高等数学

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第2章 一元函数微分学

高等数学A

2.3 导数的应用

2.3.4 曲线的凹性及其判定法 2.3.5 曲线的拐点及其求法 2.3.6 曲线的渐近线 2.3.7 函数图形的描绘方法

2.3 导数的应用

2.3.4 曲线的凹凸性及其判定法 曲线的凹性及其判定法 曲线的凹凸性习例1-2

2.3.5 曲线的拐点及其求法 ^{曲线的拐点及判别法}

曲线的拐点判别习例3-5

2.3.6 曲线的渐近线 ^{曲线的渐近线概念}

曲线的渐近线习例6

2.3.7 函数图形的描绘方法 ^{函数图形的描绘方法}

函数图形的描绘习例7-10

课堂思考与练习

导 数

的 应

用

, )

(x _{(a, b)} 时

f  它的图形的形式不尽相同.

一般说来, 对于一个区间上单调的函数的 图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线 的“上方”或“下方”的问题 .

在数学分析中将这种问题称为曲线 (函数)的凹凸性问题 .

. 函数图形的凹凸性

一

简单地说 , 在区间 I 上 :

曲线弧段位于相应的弦线上方时, 称之为凸的;

曲线弧段位于相应的弦线下方时, 称之为凹的.

凸 凹

O x

y

2

2 1 x x 

) (x f y 

x2

x1 ^O x

y

2

2 1 x x 

) (x f y 

x2

x1

A

B

y

o

x

2

2 1 x x 

定义1 . 设函数 在区间 I 上连续 ,

(1) 若恒有 则称

图形是凹的;

(2) 若恒有 则称

连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .

图形是凸的 . y

o x

.

³ 的凹凸性

分析立方抛物线 y  x

  2 ) ( x¹ x²

f 8

3

3 ₁² _{2 1 2}² ₂³

3

1 x x x x x

x   

)) 2 (

) ( 2(

1 ₁³ ₂³

2 1

x x x

f x

f   

, ) 0 , (

上

在 

, ) ) ( )

( 2 (

) 1

( x¹ 2 x² f x₁ f x₂

f   

3 是凸的. x

y  ,

) ,

0 (

上

在 

, ) ) ( )

( 2 (

) 1

( x¹ 2 x² f x₁ f x₂

f   

3 是凹的. x

y 

例

分析

^{凹凸性的一般性}

定义是 ……

O x

y

凸

a x b

P

Q

的方程:

弦线 PQ ^{1 1 2 2}

2 1 1 2

( ) ( )

x x x x

y f x f x

x x x x

 

 

 

弦

: 的坐标

点 x x ^  x₁ ^(1⁾ x₂ ^, ^{(0, 1)} 曲线位于弦线上方: f x( )  y_弦

1 2 1 2

(f  x  (1 )x )   f x( )  (1 ) (f x ) 即

) (x f y 

x2

x1

O x

y

凹

a x b

P

Q

的方程: 弦线 PQ

: 的坐标

点 x x ^  x₁ ^(1⁾x₂ ^,  ^{(0, 1)} 曲线位于弦线下方: f x( )  y_弦

1 2 1 2

(f  x  (1 )x )   f x( ) (1 ) (f x ) 即

) (x f y 

x1 x₂

1 2

1 2

2 1 1 2

( ) ( )

x x x x

y f x f x

x x x x

 

 

 

弦

定义2: 设 f (x)在 I内连续, ,

, ₂

1 x I

x 

 









( )

( )

( )

1

( 若f









), (

) (

) (

) 2

( 若f









O x y

x3

y 

, ) 0 , (

上

在 

3 是凸的,

x y 

, 3x²

y  y  6x ,

. 0 y   此时

, ) ,

0 (

上

在 

3 是凹的,

x y 

. 0 y   此时

,

 0 时

x ^{y  0 ,}

. )

0 , 0

( 是曲线凹凸性的分界点

点 有何体会？

定理1. 设f (x)C [a,b]且在(a,b)内可导.

