参数估计

(1)

第七章·参数估计

概率论与数理统计

(2)

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基本概念

问题提出：为什么要进行参数估计？在实际问题中，总体分布一般是未知的，我们常常事先假定总体分布的类型，再通过取样的方式估计分布中的未知参数．

(3)

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基本概念

问题提出：为什么要进行参数估计？在实际问题中，总体分布一般是未知的，我们常常事先假定总体分布的类型，再通过取样的方式估计分布中的未知参数．

(4)

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基本概念

例 1 考察某随机试验中事件 A 发生的概率．在一次 试验中事件 A 发生的次数服从参数为 p 的两点分布． 这里 p 需要通过样本进行估计． 例 2 一般假定一个城市在单位时间内发生交通事故的次数服从泊松分布 P(λ)，这里的参数 λ 需要通过观 察取样来给出．

(5)

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基本概念

例 1 考察某随机试验中事件 A 发生的概率．在一次 试验中事件 A 发生的次数服从参数为 p 的两点分布． 这里 p 需要通过样本进行估计． 例 2 一般假定一个城市在单位时间内发生交通事故的次数服从泊松分布 P(λ)，这里的参数 λ 需要通过观 察取样来给出．

(6)

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基本概念

例 3 假定某种电子元件的寿命服从参数为 λ 的指数 分布，这里 λ 为待定参数．例 4 假定某城市居民的收入服从正态分布 N(μ,σ2)， 这里 μ 和 σ2 _{的具体值都需要取样估计．}

(7)

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基本概念

例 3 假定某种电子元件的寿命服从参数为 λ 的指数 分布，这里 λ 为待定参数．例 4 假定某城市居民的收入服从正态分布 N(μ,σ2)， 这里 μ 和 σ2 _{的具体值都需要取样估计．}

(8)

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基本概念

例 5 假定中国 20-30 岁人群的身高、体重服从二维正态分布 N(μ1,μ2,σ₁2,σ₂2,ρ), 分布中 5 个参数都需要通过抽取样本然后用统计量近似估计．

(9)

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点估计之矩估计

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第一节

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点估计之极大似然估计

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第二节

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估计量的优良性准则

.

第三节

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单个正态总体的区间估计

.

第四节

.

两个正态总体的区间估计

.

第五节

(10)

.

矩估计

矩估计是基于“替换”的思想给出的一种参数估计方法．最早由英国统计学家皮尔逊 (K. Pearson) 提出．

(11)

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矩估计

矩估计是基于“替换”的思想给出的一种参数估计方法．最早由英国统计学家皮尔逊 (K. Pearson) 提出．

(12)

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矩估计

对总体 X，其 m 阶原点矩为 αm := E(Xm). 对样本 X1,X2,· · · ,Xn，其 m 阶样本原点矩为 Am := 1 n n ∑ =1 Xm_ = X m 1 + X m 2 + · · · + X m n n .

(13)

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矩估计

对总体 X，其 m 阶原点矩为 αm := E(Xm). 对样本 X1,X2,· · · ,Xn，其 m 阶样本原点矩为 Am := 1 n n ∑ =1 Xm_ = X m 1 + X m 2 + · · · + X m n n .

(14)

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矩估计

矩估计的理论基础：因为 X1,X2,· · · ,Xn 是独立同分 布的，故 Xm 1 ,X m 2 ,· · · ,X m n 也是独立同分布的，且 E(Xm₁ ) = E(Xm₂ ) = · · · = E(Xm_n ) = αm. 由大数定律知，当 n 趋于无穷时， Am = 1 n n ∑ =1 Xm  P −→ αm.

(15)

.

矩估计

矩估计的理论基础：因为 X1,X2,· · · ,Xn 是独立同分 布的，故 Xm 1 ,X m 2 ,· · · ,X m n 也是独立同分布的，且 E(Xm₁ ) = E(Xm₂ ) = · · · = E(Xm_n ) = αm. 由大数定律知，当 n 趋于无穷时， Am = 1 n n ∑ Xm  P −→ αm.

(16)

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矩估计

矩估计：设总体分布中有 k 个待定参数 θ1,θ2,· · · ,θk. 总体 X 的 m 阶原点矩为 θ1,θ2,· · · ,θk 的函数，记为 αm = αm(θ1,θ2,· · · ,θk).

(17)

.

