利用基因演算法設計二維最佳有限脈衝響應數位濾波器

利用基因演算法設計二維最佳有限脈衝響應數位濾波器

沈慈孝*、郭東義** *國立高雄應用科技大學電機工程系 **國立高雄應用科技大學化學工程系 E-mail：[email protected]

摘 要

本文提出設計四分圓對稱二維有限脈衝響應數位濾波器的新技術。在這技術中，使用不 等空間頻率取樣來取代等空間頻率取樣而產生平面響應矩陣（Planar response matrix）。這些 不等空間取樣頻率是利用基因演算法求得。經由不等空間取樣得到平面響應矩陣後，利用奇 異值分解方法（Singular value decomposition method）得到一組多級可分離一維濾波器，接著 使用離散最小平方最佳法（Discrete least-squares optimal method）來設計這些一維濾波器。從 我們提出的二維濾波器設計方法的例子中可以發現，利用不等空間取樣獲得之大小響應在通 帶（Passband）及滯帶（Stopband）均較利用等空間取樣方法之結果更接近理想的大小響應。

關鍵詞：二維濾波器、奇異值分解、基因演算法、不等空間取樣頻率。

1. 前 言

文獻上研究二維濾波器之設計已有數十年歷史，設計二維濾波器有很多的方法[1]-[11]， 其中奇異值分解法（Singular value decomposition method）具有提高效率、降低成本及設計簡 單等優點。奇異值分解法之設計原理是將一個二維訊號以平面響應矩陣（Planar response matrix）[7]表示，再經由奇異值分解演算法後，以數個由兩個一維訊號串接而成的併聯結構 來設計二維濾波器。從奇異值分解演算法的設計原理得知，平面響應矩陣和二維濾波器效能 的息息相關。 濾波器有許多種不同的設計方法，大致上可分為三類－轉換法、直接法、逆轉換法，這 些方法中各有其設計上的優缺點[12]。在直接法中，可以利用取樣點及其欲得之大小響應求 得濾波器的頻率規格響應，此方法我們稱為空間頻率取樣點法（Space frequencies sampled method）。傳統的空間頻率取樣點大部分是等空間的頻率取樣點。以等空間頻率取樣點法設計 濾波器的缺點是在在濾波器的大小響應中，通帶接近截止頻率的地方會有一個較大的響應值

存在。為改善濾波器的大小響應，文獻[13]利用柴比雪夫（Chebyshev）多項式之根取代截止 頻率（Cutoff）後的等空間取樣點，形成不等空間頻率取樣點，因而改善濾波器通帶（Passband） 及滯帶（Stopband）的大小響應，但整體的大小響應改善有限。 為了進一步改善大小響應，如何決定一組不等點頻率取樣，來達到最佳響應值是一個多 變數最佳化的問題。文獻上[14]指出，以基因演算法求解最佳化的問題具有較傳統方法求得 全域的最佳解，目標函數訂定後，只需定義最大或最小值和演算法流程簡單等優點。在本篇 論文中，我們利用基因演算法[14]找出最佳的一組空間頻率取樣點做為二維大小響應的空間 頻率取樣點。然後，再配合奇異值分解法[8]及離散最小平方最佳化法（Discrete least-squares optimal method）[15]來設計二維最佳有限脈衝響應數位濾波器。

2. 奇異值分解法設計二維濾波器

令(ω ω_1,l, _2,m)是二維空間上的頻率取樣點。為了簡化取樣頻率的選擇，取樣頻率習慣上選 擇成等空間取樣點[7]-[11]，即 1, 2, 1 1 2 2 1 1 ( , ) ( / , / ), , 1 , 1 1 1 l m l m l m T T l L m M L M ω ω = πµ πµ µ = − υ = − ≤ ≤ ≤ ≤ − − 且 (1) 其中µ υ_l, _m是正規化之取樣頻率。令H z z 是一個二維數位濾波器且( , )_{1 2}

{ }

, , ,

(

l, m

)

j j l m l m A= a a = H e πµ eπµ (2) 是H z z 之平面響應矩陣( , )_{1 2} [7]。由平面響應矩陣，我們可以很清楚的看到，利用A=

{ }

a_{l m,} 來 設計二維數位濾波器與空間頻率取樣點有關。在傳統的方法上，這些空間頻率取樣點都是等 空間的點，要利用這些等空間取樣點來改善濾波器的大小響應似乎比較困難。在文獻[13]中 提到，使用不等空間取樣點可以改善濾波器的大小響應。本文將利用基因演算法求解最佳的 取樣頻率ω_1,l及ω_2,m，基因演算法的程序將在第4 小節介紹。 有了平面響應矩陣後，經由奇異值分解後，平面響應矩陣可表示為[16] 1 r T k k k k A σ u v = =

