雙線日晷原理與模擬

雙線日晷原理與模擬 71 物理教育學刊

2008, 第九卷第一期, 1-16 Chinese Physics Education2008, 9(1), 1-16

物理教育學刊

2013, 第十四卷第二期, 127-144 Chinese Physics Education2013, 14(2), 127-144

雙線日晷原理與模擬

蘇偉昭 屏東教育大學 應用物理系 wjsu@mail.npue.edu.tw （投稿日期：民國102 年 10 月 18 日，修訂日期：103 年 01 月 13 日，接受日期：103 年 01 月 13 日） 摘要：雙線日晷具有兩條南北和東西向且平行晷面的線晷針，雙線離晷面的高度 比為所在緯度的正弦函數值，雙線日晷和赤道日晷一樣以晷心為中心畫出24 條相 距15 的小時線，而晷心沿著南北向偏移雙線垂直投影晷面的交點距離也和緯度 有關。雙線日晷即利用雙線晷針影在晷面的影子交點落在某條小時線附近來讀取 日晷時。當雙線日晷向南或北傾斜即構成傾斜雙線日晷，傾斜雙線日晷和所在緯 度與傾斜角度相加所得角度為新緯度的地平雙線日晷構造完全一樣，不同的是在 兩地的雙線日晷可以觀測的時間長短不一樣。時差修正可以依照每日時差與經度 時差，以晷心為中心旋轉日晷小時線所對應的修正角度，以達日晷時與地方標準 時（鐘錶時）同步。 o 本文主要目的是利用個人設計的雙線日晷程式展示雙線日晷相關原理。使用 者可透過改變程式中的經度、緯度、晷面傾角，模擬不同視角的雙線晷針影隨時 間變化情形，亦即透過不同功能選項組合，模擬不同參數組合結果，以建構與深 化空間與時間概念。 關鍵詞：雙線日晷、日晷模擬、空間與時間

壹、前言

雙 線 日 晷(bifilar sundial) 是 由 德 國 人 Hugo Michnik 在 1922 人發表的（邱紀良， 2008 ﹔ 網 站 ： The Sundial primer, Wikipedia），算是比較晚被提出的日晷形 式。常見的日晷如赤道日晷、地平日晷等， 都只有一個晷針，並利用其晷針影來讀取日 晷，但是雙線日晷卻有南北和東西向且平行 晷面的兩條線晷針，藉由兩條線晷針在晷面 的影子交點來讀取日晷時。雙線日晷另一個 特點是其小時線在晷面上的分佈和赤道日晷 一樣，相鄰小時線都是等角分開15 所以在 製作上並不困難。較令人好奇的是，形成雙 線晷針影的交點在晷面上會隨時間改變，產 生晷針影交點在雙線上所對應點並不固定， o_，

其如何讀取日晷時與日期？如何做時差修 正？雙線日晷與其它類型日晷是否有相關？ 是值得探討的。 另一方面，在現今網路上可以查到許多 日 晷 相 關 模 擬 軟 體(網站：Sundial Design Software)，由於日晷類型眾多，且常有新的 類型產生，所以應該沒有一個模擬程式可以 提供所有日晷類型的模擬，多數日晷模擬軟 體僅能模擬一種或數種類型的日晷。這些日 晷模擬軟體中，最常模擬的就是赤道日晷與 地平日晷，模擬雙線日晷的軟體並不多，免 費 且 最 常 被 下 載 使 用 的 ， 可 能 就 屬 Shadows、與 bifilar sundial applet 兩軟體：

Shadows：這是一個網路上相當受歡迎 的日晷軟體，提供數種日晷類型模擬，主要 是提供使用者依所在位置，繪出不同類型日 晷的小時線與日期線，使用者可以因需求或 喜好，調整日晷尺寸大小、字體、顏色等， 並列印出以便製成實體的日晷。在雙線日晷 模擬功能方面，會顯示出兩晷針線影隨時間 在晷面上移動的情形，因此可以從兩晷針影 交點與小時線的相對位置，判讀日晷時。本 軟體在其官網呈現看似有 3D 圖形的日晷 圖，但軟體中並沒有提供視角調整功能，在 其使用說明上也沒有提到類似功能，所以判 斷其在晷面與晷針影的模擬是屬於 2D 形 式，也就是螢幕上只能呈現正面對著晷面， 而不能改變視角，讓使用者從不同角度觀看 日晷與晷針影隨時間變化情形。

bifilar sundial applet：是一提供單一雙線 日晷模擬的程式，可以依所輸入的日期與經 緯度繪出晷面上的小時線與日期線，本模擬 圖 也 提 供 不 同 時 間 的 8 字 型 日 行 跡 (analemma)繪製選擇功能。同樣的，本軟體 在其官網看似有 3D 圖形的日晷圖，但軟體 本身並沒有提供視角調整功能，所以在模擬 上也應屬於2D。再者，此軟體模擬並沒有呈 現兩晷針線影及其交點如何隨時間移動的情 形，僅能依所輸入的時間顯示兩晷針影交點 的位置。 在學習上，多數書本會採用某些常用的視 角投影來繪製圖片，以便於解說並節省頁 數，所以學習者久而久之也會習慣這些常用 的視角投影，而當看到某些不同視角投影 時，就會感到格格不入，解讀困難。解決之 道，可能必須多看不同投影視角的圖片，以 習慣不同的繪製方式。因此，本研究目的就 是要設計 3D 雙線日晷模擬，模擬不同觀測 參數（經度、緯度、日期、時間）、投影視角 和雙線日晷參數，以圖示方式呈現雙線日晷 的相關特點，讓使用者能透過模擬，從不同 視角投影瞭解雙線日晷概念，及其相關變 化，以提昇學習效能。

