8 能量守恆
Conservation of Energy
8-1 物理學探討什麼？
8-2 功與位能
8-3 保守力與路徑無關 8-4 測定位能值
8-5 力學能守恆 8-6 解讀位能曲線
8-7 外力對系統所作的功 8-8 能量守恆
8-1 物理學探討什麼？
驗證世界上不同類型的能量是物理學的重要任務。
位能（potential energy）U 是一種普遍型的能量；進 一步地來說，位能是關於組成系統物體之間交互作用 力的能量。
我們可以藉由定義重力位能（gravitational potential energy）U 來解釋彈跳者的運動以及動能的增量。8-1 物理學探討什麼？
(續)
我們可以藉著定義彈性位能（elastic potential energy）U 來解釋彈跳者動能的減少及繩索長度的增加，而 彈性位能便是與彈性物體的壓縮或伸展狀態有關的能 量。
物理學測定出系統位能的計算方式，以供能量被儲存 或釋放時的運用。8-2 功與位能
現在向上拋一顆番茄（見圖 8-1）。當其上升時，我 們已知重力對番茄所作的功 Wg
為負值，因為重力將 番茄的動能轉移出來。總之，重力將此動能轉換成番 茄－地球系統間的重力位能。
在其落下的期間，能量轉移是相反的：現在重力對番 茄所作的功 Wg
是正值：重力將番茄－地球系統之重 力位能轉換成番茄的動能。圖8-1
一顆向上拋的番茄。
當它上升時，重力對 其作負功，降低動能
；當番茄落下時，重 力對其作正功，增加 動能。
8-2 功與位能
(續)
無論是上升或落下，我們定義重力位能的變化量ΔU 相當於重力對番茄所作功的負值。用 W 代表功，可 寫成這個關係式也適用於木塊－彈簧系統，如圖 8-2 所示。
如果突將木塊向右推，彈力則向左作用，以致其對木 塊作負功，它將木塊的動能轉換成木塊－彈簧系統中 的彈性位能。圖8-2
一繫著彈簧的木塊靜止在 x＝0 處，令其向右運動。
(a)當木塊向右運動（如箭頭所示），彈力對其作負功；
(b)然後當木塊移動返回 x＝0 時，彈力對其作正功。
8-2 功與位能
(續)保守力與非保守力
我們列出所要討論的這兩種情況之重要要素：
(1) 此系統包含兩個或更多的物體。
(2) 有一力作用於系統的一似粒子物體（番茄或木塊）與系統其餘部分之間。
(3) 當系統的配置改變時，此力對此似粒子物體作功（稱為 W
1
），能量轉換發生在物體的動能 K 和系統 其他形式的能量之間。8-2 功與位能
(續)
若 W1 = － W 2
的情況恆成立，且此其他形式的能量為 位能，則此力稱為保守力（conservative force）。你 將察覺到重力和彈力皆為保守力（否則將無法如前述 來解釋重力位能和彈性位能）。
如果某一力不是保守的，則稱為非保守力（nonconservative force）。動摩擦力和拉力就是屬於非 保守力。
8-3 保守力與路徑無關
在圖 8-3a 中，假設一粒子沿著路徑 1 或路徑 2 從 a 點移動至 b 點，如果只有保守力作用在粒子上，則作 用在粒子上的功沿哪一條路徑都一樣。以符號表示我 們可寫下結果為8-3 保守力與路徑無關
(續)
在只有保守力的作用下此結果非常管用，因為它允許 我們將難題簡化。證明 8-2 式
圖 8-3b 為一任意環繞的行程，僅有一力作用其上。若此力為保守力，環繞一圈的期間所作淨功必為 0：
因此
圖8-3
(a)當一粒子沿著路徑 1 或路徑 2 從 a 點移動至 b 點時，有一 保守力作用在粒子上。
8-3 保守力與路徑無關
(續)
當粒子現在沿路徑 2 從 a 移動到 b 時，我們探究力對 其所作的功 Wab,2
，如圖 8-3a 所示。若此力是保守的，則功是 W
ba,2
的負值：以 W
ab,2
替換 8-3 式的－Wba,2
，可得範例8-1
圖 8-4a 所示為一 2.0 kg 易滑動的乳酪塊，沿無摩擦的 軌道從 a 點滑到 b 點。其沿軌道滑過的長度為 2.0 m，
