Broadcasting on the Alternating Group Graph

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(1)Broadcasting on the Alternating Group Graph Hao-Shun Hung Department of Computer Science & Information Engineering National Taiwan University b4506040@csie.ntu.edu.tw. Hui-Ling Huang Department of Information Management Southern Taiwan University of Technology hlhuang@mail.stut.edu.tw 結網路的設計和演算法是平行和分散式系統. 摘要. 中一個很重要的基本問題。在各種連結網路中，加利圖(Cayley graph). 交替群圖(alternating group graph)是近年. 是一個相當重要且值得注意的結構，最主要是. 來被提出的一種新的連結網路拓樸結構，它屬. 加利圖擁有許多不錯的拓樸性質，如對稱性. 於加利圖(Cayley graph)的一種。交替群圖具有. (symmetry)、遞迴分解性及不錯的容錯能力. 很多很好的拓樸性質，如對稱性、遞迴性、規. (fault-tolerant)等。常見的加利圖有星圖(star. 則性、較小的直徑及不錯的容錯能力等優點，. graph)[1]、平降圖(pancake graph)[3]、超立方. 因此它很適合做為大型多處理機系統的拓樸. 體(hepercube)等等，相對於超立方體，星圖有. 結構。之前的研究已解決了交替群圖上的一些. 較佳的度數(degree)和直徑，且有更佳的容錯. 基本拓樸性質，例如度數、直徑、最短路徑演. 能力[2]。. 算法及多埠模式下的廣播演算法等等，但是單. 近來有個稱為交替群圖(alternating group. 埠模式下的廣播演算法則是尚未被解決。本篇. graph)[15]的加利圖被提出，和星圖一樣，它. 論文主要是利用交替群圖可遞迴分解的特. 有比超立方體好的度數和直徑，在[8]中也說明. 性，在單埠模式下找出一個一對多的廣播演算. 了它在通訊方面比星圖和超立方體表現要. 法。在一個 n 維的交替群圖上，我們所提出的. 好，交替群圖也跟所有加利圖一樣具備相當好. 單埠模式廣播演算法只需要 O(nlogn)的單位. 的拓樸性質，包括點對稱性、邊對稱性、遞迴. 時間，它是一個最佳的(optimal)演算法。. 性及規則性等，因此交替群圖很適合做為大型多處理機系統的拓樸結構。在[15]中已討論了. 關鍵詞：交替群圖、廣播、單埠模式、多埠模. 一些交替群圖的基本拓樸性質，包括度數、直. 式. 徑及最短路徑演算法等等，作者並提出一個在多埠 (multi-port) 模式下的一對多廣播. 一、簡介. (broadcasting)演算法。廣播演算法是一個連結網路上的重要的. 在設計大型多處理機系統時，處理機之間. 問題，很多線性代數的演算法都會用到它. 的連結網路拓樸性質是個設計上很重要的考. [9][10][11]，如矩陣-向量乘法(matrix-vector. 量因素。它不僅影響其硬體的結構，也影響在. multiplication)、矩陣-矩陣乘法(matrix-matrix. 上面執行各種演算法的效率，所以研究有關連. multiplication)、高斯消去法(Gaussian elimina-. 1.

