8 能量守恆

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(1)

8 能量守恆

Conservation of Energy

(2)

8-1 物理學探討什麼?

8-2 功與位能

8-3 保守力與路徑無關 8-4 測定位能值

8-5 力學能守恆 8-6 解讀位能曲線

8-7 外力對系統所作的功 8-8 能量守恆

(3)

8-1 物理學探討什麼?

„

驗證世界上不同類型的能量是物理學的重要任務。

„

位能(potential energy)U 是一種普遍型的能量;進 一步地來說,位能是關於組成系統物體之間交互作用 力的能量。

„

我們可以藉由定義重力位能(gravitational potential energy)U 來解釋彈跳者的運動以及動能的增量。

(4)

8-1 物理學探討什麼?

(續)

„

我們可以藉著定義彈性位能(elastic potential energy

)U 來解釋彈跳者動能的減少及繩索長度的增加,而 彈性位能便是與彈性物體的壓縮或伸展狀態有關的能 量。

„

物理學測定出系統位能的計算方式,以供能量被儲存 或釋放時的運用。

(5)

8-2 功與位能

„

現在向上拋一顆番茄(見圖 8-1)。當其上升時,我 們已知重力對番茄所作的功 W

g

為負值,因為重力將 番茄的動能轉移出來。總之,重力將此動能轉換成番 茄-地球系統間的重力位能。

„

在其落下的期間,能量轉移是相反的:現在重力對番 茄所作的功 W

g

是正值:重力將番茄-地球系統之重 力位能轉換成番茄的動能。

(6)

圖8-1

一顆向上拋的番茄。

當它上升時,重力對 其作負功,降低動能

;當番茄落下時,重 力對其作正功,增加 動能。

(7)

8-2 功與位能

(續)

„

無論是上升或落下,我們定義重力位能的變化量ΔU 相當於重力對番茄所作功的負值。用 W 代表功,可 寫成

這個關係式也適用於木塊-彈簧系統,如圖 8-2 所示。

„

如果突將木塊向右推,彈力則向左作用,以致其對木 塊作負功,它將木塊的動能轉換成木塊-彈簧系統中 的彈性位能。

(8)

圖8-2

一繫著彈簧的木塊靜止在 x=0 處,令其向右運動。

(a)當木塊向右運動(如箭頭所示),彈力對其作負功;

(b)然後當木塊移動返回 x=0 時,彈力對其作正功。

(9)

8-2 功與位能

(續)

保守力與非保守力

„

我們列出所要討論的這兩種情況之重要要素:

™

(1) 此系統包含兩個或更多的物體。

™

(2) 有一力作用於系統的一似粒子物體(番茄或木塊

)與系統其餘部分之間。

™

(3) 當系統的配置改變時,此力對此似粒子物體作功

(稱為 W

1

),能量轉換發生在物體的動能 K 和系統 其他形式的能量之間。

(10)

8-2 功與位能

(續)

„

若 W

1 =W 2

的情況恆成立,且此其他形式的能量為 位能,則此力稱為保守力(conservative force)。你 將察覺到重力和彈力皆為保守力(否則將無法如前述 來解釋重力位能和彈性位能)。

„

如果某一力不是保守的,則稱為非保守力(

nonconservative force)。動摩擦力和拉力就是屬於非 保守力。

(11)

8-3 保守力與路徑無關

„

在圖 8-3a 中,假設一粒子沿著路徑 1 或路徑 2 從 a 點移動至 b 點,如果只有保守力作用在粒子上,則作 用在粒子上的功沿哪一條路徑都一樣。以符號表示我 們可寫下結果為

(12)

8-3 保守力與路徑無關

(續)

„

在只有保守力的作用下此結果非常管用,因為它允許 我們將難題簡化。

證明 8-2 式

„

圖 8-3b 為一任意環繞的行程,僅有一力作用其上。

若此力為保守力,環繞一圈的期間所作淨功必為 0:

因此

(13)