貳、雙線日晷原理

因為赤道日晷與地平日晷可說是日晷的 基本，為了說明與比較雙線日晷與前二者的 差異性，所以先介紹其概念，再說明雙線日 晷小時線、日期線與傾斜雙線日晷基本原理。

ㄧ、赤道日晷與地平日晷

在某一個緯度 ，建立一個地面座標系 統，東西南北分別以 、 、S 、 標示如 圖1，且 θ E W N NS 與 EW 相交於 A。接著在通過 NS 且垂直地平面的假想平面上建構一個直角三 角ΔPOA，其中∠ 為直角（即 OP 與 PA 垂P 直）、∠ 為當地的緯度 O θ。從日晷的角度 來看，線OP 與地球自轉軸平行，且點 朝 向天北極。如以 為圓心， P P OP 為旋轉軸，PA 為半徑畫一圓，即為赤道日晷晷面（此時可 以假想一平面 uUVv 包含此一赤道日晷晷 面），此晷面與當地鉛垂線夾角為θ，且PA 是中午12 點的小時線， OP 為赤道日晷的線

從點O開始往點r 方向，取一點 使得P OP 的 長度也等於z ，即 OP 和 BJ 的長度一樣。如 點 在地平面的垂直投影為點A ，則由圖 2 可 得 P θ sin z 晷針。對晷面平行地面的地平日晷來說，OP 為其和赤道日晷共用的線晷針，OA 則為其 12 點的小時線。 現假設，太陽從西南方照射過來，OP 會 分別在平面 uUVv 與地平面形成 OX 和 PX 兩段影子，此時，OA 與 OX 的夾角為H_h， PA 與 PX 的 夾 角 為 H_e ， 所 以 OA / AX ) tan(H_h = 且 =AX/PA sin BJ PA=OPsinθ= θ= ( 公 式 2)。也就是說，當給定長度 與緯度 θ 時，由 公式2 即可得 z z = BJ ，PA z= sinθ。 接著，以點 為原點建立緯度θ 的地平 座標系統，其東西南北分別以E、W、S、N 標示。然後，分別在 A NS 與 EW 上方架設兩條 與地平面平行的直線，fC 與 KL ，如其離晷 面高度分別為BJ ( z= )與 PA，則 fC 與 KL 便 可為水平雙線日晷晷針。雙晷針線長度fC 和 KL 並沒有特別限定，只要能產生雙線晷針 影交點以適合日晷時讀取即可。另外，因為 南北晷針線fC 離地高度為 ，所以其延伸必 會通過上述的點 (圖 2)，所以也可以假設 z B BC 為南北向晷針線。 ) tan(H_e POA Δ 。再 由 直 角 三 角 的 關 係 OA / PA ) sin(θ = ，可得 ) sin( ) tan(H ) tan(H_h = _e θ e H h H (公式 1)。對赤道日 晷來說，時角 的變化是每小時 ，而地 平 日晷 的 時 角 的變 化 與 當 地的 緯 度 有 關，即遵循公式1 的關係。 o 15

二、水平雙線日晷小時線

水平雙線日晷其南北向與東西向晷針線 離地平面距離要遵守一定關係，此關係以圖 2 來說明如下：在緯度 θ ，假設點 在地平 面上且 O Or 與地球自轉軸平行，如任取一長度 為南北向直線離地平面的高度，並假設此 南北向直線和 z Or 交於 ，設 為點 在地面 上的垂直投影點，則 B J B BJ 長度即為 。接著再 z 以公式 2 限定雙線高度BJ 與 PA 的關 係，是雙線日晷重點所在，其理由說明如下： 在某一時間，BC 與 KL 在晷面的影子分別為 bc 與 kl ，且影子 kl 與 NS 和 bc 分別交於 和 。此時點P 的影子為點p，由於點 在 I T P KL 上，所以其影子點 必落在p kl 上。點 到b NS 圖1：赤道日晷與地平日晷關係

