長方體是由 6 個長方形的面所圍成的立體圖形,而且面與面都互相垂直。
在日常生活中,牆面與地面通常是互相垂直的,而金字塔的表面與地面就不互 相垂直。
長方體共有 8 個頂點、12 條稜邊。如果我們把長方體的紙盒展開,可以 發現它共有 6 個面。但並非任意 6 個長方形都能拼成長方體,由展開圖中,我 們發現 6 個面可以分為 3 組,每組都有 2 個完全相同的矩形。
國小時,我們已經學過長方體、三角柱、圓柱、圓錐等立體圖形,這些 圖形在日常生活中也經常可見。在下列的圖片中,你可以找到哪些立體圖形 呢?
圖 2-28
長方體 長方體展開圖
長 寬
高
2 2 立體圖形
長方體與正方體
1
高
長 寬
下列何者不是長方體的展開圖?
A B C D
對應能力指標 8-s-33、8-s-35
D
下列何者不是正方體的展開圖?
A B C D
正方體是長、寬、高均等長的長方體,它同樣有 8 個頂點、12 條稜邊。
圖 2-29
正方體 正方體展開圖
一個長 10 公尺、寬 12 公尺、高 3.5 公尺的房間,如果要在此房間的所有 牆面及天花板貼上壁紙,求所需壁紙的總面積。
10×12+12×3.5×2+10×3.5×2 =120+84+70
=274(平方公尺)
1
長方體表面積例
題10公尺
12公尺 3.5公尺
在國小時,我們已經學過長方體體積為
「長×寬×高」。若一長方體的長、寬、高分 別為 a、b、c,則長方體的體積為 a×b×c。
因為 a×b 即為長方體的底面積,所以 長方體的體積也可記為「底面積×高」。
若一正方體的邊長為 a,則其體積為 a×a×a=a3。 圖 2-30
a c
b
C
有一個長方體的儲油槽,由其內部測得長 15 公尺、寬 10 公尺、高 2 公 尺,若裝滿,可儲存多少公升的油?
儲油槽容積=15×10×2=300(立方公尺)=300000(公升)
有一座長方體的蓄水池,由其內部測得長 25 公尺、寬 15 公尺,若在蓄水 池中注入 675 立方公尺的水,求水深。
2
長方體容器的容積例
題右圖為一階梯形的積木,每一階的長度相同、寬 度相同、增加的高度也相同,求此階梯的體積及 表面積。
將此階梯分成三個長方體,則
階梯體積=(3×1×3)+(3×1×2)+(3×1×1)=9+6+3=18。 如右圖,
表面積=(3×1)×3×2+(3×1)×3×2 +(1×1)×6×2
=48
1
1 3
3
長方體體積應用例
題如右圖,任相鄰兩面均互相垂直,
求其體積及表面積。
50
50 50
50
50
40 1
1 3
675÷(25×15)=675÷375=1.8(公尺)
配合習作基礎題 1
體積為(50×50×40)×4=400000
表面積為 50×50×8+50×40×7+150×40=40000
日常生活中,經常可以看見各種柱體,例如,三角柱、四角柱等。如果柱 體的側面與底面互相垂直,我們就稱為直角柱;如果側面與底面不垂直,就稱 為斜角柱。
在本教材中,如果沒有特別說明,所指的都是直角柱。
直角柱有兩個全等的多邊形底面和數個矩形的側面。底面為三角形的柱 體,我們稱為三角柱;同樣地,底面為五邊形的柱體,就稱為五角柱。也就是 說,底面為 n 邊形的柱體,就稱為 n 角柱。
由三角柱的展開圖,我們可以發現三角柱是由兩個三角形和三個矩形所形 成的,而五角柱則是由兩個五邊形和五個矩形所形成。下面是一些常見角柱的 展開圖,算算看它們各有幾個頂點、幾條稜邊和幾個面。
圖 2-32
三角柱 三角柱展開圖
2 角柱
圖 2-31
直角柱 斜角柱