圖8-3

(a)當一粒子沿著路徑 1 或路徑 2 從 a 點移動至 b 點時,有一 保守力作用在粒子上。

(14)

8-3 保守力與路徑無關

(續)

„

當粒子現在沿路徑 2 從 a 移動到 b 時,我們探究力對 其所作的功 W

ab,2

,如圖 8-3a 所示。若此力是保守的

,則功是 W

ba,2

的負值:

以 W

ab,2

替換 8-3 式的-W

ba,2

,可得

(15)

範例8-1

圖 8-4a 所示為一 2.0 kg 易滑動的乳酪塊,沿無摩擦的 軌道從 a 點滑到 b 點。其沿軌道滑過的長度為 2.0 m,

而垂直淨距離為 0.80 m。在滑動期間重力對乳酪所作的 功是多少?

解題關鍵

(1) 我們不能使用 7-12 式(W

g =mgd cosψ)來計算功,

因為重力 F

g

與位移 d 之間的夾角ψ會隨著軌道位置而 變得無法掌握(即使我們獲知軌道的形態,能依軌道算 出夾角ψ,但是演算過程亦是困難得很)。(2) 既然 F

(16)

範例8-1 (續)

解題算式

我們選取圖 8-4b 中的虛線路徑,其包含兩條直的線段

,沿水平的線段移動時,ψ恆為 90°,雖然我們不知道 沿水平線段的位移為多少,但從 7-12 式可知力在此段 所作的功 W

h

沿垂直線段的位移 d 為 0.80 m,F

g

和 d 方向皆向下,

且ψ恆為 0°,故由 7-12 式可求出力沿虛線路徑之垂直 部分所作的功 W

v

(17)

圖8-4

(a) 一乳酪塊沿無摩擦的軌道從 a 點滑到 b 點。

(18)

範例8-1 (續)

當乳酪沿虛線從 a 點移至 b 點時,重力 F

g

對其所作的 總功為

這也是乳酪沿軌道從 a 滑到 b 所受的功。

(19)

8-4 測定位能值

„

對一般的情況而言,作用力大部分是隨位置而變,依 7-32 式可將功寫成:

上式提供了當物體由移動而改變了系統組成時,作用力 所作的功。

„

將 8-5 式代入 8-1 式中,我們知道改變了系統的組成

,就會造成位能的改變,其一般式為

(20)

8-4 測定位能值

(續)

重力位能

„

我們首先考慮一質量為 m 的粒子沿 y 軸垂直運動(

正方向朝上),當此粒子從 y

i

運動到 y

f

時,重力 F

g

對其作功。

上式求得

只有重力位能(或其他形式的位能)的改變量ΔU 才深 具物理意義。

(21)

8-4 測定位能值

(續)

„

當系統在某一參考組態(reference configuration),

且其粒子在參考點(reference point)y

i

時,則設 U

i

為系統的重力位能。我們常取 U

i =0,而 y i = 0,經此

改變,8-8 式寫成

(22)

8-4 測定位能值

(續)

彈性位能

„

木塊繫於彈簧末端運動,彈簧常數為 k,當木塊從 x

i

移至 x

f

,彈力 F

x =kx 對木塊作功,木塊

彈簧系統 之彈性位能的相對應改變為

或者

(23)

8-4 測定位能值

(續)

„

為了使木塊在位置 x 時,能和其位能值 U 相關聯,

我們選擇當彈簧處於其自然長度且木塊位置為 x

i =0

時作為參考組態,則系統的彈性位能為 U

i =0,而

8-10 式變成

(24)

範例8-2

有一 2.0 kg 的樹懶攀附在離地 5.0 m 的樹枝上(圖 8-5

)。如果我們分別取參考點 y = 0 是位於 (1) 地面;(2) 離地 3.0 m 處的陽台地板;(3) 樹枝處;(4) 高於樹枝 1.0 m 處。

(a) 樹懶-地球系統的重力位能 U 應為多少?在 y=0 處

,取重力位能為 0。

解題關鍵

既然我們已將 y = 0 選為參考點,我們便可利用 8-9 式 算出系統相對於參考點的重力位能 U。

(25)

