拋體與階梯
徐國誠
臺北市立成淵高級中學
學 過 拋 體 運 動 （projectile motion） 的 人 ， 對 於 斜 拋 石 頭 落 在 階 梯 上 的 問 題 ， 應 該 不 會 覺 得 陌 生 ， 因 為 這 是 高 中 物 理 上 課 講 解 常 見 的 例 題 ， 同 時 出 現 在 各 校 期 中 考 的 試 題 中 也 是 屢 見 不 鮮 。 但 是 這 麼 老 生 常 談 的 例 子 ， 又 有 什 麼 奇 怪 的 地 方 呢 ？ 通 常 試 題 會 給 定 初 速 和 仰 角 ， 以 及 階 梯 的 長 度 與 寬 度 ， 然 後 要 求 兩 個 問 題 ， 就 是 石 頭 打 中 第 幾 階 ， 和 何 時 擊 中 階 梯 。 對 於 後 者 ， 坊 間 的 參 考 書 籍 並 沒 有 給 予 詳 細 的 解 釋 和 說 明 ， 而 學 生 也 常 常 不 求 甚 解 地 被 動 接 受 書 中 的 計 算 過 程 ， 其 中 能 夠 提 出 切 要 問 題 者 ， 更 是 少 之 又 少 。 我 們 可 以 先 看 下 面 的 例 子 ： 一 小 石 頭 由 階 梯 底 端 ， 以 5.0 公尺 ／ 秒 的 速 度 ， 仰 角 53°斜 向 拋 出 。 已 知 每 一 級 階 梯 的 高 度 為 10 公分、寬 度 為 20 公 分。 若 重 力 加 速 度 g = 10 公 尺 ／ 秒 2， 則 ： （1） 小 石 頭 第 一 次 落於 階 梯 的 哪一 階 ？ （2） 擊 中 階 梯 需 時 若干 ？ 首 先 我 們 要 知 道 階 梯 的 階 數 是 如 何 定 義 的 。 直 覺 上 階 數 就 像 是 疊 磚 塊 一 樣 ， 地 面 階 數 為 零 ， 往 上 依 次 加 1， 如 同圖 一 (a)所示；不 過 本 文為 了 計 算 上 的方 便，採 用 地 面 階 數 為 1， 如同 圖 一(b)的 定 義 。 當 然 真 正 重 要 的 是 石 頭 到 底 擊 中 哪 一 階 ， 而 不 是 階 數 的 定 義 。 一 般 對 於 這 個 問 題 的 解 法 ， 實 際 上 都 有 瑕 疵 ， 最 常 見 的 解 法 如 下 ： 設 小 石 頭 能 擊 中 第 n 階 ， 則 = − ° = = ° = n gt t y n t x 10 . 0 2 1 53 sin 0 . 5 20 . 0 53 cos 0 . 5 2 兩 式 相 除 ， 得 t = 0.50 秒 ， 再 代 回上 面 其 中 一 式 ， 求 得 n = 7.5 於 是 n 取 第 8 階 ， 代 回 第 一 式 ， 因此 小 石 頭 擊 中 階 梯 的 時 間 為 秒 15 8 = t 地面 地面 0 5 4 3 1 2θ
0 v 4 3 1 2θ
0 v (a) (b) 圖 一 階 梯 階 數 的 兩 種 不 同 定 義 。 以 上 的 解 法 都 可 以 在 各 種 參 考 書 籍 中 找 到 ， 而 且 幾 乎 每 一 本 都 大 同 小 異 。 這 裡 不 免 有 些 疑 問 出 現 ， 第 一 ， 解 出 擊 中 第8 階 後 ， 為 何 要 代 回 第 一 式 而 不 是 第 二 式 ？ 第 二 ， 從 聯 立 方 程 式 中 解 出 時 間 為 0.50 秒，但 是最 後 的 答 案 卻 是 15 8 秒，當 然 這 裡 也 可 以 說 明 是 因 為 聯 立 方 程 式 假 設 的 n 為 整 數 ，但 方 程 式 解 出 之 後 並 非 整數 ， 因 此0.50 秒 不 是 正 確 解 。 可 是 若 把 n = 8 代 回 第 二 式 ， 得 出 的 答 案 卻 又 是 另 外 一 個 ， 為 5 2 秒 ， 又 該 如 何 解 釋 這 個 解 是 否 也 是 正 確 答 案 呢 ？ （ 當 然 正 確 答 案 只 有 一 個 ， 因 為 不 可 能第 一 次擊 中 同 一 階 而 出 現 兩 個 不 同 的 時 間 ） 其 實 ， 到 底 要 代 回 第 一 式 還 是 代 回 第 二 式 ， 需 視 小 石 頭 擊 中 階 梯 的 水 平 面 還 是 鉛 直 面 。 