圖2：地平雙線日晷原理 在極區 ，東西向和南北向晷針離地面 高度一樣(同為 )。如在赤道上 ，由公 o 90 = θ z _θ=0o 的垂直距離為bD ，則 就如同圖 1 的 （地平日晷的時角），所以由圖 2 可得， DOb ∠ h H ) H sin( Ob bD= _h (公式 3)。 式2 可得PA= ，東西向晷針離地面高度為0 0，再從圖 2， 、 P 、 三點需在一直線的 觀點，會造成 O B 0 BJ= ，即南北向晷針離地面 高度也為 0，導致雙晷針線都貼地面沒有晷 針影可利用的窘境。但單由公式 2，也可以 將 在 θ=0o 解 讀 成 ， PA=0 是 由 造成的， 0 0 sin o ₌ sinθ= BJ 可以不為 0，也 就是說在 時，東西向晷針離地面高度 為0，南北向晷針離地面高度可以不為 0，如 此，雙線晷針影的交點 必永遠落在東西向 晷針上。所以只要標示東西向晷針與 小時 線交點記號即可，不一定要畫出小時線。再 者，如果畫出通過上述各交點且平行南北方 向的直線，則這些直線又可成為極式日晷的 小時線，由此可知極式日晷是雙線日晷的一 個特例（邱紀良，2008）。有關極式日晷與 雙線日晷相關的模擬結果將在後面呈現與說 明。 o 0 = θ T e H 由於Ap 與Jb 平行，所以ΔAOp與ΔJOb 相似，則OA:OJ=Op:Ob (公式 4)，另外， 由 於PA 平 行 BJ ，所 以ΔAOP與ΔJOB相 似，得OA:OJ=PA:BJ (公式 5)，由公式 4 與 公 式 5 可 得Op=Ob×PA/BJ ， 因 此 h h Ob PA/ H H cos Op OI= = × BJ×cos

OI

/

( 公 式 6) 。 再 由 圖 2 與 公 式 3 和 公 式 6 可 得

bD

IT/OI

IOT

tan

∠

=

=

h H cos × h/Ob PA/BJ H sin Ob × = ，再利用公式 2，可得 ( 公 式 7) 。 比 較 公 式 1 與 公 式 7 ， 可 得 ，即∠ 赤道日晷上的時角， 因此，可以點O 為原點，由 θ IOTsin tan tanH_h = ∠ 為 e H IOT= ∠ IOT ON 開始在晷面 上畫出每隔_{15 的小時線，則 ON 為 平雙線}o 日晷中午 12 點的小時線，而 地 BC 與 KL 的 子交點T 為其日晷時的指示點，即利用點 T 隨時間的移動來標示日晷時。 影 接著討論在不同緯度下，兩晷針線離地 面的相對高度變化情形，由公式2 可得，當 選取一高度 為南北向晷針離地面高度，則 z

三、水平雙線日晷日期線

由圖 2 可知IT=Db，所以利用公式 8 即可以計算出IT 長度。而 IA 長度的計算與 Db 類 似 ： 因 為點 為 點 P 的 投影 ， 因 此p ) ( H tan / AP Ap= t ，又線Ap 平行於線 Jb ，可 得 ∠IAp=∠DJb ， 所 以 DJb cos∠ × 日期線按照字面意義就是用來指示觀測 日晷當日的日期，日期線的產生很簡單，多 是利用在晷面上的某一固定點，稱為節點 （nodus），並以太陽某日隨時改變的高度角 與方位角，將節點投射在晷面上所形成影子 的軌跡，即為當日的日期線。為了簡便，節 點常常取晷針上的某一點，通常是以其端點 作為節點，如此可以避免另設節點的困擾。 節點並沒有限定僅能有一點，用數點為節點 來繪製日期線也是可以的。 Ap AI= (公式 9)，有了 IT 與 AI 兩 值，就可以標示出點 相對晷面中心點 位 置。同樣的，如果已知某日不同時間太陽的 高度角與方位角，並以公式8、9 計算所對應 點 位置，則不同時間所對應點T 位置的連 線即為以兩晷針線影子交點的日期線。 T A T 接著再以圖2 來說明，以點 為節點其 對應的日期線為何：在某地，太陽高度角與 方位角為時間函數，並分別以 )、 表 示，其中方位角 表從北方開始，以順 時針方式在地平面上所展開的角度。由圖 可知 為太陽高度角，即 B t JbB ( H A_N(t) ) ( H t ) ( A_N t 2 JbB ∠ ∠ = ， 因 此 t) |

四、傾斜雙線日晷

( H tan / JB Jb= ， 又 ， 所 以 可 得 180 ) ( A | JbT_{= N −} o ∠DJb=∠ t cos Jb JD= × ∠DJb且 sin 正如可以將地平日晷晷面在南北方向面 傾斜一個角度成為南北傾斜日晷一樣，人們 也可以將地平雙線日晷在南北方向傾斜一個 角度 ，成為傾斜雙線日晷。以數學表示方 式來看，就是將公式 2 中的 θ 改成 ， 成 為 τ τ θ+ ) sin( BJ PA Jb Db= × ∠DJb(公 式8)。有了 JD 與 Db J 兩值，就可以標示出某 時點b 相對點 位置(或相對晷面中心點 位 置)，如果已知某日不同時間太陽的高度角與 方位角，並以公式計算所對應點b 位置，則 不同時間所對應點 位置的連線即為以點 為節點的日期線。 A b B τ θ+ = ( 公 式 10) ， 當 >0 時，表示晷面向北傾斜，當 <0 時，表示晷 面向南傾斜。 τ τ 值得注意的是，在緯度θ 將晷面傾斜一 個角度 ，所得傾斜雙線日晷其晷面上小時 線和日期線分佈是和在緯度 的水平雙 線日晷一樣的，其理由為：由於地球離太陽 很遠，所以太陽照射到地球表面的光線可視 為平行光線，因此在同一經線上，無論在甚 麼緯度，只要雙線日晷面向同一方向，則所 有平行晷面和太陽光線的夾角都會一樣，所 以可推論它們的小時線與日期線分佈也應該 一樣。 τ τ + θ 以雙線日晷來說，一般不以點 做為日 期線的節點，而是以雙線影子的交點 來判 讀日期，但是不同時間的點 並不是由其晷 針線上某一固定點的投影所構成的，所以其 日期線的求法與固定節點的求法有些差異： 由圖2 可知，線 B T T BC 在地面的影子 bc 與南北 向NS 平行，而線 KL 在地面的影子 kl 與東西 向EW 平行， bc 與 kl 兩線的交點即為點 T， 所以只要求出不同時間的IT 與 IA 大小，就 可以標示出點 T 的位置，而 IT 長度為 bc 與 NS 兩平行線的距離， IA 長度為 kl 和 EW 兩 平行線距離。 換句話說，針對某一個緯度所設計的水 平雙線日晷，當被移到不同緯度時，只要將 其晷面轉到和原來所設計緯度的水平面一樣 的方向，即可在不同緯度讀取日晷時。不過 由於不同緯度每日日出日落時間不同，所以