矩估计

矩估计（续）：令总体的前 k 阶原点矩分别与同阶的样 本原点矩相等，这样就得到了一个 k 元方程组    α1(θ1,θ2,· · · ,θk) = A1 α2(θ1,θ2,· · · ,θk) = A2 · · · · αk(θ1,θ2,· · · ,θk) = Ak 记方程组的解为 ˆθ1, ˆθ2, · · · , ˆθk，用它们作为参数 θ1, θ2, · · · , θk 的估计量．这样的估计称为矩估计．

(18)

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矩估计

矩估计（续）：令总体的前 k 阶原点矩分别与同阶的样 本原点矩相等，这样就得到了一个 k 元方程组    α1(θ1,θ2,· · · ,θk) = A1 α2(θ1,θ2,· · · ,θk) = A2 · · · · αk(θ1,θ2,· · · ,θk) = Ak 记方程组的解为 ˆθ1, ˆθ2, · · · , ˆθk，用它们作为参数 θ1,

(19)

.

矩估计

例子当总体中只 · 有· 一· 个· 参· 数· 时· ，矩估计即是用样本均值估计总体期望．例 1 在对事件 A 进行 n 次独立重复观测中，得到记 录 X1,X2,· · · ,Xn，其中 X 表示第  次试验中事件 A 发生的次数．试估计事件 A 发生的概率 p．

(20)

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矩估计

例子当总体中只 · 有· 一· 个· 参· 数· 时· ，矩估计即是用样本均值估计总体期望．例 1 在对事件 A 进行 n 次独立重复观测中，得到记 录 X1,X2,· · · ,Xn，其中 X 表示第  次试验中事件 A 发生的次数．试估计事件 A 发生的概率 p．

(21)

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矩估计

例 2 设总体 X 服从参数为 λ 的泊松分布 P_(λ)， X1,X2,· · · ,Xn 为 X 的随机样本，求 λ 的矩估计． 例 3 设总体 X 服从参数为 λ 的指数分布 EP_(λ)， X1,X2,· · · ,Xn 为 X 的随机样本，求 λ 的矩估计．

(22)

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矩估计

例 2 设总体 X 服从参数为 λ 的泊松分布 P_(λ)， X1,X2,· · · ,Xn 为 X 的随机样本，求 λ 的矩估计． 例 3 设总体 X 服从参数为 λ 的指数分布 EP_(λ)， X1,X2,· · · ,Xn 为 X 的随机样本，求 λ 的矩估计．

(23)

.

矩估计

例子当总体中有两 · 个· 或· 以· 上· 的· 参· 数· 时· ，总体期望与方差的矩估计分别为 ˆ μ= X, σˆ2 = 1 n n ∑ =1 (X − X)2. 例 4 对正态总体 N_(μ,σ2)，两个参数的矩估计即为上式．

(24)

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矩估计

例子当总体中有两 · 个· 或· 以· 上· 的· 参· 数· 时· ，总体期望与方差的矩估计分别为 ˆ μ= X, σˆ2 = 1 n n ∑ =1 (X − X)2. 例 4 对正态总体 N_(μ,σ2)，两个参数的矩估计即为上式．

(25)

.

矩估计

例 5 对区间 _[,b] 上的均匀分布总体 X，求  和 b

(26)

.

矩估计

例 6 设总体 X 的分布律为 X −1 0 1 P θ2 2θ(1 − θ) (1 − θ)2 其中 θ _{∈ (0},1)．利用 X 的一组样本值 (1,2,3) = (−1,0,−1)，求 θ 的矩估计． · · · ·θˆ= 5₆ 即我们估计出来的总体分布为 X −1 0 1 P 25/ 36 10/ 36 1/ 36

(27)

.

矩估计

例 6 设总体 X 的分布律为 X −1 0 1 P θ2 2θ(1 − θ) (1 − θ)2 其中 θ _{∈ (0},1)．利用 X 的一组样本值 (1,2,3) = (−1,0,−1)，求 θ 的矩估计．· · · ·θˆ= 5₆ 即我们估计出来的总体分布为 X −1 0 1 P 25/ 36 10/ 36 1/ 36

(28)

.

矩估计

例 6 设总体 X 的分布律为 X −1 0 1 P θ2 2θ(1 − θ) (1 − θ)2 其中 θ _{∈ (0},1)．利用 X 的一组样本值 (1,2,3) = (−1,0,−1)，求 θ 的矩估计．· · · ·θˆ= 5₆ 即我们估计出来的总体分布为 X −1 0 1

(29)

.

