群

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群

bee

*

108.03.11 ∼ 108.03.11

簡易介紹

1. 基本定義

設 G 是一個集合，有一個二元運算 (binary operator) •_{: G}× G → G，即 ∀a, b ∈ G, a · b ∈ G (1) 我們有底下的定義： 1.【結合律】：(a_{· b) · c = a · (b · c) semigroup} 2.【單位元素】：a· e = e · a = a    monoid 3.【反元素】：a· a−1= a−1· a = e          group 4.【交換律】：a· b = b · a                abelian group

2. 名詞解釋

• binary operator: 二元運算，表示封閉性的意思。 • semigroup: 半群。有結合律就稱為半群，好像有半群專門的理論。 • monoid：么半群。有單位元素的半群，mono 是有單位元素的意思。monoid 的理論好像很重要。 • group：就是主角【群】。

• abelian group：交換群。一般寫成 commutative group。abelian 是紀念數學家 Niels Henrik Abel (1802∼ 1829)。

*_{bee 美麗之家: http://www2.chsh.chc.edu.tw/bee}

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3. 例子

• 整數群 (Z, +): 群最直接的例子就是整數群，其運算採用加法。於是單位元素是 0，a 的反元素

是_{−a，這是一個 abelian group。}

• 整數乘法么半群 (Z×,×): 必須把 0 去掉，1 是單位元素，沒有反元素。 • 矩陣非交換群 (GLn(R), ·)：運算是矩陣乘法，可簡單記為 GLn(R)。為了要有反元素，所以得 要求 det M _{̸= 0，其中 M ∈ GL}n(R)。單位元素是單位矩陣，矩陣的乘法沒有交換律。 • 實數乘法交換群 (R×,×)：去掉 0，因為 0 沒有乘法反元素。這是很棒的交換群。

4. 循環群

因為把元素反覆做運算都會是群裡的元素，於是如果把運算看成乘法，則 ⟨g⟩ = {gk_{, k} _{∈ Z}} ={· · · , g−2, g−1, e, g, g2,· · ·} 會形成一個群。這一個想法很自然，顯而易見⟨g⟩ 和 Z 有相同的結構，如果 ⟨g⟩ 裡面的元素沒有重複，那麼， 這個群和_{Z 就是一樣的。} 當然，可能 gk _{= e，這說明}_{⟨g⟩ 的元素是有限的，老實說，如果拿 Z 中的元素來作加法，並不} 會出現這樣的事情，不過如果用【除法】來看，觀察其【餘數】，就會有這樣的情形產生，這就是有名的【同餘概念】。因此，整數群或同餘群是相當簡單且重要的群，是【循環群】，也是【交換群】。如果是【整個整數】的情形，會有無限多個元素，是無限群，而若是同餘群，則元素的個數是有限的，是【有限群】。 • 循環群的英文是 cyclic group。 • Z5 ={0, 1, 2, 3, 4}，採用加法，逢 5 變成 0。

5. 子群

設 G 是一個群，H 是 G 的子集合，H 繼承 G 的運算，如果 H 依然是一個群，那麼我們就稱 H是 G 的子群 (subset)，記為 H ≺ G。 我們希望把 G 分解，這樣可以了解 G 的結構，即 G = H1⊕ H2⊕ · · · ⊕ Hk (2) 2