能觀測的時間長度也會有所差異。

參、雙線日晷模擬程式

本模擬軟體是以微軟的vb.net 程式語言 進行設計的，以此語言完成設計的主要原因 是學校有購買合法版權公教育上使用，此 外，此語言提供適合的繪圖指令碼，符合模 擬程式所需要的指令，便於程式設計。 本雙線日晷模擬程式計算過程可分為三 個主要步驟：1.計算太陽某時某地高度角與 方位角，2. 建立雙線晷針相關數據，3.顯示 3D 模擬結果。步驟 1 首先是利用觀測參數(年 月日、時分秒和經度緯度)，計算太陽在黃道 座標系統的赤經和赤緯，接著將其轉換成天 赤道座標系統的赤經和赤緯，然後轉換成地 平座標系統的高度角與方位角，此一步驟過 程已超出本文內容範圍，在此不詳述，有興 趣者可以參考Meeus, Jean (1991)。計算精確 的太陽高度角與方位角非常重要，如此模擬 出來的日晷結果才能和實際觀測結果做比 對。 步驟 2.主要利用雙線日晷相關參數(緯 度、南北晷針線離地面距離、和晷面傾角 等)，建立雙線晷針與支撐柱(支撐晷針線的 柱子)相關數據，並利用上一節所描述有關雙 線日晷公式，計算出小時線和日期線等在晷 面上的數據，接著，再用太陽高度角與方位 角計算晷針線與支撐柱在晷面上的影子等數 據。步驟3. 則利用使用者所輸入的投影視角 參數(即觀測者觀察日晷的角度)，將步驟 2 所獲得的參數，轉換成螢幕座標系統，並以 3D 方式顯示出來。使用者可以輸入不同的投 影視角參數，以便從不同角度觀看日晷，並 藉此建立時間與空間觀念。 為了使用者方便，本程式設計將上述所 有需要設定的參數都集中在模擬程式右側的 操作面板上(如圖 3)以便輸入或勾選，由於現 今個人電腦計算都相當快，所以只要改變操 作面板上任何一項相關參數，程式都會立即 以新的參數組合重新計算，並將模擬結果呈 現在螢幕上。 本雙線日晷模擬程式是和本人之前所設 計的各式日晷(如平面日晷、繞軸半內球面日 晷、水平半內球面日晷、四分內球面日晷、 赤道日晷、半弧內球面日晷、外球面日晷、 投影日晷)整合在一起(WJSU-日晷)，讓不同 類型日晷在操作上較具一致性：基本上不同 日晷的觀測參數與投影視角調整方式都一 樣，除此，不同日晷所配對的晷針、晷針大 小調整、日晷線圈相關選項(如晷針、晷針 影、太陽軌跡等是否畫出)、晷面標示相關選 項(如整點時刻線、日期線等是否畫出)、晷 面偏角與傾角調整等都可以依所需調整與模 擬。 因為可以改變的參數相當多，為了讓使 用者知道各參數的意義與如何操作模擬程 式，所以本模擬程式在操作面板的下面附設 [範例說明]，內附許多使用說明範例，例如 平面日晷基本使用說明範例等，使用者可以 依照範例說明中的指示依序操作，以便學習 操作。

肆、雙線日晷模擬結果與說明

本節主要是利用模擬結果展示與說明雙 線日晷的特徵，及與相關日晷的差異性，說 明時會利用到前面「貳、雙線日晷原理」一 節中的公式與符號，敬請互相參照。模擬圖 中也都附有指示說明箭頭，以利於清楚說 明。本節分為小時線相關概念模擬與日期線 相關概念模擬兩部份：

