89 年度上學期期末考

(1)

大學物理期末考

1

.

（9 分）有 10 個 gas atom，每個 mass 均為 32u，其 speed v 分佈為：

300 m/s：2 個 400 m/s： 3 個 500 m/s： 3 個 600 m/s：2 個 (1) *average speed = ？ (2) _v2_{= ？} (3) *_v2 = ？ (4) vrms = ？ (5) 每個 molecule 的 mass 為多少 kg？ (6) average kinetic energy = ？

(7) temeprature = ？ 2

. （10 分）描述空氣污染物濃度通常以 ppm 為單位，也就是每 10

6_{個 air molecules 中含有多} 少個污染物分子。某作業環境溫度為 35 C，pressure 為 1 atm。其空氣中有機溶劑二氯乙烯（1,2-dichloroethylene）的濃度為 200 ppm。1 atm，25 C 下 ideal gas mole 體積為 24.45 L/mole。二氯乙烯分子量為 97。

(1) 25 C 相當於多少 K？ (2) 35 C 相當於多少 K？

(3) 1 atm 35 C 時 ideal gas mole 體積為多少 L/mole？ (4) 1 atm 35 C 時 ideal gas mole 體積相當於多少 m3_/mole？ (5) 1 atm 35 C 時每 m3_{ideal gas 有多少 mole？}

(6) *空氣中若含有 200 ppm 二氯乙烯，相當於每 mole 空氣中含有多少 mole 的二氯乙烯？ (7) 續上題，1 atm 35 C 時每 m3_{空氣有多少 mole 的二氯乙烯？} (8) 續上題，1 atm 35 C 時每 m3_{空氣有多少 g 的二氯乙烯？} (9) 另一種表示污染物濃度的單位是 mg/m3_{，即每 m}3_{空氣中含有多少 mg 的污染物。續} 上題，二氯乙烯的濃度為多少 mg/m3_。

3 （11 分） 1 mole 的 ideal gas 歷經如右圖所示的 A、B、C 與 D 四個 state。請在答案卷上繪製以下兩個表格，並將空格的數據補齊。正負號依課本定義。其中「種類」欄由以下各項之一選擇： isothermal 、isobaric 、adiabatic 與 isochoric。（每格半分，無需寫出算式，但任一答案的正確性可能會影響到後續的答案，請小心填答） R = 8.31 J/(mole-K) Volume Pressure 400 K isotherm 800 K isotherm 1600 K isotherm A B C D 1 x 106_Pa states P (Pa) V (m3₎ _{T (K)} A 1 x 106 ₈₀₀ B 1 x 106 ₁₆₀₀ C 800 D 400 processes 種類 _{U (J)} W (J) Q (J) A -> B B -> C

(2)

C -> D D -> A 4 . （6 分）一個甜甜圈通常含有 2 g 的蛋白質，17 g 的醣與 7 g 的脂肪。蛋白質與醣可產生4.0 kcal/g的熱量，而脂肪可產生 9.0 kcal/g 的熱量。在重度運動狀態下，一般人的能量消耗率為 510 kcal/h。1 kcal = 4186 J。 (1) *吃一個甜甜圈可在體內產生多少 kcal 的熱量？ (2) 必須運動多久才能消耗掉一個甜甜圈的熱量。 (3) 吃一個甜甜圈可在體內產生多少 J 的能量？

(4) *假設人的 mass 為 60 kg。若甜甜圈的熱量可完全轉化為 kinetic energy。吃一個甜甜圈可使人的 speed 達到多少 m/s？（好像超人）

5 （11 分）空氣中的微粒（即氣膠，aerosol）落下時會因為空氣的阻力而無法行自由落體運動。在靜止空氣中，空氣對微粒的黏滯力（或阻力）為 3dv ，其中 d 為微粒的 diameter， 為空氣的 viscosity coefficient，v 為微粒 speed。令 gravitational acceleration 為 g，微粒密度為 。假設微粒為 sphere。