而垂直淨距離為 0.80 m。在滑動期間重力對乳酪所作的 功是多少？
解題關鍵
(1) 我們不能使用 7-12 式（W
g =mgd cosψ）來計算功，
因為重力 F
g
與位移 d 之間的夾角ψ會隨著軌道位置而 變得無法掌握（即使我們獲知軌道的形態，能依軌道算 出夾角ψ，但是演算過程亦是困難得很）。(2) 既然 F範例8-1 (續)
解題算式
我們選取圖 8-4b 中的虛線路徑，其包含兩條直的線段
，沿水平的線段移動時，ψ恆為 90°，雖然我們不知道 沿水平線段的位移為多少，但從 7-12 式可知力在此段 所作的功 W
h
為沿垂直線段的位移 d 為 0.80 m，F
g
和 d 方向皆向下，且ψ恆為 0°，故由 7-12 式可求出力沿虛線路徑之垂直 部分所作的功 W
v
為圖8-4
(a) 一乳酪塊沿無摩擦的軌道從 a 點滑到 b 點。
範例8-1 (續)
當乳酪沿虛線從 a 點移至 b 點時，重力 F
g
對其所作的 總功為這也是乳酪沿軌道從 a 滑到 b 所受的功。
8-4 測定位能值
對一般的情況而言，作用力大部分是隨位置而變，依 7-32 式可將功寫成：上式提供了當物體由移動而改變了系統組成時，作用力 所作的功。
將 8-5 式代入 8-1 式中，我們知道改變了系統的組成，就會造成位能的改變，其一般式為
8-4 測定位能值
(續)重力位能
我們首先考慮一質量為 m 的粒子沿 y 軸垂直運動（正方向朝上），當此粒子從 y
i
運動到 yf
時，重力 Fg
對其作功。上式求得
只有重力位能（或其他形式的位能）的改變量ΔU 才深 具物理意義。
8-4 測定位能值
(續)
當系統在某一參考組態（reference configuration），且其粒子在參考點（reference point）y
i
時，則設 Ui
為系統的重力位能。我們常取 Ui =0，而 y i = 0，經此
改變，8-8 式寫成8-4 測定位能值
(續)彈性位能
木塊繫於彈簧末端運動，彈簧常數為 k，當木塊從 xi
移至 xf
，彈力 Fx = － kx 對木塊作功，木塊 －
彈簧系統 之彈性位能的相對應改變為或者
8-4 測定位能值
(續)
為了使木塊在位置 x 時，能和其位能值 U 相關聯，我們選擇當彈簧處於其自然長度且木塊位置為 x
i =0
時作為參考組態，則系統的彈性位能為 Ui =0，而
8-10 式變成範例8-2
有一 2.0 kg 的樹懶攀附在離地 5.0 m 的樹枝上（圖 8-5
）。如果我們分別取參考點 y = 0 是位於 (1) 地面；(2) 離地 3.0 m 處的陽台地板；(3) 樹枝處；(4) 高於樹枝 1.0 m 處。
(a) 樹懶－地球系統的重力位能 U 應為多少？在 y=0 處
，取重力位能為 0。
解題關鍵
既然我們已將 y = 0 選為參考點，我們便可利用 8-9 式 算出系統相對於參考點的重力位能 U。
圖8-5
參考點 y＝0 的四種選擇。
每一個 y 軸皆以公尺為單 位，此選擇會影響樹懶－
地球系統位能 U 的值；然 而，它並不會影響在樹懶 摔落時，系統位能的改變 ΔU。
範例8-2 (續)
解題算式
對選項(1)而言，樹懶位於 y = 5.0 m 處，於是
對其他的選項，其 U 值分別為
範例8-2 (續)
(b) 選擇不同參考點，討論樹懶落至地面的情況。由於 樹懶的落下以致樹懶－地球系統的位能變化ΔU 為何？
解題關鍵
位能的改變和參考點 y = 0 的選擇無關而和高度Δy 的 改變有關。
解題算式
對所有的四種狀況而言，我們得到同樣的高度差Δy
= －
0.5 m 。因此，由 8-7 式算出從 (1) 到 (2) 的位能 變化ΔU 為：8-5 力學能守恆
一系統的力學能（mechanical energy）Emec
是物體之 位能 U 和動能 K 的總和：
