數感 數感 數感與估算 數感 與估算 與估算 與估算

第一節 第一節

第一節 數感 數感 數感與估算 數感 與估算 與估算 與估算

一 一

一 一、 、 、數感的定義 、 數感的定義 數感的定義 數感的定義

什麼是數感（Number Sense）？Howden (1989) 從個人經驗中發現，具備良 好數感的孩童對數字有特殊感覺，而數感指的是人們如何透過數字來與他人和 週遭世界產生關聯的直覺能力，這樣的能力是逐漸形成的。Reys (1994) 也有相 同的看法，他認為數感不是一個有限的實體，而是指一種複雜且多變化的學習 過程，會隨著學習者經驗的累積與知識的成長而逐漸發展。從兩位學者的觀點 能知道數感是一種對數字的直覺，一種數學感覺，這樣的能力高低，需要時間 慢慢的培養，與生活經驗也有關係，例如市場的菜販、魚販，也許只有小學或 中學畢業，卻能在極短的時間內算出客人購買物的總金額，就是因為長期的經 驗累積，腦海中對經常計算的數字已自然生成一套運算邏輯，具備了某一層面 的數感能力。

因為數感涉及的層面很廣，很難下一個明確的定義來界定它，因此，學者 Resnick (1989) 在一場研討會上提出九點看法來解釋數感一詞，他認為可以由不 同的角度切入，來了解數感的意涵：

1. 數感是非算則化的概念。

2. 數感是一種複雜的概念和表現方式。

3. 有良好數感者，經常能展現出多樣化的解題方式而非單一解法。

4. 使用數感能力，能以微妙的方式來判斷並詮釋想法。

5. 數感的解題呈現多重的標準。

6. 數感具有一定程度的不確定性。

7. 數感是一種在思考歷程中的自我調整。

8. 數感是一種關於數字意義化的學習過程。

9. 數感涉及精緻化的思考過程，可經由努力來增進能力。

Sowder (1992b) 則綜合了多位學者的論點，在一場關於數感和其他相關議 題的研討會後所提出的報告書上提出了自己對數感的看法，他認為數感意指具 有良好的概念組織網路，能連結數字和運算特性的關係。數感是一種可供辨認 的能力，這種能力是在比較數字時，使用數字的大小、相對和絕對大小做質與 量的判斷，並且能辨認計算的不合理性，能運用非標準化的策略進行心算和估 算。具備良好數感能力則能運用多種變化及創新的數字形式來解決問題。

Mclntosh, Reys, Reys, Bana, & Farrel (1997) 等人認為數感是指人對數字與運算 的一般性理解，具良好數感的人，能變通的使用這種理解，在數學運算時，作 出合理的判斷，並發展出有用且有效的解題策略來處理所面對的情境。

美國數學教師協會（NCTM, 2000）所出版之「學校數學課程之原則與標準」

（The Principles and Standards for School Mathematics）中也描述了數感：能夠自 然的分解數字、能使用便於計算的數字來當作參考點、能運用數與運算之間的 關係來解決問題、瞭解十進位系統、具有估算的能力、瞭解數字的意義、認知 數字之相對與絕對關係。

國內學者也注意到了數感的重要，對估算研究相當感興趣的學者支毅君

（1997）認為：數感可視為數字及計算之間關係的習慣性想法，具備三種表現，

分別是：表現對數處理的信心，相信可以用多種方式解決有關數的問題，以及 有能力駕馭問題中的每一個數。國內數感研究的權威楊德清（2002）教授對數 感的詮釋則是：數感是個人對數字、運算、以及數字和運算所產生之情境的一 般性理解與認知，以及能夠以彈性靈活的方法去使用這種理解和發展有效的解 題策略（包括心算、估算），以處理日常生活中包含數字和運算之情境的相關 問題，是多種能力的組合。

總的來說，數感只是一個詞彙，是不容易界定清楚的概念，它不是知識的 本體，而是某種思考方式（Sowder, 1992b）。每位學者有自己的詮釋方式，所

以，雖然已經有不少學者投入相關的研究，但目前對數感的定義，依然意見紛 歧，但內涵是相通的。數感雖然是種難以界定清楚的概念，是一個很廣泛的概 念，但從學者們的看法，仍可從中找到較清晰的輪廓以及概括性的瞭解。研究 者認為：數感強調的是有意義的學習方式，能理解數字的意義並對數字有較強 的數學直覺，在數字、運算及數字與運算之間不同的情境可以發展出有效的解 題策略，能靈活的思考與變通，特別是在非例行性問題上，一位具備良好數感 能力者，面對不同的數學問題，能作出合理的判斷，流暢的使用數字或運算來 解題，這和傳統強調筆算的計算過程以得到精確答案的能力，顯然是不同的。

二 二 二

二、 、 、數感的重要性 、 數感的重要性 數感的重要性 數感的重要性

Sowder (1989) 曾在課堂上問學生：「一位身高 1.5 公尺的十歲的孩子，他二 十歲時可能有多高？」有將近三分之ㄧ的學生回答「3 公尺」。Sowder 認為這 樣的現象意味著學生只會寫算式，但很少深思使用該算式的原因及所得答案的 意義。支毅君（1992）曾要求學生在不用紙筆的情況下，在三個二位數乘法