一、小時線相關概念模擬

圖3：2013/08/01 14:05:00 東經120o 北緯

25

o赤道日晷模擬

首先模擬大眾熟悉的赤道日晷以便於和 雙線日晷比較：圖3 模擬 2013/08/01 14:05:00 東經 北緯 赤道日晷，圖中可以看到 軸線晷針影正指向 14 點小時線。圖 4 為和 圖 3 觀測參數一樣的的地平雙線日晷模擬 圖，其雙線晷針是分別掛附在南北與東西兩 對高低不同的正方形柱子的頂端，晷面上以 晷心 為中心，分別畫出24 條等角度 的 小時線，和赤道日晷一樣，其6 點和 18 點小 時線會平行東西方向。在圖4 可看出雙線晷 針影在晷面交點 也正落在14 點小時線上。 o 120 O o 25 T o 15 圖4 中，南北和東西向線晷針離晷面高 度並不一樣，其關係是由公式2 限定，在程 式模擬上，我們讓使用者自行調整BC 高度 (如圖 4 中的晷針 Z 軸長短選項)，而 KL 高度 會自動依照公式 2 調整。可調整的 BC 高度 被限定在一範圍，主要是因為如果BC 高度 太大，雙線的影子交點將落在所模擬的晷面 外，失去讀取日晷時的意義。實際上雙線影 子的交點是否落在晷面上，和雙線高度與觀 測時太陽的高度有關：如果雙線高度太高， 晷面需要大些，否則雙線影子交點常會落在 晷面外，當太陽靠近地平面時，雙線影子交 點也會落在模擬的晷面外，兩者都不適合讀 取日晷時。為了讓雙線影子交點在大部分時 間落在晷面上，可以將雙線晷針高度變小， 但其缺點就是會將解析度變小不易讀取。因 此，水平雙線日晷不像地平日晷，只要太陽 高於地平面即可用來標示日晷時。此外，在 高緯度時，由於大部時間太陽高度都不高， 所以地平雙線日晷較不適合高緯度地區，反 之，在低緯度的台灣倒是適合裝置地平雙線 日晷。 圖 5 為一傾斜雙線日晷模擬，其與圖 4 除了晷面傾角改為 之外，其餘模擬參數 都一樣。由前面傾斜雙線日晷一節說明可 知，圖5 與圖 4 的晷針線與小時線相對位置 是一樣的。 o 25 − 此一傾斜雙線日晷和放在赤道上的水平 雙線日晷構造完全一樣，所以兩者可以共 用。由公式 2 可知赤道上地平雙線日晷其東 西向的線晷針剛好落在晷面上，造成東西向 線晷針和其線晷針影重疊在地面上，因此， 每天雙線晷針影的交點都會落在東西向線晷 針上。 由對稱觀念，人們很容易會猜測，在赤 道的地平雙線日晷其晷心 會和雙線垂直 投影在晷面的點 重疊，但由圖5 會發現兩 者並沒有重疊，且6 點和 18 點小時線並沒有 落在東西方向，因此會懷疑模擬結果是否正 確？其實模擬結果並沒有問題，因為還需考 慮南北向線晷針離晷面的高度，當南北線晷 針離晷面的高度越小，晷心 會逐漸靠近點 ，此時小時線也會跟著晷心 的移動而逐 漸調整（但仍保持相鄰兩條小時線夾15 規 律）。當南北線晷針貼著晷面，此時雙線晷針 影子位置就落在雙線晷針上，晷心O 會和點 A 重疊，6 點和 18 點小時線也會落在東西方 向，不過，此時雙線晷針影的交點將一直落 在點A ，不會隨著太陽在天空位置改變，也 無法讀取日晷時。 O O A A O o_的 在赤道上地平雙線日晷本身也是一種極 式日晷，也就是用雙線晷針影的交點

T

為指 示點可以用雙線日晷的小時線讀取時間，也 可以用極式日晷的小時線讀取時間。所謂極 式日晷是指其投影平面和線晷針都和地球自 轉軸平行，如此，投影平面會和赤道日晷晷 面垂直，這一概念可由圖 6 表示：假想平面 uUVv 垂直地平面，並且包含晷心為 P 的赤 道日晷晷面，通過 點且和自轉軸平行的線P OP 為其晷針線。圖 6 中， PA 與 EW 互相垂 直，如果以 為中心，在P PA 前後每隔 畫 一直線，則此直線將會和 o 15 EW 分別相交於 8 ～16 等點上，如果針對上述的各交點，分別

圖5：2013/08/01 14:05:00 東經120o 北緯

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o向南傾斜25o的傾斜雙線日晷模擬

畫出一條通過各交點且平行NS 的平行線， 則這些平行線就是太陽對晷針線OP 所投影 的小時線，其所對應的數字就是小時線的整 點時。圖5 也畫出這些南北向平行小時線， 以作為比對。要注意的是圖5 中，雙線日晷 南北向晷針線BC 本身也是極式日晷的晷針 線OP ，所以圖 6 中 OP 離地的高度( PA )為 圖2 的BJ。 線則是以逆時鐘的方式連續擺放，其所以會 有如此的結果，可以從圖2 來思考。 在繪製圖2 時，主要從站在北半球的人 來思考，即線OB 是表由晷心 沿著點 朝 向天北極，在南半球則需反向，需由晷心 指向天南極，由對稱的概念來看，屬於北半 球的雙線日晷，其晷心 是在雙線垂直投影 晷面交點 以南，反之，屬於南半球的雙線 日晷，其晷心 需在雙線垂直投影晷面交點 以北，如此才能符合雙線日晷原理的基本 要求，因此，小時線需以通過晷心 且平行 東西向的線為對稱線映射，形成當面對晷面 時，小時線是以逆時鐘的方式連續擺設。 O B O O A O A O 圖 7 與圖 4 除了晷面傾角改為 之 外，其餘模擬參數都一樣，因為在北緯 將 地平雙線日晷的晷面向南傾斜 ，其結果 就如同在南緯 擺放晷面傾角 的地平雙 線日晷一樣。值得注意的是，在北緯和南緯 所擺設的地平雙線日晷其晷面小時線有些差 異，在北緯，當面對雙線日晷晷面時，小時 線是順時鐘方式連續擺放，但在南緯，小時 o 50 − o 25 o 50 o 0 o 25 如果將公式 10 的傾斜角度向北傾斜 ，即 o 90 τ=90 90 時，成為面北垂直雙線日晷， 反之當τ=− 時，則為面南垂直雙線日晷。 圖7：2013/08/01 14:05:00 東經120o 北緯25o向南傾斜50o的傾斜雙線日晷模擬