當一保守力對系統中的物體作用了功 W 時，此力在 物體動能 K 和系統位能 U 之間轉換能量。將 8-15 式改寫為
8-5 力學能守恆
(續)
此處的下標涉及兩種不同時刻，亦即牽涉系統中物體 兩種不同的結構。重新整理 8-16 式變成
當系統是孤立的，且只有保守力作用在物體上，則上 式可說成8-5 力學能守恆
(續)
換言之：此結果為力學能守恆原理（principle of conservation of mechanical energy）。
力學能守恆原理提供我們解開難以用牛頓定律求解的 問題：圖8-6
圖8-6
有一單擺其質量集中在末端的擺錘上，而此擺錘正來回地擺 動，圖中顯示來回一週期的運動過程。單擺—地球系統位能 與動能的值隨著擺錘的上升與下降而變化，然而系統的力學 能 Emec 卻不變。能量 Emec 持續以動能與位能的形態互轉，各 有消長。在階段(a)與(e)時，所有的能量為動能，此時擺錘具 有它最大的速率且位在最低點。在階段(c)與(g)時，所有的能 量為位能，擺錘的速率為 0 且位在最高點。在階段(b)、(d)、
(f)與(h)時，一半的能量為動能而另一半為位能。如果繫於天 花板的擺線端受到摩擦力，或者擺錘受到空氣阻力，則 Emec 將無法守恆，而單擺終將靜止。
範例8-3
在圖 8-7 中，有一質量為 m 的小孩，從高 h=8.5 m 的滑 水道滑梯頂端，由靜止滑下，因有水的關係，可假設滑 梯沒有摩擦力，試求小孩滑至底部的速率。
解題關鍵
(1) 因為不知道滑梯的斜角，當我們打算用前述章節的 加速度方式，求出至底部的速率時，是辦不到的事。然 而速率與小孩的動能有關，或許能用力學能守恆原理來 求得速率，於是我們不必知道斜率。(2) 如果系統是孤 立的，且只有保守力引起系統的能量轉換，則一系統的
圖8-7
小孩自滑水道滑下的狀況，就如同她降落了 h 的高度一樣。
範例8-3 (續)
力：有兩力作用於小孩。重力（gravitational force）是 一保守力，對她作功；來自滑梯的正向力（normal
force）不會對她作功，因為正向力的方向總是與小孩滑 動的方向垂直。
系統：因為重力是唯一對小孩作功的力，我們就選小孩
－地球系統當成考慮的系統，如此才能讓系統孤立。
因此，我們只有一保守力在一孤立的系統中作功，當然
範例8-3 (續)
解題算式
當小孩在滑梯頂端時，力學能標為 E
mec,t
，而她在底部 時，標為 Emec,b
。則守恆原理告訴我們將力學能中的兩種能量類型展出，我們得
或者
範例8-3 (續)
除以 m 且重新整理得
將 v
t
=0 和 yt
－yb
=h 放入上式，導出若她從 8.5 m 垂直落下，也會達到相同的速率，不過對 真實的滑梯而言，都有一些摩擦力。對小孩作功，使她
8-6 解讀位能曲線
我們再次考慮系統中的一粒子，它正受保守力的作用。假設粒子被限制在軸上運動，則在系統位能函數
U(x) 的圖形上，可以學到許多與粒子運動有關的事。
由解析方式來求力
對一維運動而言，當粒子移動一段距離Δx 時，力作 用在粒子上所作的功 W 為 F(x)Δx。我們可將 8-1 式 寫為8-6 解讀位能曲線
(續)
解出 F(x)並將其微分可得位能曲線
圖 8-8a 為某系統位能函數 U(x) 的圖形，系統中粒子 受一保守力 F(x) 作功，在一維空間中運動。我們可 對圖中位能 U(x) 曲線上的各點取其斜率，而很容易 地求出力 F(x)﹝8-22 式告訴我們 F(x) 是U(x) 曲線斜8-6 解讀位能曲線
(續)轉向點
當系統中之非保守力不存在時，其力學能 E 為固定 值，即此處 K(x) 為系統中粒子的動能函數［kinetic energy
function ；動能 K(x) 是粒子在位置 x 的函數］，我們可 以重寫 8-23 式為
8-6 解讀位能曲線
(續)
8-24 式告訴我們如何決定粒子在任何位置 x 的動能 K 是在 U(x) 曲線上求出位置 x 時的 U，然後再由 Emec