例 如 圖 二 擊 中 第 5 階 ， 若是 擊 中 階 梯 的 時 候 ， 小 石 頭 仍 在 上 升 途 中 ， 則 一 定 是 擊 中 階 梯 的 鉛 直 面（ 如 軌 跡Z）；假 如 是 在 小 石 頭 下 降 途 中 擊 中 階 梯 ， 那 麼 擊 中 階 梯 的 水 平 面 或 是 鉛 直 面 都 有 可 能 （ 如 軌 跡XY）。因 此，若 是 石 頭 鉛 直 方 向 的 末 速 小 於 零 ， 則 我 們 就 無 法 判 斷 小 石 頭 是 擊 中 哪 一 面 ； 而 不 知 道 擊 中 哪 一 面 ， 也 勢 必 無 法 求 得 石 頭 擊 中 階 梯 的 正 確 時 間 。 為 了 避 免 尚 未 知 道 擊 中 階 梯 的 時 間 ， 反 而 利 用 時 間 去 解 石 頭 擊 中 第 幾 階 的 矛 盾 作 法 ， 我 們 可 以 利 用 拋 物 線 的 軌 跡 方 程 式 ， 與 階 梯 的 直 線 方 程 式 求 聯 立 解 ， 如 圖 三 。 不 過 這 裡 要 先 說 明 的 是 ， 前 面 的 解 法 也 沒 有 錯 ， 事 實 上 ， 用 軌 跡 方 程 式 的 方 法 求 擊 中 第 幾 階 ， 與 之 前 的 解 法 是 完 全 相 同 的 ， 只 不 過 軌 跡 方 程 式 可 以 將 時 間 的 因 素 暫 時 隱 藏 起 來 。 5 4 3 2 1
X
Z
Y
圖 二 小 石 頭 擊 中 階 梯 的 可 能 方 式 示 意 圖 。 (0,0) x h y l = 0 v l h θ 2 2 2 0 cos 2 tan x v g x y θ θ⋅ − = 圖 三 拋 物 線 的 軌 跡 方 程 式 ， 與 階 梯 的 直 線 方 程 式 求 聯 立 解 。 於 是 我 們 假 設每 一 級 階 梯 的 高 度 為 h， 寬 度 為 l， 以 拋 射 點 為 平 面 座 標 的 原 點 ， 且 斜 向 拋 射 的 初 速 為v0，仰 角 為θ， 則 通 過 每 一 級 階 梯 右 上 角 連 線 的 方 程 式 為 x h y l = (1) 另 外 斜 拋 的 軌 跡 方 程 式 為 2 2 2 0 cos 2 tan x v g x y θ θ⋅ − = (2)將 第(1)式 代 入 第(2)式，得 到 直 線 與 拋 物 線 的 交 點x座 標 為 ) cos (sin cos 2 02 l θ θ θ h g v x= − 再 將 上 式 與 階 梯 的寬 度l 相 除 ， 看 它 落 在 哪 一 階 的 範 圍 ， 便 可 知 其 擊 中 的 階 數 。 設 x 與 l 的比值為n0， 取n 的 高 斯 值0 再 加1， 就 是 石 頭 擊 中 的 階 數 了 ， 因 此 1 ] [ 0 + = n n (3) 若 是n0本 身 即 為 整 數，那 麼 n 的 值 是 0 n 或 是 n0+1， 基 本 上 並 沒 有 差 別 ， 因 為 第 n 階 的尾 端 就 是 第 n + 1 階 的 開 頭 ， 因 此n0為 整 數 的 級 數，可 以 說 是 第n0階，也 可 以 說 是 第n0+1階 。 而 上 面 所 述 的n 為0 ) cos (sin cos 2 02 0 l l l θ θ θ h g v x n = = − (4) 至 於 石 頭 擊 中 階 梯 的 時 間 ， 我 們 可 以 分 別 討 論 擊 中第 n 階的 水 平 面 與 鉛 直 面 的 可 能 性 。 首 先 假 設 石 頭 是 擊 中第 n 階的 水 平 面，則 由 圖 一(b)可 知，石 頭 在 鉛 直 方 向 的 位 移 為(n−1)h， 則 由 等 加 速 度 公 式 2 0sin 21 ) 1 (n− h=v θ⋅t− gt 上 式 t的 一 元 二 次 方 程 式 解 為 − − ± = θ θ 2 2 0 0 sin ) 1 ( 2 1 1 sin v gh n g v t (5) 由 上 式 可 知，通 過 高 度(n−1)h的 時 間 有 兩 個 ， 一 個 在 上 升 途 中 ， 另 一 次 在 下 降 途 中 。 但 是 從 圖 二 中 可 以 知 道 ， 擊 中 階 梯 的 水 平 面 ， 一 定 是 當 石 頭 正 在 下 降 的 途 中 ， 因 此 我 們 必 須 取 時 間 較 長 的 答 案 （ 取 正 ）， 才 會 符 合 實 際 情 況 。 