利用
excel 軟體繪製氫原子的
3d 軌域等高線圖
邱智宏
壹、前言
初 學 原 子 軌 域 時 ， 總 是 從 最 簡 單 的 氫 原 子 開 始 ， 但 是 光 看 由 薛 丁 格 方 程 式 (Schrödinger equation)所 解 出 各 軌 域 的 波 函 數(wave function)，便 令 人退 避 三 舍，遑 論 依 據 波 函 數 來 畫 出 軌 域 的 形 狀 。 然 而 ， 理 解 原 子 軌 域 的 形 狀 ， 卻 是 通 曉 混 成 軌 域、分 子 軌 域，有 機 化 學 及 光 譜 學 的 基 礎。 另 外 ， 高 中 教 科 書 所 繪 製 的 軌 域 圖 形 ， 均 為 立 體 的 模 型，將 含 電 子 機 率 約90%的 範 圍，利 用 專 業 軟 體 繪 如Maple V、Mathmatica 等 將 其 繪 製 出 來 。 此 方 式 亦 有 其 不 利 之 處 ， 其 一 是 只 能 觀 其 外 表 ， 其 內 部 電 子 的 分 部 情 形 為 何 ？ 卻 難 以 得 知 ， 其 二 為 專 業 軟 體 較 為 昂 貴 ， 如 何 使 用 也 必 須 學 習 。 因 此 若 能 親 自 嘗 試 探 究 波 函 數 的 特 徵 ， 並 利 用 常 見 的 excel 軟 體畫 出 軌域 的 等 高 線圖 (contour map)， 將可 獲 得 很高 的 回 報 及好 處 ， 對 軌 域 內 部 電 子 的 分 佈 情 形 ， 也 能 有 更 深 刻 的 認 識。本 文 試 著 以3d 軌 域 為 例， 分 析 其 軌 域 的 特 性 ， 並 利 用 excel 所 含的 程 式 指 令 ， 敘 述 其 演 算 法 則(algorithm)， 並 繪 製 出 軌 域 波 函 數 的 等 高 線 圖 。貳、極座標及氫原子 3d 軌域的波函
數
在 解 氫 原 子 的 薛 丁 格 方 程 式 時 ， 經 常 會 使 用 座 標 軸 轉 換 的 方 法 ， 將 直 角 座 標 轉 換 成 極 座 標 ， 以 利 於 求 解 ， 其 解 出 的 波 函 數 分 成 徑 向(radial)部 分 及 角 度 (angular)部 分，兩 者 相 乘 則 為 完 整 的 波 函 數，有 關 3d 軌 域 的 波 函 數 詳 如 表 一 所 示 。 有 關 直 角 座 標 和 極 座 標 的 轉 換 方 式 ， 如 圖 一 所 示 ，(x,y,z)轉 成 (r, ,)可 透 過 下 列 公 式 完 成 ： sin cos x r sin sin y r cos z r 其 中 角為 r 在 xy 平面上的投影，其 繞 z 軸 旋轉 和 x 軸 間 的 夾 角， 角 為 r 和 z 軸 間 的 夾 角 。 經 由 上 列 公 式 的 轉 換 可 將 表 一 中 第 二 欄 3d 的 波 函數，轉 換成 第 三 欄 的 直 角 座 標 表 示 法， 其 中 將r 以前 的 常 數 項2 均 省 略 ， 因 為 它 們 並 不 會 影 響 軌 域 的 形 狀 ， 另 外 為 了 簡 化 起 見 ， 將 波 耳 半 徑 a 也 以 1 表 示 。 例 如 2 3 z d 的 波 函 數 7 2 2 3 2 1 2 1 1 [ ( ) ] (3cos 1) 81 r a r a ，將 中 括 弧 的 部 分 省 略 ， r2(3cos21) 以
