網路控制系統研究(I)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 期中進度報告

網路控制系統研究(1/3)

計畫類別： 個別型計畫

計畫編號： NSC94-2213-E-009-150-

執行期間： 94 年 08 月 01 日至 95 年 07 月 31 日

執行單位： 國立交通大學電機與控制工程學系(所)

計畫主持人： 李祖添

共同主持人： 吳政郎

報告類型： 精簡報告

處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 95 年 5 月 29 日

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫

□ 成 果 報 告

■期中進度報告

計劃名稱：網路控制系統研究(1/3)

Study on Networked Control Systems (1/3)

計畫類別：▓個別型計畫 □

整合型計畫

計畫編號：NSC 94－2213－E－009－150－

執行期間：94 年 8 月 1 日 至 95 年 7 月 31 日

計畫主持人 ：李祖添

共同主持人 ：吳政郎

計畫參與人員：

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：▓精簡報告 □完整報告

本成果報告包括以下應繳交之附件：

□赴國外出差或研習心得報告一份

□赴大陸地區出差或研習心得報告一份

□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

□國際合作研究計畫國外研究報告書一份

處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計畫、

列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢

□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢

執行單位：國立交通大學 電機與控制工程學系

中 華 民 國 九十五 年 五 月 十四 日

1

計劃名稱：網路控制系統研究(1/3)

Study

on

Networked Control Systems (1/3)

計畫編號 ：NSC 94-2213-E-009-150-

計畫主持人：李祖添

執行單位 ：

國立交通大學 電機與控制工程學系

摘要:

本計劃研究離散時間網路控制系統之相關問 題。第一年目前完成了：一、網路排程對網路控制系 統之穩定度的影響分析，二、”有需要才傳輸”之網路控 制系統穩定度分析法則，三、model-based 網路控制系 統穩定度分析法則。

Abstract:

This project studies some problems about discrete-time networked control systems. Till now, we have finished: 1. the effect of scheduling on the stability of networked control systems, 2. the stability analysis of networked control systems based on the approach of “transmit if necessary”, 3. the stability analysis of model-based networked control systems.

I、簡介:

網路控制系統(Networked control systems，縮寫 NCS，請參考[4]-[11]、[13]、[14]、[17]-[24]、[26]、 [27])的研究動機起於一般船舶或飛機甚至汽車這樣 的大系統，其sensors 及 actuators 數量非常多且可能 分散在相隔甚遠之不同位置，若一一佈線至主控制器 (電腦)，則接線數目將非常多，施工困難且維護不易。 網 路 控 制 系 統 的 觀 念 在 於 把 全 部 的 sensors 及 actuators 均透過單一的網路線連接至主控制電腦(參 考圖(一))，感測的回授信號及控制器算出的控制信號 之傳輸乃透過網路傳送，如此則接線將可大幅簡化且 擴充更具彈性。大大的降低了成本、重量、及電力消 耗，且架設及維護皆容易，具高可靠度[27] 。 圖(一)、網路控制系統架構 但網路控制系統因網路的特性，可能會有不均等 週期取樣、不確定時間延遲、傳輸資料遺失、量化誤 差等等的問題存在。這使得網路控制系統的穩定性分 析及控制器設計問題變得非常困難。網路除了控制這 部分功能外可能還需作其他的資料傳輸，我們通常希 望所設計出來的控制器佔用的網路資源越少越好。若 我們可將網路控制系統的資料傳輸量大量降低，則便 可用同一部電腦控制數個不同的系統，實際應用時， 可大大降低成本。 本計劃主要目的即是在研究如何設計網路控制 系統的控制器使其有最低的網路資料傳輸量。我們的 研究方向主要分為三個主題：第一個主題是研究網路排 程對網路控制系統穩定度之影響及其相關控制器的設 計。第二個主題以一種新的概念---有需要才傳輸---來設 計網路控制系統以降低資料傳輸量。第三個主題，以 model-based 的概念設計網路控制系統控制器以降低資料 傳輸量。 本子計劃第一年執行至目前，主要成果如下： 1. 探討網路排程對離散時間網路控制系統穩定度的影 響。找到一穩定條件可保證基於網路排程之網路控 制系統的穩定度。 2. 引入”有需要才傳輸”之網路控制系統設計觀念，在盡

量降低網路資料傳輸量的要求下，找到兩個不同充 份條件可保證網路控制系統的穩定度。 3. 推廣 Model-based 網路控制系統之設計，找到不同 於文獻上可保證系統網路控制系統穩定的充份條 件。

II、研究方法與成果:

