遊戲式電腦化加減估算自我調整評量之研發

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系國小教師在職進修教學碩士班碩士論文. 指導教授：施淑娟博士. 遊戲式電腦化加減估算自我調整評量之研發. 研究生：尤仁聰撰. 中華民國九十九年六月.

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(3) 遊戲式電腦化加減估算自我調整評量之研發遊戲式電腦化加減估算自我調整評量之研發摘要本研究主要目的在研發「遊戲式電腦化加減估算自我調整評量」。透過線上施測，探討國小四年級學童在評量中的表現與答題過程中的自我調整策略，並經由問卷，瞭解學童對本評量的使用感受。研究者分析數感的組成成分後，選定「估算」為不可或缺的能力，再融入自我調整學習的內涵，發展了可完整記錄學生解題歷程的「遊戲式電腦化加減估算自我調整評量」。期望能透過遊戲的方式引發學童的學習動機，再加上電腦的即時回饋功能，幫助學童產生自我調整學習的效果，增進數感的加減估算能力。研究對象為台中縣市國小四年級學童，有效樣本共計 528 人，正式施測後，再抽取有效樣本中的 206 名學童進行使用感受問卷調查。所得資料經由統計分析，其結果如下： 1. 「遊戲式電腦化加減估算自我調整評量」具有合宜之信、效度。 2. 「遊戲式電腦化加減估算自我調整評量」確實能增進學生加減估算能力。 3. 經由問卷調查發現學童喜歡遊戲融入數學教學的學習方式。 4. 本研究將學童在多箭模式下的答題反應分為 11 類。在射中策略部份，比例最高的是「射中_一箭命中」策略，最低的是「射中_上下夾擠」策略。在未射中部份，比例最高的是「未射中_無調整」，最低的是「未射中_上下夾擠」策略。 5. 不同性別的學童在整份評量、單箭模式一和多箭模式的表現有顯著差異，單箭模式二的表現則無差異。 6. 無算式回饋組在多箭模式的表現顯著優於有算式回饋組，但在整份評量、單箭模式一和單箭模式二的表現則無顯著差異。 7. 無算式回饋組出現「未射中_忽遠忽近」的比例略高於有算式回饋組。而有算式回饋組出現「未射中_未作答」的比例高於無算式回饋組甚多。 i.

(4) 8. 有無算式回饋兩組經過自我調整學習後的表現未達顯著差異。 9. 分析有算式回饋組在多箭模式的調整歷程，發現學童相當依賴外顯的訊息來做調整。最後，本研究根據研究結論，分別對學校教師教學及未來研究提出建議。. 關鍵詞：數感、估算、自我調整。. ii.

(5) Developing Game-Based and Computerized Self-Regulated Assessment of Estimation of Addition and Subtraction Abstract The purpose of this study was to develop “game-based and computerized self-regulated assessment of estimation of addition and subtraction”. Through the online assessment, fourth-grade students could be assessed the performance and the self-regulation strategy of answering process. Besides, students’ feelings of experiencing the assessment were comprehended by filling the questionnaire. After analyzing the compositions of number sense, researcher identified that “estimation” was an essential ability. Integrating the connotation of self-regulated learning, “game-based and computerized self-regulated assessment of estimation of addition and subtraction” which could record students’ answering process was developed. Hoping the effect of self-regulated learning was brought and the ability of estimation of addition and subtraction of number sense was promoted through encouraging the motivation of students in game-based way and real-time feedback function. Fourth-grade students from primary schools located in Taichung city and county were sampled, and there were a total of 528 valid samples. Furthermore, 206 students from the valid samples were selected for questionnaire survey. Based on the data collection and analysis, the major findings of this study are summarized as following: 1. The “game-based and computerized self-regulated assessment of estimation of addition and subtraction” were reliable and valid. 2. The “game-based and computerized self-regulated assessment of estimation of addition and subtraction” certainly could enhance the ability of estimation of addition and subtraction.. iii.

(6) 3. It is indicated that students were fond of game-based teaching style. 4. In this study, responses of students in multi-arrow mode were divided into 11 categories. In the hitting target part, the highest proportion of strategy was “hitting target with the first arrow” and the lowest one was “hitting target in a sandwich style”. In the non-hitting target part, the highest was “non-hitting target with no adjustment”, and the lowest was “non-hitting target in a sandwich style”. 5. Students of different genders had significant distinction in the whole assessment, single-arrow mode 1 and multi-arrow mode.. However, there was less difference. in single-arrow mode 2. 6. Non-equation feedback group performed remarkably better than equation feedback group in multi-arrow mode, but not in the whole assessment, single-arrow mode 1 and single-arrow mode 2. 7. The proportion of “non-hitting target in close and far distance” in non-equation feedback group was slightly higher than in equation feedback group. Moreover, the proportion of “non-hitting with no answer” in equation feedback group was apparently higher than in non-equation feedback group. 8. It was investigated that the difference between equation feedback group and non-equation feedback group was tiny after self-regulated learning. 9. In equation feedback group, the analysis of the process of adjustment in multi-arrow mode showed that the discovery of students’ adjustments considerably relied on explicit message. Finally, suggestions of teaching in school and future research were proposed according to the findings.. Keywords: number sense, estimation, self-regulation.. iv.

(7) 目次中文摘要...................................................................................................................... i 英文摘要.....................................................................................................................iii 目次..............................................................................................................................v 表次............................................................................................................................vii 圖次.............................................................................................................................ix 第一章緒論.................................................................................................................1 第一節研究動機.................................................................................................1 第二節研究目的與待答問題.............................................................................4 第三節名詞釋義.................................................................................................7 第四節研究限制.................................................................................................8 第二章文獻探討.........................................................................................................9 第一節數感與估算.............................................................................................9 第二節自我調整學習.......................................................................................20 第三節數感相關實徵研究...............................................................................27 第三章研究方法與步驟...........................................................................................31 第一節研究架構...............................................................................................31 第二節研究對象...............................................................................................32 第三節研究工具...............................................................................................34 第四節研究流程...............................................................................................48 第五節資料分析...............................................................................................51 第四章結果與討論...................................................................................................53 第一節加減估算自我調整評量編製成果.......................................................53 第二節加減估算答題反應分析…...................................................................63 第三節國小四年級學童在加減估算評量表現之影響因素...........................80. v.

(8) 第五章結論與建議...................................................................................................91 第一節結論.......................................................................................................91 第二節建議.......................................................................................................94 參考文獻.....................................................................................................................95 一、中文部份.....................................................................................................95 二、西文部份.....................................................................................................97 附錄 .....................................................................................................................103 附錄 A 遊戲式電腦化加減估算自我調整評量分頁說明 ...........................103 附錄 B 使用感受問卷………………………………………………………..118 附錄 C 施測時學生作答照片.. ……………………………………………..119. vi.

(9) 表次表 2.1. 六種學派的自我調整定義觀（引自陳玟伶，2001）……………………21. 表 2.2. 數感相關主題之博碩士論文篇數（引自董庭豪，2009）……………28. 表 2.3. 數感相關主題之學術期刊論文篇數（引自董庭豪，2009）…………28. 表 3.1. 預試樣本………………………………………………………………...32. 表 3.2. 正式施測樣本…………………………………………………………...33. 表 3.3. 「弓箭位置 19，蘋果位置 92」學生可能之調整歷程………………..38. 表 3.4. 試題分類表………………………….…………………………………..40. 表 3.5. 數感評量「單箭模式一」試題架構表…………………………………42. 表 3.6. 數感評量「多箭模式」試題架構表……………………………………43. 表 3.7. 數感評量「單箭模式二」試題架構表…………………………………44. 表 4.1. 評量各分測驗內部一致性α係數摘要表………………………….......57. 表 4.2. 測驗各試題通過率一覽表……………………………………………...59. 表 4.3. 單箭模式一與單箭模式二之相依樣本 t 統計量摘要表………………59. 表 4.4. 軟體操作感受題項統計表……………………………………………...62. 表 4.5. 數學學習感受題項統計表……………………………………………...63. 表 4.6. 多箭模式調整類別摘要表……………………………………………...64. 表 4.7. 試題 201~204 答題反應分析（加法未進位） ……………………………71. 表 4.8. 試題 205~208 答題反應分析（加法十位進百位） ………………………73. 表 4.9. 試題 209~212 答題反應分析（減法未退位） ……………………………75. 表 4.10. 試題 213~216 答題反應分析（減法百位退十位） ………………………77. 表 4.11. 不同性別在總評量、單箭一、多箭及單箭二之 t 檢定統計量的摘要表………………………………………………………………………...81. 表 4.12. 有無算式回饋在總評量、單箭一、多箭及單箭二之 t 檢定統計量的摘要表……………………………………………………………………...83. vii.

