2 立體圖形 2

長方體是由 6 個長方形的面所圍成的立體圖形，而且面與面都互相垂直。

在日常生活中，牆面與地面通常是互相垂直的，而金字塔的表面與地面就不互 相垂直。

長方體共有 8 個頂點、12 條稜邊。如果我們把長方體的紙盒展開，可以 發現它共有 6 個面。但並非任意 6 個長方形都能拼成長方體，由展開圖中，我 們發現 6 個面可以分為 3 組，每組都有 2 個完全相同的矩形。

國小時，我們已經學過長方體、三角柱、圓柱、圓錐等立體圖形，這些 圖形在日常生活中也經常可見。在下列的圖片中，你可以找到哪些立體圖形 呢？

圖 2-28

長方體 長方體展開圖

長 寬

高

2 ^{2 立體圖形}

長方體與正方體

1

高

長 寬

下列何者不是長方體的展開圖？

A  B  C  D

對應能力指標 8-s-33、8-s-35

D

下列何者不是正方體的展開圖？

A  B  C  D

正方體是長、寬、高均等長的長方體，它同樣有 8 個頂點、12 條稜邊。

圖 2-29

正方體 正方體展開圖

一個長 10 公尺、寬 12 公尺、高 3.5 公尺的房間，如果要在此房間的所有 牆面及天花板貼上壁紙，求所需壁紙的總面積。

10×12＋12×3.5×2＋10×3.5×2 ＝120＋84＋70

＝274（平方公尺）

1

例

10公尺

12公尺 3.5公尺

在國小時，我們已經學過長方體體積為

「長×寬×高」。若一長方體的長、寬、高分 別為 a、b、c，則長方體的體積為 a×b×c。

因為 a×b 即為長方體的底面積，所以 長方體的體積也可記為「底面積×高」。

若一正方體的邊長為 a，則其體積為 a×a×a＝a³。 ^{圖 2-30}

a c

b

C

有一個長方體的儲油槽，由其內部測得長 15 公尺、寬 10 公尺、高 2 公 尺，若裝滿，可儲存多少公升的油？

儲油槽容積＝15×10×2＝300（立方公尺）＝300000（公升）

有一座長方體的蓄水池，由其內部測得長 25 公尺、寬 15 公尺，若在蓄水 池中注入 675 立方公尺的水，求水深。

2

例

右圖為一階梯形的積木，每一階的長度相同、寬 度相同、增加的高度也相同，求此階梯的體積及 表面積。

將此階梯分成三個長方體，則

階梯體積＝（3×1×3）＋（3×1×2）＋（3×1×1）＝9＋6＋3＝18。 如右圖，

表面積＝（3×1）×3×2＋（3×1）×3×2 ＋（1×1）×6×2

＝48

1

1 3

3

例

如右圖，任相鄰兩面均互相垂直，

求其體積及表面積。

50

50 50

50

50

40 1

1 3

675÷（25×15）＝675÷375＝1.8（公尺）

配合習作基礎題 1

體積為（50×50×40）×4＝400000

表面積為 50×50×8＋50×40×7＋150×40＝40000

日常生活中，經常可以看見各種柱體，例如，三角柱、四角柱等。如果柱 體的側面與底面互相垂直，我們就稱為直角柱；如果側面與底面不垂直，就稱 為斜角柱。

在本教材中，如果沒有特別說明，所指的都是直角柱。

直角柱有兩個全等的多邊形底面和數個矩形的側面。底面為三角形的柱 體，我們稱為三角柱；同樣地，底面為五邊形的柱體，就稱為五角柱。也就是 說，底面為 n 邊形的柱體，就稱為 n 角柱。

由三角柱的展開圖，我們可以發現三角柱是由兩個三角形和三個矩形所形 成的，而五角柱則是由兩個五邊形和五個矩形所形成。下面是一些常見角柱的 展開圖，算算看它們各有幾個頂點、幾條稜邊和幾個面。