2 2 2 2 3z x y z 代換，指數部分中的 r 等於(x2y2z2 1 2) ， 但 為 了 簡 潔 起 見 仍 以 r 書 寫 ， 唯 計 算 時 方 以 直 角 座 標 代 入 ， 因 此 簡 化 後 的 2 3 z d 可 表 示 為(2z2x2y e2) r/3。 其 他 3d 軌 域 的 轉換 也 是 類 似，唯 有 些 須 使 用 到 三 角 函 數 的 倍 角 公 式 ， 請 自 行 嘗 試 。 表 一 、 氫 原 子 各 3d 軌 域 的 波 函 數 及 其 簡 化 後 的 表 示 法 類 型 極 座 標 表 示 的 波 函 數 簡 化 後 的 波 函 數 3dyz 1/2 7/2 2 /3 1/2 2 1
( ) sin cos sin 81 r a r e a yzer/3 3dxz 1/2 7/2 2 /3 1/2 2 1
( ) sin cos cos
81 r a r e a xzer/3 3dxy 7/2 2 /3 2 1/2 1 1 ( ) sin sin 2 81 r a r e a xyer/3 2 2 3 x y d 7/2 2 /3 2 1/2 1 1 ( ) sin cos2 81 r a r e a (x2y e2) r/3 2 3 z d 7/2 2 /3 2 1/2 1 ( )1 (3cos 1) 81 r a r e a (2z2x2y e2) r/3 圖 一 、 直 角 座 標 和 極 座 標 間 的 關 係 圖
由 簡 化 後 的 波 函 數 可 看 出 yz 3d 、 3dxz 、 xy 3d 三 者 在 指 數 部 分 相 同 ， 另 外 ， 只 須 將y 軸 換 成 x 軸 ， 或 z 軸換 成 y 軸， 則 三 者 便 完 全 一 樣 。 這 意 味 著 其 軌 域 的 形 狀 完 全 相 同 ， 只 是 呈 現 的 方 位 不 同 而 已 。 至 於 2 2 x y 3d 軌 域 的 表 示 法 2 2 /3 (x y e) r ，看 起 來 和 前 三 者 相 差 頗 多 ， 但 事 實 上 只 要 將 xy 平 面 的座 標 軸逆 時 鐘 旋 轉 45 度 ， 進行 座 標 轉 換 後 則 xy 便 能 輕 易 轉 換 成 2 2 x y ，因 此 其 軌 域 的 形 狀，僅 須 將3dxy 的 軌 域 逆 時 針 旋 轉 45 度 即 可，對 於 不 熟 悉 座 標 軸 轉 換 的 讀 者 ， 可 以 參 閱 參 考 資 料 6。由 專 業 軟 體 繪製 的 五 種 3d 軌 域 詳 如 圖 二 所 示 ， 其 中 確 實 可 以 看 出 ， 此 二 者 的 軌 域 形 狀 ， 只 是 以 z 軸 為 中 心， 將 垂 直 於 z 軸 的 xy 平面 ， 逆時 鐘 旋 轉 45 度， 兩 者便 完 全 一 樣 。 由 上 述 說 明 可 知 ， 表 一 中 的 軌 域 形 狀 可 分 成 二 種 類 型，前4 種 3d 軌 域 的 形 狀 幾 乎 相 同 ， 只 是 方 位 不 同 而 已 ， 唯 一 不 一 樣 的 就 是 2 3 z d 軌 域 。 接 下 來 分 析 一 下 函 波 數 的 特 性 和 軌 域 形 狀 的 關 係 ， 依 據 量 子 化 學 的 推 導 ， 只 要 得 知 角 動 量 量 子 數(l)的數值，即可以得知 軌域中節面(nodal plane)的數目，3d 軌域的 角動量量子數為 2，所以各種 3d 軌域均應 各有 2 個節面，以 3 xy d 為例，由其波函數 可知，當x=0 及 y=0 時波函數的值為 0，代 表 在 這 個 區 域 找 不 到 電 子 ， 因 此 在 三 度 空 間，x=0 代表 yz 平面，y=0 代表 xz 平面， 在 此 二 平 面 上 找 不 到 電 子 ， 即 為 其 節 面 ， 由 圖 二 左 上 角 的 第 一 個 圖 形 亦 可 看 出 其 節 面 所 在 ， 即 為 兩 個 互 相 垂 直 的 透 明 平 面 。 圖 二 、 五 種 3d 軌 域 的 圖示 ， 其 中 透明 的 部 分 為節 面 ， 有 平面 及 角 錐 二種 形 狀 ， 黃 色 區 域 和 藍 色 區 域 分 別 代 表 波 函 數 的 +、 -號 。 θ=54.7° θ= 125.2°