減去 U。
由於 K 不可能為負值（因為 v2
總是正的），因此粒 子不可能移動到 x1
的左邊，此處 Emec －
U 是負的。
粒子不會停留在 x1
，而是開始向右運動，它與原先的 運動方向相反。因此，x1
是一個轉向點（turningpoint），為 K=0（因為 U=E）且粒子改變方向的地
圖8-8
圖8-8
(a) U(x)的函數圖形，系統中的粒子被限制在 x 軸 上運動的系統位能函數，沒有摩擦力，因此力學 能是守恆的。
(b) 作用於粒子上的力 F(x) 之函數圖形，取位能函 數上各點的斜率而得。
(c) 在圖(a)的 U(x) 圖形中，標示三個可能的 Emec 值。
8-6 解讀位能曲線
(續)平衡點
假設 E=4.0 J（紫線），轉向點從 x1
移至 x1
與 x2
之 間的某一點，而在 x5
的右邊任一點，其系統的力學 能也等於它的位能，因此，粒子沒有動能也（根據 8- 22 式）沒有任何力作用於其上，所以它必將停留不 動。放在此位置的粒子稱為在無擾動之中性平衡態（neutral equilibrium）。
8-6 解讀位能曲線
(續)
假設 Emec
=3.0 J（粉紅線），則有兩個轉向點：一個 介於 x1
與 x2
之間，而另一個介於 x4
與 x5
之間。另 外，x3
為 K=0 的點，如果粒子正巧就在那個位置，作用其上的力亦為 0，而粒子將保持靜止。
然而，若粒子朝某一方向稍微偏離其位置時，則有一 不為 0 的力沿此方向將粒子推離更遠，粒子也將持續 遠離。一粒子處於類似x 3
的位置時，稱為在不穩定 平衡態（unstable equilibrium）。8-6 解讀位能曲線
(續)
接著當 Emec
=1.0 J（綠線）時，我們探討粒子的行為。如果將它放在 x
4
的位置，它將固定在某處。粒子 不能任意地向左右移動，因為動能不可能產生負值。若將粒子稍向左邊或右邊推動時，將出現一恢復力迫 使其回到該處。粒子處於此位置時，稱為在穩定平衡 態（stable equilibrium）。
範例8-4
有一 2.00 kg 的粒子沿著 x 軸受一保守力作用，在一維 空間中運動。有關此保守力的位能 U(x) 繪於圖 8-9a；
亦即如果粒子在 x=0 和 x=7.00 m 之間的任一位置，皆 有其對應的 U 值。在 x=6.5 m 處，粒子的速度為 v
0 =
(a) 從圖 8-9a 測定粒子在 x1
=4.5 m 的速率。解題關鍵
(1)粒子的動能形式是 K=½mv
2
。(2)因僅有一保守力作 用於粒子上，當其移動時的力學能 E (=K+U) 是守恆範例8-4 (續)
解題算式
在 x=6.5 m 處，粒子的動能為
因此處位能是 U = 0，力學能為
在圖 8-9a 中，E
mec
值被畫成一條水平線。我們從圖中 發現在 x=4.5 m 處，位能是 U1
=7.0 J ，而動能 K1
為E mec
與 U1
間的差：範例8-4 (續)
又因 K
1 = ½ mv 1 2
，我們求得(b) 粒子的轉向點位於何處？
解題關鍵
轉向點就是位於系統作用力瞬間停止，而粒子正要轉向 移動的地方；也就是說，此處的粒子將瞬間有 v=0 的 情況，以致 K=0。
範例8-4 (續)
解題算式
因為 K 是 E
mec
與 U 值的差，圖 8-9a 中，U 值的圖線揚 升與 Emec
水平線相交，此交點即為轉向點，如圖 8-9b 所示。因U 值的圖線在圖 8-9b 中呈一直線，我們描繪 出兩相似直角三角形，然後寫出相似三角形的邊長比上式求得 d=2.08 m 。因此，轉向點是位在
圖8-9
範例8-4 (續)
(c) 當粒子在 1.9 m＜x＜4.0 m 的區域時，試算出其所受 的力。
解題關鍵
此力可根據 F(x)=
－ dU(x)/dx 算出，本式陳述作用力等
於 U(x) 圖線之斜率的負值。解題算式
