模型組合與新台幣匯率預測
郭炳伸
∗政治大學國際經營與貿易學系
藍青玉
銘傳大學經濟學系
摘
要
匯率預測的困難, 可以由截至目前尚未有任何單一模型, 得以在短區間預測打敗隨機漫 步模型得到印證。 文獻上常用以預測匯率的模型, 包括代長期均衡的貨幣學派模型,以及源 自於市場無套利條件的遠期外匯溢酬模型。 本文試圖透過組合這些單一模型,對美元兌新台 幣匯率進行預測。 組合模型進行預測,除了充份利用所有可得的訊息外,也免去先驗選擇單 一模型可能產生的風險。 在極小化預測均方誤的前提下決定各模型的最適權重後,本文採用 的組合預測可以在樣本期間內,得到顯著優於前述單一模型及隨機漫步模型之表現。 其大幅降低單一模型的累積預測平方誤(cumulative sum of squared forecasting error), 甚可
達隨機漫步模型的 90% 以上。這樣的預測表現, 源自於資訊的充份應用, 以及能依據各單 一模型表現的偏誤與變異, 調整與時而異的組合權重。 我們的樣本期間,包含了金融風暴及 美國採行量化寬鬆貨幣政策等重大經濟事件, 也使得單一模型對匯率的準確預測更顯困難。 本文同時發現,各單一模型偏誤與變異表現,在這些經濟事件發生時, 發生明顯的轉折。 這 意謂在某一時間點為 「最適」 的單一模型,可能隨時空改變而非最適。 組合預測模型也正因 為能適時依據這些變化, 調整各模型的權重, 而能更有效結合訊息, 提供較任一單一模型為 佳的預測結果。 JEL分類代號:F31, F37, C52, C53 關鍵字: 匯率預測、 貨幣學派模型、 遠期外匯溢酬模型、 組合預測。 ∗聯繫作者: 郭炳伸,政治大學國際經營與貿易學系,台北市116文山區指南路二段64號。 電話: (02) 2939-3091 分機81029;傳真: (02) 2938-7699, Email: [email protected]。
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前言
匯率走勢攸關企業跨國營運決策、 國際間資產組合配置、 國家貿易餘額以及物價水準等,與國計 民生息息相關。 然而利用單一模型對匯率進行預測, 卻往往未竟其功。 這當中, 諸如Messe and
Rogoff (1983) 利用貨幣基本面 (monetary fundamentals) 對匯率進行樣本外預測, 卻發現其
預測表現遠不如沒有任何結構的隨機漫步模型而有所謂的 「匯率斷連迷思」(exchange rate dis-connet puzzle)(Obstfeld and Rogoff, 2000)。 又或如遠期外匯溢酬模型 (forward premium
model) 利用利率平價說 (interest rate parity) 隱含的無套利條件進行預測, 卻發現所得到的
參數估計值不僅與理論不符, 甚且符號相反, 而有所謂的 「遠期偏誤迷思」(forward bias puz-zle)(Froot and Thaler, 1990; Lewis,1995; Engel, 1996)。
無疑地, 這些匯率模型在匯率預測上的失敗, 自然引發了諸多相關後續研究。 這些研究或改 變資料時間與型態, 或調整估計與推論方法, 但充其量頂多只能獲致部份的成功。 以貨幣學派模 型為例, Groen (2000)、Mark and Sul (2001)與Rapach and Wohar (2002)確實發現匯率與貨 幣基本面在長期有共同移動的趨勢。 但是在短區間的預測上, 這個根基於經濟理論的模型, 仍無 法提供較隨機漫步模型更好的匯率預測。 而同樣的道理, 試圖解釋或消除遠期偏誤迷思的努力,
諸如在以消費為基礎(consumption-based) 資產評價模型中調整效用函數設定(Bansal et al., 1995; Bekaert, Hodrick, and Marshall, 1997), 以及引入利率期間結構 (Backus, Foresi, and
Telmer, 2001) 等。 到目前為止, 仍然沒有一個普遍被接受的合理解釋。 更明確地說, 目前為止 在國際金融相關研究的共識似乎是匯率無法被任何單一模型預測,尤其是短區間的預測(Corte, Sarno, Tsiaksa, 2009)。 任何單一匯率預測模型的採用, 或源自於研究者主觀的認知, 或源自於統計上的模型挑選準 則, 其實本身就伴隨著風險。 舉例而言, 在面對一群可能的解釋變數時, 我們往往先透過檢定檢 驗變數的顯著性, 在剔除不顯著的解釋變數後, 把這個模型當成 「正確」 的模型後, 進行預測與 相關的推論。 然而在挑選變數或模型時,所可能產生的風險或錯誤,卻往往被略而不提。Danilov
and Magnus (2004)就指出這些事先檢定 (pretest)的模型挑選後的預測誤差,其實遠較一般所
認知的為大。 在這同時, 匯率的走勢瞬息萬變, 恐亦非任何單一模型可以確實掌握。 每一期的匯 率變化,可能來自於長期與短期的訊息。 而在不同的時間點,這些不同的訊息的重要性,也可能因
時而異。 這也是前述匯率模型何以即使在部份文獻發現預測力, 但這個結論卻不穩健 (robust),
可能資料改變即無法成立的重要原因。
有鑑於此, 本文希冀透過 Liu and Kuo (2014) 所提出的模型平均 (model averaging) 方 法, 組合不同模型的預測結果, 提供匯率更精準的預測。 Liu and Kuo (2004) 在極小化往前一 期預測均方誤 (mean squared forecasting error, MSFE) 的前提下, 賦與不同模型最適權重,
並據以提供組合估計結果。 該估計式首先確定可能的預測因子, 而後由這些預測因子的所有可 能子集合, 形成候選模型。 透過這種方式建構候選模型, 將使我們儘可能地運用目前所有可得資 訊。 而在極小化 MSFE 的前提下決定各候選權型的最適權重,則可透過各候選模型的偏誤與變 異情形,權衡偏誤與變異的相對大小後, 決定各候選模型在組合時因時而異的相對重要性。
我們選擇了代表長期均衡匯率與貨幣基本面關係的貨幣學派模型 (monetary fundamental
model), 以及源自於無套利條件, 較能掌握短期市場訊息的遠期外匯溢酬模型 (forward
pre-mium model), 進行組合預測。 透過這兩個模型之預測因子的所有可能組合, 形成候選模型, 並 賦與適當的權重。 這免去了前述主觀或預先檢定挑選單一模型的風險, 同時與時而異的權重分 配, 也恰能捕捉各種長、 短期訊息在不同時間點的重要性。 本文將以1997年1月到2012年9月, 美元兌新台幣的匯率為預測標的,實證檢驗本文所採用的模型平均組合估計法,相較於單一預測 模型的預測表現,是否存在顯著優越性。 該時間區段由於涵蓋了金融海嘯以及美國採行量化寬鬆 的貨幣政策等重大經濟事件,使得匯率的準確預測更顯困難。 而組合預測方法若能提供較單一模 型更佳的預測表現, 也就益顯珍貴。 而組合預測的採用, 也與台灣的匯率制度息息相關。 台灣自1978年開始, 採行管理浮動的匯 率制度。 其後央行或為了刺激出口, 或為了穩定物價、 經濟成長, 而在不同的時點干預匯市。 然 而央行在干預匯市時,其干預時點,以及 「阻升」 或 「阻貶」 的政策方向,央行並不對外公開。1 這 增加了匯率預測的困難度, 卻也提高了組合預測的必要性。 在無法確知與預期央行的干預措施的 情況下,我們能做到的, 只有儘可能的利用目前所有可取得訊息。 組合模型組合了代表長期均衡 的貨幣學派因子,與包含更多短期市場訊息的遠期外匯溢酬模型預測因子,正充份利用了所有可 得訊息,而可能提供較佳的預測表現。 1陳旭昇與吳聰敏 (2008)以及吳致寧等(2012)就是在央行並不公開匯率干預方向及時點的情況下,實證討論 央行阻升與阻貶的時間區段,及其對經濟成長之影響。