圖 2-32

三角柱 三角柱展開圖

2 角柱

圖 2-31

直角柱 斜角柱

對應能力指標 8-s-33、8-s-35

圖 2-33

五角柱 五角柱展開圖

圖 2-34

六角柱 六角柱展開圖

由以上的觀察，我們可以整理如下：

也就是說，

一個底面為 n 邊形的角柱，它有 2n 個頂點、3n 條稜邊和 n＋2 個面。

頂點數 稜邊數 面數

三角柱 6 9 5

五角柱 10 15 7

六角柱 12 18 8

事實上，三角柱、四角柱、五角柱、六角柱等柱體，都可經由切割拼補的 方式轉變為長方體，所以柱體的體積皆為「底面積×高」。

如右圖，有一塊五角柱泡棉，求其體積。

若柱體底面積為 A，高為 h，則其體積為 A•h。

4

例

如右圖，四角柱的上、下底面為相同的 等腰梯形，求此四角柱的體積。

如右圖將四角柱切割後，可重組成兩個長方體。

體積＝10×8×30＋7×8×30 ＝2400＋1680

＝4080 ³⁰

10 8 30 8

7

10

8 30

24

8

15 10

20

底面積＝15×10＋ 1

2 ×15×8 ＝150＋60

＝210

體積＝底面積×柱高

＝210×20

＝4200

若已知三角柱的底面為邊長 10 公分的正三角形，柱高為 20 公分，求此 三角柱的體積及表面積。

正三角形的高垂直平分底邊，根據勾股定理得 底面的高 h＝ 10²－5² ＝ 75 ＝5 3（公分）

三角柱底面積＝ 1

2 ×10×5 3＝25 3（平方公分）

三角柱體積＝25 3×20＝500 3（立方公分）

表面積＝側面積＋上下面積 ＝10×20×3＋25 3×2 ＝600＋50 3（平方公分）

5

例

若已知六角柱的底面為邊長 20 公分的正六邊形，

柱高為 30 公分，求其體積及表面積。

h

h＝ 20²－10² ＝10 3 表面積＝側面積＋底面積

＝ 20×30×6＋（20×10 3× 1

2 ×6）×2 ＝3600＋1200 3（平方公分）

10 h 20

角錐是由一個多邊形底面和數個三角形側面所形成的立體圖形。由於它的 頂部是尖的，所以被稱為角錐。如果底面是三角形，就稱為三角錐。如果底面 是 n 邊形，我們就稱它為 n 角錐，這時它有 n 個側面。

