正則擬多邊形的研究

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

正則擬多邊形的研究

計畫類別： 個別型計畫

計畫編號： NSC92-2115-M-009-017-

執行期間： 92 年 08 月 01 日至 93 年 07 月 31 日

執行單位： 國立交通大學應用數學系

計畫主持人： 翁志文

報告類型： 精簡報告

處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 93 年 9 月 1 日

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n"Þ a9\; ûÒÑJ%; Q-94P; E‰Á %; “­õ%

Abstract Let Γ denote a near polygon distance-regular graph with diameter d ≥ 3, valency k and intersection numbers a1 > 0, c2 > 1. Let θ1 denote the second largest eigenvalue of Γ. We show

θ1≤

k − a1− c2 c2− 1

.

We show the following (i)–(iii) are equivalent. (i) Equality is attained above; (ii) Γ is Q-polynomial with respect to θ1; (iii) Γ is a dual polar graph or a Hamming graph.

Keywords: near polygon, distance-regular graph, Q-polynomial, dual polar graph, Hamming graph. Þ`ãêÝ

ƒ Γ Î×Íà5 D C8ø¢ó ai, bi, ci (0 ≤ i ≤ D)ÝûÒÑJ% ƒ' Γ ît
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Ä°×D3× ` îÝF y ”• ∂(`, x) = ∂(y, x)
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J Γ ÌÎ×ÑJa 2D \ AŒ Γ E ∂(`, x) = D `
Xb ` îÝF y K”• ∂(`, x) = ∂(y, x)
J Ì Γ Î×ÑJa 2D + 1 \ [2] ÿÕnyÑJ a 2D \Ý¥Š”Œ D ≤ 3 a1 = 0 c2 = 1 T c3= c22− c2+ 1 [1, p206] ¼Œ9”ŒÝJ €
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•|ÑiÑJ 2D \ qA [1]Ý Proposition 4.4.6(i), &Æb|ìÌ Hoffman bound݇P: θD≥ − k a1+ 1 , ͇rWñ uv°u Γ Î×ÑJa 2D \ h  θD Î Γ ÝtÝ©Ç ãy9͔Œ&Æ Ý”ŒÝ8«P
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[1 ] A.E. Brouwer, A.M. Cohen, A. Neu-maier, Distance-Regular Graphs, Springer-Verlag, 1989

[2 ] A. E. Brouwer, H.A. Wilbrink, The structure of near polygons with quads, Geom. Dedicata 14:145-176, 1983