中學數學科

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中學數學科

學 與 教 資 源

初 中 數 學 修 訂 課 程 過 渡 期 學 與 教 材 料

香 港 特 別 行 政 區 教 育 局

課 程 發 展 處 數 學 教 育 組 編 訂

2 0 1 8

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(3)

目 錄

頁 數

引 言 1

I 簡 介

一 目 的 2

二 內 容 3

三 使 用 指 引 4

II 銜 接 關 注 事 項

一 數 學 修 訂 課 程 的 推 行 時 間 表 6

二 小 學 數 學 修 訂 課 程 內 容 與 小 學 數 學 課 程

( 2000) 內 容 的 比 較 7

III 教 學 及 評 估 示 例

示 例 一 : 3 的 整 除 性 判 別 方 法 11

示 例 二 : 質 數 與 合 成 數 的 概 念 15

示 例 三 : 運 用 短 除 法 求 兩 個 數 的 最 大 公 因 數 和

最 小 公 倍 數 20

示 例 四 : 圓 面 積 公 式 26

示 例 五 : 角 ( 度 ) 32

示 例 六 : 圓 形 圖 39

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初中數學修訂課程過渡期學與教材料

引 言

為 配 合 學 校 課 程 持 續 更 新 , 回 應 於 2014 年 11 月 至 2015 年 4 月 期 間 在 「 新 學 制 中 期 檢 討 與 前 瞻 」中 所 收 集 的 意 見,及 進 一 步 加 強 數 學 課 程 之 縱 向 銜 接 和 與 其 他 學 科 間 的 橫 向 連 繫 , 課 程 發 展 議 會 數 學 教 育 委 員 會 於 2015 年 12 月 成 立 三 個 專 責 委 員 會 檢 視 及 修 訂 小 一 至 中 六 數 學 課 程 , 並 於 2017 年 11 月 公 布 《 數 學 教 育 學 習 領 域 課 程 指 引( 小 一 至 中 六 )》( 2017)的 補 充 文 件,闡 明 修 訂 後 的 小 一 至 中 六 數 學 課 程 的 學 習 內 容( 下 稱「 修 訂 課 程 」)。是 次 數 學 課 程 學 習 內 容 的 修 訂 是 建 基 於《 數 學 教 育 學 習 領 域 課 程 指 引( 小 一 至 中 六 )》( 2017)中 訂 明 的 數 學 教 育 的 課 程 宗 旨 、 課 程 設 計 和 評 估 的 主 導 原 則 。

本 資 料 冊 旨 在 為 教 師 提 供 學 與 教 材 料 的 參 考 , 幫 助 教 師 處 理 初 中 修 訂 課 程 推 行 初 期 與 原 小 學 數 學 課 程 的 銜 接 。

歡 迎 各 界 人 士 就 本 資 料 冊 提 供 意 見 和 建 議 。 來 函 請 寄 ︰

九 龍 政 府 合 署 4 樓 教 育 局 課 程 發 展 處

總 課 程 發 展 主 任 ( 數 學 ) 收 傳 真 : 34269265

電 郵 : ccdoma@edb.gov.hk

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初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

I 簡 介

一 目 的

課 程 發 展 議 會 在 2017 年 11 月 公 布 數 學 科( 小 一 至 中 六 )修 訂 課 程,並 建 議 各 中 學 於 2020/21 學 年 起 在 中 一 逐 年 推 行 初 中 數 學 修 訂 課 程 , 並 於 2023/24 學 年 銜 接 高 中 數 學( 必 修 部 分 )修 訂 課 程。以 上 安 排 乃 回 應 教 師 的 整 體 意 見,期 望 修 訂 課 程 盡 快 在 中 學 全 面 推 行 。

由 於 第 二 學 習 階 段 ( 即 小 四 至 小 六 ) 的 小 學 數 學 修 訂 課 程 亦 於 2020/21 學 年 起 在 小 四 逐 年 推 行 , 在 此 安 排 下 , 將 有 三 屆 中 一 學 生 ( 即 於 2020/21、 2021/22 及 2022/23 學 年 升 讀 中 一 的 學 生 ) 在 初 中 修 讀 修 訂 課 程 , 但 於 小 學 修 讀 載 於 《 數 學 教 育 學 習 領 域 - 數 學 課 程 指 引 ( 小 一 至 小 六 )( 2000)》 的 課 程 ( 下 稱 「 2000 課 程 」),而 非 小 學 數 學 修 訂 課 程。因 應 以 上 情 況,學 校 有 需 要 在 首 三 學 年 的 過 渡 期 為 此 三 屆 學 生 設 計 相 應 及 適 切 的 校 本 課 程 , 讓 他 們 能 順 利 銜 接 至 初 中 數 學 修 訂 課 程 。

本 資 料 冊 是 依 據 2000 課 程 、《 數 學 教 育 學 習 領 域 課 程 指 引 補 充 文 件 : 小 學 數 學 科 學 習 內 容 》( 2017) 和 《 數 學 教 育 學 習 領 域 課 程 指 引 補 充 文 件 : 初 中 數 學 科 學 習 內 容 》( 2017)編 寫。目 的 是 為 教 師 提 供 小 學 數 學 修 訂 課 程 與 2000 課 程 的 比 較 資 料 、 以 及 一 些 過 渡 期 相 關 的 學 與 教 資 源 示 例 , 以 達 到 下 列 的 目 標 :

(i) 讓 教 師 了 解 數 學 科 修 訂 課 程 的 推 行 時 間 表 ;

(ii) 協 助 教 師 理 解 小 學 數 學 修 訂 課 程 與 2000 課 程 的 分 別 ; 及

(iii) 提 供 載 於 小 學 數 學 修 訂 課 程 而 不 在 2000 課 程 之 內 的 課 題 之 過 渡 期 學 與 教 資 源 示 例 , 協 助 教 師 於 上 述 過 渡 期 更 容 易 設 計 校 本 教 材 , 讓 學 生 暢 順 銜 接 初 中 數 學 修 訂 課 程 的 學 習 。

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初中數學修訂課程過渡期學與教材料

二 內 容

本 資 料 冊 的 內 容 包 括 : 甲 、 銜 接 關 注 事 項

教 師 在 這 部 分 可 以 參 考 數 學 修 訂 課 程 的 推 行 時 間 表,及〈 小 學 數 學 修 訂 課 程 內 容 與 小 學 數 學 課 程 ( 2000) 內 容 的 比 較 〉, 安 排 過 渡 期 所 需 的 校 本 銜 接 措 施 。

乙 、 教 學 及 評 估 示 例

教 學 及 評 估 示 例 為 本 資 料 冊 的 主 要 內 容 :

示 例 課 題

示 例 一 3 的 整 除 性 判 別 方 法 示 例 二 質 數 與 合 成 數 的 概 念

示 例 三 運 用 短 除 法 求 兩 個 數 的 最 大 公 因 數 和 最 小 公 倍 數

示 例 四 圓 面 積 公 式

示 例 五 角 ( 度 )

示 例 六 圓 形 圖

每 個 教 學 及 評 估 示 例 均 包 括 課 題 基 本 資 料、建 議 教 學 內 容 和 練 習。課 題 基 本 資 料 包 括 學 習 範 疇、學 習 重 點、學 生 須 具 備 的 已 有 知 識 和 規 劃 建 議。建 議 教 學 內 容 包 括 一 些 相 關 的 探 究 活 動、答 案、教 學 資 源 和 教 師 注 意 事 項。最 後 為 練 習 和 答 案。教 師 可 因 應 學 生 的 學 習 情 況,修 改 示 例 中 的 活 動 和 練 習 以 配 合 學 生 的 學 習 需 要 或 設 計 其 他 適 當 的 教 學 及 評 估 活 動 。

