f (2000)  1　 (E) f (1)  f (2)  f (3)  …  f (10)  55。 【解答】(A)(B)(C)(D) ∵　f (x)為二次形式，而 f (a)  1，f (b)  1，f (c)  1 ∴　f (x)  1　∴　f (2000)  1 而f (1)  f (2)  f (3)  …  f (10)      個 10 1 1 1 1    _{ 10} 隨堂練習.設多項式 f (x)  (a  2)x2_{ (b  3)x  c 且 f (1)  f (} ₂_{)  f (} ₃_{)  1，則 a  b  c} 之值為　　　　　。【解答】0 ∵　f (1)  f ( 2)  f ( 3)  1，且 deg f (x)  2

∴　f (x)  1　　a  2  0，b  3  0，c  1　　a  2，b   3，c  1　　a  b  c  0

10.（　　　）不論 x 為任何實數值﹐ 1 2 3 2 2     x x b ax x 之值恆為一定數k﹐則 (1) k 1₃　(2) a  3 1 　(3) b  3 2 　(4) b  3　(5) a  b  1 【解答】15 【解1】 1 2 3 2 2     x x b ax x  k 恆成立　　x2_{ ax  b  k (3x}2_{ 2x + 1)  3kx}2_{ 2kx  k} 比較係數得1  3k﹐a  2k﹐b  k　∴　k ₃1 ﹐a  ₃2 ﹐b ₃1 【解2】k 為常數﹐即分子可被分母整除﹐故分子與分母的係數成比例 ∴　k  3 1  2 a  1 b 　∴　k  3 1 ﹐a  ₃2 ﹐b 1₃

(19)

11.若對任何實數 x﹐ 2 2 2 ( 1) 3 3 2 x a x b x x a      恆為定值﹐求a 及 b a的值（a﹐ b 為常數）﹒ 【解答】a  3 7 ； a b  9 2 【解1】對任意 x﹐ 2 2 2 ( 1) 3 3 2 x a x b x x a      恆為定值即分子被分母整除且其商為一常數﹐此常數必為2 3（領導係數的比值）即分子與分母之各項係數對應成比例﹐2 3 1 2 a 3b a ∴　a 1 4 3　　a  7 3﹐ 2 3 3b a 　　 b a 2 9 【解2】設2 2 ₂( 1) 3 3 2 x a x b x x a       k（定值）﹐則 2x2 (a  1) x  3b  3kx2  2kx  ak 恆成立對應項係數相等﹐2  3k﹐a  1  2k﹐3b  ak　　k 2 3﹐a  7 3﹐ b a3 k 2 9

(20)

主題3：插值多項式 1.因式、倍式：設 f(x),g(x)為兩多項式，且g(x) 0，若存在q(x)使得 f(x) g(x)q(x)，則稱 f(x)為g(x)的倍式，g(x)為 f(x)的因式。 2.因式定理：設a,bÎR_，_a_₀_， f(x)為一多項式，則axb為 f(x)的因式 ( )0 a b f 。 3.牛頓插值法： (1)設 f x( )為一多項式﹐ 為實數﹐若 f( ) 0  ﹐則 f x( ) ( x)q x1( )﹒ (2)設 f x( )為一多項式﹐ ﹐  皆為相異實數﹐若 f( )  f( ) 0  ﹐ 　則 f x( ) ( x) ( x )q x2( )﹒ (3)以此類推﹐若 1, 2, , n皆為相異實數﹐若 f( )1  f( )2  f( ) 0n  ﹐ 　則 f x( ) ( x1)(x2)   (x n) ( )q x 4.拉格朗日（Lagrange）插值多項式：設 f x( )為一多項式﹐ 1, 2, ,  n, n1為n1個相異實數﹐則滿足 f( )1 1, f( )2 2, , f( )n n, f(n1)n1的最低次多項式為 2 3 1 1 3 1 1 2 1 2 1 3 1 1 2 1 2 3 2 1 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) n n n n x x x x x x f x              _       _                   _     _   　　　 1 1 2 1 1 1 2 1 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) n n n n n n x  x  x                       _  ※設 f x( )為一多項式且 f( )1 1, f( )2 2, f( )3 3, f( )4 4 (1) f x( )以(x1)(x2)除之﹐餘式為 2 1 1 2 1 2 2 1 x  x               【證明】(i)存在性：已知12﹐且 f( )1 1, f( )2 2﹐即多項式 f x( )以x1及x2 除之﹐餘式分別為 及1  ﹐若2 f x( )除以(x1)(x2)則可以表示為： 1 2 ( ) ( )( ) ( ) f x  x x q x ax b 得 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) f a b f a b                  j k﹐ 利用k j 得a(21)2 1﹐即 2 1 2 1 a        ，代入①可以得到 2 1 1 2 2 1 b          所以 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 ( ) ( )( ) ( ) f x x  x  q x   x                  　　　　 1 2 1 2 2 1 2 1 ( ) ( ) (x  )(x  ) ( )q x  x   x             　　　　 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 (x  )(x  ) ( )q x  x   x                 當q x( ) 0 時﹐ f x( )有最低次多項式 1 2 2 1 1 2 2 1 x  x               ﹐ 即 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) x x f x                 ﹒