但 若 在2 度 空 間觀 察，在 xy 平 面 上 雖 可觀 察 到 軌 域 的 圖 形，但 在x 軸(y=0)及 y 軸(x=0) 上 當 然 是 找 不 到 電 子 。 此 現 象 亦 可 由 圖 二 中 的 相 對 應 圖 形 觀 察，將xy 平 面 垂 直 切過 z 軸 為 0 的 位 置， 此 平 面 和兩 個 透 明 平面 相 交 的 位 置 即 為 x 軸 及 y 軸 。 其 他 軌 域也 有 類 似 的 情 形 ， 唯 一 不 同 的 是 2 3 z d 軌 域 ， 其 極 座 標 的 波 函 數 中 ， 有 關 角 度 的 部 分 為 2 (3cos ，當其等於 0 時，即為節面產1) 生 的 位 置 ， 其角 度 分 別 為 54.7 及 125.2 度 ， 如 圖 二 最 右 側 的 圖 形 所 列 。 此 時 發 揮 一 下 想 像 力，當 r 和 z 軸 的夾 角 為 54.7 度 時 ， 繞 著 z 將角 旋 轉 360 度即 得 到 一 個 角 錐，詳 如 圖 二 2 z 3d 軌 域 的 上 半 部 的 角 錐 節 面 ， 相 同 的 若 角 為 125.2 度 時 ， 即 為 下 半 部 的 角 錐 節 面 。 另 外 ， 圖 二 中 軌 域 不 同 的 顏 色 代 表 波 函 數 的 正 負 號 ， 正 號 以 黃 色 表 示 ， 負 號 以 藍 色 表 示。從 函 數 中 也 可 以 了 解，以 x y 3d 軌 域 的 波 函 數(xyer/3)為 例 ， 指 數 部 分 恒 為 正 值 ，x 及 y 同 號 時 波 函數 為 正 值 ，異 號 時 為 負 值，因 此 在 圖 二 中 其 軌 域 在x、y 同 時 大 於 0 或 小 於 0 時 為 黃色 ， 其 餘 則為 藍 色 ， 正 負 號 和 z 軸 無 關 。至 於 不 同 類型 的 2 z 3d 軌 域 ， 則 和 z 軸 有關 ， 因為 其 波 函 數 中 的(2z2x2y2)和 z 軸 有 關，由 於 x、 y、z 均 為平 方，因 此 正 z 和-z 部 分 的 圖形 應 為 對 稱 ， 當2z 大 於2 x2y2時 為 正 值 ， 即 z 的 絶 對 值 約大 於 x 及 y 時 為 正 值 ，因 此 其 上 下 對 稱 的 球 瓣(lobe) 為 正 值 的 黃 色，而 接 近 xy 平 面 的 環 形 區域，由 於 z 值 小 於 x 及 y 值 故為 負 值 ， 以藍 色 表 示 。
參、
3 yz d
及
2 3 z d
軌域等高線圖的畫法