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初中數學修訂課程過渡期學與教材料

三 使 用 指 引

1. 本 資 料 冊 適 用 於 在 2020/21、 2021/22 及 2022/23 學 年 升 讀 中 一 的 學 生 。 教 師 可 透 過 本 資 料 冊 的 過 渡 期 學 與 教 材 料 , 協 助 學 生 學 習 相 關 課 題 。

2. 本 資 料 冊 介 紹 的 學 與 教 材 料 包 括「 課 題 基 本 資 料 」、「 建 議 教 學 內 容 」及「 練 習 」 三 部 分 。「 課 題 基 本 資 料 」 列 出 有 關 課 題 的 概 略 , 包 括 : 學 習 範 疇 、 學 習 重 點、已 有 知 識 及 規 劃 建 議,以 供 教 師 參 考。教 師 可 參 考 在 教 材 中 列 明 學 生 在 學 習 這 些 課 題 時 須 具 備 的 已 有 知 識 和 在 初 中 數 學 修 訂 課 程 中 的 相 關 學 習 重 點,將 這 些 材 料 融 入 初 中 數 學 科 的 學 與 教 之 中。一 般 而 言,本 資 料 冊 所 載 的 過 渡 期 學 與 教 材 料 , 並 不 要 求 教 師 按 冊 子 的 編 排 次 序 獨 立 地 一 次 過 教 授。教 師 亦 可 因 應 學 生 的 學 習 情 況,自 行 設 計 或 修 改 在「 建 議 教 學 內 容 」中 的 探 究 活 動 / 課 堂 活 動 , 以 及 「 練 習 」 的 題 目 。

3. 學 與 教 及 評 估 須 互 相 配 合,因 此 教 師 可 因 應 學 生 的 興 趣、能 力 和 需 要,以 及 學 校 的 環 境,把 本 資 料 冊 示 例 的 建 議 內 容、工 作 紙 及 評 估 的 活 動 調 適,靈 活 地 在 課 堂 運 用,以 發 揮 更 理 想 的 教 學 效 果。在 設 計 學 與 教 活 動 前,教 師 宜 先 分 析 學 生 在 學 習 該 單 位 時 所 遇 到 的 困 難 和 常 犯 的 錯 誤,設 計 適 切 的 活 動,讓 學 生 進 行 探 索 、 建 構 新 知 識 和 培 養 他 們 解 決 問 題 的 能 力 。

4. 有 關 照 顧 學 生 學 習 的 多 樣 性,教 師 可 因 應 學 生 的 學 習 情 況,例 如 學 習 興 趣 和 能 力 等,調 適 本 資 料 冊 建 議 的 示 例,或 參 考 示 例 自 行 設 計 合 適 的 教 材,以 照 顧 學 生 的 多 樣 性。在 設 計 教 學 活 動 時,教 師 可 為 學 習 能 力 較 佳 的 學 生 設 計 較 具 挑 戰 性 的 活 動,以 擴 闊 他 們 的 知 識 領 域,讓 他 們 展 現 潛 能;另 一 方 面,教 師 亦 可 為 學 習 能 力 稍 遜 的 學 生 提 供 較 具 體 的 指 引 , 給 予 他 們 充 分 的 時 間 思 考、討 論 和 探 索,並 提 供 足 夠 的 鼓 勵 和 支 援,幫 助 他 們 掌 握 基 本 知 識 和 提 高 他 們 的 學 習 興 趣 。

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初中數學修訂課程過渡期學與教材料

5. 本 資 料 冊 並 其 所 附 的 教 學 示 例 與 相 關 的 電 子 教 材 之 不 同 語 文 版 本 , 可 於 數 學 教 育 組 網 站 下 載 , 網 址 如 下 :

( 繁 體 中 文 )

www.edb.gov.hk/tc/curriculum-development/kla/ma/res/js/transitional.html

( 簡 體 中 文 )

www.edb.gov.hk/sc/curriculum-development/kla/ma/res/js/transitional.html

( 英 文 )

www.edb.gov.hk/en/curriculum-development/kla/ma/res/js/transitional.html

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II

銜 接 關 注 事 項

一 數 學 修 訂 課 程 的 推 行 時 間 表

課 程 發 展 議 會 建 議 各 中 小 學 按 下 列 時 間 表 推 行 數 學 科 修 訂 課 程 ︰

 第 一 學 習 階 段 ( 即 小 一 至 小 三 ) 的 小 學 數 學 修 訂 課 程 於 2019/20 學 年 起 在 小 一 逐 年 推 行 。

 第 二 學 習 階 段 ( 即 小 四 至 小 六 ) 的 小 學 數 學 修 訂 課 程 於 2020/21 學 年 起 在 小 四 逐 年 推 行 。

 第 三 學 習 階 段 ( 即 中 一 至 中 三 ) 的 初 中 數 學 修 訂 課 程 於 2020/21 學 年 起 在 中 一 逐 年 推 行 。

 第 四 學 習 階 段 ( 即 中 四 至 中 六 ) 的 高 中 數 學 科 ( 必 修 部 分 ) 修 訂 課 程 於 2023/24 學 年 起 在 中 四 逐 年 推 行 。

 第 四 學 習 階 段 ( 即 中 四 至 中 六 ) 的 高 中 數 學 科 ( 延 伸 部 分 ) 修 訂 課 程 於 2019/20 學 年 起 在 中 四 逐 年 推 行 。

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初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

二 小 學 數 學 修 訂 課 程 內 容 與 小 學 數 學 課 程 ( 2000) 內 容 的 比 較

下 表 列 出 修 訂 課 程 與 小 學 數 學 課 程( 2000)內 容 的 比 較,當 中 只 包 括 主 要 修 訂 內 容。建 議 教 師 在 閱 讀 下 表 時,亦 應 閱 讀 修 訂 課 程 的 文 件,以 了 解 修 訂 的 細 節 和 課 程 的 整 體 設 計 。

2000 課程的 學習單位

主要修訂

修訂課程的

學習單位 修訂說明

刪去 新增 重組 /調整調動 一年級

1N5 加與減(一)

 1N4 加法和減 法(一)

- 新增「認識加法結合性質」

- 刪去解三個數的加法應用題 - 刪去「估計計算結果」

1M4 時間(一) * 1M4 時間(一) - 新增「以小時為單位,量度和比 較時間間隔」和「解有關時間間 隔的簡單應用題」

* 由於 2000 課程二年級的學習內容已包含有關修訂內容,故教師無須為這部分作銜接安排。

1S1 立體圖形(一)  1S1 立體圖形 (一)

- 刪去「認識柱體和錐體」

1S1 立體圖形(一) 1S3 平面圖形

 1S3 方向和位 置(一)

- 調整有關物件的相對位置的學習 內容,組成新學習單位 1S3 - 新增相對位置「之間」

1S2 直線和曲線 1S3 平面圖形

 1S2 平面圖形 - 新增「認識點的直觀概念」

二年級

2N2 加與減(二)  2N2 加法和減 法(二)

- 新增「運用加法交換性質和結合 性質進行加法運算」

2M2 時間(二)  6M4 速率 - 調動以「小時和分鐘」求時間間 隔至 6M4

2M4 重量  3M5 重量 - 調動至 3M5 2S1 立體圖形(二)  1S1 立體圖形

(一)

- 調動「認識角柱、圓柱、角錐、圓 錐的直觀概念」至 1S1

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2000 課程的 學習單位

主要修訂

修訂課程的

學習單位 修訂說明

刪去 新增 重組 /調整調動

2S1 立體圖形(二)  --- - 刪去「製作立體圖形」

2S4 四邊形(一)

 2S4 四邊形(一) - 新增「認識線段的概念」和「認 識鄰邊的概念」

- 刪去「認識梯形和菱形」

三年級

3N2 加與減(四)  3N4 四則運算 (一)