矩估计

练习 1 设总体 X 的分布律为 X 1 2 3 P ₂θ θ₂ 1− θ 其中 θ _{∈ (0},1)．现抽取 4 个样本观察得 1 = 2, 2 = 1, 3= 2, 4 = 3. 求 θ 的矩估计．

(30)

.

矩估计

矩估计的优点 1 思路直观，简单易行 2 不需要事先知道总体是什么分布矩估计的缺点 1 矩的选取比较随意，在选取不同的组合时，得到的估计量也不同 2 当总体的分布类型已知时，未充分利用分布所提供的信息．

(31)

.

矩估计

矩估计的优点 1 思路直观，简单易行 2 不需要事先知道总体是什么分布矩估计的缺点 1 矩的选取比较随意，在选取不同的组合时，得到的估计量也不同当总体的分布类型已知时，未充分利用分布所提

(32)

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点估计之矩估计

.

第一节

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点估计之极大似然估计

.

第二节

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估计量的优良性准则

.

第三节

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单个正态总体的区间估计

.

第四节

.

两个正态总体的区间估计

.

第五节

(33)

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极大似然估计

思路：样本 X1,X2,· · · ,Xn 经具体抽样所得的观察值 1,2,· · · ,n 应当是最可能出现的数值．方法：在已知分布类型的情况下，求参数使得事件 {X1 = 1,X2 = 2,· · · ,Xn = n} 对应的概率（离散型）或者概率密度（连续型）达到最大值．

(34)

.

极大似然估计

思路：样本 X1,X2,· · · ,Xn 经具体抽样所得的观察值 1,2,· · · ,n 应当是最可能出现的数值．方法：在已知分布类型的情况下，求参数使得事件 {X1 = 1,X2 = 2,· · · ,Xn = n} 对应的概率（离散型）或者概率密度（连续型）达到最大值．

(35)

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极大似然估计

定义 1 设 X 为离散型随机变量，称函数 ƒ() = P{X = },  ∈R 为 X 的概率函数． 若离散型随机变量 X 的分布律为 P{X = }= p,  = 1,2,· · · 则其概率函数为 ƒ() = ¨ p,  = , 对某个 , 0, 其他.

(36)

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极大似然估计

定义 1 设 X 为离散型随机变量，称函数 ƒ() = P{X = },  ∈R 为 X 的概率函数． 若离散型随机变量 X 的分布律为 P{X = }= p, = 1,2,· · · 则其概率函数为 () = ¨ p,  = , 对某个 ,

(37)

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极大似然估计

设离散型总体 X 的概率函数为 ƒ_{()，则事件} {X1 = 1,X2 = 2,· · · ,Xn = n} 对应的概率为 n ∏ =1 ƒ() = ƒ (1)ƒ (2) · · · ƒ (n).

(38)

.

极大似然估计

设连续型总体 X 的概率密度函数为 ƒ_{()，则事件} {X1 = 1,X2 = 2,· · · ,Xn = n} 对应的联合概率密度为 n ∏ =1 ƒ() = ƒ (1)ƒ (2) · · · ƒ (n).

(39)

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极大似然估计

定义 设连续型（离散型）总体 X 的概率密度函数 （概率函数）为 ƒ(; θ1,θ2,· · · ,θk). 则样本 X1,X2,· · · ,Xn 在观测值 1,2,· · · ,n 处的联合概率密度（概率）为 L(1,· · · ,n; θ1,· · · ,θk) = n ∏ ₌₁ ƒ(; θ1,· · · ,θk). 将观测值 1,· · · ,n 看成固定的，将 L 看做 θ1,· · · ,θk 的函数，则该函数被称为似然函数．

(40)

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极大似然估计

定义 设连续型（离散型）总体 X 的概率密度函数 （概率函数）为 ƒ(; θ1,θ2,· · · ,θk). 则样本 X1,X2,· · · ,Xn 在观测值 1,2,· · · ,n 处的联合概率密度（概率）为 L(1,· · · ,n; θ1,· · · ,θk) = n ∏ ₌₁ ƒ(; θ1,· · · ,θk). · · · · · ·

(41)

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极大似然估计

参数的选择：哪一组参数值使得现有的样本观测值出现的可能性最大，哪一组参数就与观察结果最匹配的参数．定义如果似然函数 L(1,2,· · · ,n; θ1,θ2,· · · ,θk) 在 (θ∗ 1,θ ∗ 2,· · · ,θ ∗ k) 处达到最大值，则称上述参数为未知参数的极大似然估计．

(42)

.