圖8-5

參考點 y=0 的四種選擇。

每一個 y 軸皆以公尺為單 位,此選擇會影響樹懶-

地球系統位能 U 的值;然 而,它並不會影響在樹懶 摔落時,系統位能的改變 ΔU。

(26)

範例8-2 (續)

解題算式

對選項(1)而言,樹懶位於 y = 5.0 m 處,於是

對其他的選項,其 U 值分別為

(27)

範例8-2 (續)

(b) 選擇不同參考點,討論樹懶落至地面的情況。由於 樹懶的落下以致樹懶-地球系統的位能變化ΔU 為何?

解題關鍵

位能的改變和參考點 y = 0 的選擇無關而和高度Δy 的 改變有關。

解題算式

對所有的四種狀況而言,我們得到同樣的高度差Δy

=

0.5 m 。因此,由 8-7 式算出從 (1) 到 (2) 的位能 變化ΔU 為:

(28)

8-5 力學能守恆

„

一系統的力學能(mechanical energy)E

mec

是物體之 位能 U 和動能 K 的總和:

„

當一保守力對系統中的物體作用了功 W 時,此力在 物體動能 K 和系統位能 U 之間轉換能量。

將 8-15 式改寫為

(29)

8-5 力學能守恆

(續)

„

此處的下標涉及兩種不同時刻,亦即牽涉系統中物體 兩種不同的結構。重新整理 8-16 式變成

„

當系統是孤立的,且只有保守力作用在物體上,則上 式可說成

(30)

8-5 力學能守恆

(續)

„

換言之:

此結果為力學能守恆原理(principle of conservation of mechanical energy)。

„

力學能守恆原理提供我們解開難以用牛頓定律求解的 問題:

(31)

圖8-6

(32)

圖8-6

有一單擺其質量集中在末端的擺錘上,而此擺錘正來回地擺 動,圖中顯示來回一週期的運動過程。單擺—地球系統位能 與動能的值隨著擺錘的上升與下降而變化,然而系統的力學 能 Emec 卻不變。能量 Emec 持續以動能與位能的形態互轉,各 有消長。在階段(a)與(e)時,所有的能量為動能,此時擺錘具 有它最大的速率且位在最低點。在階段(c)與(g)時,所有的能 量為位能,擺錘的速率為 0 且位在最高點。在階段(b)、(d)、

(f)與(h)時,一半的能量為動能而另一半為位能。如果繫於天 花板的擺線端受到摩擦力,或者擺錘受到空氣阻力,則 Emec 將無法守恆,而單擺終將靜止。

(33)

範例8-3

在圖 8-7 中,有一質量為 m 的小孩,從高 h=8.5 m 的滑 水道滑梯頂端,由靜止滑下,因有水的關係,可假設滑 梯沒有摩擦力,試求小孩滑至底部的速率。

解題關鍵

(1) 因為不知道滑梯的斜角,當我們打算用前述章節的 加速度方式,求出至底部的速率時,是辦不到的事。然 而速率與小孩的動能有關,或許能用力學能守恆原理來 求得速率,於是我們不必知道斜率。(2) 如果系統是孤 立的,且只有保守力引起系統的能量轉換,則一系統的

(34)

圖8-7

小孩自滑水道滑下的狀況,就如同她降落了 h 的高度一樣。

(35)

範例8-3 (續)

力:有兩力作用於小孩。重力(gravitational force)是 一保守力,對她作功;來自滑梯的正向力(normal

force)不會對她作功,因為正向力的方向總是與小孩滑 動的方向垂直。

系統:因為重力是唯一對小孩作功的力,我們就選小孩

-地球系統當成考慮的系統,如此才能讓系統孤立。

因此,我們只有一保守力在一孤立的系統中作功,當然

(36)

範例8-3 (續)