我們由圖 8-9b 得知，在 1.0 m＜x＜4.0 m 的區域之作用 力為
範例8-4 (續)
因此，力的大小是 4.3 N，而方向朝 x 軸正向。這個結 果正吻合了以下的事實，即起初一向左運動的粒子，因 受此力作用而停止，然後此力將它導向右方運動。
8-7 外力對系統所作的功
圖 8-10a 表示作正功（能量轉移至系統），而圖 8- 10b 表示作負功（能量從系統轉出來）。當不只一力 作用於系統時，它們的淨功（net work）就是系統能 量的轉入或轉出。圖8-10
8-7 外力對系統所作的功
(續)不包含摩擦力
在拋擲保齡球的比賽過程中，首先你要彎腰並用手托 住地板上的球，然後迅速地站直身體並同時舉起手，在接近臉部高度時，將球向上拋出。在你向上拋球期 間，很明顯地你已對球施力而作功。這正是一外力作 功且轉移了能量的例子，但移到什麼系統去了？
8-7 外力對系統所作的功
(續)
必須考慮球－地球系統才能包含這兩種能量變化。你 施的力是一個外力，對此系統作了功，此功為此處的ΔE
mec
是系統力學能的變化。圖8-11
正功 W 作用在保齡球和地球所組成的系統上，造成此系統 的力學能改變為ΔEmec，其中ΔK 是球的動能改變，ΔU 是 系統重力位能的改變。
8-7 外力對系統所作的功
(續)包含摩擦力
我們接下來考慮圖 8-12a 的例子。有一水平恆力 F 沿 著 x 軸拉動一木塊且經過大小為 d 的位移，使木塊的 速率從 v0
增加到 v 。
我們可以寫出沿 x 軸分量的定律（Fnet,x =ma x
）為因為是固定的力，所以加速度 a 也是不變的。因此，我
8-7 外力對系統所作的功
(續)
將此式的 a 解出，結果代入 8-27 式，並重新整理得或者對木塊而言，因為 ½mv
2 －
½mv0 2 =ΔK，則
將 8-29 式寫成一般式，即由實驗得知，木塊滑過地板的區域會變成溫熱的。
圖8-12
(a)作用力 F 推動木塊通過地板，同時有一動摩擦力 fk 反抗木塊的移動。當開始移動時，木塊有初速 v0，在 位移 d 時，木塊速度為 v。
8-7 外力對系統所作的功
(續)
木塊和地板熱能增加的原因是：(1)它們之間有摩擦 力；(2)有滑動。所謂摩擦力是導因於兩者表面間的 冷接點。當木塊滑過地板，此滑動造成木塊和地板間 重複地撕扯並重組其表面接點，以致木塊和地板溫度 增加，因此，滑動會增加它們的熱能 Eth
。
熱能ΔEth
等於 fk
和 d 乘積的大小：可重寫 8-30 式為
8-7 外力對系統所作的功
(續) Fd 是外力 F 所作的功 W（藉作用力完成能量轉移）
，但對哪一個系統作功呢（能量轉移何處）？我們由 檢視各能量的改變來回答。
木塊的力學能改變，木塊和地板的熱能也改變了，因 此，作用力 F 是對木塊—地板的系統作功。此功為範例8-6
某裝貨員以 40 N 的水平恆力 F 推動一內含包心菜頭的 木箱（總質量 m=14 kg），直線經過一混凝土的地板，
在位移為 d=0.50 m 的途中，箱子速率由 v
0
=0.60 m/s 減 為 v=0.20 m/s。(a)力 F 所作的功為何，它對何種系統作功？
解題關鍵
因為施力 F 為固定值，我們可用 7-7 式（W=Fd cosψ
）求所作的功。
範例8-6 (續)
解題算式
將已知數據代入，包括 F 和 d 的方向相同，我們求得
(b)箱子和地板間的熱能增量ΔE
th
為多少？解題關鍵
在含摩擦力的系統中，我們可由 8-33 式的能量陳述，
得知ΔE
th
和 F 所作功 W 的關聯性：範例8-6 (續)
解題算式
由(a)小題得知 W 的值，因為沒有位能的改變發生，故 箱子力學能的改變量ΔE
mec
恰是其動能的改變量，所以將此代入 8-34 式並解出ΔE
th
8-8 能量守恆