∑

(3) 其中T為矩陣的轉置（Transpose），σ_k是A 矩陣的奇異值且0<σ₁ ≤σ₂ ≤"≤σ_r，r 為 A 矩陣 之秩（Rank），u 和_k v 分別是_{k AA 及}T _{A A 的第 k 個特徵向量（}T _{Eigenvector）。} 令ϕ_k = σ_ku_k，γ_k = σ_{k k}v ，則第(3)式可以改寫成

1 r T k k k A ϕ γ = =

∑

(4) 其中

{

ϕ_k: 1≤ ≤k r

}

和

{

γ_k: 1≤ ≤k r

}

分別是 L-維度(Dimensional)和 M-維度的正交集合向量。 從第(4)式，得知二維濾波器可以用 r 個併聯子濾波器完成設計，且每個子濾波器是由脈衝響 應大小分別為ϕ_k及γ_k的一維濾波器串接而成，其方塊圖，如圖1 所示。圖中之ϕ_k( )z₁ 及γ_k( )z₂ 分別是ϕ_k及γ_k的z-轉換表示式。 + 1 2 ( , ) x z z 1( )z1 ϕ 2( )z1 ϕ 1 ( ) r z ϕ 1( )z2 γ 2( )z2 γ 2 ( ) r z γ 1 2 ( , ) y z z 圖1 以奇異值分解法實現濾波器之方塊圖 在許多情況中，第(4)式中只有少數的前 K（K＜r）個奇異值較有意義，其他 r-K 個比較 小的奇異值及相對應的特徵向量可以被忽略。如此，第(4)式可以簡化成為 1 K T k k k A ϕ γ = ≅

∑

(5) 第(5)式中的結果是二維濾波器併聯路徑數減少到 K 個。 在奇異值分解中有一個重要的定理，此定理表示為 , 1 1 min k k K K T T k k k k k k A A ϕ γ ϕ γ ϕ γ = = −

∑

= −

∑

    (6)

其中ϕ_k∈RL，γ_k∈RM，且模數 E （Norm of E）可以是 Frobenius 模數，表示為

2 , 1 1 1/ 2 L M l m l m F E e = = =_ _ 

∑∑

 (7)

或是L 模數，表示為₂ 2 ₁max_{k M} k E λ ≤ ≤ = (8) 其中λ_k是一個E E 的特徵值且T

{ }

_, L M l m E₌ e _∈R × _{。第(6)式之意義是，在任意固定的 K 中，} 1 K _T k k k=ϕ γ

∑

是A 的最小化的均方誤差近似式(Mean-square-error approximant)[8]。 被捨棄的子濾波器與整體濾波器大小響應之間的誤差也是我們所考慮的。由第(4)式得 知，第一個併聯路徑的子濾波器_ϕ1( ) ( )_{z1 γ1}T _z2 佔整個濾波器大小響應為最大的，因此稱第一個 併聯路徑數為整個濾波器的主要部分，第(4)式其他的併聯路徑數為修正部分，修正部分中又 以第二個_ϕ2( ) ( )_{z1 γ2}T _z2 為最大，故第二個併聯路徑稱為第一個修正部分，以此類推。假設我們 設計時只考慮主要部分的子濾波器，則誤差定義為 1 1 1 ˆ T E = −A ϕ γ (9) 若除了主要部分外又再考慮第一個修正部分則誤差可以寫成 2 1 1 2 2 ˆ T T E = −A ϕ γ −ϕ γ (10) 同理，若保留前面K 個併聯路徑來近似原平面響應矩陣，則其誤差可定義為 1 ˆ K T K k k k E A ϕ γ = = −

∑

(11) 在此值得注意的是，若在第(2)式中的 A 是對稱矩陣，則第(4)式可寫成 1 r T k k k k A sϕ ϕ = =

∑

(12) 其中s₁= ，1 s_k = ± ，1 2 k r≤ ≤ 。這意指著每一個併聯路徑數中只需設計一個一維數位濾波器 即可，且整個設計程序可以減少百分之五十[8]。