则曲线 y=f (x) 在[a, b]上为凹的(凸的)充分必要条件 是 f '(x)在(a, b)内单调增加(减少).

x y

o

) (x f y 

x y

o

) ( x f y 

a b

A

B

) 递增 ( x

f 

a b

B

A

 0

y f ( x) 递减 y  0

二、曲线凹凸的判定

定理2. 设 f (x)在(a,b)内有二阶导数, , 0 )

( )

, ( )

1

( 若x  a b 时有f  x 

则 f (x)在(a,b)内的图形是凸的.

, 0 )

( )

, ( )

2

( 若x  a b 时有f  x 

则 f (x)在(a,b)内的图形是凹的.

在运用该定理时要注意：

但仅在个别孤立点处等于零 , 则定理仍然成立 .

, ) , (

, 0) (

0 )

(

f  x   x a b 如果

例1. 判定下列曲线的凹凸性

. arctan )

( ) 2 (

; ln )

( ) 1

( f x  x f x  x

例2. ) ( 0, 0, , 1).

( 2 )

2(

1   x  y x  y  x  y n  y

x^{n n n}

证明

曲线的凹凸性习例

例1. 判定下列曲线的凹凸性

. arctan )

( ) 2 (

; ln )

( ) 1

( f x  x f x  x

解: (1) f (x)  ln x的定义域为(0,).

1 , )

(x x

f   1 0.

)

(   ₂ 

 x x f

. )

, 0 ( ln

)

(  的图形在  上是凸的

 f x x

).

, (

arctan )

(

(2) f x  x的定义域为  

1 , ) 1

( ₂

x x

f    .

) 1

( ) 2

( _{2 2}

x x x

f     .

0 ,

0 )

(  

 x x

f 得

令

o y

1 y=lnx x

列表讨论如下:

x (,0) ₀ (0,) )

( x

f   0 

) ( x f

; )

0 , (

arctan )

(  的图形在  上是凹的

 f x x

. )

, 0

( 上是凸的

在 

. )

0 , 0 (

由凸变凹的分界点 是曲线

点

注意到,

定义1中 特别地取

则得 2

 1 t

y=f (x)凹 

2

) (

) (

2

2 1

2

1

x f x f x

f x 

 



 



 

*函数凹凸性的应用*：证明不等式

例2. ) ( 0, 0, , 1).

( 2 )

2(

1   x  y x  y  x  y n  y

x^{n n n}

证明

证明: 设 f (t)  tⁿ (t  0,n  1).

, )

(  ^1

 t ntⁿ f

) 1 ,

0 (

0 )

1 (

)

(   ²   

 t n n t ^ t n

f ⁿ

. )

(t tⁿ 是凹的

f 



2 ).

2 (

) ( )

( x y

y f f x

f   



. 2 )

( )

2 (

1 ^{n n} x y ⁿ y

x   

即

ln ln ( ) ln , 2

0, 0,

x y

x x y y x y

x y x y

   

  

习 中

练 证明 其

( ) ln , 0) : f t  t t t (  证 明 令

) 0 ,

0 (

2 ,

) ( )

) ( ( 2

, ln

) (



 

 



y y x

f x

f y

f x

t t

t

f 是严格凹的 即 所以

1 0 )

( ,

1 ln

)

(     

 t t f t t

f

2

ln ln

ln 2 2

y y

x x

y x

y

x 

 



ln 2 ) (

ln

ln x y

y x

y y

x

x 





 也就是

定义:

. 函数图形的拐点 二

连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为拐点.

. ,

2 , 1 , 0 ),

0 , (

sin    

 x k k

y ^的拐点有



如

o x y

定理3 (拐点存在的必要条件)

. 0 )

( ,

)) (

, (

, )

(

0 0

0

0

 x  f

x f x

I x

x f

则 为拐点

若

上二阶可导 的区间

在包含 设

注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.

注意:

, )

~ , ( )

( 在 ₀ 内存在

设f  x U x



0 )

( ,

; 0 )

( ,

) 1

( 当x  x₀时 f  x  当x  x₀时 f  x  .