(1) 微粒體積為何？（以 d 表示）

(2) 微粒質量為何？（以 d 表示）

(3) 微粒所受 gravitational force 為何？

(4) **當微粒於空氣中成等速運動時，speed 與其他參數的關係為何？（此即為終端速

率，terminal speed，也就是微粒的沉降速率，settling speed）。

(5) **一 diameter 為 1 m 氣膠微粒，密度與水相同， = 1.8 x 10-5_{Pa-s，此微粒在空} 氣中的沉降速率為何？（注意：水的密度 = ？kg/m3_{，1 m = ？m）} (6) *一工廠由煙囪排放上述微粒至 1 km 的高空中，此微粒要多少天才能落至地面？ 6 . 100°C 蒸氣 0°C 水銅鐵 0.5 m 0.5 m A = 0.1 m2 100°C 蒸氣 0°C 水銅鐵 A = 0.05 m2 1 m (a) (b) （17 分）兩個大容器分別裝有 100C 的沸水與蒸氣以及 0C 的水與冰。兩容器間以上圖 (a) 所示銅鐵棒相連，銅鐵段長度均為 0.5 m，斷面積均為 0.1 m2_{。銅與鐵的 thermal}

conductivities 分別為 390 與 79 J/(s-m-C)。水的 latent heat of vaporization 為 2.26 x 106 J/kg，latent heat of fusion 則為 3.35 x 105_{J/kg。容器其他部位以及銅鐵棒周圍均與外界絕} 熱。 (1) **銅與鐵交接處的溫度為何？ (2) 每秒鐘通過銅鐵棒的能量有多少？ (3) 每秒鐘有多少蒸氣凝結成沸水？ (4) 每秒鐘有多少冰融化成水？ (5) ***若兩容器中的水與冰均為 1 kg，上述的熱傳率可維持多久？ (6) *在前述傳熱率下，entropy 每秒鐘的改變量為何？今將銅鐵棒將兩容器以上圖 (b) 方式連接，兩棒長度均為 1.00 m，斷面積均為 0.05 m2_（傳熱總面積仍與圖 (a) 相同），其他條件不變。 (7) *每秒鐘通過銅棒的能量為何？ (8) *每秒鐘通過鐵棒的能量為何？ (9) 每秒鐘兩容器間的熱傳量為何？

(3)

7

. （11 分）一溜溜球 radius為 R，mass 為 m，從點 1 （speed 為 0）落至點 2（如圖）。點 1 較點 2 高 h。在落下期間，拉線不會伸長 且與球體之間無滑動。令於點 2 時，溜溜球的 gravitational potential energy 為 0。假設溜溜球為均質圓柱。先令於點 2 時溜溜球的 speed 與 angular speed 分別為 vcm 與 ，對中 軸 moment of inertia 為 I0。

(1) 於點 1 處的 gravitationl potential energy 為何？（先以給定的參數作答） (2) 於點 2 處的 translational kinetic energy 為何？（先以給定的參數作答） (3) 於點 2 處的 rotational kinetic energy 為何？（先以給定的參數作答）

(4) *寫出溜溜球於點 1 與點 2 的 mechanical energy conservation 關係。（先以給定的參數作答） (5) 於點 2 處  對 vcm 的關係為何？（也就是  = ？答案中包括 vcm） (6) 溜溜球對中軸的 moment inertia 與 m 及 R 的關係為何？（查表） (7) *溜溜球落至點 2 的 speed 為何？（答案只能包含 g 與 h，要將前兩題代入第 (4) 題） (8) *若溜溜球以自由落體方式由點 1 落至點 2 時的 speed 為何？（主要是與上題比較） 8 . （14 分）文氏計（Venturi meter）常被用來量測導管中流量。如上圖所示，一文氏計連接於空氣導管中，一水柱管一端連接於導管（1）管壁，另一端連接於文氏計的管徑最小 處（2）。已知水柱高度差 h = 24 mm。空氣 密度 a = 1.20 kg/m3，水的密度為 w，重力 加速度為 g = 10 m/s2_{，導管在點 1 處的斷面} 積為 A1 = 0.5 m2_{，在點 2 處的斷面積為 A2 =} 0.07 m2_{。令通過導管的空氣流量為 Q，點 1} 與 2 的空氣流速分別為 u1 與 u2。假設無能量 損失。 1 2 h (1) 水柱管高度差 h 相當於多少 m？