极大似然估计

参数的选择：哪一组参数值使得现有的样本观测值出现的可能性最大，哪一组参数就与观察结果最匹配的参数．定义如果似然函数 L(1,2,· · · ,n; θ1,θ2,· · · ,θk) 在 (θ∗ 1,θ ∗ 2,· · · ,θ ∗ k)

(43)

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极大似然估计

求似然函数最大值点的方法： 1 若函数可微，则其在最大值点处的导数（偏导数）为零； 2 由于 ln L 与 L 同时达到最大值，且在实际应用中 常常比 L 更方便求导，故一般将问题化为求 ln L 的最大值点．

(44)

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极大似然估计

求极大似然估计的一般方法： 1 写出似然函数 L； 2 求似然函数的对数 ln L； 3 对 ln L 求导（偏导）并令导数等于零，得到似然 方程组； 4 解方程组得到 ln L 的驻点，判断该驻点是否最大 值点．

(45)

.

极大似然估计

例 1 设 X1,X2,· · · ,Xn 是抽自总体 B(1,p) 的一个随 机样本，求参数 p 的极大似然估计． 解答 由于 B₍₁,p) 是二项分布的特殊情形，得到的概率函数为 ƒ_{() = p}_{(1 − p)}1−_．结论频率是概率的极大似然估计．

(46)

.

极大似然估计

(47)

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极大似然估计

(48)

.

极大似然估计

例 2 设总体 X 服从泊松分布 P_{(λ)，求 λ 的极大似} 然估计．

(49)

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极大似然估计

例 2 设总体 X 服从泊松分布 P_{(λ)，求 λ 的极大似} 然估计．

(50)

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极大似然估计

例 3 求正态总体 N_(μ,σ2) 的参数 μ 和 σ2 的极大似 然估计（注意我们把 σ2 _{看作一个参数）．} 结论 μ∗ = X, σ2∗ = 1_n n ∑ =1 (X − X)2.

(51)

.

极大似然估计

例 3 求正态总体 N_(μ,σ2) 的参数 μ 和 σ2 的极大似 然估计（注意我们把 σ2 _{看作一个参数）．} 结论 μ∗ = X, σ2∗ = 1_n n ∑ =1 (X − X)2.

(52)

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极大似然估计

例 4 设总体 X 的分布律为 X −1 0 1 P θ2 2θ(1 − θ) (1 − θ)2 其中 θ _{∈ (0},1)．利用 X 的一组样本值 (1,2,3) = (−1,0,−1)，求 θ 的极大似然估计． · · · ·θ∗ = 5₆

(53)

.

极大似然估计

例 4 设总体 X 的分布律为 X −1 0 1 P θ2 2θ(1 − θ) (1 − θ)2 其中 θ _{∈ (0},1)．利用 X 的一组样本值 (1,2,3) = (−1,0,−1)，求 θ 的极大似然估计．· · · ·θ∗ = 5₆

(54)

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极大似然估计

练习 1 设总体 X 的分布律为 X 1 2 3 P ₂θ θ₂ 1− θ 其中 θ _{∈ (0},1)．现抽取 4 个样本观察得 1 = 2, 2 = 1, 3= 2, 4 = 3. 求 θ 的极大似然估计．

(55)

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极大似然估计

练习 2 设总体 X 的密度为 ƒ(; θ) = θθ−1, 0¶  ¶ 1 0, otherwise 其中 θ > 0．求 θ 的矩估计和极大似然估计．

(56)

.

极大似然估计

如果似然函数不可导，则只能用定义求极大似然估计．例 5 设总体 X 服从 _[,b] 上的均匀分布，求 ,b 的

(57)

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点估计之矩估计

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第一节

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点估计之极大似然估计

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第二节

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估计量的优良性准则

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第三节

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单个正态总体的区间估计

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第四节

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两个正态总体的区间估计

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第五节

(58)

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无偏性

假设 θ 为总体分布的参数，设 ˆ θ = ˆθ(X1,X2,· · · ,Xn) 是 θ 的一个估计．如果对 θ 的一切可能取值，都有 E( ˆθ) = θ, 则称 ˆθ 是 θ 的无偏估计(unbiased estimator)．

(59)

.