由前面的分析我們知道, 目前匯率預測在長區間的預測上, 有部份成功的表現。 但是短區間 的預測上, 則未盡人意。 本文因此選擇往前一期 (one-step-ahead) 的短區間預測, 據以分析組 合預測的實證表現。 在這同時, 由於本文採用的估計式是在極小化 MSFE 的前提下選擇最適權 重,則各候選模型的權重, 也就取決於其樣本內參數估計偏誤與變異情形。 在分析各候選模型的 權重與偏誤和變異間的時間序列關係後, 我們發現本文採用的組合估計確實可以在單一模型偏 誤變小或變異變小時, 給予該模型較高的權重,而得以獲致較單一模型更好的預測績效。 其大幅 減少樣本外預測總誤差, 甚可達隨機漫步模型的 90% 以上。 而更重要的是, 我們發現各單一模 型的偏誤與變異情形, 隨時間經過或經濟事件的改變, 具有很大的波動性。 特定單一模型可能在 某個區段有良好的偏誤與變異表現, 但這樣的特性,可能隨時空改變 (如美國的量化寬鬆貨幣政 策之採行), 而由其他模型展現更好的偏誤與變異表現。 換言之, 在某個時間點所挑選出的單一 模型, 可能隨時間經過, 而非最適。 這凸顯了主觀或透過模型挑選準擇選取單一預測模型可能產 生的風險,也更強化了組合預測之必要。 這當中的原因自然在於組合預測模型得以適時地依據各 模型的偏誤與變異, 在不同的時間點, 調整各模型的權重。 目前文獻上, 如何組合模型模型應用於預測並非唯一, 將模型組合應用於匯率預測, 也非本
文僅見。Corte et al. (2009) 就利用貝式 (Bayesian) 權重挑選準則, 實證檢視組合預測的經濟
價值, 並發現投資人確實願意付出訊息成本, 取得該組合預測所建構的資產組合配置訊息。 Wu
and Wang (2013) 也在追蹤資料 (panel data) 的架構下, 發現組合預測模型確實提供較隨機
漫步模型更佳的預測表現。 Liu and Kuo (2014) 的組合方法與過去文獻之主要不同, 在於過去 組合預測多選定個別模型後, 直接給予這些個別候選模型固定或最適的權重; 而 Liu and Kuo
(2014)則在選定個別模型後,將各個模型的預測因子的所有可能組合,形成候選模型後, 再給予 其最適權重。 而窮盡預測因子的所有可能組合, 就在於在任一單一模型可能遺漏重要訊息而存 在偏誤的情況下, 希望能夠更充份地運用目前所有的可得資訊。 值得一提的是, 本文之重點並不 在比較各種不同組合預測模型的表現優劣,而在透過本組合預測方法的採用,拆解各候選模型的 偏誤與變異之權重構成, 並據以分析各候選模型權重變化背後的趨動因子。 以下在第二節中, 我 們首先介紹本文所採用的匯率預測模型。 第三節介紹本文採用的組合估計方法及資料來源。 第 四節實證結果的部份,我們將先確立組合預測模型相較於單一模型在樣本外預測的優越性後,進 一步分析背後的權重構成, 以及其與各候選模型偏誤與變異之關係。 第五節則為結論。 Liu and
Kuo (2004) 的組合估計式之推導, 則置於附錄。
2
匯率預測模型
匯率預測的重要性, 可以由為數眾多的匯率預測模型得到印證。2 本文雖然倡議模型組合運用於 匯率預測, 卻也不建議無窮盡地加入過多的模型進行組合。 這當中的原因在於納入過多模型, 由 於必須估計更多的模型參數與權重, 可能反而因為估計效率的喪失, 而影響預測績效。 而前述匯 率模型可概分為建構於經濟理論的結構模型 (structural model)(如貨幣學派模型、 泰勤法則模 型等), 以及源自於市場無套利條件的匯率預測模型 (如遠期匯率溢酬模型、 購買力平價模型等) 兩大類。 為了結合來自經濟結構與市場套利行為的訊息, 並兼顧組合估計效率, 我們分別選取了 這兩類模型中,較具代表性且經常被使用的貨幣學派模型與遠期外匯溢酬模型,建構組合預測模 型。 而這同時, 隨機漫步模型由於經常被用以為判斷匯率預測模型是否具有預測力的比較基準 (benchmark), 也將一併納入討論。 匯率預測模型通常建立在以下的預測式: ∆st+h= α + βxt+ ǫt+h, (1) 其中∆st+h ≡ st+h− st,第 t期取自然對數後的即期匯率表示為 st, ǫt+h 則為殘差項。 至於xt 為預測因子, 不同的匯率預測模型, 表現在對 xt 的不同設定, 以下分別介紹本文組合的不同匯 率模型。2.1
貨幣學派模型
(Monetary Fundamental Model: MF)
貨幣基本面變數對於匯率的預測能力的檢驗,始於 Messe and Rogoff (1983)。 在這些文獻多利
2
諸如國際收支模型(balance of payment model)、 貨幣學派模型(monetary fundamental model)、 泰勒法
則模型 (Taylor-rule model)、 購買力平價模型 (purchasing power parity model) 與 利率平價模型 (interest
用以下預測因子進行預測: xt= (mt− m∗t) − (yt− y∗t) − st = zt− st, 其中 mt 與yt 分別為取自然對數後的本國貨幣供給與國民所得,標示星號則代表外國的相對應 資料。 在這樣的設定下, zt 為兩國相對的貨幣流通速度(velocity of money), 也決定了長期均 衡匯率。3 因此 xt = zt− st 代表了匯率偏離長期均衡的部份, 未來匯率須與此偏離的部份連動 (co-move), 以確保匯率往其長期均衡趨近。 匯率基本面對匯率的預測能力, 也由此應運而生。
一如我們在前言所提及的, Messe and Rofgoff (1983) 實證發現以貨幣基本面預測匯率, 並 無法較隨機漫步模型提供更良好的預測表現後, 激發了為數眾多的相關實證研究。 目前為止累 積的文獻,大抵上認為貨幣基本面變數在短區間匯率預測上,並無法提供準確的樣本外預測表現
(如 Mark, 1995; Cheung, Chinn, and Pascual, 2005), 而有所謂的 「匯率斷連迷思」。 然而 就中、 長期的預測而言, 卻有不少得以支持貨幣學派模型的預測能力的發現 (如 Groen, 2000; Mark and Sul, 2001;Kilian and Taylor, 2003; Sarno, Valente, and Wohar, 2004; Rossi,
2005)。 換言之, 貨幣模型目前在短區間的預測表現並不理想, 但在中、 長期, 則可能具有一定的
預測能力。
2.2
遠期外匯溢酬模型
(Forward Premium Model: FP)
遠期外匯溢酬模型, 來自於未拋補的利率平價說(uncovered interest rate parity, UIP) 與拋補 的利率平價說 (covered interest rate parity, CIP)。 在效率市場與風險中立的前提下, UIP可 用以下的式子表示: Et∆st+h = iht − iht ∗ , (2) 其中 ih t 與 iht ∗ 分別代表第 t 期本國與外國的名目利率水準。 (2) 式意謂兩國的利率差距, 決定 3原始設定為 zt= (mt− m∗t) − λ(yt− yt∗),在加上貨幣中立性成立與各國所得同質(homogeneous)的假設 後, λ = 1。