o 圖8 為在緯度 向北傾斜 垂直雙線日晷 模擬。 25 ₉₀o _{在晷針外另設節點的優點是日期線與小} 時線可分開，不會混在一起較容易閱讀時間 與日期，缺點是日期線和小時線沒有關係， 無法從日期線和小時線的交織的關係估計某 日日出、日落、或是可以讀取日晷時的時段。 當所選節點與晷針相關，又晷面與地平面或 赤道面平行，則可利用日期線估計某日日 出、日落，如果晷面傾斜則可以估計能讀取 日晷時的時段。例如圖3 中節點為晷針的端 點，其夏至日期線(黑色)兩端比 7/1 日線（綠 色）更靠近5 點和 19 點小時線，表示在北緯 太陽在夏至日比 7/1 更早升起與更晚落 入地平面。 o 25

二、日期線相關概念模擬

圖3 的赤道日晷就是利用軸線晷針指向 北極的端點為節點，投影在晷面上的日期 線。由於每天太陽赤緯變化不大，相鄰兩日 的日期線常會部份重疊在一起以致難以辨 別，所以日期線多僅繪製夏至、冬至和春分 (秋分)三條線，或者繪製每月的初一。 赤道日晷(如圖 3)由於晷面平行赤道 面，所以面向天北極方向的面僅能在春分至 秋分被陽光照射到，而另一面僅能在秋分至 春分被照到。圖3 的赤道日晷是面向天北極 的，所以可以繪出夏至日線（黑色），5~8 月初一 日期線（綠色），由圖 3 也可以發現 這些日期線緊鄰在一起，很難辨別日期，例 如6/1 與 7/1 日期線太接近，所以節點在兩線 之間，很難辨別是靠近 6/1 還是 7/1。為了 避免這一困擾，程式可以選擇僅繪出上半年 1~6 月初一的日期線或/和下半年 7~12 月初 一的日期線，因為太陽每年從南回歸線（冬 至）至北回歸線（夏至），再回到南回歸線， 因此可以讓上半年或下半年的節點影的移動 與日期變化有一致性的方向性。對實體日晷 來說，雖然沒有辦法隨時選擇上半年或下半 年日期來畫，但可以利用兩個分開節點分別 指示上半年和下半年日期線。 在繪製雙線日晷日期線時（如圖 4、 7~10），本模擬程式並沒有如赤道日晷模擬 方式選擇一固定點為節點，而是直接採用雙 線影子交點T(如圖 2)繪製日期線，雖然隨時 移動的T 點並不是由雙線晷針上任一固定點 所形成的，但以此點移動的軌跡當作日期線 是與時間有關，所以能以其和小時線的重疊 的情形來估計可讀取日晷時時段。 例如圖4 為地平雙線日晷，7/1 日期線在 晷面西邊落在5~6 點小時線間，且靠近 6 點， 所以日出應比6 點早一些，同樣的此日期線 在晷面東邊落在18~19 小時線間，且靠近 18 點，所以日落應比18 點晚一些。其餘的日期 線可以此類推。在圖5，每日雙線影子交點 T 都落在東西向晷針上，所以無法區分日期， 也沒有畫出日期線。 圖3 選擇畫出 1~12 月初一的日期線，但 因為是面向天北極的赤道日晷，所以僅能畫 出春分至秋分即4~9 月初一的日期線，不過 圖中並沒有顯示4/1 和 9/1 日期線，主要是 此時太陽赤緯較小的關係，造成這兩條日期 線超出所模擬晷面範圍，所以無法繪出，解 決方式可以將晷面變大，或者是將晷針變 短，讓日期線落在晷面範圍內。 圖7 為在北緯 向南傾斜 的傾斜雙 線日晷，因為 7/1 太陽升起與落下都偏北， 此段時間太陽都照在晷面的背面，反之，12/1 太陽升起與落下都偏南，所以 7/1 晷面上午 開始可以讀取日晷時的時間（約7~8 點）比 12/1 時間（約 6~7 點）晚，下午也比較早無 法取時間。圖8 為在北緯 向北傾斜 的 垂直雙線日晷，其7/1 與 8/1 日期線分成兩 o 25 ₅₀o o 25 ₉₀o