无偏性

例 1 设 X1,X2,· · · ,Xn 为抽自均值为 μ 的总体的样 本，以下三个估计量都是 μ 的无偏估计： ˆ μ1 = X1, μˆ2 = X1+ X2 2 , ˆ μ3 = X1+ X2+ Xn−1+ Xn 4 (当 n ≥ 4 时). 而以下两个估计量都不是 μ 的无偏估计： ˆ μ4 = 2X1, μˆ5 = X1+ X2 3 .

(60)

.

无偏性

例 1 设 X1,X2,· · · ,Xn 为抽自均值为 μ 的总体的样 本，以下三个估计量都是 μ 的无偏估计： ˆ μ1 = X1, μˆ2 = X1+ X2 2 , ˆ μ3 = X1+ X2+ Xn−1+ Xn 4 (当 n ≥ 4 时). 而以下两个估计量都不是 μ 的无偏估计：

(61)

.

无偏性

定理 1 设总体 X 的期望和方差分别为 E(X) = μ, Vr(X) = σ2. 从总体取一组样本 X1,X2,· · · ,Xn，则样本均值 X 与 样本方差 S2 _{分别是 μ 和 σ}2 _{的无偏估计，即} E(X) = μ, E(S2) = σ2.

(62)

.

无偏性

作为对比，估计量 ˆ σ2 = 1 n n ∑ ₌₁ (X − X)2. 不是总体方差的无偏估计．

(63)

.

无偏性

说明：如果 ˆθ 是参数 θ 的一个估计，我们通常用 g( ˆθ) 去估计 g_{(θ)．但是，即使 ˆθ 是 θ 的无偏估计，g( ˆθ)} 也不一定是 g_{(θ) 的无偏估计．} 例 2 样本标准差 S 不是总体标准差 σ 的无偏估计．

(64)

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无偏性

说明：如果 ˆθ 是参数 θ 的一个估计，我们通常用 g( ˆθ) 去估计 g_{(θ)．但是，即使 ˆθ 是 θ 的无偏估计，g( ˆθ)} 也不一定是 g_{(θ) 的无偏估计．} 例 2 样本标准差 S 不是总体标准差 σ 的无偏估计．

(65)

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均方误差准则

定义 1 设 ˆθ 是参数 θ 的估计量，称 MSE( ˆθ) := E[( ˆθ − θ)2]

(66)

.

均方误差准则

均方误差满足以下等式 MSE( ˆθ) = Vr( ˆθ) + [E( ˆθ) − θ]2. 当 ˆθ 为 θ 的无偏估计量时，有 MSE( ˆθ) = Vr( ˆθ).

(67)

.

均方误差准则

估计量的比较：在估计量的选取中， 1 无偏估计量优于有偏估计量；

(68)

.

均方误差准则

例 3 设 X1,X2,· · · ,Xn 为抽自均值为 μ 的总体，考 虑 μ 的如下两个估计的优劣： ˆ μ= X, ˆ μ_(−) = 1 n− 1 ∑ j̸= Xj. 这里 ˆμ_(−) 表示去掉第  个样本后，对其余 n_{− 1 个样} 本所求的样本均值．

(69)

.

均方误差准则

结论在总体期望的所有线性无偏估计中，样本均值是唯一的最小方差估计量． 即若总体期望为 μ，X1,X2,· · · ,Xn 为总体中抽取的样本，对估计量 ˆ μ= n ∑ ₌₁ X, n ∑ ₌₁  = 1 ! , 总有 Vr( ˆμ)¾ Vr(X), 且等号成立当且仅当 ˆμ= X．

(70)

.

均方误差准则

结论在总体期望的所有线性无偏估计中，样本均值是唯一的最小方差估计量． 即若总体期望为 μ，X1,X2,· · · ,Xn 为总体中抽取的样本，对估计量 ˆ μ= n ∑ =1 X, n ∑ =1  = 1 ! , 总有

(71)

.

复习与提高

选择下列各个结论中错误的是· · · ·( ) (A) 样本均值是总体期望的无偏估计 (B) 样本方差是总体方差的无偏估计 (C) 样本均值是正态分布的期望的极大似然估计 (D) 样本方差是正态分布的方差的极大似然估计

(72)

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点估计之矩估计

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第一节

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点估计之极大似然估计

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第二节

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估计量的优良性准则

.