對應能力指標 8-s-33、8-s-35
圖 2-33
五角柱 五角柱展開圖
圖 2-34
六角柱 六角柱展開圖
由以上的觀察,我們可以整理如下:
也就是說,
一個底面為 n 邊形的角柱,它有 2n 個頂點、3n 條稜邊和 n+2 個面。
頂點數 稜邊數 面數
三角柱 6 9 5
五角柱 10 15 7
六角柱 12 18 8
事實上,三角柱、四角柱、五角柱、六角柱等柱體,都可經由切割拼補的 方式轉變為長方體,所以柱體的體積皆為「底面積×高」。
如右圖,有一塊五角柱泡棉,求其體積。
若柱體底面積為 A,高為 h,則其體積為 A•h。
4
四角柱體積例
題如右圖,四角柱的上、下底面為相同的 等腰梯形,求此四角柱的體積。
如右圖將四角柱切割後,可重組成兩個長方體。
體積=10×8×30+7×8×30 =2400+1680
=4080 30
10 8 30 8
7
10
8 30
24
8
15 10
20
底面積=15×10+ 1
2 ×15×8 =150+60
=210
體積=底面積×柱高
=210×20
=4200
若已知三角柱的底面為邊長 10 公分的正三角形,柱高為 20 公分,求此 三角柱的體積及表面積。
正三角形的高垂直平分底邊,根據勾股定理得 底面的高 h= 102-52 = 75 =5 3(公分)
三角柱底面積= 1
2 ×10×5 3=25 3(平方公分)
三角柱體積=25 3×20=500 3(立方公分)
表面積=側面積+上下面積 =10×20×3+25 3×2 =600+50 3(平方公分)
5
三角柱體積例
題若已知六角柱的底面為邊長 20 公分的正六邊形,
柱高為 30 公分,求其體積及表面積。
h
h= 202-102 =10 3 表面積=側面積+底面積
= 20×30×6+(20×10 3× 1
2 ×6)×2 =3600+1200 3(平方公分)
10 h 20
角錐是由一個多邊形底面和數個三角形側面所形成的立體圖形。由於它的 頂部是尖的,所以被稱為角錐。如果底面是三角形,就稱為三角錐。如果底面 是 n 邊形,我們就稱它為 n 角錐,這時它有 n 個側面。
在本教材中,我們所討論的都是底面為正多邊形,且側面為等腰三角形的 角錐(稱為正角錐)。
正三角錐
正五角錐 正五角錐展開圖
正四角錐展開圖
圖 2-35 正四角錐
正三角錐展開圖
3 角錐
對應能力指標 8-s-33、8-s-35由以上的觀察,我們可以整理如下:
也就是說,
一個底面為 n 邊形的角錐,它有 n+1 個頂點、2n 條稜邊和 n+1 個面。
右圖為一正四角錐的展開圖,試求此四角錐的表面積。
10公分 13公分
6
四角錐表面積例
題嚴肅的人模仿高尚的人的行動,輕浮的人則模仿卑劣的人的行動。
——亞里斯多德(Aristotle,西元前 384-西元前 322)
數學小語錄
底面積=10×10=100(平方公分)
側面的高= 132-52= 144 =12(公分)
側面積=( 1
2 ×10×12)×4=240(平方公分)
表面積=底面積+側面積=100+240=340(平方公分)
頂點數 稜邊數 面數
三角錐 4 6 4
四角錐 5 8 5
五角錐 6 10 6
配合習作基礎題 3
圓柱是以兩個等圓為上、下底面的直柱體。它的展開圖如下,其中長方形 的長等於圓的周長,如圖 2-36。
在本教材中,我們所討論的圓柱都是「兩底圓心的連線與兩底的所有半徑 都垂直」的圓柱(稱為直圓柱)。
圓柱 圓柱展開圖
圖 2-36
有一根高 10 公尺、半徑 3 公尺的圓柱,請問圓柱的體積是多少?表面積 是多少?
