1-2

一、概念的引入

引例 用 1 、 2 、 3 三个数字，可以组成多少 个没有重复数字的三位数？

解

1 2 3

1 2 3

百位 3 种放法

十位

1 2 1 3

个位

1 2 3

2 种放法 1 种放法 种放法 .

共有 3  21  6

二、全排列及其逆序数

同的排法？

，共有几种不 个不同的元素排成一列

问题 把 n

定义 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列） .

n n

个不同的元素的所有排列的种数，通 常用 表示 .

n Pn

由引例 P₃  3  21  6. n

P_n   n(  1)  n(  2)  3  2 1  n!.

同理

在一个排列 中

，若数 则称这两个数组成一个逆序 .

 ⁱ

ⁱ

_ ⁱ

_ ⁱ

_ ⁱ



s

t

i

i 

例如 排列 32514 中，

定义

我们规定各元素之间有一个标准次序 , n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序 . 排列的逆序数

3 2 5 1 4 逆序

逆序

逆序

定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数 .

例如 排列 32514 中，

3 2 5 1 4

逆序数为 3 1

0 0 1

故此排列的逆序数为 3+1+0+1+0=5.

计算排列逆序数的方法

方法 1

分别计算出排在 前面比它大的数 码之和即分别算出 这 个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求

排列的逆序数 .

n , n

, ,

, 2 1

1  

n , n

, ,

, 2 1

1  

逆序数为奇数的排列称为奇排列 ; 逆序数为偶数的排列称为偶排列 .

排列的奇偶性

分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，

这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数 .

方法 2

例 1 求排列 32514 的逆序数 . 解 在排列 32514 中 ,

3 排在首位 , 逆序数为 0;

2 的前面比 2 大的数只有一个 3, 故逆序数为 1;

3 2 5 1 4 0 1 0 3 1

于是排列 32514 的逆序数为 1 3

0 1

0    



t  5.

5 的前面没有比 5 大的数 , 其逆序数为 0;

1 的前面比 1 大的数有 3 个 , 故逆序数为 3;

4 的前面比 4 大的数有 1 个 , 故逆序数为 1;

例 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的 奇偶性 .

 

解 2 1 7 9 8 6 3 5 4

5

3

1

0 0

0

 t

 18

此排列为偶排列 .

5 4  4  3  1  0  0  1  0

 







1 2 

 

 

2 ,

 1

 n n

当 时为偶排列；n  4k,4k  1 当 时为奇排列 .n  4k  2,4k  3





 n

t  n











nn1





 





 







    

 

 

 



 0 t

  

 

k k

k   

 

2

1 1

1

2  k²,

当 为偶数时，排列为偶排列

，

k

当 为奇数时，排列为奇排列 .

k

 1  1  2  2  



 



  

 

 

 



0 1^ 1^ 2^ 2^



2 排列具有奇偶性 .

3 计算排列逆序数常用的方法有 2 种 . 1 个不同的元素的所有排列种数为n n!.

三、小结

思考题 思考题

分别用两种方法求排列 16352487 的逆序数 .

思考题解答

解 用方法 1

1 6 3 5 2 4 8 7

用方法 2

0 1

0 1

2 1

3

0       



t  8

由前向后求每个数的逆序数 . .

8 1

0 2

3 1

1 0

0        

 t