(21)

(ii)唯一性：滿足 f( )1 1, ( )f 2 2的最低次多項式 2 1 1 2 1 2 2 1 ( ) x x f x                 為一次多項式﹐若g x( )為一次多項式且g( )1 1, g( )2 2﹐則令F x( ) f x( )g x( )﹐其中F x( ) 為至多一次的多項式﹐得F( )1  f( )1 g( ) 01  ﹐且F( )2  f( )2 g( ) 02  ∴F x( )為零多項式﹐故 f x( )g x( ) (2) f x( )以(x1)(x2)(x3)除之，餘式為 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) x  x  x  x  x  x                                  ﹒ (3)設    為四個相異實數且1, 2, 3, 4 f( )1 1, f( )2 2, f( )3 3, f( )4 4，則唯一滿足 f x( )條件的最低次多項式 2 3 4 1 3 4 1 2 1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) x x x x x x f x                                     　 3 1 2 4 4 1 2 3 3 1 3 2 3 4 4 1 4 2 4 3 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) x x x x  x  x                                  

(22)

※重要範例 1.若 _{f x}_{( )}__x3__ax2_₂_{x b}_ _能被_x2_{ }_x ₂_{整除﹐試求 a}_{﹐b 之值﹒} 【解答】 ∵_x2_{  }_x _{2 (}_x_₁₎₍_x_₂₎ ∴ f x( )能被_x2_{ }_x ₂_整除﹐則 _{f x}_{( )}_能分別被_x₁_及_x₂_整除 ( 1) 0 1 2 0 (2) 0 8 4 4 0 f a b f a b           _             5 8 a b        隨堂練習.若 _{f x}_{( ) 2}_ _x3__ax2__bx_₂_能被_x2_{ }_x ₂_{整除﹐試求 a}_{﹐b 之值﹒} 【解答∵_x2_{  }_x _{2 (}_x_₂₎₍_x_₁₎ ∴ f x( )能被_x2_{ }_x ₂_整除﹐則 _{f x}_{( )}_能分別被_x₂_及_x₁_整除 ( 2) 0 16 4 2 2 0 (1) 0 2 2 0 f a b f a b             _  _          1 5 a b        2.已知 a，b，c，d 為常數，且 x3_{ 2x  1  ax(x 1)(x  2)  b(x 1)(x  2)  c(x  2)  d，則} (A) a 1　(B) b  2　(C) c  9　(D) d  11　(E) a  b  c  d  20 【解答】(A)(C)(D) 【解1】x3_{ 2x  1  ax(x 1)(x  2)  b(x 1)(x  2)  c(x  2)  d}  a(x3_{ 3x}2_{ 2x)  b(x}2_{ 3x  2)  cx  2c  d}  ax3_{ (  3a  b)x}2_{ (2a  3b  c)x  2b  2c  d} 比較係數a  1， 3a  b  0，2a  3b  c  2，2b  2c  d   1　 ∴　a = 1，b  3a  3，c   2a  3b  2  9，d   2b  2c  1  11 【解2】利用綜合除法，依次除以 x  2，x 1，x 得 d，c，b，a

(23)