接 著 將 時 間 t 代 入 斜 向 拋 射 的 水 平 方 向 位 移x： − − + = ⋅ = θ θ θ θ 2 2 0 2 0 0 sin ) 1 ( 2 1 1 cos sin cos v gh n g v t v x (6) 假 如 石 頭 確 定 是 落 在第 n 階 的 水 平面 上，那 麼 第(6)式 的 x 必 須 符 合 底 下的 條 件 l l x n n−1) ≤ ≤ ( (7) 可 是 如 果 石 頭 是 擊 中第 n 階 的 鉛 直面 上，那 麼 第(6)式 的 x 就 會 跑 出 第(7)式 的 範 圍 之 外 ， 同 時 也 會 大 於 n ， 如 圖 四 (a)所l 示 。 第n階 (a) (b) 第n階 l n 水平方向位移大於 h n 1) ( − 鉛直方向位移小於 圖 四 當 假 設 情 況 與 實 際 不 符 合 時 的 位 移 情 形 。 另 外 ， 假 設 石 頭 是 擊 中第 n 階的鉛 直 面 上，則 由 圖 一(b)可 知，石 頭 在水 平方 向 的 位 移 為nl，由 於 斜 向 拋 射 的 水 平 速 度 為 定 值 ， 因 此 t v nl= 0cosθ⋅
θ cos 0 v n t= l (8) 將 上 式 中 的 時 間 t 代 入 斜 向 拋 射 的鉛 直 方 向 位 移y： θ θ θ 2 2 0 2 2 2 0 cos 2 tan 2 1 sin v gn n gt t v y l l − = − ⋅ = (9) 如 果 確 定 是 落 在第 n階 的 鉛 直 面 上 ， 那 麼 第(9)式 中 的 y也 須 符 合 nh y h n−1) ≤ ≤ ( (10) 但 若 是 實 際 情 況 為 擊 中 第 n階 的 水 平 面 ， 則 第(9)式 的 y 就 不 符 合 第(10)式 的 範 圍 ， 同 時 也 會 小 於(n−1)h， 如 圖 四(b)所 示 。 以 這 一 題 為 例，先 從 第(4)式 求 出n0的 值， 以 求 得 石 頭 擊 中 第 幾 階 ， 5 . 7 ) 20 . 0 5 3 10 . 0 5 4 ( 20 . 0 10 5 3 25 2 0 = × − × × × = n 所 以 擊 中 的 階 數 n 為 8 1 ] 5 . 7 [ + = = n 而 從 第(6) 式 與 第 (7) 式 可 以 判 斷 石 頭 是 否 擊 中 第8 階 的 水 平 面，第(6)式 的 x 化 簡 為 2 30 . 0 2 . 1 + = x 其 值 會 大 於 1.6 公 尺 ， 已 經 超 出第 8 階 水 平 位 移 的 範 圍 了 （ 第 8 階 水 平位 移 的 範 圍 介 於 1.4 至 1.6 公尺 之 間）。 由 此 可 知 ， 石 頭 應 該 是 擊 中 第8 階 的 鉛 直面 。 不 過 我 們 還 是 從 第(9)式 與 第 (10)式 判 斷 石 頭 是 否 真 的 擊 中 鉛 直 面，從 第(9)式 求 得 鉛 直 方 向 位 移 大 約 為 0.71 公 尺，這 個 值 剛 好 就 落 在 第(10)式 的 0.70 和 0.80 公 尺 之 間，就 如 我 們 所 判 斷 的 ， 石 頭 是 擊 中 第 8 階的 鉛 直 面 。從 這 裡 就 可 以 確 定 擊 中 階 梯 的 時 間 了，因 此 根 據 第(8)式，石 頭 擊 中 第 8 階 的 時 間 為 15 8 5 3 0 . 5 20 . 0 8 = × × = t 秒 而 這 個 答 案 與 之 前 計 算 所 得 者 相 同 ， 唯 一 不 同 的 是 ， 後 者 有 經 過 較 嚴 密 的 假 設 與 判 斷 。 假 如 我 們 把 初 速 改 為 10 公 尺 ／ 秒 ， 其 餘 條 件 不 變，那 麼 從第(4)式 可 得 到n0恰 好 等 於 30，於 是 我 們 可 以 這 麼 說，石 頭 打 中 的 是 第 30階 的 鉛 直 面，也 可 以 說 打 中 的 是 第31階 的 水 平 面，而 石 頭 擊 中 階 梯 的 時 間 ， 從 第(5)式 的 n = 31 或 第(8)式 的 n = 30， 都 可 以 得 出 t = 1.0秒 的 答 案 。 接 下 來 ， 我 們 再 把 這 個 例 子 延 伸 出 去 。 一 般 的 斜 向 拋 射 如 果 拋 射 點 與 落 地 點 在 同 一 高 度 ， 則 拋 射 角 在 45°時 可 以 拋 得 最 遠 ， 那 麼 在 這 個 例 子 裡 面 ， 我 們 應 該 以 多 少 的 拋 射 角 ， 才 可 以 將 石 頭 拋 上 最 大 的 階 數 呢 ？ 我 們 可 以 先 從 第(4)式 求 出n0的 最 大 值，當n0有 最 大 值 時，就 代 表 所 拋 上 的 階 數n 也 有最 大 值 。 假 設 連 接 階 梯 的 直 線 斜 率 為tanφ，其 值 為 l h ， 則 將n0改 寫 成