(10) 表 4.13. 有無算式回饋答題反應分布比較表………………………………..….85. 表 4.14. 組內迴歸係數同質性檢定摘要表……………………………………...86. 表 4.15. 共變數分析摘要表……………………………………………………...87. 表 4.16. 試題 206「弓箭位置 362，蘋果位置 441」不同學生之調整歷程........88. 表 4.17. 測驗 A 多箭模式有射中目標的學生之調整歷程統計表……………...89. viii.

(11) 圖次圖 2.1. 數感主要成份之內在連結（引自 Mclntosh, Reys & Reys，1992）……14. 圖 2.2. Flavell 的認知監控模式（Flavell，1981）………………………………23. 圖 2.3. 後設認知架構圖（引自黃月平，2004）. ………………………….....24. 圖 3.1. 研究架構圖…...………………………………………………………....31. 圖 3.2. 遊戲操作說明...………………………………………………………....35. 圖 3.3. 多箭模式下試題畫面……..…………………………………………….36. 圖 3.4. 有算式記錄欄的測驗 A…..…………………………………………….37. 圖 3.5. 算式記錄欄隱藏的測驗 B…..…………………………………………..37. 圖 3.6. 遊戲腳本架構圖...……………………………………………………....45. 圖 3.7. 線上施測流程…………………………………………………...……....46. 圖 3.8. 研究流程圖………………………………………………………….......50. 圖 4.1. 測驗 A 單箭模式按下確定射出後畫面………………………………...54. 圖 4.2. 測驗 A 多箭模式下兩箭命中時畫面……………………………….......54. 圖 4.3. 測驗 B 答題畫面………………………………………………………...55. 圖 4.4. 「Yes! 射中了！」的蹦跳視窗.………………………………………….55. 圖 4.5. 學習診斷報告~文字說明和圓餅圖………………...…………………..56. 圖 4.6. 學習診斷報告~等級和評語………………...…………………………..56. 圖 4.7. 受試者甲-40107/試題 201….…………………………………………...65. 圖 4.8. 受試者甲-40108/試題 203….…………………………………………...65. 圖 4.9. 受試者甲-40514/試題 205………………………………………………65. 圖 4.10. 受試者甲-40615/試題 212…………………………………………...….65. 圖 4.11. 受試者甲-40230/試題 207………………………………………………66. 圖 4.12. 受試者乙-40511/試題 206………………………………………………66. 圖 4.13. 受試者甲-40325/試題 210………………………………………………66. ix.

(12) 圖 4.14. 受試者丁-40415/試題 214………………………………………………66. 圖 4.15. 受試者乙-40707/試題 212………………………………………………67. 圖 4.16. 受試者甲-40503/試題 203………………………………………………67. 圖 4.17. 受試者甲-40416/試題 208………………………………………………67. 圖 4.18. 受試者乙-40418/試題 204………………………………………………67. 圖 4.19. 受試者甲-40425/試題 216………………………………………………68. 圖 4.20. 受試者甲-40912/試題 202………………………………………………68. 圖 4.21. 受試者甲-40425/試題 202………………………………………………68. 圖 4.22. 受試者甲-40209/試題 208………………………………………………68. 圖 4.23. 受試者丁-40418/試題 215………………………………………………69. 圖 4.24. 受試者乙-40418/試題 211………………………………………………69. 圖 4.25. 受試者甲-40103/試題 213………………………………………………69. 圖 4.26. 受試者甲-40921/試題 209………………………………………………69. x.

(13) 第一章緒論第一節研究動機臺灣的學生，在國際間數學競試上的表現明顯優於許多先進國家，但隨著年紀的增長，優勢卻漸漸消失，極大的原因是臺灣學生的創意、開放性的思考和想像力明顯不足。臺灣學生具有良好的筆算能力，有很好的計算技巧，並不意謂著能夠意義化他們正在學的東西（楊德清，1997）。洪瑞鎂（2001）分析我國學生在國際數學評量（TIMSS-R）的表現，發現我國多數的學生較缺乏與生活經驗相連結與數學溝通的能力，對於數學知識與運算技巧可以瞭解和使用，但對於非教材內常見的問題，與生活上實際應用需要量感、數感的試題，以及需要自行產生推論和解釋過程的問題，學生的表現則顯得薄弱而不熟悉。歸究其原因，可發現在臺灣傳統的教育體制下，考試領導教學，家長重視的是月考的成績，學生期待的是精確的、唯一的答案，因此，學生們一見到問題，總是迫不及待的拿起紙筆，習慣性的模仿老師的算法或套入公式求解，這樣的結果，學生們的思考僵化，只重視算則、記憶公式，忽略了整體性的理解。然而，數學教育的精髓是思考，但是國內傳統的數學教育方式，卻較少給孩子思考的機會。反觀美國教育，早在1978年的美國全國督學聯合會（National Council of Supervisors of Mathematics [NCSM]）製定的「全國數學教師行動綱領報告」中即提到了只需教學生基本的計算，估測的能力及判斷結果是否合理的能力比學會精熟的計算能力還重要（引自林文生、鄔瑞香，1999）。也就是說懂得思考、判斷的能力比學會精熟的計算能力還要重要。在「數學教育的藝術與實務-另類教與學」一書中，提到了一則讓研究者印象相當深刻的故事：母子三人到每人 299 元的餐廳用餐，付賬時，幼稚園大班的女兒很快的知道只要拿 9 張 100 元鈔票，櫃檯就會找回 3 元，而國小三年級的兒子卻必須要拿出紙筆來計算才能得到 299×3 的答案（林文生、鄔瑞香， 1999）。是誰把孩子教笨了？重視標準算則的練習，是否阻礙了學生們有意義的 1.

(14) 思考？有鑑於此，近年來國內積極的推動數學教育改革，例如教育部（2003）所公佈的九年一貫課程綱要強調要培養學生帶的走的基本能力。此外，在數學學習領域的基本理念中也提到了「在學習數學時，一般重視的是觀念和演算，但學生的數學經驗（或數學感覺）的培養卻是同等重要。」培養學生的數感（Number Senses），就是希望學生在遇到數學問題時，能懂得思考、理解，在不用紙筆做精算的狀況下，也能獲得合理的答案。這樣的能力（數學感覺）是日積月累的，是一種隨著經驗與知識發展、成熟的過程（Reys, 1994）。 Number Senses 一詞，國內有學者譯為「數常識」，也有學者稱為「數字感」，研究者採大多數學者的看法，稱其為「數感」。學音樂的人，重視的是「音感」；學藝術的人，培養的是「美感」。相同的道理，「數感」是學習數學不可或缺的一部份。培養學生估測與判斷答案是否合理的能力就是數感的一部份，如上述的幼稚園大班孩童能以 100 元為參考點知道應付賬款也是數感能力的表現。數感（Number Sense）指的是學生能夠有意義化的學習數的概念，而不只是在求標準答案上面，思考的層面不是規則的機械式應用，而是創造式的解法（Reys, 1991）。鑑於數感的重要性，美、日、澳等先進國家已關注多年（National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 1989, 2000; Japanese Ministry of. Education,. 1989; Australian Education Council [AEC], 1991; Nation Research Council, 1989）。1989 年，由美國國家研究委員會（Nation Research Council）提出的報告書「Everybody counts」中便已提及小學數學教育的主要目標是培養學生的數感。同年，美國數學教師協會（NCTM）發表「學校數學課程和評量標準」（The Curriculum and Evaluation Standard for School Mathematics）中亦主張「數感」是數學課程中的重要主題。1991 年，澳洲數學教育協會（AEC）所出版的「澳洲國家數學報告書」（A national statement on mathematics for Australian schools）也同樣強調發展「數感」的重要性。2000 年，美國數學教師協會在「學校數學課. 2.