隨堂練習.設 x3_{ x  4  a(x 1)(x  2)(x  3)  b(x 1)(x  2)  c(x 1)  d﹐求 a﹐b﹐c﹐d 之} 值﹒ 【解答】a  1﹐b  6﹐c  8﹐d  6 【解1】x3_{ x  4  a(x  1)(x  2)(x  3)  b(x  1)(x  2)  c(x  1)  d} 令x  1﹐6  d；令 x  2﹐8  2  4  c  d　　c  8 令x  3﹐27  3  4  2b  2c  d　　34  2b  16  6　　b  6

令x  1﹐ 1  1  4   24a  6b  2c  d　　 24a  36  16  6  2　　a  1

【解2】利用綜合除法 x3_{ x  4 依次除以 x  1﹐x  2﹐x  3 所得餘式依次為 d﹐c﹐b 及 a（最後的商）} 3.設 deg f (x)  3，f (2)  f (1)  f (4)  3，f (1)   9，則 f (0) 　　　　　。【解答】 13 【詳解】deg f (x)  3，f (2)  f (1)  f (4)  3 則f (x)  3  a (x  2)(x  1)(x  4)，即 f (x)  a (x  2)(x  1)(x  4)  3 x  1 代入　　f (1)  a  (1)  2  ( 3)  3   9　　a   2 得f (x)   2(x  2)(x  1)(x  4)  3 故f (0)   2  ( 2)  1  ( 4)  3   13 隨堂練習.若三次多項式 g (x)的 g ( 1)  g (0)  g (2)  0，g (1)  4，試問 (1) g (x) 　　　　　。 (2)若多項式 h (x)  x4_{ x}2_{ 1，則 3 g(x)  4h (x)被 x  1 除的餘式為　　　　　。} 【解答】(1)  2x (x  1)(x  2)　(2) 8 (1)由 g ( 1)  g (0)  g (2)  0，deg g (x)  3，可設 g (x)  ax(x  1)(x  2) 又g (1)  a  2  (1)  4　　a   2，故 g (x)   2x (x  1)(x  2) (2)令 F (x)  3g (x)  4h (x) 則所求餘式為F (1)  3g (1)  4h(1)  3  4  4  (1  1  1)  12  4  8 4.deg f (x)  2 且 f (1998)  1，f (1999)  2，f (2000)  7，則 f (2002) 　　　　　。 【解答】29

(24)

隨堂練習.已知 f x( )為二次多項式且 f(2005) 1, (2006) 2, (2007) 7 f  f  ，求 f(2010)___ _﹒ 【解答】46 利用拉格朗日插值多項式得 ( 2006)( 2007) ( 2005)( 2007) ( ) 1 2 (2005 2006)(2005 2007) (2006 2005)(2006 2007) x x x x f x             7 ( 2005)( 2006) (2007 2005)(2007 2006) x x     (2010) 4 3 2 5 3 7 5 4 46 ( 1) ( 2) 1 ( 1) 2 1 f                 5.設多項式f x( )_滿足f(2) 3 ﹐ f( 3) 5  ﹐求最低次的多項式 f x( )_﹒ 【解答】 ( ) 2 19 5 5 f x   x 最低次的多項式 f x( )_{就是拉格朗日插值多項式﹐} 3 2 3 2 19 ( ) 3 5 ( 3) ( 2) 2 3 3 2 5 5 5 x x f x        x  x   x    ﹒ 6.設f x( )_{為二次式﹐且}f(1) 12 ﹐ f(2) 13 ﹐ f(3) 10 ﹐試利用插值多項式求 f x( )_﹐並求 (2.02) f _之值﹒ 【解答】 f x( ) 6( x2) (x3) 13(x (1) x3) 5(x (1) x2)﹐ f(2.02) 12.9792 由已知及插值多項式得 12 13 ( ) ( 2)( 3) ( 1)( 3) (1 2)(1 3) (2 1)(2 3) f x  x x  x x     10 ( 1)( 2) (3 1)(3 2) x x      ﹐ 即 f x( ) 6( x2)(x 3) 13(x1)(x 3) 5(x1)(x2)﹐ 因此 f(2.02) 6 0.02 ( 0.98) 13 1.02 ( 0.98) 5 1.02 0.02 12.9792            ﹒ 7.設f x( )_{為一多項式﹐且}f x( )_被x2除﹐餘8﹐被x4除﹐餘6﹐被x2除﹐餘12﹐求 ( ) f x _被(x2)(x4)(x2)除的餘式﹒ 【解答】餘式_{ }₂_x2_₅_x _₆ ( ) f x _被(x2)(x4)(x2)除的餘式就是滿足 f(2) 8 ， f(4) 6， f( 2) 12  的插值多項式，如下： ( 4)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 4) 8 ( 6) ( 12) (2 4)(2 2) (4 2)(4 2) ( 2 2)( 2 4) x x x x x x                1 1 ( 4)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 4) 2 2 x x x x x x           2 1 2 1 2 2 ( 2 8) ( 4) ( 6 8) 2 5 6 2 2 x x x x x x x              _﹐ 故 f x( )_被(x2)(x4)(x2)除的餘式為_₂_x2_₅_x_₆_﹒