解題算式

當小孩在滑梯頂端時,力學能標為 E

mec,t

,而她在底部 時,標為 E

mec,b

。則守恆原理告訴我們

將力學能中的兩種能量類型展出,我們得

或者

(37)

範例8-3 (續)

除以 m 且重新整理得

將 v

t

=0 和 y

t

-y

b

=h 放入上式,導出

若她從 8.5 m 垂直落下,也會達到相同的速率,不過對 真實的滑梯而言,都有一些摩擦力。對小孩作功,使她

(38)

8-6 解讀位能曲線

„

我們再次考慮系統中的一粒子,它正受保守力的作用

。假設粒子被限制在軸上運動,則在系統位能函數

U(x) 的圖形上,可以學到許多與粒子運動有關的事。

由解析方式來求力

„

對一維運動而言,當粒子移動一段距離Δx 時,力作 用在粒子上所作的功 W 為 F(x)Δx。我們可將 8-1 式 寫為

(39)

8-6 解讀位能曲線

(續)

„

解出 F(x)並將其微分可得

位能曲線

„

圖 8-8a 為某系統位能函數 U(x) 的圖形,系統中粒子 受一保守力 F(x) 作功,在一維空間中運動。我們可 對圖中位能 U(x) 曲線上的各點取其斜率,而很容易 地求出力 F(x)﹝8-22 式告訴我們 F(x) 是U(x) 曲線斜

(40)

8-6 解讀位能曲線

(續)

轉向點

„

當系統中之非保守力不存在時,其力學能 E 為固定 值,即

此處 K(x) 為系統中粒子的動能函數[kinetic energy

function ;動能 K(x) 是粒子在位置 x 的函數],我們可 以重寫 8-23 式為

(41)

8-6 解讀位能曲線

(續)

„

8-24 式告訴我們如何決定粒子在任何位置 x 的動能 K 是在 U(x) 曲線上求出位置 x 時的 U,然後再由 E

mec

減去 U。

„

由於 K 不可能為負值(因為 v

2

總是正的),因此粒 子不可能移動到 x

1

的左邊,此處 E

mec

U 是負的。

„

粒子不會停留在 x

1

,而是開始向右運動,它與原先的 運動方向相反。因此,x

1

是一個轉向點(turning

point),為 K=0(因為 U=E)且粒子改變方向的地

(42)

圖8-8

(43)

圖8-8

(a) U(x)的函數圖形,系統中的粒子被限制在 x 軸 上運動的系統位能函數,沒有摩擦力,因此力學 能是守恆的。

(b) 作用於粒子上的力 F(x) 之函數圖形,取位能函 數上各點的斜率而得。

(c) 在圖(a)的 U(x) 圖形中,標示三個可能的 Emec 值。

(44)

8-6 解讀位能曲線

(續)

平衡點

„

假設 E=4.0 J(紫線),轉向點從 x

1

移至 x

1

與 x

2

間的某一點,而在 x

5

的右邊任一點,其系統的力學 能也等於它的位能,因此,粒子沒有動能也(根據 8- 22 式)沒有任何力作用於其上,所以它必將停留不 動。放在此位置的粒子稱為在無擾動之中性平衡態(

neutral equilibrium)。

(45)

8-6 解讀位能曲線

(續)

„

假設 E

mec

=3.0 J(粉紅線),則有兩個轉向點:一個 介於 x

1

與 x

2

之間,而另一個介於 x

4

與 x

5

之間。另 外,x

3

為 K=0 的點,如果粒子正巧就在那個位置,

作用其上的力亦為 0,而粒子將保持靜止。

„

然而,若粒子朝某一方向稍微偏離其位置時,則有一 不為 0 的力沿此方向將粒子推離更遠,粒子也將持續 遠離。一粒子處於類似

x 3

的位置時,稱為在不穩定 平衡態(unstable equilibrium)。

(46)

8-6 解讀位能曲線

(續)