圖 二 的 軌 域 形 狀 雖 然 能 告 訴 我 們 很 多 訊 息 ， 但 是 其 內 部 的 電 子 分 部 情 形 ， 究 竟 是 均 勻 分 佈 ？ 還 是 遂 漸 變 大 或 變 小 ？ 卻 無 法 表 示 出 來 。 另 外 有 一 種 常 用 的 表 達 方 式 稱 為 等 高 線 圖 ， 恰 能 補 其 不 足 。 想 像 一 下 ， 如 何 在 二 度 空 間 ， 表 示 一 座 高 山 的 地 形 圖 ？ 首 先 要 標 示 出(x,y)的 座 標 位 置 ， 接 下 來 如 何 表 示 該 點 的 高 度 呢 ？ 我 們 可 以 在 平 面 座 標 上，將 高 度 相 同 為10 公 尺 的 各 座 標 點 連 接 起 來 ， 高 度 相 同 為 20、 30、 40 公 尺 的 座 標 點 也 依 次 連 接 起 ， 如 圖 三 所 示 。 由 畫 出 的 等 高 線 圖 中 ， 可 以 了 解 此 座 山 有 二 個 山 峰 ， 右 邊 的 山 峰 較 左 邊 的 高 ， 另 外，兩 等 高 線 愈 窄 的 地 方，其 地 勢 愈 陡。 回到｢軌域」等高線的主題，如何在平 面上表示波函數的分佈情形？首先 4 個類 似的軌域，僅以 yz 3d 為例，先觀察在圖二中 相 對 應 的 立 體 圖 形 ， 若 以 yz 平 面 剖 切 開 來，單看平面上波函數的分佈情形。由圖二 可預知其 yz 平面上的等高線圖在四個象限 必然相互對稱，因此只要畫出第一象限，便 能完成其他象限。接下來要如何畫等高線？ 第 一 必 須 先 求 出 yz 平 面 上 波 函 數 的 極 大 值，並以此數值當成基準(圖四中以+號標示 該點位置)，再分別找出波函數之數值為基 準0.3 倍的各點座標，將其連結在一起，以 紅色線表示詳如圖四，另外，波函數數值為 基準 0.5、0.7 倍的各點座標也分別連接起 來，分別以藍色及綠色線標示出來。圖 三 、 等 高 線 圖 畫 法 的 示 意 圖 ， 上 半 部 為 下 半 部 高 山 的 等 高 線 圖 。
圖 四、軌 域 的 等 高 線 圖，以 excel 軟 體 實 作 的 範 例，實 線 部 分 波 函 數 為 正 值 ， 虛 線 部 分 為 負 值 。
Y Z
由 上 面 的 敘 述 ， 好 像 輕 易 的 就 能 繪 製 出 圖 形 ， 事 實 上 ， 要 透 過 波 函 數 來 處 理 卻 不 是 那 麼 容 易 。 首 先 我 們 將 常 數 項 省 略 後 的 極 座 標 波 函 數 表 示 如 下 ：
2 /3
3 yz sin cos sin
r d r e 波 函 數 的 極 大 值 ， 可 由 徑 向 和 角 度 二 部 分 的 極 大 值 相 乘 得 出。角 度 部 分sin1為 極 大 值 所 以90o，即 此 點 在 yz 平 面上。θ 的 部 分 ， 因 為sin 22 sin cos ， 所 以 在
45 o時 有 極 大 值 ， 即 在 yz 平 面 上，y 軸 和 z 軸 間的 夾 角 為 45 度 時 有極 大 值。徑 向 部 分 則 對 r 求 導數 ， 其 值 為 0 時 有 極 值： 2 /3 2 /3 /3 ( ) 2 3 r r r r e r re e r 3 (2 ) 0 3 r r re 由 上 式 可 知 極 值 出 現 在 r=6 ， 並 將 45 o、90o代 入 下 式 ： 2 /3
3 yz sin cos sin
r
d r e
2 6/3
3dyz 6 e sin 45 cos 45 sin 90 2.44