) ( ))

( ,

( _{0 0} 是曲线 的拐点

则 x f x y  f x 或者

0 )

( ,

; 0 )

( ,

) 2

( 当x  x₀时 f  x  当x  x₀时 f  x  .

) ( ))

( ,

( _{0 0} 是曲线 的拐点

则 x f x y  f x

. 判定函数图形凹凸与拐 点的步骤 三

. )

( )

1

( 写出 xf 的定义域

).

( )

2

( 求f  x

. 0

) ( )

3

( 求出f  x  的点及二阶导数不存在的点x_i .

) 4

( x_i将定义区间分成若干个小区间

; )

( )

5

( 由f  x 的符号可得凹凸区间

.

, ))

( ,

( )

( ,

否则不是拐点

为拐点 变号则

左右两侧

若在x_i f  x x_i f x_i

例3. 求y  3x⁴  4x³  1的凹凸区间与拐点. 曲线的拐点判别习例

例4. 求( y  3)³  x  4的凹凸区间与拐点.

例5. 问a,b为何值时,(1,3)为曲线y  ax³  bx²的拐点?

. 1

4 3

.

3 求 ^{4 3} 的凹凸区间与拐点 例 y  x  x 

解: 函数y的定义域为(,).

, 12

12x³ x² y  

 ).

3 ( 2

36 24

36 ²   

  x x x x

y

3. , 2

0 ,

0 ₁  ₂ 

  x x

y 得

令

x (,0) 0 )

3 , 2 0

( 3

2 , )

3

(2 

y   0  0 

y 拐点 拐点

. 27)

, 11 3 (2 )

1 , 0

( 和 是拐点



) (

36 

 x x

27 2 11

1

 1 , y  y

3 2

) 1 , 0

( (₃² , ¹¹₂₇)

例4. 求( y  3)³  x  4的凹凸区间与拐点.

解:  y  3  ³ x  4, 其定义域为(,).

) , 4 (

3

1

3  2

 

y x .

) 4 (

) 4 (

9

2

3  2

 

 

x y x

, 没有二阶导数为0的点

x (,4) 4 (4,)

y   _不存在 

y _拐点

. )

3 , 4

( 是拐点



. 4为不可导点 但x 

例5. 问a,b为何值时,(1,3)为曲线y  ax³  bx²的拐点?

解: y  3ax²  2bx, y   6ax  2b. . )

3 , 1

( 是 ^{3 2}的拐点

又 y  ax  bx



 y(1)  3 0 )

1 ( 

y  







 

0 2

6

3 b a

b a

2. , 9

2

3 





a b

现在我们还不能很好地作出 函数的图形 , 因为还不知道如何 求曲线的渐近线 .

利用极限

无渐近线 .

点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,

四、 曲线的渐近线

定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点

时, 则称直线 L 为

曲线C 的渐近线 .

例如, 双曲线

有渐近线

  0 b

y a

x

但抛物线

或为“纵坐标差”

L N

b x

k

y  

M

x

y

o

C

) (x f y 

P

x y

o

曲 线的 渐 近线

水平渐近线

垂直渐近线

斜渐近线

O x y

y  1x

, 1 0

lim 



 x

x 水平渐近线 y  0. 1 ,

lim

0  

 x

x 垂直渐近线 x  0.

例如 y  arctan x,

有水平渐近线两条:

2 . 2 ,

 

 

 y

y

水平与铅直渐近线

若 则曲线 有水平渐近线

y  b .

) (或x  

若 则曲线 有垂直渐近线

x  x

.

) (或x  x₀^

例6. 求曲线 的渐近线 . 解:

2 ) 2

1 ( 1

lim  







x

x



 2

 y

, )

1 2 ( 1

lim

1





 



x

x

  x  1

2 1

. sin

的渐近线

求曲线 x

y  x

, sin 0

lim





 x x

 x

sin .

0

是曲线 的水平渐近线

x y x

y  



O x

y

x y  sin x

 0 y 曲线可以穿过其

渐近线 .