(2) tion)、LU-分解(LU-factorization)以及 Householder 轉換(Householder transformation)，同時. 在介紹交替群圖之前，我們先介紹排列群. 也用於資料庫查詢、遞移閉包(transitive closure). (permutation group)及它的一些相關的定義。簡. 演算法[6]以及線性程式演算法。當我們考慮節. 單的說，n 個物品的排列(permutation)就是將. 點通訊能力時，可以分成兩種模式，即單埠模. 這 n 個物品在一個列上做順序的調換。例如{1,. 式和多埠模式。單埠模式中每個節點單位時間. 2, 3}這三個元素的排列就有以下六種：123、. 一次最多只能傳送一個訊息到另一個相連的. 132、213、231、312 和 321。. 點，而在多埠模式中的每一個節點單位時間可. 我們也可以把排列看成是一種”重新命. 以將資料同時傳給所有與它相連的節點。目前. 名”而使用兩列的表示法，例如我們可以把. 對於超立方體及星圖上的廣播演算法已有相當多的研究成果，[12]中討論了超立方體上各. 1 2 3 4 5 6   ，它的意義 346251 表示成   3 4 6 2 5 1. 種模式下的廣播演算法；而在星圖方面，[23]、. 為”1 變成 3，2 變成 4，3 變成 6，4 變成 2，5. [26]提供了一些多埠模式下的一對多廣播演算. 變成 5，而 6 變成 1”。很明顯的，將這個表示. 法，而[1]、[4]、[21]、[20]、[22]和[25]也提出. 法中的每一列調換順序並不會改變這個排. 了許多單埠模式下的一對多廣播演算法，另外. 列，例如剛剛的例子也可以改寫成. 在[20]和[7]中對單埠模式和多埠模式下的多.  3 4 6 2 1 5   。  6 2 1 4 3 5. 對多廣播演算法也都有很好的結果。本篇論文最主要是在交替群圖上找出單. 另一種排列的表示法為循環表示法(cycle. 埠模式下的一對多廣播演算法。在單埠的模式下，因為每個節點在一個單位時間內只能傳給. 1 2 3 4 5 6   可以表 notation)[16]，例如   3 4 6 2 5 1. 一個相鄰節點，所以在一個具有 N 個節點的. 示成(136)(24)(5)，而這表示了”1 變成 3，3 變. 網路上廣播至少要花 log 2 N  個單位時間；另. 成 6，6 變成 1，2 變成 4，4 變成 2，而 5 變. 一方面，若離原始節點最遠的節點距離為 h，. 成 5”，其中每一個循環( x1 x 2 ... x n )代表. 則由原始節點廣播至少需要 h 個單位時間，而. 了” x1 變成 x 2 ， ...， x n −1 變成 x n ， x n 變成. 這個最遠距離 h 一定小於或等於這個圖的直. x1 ”。若是一個循環中只包含一個元素，我們. 徑 D。所以在單埠模式下，一對多廣播所需要. 把這種循環成為不變量 (invariant) ，在上例. 的時間至少為 max( log 2 N  , D)。任何一個廣. 中，5 即是不變量。通常我們在循環表示法中. 播演算法若其執行時間能到達這個下界就可. 會將不變量省略，如上例我們可以省略成. 以說是最佳(optimal)的。我們將證明我們所提. (136)(24)。另外，我們把排列的乘法定義為對排列再. 出的單埠模式廣播演算法是最佳的。本篇論文其餘各節的內容如下：第二節. 另外做一次排列。例如排列. 將詳細介紹交替群圖，在第三節中我們將對交. 1 2 3 4 5 6    經由另一個排列  3 4 6 2 5 1. 替群圖提出一個單埠模式下的一對多廣播演. 1 2 3 4 5 6    後，我們可以觀察出來：1  2 4 3 1 6 5. 算法，並在第四節做總結。. 二、交替群圖及相關結果. 先變成 3 之後還是變成 3，2 變成 4 之後又變. 2.