接 下 來 要 在 第 一 象 限 中 尋 找 波 函 數 值 為 極 大 值0.3 倍(即 0.732)的 各 個座 標 點 ，並 將 其 連 結 在 一 起。一 般 只 要 找 出40 個 點，畫 出 的 圖 形 便 能 符 合 要 求 。 這 個 部 分 就 可 以 利 用 excel 的 軟體 來 完 成 ，其 演 算 邏 輯如 下 ： 1. 首 先將 圖 四 中 第一 象 限 紅 色線 圏 的 軌 域 波 函 數 ， 在 y 軸 的 最 大 位置 及 最 小 位 置 （ 即 ymax=12.60 和 ymin=0.68， 請 注 意 此 數 值 和 波 函 數 的 極 大 值 不 同 ） 分 別 找 出 來 ， 同 樣 的 也 找 出 z 軸 上 波 函 數 的 最 大 位 置(zmax=12.58)及 最 小 位 置(zmin=0.68)找 出 來。可 利 用 excel 的 巨 集 指 令，以內 含 的培 基 語 言 應 用 程 式(Visual Basic Application)撰 寫 一 段 小 程 式 ， 其 流 程 圖 如 圖 五 ， 便 能 求 出 其 值 。 在 此 解 說 時 雖 然 使 用 圖 四 的 圖 形 ， 實 際 求 解 時 没 有 圖 形 的 輔 助 也 可 以 得 到 相 同 的 結 果 2. 波 函 數 均 有 指 數 的 部 分 ， 2 2/3 /3 y z r e e ，其 等 高 線 的 圖 形 基 本 上 是 圓 形 ， 其 實 由 數 學 式 子 或 s 軌 域 的 圖 形 即 可 得 知，但 是 3d 軌 域 尚須 乘 上sin 、cos 的原因，呈現極化的現 象 ， 因 而 呈 現 類 似 橢 圓 的 形 狀 。 3. 有了 y 軸 的 最 大、 最 小 位 置（ 即 兩 邊 端 點 ） 後 ， 將 二 者 的 長 度 差 分 為 任 意 20 個間 隔 （ 每 一間 隔 以 一個 ystep 表 示 ），靠 近 端 點 的 部 分 間 隔 較 小，中 間 的 部 分 間 隔 較 大 ， 然 後 將 第 一 個 y 及 z 值代 入 yzer/3中，若 不 等 於 波 函 數 極 大 值 的 0.3 倍 ，則 進 行 z=z+0.01 的 迴 圏 ， 再 代 回 上 式 ， 一 直 到 相 等 為 止 ， 找 到 第 一 點 後 繼 續 找 第 二 個 等 高 點 。 當 找 到 第 二 個 等 高 點 或 z>zmax 時 ， 停 止 迴 圏 ， 進 行 下 一 個 y 值 (y=y+ystep， z=zmin)的 迴 圏 ， 重 復 上 述 步 驟 ， 再 找 下 二 個 等 高 點 ， 一 直 到 y>ymax 為 止。另外，由 於 二個 端 點 只 有 一 個 等 高 點 ， 即 在(ymin ， z) 及
(ymax，z)，其 他 19 個(y,z)座 標 各 有 2 個 等 高 點 ， 因 此 總 共 會 有 40 個 等 高 點 。
4. 將 這 40 個 等 高 點座 標(y,z)，分 別放 至 excel 的 工 作 表的 A3、B3 到 A42、 B42，如 圖六 所 示，其 中 欄 位固 定 在 A ～F， 列位 固 定在 3～42 僅為 說 明 方 便 ， 並 無 強 制 性 可 自 行 改 變 ， 接 著 利 用 excel 內 建 的繪 圖 功 能 對這 二 欄 數 據 作 散 佈 圖 處 理 。 5. 對 於會 寫 程 式 或巨 集 的 讀 者， 只 要 依 照 上 述 邏 輯 寫 一 小 段 程 式 或 巨 集 ， 便 能 快 速 的 完 成 如 圖 六 的 圖 表 ， 至 於 不 會 寫 巨 集 的 讀 者 ， 也 可 依 據 上 述 方 法 ， 在 圖 六 中 的 excel 工 作表 中 依 次 演 算 出 各 個 等 高 點 ， 首 先 由 圖 六 可 知 其 波 函 數 在 z 軸 上 的 極 小 、極 大 位 置 分 別 為 0.68 及 12.60， 將 二者 的 差 分 成 20 個 間 隔 ，填 入 A3～A23， 如 圖 六 第 A 欄 所 顯 示。 