（47×9=423、98×16=948、38×12=456）的直式中，指認出其中錯誤的是哪一個 算式。從上述三個式子的第二個算式不難看出，98 乘上一個比 10 大的數時，應 該得到一個比 980 還大的數，因此第二個算式是有問題的。在十六位的受試學 生中，僅有八位找出答案來，經訪談得知僅四位學生是依乘數和積的關係判斷 出答案，其餘的是以筆算的方式求出結果來求得答案，此種現象顯示我國的學 童太過依賴計算來解題。上述兩例都是學童數感能力不足的表象。

數感對兒童的數學學習而言，是相當重要的，擁有較佳數感能力的兒童，

能暸解數字的意義及其關係，並能辨識相關數量的大小、察覺數字演算結果的 合理與否。若孩童不知道數字所代表的意涵，無法理解數字的意義，當他重新 面對不同問題時，便無法解決問題（楊德清，2000a；Reys & Yang, 1998）。根 據大英帝國學校數學教學調查委員會（The United Kingdom Committee of Inquiry

into the Teaching of Mathematics in the schools, 1982）的主張：數感是數學學習與 應用的重要成分（引自 Howden, 1989）。因此，過去幾十年來，各國在數學教學 上都有了許多改變，多位學者在數感的研究上投注心力，將數學教育的重點著 重於發展兒童的數感。

國內近年來最大的教育改革當然也不例外，在九年一貫暫行綱要的數學學 習領域中就明列出孩童需要具備「發展形成數學問題與解決數學問題的能力」。 九年一貫的總目標強調的是能力的開拓，希望以學生為主體，以學生生活經驗 為中心，培養學生解決問題的能力，期許學生有帶著走的能力，主張生活化及 意義化的學習（教育部，2000），此點與數感的精神不謀而合。而九年一貫課 程正式綱要更首度引入新的名詞「數字感 （Number Sense）」，並明確的指出 數字感較好的學生，通常都能夠使用估算的技巧，來協助計算、驗算與解題 （教 育部，2003）。由此可見數感在近年本國數學教育發展上的重要地位，數感的 重要性是教育工作者不能忽視的。

三 三 三

三、 、 、數感的理論架構 、 數感的理論架構 數感的理論架構 數感的理論架構

既然不同的學者對數感有不同的定義，在數感的組成成分上自然也發展了 不同的理論架構，文獻分析的過程中，研究者整理了下述學者的理論架構，再 從中找出大部分學者都有提到的重要成分。

Thompson & Rathmell (1989) 的認為數感可分為下列四種成分：

1. 能瞭解數字的意義與關係：瞭解數字系統（整數、分數、小數）以及數字所 代表的意義和結構關係。例如：明白數字可以被分解、可以不同的形式作表 徵。

2. 能瞭解數字的相對大小：能暸解數字間的相對大小關係，對數字做比較與排 序。例如：知道0.1大於0.09、0.4987小於但是接近0.5等。

3. 能瞭解數字運算的相對結果：能瞭解運算時的相互關係，並能預期運算的結

果。例如：知道一個正數乘以大於1的數，結果會大於原來的數；68 × 0.08 的結果會比68小很多。

4. 能瞭解如何使用參考點於日常生活情境：例如當孩子知道自己的鞋子長度約 20公分時，就能以此為參考點去估計球場的長度又多長。

學者 Sowder (1992b) 參考多位學者所提出的數感架構，認為具備良好數感 能力者，在表現上應能顯現下列各能力：

1. 能彈性地合成、分解數字，並靈活地轉換數字的各種不同表徵。

2. 能比較數字的相對大小與排序。

3. 能處理數字的絕對大小。

4. 會找出合理的參考點。

5. 能有意義的連結數字、運算及相關符號的能力。

6. 能理解運算對數字的影響。

7. 能有效運用數字與運算的性質簡化算式。

8. 能在適當的時機進行估算並判斷答案合理性。

9. 理解數字意義的能力。

Mclntosh, Reys, & Reys (1992) 三位學者，所提的數感組成架構如下：

1. 數字概念：包括能理解數字順序的意義、數字的多重表徵、數字相對和絕對 大小的常識、參考點的使用。

2. 運算的流暢性知識：瞭解運算對數字所產生的影響、數學運算的屬性（如分 配律、交換律等）和運算之間的關係（如加法和乘法、減法和除法等）。

3. 流暢的應用數字與運算於計算情境：瞭解問題情境與計算間的關係、能應用 不同的解題策略來解決問題、善於運用有效的表徵方式且能夠敏銳的檢驗、

判斷結果的合理性。

Mclntosh, Reys 與 Reys (1992) 三人除了認為數感架構該包涵上述三個向 度外，並以圖表（圖2.1）說明了數感與數字、運算和情境之間的關係。

數 字 運 算

數 感

情 境

圖2.1 數感主要成份之內在連結（引自Mclntosh, Reys, & Reys, 1992）

Mclntosh, Reys 與 Reys 三位學者為了建置數感測驗的題庫，於1997年和 另外兩位學者Bana與Farrel，以上述架構為基礎，將數感組成成分再細分為六項 組成成分，分別是：瞭解數字的基本意義和大小、瞭解數字的多重表徵方式、

瞭解運算對數的意義與影響、對相等數值的解釋和使用的能力、發展計算或計

瞭解運算對數的意義與影響、對相等數值的解釋和使用的能力、發展計算或計