(15) 程的原則與標準」(The Principles and Standards for School Mathematics)中再次強調「本標準的中心乃在發展學生數感的能力」。隨著國際間重視數感的這波潮流，近十年來，國內投注心力於數感研究的學者也與日俱增（林素微，2003；徐俊仁，2001；許清陽，2001，2006；黃唯娟，2008；楊德清，1997，1998， 2000a，2000b，2001，2002；葉俊谷，2007；劉曼麗、侯淑芬，2006）。相信在不久的將來，數感將成為數學教育上不可忽視的主軸之ㄧ。綜觀前述所言，培養學童良好的數感能力，有助於他們處理生活中面對的數學問題。研究者再細究數感的內涵後，發現「估算」是數感組成架構中非常重要的部份，估算與數感息息相關。在教育部（2003）九年一貫課程綱要數學學習領域中就提及：「估算是過去數學教學中，較被忽略的課題。一般來說，數字感較好的學生，通常都能夠使用估算的技巧，來協助計算、驗算與解題。」估算能力的培養對學童而言非常重要，例如：學生常在解答數學問題之後，忽略了驗算的步驟，或是不知該用何種策略來檢驗答案的合理性，以致無法即時發現錯誤來修正答案，此時，若學生擁有良好的數感與估算策略，將可快速檢驗自己所計算答案的合理性。回顧國內外與數感、估算有關的研究，雖已累積許多文獻（支毅君，1996；王秀惠，2004；吳心馨，2007；Reys, Rybolt, Bestgen, & Wyatt, 1982; Sowder & Wheeler, 1989），但大部分的估算研究不外乎探討學生的估算表現、估算的策略或如何培養估算能力等。在評量方法上，除了林素微（2003）所提出的國小高年級學童數感動態評量系統之外，多半以紙筆測驗或選擇題形式的電腦化診斷測驗為主。因此，本研究企圖建立一個讓學生實際操作並能引發學生動機的加減估算評量系統，這是過去研究未曾嘗試過的。幾經思考後發現，最能吸引學生的大概就是電腦化的遊戲介面。操作過程中，最好不要有繁瑣的功能或複雜的模式，學生只要具備基本的電腦操作能力便可進行學習（劉世雄，2002）。此外，基於資訊科技日進千里，再加上網路日漸普及等種種原因，已使學. 3.

(16) 習方式產生了重大的改變。學習不再受到時間和空間的限制，學習者可依據自己的興趣、能力，選擇個別化的學習內容，一旦學習者缺乏自主學習的能力，面對這資訊爆炸的時代，就可能成為弱勢的一方。因此，如何培養學生自我學習的能力值得教育工作者深思。陳佐霖（2005）研究結果發現，學生透過線上自律學習環境的輔助系統來學習，對學習成效有相當程度的幫助。基於上述原因，研究者希望建置的環境，除了以遊戲的方式來引發學習動機，更希望在遊戲的操作過程，還能發揮教學效果，引發學生自我調整學習。更重要的是，過去的研究通常透過事後訪談、問卷等方法來分析學生的解題類型或答題時的調整策略，除了相當費時耗力之外，訪談並無法完整的獲取學生答題當下的所有修正歷程，研究者欲開發的評量是希望利用電腦強大的即時記錄功能，完整記錄學生解題與修正歷程，蒐集足夠樣本數後，再以資料庫所詳細記錄下來的資料來分析學生解題之自我調整策略，故建置易於使用的電腦輔助數感學習環境並能完整記錄學生數感問題答題歷程的評量系統為本研究的努力方向。. 第二節研究目的與待答問題基於國小三年級學童之加減運算能力還未達精熟的階段，解題的方式大多需仰賴直式計算，再加上電腦的基本操控能力也不熟練，所以，本研究所設計的遊戲式電腦化加減估算評量，研究對象為國小四年級學童。透過電腦即時記錄及互動功能，詳細記錄學生解題過程中的表現，一方面探討學童在遊戲中加減估算的策略；另一方面探討性別或有無算式回饋因素是否影響學生在遊戲中數感估算能力的表現。在評量的設計上，是以弓箭位置作為起始值，蘋果位置設為目標值，遊戲者必須以整十、整百為單位，估算欲移動的距離，若弓箭移動後的位置在估算的誤差值內，就能命中目標物，研究者也可藉此來評估遊戲者的估算能力。評量內含三個分測驗，依序為「單箭模式一」、「多箭模式」與. 4.

(17) 「單箭模式二」（單箭是指學生在遊戲限定的時間內，只能依據估算能力決定一支弓箭的發射位置；多箭則指限定的時間內，學生能依自己的估算能力只發射一支弓箭就射中目標，也能根據電腦的回饋訊息多次調整修正欲移動的距離，發射多支弓箭，直到射中目標或時間到為止），希望透過這樣的設計，能瞭解學生在加減估算遊戲之多箭模式中所展現的自我調整策略，以及經過多箭模式的自我學習後，在單箭模式下命中率有沒有提升。. 一、研究目的本研究的研究目的如下： 1. 研發線上「遊戲式電腦化加減估算自我調整評量」，讓學生能透過此評量增進加減估算的能力。 2. 探討四年級學童在「遊戲式電腦化加減估算自我調整評量」的學習表現與使用感受。 3. 分析四年級學童在「遊戲式電腦化加減估算自我調整評量」中多箭模式下的答題反應。 4. 探討性別因素對四年級學童在「遊戲式電腦化加減估算自我調整評量」表現之影響。 5. 探討「有無算式回饋」因素對四年級學童在「遊戲式電腦化加減估算自我調整評量」表現之影響。 6. 分析四年級學童在有算式回饋的「遊戲式電腦化加減估算自我調整評量」之調整歷程。. 5.

(18) 二、待答問題根據以上的研究目的，本研究的待答問題如下： 1. 「遊戲式電腦化加減估算自我調整評量」是否具有良好的信、效度？ 2. 經過多箭模式的練習後，受試學生在單箭模式的表現是否提升？ 3. 四年級學童對「遊戲式電腦化加減估算自我調整評量」的使用感受為何？ 4. 四年級學童在「遊戲式電腦化加減估算自我調整評量」多箭模式下，呈現哪幾種不同的答題反應？ 5. 四年級男女學童在「遊戲式電腦化加減估算自我調整評量」中的表現是否達顯著差異？ 6. 「有無算式回饋」因素對學童在「遊戲式電腦化加減估算自我調整評量」中表現之影響是否達顯著差異？ 7. 「有無算式回饋」因素對學童在多箭模式下所顯現的答題反應有沒有不同？ 8. 「有無算式回饋」對學童解題表現的影響是否達顯著差異？ 9. 有算式回饋組學童在多箭模式下不同調整歷程出現的次數及所代表的意義為何？. 6.