(3) 和 AG3 同構。事實上，若我們定義 AGn [ j; i ] 為 AGn 的子圖且其中的每個點 p= p1 p 2 ... p n 均符合 p j =i 其中 3≤j≤n，則 AGn [ j; i ] 和 AGn −1 即為. 成了 1 等等，因此 1 2 3 4 5 6     3 4 6 2 5 1. ×. 1 2 3 4 5 6     2 4 3 1 6 5. 同構。例如 AG4 中三點 4321、3241 和 2431 即為 AG4 [4;1] 。我們用 AGn [i ] 作為 AGn [n, i ] 的簡寫。. 1 2 3 4 5 6   3 4 6 2 5 1  ×   =   3 4 6 2 5 1 3 1 5 4 6 2. 在 [15] 中作者提出一個最短路徑演算. 1 2 3 4 5 6   =  3 1 5 4 6 2. 法，我們將它列於下。因為交替群圖具有點對. 令 p= p1 p 2 ... pi ... p j ... p n 為一排列，對每一. 稱性，所以任兩點之間的最短路徑問題可以視. 組數對(i ,j)且 i<j，若 pi > p j ，則這個(i ,j)就稱. 為是任意一點到單位節點 I=12…n 的最短路徑. 為一組倒反(inversion)，我們用σ(p)來表示 p 中倒反的數目，而我們定義 p 的等量(parity). 問題。. 為 (−1) σ ( p ) 。一個排列若其等量為 1，則稱其為偶排列(even permutation)，反之若為-1，則稱為奇排列 (odd permutation) 。例如 p=346251，則σ(p)=9，其等量為-1，故 p 為奇排列。. 演算法 2.1：最短路徑演算法輸入：任一點 p= p1 p 2 ... p n 。輸出：p 至 I 的最短路徑中 p 的下一個節點 p’。. 以下我們將正式定義交替群圖，交替群. 1. 若 p1 , p 2 ∈{1,2}，則 p’=p⋅ g i* 其中 i. 圖被發表在[15]為一加利圖，其節點可視為 n. 符合 3≤ i ≤ n 且 pi 不為 p 中之不變量，而. 個符號構成的所有偶排列的集合。. *∈{+ ,-}。 2. 若 p1 ∉{1,2} ，則 p’=p⋅ g i+ ，其中. 定義 2.1 令 An 為所有 n 個元素形成的偶排列. i= p1 ，或者若 p 2 ∉{1,2}，則 p’=p⋅ g i− ，其中. 的集合，令 g i+ =(1 2 i)，而 g i− =(1 i 2)，Ω=. i= p 2 。. { g i+ 3≤ i ≤ n}∪{ g i− 3≤ i ≤ n}。則我們定義 n 維交替群圖 AGn =(Vn , E n )，其中 Vn = An ，而 E n ={ ( p, q ) h p ,q∈ An , q=p×h, 其中 h∈Ω}。. 例如，若 p=13254，則由 p 走到 I 的路徑如下： g−. 我們稱上面定義中的 An 為交替群. −. +. g5 g4 → 41325 → 12345. (alternating group)[17][5]， An =n!/2，所以 AGn 的節點個數為 n!/2。Ω是 An 的生成元集，且. 先將符號 3 歸位，再將 5、4 分別歸位。由最短路徑演算法我們可以計算出任一節點到單位節點 I 的距離，若 p = p1 p 2 ... p n =. Ω =2(n-2)，所以 AGn 為規則圖且其度數為. 2(n-2) 。對交替群圖上的任意一個節點 p= p1 p 2 ... pi ... p n ，和它相連結的節點為 p 2 pi ... p1 ... p n 和 pi p1 ... p 2 ... p n 其中 3≤ i ≤ n，這 g i+. g+. 3 4 13254 → 21354 → 15324. c1c 2 ...c k e1e2 ...el ，其中 ci 為長度大於 1 的迴圈，1 ≤ i ≤ k；而 e j 是不變量，1 ≤ j≤ l。則 p. g i−. 些相連的節點都是分別經由運算元與之後所產生的，以較直覺的看法可以看成是將節點 p 的第 1、2 和第 i 個符號分別向左和向右做旋轉的動作，圖 2.1 和圖 2.2 分別為 AG3 和 AG4 的例子。從圖 2.2 可以觀察出若我們將 AG4 中的點依照其第四個位置的數字來分類的話，每個點集合所形成的子圖均是和 AG3 同構 (isomorphic)的，例如第四位數字為 1 的點： 4321、3241 和 2431 這三個點形成的子圖，就. 到 I 的距離 D p 為： n+k–l. 若 p1 = 1 而且 p 2 = 2. n+k–l–3. 若 p1 = 2 而且 p 2 = 1. n+k–l–2. 若 p1 ≠ 1 而且 p 2 = 2. n+k–l–2. 若 p1 = 1 而且 p 2 ≠ 2. n+k–l–3. 若 1, 2 ∈ ci ，1 ≤ i ≤ k 且 3 ≤ ci. n+k–l–4. 3. 若 1 ∈ ci ，2 ∈ c j ，1 ≤.