„

接著當 E

mec

=1.0 J(綠線)時,我們探討粒子的行為

。如果將它放在 x

4

的位置,它將固定在某處。粒子 不能任意地向左右移動,因為動能不可能產生負值。

若將粒子稍向左邊或右邊推動時,將出現一恢復力迫 使其回到該處。粒子處於此位置時,稱為在穩定平衡 態(stable equilibrium)。

(47)

範例8-4

有一 2.00 kg 的粒子沿著 x 軸受一保守力作用,在一維 空間中運動。有關此保守力的位能 U(x) 繪於圖 8-9a;

亦即如果粒子在 x=0 和 x=7.00 m 之間的任一位置,皆 有其對應的 U 值。在 x=6.5 m 處,粒子的速度為 v

0 =

(a) 從圖 8-9a 測定粒子在 x

1

=4.5 m 的速率。

解題關鍵

(1)粒子的動能形式是 K=½mv

2

。(2)因僅有一保守力作 用於粒子上,當其移動時的力學能 E (=K+U) 是守恆

(48)

範例8-4 (續)

解題算式

在 x=6.5 m 處,粒子的動能為

因此處位能是 U = 0,力學能為

在圖 8-9a 中,E

mec

值被畫成一條水平線。我們從圖中 發現在 x=4.5 m 處,位能是 U

1

=7.0 J ,而動能 K

1

E mec

與 U

1

間的差:

(49)

範例8-4 (續)

又因 K

1 = ½ mv 1 2

,我們求得

(b) 粒子的轉向點位於何處?

解題關鍵

轉向點就是位於系統作用力瞬間停止,而粒子正要轉向 移動的地方;也就是說,此處的粒子將瞬間有 v=0 的 情況,以致 K=0。

(50)

範例8-4 (續)

解題算式

因為 K 是 E

mec

與 U 值的差,圖 8-9a 中,U 值的圖線揚 升與 E

mec

水平線相交,此交點即為轉向點,如圖 8-9b 所示。因U 值的圖線在圖 8-9b 中呈一直線,我們描繪 出兩相似直角三角形,然後寫出相似三角形的邊長比

上式求得 d=2.08 m 。因此,轉向點是位在

(51)

圖8-9

(52)

範例8-4 (續)

(c) 當粒子在 1.9 m<x<4.0 m 的區域時,試算出其所受 的力。

解題關鍵

此力可根據 F(x)=

dU(x)/dx 算出,本式陳述作用力等

於 U(x) 圖線之斜率的負值。

解題算式

我們由圖 8-9b 得知,在 1.0 m<x<4.0 m 的區域之作用 力為

(53)

範例8-4 (續)

因此,力的大小是 4.3 N,而方向朝 x 軸正向。這個結 果正吻合了以下的事實,即起初一向左運動的粒子,因 受此力作用而停止,然後此力將它導向右方運動。

(54)

8-7 外力對系統所作的功

„

圖 8-10a 表示作正功(能量轉移至系統),而圖 8- 10b 表示作負功(能量從系統轉出來)。當不只一力 作用於系統時,它們的淨功(net work)就是系統能 量的轉入或轉出。

(55)

圖8-10

(56)

8-7 外力對系統所作的功

(續)

不包含摩擦力

„

在拋擲保齡球的比賽過程中,首先你要彎腰並用手托 住地板上的球,然後迅速地站直身體並同時舉起手,

在接近臉部高度時,將球向上拋出。在你向上拋球期 間,很明顯地你已對球施力而作功。這正是一外力作 功且轉移了能量的例子,但移到什麼系統去了?