了預期匯率的變動率。 當本國利率高於外國利率時, 將吸引外資投入本國市場, 造成目前本國幣 的升值與外幣的貶值; 而這些資金於投資期滿時, 將再由本幣轉為外幣實現損益, 預期造成未來 本國幣貶值與外幣的升值。 因此正利差將帶來相同幅度的預期本幣貶值率與外幣升值率。 CIP則來自於投資人欲規避未來匯率風險,所進行的無風險套利行為。 當本國出現正利差時, 國外資金匯入時, 將同時賣出相同金額的本國遠期外匯, 以規避未來實現損益時之外匯風險, 而 有以下的關係成立: fth− st= iht − iht ∗ , (3) 其中 fh t 為取自然對數後, 本期簽定 h 期後到期的遠期匯率報價。 該正利差將帶來相同幅度的 本幣遠期貼水 (discount) 率與外幣遠期升水 (premium) 率。 將 (3) 式代入 (2) 式, 可得以下的匯率預測式: ∆st+h= α + β(fth− st) + ǫt+h, (4) 其中 α 與 β 為待估計參數,ǫt+h 為干擾項。 (4) 式中, 若UIP 成立, 則 α = 0 且 β = 1。 然而 自Fama (1984) 以降, 文獻上發現UIP 並無法為資料所支持,甚至經常估計出負的 β 估計值, 而有所謂的 「遠期偏誤迷思」。4 體認到遠期偏誤的可能存在 ,本文並不試圖解決或為此偏誤提供 解釋。 然而我們仍然認為遠期匯率與即期匯率之報價差異, 提供了市場對未來匯率變化的重要 資訊。 事實上, Clarida et al. (2003) 也認為遠期溢酬的期間結構 (term structure of forward
premia), 對未來匯率的變動,提供了重要的訊息,而得以助於匯率的預測。 我們因此將遠期外匯
溢酬模型, 納入組合模型進行預測。
2.3
隨機漫步模型
(Random Walk Model: RW)
隨機漫步模型認為若市場是有效率的, 那麼目前所有可取得的資訊, 都已經反應在匯率上。 任何 預測因子如基本面因素等, 都無法對未來匯率提供額外的訊息與預測能力。 反應在匯率預測模型
4
Froot and Thaler (1990)整理過去文獻,發現β 的平均估計值為-0.88, Chinn and Meredith (2004)將資
上,則為以下的預測式:
∆st+h= α + ǫt+h. (5)
自 Messe and Rogoff (1983) 以來, 隨機漫步模型幾乎普遍被用以為各種匯率預測模型是否具
有預測能力的比較基準,自不外於本文。 總結以上的討論, 我們認為貨幣學派模型代表經濟基本面訊息,包含了較長期、 均衡的匯率 資訊; 而遠期匯率溢酬模型, 則較能掌握市場上短期內出現的訊息。 而我國央行採行管理式浮動 的匯率制度, 可能隨時干預外匯市場, 且其阻升或阻貶的政策干預方向並不明確。 在這樣的情況 下, 任一單一模型想要準確預測匯率, 其實並不容易。 我們希望能透過組合以上匯率模型, 充份 運用可取得的訊息, 進行匯率預測。
3
模型設定與資料說明
組合不同模型的預測結果進行預測, 起因於預測時的模型不確定(model uncertainty)。 由於不 確定何者為 「正確」 的模型,研究者於是試圖結合各個可能的模型,進行預測。Bates and Granger(1969) 首先推導出最適組合權重, 而後各種不同的組合預測模型, 也不斷被創造與開發。5
本文使用的 Liu and Kuo (2014) 的模型組合估計方法, 是在極小化預測均方誤 (mean
squared forecast error, MSFE) 的前提下, 決定各個不同變數 (模型) 的所有可能組合之最
適權重。 由於該估計式在推導時, 去除了模型殘差常態且 i.i.d. 的假設, 而得以將 MSFE 拆解 為偏誤 (bias) 與變異 (variance) 兩部份, 並據以分析不同時間點各模型因為偏誤與變異的變 化, 對最適權重的影響。 值得一提的是, 本文在組合預測模型的應用, 並不在比較其與其他組合 預測方法之優越性。 我們希望透過組合預測模型的建構,除了提供較其他單一模型更好的預測結 果外, 更進一步分析權重的構成, 並深入分析模型估計偏誤與變異的變化, 對個別模型最適權重 之影響。 5如
Granger and Ramanathan (1984), Min and Zellner (1993), Raftery, Madigan, and Hoeting (1997),
3.1
實證設定
本文希望將研究的重點, 聚焦在目前匯率實證上表現較不理想的短區間預測。 我們因此選擇在 第2節的匯率預測模型中, 選取 h = 1, 對匯率進行往前一期的預測。 本文選取貨幣學派模型 MF 與遠期外匯溢酬模型 FP 建構組合模型, 其選取的兩個預測因子, 分別為較能掌握長期均 衡匯率訊息的貨幣學派預測因子 xM F, 以及蘊含較多短期市場資訊的遠期外匯溢酬模型之預測 因子 xF P: xM Ft = (mt− m∗t) − (yt− yt∗) − st xF Pt = ft− st.Liu and Kuo (2014) 的模型組合方式, 在於建立預測因子的所有可能子集合, 並據以形成候選
模型。 在這樣的情況下, 此二預測因子,共產生 22 = 4 個可能組合。 在加上常數項後, 我們將組 合以下四個候選模型: RW : ∆st+1= α + ǫt+1, MF : ∆st+1 = α + β1xM Ft + ǫt+1, FP : ∆st+1 = α + β2xF Pt + ǫt+1, MX : ∆st+1= α + β1xM Ft + β2xF Pt + ǫt+1. 這四個模型中, 若兩個預測因子皆不選取, 恰為過去匯率預測模型中, 作為預測力比較基準的隨 機漫步模型 (RW)。 而選取單一預測因子, 則分別產生貨幣學派模型 (MF) 與遠期外匯溢酬模 型(FP)。至於兩個預測因子皆選取的模型,我們稱之為混合模型(mixed model, MX)。 本文將 針對此四個候選模型, 分別計算使 MSFE 達成最小的最適權重, 並據以建立組合模型 (combi-nation model, COM)。
值得說明的是, 過去組合模型若欲組合MF 與FP 兩個模型, 則不論是給予固定權重, 或是 用各種不同的方法估計權重, 基本上就是在這兩個模型決定分配權重的高低。 而這裏的組合模 型COM, 由於窮盡兩模型的預測因子的所有可能組合,而多加入了只有截距項的隨機漫步模型
RW, 以及納入所有預測因子的混合模型 MX, 形成四個候選模型的組合預測。 這個方法的好處 自然在於充份利用可取得的有限資訊,同時過去組合方法也包含(nested) 於COM 模型中(為
RW 與MX 的權重都為零的組合), 而預期能提供較為精良的預測表現。