3. 離散最小平方最佳化法設計一維數位濾波器

經過了奇異值分解後把平面響應矩陣分解成兩個特徵向量ϕ_k及γ_k，此兩向量之元素 ,, 1 k l l L ϕ ≤ ≤ 及γ_{k m,} , 1≤ ≤m M 分別是一維濾波器ϕ_k( )z₁ 及γ_k( )z₂ 之大小響應。利用此大小響

應及相對應的取樣點就可以設計一維濾波器，此種設計方法我們稱為空間頻率取樣點法。本 小節中，將利用離散最小平方最佳化法[15]來設計一維有限脈衝響應濾波器，此種方法可以 打破傳統取樣需要等空間取樣點的設計方式。 為了方便介紹一維數位濾波器，且以不影響整個設計的原則中，假設一維濾波器 1 ( ) k z ϕ (γ_k( )z₂ )為 N 階對稱，且 N 為偶數可以表示為 1 1 1 1 0 ( j ) N [ ] jn ( ) jM k k k n eω n e ω A e ω ϕ ϕ − ω − = =

∑

= (13) 其中M =N/ 2，M ≤ ， [ ]L ϕ_k n 是ϕ_k( )z₁ 的有限脈衝響應，並且 1 , 1 0 ( ) M cos k k n n A ω d nω = =

∑

(14) 其中，d ，_{k n,} n=0,1,...,M 是未知待解係數。因d_{k n,} ≅2 [ϕ_k M n− ，] 1 n M≤ ≤ ，所以由第(13)式 和第(14)式兩關係可得，d 必須滿足 _{k n,} 1, , ( ) , 1, 2,..., k l k l A ω =ϕ l= L (15) 將第(15)式代入第(14)式，可以解出

,0 ,1cos 1, ,2cos 2 1, , cos 1, ( 1, ), 1, 2,...,

k k l k l k M l k l d +d ω +d ω + +" d Mω =A ω l= L (16) 此L 個方程式可以用矩陣型態來表示 k k k P d = (17) φ 其中 1,1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,2 1, 1, 1, ,0 ,1 ,2 ,

1 cos cos 2 cos 1 cos cos 2 cos 1 cos cos 2 cos k L L L T k k k k k M M M P M d d d d d ω ω ω ω ω ω ω ω ω       =_{ }         =   " " # # # % # " " 由第(17)式可以解得滿足第(14)式之最小平方最佳化的解為

(

_T

)

1 _T k k k k k d = P P − P φ (18)

否 否 是 產生新族群 計算適應函數 結束 交配 突變 符合要求 代數上限 是 排列適應函數 最佳適應函數 圖2 基因演算法流程圖

4. 基因演算法求解最佳空間頻率取樣點

近年來，基因演算法已成功的運用於求解最佳化的問題。達爾文（Charles Darwin）的物 種進化論中提到了，物競天擇，適者生存的理論，在1966 年時有學者開始著手研究如何將達 爾文進化論運用到求解最佳化的問題[14]。基因演算法是以自然選擇和自然遺傳為基礎的一 種搜尋演算法，他是以一群的基因組，經由與類似自然界的演化方式經過了交配（Crossover） 與突變（Mutation）產生了新一群的基因組我們稱為新一代族群，這新一代族群再透過模擬 自然環境的適應函數（Fitness function），把最能適應的基因組取出，當成這一代族群中的解， 經由數百或數千代的演化，我們可以找出最適應的基因組，此基因組就是我們所要的答案。 基因演算法的一個優點就是比較能找到整個區域的最佳解（Global optimum），而不是找到局 部域區的最佳解（Local optimum）[14]。 基因演算法有幾個基本的流程，這些流程包括產生新世代、計算適應函數值、排列適應 函數、交配、突變，經由這幾個流程就可找出最佳的解，其流程圖為圖2 所示。

4.1 新族群編碼 新族群是由許多個染色體（Chromosome）所組成，每個染色體由一個以上的基因所組合 而成的，基因的編碼方式可以有很多種方式。本論文中使用二進制（Binary）編碼方式對基 因進行編碼，每一基因代表著濾波器的一點取樣頻率點，例如：一個染色體有21 個基因，每 個基因由10 位元的二進制進行編碼，故整個染色體就有 210 個二進制位元。 在本論文的問題中，空間頻率取樣點有21 點，故每個染色體有 21 個基因；因每個基因 以 10 個二進制位元表示，故一組染色體中有 210 個二進制位元，全都由亂數（Random）產 生，且不考慮每個基因的符號（Sign）；一個族群有 50 個基因進行演算法運算。所以整個新 族群中以一個50×210 的矩陣表示，稱為基因池（Pool）。 4.2 適應函數 適應函數是整個基因演算法重要的一環，每個問題中有不同的適應函數方程式，通常把 每一組染色體代入適應函數方程式中計算，所得的值即為適應函數，根據每個問題不同所要 求的適應函數需最大值或最小值有所不同。本論文中適應函數定義為 1, 2, 1, 2, 1/ 2 2 2 2 ( , ) ( , ) l m l m j j j j d I d I l m E = H −H =_ _H eω e ω −H eω eω _ _ 