6
體積=π•32•10=90π(立方公尺)
表面積=π•32•2+2π•3•10 =18π+60π
=78π(平方公尺)
7
圓柱的體積和表面積例
題右圖為一水管,試求水管的體積。
10
8 24
30
7
8 30
10
10
8 24
30
7
8 30 8 30
10
10
8 24
30
7
8 30
10
30公尺 10公尺
12公尺
圓柱與圓錐
4
對應能力指標 8-s-33、8-s-35(π•62-π•52)×30
=11π•30
=330π(立方公尺)
配合習作基礎題 4、5
另一種常見的立體圖形是圓錐,它有一個圓形的底面和一個頂點。圓錐的 展開圖是由一扇形和圓組合而成的圖形,其中扇形的弧長等於圓周長。
在本教材中,我們所討論的圓錐是「頂點和底面圓心的連線與底面的所有 半徑都垂直」的圓錐(稱為直圓錐)。
圓錐 圓錐展開圖
圖 2-37
右圖為一直圓錐的展開圖,試求此圓錐的表面積。
扇形弧長=2•π•30• 120
360 =20π(公分)
設底面圓半徑為 r,則 2•π•r =20π,所以 r =10(公分)。
表面積=底面積+側面積=π•102+π•302• 120 360
=100π+300π=400π(平方公分)
120° 30公分
8
圓錐的表面積例
題1 3
2π
2 4π
右圖為一立體圖形的展開圖,試約略畫出 其未展開前的形狀。
如右圖,上方為半個圓柱,下方為四角柱的石碑,
求其體積及表面積。
此圖形可分為兩部分,
下方四角柱體積=20×15×40
=12000(立方公分)
圓柱的半徑為 20÷2=10(公分)
上方半圓柱體積=(π•102•15)× 1 2 =750π(立方公分)
所以總體積為 12000+750π( 立方公分)。
總表面積
= 底面 +前後兩長方形+側面兩長方形+ 兩個半圓 +半圓柱側面 = 20×15+20×40×2+15×40×2+π•102+(2•π•10)× 1
2 ×15 =300+1600+1200+100π+150π
=3100+250π(平方公分)
40 公 分
20公分 15公分
9
複合圖形的應用例
題5 複合圖形
對應能力指標 8-s-34、8-s-36配合習作基礎題 6
如右圖,有一長 30 公分、寬 20 公分、高 20 公分的長方體,由其頂部挖去一邊長為 5 公分的正方體,求剩下來的部分之體積及
表面積。 30公分
20公分 20公分 5公分
! 柱體體積公式:柱體的體積=底面積×高。
@n 角柱:底面為 n 邊形的角柱,它有 2n 個頂點、3n 條稜邊和 n+2 個 面,其側面為矩形。
#n 角錐:底面為 n 邊形的角錐,它有 n+1 個頂點、2n 條稜邊和 n+1 個面,其側面為等腰三角形。
$柱體(錐體)的表面積:柱體和錐體的表面積可由展開圖中各面的面 積加總而得。
重點回顧
體積=30×20×20-5×5×5 =12000-125
=11875(立方公分)
表面積=(30×20+30×20+20×20)×2+5×5×4 =(600+600+400)×2+100
=3200+100
=3300(平方公分)
1 有一個用 2.5 公分厚的玻璃做成的無蓋魚缸,由外面測得其長、寬、高分別 為 155 公分、65 公分、120 公分,求其容積。
2 如右圖,有一長 20 公分、寬 10 公分、
高 15 公分的長方體,在其角落挖去一邊 長為 3 公分的正方體,求剩餘部分的體 積及表面積。
自 我 評 量 2-2
15 公分
10 公分 20 公分
3 有一個正三角柱,已知其底面是邊長 12 公分的正三角形,柱高為 20 公分,
求其體積。
155-2.5×2=150 65-2.5×2=60 120-2.5=117.5
容積為 150×60×117.5=1057500(立方公分)。
體積=20×10×15-3×3×3 =3000-27
=2973(立方公分)
表面積=(20×10+20×15+10×15)×2 =(200+300+150)×2
=1300(平方公分)
12
12 6 3 柱體體積=底面積×柱高
=( ×12×6 3 )×20 =720 3(立方公分)
1 2
4 填填看,下列立體圖形各有多少個頂點?多少條稜邊?多少個面?
5 右圖的紙盒是由兩種簡單立體圖形拼成的,請畫出它的 展開圖,並將此兩種立體圖形的名稱寫出來。
圖形 七角柱 八角柱 六角錐 八角錐
頂點數 稜邊數 面數
14 16 7 9
21 24 12 16
9 10 7 9
四角錐與四角柱