圖8：2013/08/01 17:05:00 東經120o 北緯₂₅o向北傾斜90o的傾斜雙線日晷模擬

o 東 段，表示這段日期，中午時分太陽僅能照到 太陽的背面，所以無法讀取日晷時。圖9 為 在北極的地平雙線日晷，7/1 與 8/1 日期線分 別繞中心點一圈，表示整日太陽都在地平面 以上，是為永晝。在北極地平雙線日晷本身 如同赤道日晷，或是擺在北極的地平日晷， 因為此時，雙線高度一樣，晷心O 與雙線交 點垂直T 重合，雙線交點可視為赤道日晷或 地平日晷的晷針端點。

伍、時差修正

日晷時是真實反映太陽在天空位置的自 然現象，如果要將日晷時轉換成地方標準時 (鐘錶時)，則需要做時差修正，其原因與方 法說明如下： 如果在某個地方每天固定時間紀錄太陽 在天空的位置，並將這些位置標示在對應的 天空上，會排列出一個8 字形的軌跡，稱為 日行跡(Analemma)，由於攝影器材與電腦軟 體的進步，許多天文愛好著就利用一整年的 時間，每隔幾天在同一時間拍攝當時天空中 的太陽，並利用軟體將這些太陽重疊在一張 相片形成8 字形的軌跡，如今這些合成相片 可以很容易透過google 搜尋到，一般這些合 成相片都會包括拍攝地點附近的建築物，讓 人更真實的感受到太陽在某地，不同日期同 一時間在天空位置的變化情形。 產生時差主要原因有二：1 真實太陽在 天空是沿著黃道運行，而不是天赤道，這和 地方標準時假想有一個太陽沿著天赤道運行 不一樣，2. 地球繞太陽的軌道為橢圓，所以 速度並不均勻，但地方標準時假想太陽在天 赤道運行速度是均勻的。這也是造成日行跡 的原因。 太陽日行跡現象會反應在日晷時上，造 成地方標準時(鐘錶時)與日晷時的差異，也 就是說 8 字形日行跡是真實的自然現象。由 本模擬程式的結果也可以看出這個現象：例 如圖 4、5、7 中，模擬的時間為 2003/08/01 14:05:00，此時日晷時為 14 點，也就是說， 此日日晷時比地方標準時晚約 5 分鐘。因此 日晷時需要經過時差修正才能獲得地方標準 時。 在做日晷時與地方標準時互換時，除了 要考慮 8 字形日行跡的時差外，還要注意因 為經度所造成的時差，例如，台灣所在的位 置是東 8 時區，是以東經120 的經線為準， 前後 都用同樣的地方標準時，但是太陽 是從東逐漸往西照射，所以在東經 以東 的地方會先看到太陽，代表日晷時會提早， 反之，東經 以西的地方較晚看到太陽， 日晷時會延遲，平均經度差 會差4 分鐘。 o 5 . 7 o o 120 分鐘) ， 時 傾 o 120 o 1 由於雙線日晷的小時線和赤道日晷一 樣，是以晷心為中心，相鄰兩條小時線以相 隔15 的方式向外延伸，因此在修正因太陽運 動所引起的時差和經度位置所造成的時差， 可以將小時線以晷心為旋轉中心，每天旋轉 兩時差所對應的角度(旋轉_{1 差 4}o _，此 時，日晷時和地方標準時就會同步。例如圖 10 ， 模 擬 緯 度 _{25 、}o _經113o _{間 為} 2013/08/01 14:00:00，向南傾斜 50 斜雙線 日晷，由於此日日晷時比地方標準時晚約 5 分鐘（參考圖8），且東經 113°又比東經 晚 28 分鐘，所以兩者共晚 33 分鐘，即 33/4=8.25°，也就是說面對雙線日晷晷面，將 其小時線順時鐘旋轉8.25°，此時日晷時正好 和地方標準時同步。在圖10 中因為小時線已 經順時鐘旋轉8.25°，所以可以發現 12 點小 時線不再指向正北方，6 點與 18 點小時線也 不再指向正西方與正東方。其實圖10 和圖 8 兩模擬圖除了經度、時間與小時線旋轉角度 不一樣外，其餘模擬參數都一樣，所以比對 兩者差異，應可瞭解旋轉小時線以做時差修 o o 120

o 25 圖10：2013/08/01 14:00:00 東經113o 北緯25o向南傾斜50o的時差修正後傾斜雙線日晷模擬 正的意義。 面，所以晷面呈現一條直線（晷面線），並 在其上繪製相對應的晷針形式。依照定義， 赤道日晷指的就是晷面需與赤道面平行，且 晷針軸線和地球自轉軸平行，如圖 3 的地球 日晷小圖示，表示緯度 的赤道日晷，其 晷面線與赤道線平行，晷針軸線與地球自轉 軸平行。 上述時差修正方式，在本模擬程式中只 要選擇「時差修正」選項，就會自動依照日 期與經度，將小時線旋轉到對應的角度。對 於實體日晷來說，也只要將小時線畫在可以 旋轉的圓盤上，再依照全部時差，用手旋轉 圓盤到對應的角度即可。 圖 4 為緯度 地平雙線晷針日晷，在 地球日晷小圖示中，晷面線與鉛垂線垂直， 由於從側面觀看的關係，僅能畫出由兩個支 撐柱所支撐的南北向晷針線，東西向的支撐 柱由於重疊的關係僅能以一條線表示，其支 撐柱頂點表示東西向晷針線所在的位置。換 句話說，東西向和南北向支撐柱的高度也表 示雙線日晷東西向與南北向晷針線離晷面的 高度。東西向和南北向晷針離地表的距離比 例和所屬緯度有關（參照公式 2）。因此， o 25