(2) 點 2 對點 1 的 pressure difference 為多少 Pa？

(3) *寫出氣流由點 1 到點 2 的 pressure 與 flow velocity 的關係。 (4) 點 2 對點 1 的動壓差



2



1 2 2 2 1 u u a   為多少 Pa？ (5) 2 1 2 1 u u  = ？ (6) _{*將 Q、A1 與 A2 代入} 2 1 2 1 u u  ，求 Q 為多少 m3_/s？ (7) u1 = ？ (8) u2 = ？ (9) ***證明

















/



1



2

1 /

2

2 2 1 1 2 2 1 2 1 1









A

gh

A

P

A

Q

a w a



(4)

9 .  d L W (a) (b)

（18 分）如上圖 (a) 所示，一桿狀物 length 為 L，mass 為 m，以一端為樞軸以小 amplitude 擺動，其 center of mass 距樞軸 d ，相對於樞軸的 moment of inertia 為 I ，擺動角度 ，gravitational acceleration 為 g。若桿狀物為均質，其對樞軸的 moment of inertia I =

mL2_{/3。不過先假設桿狀物不為均質。問}

(1) 當擺動角度為  時，桿 gravitational force W 對樞軸的 torque = ？（假設  很小，逆時鐘為正）

(2) *桿 angular acceleration 為何？

(3) *令 angular acceleration 為  對時間 t 的兩次 derivative，寫出擺動的微分方程式。 (4) *桿狀物擺動的 angular velocity  =？（注意：在此 d / dt）（參照彈簧的振動方程式 ₂ 0 2   x m k dt x d _） (5) 桿狀物擺動的 period 為何？ (6) 桿狀物擺動的 frequency 為何？ (7) 若桿狀物為均質，d = ？ (8) 對均質桿，其擺動的 period 為何？ (9) 對均質桿，其擺動的 frequency 為何？所有步行動物均有一自然的步伐（每單位時間步數），在此步伐下行走感覺較不吃力。假設腿是以關節為樞軸懸吊在骨盆下的桿狀物，自然步伐即為腿的擺動 frequency 或 period。由於腿是上粗下細（包括臀部），不能視為均質桿，故令 d = L/4，I = mL2_/15。 (10) 根據上述假設，人腿自然步伐的 period 為何？ (11) 若人的步幅為 0.75 m，人行走的 speed 為何？以 km/hr 表示

(12) *根據化石，白堊紀的暴龍（Tyrannosaurus rex，簡稱 T. rex）（如圖 (b)）腿 length 3.1 m，步幅 4.0 m，暴龍在自然步伐下的行走 speed 為何？以 km/hr 為單位。（看過侏儸紀公園嗎？當然暴龍在追吉普車時更快）

(13) *在月球上，gravitational acceleration 為地球的 1/6。太空人在月球上行走的 speed 是地球的幾倍？假設步幅不變（難怪登月太空人走路像慢動作）。

(5)

大學物理期末考解答

1. (1)* ₄₅₀ 10 600 2 500 3 400 3 300 2       _  v m/s (2) _v2 _4502 _202500_m2_/s2 (3)* 213000 10 600 2 500 3 400 3 300 2 2 2 2 2 2 _        _ v m2_/s2 (4) vrms  213000462 m/s (5) 3 26 23 10 5.31 10 10 022 . 6 32 _  _ _   kg (6) 2 ₅_.₃₁ ₁₀ 26 ₂₁₃₀₀₀ ₅_.₆₆ ₁₀ 21 2 1 2 1 KE mv         J (7) 273 10 38 . 1 3 10 66 . 5 2 3 KE 2 KE 2 3 23 21          _ k T kT K 2. (1) 25 + 273 = 298 K (2) 35 + 273 = 308 K (3) ₂₅_.₂₇ 298 308 45 . 24   L/mole (4) 3 ₂ 10 527 . 2 L 1000 m 1 mole / L 27 . 25 _ _         _m3_/mole (5) 57 . 39 10 527 . 2 1 2    mole/m3

(6)* 200/106_{molecules/air molecules = 2 x 10}-4_{mole/mole air}

(7) 2 x 10-4_{mole/mole air x 39.57 mole air/m}3_{air= 7.91 x 10}-3_mole/m3_air (8) 7.91 x 10-3_mole/m3_{air x 97 g/mole = 0.768 x 10 g/m}3_air