(19) 第三節名詞釋義一、國小三國小三、四年級本研究所指之國小三、四年級係指九十八學年度就讀國小三、四年級之學童。. 二、數感本研究所提之數感乃是採用楊德清（1997）對數感之解釋：個人對數字和運算之ㄧ般性的瞭解，它包括了有能力以彈性之方法作數學判斷，以及發展策略以處理數字和運算情境的相關問題。. 三、估算估算是結合數感、心算或其它運算技巧，如取近似值、四捨五入等概念，快速得到與精算結果接近且合理的約略答案，此過程是心裡的內在運思歷程，並不使用外界的任何工具來輔助，如紙筆、電子計算器等。. 四、數學估算能力本研究中的數學估算能力以受試者在研究者研發之「遊戲式電腦化加減估算自我調整評量」中命中題數多寡為指標。. 五、自我調整學習自我調整學習自我調整學習意指學習者未達到學習目標而主動產生的系統性思考及行為（Schunk & Zimmerman, 2003）。. 7.

(20) 第四節研究限制一、研究對象本研究對象為四年級學生，受限於實驗學校及研究者人力、工作時間之因素，無法以隨機方式從更多學校、學生中抽取受試者，故本研究之結果不宜過度推論。. 二、數感能力本研究只探究數感能力中整數二、三位數加減估算的能力，故研究的結果不宜過度推論，藉此評定學生數感能力的高低。. 8.

(21) 第二章文獻探討第一節數感與估算數感與估算一、數感的定義什麼是數感（Number Sense）？Howden (1989) 從個人經驗中發現，具備良好數感的孩童對數字有特殊感覺，而數感指的是人們如何透過數字來與他人和週遭世界產生關聯的直覺能力，這樣的能力是逐漸形成的。Reys (1994) 也有相同的看法，他認為數感不是一個有限的實體，而是指一種複雜且多變化的學習過程，會隨著學習者經驗的累積與知識的成長而逐漸發展。從兩位學者的觀點能知道數感是一種對數字的直覺，一種數學感覺，這樣的能力高低，需要時間慢慢的培養，與生活經驗也有關係，例如市場的菜販、魚販，也許只有小學或中學畢業，卻能在極短的時間內算出客人購買物的總金額，就是因為長期的經驗累積，腦海中對經常計算的數字已自然生成一套運算邏輯，具備了某一層面的數感能力。因為數感涉及的層面很廣，很難下一個明確的定義來界定它，因此，學者 Resnick (1989) 在一場研討會上提出九點看法來解釋數感一詞，他認為可以由不同的角度切入，來了解數感的意涵： 1. 數感是非算則化的概念。 2. 數感是一種複雜的概念和表現方式。 3. 有良好數感者，經常能展現出多樣化的解題方式而非單一解法。 4. 使用數感能力，能以微妙的方式來判斷並詮釋想法。 5. 數感的解題呈現多重的標準。 6. 數感具有一定程度的不確定性。 7. 數感是一種在思考歷程中的自我調整。 8. 數感是一種關於數字意義化的學習過程。. 9.

(22) 9. 數感涉及精緻化的思考過程，可經由努力來增進能力。 Sowder (1992b) 則綜合了多位學者的論點，在一場關於數感和其他相關議題的研討會後所提出的報告書上提出了自己對數感的看法，他認為數感意指具有良好的概念組織網路，能連結數字和運算特性的關係。數感是一種可供辨認的能力，這種能力是在比較數字時，使用數字的大小、相對和絕對大小做質與量的判斷，並且能辨認計算的不合理性，能運用非標準化的策略進行心算和估算。具備良好數感能力則能運用多種變化及創新的數字形式來解決問題。 Mclntosh, Reys, Reys, Bana, & Farrel (1997) 等人認為數感是指人對數字與運算的一般性理解，具良好數感的人，能變通的使用這種理解，在數學運算時，作出合理的判斷，並發展出有用且有效的解題策略來處理所面對的情境。美國數學教師協會（NCTM, 2000）所出版之「學校數學課程之原則與標準」（The Principles and Standards for School Mathematics）中也描述了數感：能夠自然的分解數字、能使用便於計算的數字來當作參考點、能運用數與運算之間的關係來解決問題、瞭解十進位系統、具有估算的能力、瞭解數字的意義、認知數字之相對與絕對關係。國內學者也注意到了數感的重要，對估算研究相當感興趣的學者支毅君（1997）認為：數感可視為數字及計算之間關係的習慣性想法，具備三種表現，分別是：表現對數處理的信心，相信可以用多種方式解決有關數的問題，以及有能力駕馭問題中的每一個數。國內數感研究的權威楊德清（2002）教授對數感的詮釋則是：數感是個人對數字、運算、以及數字和運算所產生之情境的一般性理解與認知，以及能夠以彈性靈活的方法去使用這種理解和發展有效的解題策略（包括心算、估算），以處理日常生活中包含數字和運算之情境的相關問題，是多種能力的組合。總的來說，數感只是一個詞彙，是不容易界定清楚的概念，它不是知識的本體，而是某種思考方式（Sowder, 1992b）。每位學者有自己的詮釋方式，所. 10.

(23) 以，雖然已經有不少學者投入相關的研究，但目前對數感的定義，依然意見紛歧，但內涵是相通的。數感雖然是種難以界定清楚的概念，是一個很廣泛的概念，但從學者們的看法，仍可從中找到較清晰的輪廓以及概括性的瞭解。研究者認為：數感強調的是有意義的學習方式，能理解數字的意義並對數字有較強的數學直覺，在數字、運算及數字與運算之間不同的情境可以發展出有效的解題策略，能靈活的思考與變通，特別是在非例行性問題上，一位具備良好數感能力者，面對不同的數學問題，能作出合理的判斷，流暢的使用數字或運算來解題，這和傳統強調筆算的計算過程以得到精確答案的能力，顯然是不同的。. 二、數感的重要性 Sowder (1989) 曾在課堂上問學生：「一位身高 1.5 公尺的十歲的孩子，他二十歲時可能有多高？」有將近三分之ㄧ的學生回答「3 公尺」。Sowder 認為這樣的現象意味著學生只會寫算式，但很少深思使用該算式的原因及所得答案的意義。支毅君（1992）曾要求學生在不用紙筆的情況下，在三個二位數乘法（47×9=423、98×16=948、38×12=456）的直式中，指認出其中錯誤的是哪一個算式。從上述三個式子的第二個算式不難看出，98 乘上一個比 10 大的數時，應該得到一個比 980 還大的數，因此第二個算式是有問題的。在十六位的受試學生中，僅有八位找出答案來，經訪談得知僅四位學生是依乘數和積的關係判斷出答案，其餘的是以筆算的方式求出結果來求得答案，此種現象顯示我國的學童太過依賴計算來解題。上述兩例都是學童數感能力不足的表象。數感對兒童的數學學習而言，是相當重要的，擁有較佳數感能力的兒童，能暸解數字的意義及其關係，並能辨識相關數量的大小、察覺數字演算結果的合理與否。若孩童不知道數字所代表的意涵，無法理解數字的意義，當他重新面對不同問題時，便無法解決問題（楊德清，2000a；Reys & Yang, 1998）。根據大英帝國學校數學教學調查委員會（The United Kingdom Committee of Inquiry. 11.

(24) into the Teaching of Mathematics in the schools, 1982）的主張：數感是數學學習與應用的重要成分（引自 Howden, 1989）。因此，過去幾十年來，各國在數學教學上都有了許多改變，多位學者在數感的研究上投注心力，將數學教育的重點著重於發展兒童的數感。國內近年來最大的教育改革當然也不例外，在九年一貫暫行綱要的數學學習領域中就明列出孩童需要具備「發展形成數學問題與解決數學問題的能力」。九年一貫的總目標強調的是能力的開拓，希望以學生為主體，以學生生活經驗為中心，培養學生解決問題的能力，期許學生有帶著走的能力，主張生活化及意義化的學習（教育部，2000），此點與數感的精神不謀而合。而九年一貫課程正式綱要更首度引入新的名詞「數字感（Number Sense）」，並明確的指出數字感較好的學生，通常都能夠使用估算的技巧，來協助計算、驗算與解題（教育部，2003）。由此可見數感在近年本國數學教育發展上的重要地位，數感的重要性是教育工作者不能忽視的。. 三、數感的理論架構既然不同的學者對數感有不同的定義，在數感的組成成分上自然也發展了不同的理論架構，文獻分析的過程中，研究者整理了下述學者的理論架構，再從中找出大部分學者都有提到的重要成分。 Thompson & Rathmell (1989) 的認為數感可分為下列四種成分： 1. 能瞭解數字的意義與關係：瞭解數字系統（整數、分數、小數）以及數字所代表的意義和結構關係。例如：明白數字可以被分解、可以不同的形式作表徵。 2. 能瞭解數字的相對大小：能暸解數字間的相對大小關係，對數字做比較與排序。例如：知道0.1大於0.09、0.4987小於但是接近0.5等。 3. 能瞭解數字運算的相對結果：能瞭解運算時的相互關係，並能預期運算的結. 12.