此 時 將 A3 格 中 的 y 值 固定 為 0.68，選 定 z=0 並 在 B3 儲 存 格 中 輸 入 公 式 ： yzer/3， 判 斷 其 值 是 否 等 於 該 波 函 數 極 大 值 的 0.3 倍 ， 若 不 是 則 持 續 改 變 z 值 由 小而 大 ， 直 至 其 值 等 於 波 函 數 極 大 值 的 0.3 倍 時 停 止(因 為 存 在 有效 數 字 的 關係，兩 者 的 差 值 小 於 0.1%， 即 可 視 為 相 等 )， 此 時 可 算 出 z 值 等 於 2.71，將 其 存 入 B3 儲 存 格 中 。A4～A23 依照 相 同 的 方 式 處 理，便 可 得 圖 六 左 半 部 的 圖 表。 6. 該 波函 數 因 為 除了 端 點 以 外， 每 一 個 y 值 均會 對 應 二 個 z 值 ， 因此 圖 六 右 半 部 的 表 格 ， 即 為 處 理 第 二 個 z 值 ， 其 方 式 和 上 列 方 法 相 同，例 如 A24 的 y 值為 12.41 和 A22 的相 同， 但 是 選 定 代 入 公 式 的 z 值 ， 為 了 增進 效 率 ， 便 可 從 第 一 個 等 高 點 B22 的 5.18 加 0.5 開 始 ， 逐 步 加 大 並 測 試 其 值 是 否 等 於 波 函 數 極 大 值 的 0.3 倍， 其 餘 方 式 均 與 上 述 相 同 。 7. 改 變 等 高 線 的 數 值 等 於 極 大 值 的 0.5 及 0.7 倍 ， 重 複上 述 步 驟 ，將 各 等 高 點 的 座 標，分 別 放 在 工 作 表 的 C、D、 E、 F 欄中 並 作 圖。 8. 將 第一 象 限 的 圖形 以 對 稱 的方 式 ， 將 座 標 轉 換 至 其 他 象 限 並 據 此 作 圖 ， 所 得 圖 形 即 為 圖 四 。 圖 四 中 波 函 數 極 大 值 出 現 的 位 置 以+ 號 標 示 ， 圖 中 紅 色 、 藍 色 及 綠 色 之 等 高 線 分 別 為 其 波 函 數 數 值 為 極 大 值 的 0.3、0.5 及 0.7 倍 ， 另 外實 線 部 分 波函 數 為 正 值， 虛 線 部 分 為 負 。 由 圖 中 亦 可 看 出 ， 接 近 原 點 的 區 域 ， 等 高 線 的 較 密 集 ， 代 表 電 子 的 分 佈 密 度 較 大 ， 周 邊 的 區 域 則 較 寬 鬆 ， 可 見 其 電 子 並 非 呈 均 勻 分 佈 。 2 3 z d 軌 域 等 高 線 圖 的 畫 法 和 上 述 方 法 相 同，在 yz 平面 上 先 求 波函 數 的 極 值 ， 依 據 其 簡 化 的 波 函 數 ： 2 2 /3 2 3 (3cos 1) z r d r e 角 度 部 分 cos 1時 為 極 大 等 於+2 此 時 0 ， 即 此 點 在 z 軸上 。cos 0時 為 極 小 等 於 －1，此 時θ =90°，即 此點 在 y 軸 上。
no 找 到 波 函 數 在y 及 z 軸 的 最 大 及 最 小 值 後 ， 程 式 結 束 z>25 no z= z+0.01 y=0 設 z=0、 y=0 Zmax=0、 ymax=0 Zmin=9、ymin=9 yze-r/3=極大 值*0.3 y=y+0.01 yes y>25 y>ymax z>zmax y<ymin z<zmin 若 y>ymax 則 ymax=y 若 z>zmax 則 zmax=z 若 y<ymin 則 ymin=y 若 z>zmin 則 zmin=z 圖 五 、 尋 找 軌 域 在 y 軸 及 z 軸 座 標 位 置 之 最 大、 最 小 值 的流 程 圖 圖 六 、3dyz波 函 數 在 excel 中 的 二 組 各 40 個 等 高 個點 ， 右 半 部應 接 續 在 左半 部 下 方 。 no yes no yes yes