將混合模型 MX 納入候選模型, 有其實證上的意義存在。 在Liu and Kuo (2014) 中, 混合 模型因為兼容所有預測因子, 因此具有漸近不偏性。 換言之, 混合模型 MX 僅會透過變異項貢 獻 MSE 或MSFE。 但同時卻也可能因為納入所有預測因子, 因為估計參數的較多而喪失部份 估計效率性。 至於其他單一模型 RW、MF 與 FP, 則可視為遺漏變數 (omitted variable), 將產 生偏誤的估計值。 但是這同時, 卻也因為估計參數較少, 較能精準地掌握資料所提供的訊息, 而 能提供變異較小、 較有效率的估計結果。 組合模型 COM 於是權衡各個候選模型不同的偏誤與 變異情形, 由資料決定與時而異的最適權重 w∗ t = (w∗RW,t, wM F,t∗ , w∗F P,t, wM X,t∗ )′ 。 至於組合模 型的模型設定, 以及權重的計算與估計方法之詳細說明,請參閱附錄。 決定各候選模型之最適權重後, 我們將建立以下的組合預測: c ∆sCOMt+1 = wRW,t∗ ∆scRWt+1 + wM F,t∗ ∆sct+1M F + wF P,t∗ ∆scF Pt+1+ wM X,t∗ ∆scM Xt+1. 我們認為, 匯率的變動, 其實有許多的趨動因素。 可能一部份來自經濟基本面的變化, 卻也受較 短期的市場變化所影響。 同時在不同的時間點, 各種趨動因素的重要性, 也可能因時而異。 另一 方面, 在我國中央銀行可能隨時干預匯率走勢的情況下, 組合匯率模型進行預測, 恰能讓我們儘 可能運用可得訊息, 並掌握不同時間點與時而異的特性。 希冀透過此組合預測模型之運用, 除了 提供匯率走勢更好的預測之外, 也透過不同時間點的權重變化, 分析經濟事件發生時, 不同候選 模型在預測的重要性差異。
3.2
資料來源與設定
本文以1997年1月至2012年9月,共189筆美元兌新台幣匯率月資料為研究標的(取對數差後為 188筆資料)。 即期匯率 (St) 與一個月遠期匯率 (Ft) 取自 Datastream 資料庫; 台灣的貨幣供 給 (Mt) 取自主計處總體統計資料庫的 M2數據, 美國的貨幣供給 (Mt∗) 則來自聯準會 (Fed.)所公布的季節調整後之 M2。6 由於國內生產毛額
(GDP) 並無月頻資料, 我們選取工業生產指
數 (industrial production index) 為國民所得的代理變數 (proxy)。 台灣的工業生產指數 (Yt) 取自主計處總體統計資料庫, 美國的工業生產指數 (Y∗
t ) 則來自國際貨幣基金 (International
Monetary Fund, IMF) 的國際金融統計資料庫(international financial statistics, IFS)。 我們使用滾動視窗 (rolling window) 的方法進行樣本外預測。 這種方法固定樣本內估計時 的資料個數,我們設定每次使用100筆資料進行樣本內估計,並據以進行下一期的樣本外匯率預 測。 換言之, 本文的第一筆預測, 使用1997年1月至2005年4月, 共100筆樣本內資料, 對2005 年5月的匯率進行預測。 接續一期進行2005年6月匯率預測時,則採用1997年2月至2005年5月 之資料,當加入一筆新資料時,去除歷史最久的一筆資料,以維持固定視窗(fixed window)進行 預測。7 如此共產生 88筆樣本外預測, 本文即據以進行相關之推論與分析。 我們的樣本期間, 包 含了2007年美國的次級房貸危機(subprime mortgage crisis), 與其後續引起的金融海嘯,以及
2009年美國開始大幅度的量化寬鬆貨幣政策。 這些經濟事件或政策上的變革, 都使得匯率的準 確預測,益顯困難。 然而匯率預測的重要性, 卻也在這些經濟事件發生時, 益形凸顯。
4
實證結果
4.1
樣本內估計
表 1 羅列我們進行88筆樣本外預測時, 各候選模型的樣本內估計值之平均數與標準差。 首先觀 察貨幣模型 MF 的估計結果, 我們發現 β1 的估計值0.2340為正且顯著異於零 (t 值=26.5296, p 值=0.0000), 符合理論預期的方向。 當匯率低於貨幣基本面時, 將使未來匯率上升, 對應本幣 貶值與外幣升值。 至於遠期外匯溢酬模型 FP, 其 βb2 的平均值0.9971為正, 遠期匯率升水會帶 來未來匯率的上升, 與理論預期方向一致。 然而若進一步檢定 β2 = 1 的虛無假設, 卻發現該虛 無假設被推翻 (t 值=5.7293, p 值=0.0000)。 這顯示美元兌台幣匯率雖然沒有像過去許多文獻 出現與理論不符的負估計值, 卻也仍存在部份的遠期偏誤迷思。 6大寫幅號表示未取自然對數前之水準值 ,進行實證時皆以取自然對數後之資料進行預測,則以小寫符號表示之。 7我們也採用遞迴迴歸 (recursive regression),每期擴大視窗的方法進行相同的分析。 實證結果發現除了遞迴分 析因為沒有去除歷史最久的資料, 對經濟事件的反應,相對敏感性較小之外, 大部份的結果與推論都與滾動視窗一 致。表1: 候選模型樣本內估計結果 模型 α std.(α) β1 std.(β1) β2 std.(β2) RW -0.0003 0.0009 −− −− −− −− (0.0800) (-0.0026) (−1.0032)∗ MF 0.6642 0.2340∗ 0.0215 0.0076∗ −− −− (0.7445)∗ (0.0241)∗ (−1.0032)∗ FP 0.0011 0.0003 −− −− 0.9971 0.0063∗ (0.0814) (-0.0026) (-0.0061) MX -0.0803 0.0965 0.0026 0.0031 1.0032 0.0052 說明: 1. 括弧內的數字為各個別模型之偏誤平均值,為各單一模型RW、MF與 FP之估計值 與混合模型MX 估計值之差的平均值。 2. 數字中加上星號表示在四個候選模型中,偏誤的絕對值或變異最大者。
組合模型COM在極小化預測風險MSFE(在往前一期預測下,等於樣本內估計均方誤,MSE)
的前提下, 選擇各候選模型的最適權重。 而參數估計之樣本內 MSE, 其實由參數估計值之偏誤 與變異所構成。 我們因此進一步檢視各候選模型之偏誤與變異情形, 以了解決定權重時, 對於偏 誤與變異之權衡取捨(trade-off)。首先觀察偏誤情形,組合模型 COM 「嵌入」(plug-in) 漸近不 偏估計式決定最適權重, 而混合模型 MX 因為採用了所有預測因子, 因此其參數估計值被視為 α 、 β1 與 β2 的不偏估計值。 MF與 FP 模型的參數估計值與 MX 模型估計值之差異, 則可視 為因為遺漏變數所產生之偏誤。8 我們發現平均而言 , 貨幣學派模型 MF 無論就 α 、 β1 或 β2, 其偏誤程度都是最大的。 而去除沒有偏誤的MX模型後, FP模型則除了截距項偏誤表現稍劣於 RW 模型之外, 其偏誤在三個單一候選模型中, 表現最佳。 其次觀察參數估計值的變異情形。MF模型無論就α或β1 的估計,都是所有候選模型中,效 率最差的。 而混合模型 MX 則一如我們在前一節所提及, 因為納入較多的變數, 雖然確保了不 偏性, 卻可能喪失模型估計效率。 這部份的效率喪失, 表現在對於截距項的估計值之變動上。 我 們發現MX 模型的α估計值的標準差0.0965,遠高於RW(=0.0009) 與FP(=0.0003)兩個單 一模型。 但是就兩個斜率項 β1 與β2, 混合模型 MX 仍然可以提供較單一模型更精準的估計結 果。 而截距項的估計效率, 則以遠期外匯溢酬模型 FP 的表現為最優。 8 MF模型由於並未放入xF P t 此預測因子, 可以視為此模型強制cβ2= 0。 則其對 β2 估計之偏誤,為0與MX 模型cβ2 之差額。 同理,FP模型的β1 估計偏誤,可由為0減去MX模型βc1 求得。