) cos tan 2 sin 2 1 ( 2 ) cos tan cos (sin 2 2 2 0 2 2 0 0 θ φ θ θ φ θ θ − = − = l l g v g v n (11) 將n0對θ微 分， 並 令 其 值 為 零 ， 因 此 0 2 sin tan 2 cos θ+ φ θ= 0 sin 2 sin cos 2 cos + = ∴ θ φ θ φ 利 用 和 角 公 式 得 到 0 ) 2 cos( θ−φ = 由 於 拋 射 角θ介 於 0 至 90°之 間，而φ 也 大 於 零 ， 所 以 從 上 式 可 以 知 道 ° = − 90 2θ φ φ θ 2 1 45°+ = (12) 從 上 式 可 以 了 解 ， 在 一 斜 角φ的 階 梯 上 斜 拋 一 物 ， 欲 使 物 體 第 一 次 落 下 時 有 最 大 位 移 ， 其 拋 射 角 應 等 於 一 般 斜 拋 的 45° 再 加 上 階 梯 斜 角 的 一 半 。 以 本 題 為 例 ， 階 梯 斜 角 為 ° ≈ =tan−10.50 26 φ 從 第(12)式 可 以 得 到 石 頭 欲 拋 上 最 大 階 數 時 的 拋 射 角 為 ° = ° × + ° = 26 58 2 1 45 θ 將 θ=58° 代 回 第 (4) 式 求 n ， 而0 85 . 0 58 sin °= 、cos58°=0.53， 所 以 7 . 7 0 = n 表 示 其 所 拋 上 去 的 階 數 仍 然 是 第 8 階。當 然 影 響n0的 值 不 只 是 拋 射 角 和 階 梯 斜 角，還 包 括 石 頭 的 初 速v 以 及 階 梯的 寬0 度 l 。 圖 五 是 例 題 中 的n0與 拋 射 角θ的 關 係 曲 線， 從 圖 中 可 發 現 石 頭 拋 上 的 階 數 最 大 值 就 是 8， 而 階 數 為 8 的 拋 射 角 範 圍 大 約 從49°至 67°之 間 。 30 40 50 60 70 80 90 θ 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
n
0 (58 , 7.7) (degree) 0 圖 五 例 題 中 的n0與 拋 射 角θ 的 關 係 曲 線 。 最 後 把 第(12)式 代 回 第(11)式，也 就 是 以 階 梯 斜 角φ為 變 數 ， 其 餘 條 件 不 變 ， 視 其 n0與φ的 變 化 關 係 ， 此 時 我 們 以 符 號 max 0) (n 代 替n0，因 為 這 是 具 有 最 大 階 數 的 0 n 。 化 簡 後的(n0)max為 ) tan (sec ) ( 2 0 max 0 = φ− φ l g v n (13) 圖 六 是 例 題 中 的(n0)max與 階 梯 斜 角φ 的 關 係 曲 線 。 從 曲 線 可 以 看 出 ， 若 將 初 速 和 階 梯 寬 度 固 定 ， 則 階 梯 斜 角 愈 小 時 ， 石 頭 拋 上 階 梯 的 階 數 就 愈 大 。 圖 中φ=0時 ， 5 . 12 ) (n0 max = ， 表 示 其 走 過 的 階 數 是 12.5 階，而 每 一 階 的 寬 度 是 0.20公 尺，因 此 石 頭 飛 行 的 距 離 為 x = 12.5 × 0.20 = 2.5 公 尺 而 這 正 是 一 般 斜 向 拋 射 的 最 大 水 平 射 程R，5 . 2 45 cos 45 sin 2 02 ° °= 02 = = g v g v R 公 尺 。 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 φ 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0