(25) 果。例如：知道一個正數乘以大於1的數，結果會大於原來的數；68 × 0.08 的結果會比68小很多。 4. 能瞭解如何使用參考點於日常生活情境：例如當孩子知道自己的鞋子長度約 20公分時，就能以此為參考點去估計球場的長度又多長。學者 Sowder (1992b) 參考多位學者所提出的數感架構，認為具備良好數感能力者，在表現上應能顯現下列各能力： 1. 能彈性地合成、分解數字，並靈活地轉換數字的各種不同表徵。 2. 能比較數字的相對大小與排序。 3. 能處理數字的絕對大小。 4. 會找出合理的參考點。 5. 能有意義的連結數字、運算及相關符號的能力。 6. 能理解運算對數字的影響。 7. 能有效運用數字與運算的性質簡化算式。 8. 能在適當的時機進行估算並判斷答案合理性。 9. 理解數字意義的能力。 Mclntosh, Reys, & Reys (1992) 三位學者，所提的數感組成架構如下： 1. 數字概念：包括能理解數字順序的意義、數字的多重表徵、數字相對和絕對大小的常識、參考點的使用。 2. 運算的流暢性知識：瞭解運算對數字所產生的影響、數學運算的屬性（如分配律、交換律等）和運算之間的關係（如加法和乘法、減法和除法等）。 3. 流暢的應用數字與運算於計算情境：瞭解問題情境與計算間的關係、能應用不同的解題策略來解決問題、善於運用有效的表徵方式且能夠敏銳的檢驗、判斷結果的合理性。 Mclntosh, Reys 與 Reys (1992) 三人除了認為數感架構該包涵上述三個向度外，並以圖表（圖2.1）說明了數感與數字、運算和情境之間的關係。. 13.

(26) 數. 字. 運. 數. 感. 情. 境. 算. 圖2.1 數感主要成份之內在連結（引自Mclntosh, Reys, & Reys, 1992） Mclntosh, Reys 與 Reys 三位學者為了建置數感測驗的題庫，於1997年和另外兩位學者Bana與Farrel，以上述架構為基礎，將數感組成成分再細分為六項組成成分，分別是：瞭解數字的基本意義和大小、瞭解數字的多重表徵方式、瞭解運算對數的意義與影響、對相等數值的解釋和使用的能力、發展計算或計數策略（包括心算、筆算、估算和使用計算機）的能力和運用參考點的能力。國內學者楊德清（楊德清，1997，2002a，2002b; Reys & Yang, 2005；Yang, 2003, 2005）的數感組成成分： 1. 暸解數字的基本意義瞭解數字系統（包括整數、分數、小數），其所代表的意義以及結構關係，包括十進位系統、數字型態與位值觀念。例如：了解 95784＝9×10000＋5×1000 ＋7×100＋8×10+4；684.56 可以分解成6個100、8個10、4個1、5個0.1和6個0.01。 2. 比較數字大小的能力能夠明確認知一個數字（整數、分數、小數）之大小、判斷兩個數字之中哪一個較接近第三個數字、有能力去排序數字。例如：有能力由小至大依序排列0.48，12，2019，1918。 3. 使用參考點的能力. 14.

(27) 複雜的數字或運算問題可以藉由參考點來簡化問題，運用此作為檢驗其他 4 數字之標準點。例如：以1為參考點，知道 5 小於1，但是接近1。 4. 瞭解運算對數字的意義和影響之能力認知運算在不同數字系統及不同情境下所產生的影響。面對特定的問題情境，可以發展如何解決的策略與方法。例如：一個正數乘上一個大於1的數，其乘積會變大。 5. 發展不同的計算策略與判斷答案合理性的能力能依照問題的情境選擇合適的計算策略及工具，包括估算或心算等策略來解決問題，並能夠檢驗結果的合理性。 6. 瞭解和應用數字的多重表徵，包括數字合成與分解的能力認知數字能以不同的表徵去表達與呈現，也包括了能以彈性的方式靈活的變換數字或運算的結構，使得運算能以更簡單的方式進行。例如：在解決 1 1 1200×0.25的運算問題時，知道0.25= 4 能變換運算成1200× 4 以方便計算。許清陽（2006）則參考之前學者們的分類，將數感分為五個向度探討：分別是瞭解數字的意義和關係、比較數字相對大小、瞭解運算對數字的意義和影響、發展計算策略與判斷答案的合理性、瞭解數與運算的多重表徵。綜合上述文獻中不同學者所提出的數感架構，觀點上也許有所差異，但我們不難發現，學者們大都提到了「估算」是很重要的成分。例如： Thompson 與 Rathmell 提到要使用參考點於日常生活中做估算， Sowder 提到要能在適當的時機進行估算並判斷答案的合理性， Mclntosh 等人與國內學者楊德清、許清陽都提到了發展計算或計數策略（心算或估算等策略）的重要性。在數感的架構中，所包含的概念多、範圍廣，透過上述分析後，研究者擬定「估算」為主題，做深入的探討。「估算」是重要的能力之一，其指的是能應用不同解題策略於計算情境，並能預估答案是否合理的能力（許清陽，2006）。估算和生活息息相關，美國數學教師協會（NCTM）在1988年就明訂了「估算」為五項重要的 15.

(28) 數學主題之一，由此可見先進國家對估算的重視，因此以下將探討數感與估算之關係。. 四、數感與估算估算是指透過某種心算過程找出與原本數值相近的近似值，求出結果的解題方式。估算是指在計算時做出合理的猜測，不使用紙筆或計算機等工具算出正確答案，而是找出一個接近的答案（Lemaire & Lecacheur, 2002）。估算的特點包括：不使用紙筆算則、迅速得到答案、以合理的大約值代替精確的計算（吳心馨，2007）。估算是種複雜的能力，包括兩項過程，首先將精確的數字簡化成概略且便於計算的數值，然後再將這些概數以適切的策略進行解題，再求出結果的一種解題方式（Case ＆ Sowder, 1990; Sowder, 1992a）。. （一）估算的重要性近年來，先進國家在數學教育改革中，都提到了估算的重要。在美國的數學課程改革裡，估算是主要著重的內容之一（NCSM, 1989; NCTM, 1989, 2000）；在日本近來的課程改革聲浪中，與美國一樣，也強調著估算的技巧的重要性，認為估算能力的提升，可以用來幫助兒童發展更好的數感能力，並且認為「兒童應該成為一個好的估算者」（Japanese Ministry of Education, 1989）。由此可知，加強估算能力已成為國際間數學教育的一股潮流。估算和我們的生活息息相關，支毅君（1996）指出：在日常生活所牽涉到的數字，估算往往比精算好用，為當精確答案不需要或情況不允許時，就需要估算來求出合理的概略解答。例如：賣場或百貨公司常有買千送百的活動，購買物品時，如果有良好的估算能力，就能在沒有紙筆或計算工具的情況下估算購買物的總額；判斷所攜帶的錢是否足夠支付已挑選的商品，也會用到估算能力；當學生知道一個班級的人數後，想推知全校的學生人數時，亦是利用估算策略來獲取接近正確 16.