- 調整不超過四個位的數加法和減 法的學習重點,與加減混合運算 的學習重點合併,組成新學習單 位 3N4

3N4 除法(一)  3N3 除法(一) - 刪去「用短除法進行基本除法計 算」

3N6 分數(一)  3N5 分數(一) - 新增「認識等值分數的概念」

- 新增「進行不多於三個同分母分 數的加法和減法運算」,其結果須 不大於 1 及解主要以圖像闡述的 應用題

3M2 時間(三) 

6M4 速率 - 刪去「以時、分和秒報時」

- 調動以「分鐘和秒」求時間間隔 至 6M4

3S1 平行和垂直  2S2 角 - 調動有關垂直的學習內容至 2S2 3S3 角(二)  2S2 角 - 調動至小二,並與「角」合併,組

成新學習單位 2S2

3S4 三角形  3S2 三角形 - 新增「認識等腰直角三角形」、「認 識不同種類三角形之間的關係」

和「認識三角形任意兩邊長度之 和大於第三邊的長度」

3D1 方塊圖  --- - 成為新增潤課題 2E2 方塊圖 四年級

4N1 乘法(二)  3N2 乘法(一) - 調動「認識乘法結合性質」至 3N2 4N-E1 整除性  4N2 除法(二) - 調動「認識 3 的整除性判別方法」

至 4N2 4N3 現代計算工具

的認識

 --- - 刪去此學習單位

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2000 課程的 學習單位

主要修訂

修訂課程的

學習單位 修訂說明

刪去 新增重組 /調整調動 4N-E2 質數及合成

 4N3 倍數和因 數

- 調動至小四,並與倍數和因數合 併,組成新學習單位 4N3

4N5 公倍數和公因 數

 4N4 公倍數和 公因數

- 新增「運用短除法找出兩個數的 最大公因數和最小公倍數」

4N6 四則計算(二)  4N5 四則運算 (二)

- 新增「認識乘法分配性質」

4S1 四邊形(三)  3S1 四邊形(二) - 調動「認識梯形的概念和性質」

至 3S1 4S1 四邊形(三)  4S1 四邊形

(三)

- 新增「認識不同種類四邊形之間 的關係」

4S3 對稱  6S1 對稱 - 調動至 6S1

4D1 棒形圖(一)  3D1 棒形圖(一) - 調動「一格代表 1、2 和 5 個單位 的棒形圖」至 3D1

五年級

5N1 多位數  4D1 棒形圖(二) - 調動「認識近似值」至 4D1 5N4 小數(二)  4N8 小數(二) - 調動至 4N8

5N6 分數(五)

 5N5 分數(五) - 新增「認識分數可理解為兩個整 數的比的概念」

- 刪去涉及求一個數比另一個數大 或小幾分之幾的應用題和涉及當 一個數增至或減至另一個數時,

求其分數變化的應用題

5M1 面積(二)  5M1 面積(二) - 新增「認識四邊形高的概念」

5M-E1 角(度)  6M1 角(度) - 成為新學習單位 6M1

5S1 八個方向  4S3 方向和位

置(三)

- 調動至 4S3

5D2 棒形圖(二)  4D1 棒形圖(二) - 調動「一格代表 50 和 100 個單位 的棒形圖」至 4D1

5D1 象形圖(二)  --- - 刪去此學習單位 六年級

6N4 百分數(二)  6N4 百分數(二) - 刪去涉及折扣、較複雜的百分數 和百分變化的應用題

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初中數學修訂課程過渡期學與教材料

2000 課程的 學習單位

主要修訂

修訂課程的

學習單位 修訂說明

刪去 新增重組 /調整調動

6A1 簡易方程(二)  5A2 簡易方程 (一)

- 調動部分「兩步計算的簡易方程」

至 5A2,而運算只涉及整數 6A1 簡易方程(二)  6A1 簡易方程

(二)

- 新增 ax + bx = c 和 ax – bx = c 兩 類方程

6S1 立體圖形(四)

 5S2 立體圖形 (三)

- 調動「認識立體圖形的頂點和稜 的概念」、「認識角柱、圓柱、角錐 和圓錐中平行於底的截面」和「認 識球的截面」至 5S2

- 新增「認識圓柱的摺紙圖樣」

6S1 立體圖形(四)  --- - 調動「理解角柱/角錐中底的邊 數、面的數目、稜的數目和頂點 的數目之間的關係」至新增潤課 題 5E2 立體圖形探究

6S2 圓  5S1 圓 - 調動至 5S1

6D2 棒形圖(三)  5D1 棒形圖(三) - 調動「一格代表 1000、10000 和 100000 個單位的棒形圖」至 5D1

---  6M5 面積(三) - 新增學習單位(計算一個圓的面

積),其學習內容是由中學調動至 6M5

---  6D3 圓形圖 - 新增學習單位,其學習內容是由

中學調動至 6D3

---  6D4 統計的應

用和誤用

- 新增學習單位

以 上 對 照 表 , 教 師 亦 可 從 數 學 教 育 組 網 站 下 載 , 方 便 參 閱 , 網 址 如 下 :

( 繁 體 中 文 )

www.edb.gov.hk/attachment/tc/curriculum-development/kla/ma/curr/CT_Pri_tc.pdf

( 簡 體 中 文 )

www.edb.gov.hk/attachment/sc/curriculum-development/kla/ma/curr/CT_Pri_sc.pdf

( 英 文 )

www.edb.gov.hk/attachment/en/curriculum-development/kla/ma/curr/CT_Pri_e.pdf

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III 教 學 及 評 估 示 例

示例一

3 的整除性判別方法

一、課題基本資料 學習範疇: 數與代數

學習重點: 認識 3 的整除性判別方法,包括一個正整數能被 3 整除和不能被 3 整除的條 件。學生不須認識其證明。

已有知識: 學生已在 2000 年版小學數學課程學習單位 4N2「除法(二)」中認識整除性,

除數為 2、5 和 10。

[備註:部分學生可能曾在 2000 年版小學數學課程增潤項目 4N-E1「整除性」

中學習 3 的整除性判別方法。]

規劃建議: 教師可在教授初中數學修訂課程學習重點 1.1「認識 4、6、8 和 9 的整除性判 別方法」或其他合適課題前,引入 3 的整除性判別方法。

二、建議教學內容

1. 教師可與學生重溫小學所學有關整除性判別方法的知識。

 整除性:學生在小學階段以一數除以另一數時沒有餘數(即餘數為 0)來認識整除的 概念,例如由於 32  2 = 16 沒有餘數,因此 32 可以被 2 整除。另外,學生亦認識倍 數和整除性的關係,例如由於 25 是 5 的倍數,因此 25 可以被 5 整除。

 在小學階段,學生已學習有關 2、5、10 的整除性判別方法,即:

只有個位數是 2、4、6、8 或 0 的數可以被 2 整除。

只有個位數是 5 或 0 的數可以被 5 整除。

只有個位數是 0 的數可以被 10 整除。

2. 教師可引導學生發現 2、5、10 的整除性判別方法的共通點,即

若一正整數的個位數可以被 2、5 或 10 整除,則該數分別可以被 2、5 或 10 整除。

若一正整數的個位數不可以被 2、5 或 10 整除,則該數分別不可以被 2、5 或 10 整除。

但一個正整數的個位數可否被 3 整除,並不能用以判別該數可否被 3 整除。

3. 教師可與學生進行以下活動以探究 3 的整除性判別方法。

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初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

探究活動: 

1. 請開啟檔案「3 的整除性判別方法.xlsx」,選取活頁簿「兩位數」,如下圖。   

2. 在儲存格 A2A11 輸入任意 10 個 30 以內的正整數。

3. 把 A 欄的兩位數中能被 3 整除的數(即 3 的倍數)的儲存格填上淺藍色,然後將對應的

「相加」儲存格填上黃色。如下圖。

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初中數學修訂課程過渡期學與教材料

4. 看看顯示十位及個位之和的「相加」欄,你有甚麼發現?在 A12A16 輸入更多兩位數,

看看有沒有類似結果?將發現寫在下面:

若一個兩位數能被 3 整除,則該數的十位數和個位數相加的結果必定______________。

若一個兩位數的十位數和個位數相加的結果______________,則該數能被 3 整除。

再觀察試算表,

若一個兩位數不能被 3 整除,則該數的十位數和個位數相加的結果必定____________。

若一個兩位數的十位數和個位數相加的結果______________,則該數不能被 3 整除。

5. 選取活頁簿「三位數」,在 A 欄輸入一些三位數,並觀察百位、十位和個位之和,看看有 沒有類似兩位數的結果。

6. 對於一個四位數或五位數,上述的結果是否成立?