(25)

8.設 f (x)為三次多項式﹐且已知 f (0)  1﹐f (1)  9﹐f (2)  8﹐f (3)  4﹐則 f (4) ____________﹒ 【解答】3 【解1】設 f (x)  a(x  1)(x  2)(x  3)  b(x  1)(x  2)  c(x  1)  d 由f (1)  9﹐得 9  d 由f (2)  8﹐得 8  c  d  c  9　　c  1 由f (3)  4﹐得 4  2b  2c  d  2b  2  9　　b  ₂3 由f (0)  1﹐得 1   6a  2b  c  d   6a  3  1  9　　a  1 ∴　f (x)  (x  1)(x  2)(x  3)  2 3 (x  1)(x  2)  (x  1)  9 故 f (4)  3  2  1  2 3  3  2  3  9  3 【解2】 ( ) 1 ( 1)( 2)( 3) 9 ( 0)( 2)( 3) (0 1)(0 2)(0 3) (1 0)(1 2)(1 3) x x x x x x f x                 ( 0)( 1)( 3) ( 0)( 1)( 2) 8 4 (2 0)(2 1)(2 3) (3 0)(3 1)(3 2) x x x x x x           (4 1)(4 2)(4 3) (4 0)(4 2)(4 3) (4) 1 9 (0 1)(0 2)(0 3) (1 0)(1 2)(1 3) f                 (4 0)(4 1)(4 3) (4 0)(4 1)(4 2) 8 4 (2 0)(2 1)(2 3) (3 0)(3 1)(3 2)                   1 36 48 16 3   隨堂練習.設 deg f (x)  3﹐f (123)  5﹐f (124)  6﹐f (125)  25﹐f (126)  44﹐則 f (122)之值為____________﹒ 【解答】40 【解1】設 f (x)  a(x  125)3_{ b(x  125)}2_{ c(x 125)  25} ∵　













44 )

126 (

6 )

124 (

5 )

123 (

f

　　



































44

25

6

25

5

25

2

4

8 c

b

a

c

b

a

c

b

a

　　



























19

10

2

4 c

b

a

c

b

a

c

b

a

∴　b  0﹐a   3﹐c  22　∴　f (x)   3(x  125)3_{ 22(x  125)  25} ∴　f (122)  ( 3)( 27)  22( 3)  25  40 【解2】 ( ) 5 ( 124)( 125)( 126) 6 ( 123)( 125)( 126) (123 124)(123 125)(123 126) (124 123)(124 125)(124 126) x x x x x x f x                 ( 123)( 124)( 126) ( 123)( 124)( 125) 25 x x x 44 x x x    

(26)

9.已知 f x( )為三次多項式函數﹐其圖形如右﹐試求 f x( )？【解答】依圖形可以得知 f( 2)  5, f( 1) 3, (0)  f  1且 f(2) 3 利用拉格朗日插值多項式得 ( 1)( 0)( 2) ( 2)( 0)( 2) ( ) 5 3 ( 2 1)( 2 0)( 2 2) ( 1 2)( 1 0)( 1 2) x x x x x x f x                        ( 2)( 1)( 2) ( 2)( 1)( 0) ( 1) 3 (0 2)(0 1)(0 2) (2 2)(2 1)(2 0) x x x x x x            5 1 ( 1) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)( 1)( 2) 8 x x x x x x 4 x x x           1( 2)( 1) 8 x x x    3 2 3 3 2 3 2 5 1 1 ( 2 ) ( 4 ) ( 4 4) ( 3 2 ) 8 x x x x x 4 x x x 8 x x x             3 2x 6x 1   