(4) i≠j≤k. 們可以發現，12345 要到達每個子圖最多只要. 由上可知，交替群圖的直徑為. 花兩步的時間，例如要走到 AG5 [i ] ，第一步先.  3(n − 2)   2  。和超立方體和星圖比較，交替群  . 走到第一位或第二位數字為 i 的點，第二步即可直接走到目的地。所以，我們再把這部分的. 圖的直徑比超立方體短，而和星圖的直徑相去. 演算法分成兩個階段，第一階段先把資訊傳到. 不遠。. n-1 個第一位數字或第二位數字為 i 的點，其中 1≤ i ≤ n-1；第二階段再把資料從這 n-1 個點. 三、單埠模式下的廣播演算法. 傳到其他 n-1 個子圖中。因為第一階段要把訊息傳給總共 n - 1 個. 在[15]中已經提出交替群圖在多埠模式. 節點，所以至少要 log(n − 1) 的時間(以下文章. 下的一對多廣播演算法，若考慮由單位節點. 中的 log 均是以 2 為底)。為了簡化問題，我們. I=12...n 廣播訊息到其他所有點，我們只要利. 特地挑這 n-1 個節點均為第一位數字為 i 的. 用上一節所提出的最短路徑演算法，去建立一. 點，其中 1≤ i ≤ n-1。我們令這個演算法會傳. 個以單位節點 I 為根的貪婪生成樹(greedy. 到的第一位為 i 的點為 Pi ，而這個 i 值就稱為. spanning tree)，則每一個節點到根節點 I 的路. Pi 的 CARD 值。我們將演算法分成 log(n − 1). 徑都是最短路徑，在多埠模式下只需要. 個步驟，第一步驟傳給 P2 ，第二步驟傳給 P3 、.  3(n − 2)  D=   個單位時間即可將訊息廣播給  2 . P4 ，第三步驟傳給 P5 、 P6 、 P7 、 P8 ，...等等。一般來說，在第 i 個步驟中，其中 1≤ i. 其他所有的節點。. ≤ log(n − 1) ，資料將從 P1 、 P2 、...、 P2i −1 傳. 在本節中我們將在單埠模式下解決在交. 到 P1+ 2i −1 、 P2 + 2i −1 、...、 P2i −1 + 2i −1 。而且當 i 不. 替群圖上的一對多廣播問題，由於交替群圖是. 等於 1 時，因為 P j 的(j+ 2 i −1 )一定在第(j+ 2 i −1 ). 點對稱圖，所以我們可以不失一般性的將問題. 位，所以 P j 傳輸資料到 P j + 2i −1 所需要經過的連. 從任一節點傳訊息給所有節點簡化成從單位. 結就是 g −j + 2i −1 ，其中 1≤ j ≤ 2 i −1 ；而當 i 等於 1. 節點 I 到其他所有節點的廣播演算法。我們在第二節中提過交替群圖是可以被遞迴分解. 時有特殊情況，因為 2 在 P1 的第二位，所以需. 的，在維度為 n 的交替群圖中，我們只要能先. 要經過的連結我們就取 g 3+ 。圖 3.2 為此第一. 把訊息傳給每個維度為(n-1)的子圖，接下來再. 階段演算法在 AG6 上的例子。. 利用遞迴的方式對每個子圖做廣播即可，所以. 以下為上述之演算法，其中每個節點需. 我們首先討論如何將訊息傳給每個子圖。. 同時的執行這個演算法。特別要注意的是若我. 以圖 3.1 的 AG5 為例，我們可以觀察出. 們沿著 g i+ 送訊息，目標點會由 g i− 收到訊息。. 節點 12345 若想要到 AG5 [3] 這個子圖，可以. 另外，此演算法並沒有限制原始節點一定要是. 經由 23145Æ52143 這條路徑到達，也可以經. 單位節點 I，我們令原始節點的 CARD 值為 1。. 由 31245Æ15243 這條路徑到達。而若是要到. 演算法 3.1: 第一階段. AG5 [4] ，可經由 24315Æ52314 或 41325Æ. 輸入: 這個交替群圖的維度 n. 15324 這兩條路徑到達，而 AG5 [2] 和 AG5 [1]. for i := 1 to. 可以直接經由一步就可到達。從上面的例子我. log(n − 1) do. if 這個節點有訊息要送. 4.