(57)

8-7 外力對系統所作的功

(續)

„

必須考慮球-地球系統才能包含這兩種能量變化。你 施的力是一個外力,對此系統作了功,此功為

此處的ΔE

mec

是系統力學能的變化。

(58)

圖8-11

正功 W 作用在保齡球和地球所組成的系統上,造成此系統 的力學能改變為ΔEmec,其中ΔK 是球的動能改變,ΔU 是 系統重力位能的改變。

(59)

8-7 外力對系統所作的功

(續)

包含摩擦力

„

我們接下來考慮圖 8-12a 的例子。有一水平恆力 F 沿 著 x 軸拉動一木塊且經過大小為 d 的位移,使木塊的 速率從 v

0

增加到 v 。

„

我們可以寫出沿 x 軸分量的定律(F

net,x =ma x

)為

因為是固定的力,所以加速度 a 也是不變的。因此,我

(60)

8-7 外力對系統所作的功

(續)

„

將此式的 a 解出,結果代入 8-27 式,並重新整理得

或者對木塊而言,因為 ½mv

2

½mv

0 2 =ΔK,則

將 8-29 式寫成一般式,即

由實驗得知,木塊滑過地板的區域會變成溫熱的。

(61)

圖8-12

(a)作用力 F 推動木塊通過地板,同時有一動摩擦力 fk 反抗木塊的移動。當開始移動時,木塊有初速 v0,在 位移 d 時,木塊速度為 v。

(62)

8-7 外力對系統所作的功

(續)

„

木塊和地板熱能增加的原因是:(1)它們之間有摩擦 力;(2)有滑動。所謂摩擦力是導因於兩者表面間的 冷接點。當木塊滑過地板,此滑動造成木塊和地板間 重複地撕扯並重組其表面接點,以致木塊和地板溫度 增加,因此,滑動會增加它們的熱能 E

th

„

熱能ΔE

th

等於 f

k

和 d 乘積的大小:

可重寫 8-30 式為

(63)

8-7 外力對系統所作的功

(續)

„ Fd 是外力 F 所作的功 W(藉作用力完成能量轉移)

,但對哪一個系統作功呢(能量轉移何處)?我們由 檢視各能量的改變來回答。

„

木塊的力學能改變,木塊和地板的熱能也改變了,因 此,作用力 F 是對木塊—地板的系統作功。此功為

(64)

範例8-6

某裝貨員以 40 N 的水平恆力 F 推動一內含包心菜頭的 木箱(總質量 m=14 kg),直線經過一混凝土的地板,

在位移為 d=0.50 m 的途中,箱子速率由 v

0

=0.60 m/s 減 為 v=0.20 m/s。

(a)力 F 所作的功為何,它對何種系統作功?

解題關鍵

因為施力 F 為固定值,我們可用 7-7 式(W=Fd cosψ

)求所作的功。

(65)

範例8-6 (續)

解題算式

將已知數據代入,包括 F 和 d 的方向相同,我們求得

(b)箱子和地板間的熱能增量ΔE

th

為多少?

解題關鍵

在含摩擦力的系統中,我們可由 8-33 式的能量陳述,

得知ΔE

th

和 F 所作功 W 的關聯性:

(66)

範例8-6 (續)

解題算式

由(a)小題得知 W 的值,因為沒有位能的改變發生,故 箱子力學能的改變量ΔE

mec

恰是其動能的改變量,所以

將此代入 8-34 式並解出ΔE

th

(67)

8-8 能量守恆

„

我們認為能量應遵從能量守恆定律(law of

conservation of energy),此涉及系統的總能(total energy)E。所謂總能是系統力學能、熱能以及除熱 能外的其他形式之內能(internal energy)的總和。

„

此處ΔE

mec

是系統力學能的任何改變,ΔE

th

是系統

(68)

8-8 能量守恆

(續)

孤立系統

„

在孤立系統內部可能有許多能量轉移。然而,在系統 內所有各類能量的總值是不變的。

„

因為孤立系統是設定 8-35 式的 W=0,而能量守恆定 律可寫成下列兩種方式,我們首先得到

(69)

8-8 能量守恆

(續)

„

我們也可令ΔE

mec =E mec,2E mec,1

,這裡的下標 1 和 2 涉及兩個不同的瞬時—所謂某一過程發生的前和後,

則 8-36 式變成

(70)