∑∑

      ₍₁₉₎ 式中，H z z_d( , )_{1 2} 是1/4 象限設計的二維濾波器，H z z_I( , )_{1 2} 是1/4 象限理想的二維濾波器。 本論文中因為適應函數是為設計上跟理想上的誤差，所以適應函數值越小越好。完成全部族 群之適應函數計算後，由小到大排列並且保留最佳的適應函數，直到有更好的適應函數才取 代它。在此值得注意的是，全象限之設計和理想的二維濾波器間頻率大小誤差之L 模數是₂ 2 E 的兩倍，即 , 2 2 2 2 K d k I K E = H −H = E (20) 其中，H_{d K,} ( , )z z 是經設計保留前面 K 個併聯路徑的二維濾波器且_{1 2} H z z 是理想的二_I( , )_{1 2} 維濾波器。 4.3 交配 交 配 方 式 是 利 用 亂 數 選 擇 兩 個 染 色 體 準 備 進 行 交 配 程 序 ， 這 兩 染 色 體 稱 為 母 代 （Parents）。接著判斷是否執行交配程序，也就是要訂定一個交配機率（Crossover probability）， 且亂數再選取交配的基因範圍進行兩染色體的基因交換，經由這程序後此新的兩染色體稱為

子代（Offspring）。例如：交配範圍在第二到第四個基因間之交配方式如下： 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 4.4 突變 完成交配程序後再把交配完的基因池中每個染色體依據突變率（Mutation probability）看 是否突變，若要執行突變程序，則以亂數選一個基因進行突變。在二進制中的突變方式是把 0 變成 1 或 1 變成 0 即可。例如：突變基因在第三個基因之突變方式如下： 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 經由以上步驟稱為一代（Generation），基因演算法不會只有一代而已，除非第一代就達到我 們想要的目標，否則通常是因設計問題取決演算代數。在經過幾百幾千代的演算後，我們挑 選出其中最好一代的最佳染色體，此染色體就是我們的最佳解，要特別注意的是不一定每一 次執行基因演算法都能得到最佳的解，往往因為初始族群的產生不良而無法找到最佳解，導 致陷入局部最佳解。

5. 模擬例子

考慮一個二維數位濾波器具有對稱、零相位的性質，理想的大小響應表示如下 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1, 0 0.4 ( , ) 0, 0.6 j T j T H eω eω ω ω π π ω ω π  _{≤ + ≤}  =  ≤ + ≤  (22) 其中T₁=T₂ = 。我們的取樣頻率點數為 L=M=21，且1 0.4π 到0.6π 是呈線性變化的傳輸帶。當 使用等空間頻率取樣點法時，可得21 個等空間取樣點，每個點間距為π/ 20，如表1 所示。 將表 1 的等空間取樣點代入第(21)式，可得平面響應矩陣。此平面響應矩陣經奇異值分解後 得到的奇異值σ_k和對應的特徵向量ϕ_k及γ_k。利用此特徵向量ϕ_k，γ_k及離散最小平方最佳化

法可設計對應的一維濾波器並合成併聯結構的二維濾波器。 表1 21 個等空間取樣點 0 0.05π 0.1π 0.15π 0.2π 0.25π 0.3π 0.35π 0.4π 0.45π 0.5π 0.55π 0.6π 0.65π 0.7π 0.75π 0.8π 0.85π 0.9π 0.95π π 表2 等空間取樣法的結果 k(K) σk EˆK ₂ EK ₂ 1 8.3230 1.2635 3.2333 2 1.3806 0.3488 2.7627 3 0.5122 0.1064 2.7028 4 0.3050 0.1464 2.7224 5 0.3036 0.0621 2.7026 6 0.1706 0.0426 2.6884 7 0.1320 0.0290 2.6852 8 0.0971 0.0251 2.6858 9 0.0704 0 2.6759 圖3 等空間取樣點法設計二維濾波器之大小響應