陸、地球日晷小圖示

模擬圖3~5、7~10 其左上角都附有一張 地球日晷小圖示，以協助讀者辨識地球、晷 面與晷針三者的相對關係。圖中由地球中心 點畫出一條垂直某地的線（鉛垂線）以支撐 日晷面的中心點，鉛垂線和赤道面的夾角就 是日晷所在的緯度，由於將觀測者所在的經 線繪製在最外緣，造成僅能從側邊觀看晷

， 的 在地球日晷小圖示中，都假設南北向晷針線 的高度固定，東西向晷針線高度則依照公式 2 來換算。例如，圖 9 表北極雙線日晷，其 東西向和南北向支撐柱的高度一樣。圖4 表 緯度 水平雙線日晷，其東西向晷針線突 出晷面一小段距離。圖5 與赤道上的水平雙 線日晷一樣，其東西向晷針線高度為 0，即 貼在晷面上。 o 25 圖5、7、8、10 為傾斜雙線日晷，所以 由地球日晷小圖示也可以看出晷面線和鉛垂 線並沒有垂直，而且其南北向晷針線也隨著 晷面線傾斜，也就是南北向晷針線並不平行 當地的南北方向，但東西向晷針仍然平行當 地東西向。

柒、結論

本文主要介紹雙線日晷原理，並以電腦 模擬來展示其特徵。典型的雙線日晷其晷面 是和地平面平行，而且和赤道日晷晷面一 樣，相鄰小時線都間隔1 另外，日晷晷心 和雙線垂直投影到晷面的交點的距離和緯度 有關。如果將其晷面向北或南傾斜，其所得 傾斜雙線日晷形式和以所在緯度與傾斜角度 相加所得的角度為新緯度的地平雙線日晷一 樣。 o 5 日晷可以多種形式，相互間也有某些關 係聯繫。如依照定義赤道日晷是指晷面與赤 道面平行的日晷，地平日晷的特徵為晷面與 地平面平行，極式日晷則是指晷面與地球自 轉軸平行的日晷。在兩極，依照定義赤道日 晷和地平日晷是一樣的，而地平雙線日晷在 兩極上，除了和上述兩日晷其相鄰小時線都 間隔 外，其兩晷針線離晷面距離是一樣 的，因而將兩晷針線的交點視為赤道日晷或 地平日晷的晷針端點，則三種日晷在兩極會 完全一樣。另外，在赤道上，地平雙線日晷 會相似於極式日晷，因為在赤道上，地平雙 線日晷東西向晷針會貼於晷面上，而其南北 向晷針就成為極式日晷的晷針，此時的小時 線可以畫成平行於南北方向的平行線。 o 15 台灣設置有日晷的地方並不多，形式上 也以赤道日晷與地平日晷居多，在網路上也 沒有查到有雙線日晷的設置。由雙線日晷原 理可知，設置水平雙線日晷和赤道日晷一樣 簡單，具有相鄰小時線都間隔15 特性，只 要在晷面上依照緯度，適當設置支撐南北與 東西向晷針線即可。如要將晷面南北傾斜， 可以依照傾斜後所屬的緯度平移小時線、並 移動東西向晷針高度到正確位置。當要修正 時差時，則只要依照日期與經度所造成的時 差，旋轉小時線的角度，即可讓日晷時與地 方標準時同步。 o 本文主要依照雙線日晷原理，設計出可 以從不同觀測參數與視角的雙線日晷模擬程 式，說明雙線日晷與相關日晷的聯繫、日期 線與緯度關係、時差的修正等面向，並以地 球日晷小圖示從側面標示晷面線、晷針與所 在位置經線的關係，希望透過模擬結果與說 明能協助對雙線日晷有興趣獲得正確性概 念，提昇學習效能。

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A simulation program for Analemmatic sundial

Wei-Jou Su

National Pingtung University of Education E-mail: wjsu@mail.npue.edu.tw

Abstract

Bifilar sundial uses the intersection of the shadows of two wires on the dial plate to indicate time.The wires of E-W and N-S direction stretched above and parallel to the dial plate with different heights related to the sin function of the location of latitude. The displacement of the E-W wire from the dial centre also is the cos function of the location of latitude. Like equatorial sundial, bifilar has equiangular hour markings. The sundial can be corrected for longitude and the Equation of Time by rotating the hour makings of dial plate.

The main purpose of this paper was to explain and show how to use my sundial program to demonstrate the principles of bifilar sundial. The program will simulate different projections of sundial according to the combination of different parameters such as the latitude, inclination of the dial plate and 3D projection parameters. Different shadows of two lines will also be simulated by changing the date/time and longitude parameter. Several functions, such as date lines and time correction, are also provided to demonstrate some aspects of time/space clearly.