總結:

把一個正整數的各個位數相加,若相加的結果___________,則該數能被 3 整除;且 若相加的結果___________,則該數不能被 3 整除。

參考答案

4. 若一個兩位數能被 3 整除,則該數的十位數和個位數相加的結果必定能被 3 整除。

若一個兩位數的十位數和個位數相加的結果能被 3 整除,則該數能被 3 整除。

若一個兩位數不能被 3 整除,則該數的十位數和個位數相加的結果必定不能被 3 整除。

若一個兩位數的十位數和個位數相加的結果不能被 3 整除,則該數不能被 3 整除。

5. 有 6. 是 7. 總結:

把一個正整數的各個位數相加,若相加的結果能被 3 整除,則該數能被 3 整除;且 若相加的結果不能被 3 整除,則該數不能被 3 整除。

教師注意事項:

1. 以上探究活動亦可以紙筆形式進行。以電腦試算表進行則可減少學生的計算量,讓學生 集中觀察結果,及探究更多不同的數。

2. 試算表中取得個位和十位等數字的公式如下:

百位 = MOD(INT(A2/100),10) 十位 = MOD(INT(A2/10),10) 個位 = MOD(INT(A2),10)

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初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

3. 教師可因應學生的能力,以例子解釋上述整除性判別方法的原理,唯這解釋並非課程所 需。例如

852 = 800 + 50 + 2 = 8100 + 510 + 2

= 8(99 + 1) + 5(9 + 1) + 2 = 899 + 8 + 59 + 5 + 2 = (899 + 59) + (8 + 5 + 2) = (899 + 59) + 15

3 的倍數 + 3 的倍數 = 3 的倍數

746 = 700 + 40 + 6 = 7100 + 410 + 6 = 7(99+1) + 4(9+1) + 6 = 799 + 7 + 49 + 4 + 6 = (799 + 49) + (7 + 4 + 6) = (799 + 49) + 17

3 的倍數 + 不是 3 的倍數 = 不是 3 的倍數

三、練習

1. 下面哪些數可以被 3 整除?把答案圈起來。

17 26 39 104 521 1077 2014 2. 寫出三個可以被 3 整除的三位數。

3. 寫出三個可以被 3 整除的四位數。

4. 寫出三個可以被 3 整除的五位數。

5. 寫出一個可以被 3 整除的最大四位數。

6. 寫出一個可以被 3 整除的最小五位數。

7. 三位數 2#5 可以被 3 整除。#可以是哪些數字呢?

8. 設 # 代表 0, 1, …, 9 中的一個數字,將 2、#、5 三個數字排成一個可以被 3 整除的最大 三位數,# 是甚麼數字?

參考答案 1. 39, 1077

2. 369, 582, 960 或其他合適答案 3. 1296, 2574, 6888 或其他合適答案 4. 11145, 43125, 60594 或其他合適答案 5. 9999

6. 10002 7. 2, 5, 8

8. 8,因為題目要求的最大三位數是 852。

(18)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

示例二︰質數與合成數的概念

一、課題基本資料 學習範疇: 數與代數

學習重點: 1. 認識質數與合成數的概念。

2. 學生須判別一個 100 以內的正整數是否質數和運用愛氏篩找出 100 以 內的所有質數。

已有知識: 1. 學生已在 2000 年版小學數學課程學習單位 4N2「除法(二)」中認識整除 性,除數為 2、5 和 10。

2. 學生已在 2000 年版小學數學課程學習單位 4N4「倍數和因數」中認識因 數及找出一個數的所有因數。

[備註:部分學生可能在小學階段經已學習有關課題:4N-E2「質數及合成數」

(增潤項目)。]

規劃建議: 教師可在教授初中數學科修訂課程學習單位 1「基礎計算」學習重點 1.3 「進 行正整數的質因數分解」或其他合適課題前,加入本課題的教學。

二、建議教學內容

1. 教師與學生重溫因數的概念及求一個正整數的所有因數的方法,並且透過探究活動一(見 後頁),介紹質數與合成數的概念。學生透過觀察正整數的因數數量,按因數的數量把正 整數進行分類:

(1) 質數只有 2 個因數。

(2) 合成數有 3 個或以上的因數。

(3) 整數 1 只有 1 個因數,既不是質數,也不是合成數。

2. 教師讓學生進行探究活動二(見後頁),嘗試運用愛氏篩求 100 以內的所有質數。

公元前 250 年,古希臘數學家愛拉托散尼(Eratosthenes)提出尋找 2 至 n 之間的質數 的步驟:

列出整數 2 至 n (例如 100)。

步驟 (1):從最小的整數開始。

步驟 (2):圈起最小的整數,然後刪去該數的其他倍數。

步驟 (3):對剩下未加任何標記的數重覆步驟 (2),直至所有數均有標記。

步驟 (4):所有圈起的數就是質數。

3. 教師可參考 ETV 節目:齊來找質數(https://www.hkedcity.net/etv/resource/441554750)。

(19)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

探究活動一

1. 列出整數 1 – 20 的所有因數,觀察整數的因數數目,完成下表,並按因數的數量將整數 進行分類:

整數 因數 因數數量 整數 因數 因數數量

1 1 1 11

2 1, 2 2 12

3 13

4 1, 2, 4 3 14

5 15

6 16 1, 2, 4, 8, 16 5

7 17

8 18

9 19

10 20

2. 試依各整數的因數數量分成三類:

(1) 第一類:只有 2 個因數:2, 。

(2) 第二類:有 3 個或以上的因數:4, 。

(3) 第三類:只有 1 個因數:__________。

1. 我們稱只有 2 個因數的正整數為質數。質數的因數為 1 及該數本身。

2. 我們稱有 3 個或以上因數的正整數為合成數。

3. 整數 1 只有 1 個因數,既不是質數,也不是合成數。

3. 練習:

(a) 把右方的數中的質數圈出來: 23, 31, 39, 48, 51, 59 (b) 把右方的數中的合成數圈出來: 26, 37, 41, 49, 53, 60 (c) 考慮所有偶數,當中有多少個質數?試列出及解釋。

(20)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料

參考答案

1. 列出整數 1 – 20 的所有因數,觀察整數的因數數目,完成下表,並按因數的數量將整數 進行分類:

整數 整數的因數 因數數量 整數 整數的因數 因數數量

1 1 1 11 1, 11 2

2 1, 2 2 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 6

3 1, 3 2 13 1, 13 2

4 1, 2, 4 3 14 1, 2, 7, 14 4

5 1, 5 2 15 1, 3, 5, 15 4

6 1, 2, 3, 6 4 16 1, 2, 4, 8, 16 5

7 1, 7 2 17 1, 17 2

8 1, 2, 4, 8 4 18 1, 2, 3, 6, 9, 18 6

9 1, 3, 9 3 19 1, 19 2

10 1, 2, 5, 10 4 20 1, 2, 4, 5, 10, 20 6 2. 試依各整數的因數數量分成三類:

(1) 第一類:只有 2 個因數:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19。

(2) 第二類:有 3 個或以上的因數:4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20。

(3) 第三類:只有 1 個因數:1。

3. 練習:

(a) 把右方的數中的質數圈出來: 23, 31, 39, 48, 51, 59 (b) 把右方的數中的合成數圈出來: 26, 37, 41, 49, 53, 60 (c) 考慮所有偶數,當中有多少個質數?試列出及解釋。

答:所有偶數中只有 2 是質數,因為其他所有偶數的因數都最少包括 1、2 和該數,

即有 3 個或以上的因數,因此是合成數。

教師注意事項:

1. 質數和合成數的討論只限於正整數。

2. 作為教學的延續和正整數質因數分解概念的引入,教師可因應學生能力向學生說明所有 合成數,不論因數數量,由於包含 1 和自身以外的因數,必能寫成兩個非 1 及自身的數 的積,例如 4 = 2 × 2,12 = 3 × 4。教師可進一步說明若寫成該乘式中的數包含合成數,

該數可再分拆,例如 12 = 3 × 4 = 3 × 2 × 2,直至數式中再沒有合成數。

(21)

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探究活動二

愛氏篩 (Sieve of Eratosthenes)

1. 運用愛氏篩找出 100 以內的所有質數。

尋找 2 至 100 之間的質數的步驟:

(1) 從最小的整數開始。

(2) 圈起最小的整數,然後刪去該數的其他倍數。

(3) 對剩下未加任何標記的數重覆步驟 (2),直至所有數均有標記。

(4) 所有圈起的數就是質數。

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

2. 練習:

(a) 在 100 以內有多少個質數?在 100 以內最大的質數是甚麼?

(b) 判定以下是否正確。

(i) 質數 × 質數 = 質數 (ii) 質數 × 合成數 = 合成數

(22)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

參考答案

1. 運用愛氏篩找出 100 以內的所有質數。把質數圈出來。

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 2. 練習:

(a) 在 100 以內有多少個質數?在 100 以內最大的質數是甚麼?

答:25 個。最大 97。

(b) 判定以下是否正確。

(i) 質數 × 質數 = 質數

答:不正確(因為質數只有兩個因數,而兩個質數相乘所得的積必定有多於兩 個因數。)

(ii) 質數 × 合成數 = 合成數

答:正確(因為左手邊的合成數本身已有 3 個或以上因數,所以其與質數之積 也是有 3 個或以上因數。)

三、練習

1. 寫出 100 – 130 以內的所有質數。

2. 在 150 以內最大的質數是甚麼?

3. 判定以下是否正確。

(i) 質數 × 1 = 合成數

(ii) 合成數 × 合成數 = 合成數 參考答案

1. 寫出 100 – 130 以內的所有質數。 答: 101, 103, 107, 109, 113, 127 2. 在 150 以內最大的質數是甚麼? 答: 149

3. 判定以下是否正確。

(i) 質數 × 1 = 合成數

答:不正確(因為任何數乘以 1 不影響其因數的數目,所以質數 × 1 後仍只有兩個 因數。)

(ii) 合成數 × 合成數 = 合成數

答:正確(因為左手邊的合成數本身已有 3 個或以上因數,所以其積也是有 3 個 或以上因數。)

(23)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

示例三︰運用短除法求兩個數的最大公因數和最小公倍數

一、課題基本資料 學習範疇: 數與代數

學習重點: 運用短除法求兩個數的最大公因數和最小公倍數。學生不須認識其原理。

已有知識: 1. 學生已在 2000 年版小學數學課程學習單位 4N5「公倍數和公因數」中,

學會透過列舉兩個數的倍數,求該兩個數的公倍數及最小公倍數;以及 透過列出兩個數的因數求該兩個數的公因數及最大公因數。學生已認識 最大公因數和最小公倍數簡稱分別為“H.C.F.”和“L.C.M.”。

2. 另外,學生已在 2000 年版小學數學課程學習單位 4N2「除法(二)」中 認識整除性,除數為 2、5 和 10。

3. 學生在初中數學修訂課程學習單位 1「基礎計算」的學習重點 1.1 中,

認識 4、6、8 和 9 的整除性判別方法。

4. 學生亦應已透過過渡期學與教材料,學習 3 的整除性判別方法。

5. 學生在初中數學修訂課程學習單位 1「基礎計算」的學習重點 1.3 中,

認識正整數的質因數分解。

[備註:部分學生可能在小學階段曾經學習運用短除法求兩個數的最大公因 數和最小公倍數。]

規劃建議: 教師可把此課題融入初中數學修訂課程學習重點 1.4「求最大公因數和最小公 倍數」的教學當中,教師亦可在其他合適地方引入此課題。

二、建議教學內容

1. 教師可與學生重溫小學階段所學的列舉法。

 例 1:運用列舉法,求 12 和 18 的最大公因數。

首先由小至大,列舉 12 和 18 的所有因數,並圈出 12 和 18 的所有公因數。

12 的因數:○123 4 ○6 12 18 的因數:○1236 9 18

從圈出的公因數中,可見 6 是 12 和 18 的最大公因數。

 例 2:運用列舉法,求 12 和 18 的最小公倍數。

首先由小至大,列舉 12 和 18 的首幾個倍數,並圈出 12 和 18 的公倍數。

12 的倍數:12 24 ○36 48 60 ○72 ……

18 的倍數:18 ○36 54 ○72 ……

從圈出的公倍數中,可見 36 是 12 和 18 的最小公倍數。

2. 教師可與學生討論上述列舉法的優點和缺點,從而引入短除法。

(24)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料

3. 教師與學生進行以下活動,探究如何運用短除法求兩個數的最大公因數和最小公倍數。

探究活動:

1. 運用整除性判別法,列出 30 和 42 的所有質數公因數(即同時為質數的公因數)。猜想 30 和 42 的最大公因數是甚麼。

2. 進入網頁https://www.geogebra.org/m/BKxeO3At。輸入數值 a = 30,b = 42,向右拉動紅 色滑桿一下,如下圖。

圖中用橙色圈著的數 2 與 30、42 有甚麼關係?_________________

圖中兩對數 15、21 和 30、42 有甚麼關係?__________________

3. 再次向右拉動紅色滑桿一下,如下圖。

圖中用綠色圈著的數 3 與 15、21 有甚麼關係?______________

(25)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

4. 30 和 42 同時除以質數公因數 ____ 和 ____後,得到用藍色圈著的數 ____和 ____。

由此可見,____ ____ = _____是 30 和 42 的其中一個公因數。

用藍色圈著的數 ____ 和 ____ 還有質數公因數嗎?_______

我們有可能找到一個更大的 30 和 42 的公因數嗎?(可能/不可能)

5. 嘗試點選上圖中的最大公因數(HCF)的勾選框,

30 和 42 的最大公因數 = ____________ = ________。

6. 嘗試點選上圖中的最小公倍數(LCM) 的勾選框,

30 和 42 的最小公倍數 = ____________ = ________。

7. 與同學討論網頁如何得到 30 和 42 的最大公因數及最小公倍數。

8. 利用上述網頁,嘗試找出其他兩個數的最大公因數和最小公倍數。

參考答案

1. 30 和 42 的質數公因數為2 和 3。30 和 42 的最大公因數是2  3 = 6。

2. 用橙色圈著的數 2 是 30 和 42 的質數公因數。15 和 21 是 30 和 42 分別被 2 除的結果(商)。 3. 用綠色圈著的數 3 是 15 和 21 的質數公因數。