第三节

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单个正态总体的区间估计

.

第四节

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两个正态总体的区间估计

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第五节

(73)

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区间估计

定义 1 设 θ 为总体的待估参数，常数 α _{∈ (0},1)，若有两个统计量 ˆθ1,θˆ2，使得 P{ ˆθ1 < θ < ˆθ2} = 1 − α. 则称 _{( ˆθ1},θˆ2) 为 θ 的置信系数为 1− α 的置信区间．对给定的置信系数 1_{− α，根据样本观测值确定未知参} 数 θ 的置信区间 _{( ˆθ1},θˆ2)，称为对参数 θ 的区间估计．

(74)

.

区间估计

定义 1 设 θ 为总体的待估参数，常数 α _{∈ (0},1)，若有两个统计量 ˆθ1,θˆ2，使得 P{ ˆθ1 < θ < ˆθ2} = 1 − α. 则称 _{( ˆθ1},θˆ2) 为 θ 的置信系数为 1− α 的置信区间．对给定的置信系数 1_{− α，根据样本观测值确定未知参} 数 θ 的置信区间 _{( ˆθ1},θˆ2)，称为对参数 θ 的区间估计．

(75)

.

单个正态总体的区间估计

.

第四节

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总体期望的区间估计

.

A

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总体方差的区间估计

.

B

(76)

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总体期望的区间估计 1

情形一：正态总体、方差已知 设 X1,· · · ,Xn 是取自正态总体 N(μ,σ2) 的样本，其 中 σ2 _{已知．则总体期望 μ 的置信系数为 1}_{− α 的置} 信区间为 X− pσ n · Zα/ 2, X+ σ p n · Zα/ 2 .

(77)

.

总体期望的区间估计 1

情形一：正态总体、方差已知 设 X1,· · · ,Xn 是取自正态总体 N(μ,σ2) 的样本，其 中 σ2 _{已知．则总体期望 μ 的置信系数为 1}_{− α 的置} 信区间为 X− pσ n · Zα/ 2, X+ σ p n · Zα/ 2 .

(78)

.

总体期望的区间估计 1

例 1 某厂生产零件长度 X 服从正态分布 N_(μ,0.04)，现从该厂生产的零件中随机抽取 6 个，其长度的测量值如下（单位: 毫米） 14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1. 求参数 μ 的置信系数为 0.95 的置信区间． 解答 X = 14.95，置信区间为 (14.79,15.11)．

(79)

.

总体期望的区间估计 1

例 1 某厂生产零件长度 X 服从正态分布 N_(μ,0.04)，现从该厂生产的零件中随机抽取 6 个，其长度的测量值如下（单位: 毫米） 14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1. 求参数 μ 的置信系数为 0.95 的置信区间． 解答 X = 14.95，置信区间为 (14.79,15.11)．

(80)

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总体期望的区间估计 2

情形二：正态总体、方差未知 设 X1,· · · ,Xn 是取自正态总体 N(μ,σ2) 的样本，其 中 σ2 _{未知．则总体期望 μ 的置信系数为 1}_{− α 的置} 信区间为 X− pS n · tn−1 _α 2 , X+ pS n · tn−1 _α 2 .

(81)

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总体期望的区间估计 2

情形二：正态总体、方差未知 设 X1,· · · ,Xn 是取自正态总体 N(μ,σ2) 的样本，其 中 σ2 _{未知．则总体期望 μ 的置信系数为 1}_{− α 的置} 信区间为 X− pS n · tn−1 α 2 , X+ pS n · tn−1 α 2 .

(82)

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总体期望的区间估计 2

例 2 设某生产线封装的袋装米重量服从正态分布 N(μ,σ2)．从产品中抽取 10 件，得测量值（单位：千克）如下 10.1, 10.0, 9.8, 10.5, 9.7, 10.1, 9.9, 10.2, 10.3, 9.9. 求参数 μ 的置信系数为 0.95 的置信区间． 解答 α = 0.05，X = 10.05，S2 = 0.0583，S = 0.24，置信区间为 (9.87,10.22)．

(83)