2005.7 2006.1 2006.7 2007.1 2007.7 2008.1 2008.7 2009.1 2009.7 2010.1 2010.7 2011.1 2011.7 2012.1 862012.7 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 RW MF FP COM 圖 1: 個別模型與組合模型累積預測誤差平方和
4.2
樣本外預測績效
在實際檢驗各模型樣本外預測表現之前, 我們於圖 1中畫出組合模型與三個單一模型的累積預 測誤差平方和 (cumulative sum of squared forecasting error, CSFE) 的時間序列, 由每一 期累積之前所發生的預測誤差平方, 加總後求得。 由圖型中可以看出, 就各別模型而言, 貨幣模 型 MF 在各個時間點皆累積了最高程度的預測誤差, 其次則為隨機漫步模型 RW。遠期外匯溢 酬模型 FP 與組合模型 COM 的累積預測誤差, 則遠較 MF 與 RW 為小。 而若實際比較共88 筆的樣本外預測誤差和, 可發現組合模型 COM 可大幅將 CSFE, 由貨幣模型 MF 的0.02325, 降至0.00015,降幅達 99.38%。 而相較於一般用以作為預測力比較基準的隨機漫步模型 RW 的 CSFE(為0.02223), 組合模型 COM 亦大幅降低預差誤差達 99.35%。 而圖1中看似與組合模型 表現接近的遠期外匯溢酬模型 FP, 其 CSFE 為0.00019。 組合模型亦可使其預測誤差減少達 21.97%。 由此可大致看出組合模型確實較各單一模型, 提供更好的預測表現。 至於上述預測績效的差異是否具統計上的顯著性, 則有賴進一步的檢定推論。 我們在此使用 欉清全、 李政峰、 郭炳伸 (2005)的 AR − tc 檢定量,進行預測績效的評估。 AR − tc 檢定量的 精神源自於 DM 檢定量(Diebold and Mariano, 1995), 該檢定量檢定兩模型的 MSFE, 是否表 2: 樣本外預測績效 模型 截距項估計值 標準誤 t 值 p−值 MF-RW 0.00001 0.00002 0.6830 0.4964 FP-RW −0.00025∗∗∗ 0.00005 -4.9693 0.0000 COM-RW −0.00025∗∗∗ 0.00005 -4.9816 0.0000 COM-MF −0.00026∗∗∗ 0.00005 -5.2331 0.0000 COM-FP −4.66 × 10−7∗∗ 1.97 × 10−7 -2.2357 0.0204 說明: 1. ***、**與*分別表示在1%、5%及10%的顯著水準下為顯著。 2. 所有模型皆經過AIC 準則選取落後期數,並通過Q 檢定與殘差異 質性檢定。 存在顯著的差異, 據以評斷兩模型之預測績效。 AR − tc 檢定量將 DM檢定量檢定不同模型預 測誤差平方差 dt 所形成的數列, 其均值是否顯著異於零的觀念, 轉換為較易操作的迴歸檢定程 序。9 其具體的作法 ,是將 dt所形成的時間序列,以含有截距項的自我迴歸模型(autoregressive
model) 配適, 並利用 AIC 準則 (Akaike information criterion) 挑選落後階次後, 檢定其截 距項是否顯著異於零。 利用 AIC 準則選取自我迴歸落後項次旨在去除誤差項可能存在的自我 相關; 而檢定截距項是否異於零, 則相當於檢定 dt 的均值, 是否顯著異於零。 這種方法除了操 作便利性外, 也由於規避了長期變異數 (long-run variance) 的估計, 而免除了核函數 (kernel function) 挑選所產生的不穩健 (robust) 性之缺點 (Clark, 1999)。
表 2 上半部為 MF 與 FP 兩單一模型與隨機漫步模型 RW 之預測績效檢定結果。 表中 MF-RW 表示我們以 dt = e2t,M F − e 2 t,RW 建構 AR − tc 檢定量所需的時間序列, 檢定 MF 與 RW 有相同MSFE的虛無假設。 若截距項估計值顯著大於零,表示 MF 模型相較RW, 有較大 的MSFE; 而若截距項估計值顯著小於零, 則表示 MF 模型較RW 模型有較佳的預測力。 由表 中可以看出,一如過去國外實證研究結果,貨幣學派模型 MF 在短區間預測,並無法提供較隨機 漫步模型 RW 更佳的預測能力。 觀諸 MF 模型在前一小節樣本內參數估計的偏誤與效率表現, 這樣的結果其實並不令人意外。 反觀遠期外匯溢酬模型 FP, 卻可以提供遠較隨機漫步模型更小 的 MSFE。 我們相信這是因為遠期外匯溢酬模型根源於市場無套利條件,而能較快速的納入市 場上新的訊息所致。 因此就這部份單一模型的實證結果而言, 我們發現貨幣模型在短區間預測表 9 dt= e 2 1,t− e 2 2,t,其中e 2 1,t 與e 2 1,t分別為模型1與模型2在t期的預測誤差。
表3: 最適權重之敘述統計 RW MF FP MX 平均值 0.00001 0.00000 0.33915 0.66083 標準差 0.00001 0.00000 0.33188 0.33188 最大值 0.00005 0.00001 1.00000 0.92898 最小值 0.00000 0.00000 0.07099 0.00000 現不佳,而遠期外匯溢酬模型具有較隨機漫步模型更好的預測表現。 組合估計模型 COM 較於各單一模型的預測績效表現, 整理於表 2 下半部。 我們分別將組 合模型COM 的預測誤差平方,減去 RW、MF 與FP 三個單一預測模型的預測誤差平方,形成 預測誤差平方差的時間序列。 利用 AR − tc 檢定量檢定該些時間序列的截距項是否顯著異於零 後,發現組合預測模型的 MSFE, 顯著地小於 RW、MF 與FP 三個單一預測模型。 我們於此確 立組合模型 COM 有較單一模型更佳的預測力。 至於該預測力之來源, 我們將在接續的幾個小 節中, 深入討論。
4.3
最適組合權重
組合模型COM 權衡不同時間點各個候選模型之偏誤與變異情形後, 決定各時點的最適權重。 圖2為各候選模型最適權重之時間序列圖; 而該權重的敘述性統計, 則整理於表 3。 由圖中我們 發現, 就樣本外預測期間而言, COM模型主要組合混合模型 MX 與遠匯溢酬模型 FP 兩模型 進行預測, RW與MF 兩個模型的權重則相當接近於零。 而同時就 MX 模型與FP 模型進行組 合時, 其組合權重也出現因時而異的劇烈變化。 我們發現大部份的時間點, 混合模型 MX 佔了 組合估計式約八成的權重, 而遠期外匯模型 FP, 則在二成上下的權重遊走。 這個趨勢在2009年 年中至2011年年中, 發現了很大的變化。 2009年中開始, 混合模型的重要性開始大幅度的下滑, 而在2010年4月到2011年6月間,其權重甚至降到零的水準,而後才開始大幅度的上升。 至於混 合模型 MX 的權重縮減, 則大部份皆轉換到遠期外匯模型 FP 的權重上升上。 這一點可由兩模 型的權重曲線接近鏡射的形態得到佐證。 