圆的对称性—巩固练习（提高）

(1)

圆的对称性—巩固练习（提高）

【巩固练习】一、选择题 1.（2015•河东区一模）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=25°，以点 C 为圆心，BC 为半径的圆交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，则的度数为（） A．25° B． 30° C． 50° D． 65° 2．下面四个命题中正确的是( )． A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 3．如图，弦 CD 垂直于⊙O 的直径 AB，垂足为 H，且 CD=

2 2

，BD=

3

，则 AB 的长为（） A．2 B.3 C.4 D.5 第 3 题第 5 题第 6 题

4．⊙O 的半径 OA＝1，弦 AB、AC 的长分别是

2

、

3

，则∠BAC 的度数为( )． A．15° B．45° C．75° D．15°或 75°

5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，垂足为 E，CE 为 1 寸，AB 为 10 寸，求直径 CD 的长。依题意，CD 长为( )．

A．

25

2

寸 B．13 寸 C．25 寸 D．26 寸

6．如图，EF 是⊙O 的直径，AB 是弦，EF=10cm，AB=8cm，则 E、F 两点到直线 AB 的距离之和为（）． A．3cm B．4cm C．8cm D．6cm

二、填空题

7．如图，A、B、C、D 为⊙O 上的点，且

  

AB BC CD



．若∠COD=40°，则∠ADO=______度． 8．如图，P 为⊙O 的弦 AB 上的点，PA=6，PB=2，⊙O 的半径为 5，则 OP=______．

(2)

7 题图 8 题图 9 题图

9．如图，⊙O 的弦 AB 垂直于 AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O 的半径等于______cm．

10．（2015•徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，连接 AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙_{O 的半径为 cm．} 11．在图11中，半圆的直径AB=4cm，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为． A E O F B P (第 12 题)

12．如图，点 A、B 是⊙O 上两点，AB=10，点 P 是⊙O 上的动点（P 与 A，B 不重合）连结 AP， PB，过点 O 分别作 OE⊥AP 于点 E，OF⊥PB 于点 F，则 EF= .

三、解答题

13.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CD=15，

OE OC 

∶

3 5

∶

，求弦AB和AC的长．

14．如图所示，C 为

ACB



的中点，CD 为直径，弦 AB 交 CD 于 P 点，PE⊥BC 于 E，若 BC=10cm，且 CE：BE=3：2，求弦 AB 的长．

(3)

⑴求证：PB=PD.

⑵若角的顶点 P 在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.

16.（_{2015•杭州模拟）如图，⊙O 的两条弦 AB、CD 交于点 E，OE 平分∠BED．} （_{1）求证：AB=CD；}

(4)

【答案与解析】一、选择题 1．【答案】C；【解析】连接_CD， ∵在△_{ABC 中，∠C=90°，∠A=25°，} ∴∠_{ABC=90°﹣25°=65°，} ∵_BC=CD， ∴∠CDB=∠ABC=65°， ∴∠_{BCD=180°﹣∠CDB﹣∠CBD=180°﹣65°﹣65°=50°，} ∴ _{=50°．故选 C．} 2．【答案】D．【解析】根据垂径定理及其推论来判断. 3．【答案】B．【解析】由垂径定理得 HD=

2

，由勾股定理得 HB=1，设圆 O 的半径为 R，在 Rt△ODH 中，则

R

2



 

2





R



1 

2，由此得 R=

3

2

，所以 AB=3.故选 B. 4.【答案】D．【解析】分弦 AB、AC 在圆心的同侧和异侧讨论. 5．【答案】D．【解析】连结 AO， ∵ CD 为直径，CD⊥AB， ∴

1

5

2 AE



AB



．设⊙O 半径为 R，则 OE＝R－1． Rt△AOE 中，OA2 ＝AE2 +OE2 ， ∴ R2 ＝52 +(R-1)2 ， ∴ R＝13， ∴ CD＝2R＝26(寸)．故选 D．

(5)

∴∠AOD=120°； ∴∠ADO=

1

2

（180°-∠AOD）=30°． 8．【答案】 13. 9．【答案】 13. 10．【答案】4 2 ．【解析】解：连接_{OC，如图所示：} ∵_{AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，} ∴_{CE=DE= CD=4cm，} ∵_OA=OC， ∴∠_{A=∠OCA=22.5°，} ∵∠_{COE 为△AOC 的外角，} ∴∠_COE=45°， ∴△COE 为等腰直角三角形， ∴_OC= _CE=4 _cm，故答案为：4 11．【答案】

_{2 3cm}

. 【解析】连接 OC,易求 CF=

3.

CD=

2 3cm

_. 12.【答案】5. 【解析】易证 EF 是△APB 的中位线，EF=

1

5.

2 AB 

三、解答题 13.【答案与解析】连结OA， ∵CD=15，

OE OC 

∶

3 5

∶

， ∴OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3， ∴ 2 2 2 2 2 2 2 2

7.5 4.5

6

2

12 6 3

3 5

AE

OA OE

AB

AE

AC

AE

CE











，











(6)

14.【答案与解析】因为 C 为

ACB



的中点，CD 为直径，弦 AB 交 CD 于 P 点，所以 CD⊥AB. 由 BC=10cm，且 CE：BE=3：2，得 CE=6cm，BE=4cm，设

BP a CP b



,



,

则 2 2 2 2 2 2 2

10

4

6 a

b

a

b

 















解得

a 

2 10

，

AB



2 a



4 10

cm

. 15.【答案与解析】（1）证明：过 O 作 OE⊥PB 于 E，OF⊥PD 于 F.

OP

EPF

OE OF PE PF

AB CD

BE DF

PE BE PF DF

PB PD

平分

，

，则























（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略. A A E E P O P O F F C C PA=PC PA=PC 16.【答案与解析】解：（_{1）过点 O 作 AB、CD 的垂线，垂足为 M、N，如图 1，}

(7)

∵_{OE 平分∠BED，且 OM⊥AB，ON⊥CD，} ∴_OM=ON， ∴AB=CD；（_{2）如图 2 所示，} 由（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD， ∴_{DN=CN=AM=BM，} 在_{Rt△EON 与 Rt△EOM 中，} ∵ ， ∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL）， ∴_NE=ME， ∴_{CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，} 即_AE=CE， ∴_{DE﹣AE=DE﹣CE=DN+NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，} ∵∠BED=60°，OE 平分∠BED， ∴∠_NEO= _BED=30°， ∴ON= OE=1，在Rt△EON 中，由勾股定理得： NE= = ， ∴_{DE﹣AE=2NE=2} ．