2.1

、

網路排程對網路控制系統穩定度的影響

假設 sensors 端的信號取樣是週期性的(週期是 h)，因此將所考慮控制系統模式化為離散時間系統。 考慮有數個控制系統共用一網路線傳輸感測信號及 控制信號(參考圖(二))，每個子系統動態方程式如 下： ) ( ) ( ) 1 ( :x k Ax k Bu k G_{i i} + = _{i i} + _{i i} , i=1,…,N (1) 其中 n i k R x( )∈ 是第 i 個系統的狀態變數， m i k R u ( )∈ 是 第 i 個系統的控制輸入。假設每個子系統開回路時都 是不穩定的。由於數個系統共用一網路，故每個系統 只能佔用網路部份時間。這一部份的計劃是探討網路 資源該如何分配以使每個系統都能穩定。 圖(二) 我們目前在穩定度分析方面已有一些成果。假 設每個系統其控制器皆為靜態狀態回授： ) ( ) ( :u k Fx k K_{i i} = _{i i} (2) 假 設 其 回授增 益 Fi 滿足 λj(Ai +BiFi) <1， 其 中 ) ( i i i j A +BF λ 指的是A_i+B_iF_i的特徵值。也就是若網 路是由第 i 個系統使用時，其閉回路系統是穩定的。 在此我們假設所用的分享網路是理想的，也就是當它 分配給第 i 個系統使用時，則第 i 個系統就跟一般直 接連接的控制系統一樣，不考慮網路造成的影響

(delay， packet dropping， quantization…等等)。而其 它未被分配到的系統與控制器是完全沒有連接的，跟 開路一樣。同一時間只能有一個系統透過網路連接到 它對應的控制器。 我們將時間分成以 Kh 為週期的片段(K 為某正 整數)，參考圖(三)。在每個週期 Kh 內，令 KONih 是 分配給第 i 個控制系統的時間，KOFFih= (K- KONi)h 是 第 i 個控制器未連接到第 i 個受控系統的時間(在這段 時 間 內 ， 系 統 相 當 於 是 開 路 ， 沒 控 制) 。 在 1 ) ( _i+ _{i i} < j A BF λ 假設下，我們要找出可保證第 i 個控 制系統穩定的最小的 KONi。我們希望KONi/K的比值 越小越好，因為如此表示此控制系統可以佔用較少網 路資源即可保證系統穩定。 圖(三) 在這種情況下，第 i 個控制系統的動態行為可以 下面動態方程式描述(目前假設是固定的 scheduling， 且不失一般性的假設網路把每個週期 Kh 的最前面的 時間 KONih 給第 i 的系統使用)：    + < ≤ + = + + < ≤ + = + Kh q t h K qKh k x A k x h K qKh t qKh k x F B k x A k x G ONi i i i ONi i i i i i i i _{( 1) ( ), if ( 1)} if ), ( ) ( ) 1 ( : (3) 這樣的系統在特性上是個切換控制系統，其穩定度需 由 Lyapunov Stability Theory 來 證 明 。 令

i i i ci A BF A = + 。假設 ≡max j( ci) <1 j cim λ A λ 。令µ 滿i 足λcim <µi <1。 令 i cim ci _µ λ λˆ = 。則可知 ci ci A λˆ 也是穩 定的。令Pi是下式之唯一正定解： _{ˆ ˆ} − _i+ _i =0 ci ci i ci T ci _P A _{P Q} A λ λ , Qi >0 (4) 下面定理是我們的第一個結果。 定理一：假如 _K P P K ci i i i i ONi ⋅         ⋅       > 2 min min ˆ ) ( ln ) ( ln λ λ ρ λ ρ (5)

3 其中 _{max ( )} i i T i j j k λ A PA ρ = ，則第 i 個系統    = + = + ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( k x A k x k x A k x i i i i ci i

,

,

K q t K qK K qK k qK ONi ONi ) 1 ( + ≤ < + + ≤ ≤ 是漸近穩定的。 ■

2.2

、

”有需要才傳輸”之網路控制系統

在這部份，我們以一新的觀念---“有需要才傳 輸”---的想法來設計網路控制器。所考慮系統動態方 程式如下： x(k+1)=Ax(k)+Bu(k), (6) 假設系統在開回路時是不穩定的。在Sensors 端週期 性的量測輸出信號，但很重要的是並不是每次的取樣 信號都會透過網路傳送出去。Sensors 端所感測得到 的信號只有在必要時才傳送出去，非必要時都不傳 送，直接drop out 以減少耗用網路資源。我們目前假 設只有sensors 的信號是靠網路傳送，控制器到 Driver 間信號傳送無時間延遲(不靠網路傳送，或是控制器 收到 sensors 透過網路送來的感測信號算出控制信號 後，馬上透過網路把資料傳到受控系統，沒有耽擱)。 我們目前探討靜態狀態回授控制器： u(k)=Fx(k) (7) 假設其回授增益 F 滿足λi(A+ BF) <1。在此我們假 設所用的網路是理想的，不考慮網路造成的影響 (delay， packet dropping， quantization…等等)。

感測器所感測的資料 x(0), x(1), x(2), x(3), ….， 在我們這主題中並不是每次都會送到控制器，我們首 先要探討的是如果每隔 q 次取樣我們才透過網路傳送 一次量測到的狀態給控制器(即回授的信號是 x(0), x(q), x(2q),…….)，則可以保證系統仍穩定的最大的 q 是多少?這種情況下，控制系統的動態行為可以下面 方程式描述： q i k iq iq BFx k Ax k x( +1)= ( )+ ( ), if ≤ <( +1) , (8) 我們知道 q 越大，則所需傳送的資料越少，所耗用的 網路資源就越少。但 q 越大，越可能造成不穩定。 對這問題，我們得到以下結果： 定理二:考慮系統(8)。假設我們選擇 q 滿足 1 1 <         +