(9) 0.768 g/m3_{air x 1000 mg/1 g = 768 mg/m}3 3. states P (Pa) V (m3₎ _{T (K)} A 1 x 106 _0.006648 ₈₀₀ B 1 x 106 _0.01330 ₁₆₀₀ C 5 x 105 _0.01330 ₈₀₀ D 5 x 105 _0.006648 ₄₀₀ processes 種類 _{U (J)} W (J) Q (J) A -> B isobaric 9972 6648 16620 B -> C isochoric -9972 0 -9972 C -> D isobaric -4986 -3324 -8310 D -> A isochoric 4986 0 4986 4. (1)* 2 x 4 + 17 x 4 + 7 x 9 = 139 kcal (2) 139/510 = 0.27 hr = 16.4 min (3) 139 x 4186 = 5.82 x 105_J (4)* 139 60 10 82 . 5 2 10 82 . 5 2 1 5 5 2 _ _ __v_   _ mv m/s 5. (1) 3 ₃ 3 6 1 2 3 4 3 4 d d r           

(6)

(2) 3 6d  (3) _d3_g 6  (4)**      18 3 6 2 3_g _dv _v d g d    (5)**





5 5 2 6 2 10 1 . 3 10 8 . 1 18 10 10 1 1000 18              d g v m/s (6)* ₇ 5 3.24 10 10 1 . 3 1000 _ _   s = ₂₄_hr 375 day 1 min 60 hr 1 s 60 min 1 s 10 24 . 3 7 _                     _day 6. (1)**

















iron iron copper copper iron iron copper copper 100 0 100 0 L T k L T k L t T A k L t T A k Q       





469 39000 83 C 5 . 0 79 100 5 . 0 390 _ _ _ _ _ _ _  T T T T (2) 1314 iron iron _  L AT k t Q J/s (3) mLv/t = Q/t => m/t = Q/t/Lv = 1314/2.26 x 106 = 5.81 x 10-4 kg/s (4) mLf/t = Q/t => m/t = Q/t/Lf = 1314/3.35 x 105 = 3.92 x 10-3 kg/s (5)*** 當兩容器中任一溫度改變時，即無法維持原來的溫度差，熱傳率便會逐漸減少直到兩容器溫度相等為止。溫度改變必然發生在蒸氣完全凝結為水或冰完全融化後。蒸氣完全凝結所需時間 = 1/5.81 x 10-4_{= 1.72 x 10}3_s 冰完全融化所需時間 = 1/3.92 x 10-3_{= 225 s} 取時間較短者﹔225 s (6)* 29 . 1 15 . 273 1 15 . 373 1 1314 15 . 273 0 1314 15 . 273 100 1314 _      _ _       S _J/K-s (7)*





1950 1 0 100 05 . 0 390 / copper copper copper        L T A k t Q J/s (8)





395 1 0 100 05 . 0 79 / iron iron iron        L T A k t Q J/s (9) Q/t = 1950 + 395 = 2345 J/s 7. (1) mgh (2) 2 2 1 cm mv (3) 2 0 2 1 _ I (4)* 2 0 2 2 0 2 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 mv I mgh mv I  mgh    _cm    _cm (5) vcm = R =>  = vcm/R (6) mR2_/2 (7)* 2 2 ₂ ₂ 2 2 0 2 4 3 4 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 cm cm cm cm cm mv mv R v mR mv mgh I mv mgh                            gh v_cm 3 4  

(7)

(8)* _mgh _mv _v _gh cm cm 2 2 1 2 _ _  8. (1) 024 . 0 mm 1000 m 1 mm 24 _       _m (2) P1 = P2 + wgh => P2 – P1 = -1000 x 10 x 0.024 = -240 Pa (3)*

_

_

2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 P P u u u P u P  _a   _a  _a    (4)

_

_

₂₄₀ 2 1 2 1 2 1 2 2 u  P P  u a  Pa (5) ₄₀₀ 2 . 1 240 2 240 2 2 1 2 2       a u u  Pa (6)* Q Q A A Q A Q A Q u u 200 5 . 0 1 07 . 0 1 1 1 400 ₂ ₂ ₂ 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2       _                          => Q = 2.0 m3_/s (7) u1 = Q/A1 = 2.0/0.5 = 4.0 m/s (8) u2 = Q/A2 = 2.0/0.07 = 28.6 m/s (9)***