4. 30 和 42 同時除以質數公因數 2 和 3 後,得到用藍色圈著的數 5 和 7 。 由此可見,2  3 = 6是 30 和 42 的其中一個公因數。

用藍色圈著的數 5 和 7 還有質數公因數嗎?沒有。

我們不可能找到一個比 6 更大的 30 和 42 的公因數。

5. 30 和 42 的最大公因數 = 2  3 = 6。

6. 30 和 42 的最小公倍數 = 2  3  5  7 = 210。

(26)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

教師注意事項:

1. 以上探究亦可以紙筆形式進行。使用 GeoGebra 網頁版的課業可減少學生的計算量,讓學 生集中認識短除法及其中的關係,及增加所探究的數的數量。唯無論以任何形式探究,

學生均須運用相關數的整除性判別方法,進行短除法。

2. 由於學生已學習正整數的質因數分解,教師可將例子中的 30 和 42 以質因數形式表示如 何求最大公因數及最小公倍數。

2 2  3  5 2  3  7 2 30 42 3 3 5 3  7 3 15 21

5 7 5 7

3. 教師須強調使用短除法時必須除盡所有公因數,即例子中的 2 和 3,直至兩個商沒有大 於 1 的公因數,如例子中的 5、7,短除法方為完成。教師可用更多例子說明此要求。

4. 教師可因應學生的能力,解釋上述短除法的原理。唯解釋並非課程所需。短除法是求兩 個並非互質的正整數的最大公因數和最小公倍數的一種便捷方法。短除法可幫助學生不 須將兩數進行質因數分解,也能求最大公因數及最小公倍數。其原理是將兩數同時除以 質數公因數(即上述例子中的 2 和 3),直至兩個數沒有質數公因數為止(即上述例子中 的 5 和 7)。因為 5 和 7 互質,30 和 42 的最大的公因數是 2  3 = 6。學生亦可從2  3  5 和2  3  7 中,觀察到2  3為兩數的最大的公因數。對 30 和 42,即2  3  52  3  7,其最小公倍數為2  3  5  7 = 210。

5. 教師可向學生解釋除數並非一定為質數,如上述例子中除數可以為 6,而非分別為 2 和 3。除數為質數的目的是令短除法可以擴展至求 3 個或以上正整數的最小公倍數。

6. 對於能力較佳學生,教師可與學生討論除數 2、3(即 30 和 42 的公因數)的先後次序會 否影響結果,和若將 30 和 42 直接被公因數 6 除(而非分別被 2 和 3 除)時,對於計算 最大公因數和最小公倍數有沒有影響。

7. 教師可比較短除法和列舉法的優點和缺點。

(27)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

三、練習

1. 運用短除法,求 a 和 b 的最大公因數和最小公倍數。

a b 最大公因數 最小公倍數 6 15

12 18 20 35 28 56

2. 凱玲運用短除法計算 60 和 90 的最大公因數和最小公倍數。請在適當位置填上合適數。

2 60 90 10 15

60 和 90 的最大公因數 = 2  ___  ___ = ______。

60 和 90 的最小公倍數 = 2  ___  ___  ___  ___ = _______。

3. 偉倫運用短除法計算 48 和 84 的最小公倍數。步驟如下:

2 48 84 2 24 42 12 21

48 和 84 的最小公倍數 = 2  2  12  21 = 1008。

偉倫的運算正確嗎?若不正確,有甚麼錯誤?請修正偉倫的錯誤。

4. 運用短除法,求 a 和 b 的最大公因數和最小公倍數。

a b 最大公因數 最小公倍數 30 45

48 60 72 120 110 165

(28)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料

參考答案 1.

a b 最大公因數 最小公倍數

6 15 3 30

12 18 6 36

20 35 5 140

28 56 28 56

2.

2 60 90

3 30 45

5 10 15 2 3

60 和 90 的最大公因數 = 2  3  5 = 30 。

60 和 90 的最小公倍數 = 2  3  5  2  3 = 180 。 3. 不正確。因為 12 和 21 還有公因數 3。正確步驟如下:

2 48 84 2 24 42 3 12 21 4 7

48 和 84 的最小公倍數 = 2  2  3  4  7 = 336。

4.

a b 最大公因數 最小公倍數

30 45 15 90

48 60 12 240

72 120 24 360

110 165 55 330

(29)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

示例四︰圓面積公式

一、課題基本資料

學習範疇: 度量、圖形與空間 學習重點: 1. 認識圓面積公式

2. 應用圓面積公式

已有知識: 學生已在 2000 年版小學數學課程學習單位 6S2「圓」和 6M2「周界(二)」中,

認識圓周的公式及應用圓周的公式。

[備註︰「從一個圓的面積求它的直徑或半徑」不包括在小學數學修訂課程中。

因此本學習材料並不涵蓋有關內容。教師須在教授初中數學修訂課程學習重點 16.2「理解圓的扇形面積公式」時加入有關內容。]

規劃建議: 教師可在教授初中數學修訂課程學習重點 16.2「理解圓的扇形面積公式」或其 他合適課題前,引入圓面積公式。

二、建議教學內容

1. 教師可與學生重溫小學所學的圓周公式。

2. 教師與學生進行以下其中一個活動以探究圓面積公式。

探究活動 1:

1. 請進入網頁http://m.geogebra.hk/?id=tmWgmahf&lang=1。點選「分割圓形為 8 等份」的勾 選框。向右拉動灰色滑桿至適當等份,如 40 等份。向右拉動紫色滑桿,如下圖。

藍色陰影部分近乎平行四邊形,底長  ,高  。(答案以 r 表示)

藍色陰影部分的面積  。(答案以 r 表示)

(30)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

2. 可重新點選「分割圓形為 8 等份」的勾選框。選擇其他數量的等份。藍色陰影部分的估 計面積是否與 1 相同?_______

3. 根據觀察所得,圓的面積應為 。(答案以 r 表示)

參考答案

1. 藍色陰影部分近乎平行四邊形,底長  r ,高 r 。

2. 藍色陰影部分的面積  r2 。藍色陰影部分的估計面積與 1 相同。

3. 圓的面積應為 r2

探究活動 2:

1. 請進入網頁https://www.geogebra.org/m/Hfk5waZN。

點選 Start the show!按鈕。待動畫完成至,如下圖。按 Pause。

(31)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料

2. 紅色陰影部分近乎三角形,底長  ,高  。(答案以 r 表示)

紅色陰影部分的面積  = 。(答案以 r 表示)

3. 根據觀察所得,圓的面積應為 。(答案以 r 表示)

參考答案

1. 紅色陰影部分近乎三角形,底長  2r ,高  r 。 2. 紅色陰影部分的面積  r2

3. 圓的面積應為 r2

教師注意事項:

1. 以上兩個探究活動,是讓學生直觀認識圓面積公式,而非證明。

2. 教師在介紹圓面積公式 A = r2時,須注意公式的證明並非課程所需。

3. 教師須提醒學生留意  的取值,如計算機的近似值,或為了方便計算時使用 ଶଶ 作為  的近似值。

(32)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

三、練習

1. 求下列圓形的面積。(答案以表示)

(a) 半徑 = 10 cm (b) 直徑 = 24 m

2. 已知圓形的圓周為 12 cm。

(a) 求它的半徑。

(b) 求它的面積。(答案以表示)

3. 如下圖,一個直徑為 10 m 的圓形花圃外圍被一條闊度為 1 m 的小徑環繞。求小徑的面 積。(答案以表示)

10 m

1 m

10 cm 24 m

(33)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

4. 求下列圖形中陰影部分的面積。(答案須準確至三位有效數字)

(a) (b)

(c) 正方形邊長 = 10 cm (d)