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总体期望的区间估计 2

例 2 设某生产线封装的袋装米重量服从正态分布 N(μ,σ2)．从产品中抽取 10 件，得测量值（单位：千克）如下 10.1, 10.0, 9.8, 10.5, 9.7, 10.1, 9.9, 10.2, 10.3, 9.9. 求参数 μ 的置信系数为 0.95 的置信区间． 解答 α = 0.05，X = 10.05，S2 = 0.0583，S =

(84)

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总体期望的区间估计

练习 1 设初生男婴体重服从正态分布 N_(μ,σ2)．随 机抽取 16 名男婴测其体重，得样本平均值为 X ₌ 3057（单位：克）．试以 0.98 的置信系数估计初生 男婴的平均体重 μ． (1) 已知男婴体重的标准差 σ = 380． (2) 已知男婴体重的样本标准差 S= 380．

(85)

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单个正态总体的区间估计

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第四节

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总体期望的区间估计

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A

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总体方差的区间估计

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B

(86)

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总体方差的区间估计

设 X1,· · · ,Xn 是取自正态总体的样本，则总体方差 σ2 的置信系数为 1_{− α 的置信区间为} (n − 1)S2 χ2 n−1( α 2) , (n − 1)S 2 χ2 n−1(1 − α 2) ! . 注记 总体标准差 σ 的置信区间为   s (n − 1)S2 χ2 n₋₁( α 2) , s (n − 1)S2 χ2 n₋₁(1 − α 2)  .

(87)

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总体方差的区间估计

设 X1,· · · ,Xn 是取自正态总体的样本，则总体方差 σ2 的置信系数为 1_{− α 的置信区间为} (n − 1)S2 χ2 n−1( α 2) , (n − 1)S 2 χ2 n−1(1 − α 2) ! . 注记 总体标准差 σ 的置信区间为   s (n − 1)S2 , s (n − 1)S2  .

(88)

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总体方差的区间估计

例 4 设某生产线封装的袋装米重量服从正态分布 N(μ,σ2)．从产品中抽取 10 件，得测量值（单位：千克）如下 10.1, 10.0, 9.8, 10.5, 9.7, 10.1, 9.9, 10.2, 10.3, 9.9. 求 σ2 _{的置信系数为 0.95 的置信区间．} 解答 S2 = 0.0583，置信区间为 (0.028,0.194)．

(89)

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总体方差的区间估计

例 4 设某生产线封装的袋装米重量服从正态分布 N(μ,σ2)．从产品中抽取 10 件，得测量值（单位：千克）如下 10.1, 10.0, 9.8, 10.5, 9.7, 10.1, 9.9, 10.2, 10.3, 9.9. 求 σ2 _{的置信系数为 0.95 的置信区间．} 解答 S2 = 0.0583，置信区间为 (0.028 0.194)．

(90)

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总体方差的区间估计

练习 2 假设初一女生的身高服从正态分布 N_(μ,σ2)，随机抽取 6 名初一女生测其身高如下（单位：厘米）： 154, 152, 155, 156, 154, 153. 试以 0.9 的置信系数求身高的方差 σ2 _{的置信区间：}

(91)

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点估计之矩估计

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第一节

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点估计之极大似然估计

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第二节

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估计量的优良性准则

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第三节

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单个正态总体的区间估计

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第四节

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两个正态总体的区间估计

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第五节

(92)

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两个正态总体的期望差的区间估计

在实际问题中，经常会遇到两个正态总体的比较问题．如考察新技术对提高产品的某项质量指标的作用，设实施新技术前的产品质量指标服从正态总体 N(μ1,σ₁2)，实施新技术后产品质量指标服从正态总体 N(μ2,σ2 2)．为比较前后阶段产品质量指标的差别，需 要对 μ1− μ2 进行估计．

(93)

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两个正态总体的期望差的区间估计

在本节中，我们始终假设两样本相互独立，其中 样本 X1,X2,· · · ,Xm 取自正态总体 N(μ1,σ2₁) 样本 Y1,Y2,· · · ,Yn 取自正态总体 N(μ2,σ2₂) 样本均值分别为 X 和 Y 样本方差分别为 S2 1 和 S 2 2 S2 := 1 m ∑ (X − X)2 , S2 := 1 ∑n (Y − Y)2_.