∑

= − _BF A A q j j q q i λ , 則系統(8)是漸近穩定的。 ■ 另外，我們考慮另一種情況。在此我們量測到 的輸出信號並不要求要週期性的送給控制器，而是在 必要時才傳送。我們以Lyapunov 穩定定理推導出需 要傳送新感測信號的條件。令 ki為第 i 次感測信號被 傳送回控制器的時間。閉回路系統動態方程式如下： 1 i if ), ( ) ( ) 1 (k+ =Ax k +BFx ki k ≤k<ki₊ x , (9) 我們可很容易推導出 ) ( ) ( 1 i k k j j k k k k _{A BF x k} A k x i i i         + =

∑

− = − − − 定義 ) ( ) ( ) (k xk xki e = − , k_i ≤k<k_i+1 因λi(A+ BF) <1，故存在0<µ<1使得 下式 P P PA AT − <−µ 存在正定解 P。選擇V(x)= xTPx為系統的Lyapunov function。若我們可保證

(

( )

)

)) ( ( )) 1 ( (x k V x k xk V + − <−γ

for some class K function −γ ，則此網路回授系統

( )

⋅

是漸近穩定的。由此，我們可得到另一個結果： 定理三: 考慮系統(9)。如果在滿足以下條件下傳輸新 的狀態： ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( max min 3 k x PBF B F P k e _{T T} λ µ λ µ + ≤ , 則閉回路網路控制系統(9)是漸近穩定的。

3.3

、

Model-based 網路控制系統

在這部份我們以一種新的理念來設計網路控制系 統的控制器，使其在系統模式不確定下，仍可有效降 低網路使用率。我們假設 sensors 端的信號取樣是週 期性的，週期是 h，因此將所考慮控制系統模式化為 離散時間系統。Model-based 的網路控制系統的穩定 度分析方法說明如下：所考慮系統動態方程式如下： x(k+1)=Ax(k)+∆Ax(k)+Bu(k), (10)

其中 ∆A ≤δ (或∆A=

∑

ρiEi for some known Ei

and ρi ≤1)是不確定項。系統在開回路時是不穩定 的。我們假設只有 sensors 的信號是靠網路傳送，控 制器計算得到的控制信號是直接給 Driver 驅動受控 系統。在此我們不考慮網路造成的delay，quantization error 等影響。 在這種情況下，我們在控制器端複製一個受控 系統的近似model(如圖(四)所示):

) ( ) ( ˆ ) 1 ( ˆ k Ax k Bu k x + = + 每次感測信號透過網路傳輸過來，就更新這數學 model 的狀態一次。在感測信號未透過網路傳輸過來 時，即以這近似的數學 model 自動算出估計的狀態 ) ( ˆ k x 以得到u(k)=Fxˆ(k)去控制系統。假設對所有可 能的∆A，F 滿足λi(A+∆A+BF)<1。亦即我們若不 透過網路傳輸感測資料而直接將控制器u(k)=Fx(k) 接在系統上，則閉回路系統是強健穩定的。 圖(四) Model-Based 網路控制系統 感測器所感測的資料 x(0), x(1), x(2), x(3), ….， 在我們這主題中並不是每次都會送到控制器。我們首 先探討如果固定每隔 q 次取樣我們才透過網路傳送一 次感測到的狀態給控制器(即回授的信號是 x(0), x(q), x(2q),…….)，則可以保證系統穩定的最大的 q 是多少? 此時，整個系統的動態方程式可描述如下式：       ⋅       − + − + ∆ + =       + + ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( k e k x BF A BF A BF BF A A k e k x _, q i k iq≤ <( +1)       =       0 ) ( ) ( ) ( xiq iq e iq x (11) 其 中e(k)=x(k)−xˆ(k) 是 系 統 的 真 實 狀 態 與 系 統 model 的狀態的差，iq 表示第 i 次狀態被傳送的時間。 我們知道 q 越大，則所需傳送的資料越少，所耗用的 網路資源就越少。但 q 越大，就越可能造成系統不穩 定。 對這問題，我們得到以下結果： 定理四:考慮系統(11)。假設我們選擇 q 滿足下式： 1 ) ( ) ( 1 1 <         ∆ + + ∆ + − = −

∑

j c q j j q q i A A A A BFA λ , 則網路控制系統(11)是漸近穩定的。 ■ 我們所得到的這條件跟文獻上得到的不一樣， 我們的條件更直接、更簡單。

III、結論:

計劃第一年至目前為止，我們已完成了網路排 程網路控制系統的穩定性分析、”有必要才傳輸” 網 路控制系統的穩定性分析、”Model-based” 網路控制 系統的穩定性分析。推導出幾個穩定充份條件。這個 年度接下來的工作將是研究相關控制器設計的問題。

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