(29) 數值的概數；或是估算長度、面積或體積的大小等。因此，基本精神是「培養學生帶的走的基本能力」的九年一貫課程，也將估算列入課程綱要中，在最新修定完成之九七正綱（教育部，2009）的數學領域實施要點提及：「學生應明白，電算器或電腦固然可以用來減低計算上的負擔，但是仍然有各種錯誤的可能，因此仍然要有好的計算、估算甚至檢查策略，來驗證計算結果的合理性。」其中，附錄二的五大主題說明內更提到了「估算」的重要性：「估算是過去數學教學中，較被忽略的課題。一般來說，數字感較好的學生，通常都能夠使用估算的技巧，來協助計算、驗算與解題。」事實上，我們所面臨的許多問題並不需要準確的答案，而是需要對解答的特性有大致的理解，因此在適當時機作估算，的確是一個十分重要的數學能力。估算能力佳的學童，能將估算策略應用於生活中，解決生活所面臨的種種問題，把學校獲得的知識運用在真實的生活中。因此，國內近年來也有愈來愈多的學者投入估算的研究（王秀惠，2004；吳心馨，2007；張盈盈，2003；黃靖淑，2002）。. （二）數感與估算數感與估算估算不但是數學教育中相當重要的教學主題，是學生必備之基本能力，在上述不同學者所提出的數感定義和理論架構中亦不難發現，數感組成成分中估算佔有一席之地，估算與數感有密不可分的相關性，在數感的發展上扮演極重要的角色（ McIntosh, Reys, & Reys, 1992; Resnicks, 1989; Sowder, 1992a, 1992b）。估算能力較佳的人，才有可能具備良好的數感，因此，估算常被用來當作鑑定數感能力的指標之ㄧ。估算，雖然不需要求出精確的數值，只要估計出結果的範圍，而且所用的方法是加、減、乘、除等基本的運算知識，但是估算是多種思維方法的綜合，必須對問題進行觀察、分析、判斷、猜測、推理、思考和運算等等，常常是先依靠數學直覺來思維，然後再依靠邏輯性的思維達到目標（McIntosh, Reys, &. 17.

(30) Reys, 1992; Sowder, 1992a）。因此，估算能力好的人，遇到問題時，能做整體性的考量來獲取接近目標的值，這和數感重視有意義的學習的內涵相同，由此可知，發展學生的估算能力，和培養學生良好的數感，具有同樣重要的價值。估算是數感組成成分中不可或缺的重要策略，過去的數學科教學中，估算常是被忽略的課題之ㄧ。估算能力不佳的學童，數感能力不佳的可能性很大。好的估算者會使用各種不同的策略，對數字和運算有較深的瞭解，他們能變通的運用不同的思考方式，並對數字予以意義化；相反地，估算能力差的學生，傾向應用他們所學到標準化的紙筆算則做估算，不瞭解估算的本質和目的，估算對他們來講與猜測並沒有兩樣（許清陽，2006）。綜合上面的討論可以發現估算與數感具有非常密切的關係。學者們亦認為具有較好估算能力的人，亦具有較好之數感能力，如 Edwards (1984) 深信，改善估算的教學與提升數感的發展是有密切關係的；Resnicks (1986) 也認為教導估算和心算是培養數感的途徑。. （三）估算的策略 Sowder (1992a) 按照操作任務的差異把估算分作三類：數量估算，測量估算和計算估算。三種估算類別各需不同的理解與策略，數量估算與測量估算非本研究欲討論的類別，因此，以下將針對「計算估算」來做討論。 Reys, Rybolt, Bestgen & Wyat (1982) 認為估算是心算、四捨五入技能和位值等數概念的綜合能力表現。他們對1200位七至十二年級的學生與一般成人進行估算測驗，試後再選取59位估算能力較佳的受試者進行訪談，藉以暸解他們答題時所採用的估算策略，結果發現好的估算者常使用三種估算策略：重組（Reformulation）、轉換（Translation）和補償（Compensation）。重組是改變數字以產生一種內心易於處理的形式，意即將數字改變成比較容易心算的形式，原本的問題結構仍然一樣，例如347÷72變成350÷70，或將數字採不同的方式表. 18.

(31) 徵，例如將1234的30%變成1234×0.3。轉換是把問題的數學結構改變為一種易於處理的形式，例如5233+4917+5128變成5000×3等等。補償是通過調整，把經過重組或轉化後，因為數字的改變而產生的差距做出調整。例如：347÷72變成 350÷70，但是347÷72的結果應該比350÷70還要小，估算出來的答案應該要比5 小，所以估計大約是4.8。 Shimizu & Ishida (1994) 以訪談的方式得知估算能力不錯的日本學生經常運用之估算策略為：平均法、直接取概數、使用特殊數字以及運用參考點策略。兩位學者亦針對100名大學一年級學生進行估算研究，結果發現估算時直接取概數的比例最高，其次依序是適當的概約法、平均法、使用特殊數字、使用參考點和心算等策略，首位法的使用率最低。 1. 取概數：意指將題目中的數字轉換為大概的數值，有三種方式，分別是無條件進位法（如238轉取為240、678轉取為700）、四捨五入法（依欲取位數，後一位小於等於4就捨去，大於等於5就進位），和無條件捨去法（如453轉取為450、711轉取為700）。 2. 適當的概約法：指學生能依題目的不同性質，彈性交互使用取概數的三種方式。 3. 首位法：包括四捨五入取到首位數和將首位後的數字無條件捨去兩種方法。由以上的文獻可以發現，良好的估算者應該能彈性的選擇不同的策略來應付各種數學情境，在本研究中，所設計的問題是在「計算估算」情境下，二位數和三位數的加減法估算，因此，能透過取概數後的重組策略來解題的學生，在評量的表現上將能獲得不錯的成績。. 19.

(32) 第二節自我調整學習一、自我調整學習之意涵「自我調整學習」（self-regulated learning）是近三十年來教育心理學研究的重要焦點，它是一個複雜的構念，包括許多心理學的相關理論整合而成的，也有學者將其翻譯為「自主學習」、「自律學習」或「自我調制學習」。1977 年 Bandura 首先提出自我調整的觀念，他認為個體的行為會因自己觀察到或經驗到的外在結果而加以調整，這種調整的過程主要是因為人類擁有自我指導的能力，而這種能力透過行為的結果，對自己的思想、情感和行動產生控制引導的作用（引自林文正，2005，p. 150）。Zimmerman (2001) 認為個體在學習的過程中，是一個主動積極的求知者。在以網路為基礎的超媒體學習環境中，學習者自我調整學習的能力對於增進其超媒體學習情境的複雜知識是一個很重要因素（Azevedo, Winter & Moos, 2004）。根據Zimmerman (2001) 的歸納，自我調整可以由社會認知論、行動控制論、現象學、行為學派、認知建構論和Vygotsky 的鷹架理論等不同學派的觀點予以闡述。惟各學派的論點不盡相同，可由陳玟伶（2001）分類整理之「六種學派的自我調整定義觀」（表2.1）一窺一二，陳玟伶在文獻分析的過程中，認為社會認知理論最具代表性。社會認知理論是從主體觀點（agentic perspective）出發，認為每個人都是有所期待的、有目的性與能自我評估的，並會對動機和行動進行調整（Bandura, 2001）。自我調整就是在個人有意圖採取主動投入的影響過程中發生的。. 20.