例7

解

2. 斜渐近线

斜渐近线

y  k x  b .

) (或x 

若

( k x  b )

0 ) ]

[ (

lim   





x

k b x

x x f

x

) ( k x  b

0 ) ]

[ (

lim   





x

k b x

x f

x

) ] [ (

lim x

b x

x k f

x





x x k f

x

) lim (







] )

( [

lim f x k x b

x





) (或x  

) (或x  

例8. . 3

2 2

3

的渐近线 求曲线   

x x

y x

解: ,

) 1 )(

3 (

3



 

x x

y x



) , 1 )(

3 lim(

lim

3 1

1  



 

   x x

y x

x x

) , 1 )(

3 lim (

lim

3 3

3  



 







 x x

y x

x x

. 3

1  

 x

x 与

故有铅直渐近线 曲线的渐近线习例

3 1

2

 x y

, ) 1

1 )(

3 lim (

) lim (

3 



 

   x x x

x x

x k f

x x

又

) ] 1 )(

3 [(

lim ]

) ( [ lim

3

x x x

kx x x

f

b x x 



 



  

, 3 2

2

3 lim ₂2

2  







 



 x x

x x

x

.

 2



有斜渐近线 y x

注意:

) ; lim (

) 1

( 不存在

如果 x

x f

x

(2) lim ( ) , lim[ ( ) ] ,

x x

f x k f x kx

 x  存在 但   不存在

. )

( 不存在斜渐近线 可以断定 y  f x

例9 .

1

) 3 )(

2 (

) 2

( 的渐近线

求 



 

x

x x x

f

解 D : (,1)  (1,).

 

 ( ) lim

1 f x

x

  , _ 

 ( ) lim

1 f x

x  ,

. 1 是曲线的铅直渐近线



 x

 

 x

x f

x

) lim (

又

) 1 (

) 3 )(

2 (

lim 2









 x x

x x

x  2,

] ) 2

1 (

) 3 )(

2 (

[2

lim x

x x

x x

x 











1

) 1 (

2 )

3 )(

2 (

lim 2









 



 x

x x x

x

x

,

 4

. 4

2  是曲线的一条斜渐近线



 y x

的两条渐近线如图 1

) 3 )(

2 (

) 2

( 



 

x

x x x

f

. 函数图形的描绘 五

利用函数特性描绘函数图形, 一般步骤如下:

(1) 确定函数 f (x)的定义域.

. 0

) ( ,

0 )

(

(2)求得 f  x  f  x  的点

.

0 )

( 0

) ( ,

, (3)

间 定义域分成若干个小区

的点把 和

不可导点

以间断点 f  x  f  x 

. ,

,

, )

( ),

( (4)

极值与拐点 凹凸

图形的升降

从而确定出 的符号

在各小区间上确定f  x f  x

(5) 求出极值,拐点与坐标轴的交点.

(6) 求出渐近线.

(7) 描图.

函数图形的描绘习例

例9. , .

1 ²

描绘图形 设

x y x

 

例10. , .

) 3 (

1 36

2 描绘图形

设    x y x

例11.

例12.

例9. , .

1 ²

描绘图形 设

x y x

 

解: ^{(1)函数y的定义域为(,).}

) , 1

( ) 1

2

( _{2 2}

2

x y x



 

 令y  0, 得x  1.

) , 1

(

) 3 (

2

3 2 2

x x y x



 

 令y   0, 得x  0, x   3.

(3)列表讨论如下:

x(, 3) 3( 3,1) 1(1,0) 0(0,1)1 (1, 3) 3( 3,) y

0 0

    ^{ }

y  0   0 ^{ } 0 

y

2, ) 1

1 ( )

4

( 极大值为 y  ,

2 ) 1

1

(   极小值为 y

4 ).

, 3 3 (

), 0 , 0 ( 4 ),

, 3 3 (  拐点有

, 1 0

lim )

5

( ₂ 





 x

x

 x  y  0 为水平渐近线.