在往下分析這些權重變化的成因之前, 我們必須再回頭看看四個候選模型的樣本內估計表2005.7 2006.1 2006.7 2007.1 2007.7 2008.1 2008.7 2009.1 2009.7 2010.1 2010.7 2011.1 2011.7 2012.1 2012.7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 RW MF FP MX 圖2: 候選模型最適權重 現, 以及他們與權重之間的關係。 表1中, 隨機漫步模型 RW 與貨幣模型 MF, 不論在估計的 偏誤與效率性, 都明顯劣後於另外兩個候選模型。 被賦與接近或等於零的權重, 其實並不令人意 外。 而兩個佔重要權重的模型中, 遠期外匯溢酬模型 FP 在斜率項提供了單一模型中偏誤最小 的估計值, 同時在截距項之估計效率為所有候選模型最高者。 至於混合模型 MX 則因為完整納 入RW、MF 與FP的所有預測因子,而得以具有漸近不偏性;然而卻也因為估計參數較多,喪失 了部份效率性, 這一點在截距項的標準誤上, 可以得到印證。 然而特別值得一提的是, 雖然在組 合預測時, 幾乎沒有賦與貨幣學派模型權重,並不意謂我們應完全稟棄貨幣基本面因素的使用。 貨幣基本面因素仍然透過在大部份時間都佔重要權重的混合模型 MX, 貢獻匯率偏離經濟基本 面時的匯率調整方向與訊息。 為了了解權重變化時間序列的變化與匯率走勢之關聯,我們也將美元兌新台幣匯率的時間趨 勢呈現於圖3。 這當中比較明顯的匯率變化, 發生在2007年年中, 次級房貸風暴暴發尹始, 美元 開始呈現大幅度的貶值。 而後續引發的全球性金融海嘯中,我們卻發現自2008年中期以後,美元 呈現更大幅度的升值。 這當中很大的一部份原因, 來自於金融海嘯所帶來的去槓桿化效應及利差 交易平倉舉動, 以及外資的大舉匯出台灣所致。10 由於金融海嘯危機的擴大與漫延 , 引發了國際 10 吳孟道,「當前金融危機對台灣經濟發展之影響與因應之道」, 國家政策研究基金會, 國政分析財金(析)097-015 號,2008年11月。
2005.7 2006.1 2006.7 2007.1 2007.7 2008.1 2008.7 2009.1 2009.7 2010.1 2010.7 2011.1 2011.7 2012.1 2012.7 28 29 30 31 32 33 34 35 S 圖3: 美元兌新台幣時間趨勢圖 間大量與貸款提早償還潮及投資人贖回潮,而這些資金必須與美金償還,使得美金在這一段時間 內, 反而因為需求的增加, 而呈大幅度對大部份國家升值的走勢, 台灣也不例外。 這一波美元的 漲勢, 由美國在2009年3月開始的四波的量化寬鬆 (quantitative easing, QE) 的貨幣政策, 而 有了重大的轉折。 美元開始了歷時三年多持續貶值的走勢, 而前述組合預測權重的重大轉折, 也 發生在這個區間。 至於何以在這個區間產生劇烈的權重改變, 我們將在下一節中仔細討論。
4.4
估計偏誤與最適權重
組合模型COM 在極小化 MSE 的目標下, 選擇候選模型的最適權重。 在這樣的情況下, 各模型 被賦與的權重, 也就取決於模型估計之偏誤與變異間的權衝取捨 (trade-off)。 在以下的兩個小 節中, 我們希望透過分析四個候選模型偏誤與變異的時間趨勢, 及以其對應的組合權重, 據以了 解此二者間之取捨關係。 圖4為四個候選模型就截距項α之估計偏誤的時間趨勢圖,圖中很明顯看出貨幣模型MF 的 偏誤, 在所有的時點都是最大; 而混合模型MX 則因具有漸近不偏性, 偏誤最小為零。隨機漫步 模型RW與遠期外匯溢酬模型FP 的偏誤,其走勢則非常接近。 由於在圖2的最適權重時間趨勢 中,組合模型主要組合FP 與MX兩個模型進行預測,我們必須更仔細觀察其偏誤變動情形。 混2005.7 2006.1 2006.7 2007.1 2007.7 2008.1 2008.7 2009.1 2009.7 2010.1 2010.7 2011.1 2011.7 2012.1 2012.7 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 RW MF FP MX 圖 4: 候選模型α 估計偏誤 合模型由於具漸近不偏性,主要透過變異影響最適權重。 而細觀FP 模型,我們發現在FP 模型 的偏誤在2009年年中開始縮小, 到2010年11月時, 偏誤趨近於零, 之後開始呈負向偏誤, 而幅 度(絕對值)也開始擴大。 比對圖2的權重走勢, FP模型的權重也在2009年年中,開始快速上升, 並在其偏誤非常靠近零的區間,被賦與接近 100%的權重。 隨後權重則隨著偏誤程度的擴大,而 再度下降。 至於各候選模型就貨幣基本面變數 xM F 之係數 β 1 的估計偏誤, 則整理於圖5。 由圖中可以 看出 β1 估計偏誤呈現與 α的偏誤非常相近的趨勢。 貨幣模型 MF 同樣在所有的時間點都產生 最大的偏誤, 這也使其在組合估計時, 被賦與相當低 (趨近於零) 的權重。 至於 FP 與 RW 模 型,由於都未納入 xM F 此一預測因子,相當於估計值都為0,所以有相同的估計偏誤。 就遠期外 匯溢酬模型 FP 估計偏誤與權重間的關係而言, 我們發現了與 α 一致的趨勢。 當偏誤的幅度於 2009年中開始大幅度下滑時的同時, FP模型的權重也隨之大幅攀升。 而當其偏誤值趨近於零的 時間區段,也恰與FP模型被賦與100%權重的時間相一致。 隨後隨著偏誤幅度的再度加大,FP 模型的權重也隨之下修。 圖6上半部為遠期外匯溢酬模型的預測因子 xF P 之係數 β 2 之偏誤情形。 由於 RW 與 MF 兩模型皆未納入此一預測因子, 相當於兩模型的 β2 估計值皆為零, 而有著相同的偏誤。 我們發
2005.7 2006.1 2006.7 2007.1 2007.7 2008.1 2008.7 2009.7 2009.7 2010.1 2010.7 2011.1 2011.7 2012.1 2012.7 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 RW MF FP MX 圖5: 候選模型 β1 估計偏誤 現這兩個模型的估計偏誤,遠高於遠期外匯酬溢酬模型 FP與混合模型MX。這也當然使得RW 與MF兩個模型,在組合預測時被賦與極低的權重。 由於這兩組模型的偏誤情形差異頗大,不易 看出 FP 模型估計偏誤的時間趨勢, 我們在圖6下半部儘就 FP 與 MX 兩個組合權重大的模型 繪圖。 由圖中我們發現, 雖然 FP 模型偏誤的方向與 α 、 β1 相反, 但是偏誤幅度同樣在2009年 年中開始大幅縮減, 並對應到 FP 模型權重的快速攀升。 而當2010年11月前後, 偏誤值趨近於 零時, 也正為此模型被賦與最高權重的時間點。 隨後隨著偏誤程度的擴大,FP 模型的權重也隨 之遞減。 總結偏誤與權重之關係, 我們將各候選模型的估計偏誤取絕對值後加總, 並將其時間趨勢描 繪於圖7。 我們發現 MF與RW兩模型,因為存在較為嚴重的偏誤,所以在組合時其權重相當低 或為零。 MX模型由於具漸近不偏性, 只會透過變異情形影響權重。 至於 FP 模型, 當其偏誤程 度縮小的同時, 被賦與的權重也愈高, 與我們的預期相一致。 同時我們也發現估計偏誤可能存在 與時而異的變化, 這些偏誤的相對大小, 以及隨時間經過的變化, 在我們進行預測時, 其實事前 都無法預料。 而這也是我們建議利用組合模型進行預測的重要原因。 透過模型組合進行預測, 我 們可以依據不同時間點的偏誤(與變異) 情形, 由資料決定模型的選取, 以及被賦與的權重。 這 免去了事先選取單一模型可能在某個時點有良好預測表現, 卻可能時空改變後無法精確預測的