我們認為能量應遵從能量守恆定律（law ofconservation of energy），此涉及系統的總能（total energy）E。所謂總能是系統力學能、熱能以及除熱 能外的其他形式之內能（internal energy）的總和。
此處ΔEmec
是系統力學能的任何改變，ΔEth
是系統8-8 能量守恆
(續)孤立系統
在孤立系統內部可能有許多能量轉移。然而，在系統 內所有各類能量的總值是不變的。
因為孤立系統是設定 8-35 式的 W=0，而能量守恆定 律可寫成下列兩種方式，我們首先得到8-8 能量守恆
(續)
我們也可令ΔEmec =E mec,2 － E mec,1
，這裡的下標 1 和 2 涉及兩個不同的瞬時—所謂某一過程發生的前和後，則 8-36 式變成
8-8 能量守恆
(續)外力和內能的轉換
有一個例子如圖 8-14 所示。起初靜止的溜冰者自己 推離欄杆，然後在冰上滑動（見圖 8-14a 和 b）。她 的動能增加是因為從欄杆來的外力 F 作用在她身上，不過來自欄杆的力沒有轉移能量給她，因此，這個 力量沒有對她作功。換言之，她動能增加的原因是由 肌肉中生物化學的內能轉換而來。
圖8-14
(a)當溜冰者靠自己推離欄 杆時，來自欄杆作用於她 的力是 F。(b)在溜冰者離 開欄杆時，她的速度是 v
。(c)作用於溜冰者的外力 與水平 x 軸夾ψ角，當溜
8-8 能量守恆
(續)
當她推離欄杆後，我們可將溜冰者簡化成粒子，並且 忽略肌肉運作所增加的肌肉熱能和其他生理特徵改變 的事實。然後可用 7-5 式（½mv2 －
½mv0 2 =F x d）寫
成或
如果此情況也涉及物體高度改變的話，則我們將重力 位能的改變ΔU 也含括進來，改寫成8-8 能量守恆
(續)功率
我們可擴大 7-7 節中有關功率的定義。當時功率被定 義為力作功的速率。就更一般性的意義來說，功率 P 為力將能量從一種形態轉換為另一種時的速率。若 ΔE 之能量值在Δt 的時間內被轉換，則此力所產生 的平均功率（average power）為
同樣地，由此力所生的瞬時功率（instantaneous範例8-7
在圖 8-16 中，有一 2.0 kg 墨西哥粽子的包裹以 v
1
=4.0 m/s 的速度沿著地板滑動，然後滑進並壓縮彈簧，直到 包裹暫時停下來。當其通過最初彈簧是鬆弛的這段路徑 時，地板是無摩擦力的，但當包裹壓縮彈簧時，地板產 生大小為 15 N 的動摩擦力作用在包裹上。彈力常數 k 是 10000 N/m 。當包裹停下來時，彈簧被壓縮的距離 d 為何？解題關鍵
我們需要檢視全部作用在包裹上的力，然後測定這是否 為孤立系統或者有外力作功的系統。
範例8-7 (續)
有關力：地板作用在包裹上的正向力不會對包裹作功，
因為它的方向永遠和包裹的位移垂直。同理，重力在包 裹上也不會作功。而當彈簧被壓縮時，彈力會作功在包 裹上，將能量轉換為彈簧上的彈力位能，彈力也會推擠 堅硬的牆。由於包裹和地板之間有摩擦力，所以包裹滑 過地板時會增加熱能。
有關系統：包裹－彈簧－地板－牆系統將所有的力及能 量轉移包含在一孤立系統中。因為此系統是孤立的，因 此總能量不會改變。則可對此系統採用能量守恆定律，
範例8-7 (續)
解題算式
在 8-42 式中，下標 1 對應滑動包裹的初始狀態，下標 2 對應包裹暫時停止且彈簧壓縮了距離 d 的狀態，這兩 種狀態裡，系統的力學能是包裹的動能（K=
½ mv 2
）和 彈簧的位能（U=½ kx 2
）之總和。就狀態 1 而言，U=0（因為彈簧沒被壓縮），包裹的速率是 v
1
，則我們得就狀態 2 而言，K=0（因為包裹停止），而彈簧壓縮的 距離是 d，因此我們得
圖8-16
一包裹滑過無摩擦力的地板，用速度 v1 朝向一 彈力常數為 k 的彈簧移動。當包裹碰觸彈簧時，
範例8-7 (續)
最後，根據 8-31 式，將 f
k d 代替包裹和地板熱能的改
變ΔEth
，重寫 8-42 式為重新整理並將已知數據代入，可得
解出此二次方程式得到