徑 向 部 分 則 和 3 yz d 相 同 ，r=6， 故 其 出 現 極 大 值 的 座 標 位 置 為(y,z)=(0,6)，出 現 極小 值 的 座 標 位 置 為(y,z)=(6,0)，在 圖形 中 以 x 號 標 示 。 畫 等 高 線 時 ， 僅 以 極 大 值 做 基 準 即 可 ， 其 值 為 ： 2 2 6/3 2 3dz 6e (3cos 0 1) 9.74 接 下 來 則 分 別 求 波 函 數 極 大 值 乘 0.10 、 0.25、0.45 的等高線圖。其邏輯和方法與 yz 3d 相同，唯其俱有二個類似 2p 的軌域，分別 在y 軸及 z 軸上，其圖形如圖七如示。圖中 波函數極大值出現的位置以x 號標示，圖中 紅色、藍色及綠色之等高線分別為其波函數 數值為極大值的 0.10、0.25 及 0.45 倍，另 外實線部分波函數為正值，虛線部分為負。
肆、結論
本文利用常見的excel 套裝軟體繪製各 個 3d 軌 域 的 等 高 線 圖 ， 並 提 供 實 作 的 方 法 。 軌 域 的 等 高 線 圖 有 別 於 立 體 空 間 的 模 型，可以讓學習者得以探索軌域內部波函數 的分佈情形，由圖形可看出在座標軸原點附 近的等高線較密集陡峭，而外圍則較寛鬆平 緩，代表電子的分佈並非均勻，而是以特定 的函數式分佈。另外，在繪製過程中，透過 分析波函數的特性，能了解節面產生的原因 及波函數極值出現的位置及大小。 圖 七 、 2 z 3d
軌 域 的 等 高 線 圖 ， 以 excel 軟 體 實 作 的範 例 ， 實 線部 分 波 函 數為 正 值 ， 虛 線 部 分 為 負 值 。 Z Y由 於 3d 波 函 數 其 x、y、z 變 數同 時 出 現 在 指 數 上 及 指 數 前 ， 因 此 既 使 在 平 面 上 求 解 ， 要 找 出 其 等 於 某 特 定 值 的 座 標 ， 也 無 法 使 用 解 析 解(analytic solution)， 而 必 須 使 用 數 值 解(numerical solution)，因 此使 用 excel 時 必 須稍 有 撰 寫 培基 語 言 程 式的 基 礎 ， 方 能 克 盡 其 功 ， 尤 其 是 固 定 一 個 y 值，反 複 不 停 的 遞 增 z 值，以 測 試 y、z 座 標 所 代 表 的 波 函 數 值 是 否 等 於 某 特 定 值 ， 此 部 分 乃 為 程 式 的 核 心 。 在 流 程 圖 及 說 明 中 ， 均 以 波 函 數 的 數 值 是 否 等 於 極 大 值 乘 某 一 數 值 為 判 斷 標 準 ， 事 實 上 在 撰 寫 程 式 時 ， 只 要 求 二 者 的 差 小 於 某 數 值 即 可 ， 例 如 0.1%， 但 是 必 須 最 佳 化 測 試 ， 數 值 太 小 ， 恐 怕 找 不 到 座 標 點 ， 太 大 會 出 現 同 一 個 y 值 ，多 於 二個 不 同 的 z 值 合乎 條 件。 當 然 程 式 撰 寫 的 邏 輯 和 方 法 因 人 而 異 ， 有 興 趣 的 讀 者 可 以 自 行 嘗 試 。
參考文獻
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