8-8 能量守恆

(續)

外力和內能的轉換

„

有一個例子如圖 8-14 所示。起初靜止的溜冰者自己 推離欄杆,然後在冰上滑動(見圖 8-14a 和 b)。她 的動能增加是因為從欄杆來的外力 F 作用在她身上

,不過來自欄杆的力沒有轉移能量給她,因此,這個 力量沒有對她作功。換言之,她動能增加的原因是由 肌肉中生物化學的內能轉換而來。

(71)

圖8-14

(a)當溜冰者靠自己推離欄 杆時,來自欄杆作用於她 的力是 F。(b)在溜冰者離 開欄杆時,她的速度是 v

。(c)作用於溜冰者的外力 與水平 x 軸夾ψ角,當溜

(72)

8-8 能量守恆

(續)

„

當她推離欄杆後,我們可將溜冰者簡化成粒子,並且 忽略肌肉運作所增加的肌肉熱能和其他生理特徵改變 的事實。然後可用 7-5 式(½mv

2

½mv

0 2 =F x d)寫

„

如果此情況也涉及物體高度改變的話,則我們將重力 位能的改變ΔU 也含括進來,改寫成

(73)

8-8 能量守恆

(續)

功率

„

我們可擴大 7-7 節中有關功率的定義。當時功率被定 義為力作功的速率。就更一般性的意義來說,功率 P 為力將能量從一種形態轉換為另一種時的速率。若 ΔE 之能量值在Δt 的時間內被轉換,則此力所產生 的平均功率(average power)為

„

同樣地,由此力所生的瞬時功率(instantaneous

(74)

範例8-7

在圖 8-16 中,有一 2.0 kg 墨西哥粽子的包裹以 v

1

=4.0 m/s 的速度沿著地板滑動,然後滑進並壓縮彈簧,直到 包裹暫時停下來。當其通過最初彈簧是鬆弛的這段路徑 時,地板是無摩擦力的,但當包裹壓縮彈簧時,地板產 生大小為 15 N 的動摩擦力作用在包裹上。彈力常數 k 是 10000 N/m 。當包裹停下來時,彈簧被壓縮的距離 d 為何?

解題關鍵

我們需要檢視全部作用在包裹上的力,然後測定這是否 為孤立系統或者有外力作功的系統。

(75)

範例8-7 (續)

有關力:地板作用在包裹上的正向力不會對包裹作功,

因為它的方向永遠和包裹的位移垂直。同理,重力在包 裹上也不會作功。而當彈簧被壓縮時,彈力會作功在包 裹上,將能量轉換為彈簧上的彈力位能,彈力也會推擠 堅硬的牆。由於包裹和地板之間有摩擦力,所以包裹滑 過地板時會增加熱能。

有關系統:包裹-彈簧-地板-牆系統將所有的力及能 量轉移包含在一孤立系統中。因為此系統是孤立的,因 此總能量不會改變。則可對此系統採用能量守恆定律,

(76)

範例8-7 (續)

解題算式

在 8-42 式中,下標 1 對應滑動包裹的初始狀態,下標 2 對應包裹暫時停止且彈簧壓縮了距離 d 的狀態,這兩 種狀態裡,系統的力學能是包裹的動能(K=

½ mv 2

)和 彈簧的位能(U=

½ kx 2

)之總和。就狀態 1 而言,U=0

(因為彈簧沒被壓縮),包裹的速率是 v

1

,則我們得

就狀態 2 而言,K=0(因為包裹停止),而彈簧壓縮的 距離是 d,因此我們得

(77)

圖8-16

一包裹滑過無摩擦力的地板,用速度 v1 朝向一 彈力常數為 k 的彈簧移動。當包裹碰觸彈簧時,

(78)

範例8-7 (續)

最後,根據 8-31 式,將 f

k d 代替包裹和地板熱能的改

變ΔE

th

,重寫 8-42 式為

重新整理並將已知數據代入,可得

解出此二次方程式得到

Figure

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