在本教材中，我們所討論的都是底面為正多邊形，且側面為等腰三角形的 角錐（稱為正角錐）。

正三角錐

正五角錐 正五角錐展開圖

正四角錐展開圖

圖 2-35 正四角錐

正三角錐展開圖

3 角錐

由以上的觀察，我們可以整理如下：

也就是說，

一個底面為 n 邊形的角錐，它有 n＋1 個頂點、2n 條稜邊和 n＋1 個面。

右圖為一正四角錐的展開圖，試求此四角錐的表面積。

10公分 13公分

6

例

嚴肅的人模仿高尚的人的行動，輕浮的人則模仿卑劣的人的行動。

——亞里斯多德（Aristotle，西元前 384-西元前 322）

數學小語錄

底面積＝10×10＝100（平方公分）

側面的高＝ 13²－5²＝ 144 ＝12（公分）

側面積＝（ 1

2 ×10×12）×4＝240（平方公分）

表面積＝底面積＋側面積＝100＋240＝340（平方公分）

頂點數 稜邊數 面數

三角錐 4 6 4

四角錐 5 8 5

五角錐 6 10 6

配合習作基礎題 3

圓柱是以兩個等圓為上、下底面的直柱體。它的展開圖如下，其中長方形 的長等於圓的周長，如圖 2-36。

在本教材中，我們所討論的圓柱都是「兩底圓心的連線與兩底的所有半徑 都垂直」的圓柱（稱為直圓柱）。

圓柱 圓柱展開圖

圖 2-36

有一根高 10 公尺、半徑 3 公尺的圓柱，請問圓柱的體積是多少？表面積 是多少？

6

體積＝π•3²•10＝90π（立方公尺）

表面積＝π•3²•2＋2π•3•10 ＝18π＋60π

＝78π（平方公尺）

7

例

右圖為一水管，試求水管的體積。

10

8 24

30

7

8 30

10

10

8 24

30

7

8 30 8 30

10

10

8 24

30

7

8 30

10

30公尺 10公尺

12公尺

圓柱與圓錐

4

（π•6²－π•5²）×30

＝11π•30

＝330π（立方公尺）

配合習作基礎題 4、5

另一種常見的立體圖形是圓錐，它有一個圓形的底面和一個頂點。圓錐的 展開圖是由一扇形和圓組合而成的圖形，其中扇形的弧長等於圓周長。

在本教材中，我們所討論的圓錐是「頂點和底面圓心的連線與底面的所有 半徑都垂直」的圓錐（稱為直圓錐）。

圓錐 圓錐展開圖

圖 2-37

右圖為一直圓錐的展開圖，試求此圓錐的表面積。

扇形弧長＝2•π•30• 120

360 ＝20π（公分）

設底面圓半徑為 r，則 2•π•r ＝20π，所以 r ＝10（公分）。

表面積＝底面積＋側面積＝π•10²＋π•30²• 120 360

＝100π＋300π＝400π（平方公分）

120° 30公分

8

例

1 3

2π

2 4π

右圖為一立體圖形的展開圖，試約略畫出 其未展開前的形狀。

如右圖，上方為半個圓柱，下方為四角柱的石碑，

求其體積及表面積。

此圖形可分為兩部分，

下方四角柱體積＝20×15×40

＝12000（立方公分）

圓柱的半徑為 20÷2＝10（公分）

上方半圓柱體積＝（π•10²•15）× 1 2 ＝750π（立方公分）

所以總體積為 12000＋750π（ 立方公分）。

總表面積

＝ 底面 ＋前後兩長方形＋側面兩長方形＋ 兩個半圓 ＋半圓柱側面 ＝ 20×15＋20×40×2＋15×40×2＋π•10²＋（2•π•10）× 1

2 ×15 ＝300＋1600＋1200＋100π＋150π

＝3100＋250π（平方公分）

40 公 分

20公分 15公分

9

例

5 複合圖形

配合習作基礎題 6

如右圖，有一長 30 公分、寬 20 公分、高 20 公分的長方體，由其頂部挖去一邊長為 5 公分的正方體，求剩下來的部分之體積及

表面積。 _30公分

20公分 20公分 5公分

! 柱體體積公式：柱體的體積＝底面積×高。

@n 角柱：底面為 n 邊形的角柱，它有 2n 個頂點、3n 條稜邊和 n＋2 個 面，其側面為矩形。

#n 角錐：底面為 n 邊形的角錐，它有 n＋1 個頂點、2n 條稜邊和 n＋1 個面，其側面為等腰三角形。

$柱體（錐體）的表面積：柱體和錐體的表面積可由展開圖中各面的面 積加總而得。

重點回顧

體積＝30×20×20－5×5×5 ＝12000－125

＝11875（立方公分）

表面積＝（30×20＋30×20＋20×20）×2＋5×5×4 ＝（600＋600＋400）×2＋100

＝3200＋100

＝3300（平方公分）

1 有一個用 2.5 公分厚的玻璃做成的無蓋魚缸，由外面測得其長、寬、高分別 為 155 公分、65 公分、120 公分，求其容積。

2 如右圖，有一長 20 公分、寬 10 公分、

高 15 公分的長方體，在其角落挖去一邊 長為 3 公分的正方體，求剩餘部分的體 積及表面積。

自 我 評 量 2-2

15 公分

10 公分 20 公分

3 有一個正三角柱，已知其底面是邊長 12 公分的正三角形，柱高為 20 公分，

求其體積。

155－2.5×2＝150 65－2.5×2＝60 120－2.5＝117.5

容積為 150×60×117.5＝1057500（立方公分）。

體積＝20×10×15－3×3×3 ＝3000－27

＝2973（立方公分）

表面積＝（20×10＋20×15＋10×15）×2 ＝（200＋300＋150）×2

＝1300（平方公分）

12

12 6 3 柱體體積＝底面積×柱高

＝（ ×12×6 3 ）×20 ＝720 3（立方公分）

1 2

4 填填看，下列立體圖形各有多少個頂點？多少條稜邊？多少個面？

5 右圖的紙盒是由兩種簡單立體圖形拼成的，請畫出它的 展開圖，並將此兩種立體圖形的名稱寫出來。

圖形 七角柱 八角柱 六角錐 八角錐

頂點數 稜邊數 面數

14 16 7 9

21 24 12 16

9 10 7 9

四角錐與四角柱