2005.7 2006.1 2006.2 2007.1 2007.7 2008.1 2008.7 2009.1 2009.8 2010.1 2010.7 2011.1 2011.7 2012.1 2012.7 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 RW MF FP MX 2005.7 2006.1 2006.7 2007.1 2007.7 2008.1 2008.7 2009.1 2009.7 2010.1 2010.7 2011.1 2011.7 2012.1 2012.7 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 FP MX 圖6: 候選模型 β2 估計偏誤 風險。
4.5
估計變異與最適權重
MSE的構成, 來自於估計偏誤與變異。 這當中, 我們在前面曾經提到混合模型 MX 雖然具有漸 近不偏性, 但卻也因為估計變數較多, 而可能喪失估計效率。 而 FP 模型雖然偏誤較大, 卻也可 能因為估計變數較少, 而較有效率性。 組合模型如何在這兩者間權衡取捨, 即為本小節所欲分析 的重點。 圖8為候選模型估計變異之時間趨勢, 圖中首先觀察到混合模型 MX 確實因為估計變數較 多,而有最大的估計變異。 而單一模型中,則以貨幣學派模型 MF 有最大的估計變異。 隨機漫步 模型 RW 與遠期外匯溢酬模型 FP 的估計變異, 則相對而言, 表現出良好的效率性。 而細觀混 合模型 MX 估計變異的時間趨勢, 我們發現最明顯的變動, 在2009年年中, 其估計變異開始大 幅攀升。 比對圖2的最適權重時間趨勢, 此時MX 模型的權重也正在這個時間開始大幅下滑。 而 當混合模型的估計變異在2010年6月前後,到達最高峰時, 也正為 MX 模型被賦與0權重的時2005.7 2006.1 2006.7 2007.1 2007.7 2008.1 2008.7 2009.1 2009.7 2010.1 2010.7 2011.1 2011.7 2012.1 2012.7 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 RW MF FP MX 圖7: 候選模型總估計偏誤 間。 我們由可以看出組合模型在決定權重時, 確實能依據模型的估計變異, 選擇良好的模型與權 重。 之後隨著混合模型的估計變異開始降低, 其被賦與的權重, 也隨之提高。 至於貨幣基本面預測因子 xM F 之係數 β 1 的估計變異, 我們整理於圖9。 圖中由於 FP 與 RW兩個模型並未納入xM F 此一預測因子,相當於βb 1 = 0, 因此其估計變異為0。至於MX 與 MF 兩模型之估計變異, 其時間趨勢與 α 之趨勢接近, 但幅度相對小非常多。 而細觀 MX 模型 之估計變異與最適權重之關係, 我們也同樣發現當變異提升時, 被賦與之權重也將隨之降低。 圖10描繪 xF P 之係數 β 2 之估計變異。 這當中 RW 與 MF 兩模型因未納入此一預測因子, 其估計變異為零。 至於FP 與FMX模型的估計變異,則互有上下,但大部份的時間仍以混合模 型MX 的估計效率較差。 然而若比對估計變異與兩模型權重間之關係卻發現, β2 估計效率與最 適權重間, 似乎較不易觀察到變異上升導致權重下降的關係。 我們推測是因為β2 估計變異相較 於α之估計變異,其幅度相對微小。 因此權重與變異間之關係,較受到α之估計變異所影響,在 這部份的關係則相對較不明顯。 然而組合預測模型在組合各模型時之估計變異, 除了受各候選模型個別參數估計變異影響 外, 還受到模型內參數間之共變異, 以及模型間參數估計值之共變異所影響。11 我們將各候選模 11 式7中前項為模型內估計變異及共變異,後項則為跨模型間的估計共變異程度。
2005.7 2006.1 2006.7 2007.1 2007.7 2008.1 2008.7 2009.1 2009.7 2010.1 2010.7 2011.1 2011.7 2012.1 2012.7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 RW MF FP MX 圖 8: 候選模型α 估計變異 2005.7 2006.1 2006.7 2007.1 2007.7 2008.1 2008.7 2009.1 2009.7 2010.1 2010.7 2011.1 2011.7 2012.1 2012.7 0 1 2 3 4 5 6 7 8x 10 −4 RW MF FP MX 圖9: 候選模型 β1 估計變異
2005.7 2006.1 2006.7 2007.1 2007.7 2008.1 8008.7 2009.1 2009.7 2010.1 2010.7 2011.1 2011.7 2012.1 2012.7 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5x 10 −3 88 RW MF FP MX 圖 10: 候選模型 β2 估計變異 2005.7 2006.1 2006.7 2007.1 2007.7 2008.1 2008.7 2009.1 2009.7 2010.1 2010.7 2011.1 2011.7 2012.1 2012.7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 RW MF FP MX 圖 11: 候選模型總估計變異
型的各項變異與共變異加總後的總變異彙整於圖11。 我們仍然發現混合模型MX與貨幣學派模 型 MF 有最大的估計總變異, 而這個變異, 仍主要來自於截距項的估計變異。 將 MX 模型的總 估計變異與圖2的最適權重比對後, 我們發現明顯的變異擴大, 則權重降低的現象。 除了前面一 直提到的2009年中開始的大轉折外, 仔細觀察2009年之前的變異與權重關係, 我們也發現幾個 變異上凸的走勢, 都對應下凹的權重變化。 顯示 MX 模型的效率表現, 確為左右其被賦與權重 之關鍵。
5
結論
本文利用Liu and Kuo (2014) 的模型組合預測方法, 組合含有長期均衡訊息的貨幣模型, 與源
自於無套利條件而含有較多短期市場訊息的遠期外匯溢酬模型, 進行新台幣與美元間匯率之預 測。該二模型之預測因子之所有子集合, 恰形成隨機漫步、 貨幣模型、 遠期外匯溢酬模型以及包 含所有預測因子的混合模型等四個候選模型。 組合模型於是依據各候選模型的偏誤與效率性, 決 定四個候選模型的最適權重配置, 並獲致較任一單一模型為佳的預測表現。 仔細觀察四個候選模型的估計偏誤、 變異與權重之間的關係,我們發現貨幣學派模型MF 無 論在估計偏誤與效率表現都不理想, 因此獲得的權重相當低或為零。 而隨機漫步模型 RW 雖然 估計變異低, 但是由於未納入兩個預測因子而存在嚴重的偏誤, 獲得的權重也偏低。 至於被組合 模型賦與主要權重的 FP 與 MX 兩模型, 則在偏誤與變異各擅勝場。 混合模型 MX 具漸近不 偏性, 但估計較效率較差。 而遠期外匯溢酬模型 FP 則有良好的估計效率, 但是存在較 MX 模 型為大的偏誤。 組合模型在組合預測時, 於是權衡兩模型的偏誤與變異情形, 給予適當的權重。 大部份的時間, 混合模型 MX 因為具漸近不偏性, 所以被賦與較遠期外匯溢酬模型 FP 更高的 權重。 但是當混合模型的變異大幅提高, 而 FP 模型較弱的偏誤大幅降低的時間區段 (2009年 年中至2011年年中),混合模型可以有效的因應模型特性調整權重,給予 FP 模型絕大的組合權 重。 也因為這樣的特性, 使得組合模型得以展現出較其他單一模型更為優越的樣本外預測表現。 我們提倡組合預測的使用, 也根源於此。 每個單一模型的偏誤與變異情形各異, 而其優劣表現, 更與時而異。 這些不同的特性, 在進行預測時, 其實無法事前得知。 組合單一模型進行預測, 除 了將所有可能預測因子的各種可能組合皆納入考量,而得以充份利用所有可得訊息之外;更因為