_

_

2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 P P u u u P u P  _a   _a  _a                                                          1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 A A A Q A A Q A Q A Q P P a a a   











/

1



2

2 2 1 2 1 1







A

P

A

Q

a



P1 = P2 + wgh => P1 – P2 = wgh









1 / 2 2 2 1 1    A A gh A Q a w   9. (1) mgdsin mgd (2)* I mgd  mgd/I (3)* 0 / ₂ 2 2 2          I mgd dt d I mgd dt d (4)* I mgd   (5) mgd I T    2 2 _  (6) I mgd T f  2 1 1   (7) d = L/2 (8) g L mgL mL T 3 2 2 2 / 3 / 2 2 2     _ _  (9) L g T f 2 3 2 1 1    (10) 03 . 1 10 15 1 4 2 15 4 2 4 / 15 / 2 2          g L mgL mL T s (11) 1.03 x 0.75 x 3600/1000 = 2.63 km/hr

(8)

(12)* 81 . 1 10 15 1 . 3 4 2      T s 1.81 x 0.75 x 3600/1000 = 4.88 km/hr (13)* 令 S 為步幅。 6 1 ) 6 / 15 /( 4 2 ) 15 /( 4 2 / / moon earth earth moon earth moon     g L g L T T T S T S v v   = 0.41

(9)

2.



_x

y

一質量 m 半徑為 R 的圓球位於角度為  的斜面由靜止開始運動，圓球對球心的

moment inertia 為 I0，重力加速度為 g，作用於圓球上各力的 magnitude 計有圓球重力 mg、摩擦力 f 與接觸力 N。圓球對斜面 kinetic frictional coefficient 為 ，圓球沿斜面 的 speed 與 acceleration 的 magnitude 分別為 v 與 a，圓球 angular velocity 與 angular acceleration 的 magnitude 分別為與 。令 x 軸沿斜面方向，y 軸垂直於斜面方向 （如圖）。

(1) ***繪出 free body diagram，顯示各作用於圓球上的力。 (2) 圓球重力沿 x 方向的 scalar component 為何？ (3) 圓球重力沿 y 方向的 scalar component 為何？ (4) *寫出 x 方向 equilibrium equation。 (5) *寫出 y 方向 equilibrium equation。 (6) 各力作用於圓球球心的 torque 總和為何？（順時鐘為正） (7) *寫出旋轉 equilibrium equation。 (8) 若圓球在斜面上移動時無滑動，其 a 對  的關係為何？ (9) *利用前述的關係求 f。 (10) 利用前述的關係求 N。 (11) f 的最大值為何？ (12) 圓球  的最大值為何？ 3

. （ 6 分）礁湖星雲（Lagoon Nebula ）位於3900 光年外，diameter 約為 45 光年。受到星雲中星體照射，溫度達 7500K 而發光。星雲中每 cubic centimeter 含有 80 個 gas molecules。

(1) 星雲中每 cubic meter 含有多少個 gas molecules？ (2) 星雲中每 cubic meter 含有多少 mole 的 gas molecules？ (3) *星雲中的 gas pressure 為多少 Pa？

(10)

2. (1) x y N f mg

(11)

(2) mg sin (3) -mg cos (4) mg sin – f = ma (5) N – mg cos = 0 (6) fR (7) fR = I0 (8) a = R (9) f I mR I fR mR mR ma f mg 0 2 0 sin _             0 2_/ 1 sin I mR mg f     (10) N = mg cos (11) fmax =N = mg cos

(12) max = fmax R/I0 = Rmg cos/I0

3. (1) 3 ₇ 3 ₈ ₁₀ m 1 cm 100 cm / molecule 80 _         molecule/m3 (2) ₁₆ 23 3 7 ₁_.₃₂₈ ₁₀ molecule 10 022 . 6 mole 1 m / molecule 10 8 _ _           _mole/m3 (3)* 16 ₁₂ 10 280 . 8 1 7500 31 . 8 10 328 . 1     _ _    V nRT P Pa (4)* ₁₇ 5 12 ₈_.₁₇₃ ₁₀ Pa 10 013 . 1 atm 1 Pa 10 280 . 8  _ _           _atm