(94)

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两个正态总体的期望差的区间估计

在上述假设下，我们有 (1) Z = X− Y − (μq 1− μ2) σ₁2 m + σ₂2 n ∼ N(0,1). 若进一步假设 σ2 1 = σ 2 2，则 (2) T = q X− Y − (μ1− μ2) (m−1)S2 1+(n−1)S22 m+n−2 · Æ 1 m + 1 n ∼ tm+n−2.

(95)

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两个正态总体的期望差的区间估计

在上述假设下，我们有 (1) Z = X− Y − (μq 1− μ2) σ₁2 m + σ₂2 n ∼ N(0,1). 若进一步假设 σ2 1 = σ 2 2，则 (2) T = q X− Y − (μ1− μ_Æ2) ∼ tm+n−2.

(96)

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两个正态总体的期望差的区间估计

情形一：两个正态总体，方差已知 设两个总体的方差 σ2 1 与 σ 2 2 均已知，则总体期望的差 μ1− μ2 的置信系数为 1− α 的置信区间为   X− Y − È σ2 1 m + σ2 2 n · Zα/ 2, X− Y + È σ2 1 m + σ2 2 n · Zα/ 2   

(97)

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两个正态总体的期望差的区间估计

情形一：两个正态总体，方差已知 设两个总体的方差 σ2 1 与 σ 2 2 均已知，则总体期望的差 μ1− μ2 的置信系数为 1− α 的置信区间为   X− Y − È σ2 1 m + σ2 2 n · Zα/ 2, X− Y + È σ2 1 m + σ2 2 n · Zα/ 2   

(98)

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两个正态总体的期望差的区间估计

例 1 比较棉花品种优劣．假设用甲、乙两种棉花纺出的棉纱强度分别为 X ∼ N(μ1,2.182), Y ∼ N(μ2,1.762) 试验者从这两种棉纱中分别抽取 200 个和 100 个样本，其均值分别为 X = 5.32, Y = 5.76. 试给出 μ1− μ2 的置信系数为 95% 的置信区间．解答置信区间为 _(−0.899,0.019)．

(99)

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两个正态总体的期望差的区间估计

例 1 比较棉花品种优劣．假设用甲、乙两种棉花纺出的棉纱强度分别为 X ∼ N(μ1,2.182), Y ∼ N(μ2,1.762) 试验者从这两种棉纱中分别抽取 200 个和 100 个样本，其均值分别为 X = 5.32, Y = 5.76. 试给出 μ1− μ2 的置信系数为 95% 的置信区间．

(100)

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两个正态总体的期望差的区间估计

情形二：两个正态总体，方差未知，但相等设两个总体的方差未知，但知道它们相等，则总体期 望的差 μ1− μ2 的置信系数为 1− α 的置信区间为 X− Y − S · È 1 m + 1 n · tm+n−2(α/2), X− Y + S · È 1 m + 1 n · tm+n−2(α/2) , 其中 S ₌ È (m − 1)S2 1+ (n − 1)S 2 2 m+ n − 2 .

(101)

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两个正态总体的期望差的区间估计

情形二：两个正态总体，方差未知，但相等设两个总体的方差未知，但知道它们相等，则总体期 望的差 μ1− μ2 的置信系数为 1− α 的置信区间为 X− Y − S · È 1 m + 1 n · tm+n−2(α/2), X− Y + S · È 1 m + 1 n · tm+n−2(α/2) , È

(102)

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两个正态总体的期望差的区间估计

例 2 某公司利用两条自动化流水线灌装矿泉水．设这两条流水线所装矿泉水的体积（单位：毫升）均服从正态分布，且方差相等．现从生产线上分别抽取 12 个和 17 个样本，算得样本均值与样本方差分别为： X = 501.1, S2 1 = 2.4, Y = 499.7, S 2 2 = 4.7. 求 μ1− μ2 的置信系数为 95% 的置信区间．解答 t27(0.025) = 2.0518，S2 = 3.763，S = 1.94，置信区间为 (−0.101,2.901)．

(103)

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两个正态总体的期望差的区间估计

例 2 某公司利用两条自动化流水线灌装矿泉水．设这两条流水线所装矿泉水的体积（单位：毫升）均服从正态分布，且方差相等．现从生产线上分别抽取 12 个和 17 个样本，算得样本均值与样本方差分别为： X = 501.1, S2 1 = 2.4, Y = 499.7, S 2 2 = 4.7. 求 μ1− μ2 的置信系数为 95% 的置信区间．解答 t27(0.025) = 2.0518，S2 = 3.763，S =