能隨時依模型的偏誤與變異情形調整組合權重, 而免去事前選取任一單一模型可能產生的偏頗, 而能提供更為精良的預測資訊。 在目前為止尚未見模型組合應用於新台幣與美元間匯率預測的相關研究下,本文採用的組合 預測方法確實成功獲致較隨機漫步模型及其他單一匯率模型為佳的預測績效。 然貨幣學派模型 與遠期外匯溢酬模型之選取,儘是我們就長期均衡與較短期的市場面因素,在兼顧模型精簡性的 情況下,分別選取較常用模型後所進行的嘗試。 換言之, 後續研究或可加入或替換其他例如購買 力平價模型或泰勒法則(Taylor rule)模型等常見匯率模型建構組合預測,或能從中獲致更佳的 模型組合預測表現。
附錄
A
組合預測模型
本附錄主要說明Liu and Kuo (2014)的模型平均之組合估計方法之模型設定,以及最適權重之 計算與估計方式。
A.1
模型設定
考慮以下往前一期預測模型: yt= x′t−1β+ et, 其中 yt 為欲預測變數, 且 t = 1, . . . , T。 xt−1 為 k × 1 向量, 由 k 個預測變數所構成 (1 ≤ k ≤ T − 1); β 則為 k × 1 的待估計參數所形成的向量。 誤差項 et 滿足 E(et|xt−1) = 0 且 E(e2 t|xt−1) = σ2(xt−1), 並未加上任何分配或獨立性的假設。 換言之, 該組合估計式, 容許殘差 項具有異質變異數或序列相關的可能性,也因此更能深入理解這些變異對於組合權重之影響。Liu and Kuo (2014) 首先選取預測因子的所有可能組合為候選模型, 在 k 個預測因子設
定下, 共將產生 M = 2k 個候選模型。 這當中, 假設第 m 個候選模型有 k m 個變數, 且 m = 1, . . . , M。 定義第 m 個模型的選擇矩陣 (selection matrix) Πm 為一 km× k 的矩陣, 該矩陣 幫助由 k 個變數中, 選取第 m 個模型中的預測因子。 舉例而言, 若 k = 3 且第 m 個候選模型 選擇 x1 與x3 為預測因子, 則: Πm = 1 0 0 0 0 1 . 定義 yT ×1 = (y1, y2, ..., yT), XT ×k = (x′0, x′1, ..., x′T −1)′,且 eT ×1 = (e1, e2, ..., eT) 。 則第 m 個模型中參數的最小平方估計式為βbm= (X′ mXm)−1X′my, 其中Xm = (XΠ′m)。 在這樣的
設定下,第 m 個模型在第 T 期對下一期的預測為: byT +1|T(m) = x′TΠ′mβbm. 而所謂的組合模型, 即在組合這 m 個模型的預測結果, 給予適當的權重後, 進行預測。
A.2
組合預測式
定義 w = (w1, ..., wM)′ 為各個候選模型的權重所形成的向量, 其中各元素定義於實數集合 WM =w ∈ [0, 1]M :PMm=1wm = 1 。 則組合預測模型的預測值 ,由下式決定: ¯ yT +1|T(w) = M X m=1 wmybT +1|T(m) = M X m=1 wmx′TΠ′mβbm = x′Tβ(w),¯ 其中 β(w) =¯ PMm=1wmΠ′mβbm 為β 以加權後的平均估計式 (averaging estimator)。Liu and Kuo (2014) 於是證明, 當所有的變數都為粧定時, 組合預測模型的往前一期預測
均方誤 MSFE, 近似於模本內均方誤 (mean-squared error, MSE) 加上一個常數項。12 在這樣
的情況下: argmin w∈WM MSE(w) = argmin w∈WM MSF E(w). 換言之, 極小化往前一期樣本外預測的 MSFE 之最適權重組合, 可由極小化樣本內 MSE 之權 重組合求得。
A.3
最適權重與組合估計式
在Liu and Kuo (2014)中, 最適權重的推導, 建立在以下兩個假設:
假設1. β = βT = δ/√T, 其中 δ 為一固定常數向量。
12詳細證明請參閱
假設2. 當 T → ∞時, T −1X′X−→ Qp 且T−1/2X′e−→ Z ∼ N(0, Ω)d 。 其中 Q = E xt−1x′t−1 , 且 Ω = limT →∞T−1PTs=1PTt=1E xs−1x′t−1eset 。 假設1 假設 β
具局部漸近性, 以確保組合估計式的漸近 (asymptotic) MSE 為有限 (finite)。 至於假設2則容 許時間序列、 橫斷面與追蹤資料 (panel data) 的適用。 在這兩個假設下, Liu and Kuo (2014) 於是推算出組合估計式的漸近分配為: √ T ¯β(w) − β−→ N (A(w)δ, V(w))d (6) A(w) = M X m=1 wmAm V(w) = M X m=1 w2 mBmΩBm+ 2 X X m6=ℓ wmwℓBmΩBℓ (7) 其中 Am = Π′mQ−1m ΠmQ − Ik 且 Bm = Π′mQ−1m Πm。 T−1X′mXm p −→ Qm 且 Qm = ΠmQΠ′m , Ik 則為維度為 k × k 的單位矩陣。 由於組合估計式 β(w)¯ 的MSE 是由偏誤與變異兩項所構成,我們必須仔細觀察 (6) 式的構 成。 這當中 A(w)δ 為組合估計式的漸近偏誤 (asymptotic bias), 由局部參數δ 與共變異矩陣
Q 所構成。 漸近變異(asymptotic variance) V(w) 則由加權後各候選模型的變異,以及模型間 加權後的共變異所構成。 極小化MSE 的最適權重, 也因此取決於各候選權型中, 這些參數的相 對大小。
有了組合估計式的漸近分配後, Liu and Kuo (2014) 於是推算出組合估計式的 MSE為:
MSE(w) = 1 Tw ′C Mw + O(T−3/2), 其中 CM 為一M × M 矩陣,其第(m, ℓ) 個元素為cm,ℓ= tr (QAmδδ′A′ℓ) + tr (QBmΩBℓ)。 則最適權重為使漸近 MSE 為最小的權重組合: w∗ = argmin w∈WM w′CMw.
然而前述之最適權重計算, 取決於δ, Q, Ω, Am 與Bm 等未知參數。Liu and Kuo (2014) 於是 「嵌入」(plug-in) 其對應的漸近不偏估計值, 並據以由資料決定最適權重, 組合不同模型的 預測值進行預測。
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