(33) 表2.1 六種學派的自我調整定義觀（引自陳玟伶，2001）學派. 自我調整的定義. 自我調整的動機. 自我調整是指個體會以其內在透過內在自我系統－例如自我的自我歷程（例如自我效能知效能（self-efficacy）知覺，與自覺、自我經驗和外在結果等個人我觀察(self-observation)、自我判社會認知論. 認知）而來策略性的調整其行為斷 (self-judgement) 及自我反應 (self-reaction)之過程相互影響、. 與學習環境。. 調整之後產生學習動機 (self-motivation)。自我調整是指個體從目標抉擇動機只能導致個人初步目標的（動機部份）到堅持執行該目標設定（決策前的分析），執行過（意志部份）的過程，也就是行程還有其他意向的競爭與干行動控制論動控制的過程。. 擾，因此要確保設定目標的達成有賴意志（行動控制）的保護（決策後的分析）。. 自我調整的發展須視個體自我受個體的自尊或自我概念所激現象學系統的發展而定。. 勵。. 自我調整被視為是外在環境的來自於外在刺激的增強連結，藉行為學派. 刺激對個體自我反應之調整行自我增強來強化個體的自我反為的增強連結。. 應。. 強調學習者在學習歷程中如何個體具有從經驗中建構意義的認知結構論. 有效運用認知與後設認知策略天性，並透過同化與調適來達成以進行自我調整學習。. 自我平衡與自我勝任。. 自我調整是指兒童經由語言來經由工作導向與自我導向的內 Vygotsky. 調整、內化其內在思維與外顯行在對話，產生適當的動機與情緒為的過程。. 以提升自我控制。. 21.

(34) 不同學者對自我調整學習也有不同的解釋。Schunk（2001）提到自我調整學習是一種學習者自我產生之有系統性與目標導向的思考與行為，進而形成學習狀態。洪福源（2000）認為自我調整學習是個人為了達成某項任務而設定目標，採用已存在的滿意策略（content strategy）監控目標達成進步狀況，調節自己的想法、情感、行為的循環過程。Schunk & Zimmerman (2003) 認為自我調整學習意指學習者未達到學習目標而主動產生的系統性思考及行為。由幾位學者的看法可知，自我調整學習是學習者主動產生系統性之學習行為的過程。自我調整學習的發生與學習的動機有很大的關連。Bandura (1986) 認為自我調整學習是指個人有所知覺、有動機意願且實際主動投入行為的過程。Paris & Ayres (1994) 提到自我調整學習是一種功能取向、獨立自主、自我導向的學習模式，也就是一種對知識抱持好奇心並進而能引發探索的行為，且能妥善運用策略以解決問題的學習方式。對知識有足夠的好奇心，才能引發自我調整學習的動力，自我調整學習是學習者能在動機上、目標上、行動上、策略上積極地介入自己的學習的歷程（林清山、程炳林，1995）。Paris & Paris (2001) 也認為自我調整學習與動機有關，能對學生課業學習各種面向的行為產生影響，兩位學者並對於學生所習得的技巧、知識和動機等提供了更整體的觀點。自我調整學習與後設認知有很大的關係，誠如 Schunk (1989) 所提的，自我調整學習是指學習者自己設定學習的目標，維持及調整策略以處理統整知識或記憶認知訊息，並進一步監控、檢核及調整學習成果的後設認知歷程。學者 Zimmerman (2001) 也認為自我調整學習是指學習者可以在後設認知、動機及行為上積極主動的參與自己的學習歷程。隔年（2002）再次提到自我調整是指在個人所設定目標及相關策略的導引下，自發性的調整思考、情感及行為，以達成目標。綜觀上述所言，研究者認為自我調整學習是指學習者在有足夠的動機驅使之下，能扮演積極、主動的角色，依據自己認知的知識，使用後設認知監控，. 22.

(35) 選擇不同的調整策略來達成目標的學習過程。如何引發學習動機和學習者本身後設認知的能力是自我調整學習的關鍵因素。因此，以下將探討後設認知和自我調整學習的關係。. 二、自我調整學習與後設認知 Flavell 在 1976 年發表的「問題解決的後設認知知識」（Metacognitive Aspects of. Problem Solving）一文中，最早使用「後設認知」（meta-congnition）. 一詞。他認為後設認知是一個人對於自己的思維和學習活動的知識的監控與調整，他將後設認知區分為後設認知知識（指學習主體已具有的知識）、後設認知經驗（指個人對自己的認知狀態所具有的敏銳的感覺，意即所謂的心得或教訓）和後設認知策略（指求新求變的能力、策略，認知策略和後設認知策略有所不同，前者是指致力於完成目標的內在過程，後者是指監控認知策略的過程）三個不同的成分（Flavell, 1981）。他還針對後設認知知識、後設認知經驗、認知目標和認知行動的交互影響，提出了一個認知監控模式（如圖 2.2）。. 認知目標. 後設認知經驗. 後設認知知識. 認知行動. 圖 2.2 Flavell 的認知監控模式（Flavell, 1981） Brown (1987) 把後設認知看成是檢核、調整和評估個體思維的能力，是指學習者對其認知活動以及對調整其認知過程方法的自覺，並將後設認知分為「認知的知識」和「認知的調整」。認知的知識包括敘述性、程序性及條件性知識，指的是個人知道自己認知的狀況與對自己與所處環境互動之間的覺察。認知的. 23.

(36) 調整則是指執行控制的部分，包括計畫、監控和檢核三部份。黃月平（民93）將 Brown 的後設認知觀點整理成圖2.3的架構圖，並說明了後設認知知識愈豐富的學習者，愈有能力進行認知的調整工作；而懂得對認知知識調整、監控的學習者，愈能擴展其認知知識。計畫認知的調節. 監控檢核. 後設認知個人認知資源的知識. 認知的知識. 個人與環境之間關係的覺察圖2.3 Brown 後設認知架構圖（引自黃月平，2004） Paris, Lipson, & Wixon (1983) 認為後設認知分兩大部分：認知的自我評估知識和個人思考的自我管理。 1. 認知的自我評估知識（self-appraised knowledge about cognition） (1) 陳述性知識：個人能力之敘述性事實，也就是瞭解什麼因素會影響認知活動的知識。 (2) 程序性知識：知道如何運用策略的知識。 (3) 條件性知識：知道何時以及為什麼要採取不同策略的知識。 2. 個人思考的自我管理（self-management of one’s thinking） (1) 計畫：評估過目標後，選擇適當的策略並安排行動，以達成認知的目標。 (2) 評鑑：評估自己是否能達成認知目標或對自我學習狀態的評估。 (3) 調整：在認知的歷程中，持續監控自己認知的進度，並適時的調整自己的行動以達成目標。 Riding & Rayner (1998) 指出：「後設認知是改善學習策略的最重要歷程，. 24.

(37) 同時也是實踐學習策略的關鍵所在。」Zimmerman (1986) 認為自我調整學習指的是學生透過「後設認知」，有動機性地在行為上主動參與他們自己的學習過程，自己生產出自己的想法、感覺與行動，以達到他們的學習目標。後設認知是個人面對知識情境時，自己知道「自己所知道的」，而且知道他該怎樣處理問題的心理歷程（張春興，2000）。Van Haneghan & Baker (1989) 對後設認知的看法強調在認知監控的部份，意即在解題的歷程中，對解題歷程或結果的檢核、評鑑及修正的能力。涂金堂（1995）提到後設認知是指在從事認知性活動時，個人對本身的認知歷程及結果，具有監控、評鑑和調整的知能，使所從事的認知性活動，能達到最有效的結果。總的來說，後設認知最簡要的定義是指個人對自己認知歷程的認知。而自我調整學習和監控自己的歷程息息相關，因此當然是後設認知的重要課題之一。從上述學者們對後設認知的定義、解釋，說明了後設認知與自我調整學習策略的關係是密不可分的。在自我調整學習的過程中，學習者以學習目標為導向，以後設認知選擇、使用、監控與調整自己的學習策略，透過不斷的修正來達成學習目標。Woolfolk (1995) 認為人因有不同的後設認知知識和後設認知技能，因此學習的優劣快慢就會不同。可見，學習者的後設認知能力可以幫助他們監控自我學習，並採取適當的行動以修正學習的缺失，後設認知能力在自我調整學習的歷程中，佔極重要角色。. 三、協助學生發展自我調整學習的方法當學習者開始主動對自己學習的特質及學習材料瞭解，同時有高度的學習興趣或學習動機，就能產生有意義的學習，所以要使學生獲得有意義的學習，在教育上就要以促進學生積極主動學習為目標。自我調整學習係指學習者自己設定學習目標，在過程中監控、修正自己的策略，以達學習成果的後設認知歷程，當學生能夠監控自己的學習進步，則就會有一次自我成長的滿足感。因此，. 25.