(5) 2 k −1 < j ≤ n，1 ≤ u ≤ 2 k −1。因為 Q2k −1 +l = Ql ×. begin. i −1. dim := CARD + 2 i −1 ;. g l−+ 2i −1 ，所以 q 1l + 2i −1 = q1l + 2 ，其中 1 ≤ l ≤ m。. if dim = 2. 因此，根據數學歸納法，我們證明了這個演算法會將資料傳到 n-1 個點： Q1 ，. then 沿著. g 3+. 送訊息;. Q2 ，... Qn −1 ，而且對每個 1≤ j ≤ n-1， q1j = j。. else if dim < n − then 沿著 g dim 送訊息;. 因為我們在第一階段中已經把訊息傳給. end. n-1 個第一位數字不同的點了。在第二階段. else. 中，只要由這些點再延著 g n− 傳訊息，就可以. if 收到了沿著維度 g 3− 的連結送來. 傳訊息到每個子圖中。. 的訊息. 依照上述的兩階段演算法，再加上遞迴. then CARD = 2;. 的部分，整個廣播演算法如下：. else if 收到了沿著維度 g d+ 的連結送來的訊息. 演算法 3.2: 廣播演算法 then CARD := d;. 輸入: 這個交替群圖的維度 n. end {for};. SIZE := n; CARD := 1;. 定義 3.1 在這個演算法中，我們定義來源節點為 Q1 ，而其他節點則定義成 Qcard ，其中 CARD 是他在演算法中收到訊息時候被設定. if (SIZE > 3) then begin. 的值。並且，我們定義 q kj 為 Q j 的第 k 位數字。. repeat. 其中，1≤ j ≤ n – 1 且 1≤ k ≤ n。. /* 第一階段 */ for i := 1 to. 定理 3.1 若 n≥4，演算法 3.1 將資料傳到 n- 1 個點：Q1，Q2，...，Qn 。而且對每個 1≤ j ≤ n-1，. if 這個節點有訊息要送. q1j = q1j 。. begin dim := CARD + 2 i −1 ;. 證明：我們將用數學歸納法來證明它。當 n=4 時和 n=5 時，經由簡單的測試就可以發現他是正確的。現在若我們假設這個引理在 n. if dim = 2 then 沿著 g 3+ 送. ≤ 2 k −1 +1 時是成立的，即此演算法會將訊息傳到 Q1 ，Q2 ，...，Qn −1 ，且對每個 1 ≤ j ≤ n - 1， q1j. =. q1j. 。則當 n = 2. k −1. +1+m，1 ≤ m ≤ 2. 時，首先這個演算法在. . k −1. log(SIZE − 1) do. . i. 訊息;. k −1. else if dim < SIZE − then 沿著 g dim 送. =. log[(2 + 1 + m) − 1] = k 時，資料會由 Q1 ， Q2，...，Qm 傳到 Q2k =1 +1，Q2 k −1 + 2 ，...，Q2 k −1 + m ，. 訊息; end. 因此資料恰巧會傳給 n - 1 個點：Q1，Q2 ，...， Q 2 k −1 + m 。. else if 收到了沿著維度 g 3−. 其次，因為這個演算法在 i < k 時，傳資的連結送來的訊息. 料所經過的連結的維度均不會比 2 k −1 大，所以 q ul = qvl 對每一個 1 ≤ u, v ≤ 2 k −1 ， 2 k −1 ≤ l ≤ j. then CARD = 2; else if 收到了沿著維度. j. n；換句話說這些點均符合 qu = q1 ，其中. 5.