5. 偉明用一條長度為 2 m 的鐵線圍成一個半圓,如下圖。求所圍出半圓的面積。(答案須準 確至三位有效數字)

6. 一個運動場由長方形 PQRS 及兩個半圓組成,如下圖。若長方形 PQRS 的長度 PQ 為 100 m,運動場的周界為 400 m。求長方形 PQRS 的闊度 PS,及運動場的面積。(答案須 準確至三位有效數字)

7. 若將相同長度的鐵線分別圍成一個正方形及一個圓形,哪個圖形的面積較大?解釋你的 答案。

4 cm

4 cm 3 cm 16 cm

P Q

S R

100 m

(34)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料

參考答案

1. (a) 100 cm2 (b) 144 m2 2. (a) 6 cm (b) 36 cm2 3. 11 m2

4. (a) 101 cm2 (b) 18.8 cm2 (c) 21.5 cm2 (d) 9.42 cm2 5. 0.238 m2

6. PS = 63.7 m,面積 = 9550 m2 7. 圓形

(35)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

示例五︰角(度)

一、課題基本資料

學習範疇: 度量、圖形與空間 學習重點: 1. 認識「度」()。

2. 以度為單位,量度和比較角的大小。

- 使用符號「∠」命名角,諸如 ∠A 和 ∠ABC。

- 認識優角 / 反角、平角和周角。

- 使用量角器量度 360 以內的角(不包括 0 和 360)。

3. 繪畫指定大小的角。

已有知識: 學生已在 2000 年版小學數學課程學習單位 2S2「角(一)」及 3S3「角(二)」

中認識角的概念,認識直角、銳角和鈍角,亦能比較角的大小。

〔備註:部分學生可能在小學曾學習增潤項目 5M-E1「角(度)」,內容包括

- 認識「度」()。

- 使用量角器量度 0 至 360 的角。

- 用量角器繪出指定大小的角。〕

規劃建議: 教師可在初中數學科修訂課程學習單位 19「角和平行線」,或其他合適學習單 位,加入本課題的教學。

二、建議教學內容

1. 教師與學生重溫當兩直線相交於一點時,便形成角,以及直角、銳角和鈍角的概念,並 以弧「╮」來標示一般角和以符號「 」標示直角的記號。

2. 教師可在此引入角的命名方法,包括使用符號「∠」,以諸如 ∠A 和 ∠BAC 來命名下圖 的角。

3. 教師介紹角的單位是「度」,以符號「」表達。教師可考慮用量角器作解說:假設圓周可 以分成 360 個相等的部分,兩個相鄰半徑將形成 1 度角,所形成的每一部分,於圓心的 角的大小都是一度,記作 1。

4. 教師可以用度來描述三分一圓、四分一圓和六分一圓的圓心角的大小,以強化學生對度 這個單位的認識。

A

B

C

(36)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

5. 教師可進一步引導學生以度來描述銳角、直角和鈍角,繼而引入平角、優角 / 反角和周 角的名稱和概念。

銳角 直角 鈍角 平角 優角 / 反角 周角

大於 0º

且小於 90º 90º

大於 90º

且小於 180º 180º

大於 180º

且小於 360º 360º

6. 教師介紹量角器及其使用方法。學生須認識量角器的中心點,底邊和度數標記。

使用量角器量度 0 至 180 的角的步驟:

(1) 把角的頂點對齊量角器的中心點;

(2) 把量角器的底邊對齊角的其中一邊,並使用該邊所指向為 0 的那一組度數標記來 量度角的大小;

(3) 由角的另一條邊所在位置的度數標記,讀取該角的度數。如上圖,∠BAC = 38。

注意:學生亦可透過辨認所量度的角是銳角或鈍角,從而推斷出所量度角的度數的 範圍,並在兩組度數標記中選擇正確的標記。

度數標記      底邊      中心點      度數標記 

A

B

C

(37)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

7. 教師讓學生進行探究活動一(見後頁),嘗試以半圓量角器量度反角。

8. 教師介紹如何以量角器繪畫指定大小的角(0 至 180):

(1) 繪畫或找出指定角的一邊的線段;

(2) 把量角器的底邊對齊該線段,並把中心點對齊線段的端點作為角的頂點;

(3) 使用該邊所指向為零的那一組度數標記;

(4) 按指定角度的大小,在相應的度數標記位置作記號;

(5) 把角的頂點和記號連成一線,成為角的另一邊;

(6) 標記該角,並寫上角度。

9. 教師讓學生進行探究活動二(見後頁),嘗試以半圓量角器繪畫反角。

(38)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

探究活動一

以量角器量度下列各題中所示的角的大小,把結果填寫於橫線上及標示於圖上。

1.

∠ABC = ______________

2. (a) 量度 ∠ABC

∠ABC = ______________

(b) 反角 ABC = __________

3.

反角 PQR = __________

4.

反角 ABC = __________

探究活動二

以量角器繪畫下列各題中所要求的角,並在圖上標示角的大小。

1. ∠ABC = 130º 2. (a) ∠PQR = 145º (b) 反角 PQR = 215º

3. 反角 ABC = 250º 4. 反角 PQR = 300º A

B C

A

B C

Q

P

R A

B C

(39)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料

三、練習

用量角器量度以下角的大小,在圖中標示角的大小,並填寫角的大小和類別。

圖 像 角 的 大 小 角 的 類 別

1.

∠AOB = ______

銳 角 / 直 角 / 鈍 角 / 平 角 / 反 角 / 周角

2.

∠ABC = ______

∠BAC = ______

∠ACB = ______

___________

___________

___________

3. 量度三角形各頂點的角(自行用字母命名頂 點)

______________

______________

______________

___________

___________

___________

4. 量度三角形各頂點的角(自行用字母命名頂

點) 按角的大小,由

小至大排列 ______________

______________

______________

______________

______________

______________

5. 繪畫指定大小的角。

∠PQR = 210 _____________

A

B O

A

B C

(40)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料

參考答案

探究活動一

以量角器量度下列各題中所要求的角的大小,把結果填寫於橫線上及標示於圖上。

1.

∠ABC = _____ 110º _____

2. (a) 量度 ∠ABC

∠ABC = _____ 80º _____

(b) 反角 ABC = ___ 280º ___

3.

反角 PQR = _____ 240º _____

4.

反角 ABC = _____ 320º _____

探究活動二

以量角器繪畫下列各題中所要求的角,須標示角的大小於圖上。

1. ∠ABC = 130º 2. (a) ∠PQR = 145º (b) 反角 PQR = 215º

3. 反角 ABC = 250º 4. 反角 PQR = 300º 80º

240º

250º

130º

300º 110º

A

B C

320º

215º A

B C

Q

P

R A

B C

A

B C

B

A

C

145º Q

P

R

Q

P

R

(41)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

練習︰

用量角器量度以下角的大小,在圖中標示角的大小,並填寫角的大小和類別。

角 角 的 大 小 角 的 類 別

1.

∠AOB = 30

銳 角 /直 角/ 鈍 角/平 角/ 反 角/周角

2.