為了比較併聯結構的二維濾波器和第(22)式描述的理想濾波器間的差異性，利用等空間 取樣點獲得之平面響應矩陣的奇異值（σ_k），取前 K 個特徵向量產生的平面響應矩陣和原平 面響應矩陣間之誤差的L 模數（₂ 2 ˆ K E ），與取前K 個併聯路徑產生的濾波器和理想濾波器間 之誤差的L 模數（₂ E_{K 2}），如表2 所示。由表 2 可以看出當 K 值為 6 時，其被忽略的併聯路 徑之大小總和與當K 值為 4 時差距最大，且整體濾波器的誤差也接近最佳值，故我們選定等 空間取樣所需併聯路徑數為6(K =6)，其所得到的大小響應圖如圖 3 所示。 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 G enerations Fit ne ss B es t 圖4 5000 代中基因演算法最佳的適應函數值的變化 接著利用第 4 節介紹的基因演算法求得取樣點。在執行基因演算法時相關的參數設定如 下： 初始族群大小：50 個染色體 每個染色體的基因數：21 個基因 每個基因取樣位元：10 個位元（二進制） 演算代數：5000 代 交配率：0.9 突變率：0.15 經過了5000 代的演算後，其每代演算中最佳的適應函數如圖 4 所示。在第 957 代時得到此演 算法中最佳的適應函數值 0.8558，此最佳適應函數值所所得到的染色體即為我們所需的取樣 點，這些取樣點如表3 所示。

表3 基因演算法求得之 21 個不等空間取樣點 0.0342π 0.0527π 0.0537π 0.1006π 0.1318π 0.1709π 0.1875π 0.2539π 0.4346π 0.4922π 0.5264π 0.5283π 0.5762π 0.5811π 0.6348π 0.6855π 0.7793π 0.7822π 0.8096π 0.8320π 0.9375π 利用這些不等空間取樣點，我們可以產生平面響應矩陣並設計二維濾波器。利用這些不 等空間取樣點產生之平面響應矩陣的奇異值(σ_k)，取前 K 個特徵向量產生的平面響應矩陣和 原平面響應矩陣間之誤差的L 模數（₂ 2 ˆ K E ），與取前K 個併聯路徑產生的濾波器和理想濾波 器間之誤差的L 模數（₂ E_{K 2}），如表4 所示。由表 4 以看出當 K 值為 6 時，其被忽略的併聯 路徑之大小總和與當K 值為 5 時，差距最大，且整體濾波器的誤差也接近最佳值，故我們選 定等空間取樣所需併聯路徑數為6(K =6)，其所得到的大小響應圖如圖 5 所示。 由表3 和表 4 得知，以基因演算法尋找取樣點及等空間取樣設計之二維有限脈衝響應數 位濾波器的L 模數分別為 1.7115 和 2.6759，並且由圖 4 和圖 5 得知，以基因演算法尋找取樣₂ 點設計之二維有限脈衝響應濾波器在通帶及滯帶部分大小響應比等空間取樣點者為佳，且整 體誤差（ E_{K 2}）也較小。 表4 不等空間取樣點之結果 K(K) σk EˆK ₂ EK ₂ 1 8.7821 1.6467 4.0751 2 1.0422 0.5935 2.3665 3 0.3570 0.1768 1.8136 4 0.1139 0.1226 1.8174 5 0.0750 0.0626 1.7121 6 0.0581 4.4042*10-4 1.7115 7 9.9825*10-3 1.3*10-3 1.7114 8 9.9815*10-3 2.2846*10-4 1.7115 9 1.9864*10-5 2.4235*10-6 1.7115 10 1.9501*10-5 1.0981*10-10 1.7115 11 1.122*10-8 3.30334*10-10 1.7115 12 9.9148*10-9 0 1.7115

圖5 基因演算法求得之二維響應濾波器大小響應

6. 結 論

本篇論文為改善了二維有限脈衝數位濾波器的大小響應，我們先由基因演算法取得不等 空間頻率點，接著利用了這些點來產生平面響應矩陣，再經奇異值分解法，分解平面響應矩 陣為數個一維向量和並設計一維子濾波器。經由這樣的程序設計出來二維濾波器大小響應在 通帶及滯帶部分大小響應較等空間取樣點者為佳，並且整體的誤差也比等空間取樣點者更 佳，但是使用基因演算法的缺點是計算適應函數值，對電腦在運算上是一個很大的負擔，另 一個缺點是取樣點的組合相當多，所以真正的最佳取樣點無法得到，只能得到在一固定範圍 的適應函數值。

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