(6) g d+ 的連結送來的訊息. 相同，根據歸納法假設，我們知道此演算法即可讓整個 AGn 上的所有點都收到資料，而這就. then CARD := d;. 完成了我們的證明。. end {for}; /* 第二階段 */ 沿著. − g SIZE. 因為交替群圖上的點數為. 送訊息;. SIZE := SIZE – 1;. n! ，而它的直 2.  3(n − 2)  徑是   ，所以單埠下的一對多廣播演  2 . until (SIZE = 3) end;. 算法至少要 max( log. /* AG3 上的廣播 */. n!  3(n − 2)  , ) = O(nlogn) 2  2 . 沿著 g 3+ 傳訊息;. 的時間。因此，我們找出來的廣播演算法是最. 沿著 g 3− 傳訊息;. 佳化(optimal)的。. 四、總結. n −1. 定理 3.2 演算法 3.2 總共需要 ∑ ( log i  + 1) = i =2. 廣播問題在連結網路上是很重要的問. O(n logn)次傳輸。證明：此演算法最外層的迴圈中，SIZE 會由. 題，在連結網路上的許多演算法都會用到它。. n 降到 4，而內層迴圈需要 log(SIZE − 1)  + 1 次. 在交替群圖上，多埠模式下的一對多廣播、多. n. 對多廣播和單節點散播等問題已經都被解決. i =4. [15][19]，但是對於單埠模式下的一對多廣播. 傳輸，所以共需要 ∑ ( log(i − 1) + 1) + 2 = n −1. n −1. 問題則尚未被解。本篇論文中針對交替群圖我. i =2. i =2. 們提出一個單埠模式下的一對多廣播演算. ∑ ( log i  + 1) 次傳輸。而顯然的 ∑ ( log i  + 1) n −1. 法，它是一個最佳化的演算法。然而它會有多. i =2. 餘(redundancy)訊息，所以如何將其改正到沒. < (n-2)(logn+1) < 2nlogn，所以 ∑ ( log i  + 1) =. 有多餘訊息將是接下來的首要目標。另外在交. O(nlogn)。. 替群圖上，除了一對多廣播之外，單埠模式下. 定理 3.3 在單埠模式下，演算法 3.2 可以用. 的其他通訊問題，如多對多廣播、一對多個人. O(nlogn)次通訊將訊息由單位點 I 廣播到交替. 化通訊等都還沒有被解過，這些也是未來很好. 群圖 AGn 上的每一個點。. 的研究方向。. 證明：根據定理 3.2 我們已經知道了這個演算法的通訊步數，接下來我們要用數學歸納法證. 五、參考文獻. 明它可以廣播到 AGn 上的每一個點。當 n = 3 時這個演算法經由最後兩個步驟即可傳到所 [1] S.. 有點，顯然是正確的。而若我們假設這演算法. B.. Akers,. Krishnamurthy,. 在 n = k - 1 時可以將資料傳到 AGn 上的所有. attractive. 點。則當 n = k 時，根據定理 3.1，此演算法外. D. “The. alternative. Harel, star to. and. B.. graph:. an. the. n-cube,”. Proceedings of the international Confe-. 層迴圈在 SIZE = k 時，可以讓每個子圖上均有. rence on Parallel Processing, 1987, pp.. 一點有資料，接下來這演算法即和 n = k – 1 時. 6.

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(9) 123. 231. 312 圖 2.1：AG3. 1342. 2143. 3241. 2431. 4321. 4132. 1423 1234. 3124. 2314. 3412. 4213 圖 2.2：AG4. 9.

(10) 13425. 21435. 往 AG5(4) 往 AG5(2). 32415. 24315. 43215. 41325. 14235 31245 往 AG5(1). 12345 往 AG5(1) 往 AG5(2). 往 AG5(3) 23145. 往 AG5(2). 往 AG5(3). 34125. 42135. 往 AG5(1)：12345Æ25341 往 AG5(2)：12345Æ51342 往 AG5(3)：12345Æ31245Æ15243 12345Æ23145Æ52143 往 AG5(4)：12345Æ24315Æ52314 12345Æ41325Æ15324. 圖 3.1: AG5(5). 10.

(11) 123456. 123456. 123456. 231456. 312456 231456. 123456. 513426. 圖 3.2：AG6 上的第一階段演算法. 11. 421356.

(12)