(6) 描图如下:

o x y

1

1









例10. , . )

3 (

1 36

2 描绘图形

设    x y x

解: ^{(1)函数y的定义域为(,3) (3,).}

) , 3 (

) 3

( ) 36

2

( ₃



 

 x

y x 令y  0, 得 x  3.

) , 3 (

) 6 (

72

 4

 

 x

y x 令y  0, 得 x  6. (3)列表讨论如下:

x (,3) _{ 3} (3,3) ₃ (3,6) 6 (6,)

y  不存在  0 ^{ }

y  不存在   0 

y

, 4 )

3 ( )

4

( 极大值为y 

3 ).

,11 6 拐点有 (

).

1 , 0 ( ), 0 , 3 3 6

(

:   与坐标轴的交点

, 1 ) ]

3 (

1 36 [ lim )

5

( ₂ 

 



 x

x

 x

. 1 是水平渐近线



 y

, ) ]

3 (

1 36 [

lim ₂

3  

 



 x

x

 x

. 3 是铅直渐近线





 x

(6) 描图如下:

o x y

1

1



 





函数图形的描绘综合运用 函数性态的研究,是导数应 用的综合考察.

解: , ) 1 (

4

) 3 ) (

1 (

2



 

x

y x 定义域为

(2) 求关键点 ) 3 (

2 x 

  4 y 4 y  4xy  0 )

1 (

2

2 3





 

 

x

y y x

y 

 4

 2  8y  4xy   0 )

1 (

2

4 1



 

 

 x

y y

得

令 y  0 x  1, 3 ; 例12.

 1 1 3 )

1 ,

(   ( 1 , 1 ) ( 1 , 3 ) ( 3 ,   ) x

y 

y 

y

   ^

  ^{ }

 2 0

), 1 (

4

) 3

( ²



 

x

y x ,

) 1 (

4

) 1 )(

3 (

 2



 



x

x y x

)3

1 (

2

 



y x

(3) 判别曲线形态

0 0

(极大) (极小)

(4) 求渐近线

, lim

1  

 y

x

 为铅直渐近线

无 定义

 1

 x

又因 x y

xlim , 4

 1

4

 1 即 k

4 ) ( 1

lim y x b

x 

  ]

4 1 )

1 (

4

) 3 [(

lim

2

x x x

x 



 





) 1 (

4

9 lim 5





 



 x

x

x 4

 5



) 1 (

4

) 3

( ²



 

x y x

(5) 求特殊点 x

y

0 4

 9

2 4 1

为斜渐近线

4 5 4

1 



 y x

)2

1 (

4

) 1 )(

3 (





 



x

x y x

)3

1 (

2

 



y x

(6)绘图

(极大) (极小)

斜渐近线

 1

铅直渐近线

x

4 5 4

1 

 x y

特殊点 ^{1 0 1 2 3}

) 1 (

4

) 3 ( ²



 

x y x

 2 ^无_定

义

x y

1 1 3

) 1 ,

(  (1,1) (1,3) (3, ) 0

x y

0 4

 9

2

4

1

解: (1) 定义域为 图形对称于 y 轴.

(2) 求关键点 y 



 1 ² ,

x2

e

x ^ y  



 1 ²

x2

e^ (1  x²)

得

令 y  0 x  0; 令 y   0得 x  1

 

0

0 x

y  y 

y

0 ( 0 , 1 ) 1 ( 1 ,   )

(3) 判别曲线形态 例12.

  

 2

1

 e 2

1

(极大) (拐点)

(极大) (拐点)

0 lim 



 y

x

 0

 y ^{为水平渐近线} (5) 作图

(4) 求渐近线

 

 

 2

1

0

0

 e 2

1

x y  y 

y

0 ( 0 , 1 ) 1 ( 1 ,   )

2 2

2 1

x

e y  _ ^

x y

o

B A

2 1

·Mathematica

·Matlab

·Maple

·MathCAD

四、小结

函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.

x y

o

a _b

最大 值 最小

值

极大

值 极

小 值 拐点

凹的

凸的

单增

) 单减

( x f y 

思考题：

思考题参考答案

课堂练习：

练习参考答案