∠ABC = 90

∠BAC = 53

∠ACB = 37

直角 銳角 銳角 3. 量度三角形各頂點的角(自行用字母命名頂

點)

∠ABC = 50

∠BCA = 60

∠CAB = 70

銳角 銳角 銳角

4. 量度三角形各頂點的角(自行用字母命名頂

點) 按角的大小,由

小至大排列

∠BCA = 20

∠CAB = 40

∠ABC = 120

銳角 銳角 鈍角 5. 繪畫指定大小的角。

∠PQR = 210 反角 A

B O

A

B C

A

B C

30

A

B C

210

P

Q R 90 37

53

70

60 50

120

40

20

(42)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料

示例六︰圓形圖

一、課題基本資料 學習範疇: 數據處理

學習重點: 1. 認識圓形圖。

2. 闡釋圓形圖。

- 學生不須自行量度圓形圖中的圓心角以進行計算。

- 教師可讓學生運用資訊科技製作圓形圖。

已有知識: 學生應已透過過渡期學與教材料,學習「角(度)」。

規劃建議: 教師可在初中數學科修訂課程學習單位 29「數據的表達」,或其他合適學習單 位,加入本課題的教學。

〔備註 1:小學數學科修訂課題有關圓形圖的學習重點雖然只要求學生闡釋涉 及簡單計算的圓形圖,例如每個扇形的圓心角須為 30º 或 45º 的倍數,但學 生在第三學習階段應能處理較複雜的情況。因此,此教材並無依照上述限制,

唯教師在教學時可先由較簡單的圓形圖開始。〕

〔備註 2:學生在圓形圖對扇形、圓心角等概念的認識可暫時停留在直觀層面 上,因此在教學安排上,本課題並非必須安排在學習重點 16.2 之後。〕

二、建議教學內容

1. 教師介紹圓形圖是其中一種常用的統計圖,用以表達各項數據佔整體的多少,其形狀為 圓形,用各個扇形代表對應的各項數據。每個扇形之上或旁邊一般會標示數據所對應的 項目及其佔整體的百分比(如下圖 *)。

* 取自 https://www.ird.gov.hk/dar/2012-13/tc/assessing_figure6.html

(43)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料 

在教學時我們亦可能在圓形圖中標示各扇形的圓心角而非百分比。每項數據佔整體的百 分比與代表該數據的扇形之圓心角成比例,例如佔整體 25% 的數據,其扇形的圓心角 亦為一周角的 25%(即 360º × 25% = 90º)。以下算式可用作求代表該項目的扇形之圓心 角:

圓心角 = 360º × 項目所佔的百分比 = 360º × 項目的頻數 總頻數

2. 教師可讓學生運用資訊科技製作圓形圖。教師亦可介紹以紙筆製作簡單圓形圖的步驟:

步驟 (1):計算各項數據佔整體的百分比及對應扇形的圓心角。

步驟 (2):繪畫圓形,並按各扇形的圓心角把圓形分割。

步驟 (3):標示各扇形所代表的項目及對應的百分比(或圓心角)。

步驟 (4):寫出圓形圖的標題。

3. 教師讓學生進行探究活動一(見後頁),製作圓形圖以顯示聖誕節聯歡活動經費的分配,

並且與同學作課堂討論。

4. 教師讓學生進行探究活動二(見後頁),討論日常生活中圓形圖的應用。教師可進一步闡 釋圓形圖,與學生討論使用圓形圖的優點和缺點,例如能藉由扇形的大小直觀地顯示不 同項目所佔比例、項目太多時難以顯示不同項目所佔比例等。

(44)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料

探究活動一

1. 假設班會預算用 $720 的班會費作為聖誕節聯歡活動的經費,你認為應如何使用?試以下 列 5 個項目(食物費用、飲品費用、獎品、場地佈置和其他雜項)來描述你的意見,並填 寫下表。

項目 金額 所佔比例

(準確至一位小數)

圓心角

(準確至整數)

1 食物費用 2 飲品費用 3 獎品 4 場地佈置 5 其他雜項

總開支: $720 100% 360º

2. 根據上表,利用量角器,以圓形圖顯示你的意見。

3. 與同學交換大家的圓形圖,並從圓形圖中討論經費應主要花在哪些項目上。

(45)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料

探究活動二

下列圓形圖是 2018-19 年度財政預算案所預算的政府總開支。

1. 求 x 的值。

2. 若教育的開支為 1100 億元,則 2018 – 19 年度政府總開支是多少億元?社會福利的開支 又是多少億元?

解:

經濟 4% 環境及食物 5%

保安 10%

衛生 14%

基礎建設 15%

其他 16%

社會福利 x %

教育 20%

2018-19 年度政府總開支

(46)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料

經濟 4% 環境及食物 5%

保安 10%

衛生 14%

基礎建設 15%

其他 16%

社會福利 x %

教育 20%

2 0 1 8 - 1 9 年 度 政 府 總 開 支

參考答案

探究活動一 (開放題)

1. 假設班會預算用 $720 的班會費作為聖誕節聯歡活動的經費,你認為應如何使用?試以下 列 5 個項目(食物費用、飲品費用、獎品、場地佈置和其他雜項)來描述你的意見,並填 寫下表。

項目 金額 所佔比例

(準確至一位小數)

圓心角

(準確至整數)

1 食物費用(例如) $360 $360

$720 × 100% = 50% 360 º× 50% = 180º 2 飲品費用

3 獎品 4 場地佈置 5 其他雜項

總開支: $720 100% 360º

探究活動二 1. 因為全部項目的總百分數是 100 %

20% + 4% + 5% + 10% + 14% + 15% + 16% + x % = 100%

x % + 84% = 100%

x % = 16%

x = 16 2. 設 2018 – 19 年度政府總開支為 y 億元。

y × 20% = 1100 y = 5500

∴ 2018 – 19 年度政府總開支為 5 500 億元。

社會福利的開支:

5500 × 16%

= 880

∴ 2018 – 19 年度政府的社會福利開支為 880 億元。

教師注意事項:

1. 本學與教材料主要針對製作和闡釋圓形圖,有關選用適當的統計圖表達數據屬初中數學 科修訂課程學習單位 29「數據的表達」的學習重點。

2. 教師可向學生解釋利用量角器作圓形圖時,圓心角的準確度一般只可準確至整數,因此 在計算圓心角的總和時有機會要取近似值,令圓心角的近似值總和不一定是 360º,從而 指出運用資訊科技製作圓形圖可更準確表達數據的優點。

(47)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料

三、練習題

1. 根據 2018 – 19 年度財政預算案中政府總收入的資料來填寫下表。

項目 金額(億元) 所佔比例

(準確至一位小數)

圓心角

(準確至整數)

1 利得稅 1,600

2 薪俸稅 500

3 印花稅 1,000

4 投資收入 400

5 地價收入 1,200 6 其他收入 1,300

總收入: $6,000(億元) 100% 360º

2. 根據上表,利用資訊科技或量角器製作 2018 – 19 年度財政預算案中政府總收入的圓形圖。

(48)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料

參考答案

1. 根據根據 2018 – 19 年度財政預算案中政府總收入的資料來填寫下表。

項目 金額(億元) 所佔比例

(準確至一位小數)

圓心角

(準確至整數)

1 利得稅 1,600 1600

6000 × 100% = 26.7% 360º× 26.7% = 96º

2 薪俸稅 500 500

6000 × 100% = 8.3% 360º× 8.3% = 30º 3 印花稅 1,000 1000

6000 × 100% = 16.7% 360º× 16.7% = 60º

4 投資收入 400 400

6000 × 100% = 6.7% 360º× 6.7% = 24º 5 地價收入 1,200 1200

6000 × 100% = 20% 360º× 20% = 72º 6 其他收入 1,300 1300

6000 × 100% = 21.7% 360º× 21.7% = 78º

總收入: 6,000(億元) 100% 360º

2. 根據上表,利用量角器或資訊科技製作 2018 – 19 年度財政預算案中政府總收入的圓形圖。

參考資料:2018 – 19 年度財政預算案 https://www.budget.gov.hk/2018/chi/index.html

利得稅 27%

薪俸稅 8%

印花稅 17%

投資收入 6%

地價收入 20%

其他收入 22%

2 0 1 8 - 1 9 年度政府總收入

(49)

初中數學修訂課程過渡期學與教材料

( 末 頁 )

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(52)

教育局數學教育組編訂 政府物流服務署印

ISBN 978-988-8370-83-2

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References

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