(38) 研究者認為如何協助學生發展自我調整學習是件很值得教育學者專家深思的問題。王金國（2001）在發表的學術性文章「成功的學習關鍵－自我調整學習」中，歸納許多學者的方法後，提出以下的幾個方法： 1. 將自我調整學習能力訂為教學目標之一。 2. 教師應指導或示範學生不同的學習策略：教師可直接教導或示範不同的學習策略，包括認知策略及後設認知策略等，讓學生了解每一種策略意義（陳述性知識）、如何使用（程序性知識）及何時使用（條件性知識），使學生豐富其策略。 3. 提供足夠的練習機會：光是教師指導或示範是不夠的，教師還應提供的足夠的練習機會，讓學生在學校的情境中練習所學的策略，且唯有實際練習，學生才能真正了解各種策略實際的運作情形及了解其效能。 4. 獎勵策略的使用：當學生使用學習策略時，教師應獎勵或增強學生的表現。 5. 傳達對學生自我調整其行為的期望與信心，讓學生在比馬龍效應下逐漸表現自我調整行為。 6.. 指導學生一些內在的語言來提昇內在動機，例如：我下次會更好、我知道我會成功。基於上述的方法，研究者希望建置一個能記錄學生數感估算解題策略並協. 助學生自我調整學習數感估算能力的線上平台，本研究所研發之「加減估算自我調整評量」，透過線上遊戲的方式，提升學生的主動學習、調整之動機；透過測驗過程中的刺激與回饋，來提升學生的內在動機。而在整個遊戲的架構上，將分為三個測驗，單箭模式一和單箭模式二都是只能作答一次的「單箭」試題，多箭模式則提供學生較多次的作答機會，一方面希望透過多箭模式能瞭解學生答題時的自我調整、修正過程，另一方面更希望學生在經過多箭模式的自我調整學習後，在單箭模式二的測驗中能獲得更好的表現。. 26.

(39) 四、自我調整學習與數感的關係數感包含的內涵很廣泛，就如同本章第一節所提及的，很難下一明確的定義，它包含了多種能力，但一定需要的是學習者主動思考的能力，並能在思考的過程中監控、調整自己的策略，以達成目標，這些都牽涉到學習者的後設認知能力。許清陽（2005）在發表的「後設認知理論及其在國小學童數感發展上的應用」中就提及後設認知和數感關係密切，數感與後設認知的關係是由數學思維過程中表現出來的，是指在數字的認知活動中，以數感為主導，個體對數字與運算過程的認知監控，是個體計畫、體驗、調節數字認知過程與結果的認知活動。其中分為兩個要素，數感後設認知的知識和數感後設認知的監控。 Howden (1989) 提過每個人都有天生的數感和後設認知能力，差別在於能力的高低有所不同，以教育的觀點來看，後設認知是可教、可學的，而數感除了可隨著經驗和知識發展而逐漸成熟，在相關研究上，也有許多研究者設計了不同的教學方式提昇孩童的數感。自我調整學習能力是後設認知能力中極重要的要素，由於數感內涵的多變性，Resnick (1989) 提到數感能夠幫助學生在思考歷程中作自我調整。由此可知，不管是培養學童的數感能力，或是加強學童的自我調整能力，兩者是相輔相成的。因此，本研究擬結合「數感」與「自我調整學習」兩大主題，透過能引發學生學習動機的線上遊戲式設計方式，融入數感估算學習，再加上電腦能即時記錄作答過程和呈現不同的刺激與回饋，詳細紀錄學生解題時的所有調整數值，這是過去研究未曾做過的方式。. 第三節數感相關實徵研究數感相關實徵研究隨著數感和自我調整學習日漸受到重視，許多國內外學者紛紛在這兩大主題的範疇下提出相關報告和研究，國內對數感的研究，也如雨後春筍般日益增多。根據董庭豪（2009）在2008年12月的整理，國內與數感相關之博碩士論文 27.

(40) 有53篇，學術期刊有39篇，分類如表2.2和表2.3，從下列兩表中可看出發展數感教學的比例是最高的，可見如何提升學童的數感能力是多數研究者最關心的議題。表2.2 數感相關主題之博碩士論文篇數（引自董庭豪，2009）數感能力. 發展數感. 數感測驗. 調查. 教學課程. 工具編製. 數感理論. 類別介紹與研究. 篇數. 20. 23. 10. 0. 比例. 37.34%. 43.40%. 18.87%. 0%. 表2.3 數感相關主題之學術期刊論文篇數（引自董庭豪，2009）數感能力. 發展數感. 數感測驗. 數感理論. 調查. 教學課程. 工具編製. 介紹與研究. 類別. 篇數. 10. 13. 4. 12. 比例. 25.64%. 33.33%. 10.26%. 30.77%. 以往的研究大多是挑選自我調整學習或數感單一主題進行研究。在自我調整學習研究的部份，與後設認知的研究方法相當，大多配合錄影錄音的方式，採晤談法、放聲思考法或問卷調查法進行研究，需耗費相當的人力與時間，因所涉及的學科領域太多，以下不多做論述。在數感研究方面，與本研究較具相關性的是數感的工具編製和數感教學研究。本研究採取電腦化線上施測的方式，能結合資料庫功能詳細記錄受試學生的作答情形，目的除了研發線上評量工具，還能協助學生做數感的自我調整學習，是過去研究未曾出現過的方式，以下列舉與本研究相關的數感研究：林素微（2003）以國小高年級學生為研究對象，編製「電腦化數感動態評量」共10題，擇定數學能力測驗、數量估算等數學學習表現作為電腦化數感評. 28.

(41) 量的效標，以動態測量的方式，檢視適性的電腦化介入對學童數感協助與區辨的效益，來探討國內高年級學童目前數感的概況。張文宜（2004）發展數感電腦化多點計分題型的新式測驗，測驗內容包含「比例判準」、「生活心算」和「基準量運用」三個層面，一方面豐富數感的構念內容，另一方面補充描述國小中高年級學生數感表現概況。研究後發現，電腦的多媒體與動態化的優點，可積極提升學童在數學評量的表現。李威進（2004）參考九年一貫數學課程綱要第一階段所訂定的能力指標及不同版本的數學課程內容，發展「國小第一階段電腦化數字常識測驗」，並探討第一階段兒童在數常識發展上的表現。黃莉雯（2005）以調查研究法為主，採用許清陽（20001）發展之「國小高年級數字常識評定量表」和涂金堂（1995）改編的「後設認知量表」進行紙筆測驗，輔以質性訪談，以事後回溯之晤談方式觀察受試者在數感解題的後設認知歷程。許清陽（2006）抽取臺灣本島22縣市六年級學童3462人進行線上測驗，用以建構數感之理論模式，及暸解六年級學童數感的表現概況，研究發現大部學校學童的數感與數學學業成就有顯著相關，而其所發展出的數感診斷測驗系統，能提供測驗的PR值並具有診斷錯誤類型與迷思概念的功能。葉俊谷（2007）以完成五年級數學課程之六年級學童為對象，以電腦化兩階段測驗的方式，編制了「完成國小五年級數學課程之數常識電腦化診斷測驗系統」，並藉此暸解學童在數常識的發展。從上述相關數感工具編製的文獻可發現，以往的測驗多為紙筆測驗，缺點在於要求不用紙筆計算的情境（如數感測驗）下，學生容易藉由紙筆計算求出答案而降低測驗的效度，而且當需要蒐集大樣本的資料時，所耗費的人力物力難以估計。近年來，由於寬頻網路的普及，已有多位學者將傳統的測驗推展至電腦化的測驗方式，而且透過網際網路進行線上測驗，蒐集受試者資料變得快. 29.