透過Logo環境探討國小六年級學生van Hiele幾何思考層次與角概念之研究

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國立臺中教育大學數學教育系碩士班碩士論文

指導教授：吳德邦博士

透過 Logo 環境探討國小六年級學生

van Hiele 幾何思考層次與角概念之研究

研究生：李奇荃撰

中華民國九十九年五月

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摘

摘要

要

本研究旨在探討透過實施「 Logo 程式設計輔助角概念學習課程」（以下簡稱 Logo 課程）後，對六年級學生角概念和幾何思考層次的影響。本研究採等組後測設計之準實驗研究法，研究對象為彰化縣某國小六年級學童 33 人，以補救教學的方式實施。在 Logo 課程教學之前先進行前測，教學時間為期十週，每週一次，共計十節課，教學完畢之後進行後測。本研究乃吳德邦（ 2008、2009）行政院國家科學委員會補助專題研究計畫（計畫名稱：以 van Hiele 理論為基礎整合電腦 Logo 程式建構國小幾何數位學習工具與環境，計畫編號： NSC98-2511-S- 142- 004- M。以及計畫名稱：透過 Logo 環境學習幾何培養國小學生高層思考與解決問題能力－從 van Hiele 理論的觀點，計畫編號：NSC97-2511-S-142- 006）之部分研究成果。由資料分析結果，本研究歸納出以下結論：一、本研究實驗組前測時 van Hiele 幾何思考層次一至層次三的通過率分別為 100%、88%及 21%，後測時層次一至層次三的通過率分別為 100%、97%及 27%。學童在接受 Logo 課程之後，達到 van Hiele 的幾何思考層次二與層次三的人數皆有提升。二、學童在接受 Logo 課程之後，實驗組在角概念測驗的成就表現顯著優於對照組。此外，各層次的學童在教學之後都有顯著的進步。三、 van Hiele 幾何測驗得分與角概念測驗得分成顯著正相關，顯示兒童幾何思考層次的高低對於其角概念的理解具有一定的影響。最後，本研究提出一些建議，期能提供角概念的教學進一步相關研究的參考。關鍵詞：六年級學生、 Logo、角概念、幾何思考層次

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To study the angle concept’s and van Hiele geometric

thinking level for elementary 6

th

-grade children by

Logo environment

Abstract

The study was undertaken to explore the sixth-grade students’ angle concept and level of geometry thinking influenced by “Logo Program Assisted Course about Angle Concept Learning”.

This study was adopted the equal-sample-post-only design of quasi-experimental research to investigate 33 sixth-grade students from a elementary school in Changhua County, and the course had been practiced in remedial teaching method. Before practicing the Logo course teaching, the target group had a pre-test. Further, the duration of the teaching was 10 weeks and one times a week. The total was 10 classes.

In this study, De-Bang Wu (2008,2009), National Science Council grant research projects (project name: The van Hiele theory based on the integration of computer Logo programming constructs, elementary geometry digital learning tools and environment, project number: NSC98-2511-S-142-004-M. And the name of the project: through the Logo environment, elementary school students to learn high-level training geometry thinking and problem solving skills - the view from the van Hiele theory, this project is: NSC97- 2511- S- 142- 006 ) is part of the research results.

The data analysis results were as follows:

1. The number of the students, who arrived at geometric thinking level 2 and 3 developed by van Hiele, was increased. Yet, the number of students in level 1 was remained.

2. After having the Logo course, pupils had significant progress in angle concept test performance. Additionally, Students at all levels also greatly advanced after the teaching.

3. van Hiele geometry test score and corner test score into the concept of significant positive correlation, indicating the level of children's geometric thinking level understanding of the concept for its angle

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has some influence.

In conclusion, this research has brought up some suggestions to provide reference materials about polygon concept teaching for further study.

Keywords: sixth-grade students, Logo, angle concept, geometric

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致謝

兩年的研究生涯終於告一段落，想當初剛考上碩士班，是以滿懷期待的心情回到闊別六年的母校繼續就讀研究所，但回想起這段研究所求學的日子，連自己都不知道怎麼熬過來的！同時兼顧家庭、教書及研究所課業並沒有想像的輕鬆，期許自己在兩年畢業更是辛苦，幸好有妻子螢穗的支持，在一切事情忙得暈頭轉向的時候，讓我能無後顧之憂的繼續完成研究。在這兩年裡還要感謝指導教授吳德邦博士，對您的感謝真的很難完全寫在這短短的謝誌裡，謝謝您在研究、邏輯思考及論文撰寫上嚴謹且用心的指導。也感謝口試時馬秀蘭教授給我許多寶貴的建議，精闢的見解讓我受益良多。以及許天維院長在百忙之中，特地撥空參與我的口試並給予叮嚀。除了老師的支持與鼓勵，還有研究所班上同學的相互勉勵與幫忙。另一方面，也要感謝我所任職學校的所有同仁，柯校長非常鼓勵我去進修，王主任以及蔡組長在課表的安排上也幫了我不少忙，還有所有同事給予我研究上的協助及建議以及畢業班的同學們，大家非常的乖巧懂事，謝謝你們。除了我所任教的學校外，還要感謝我太太任職學校協助發放問卷及填寫問卷之教師的幫忙，因為有你們的協助，我才能順利完成論文。最後再次感謝支持我的家人，有你們的陪伴，還有女兒的叮嚀 — 把拔要認真做作業喔，讓我有動力完成這個學習階段。在此獻上我最誠摯的謝意，謝謝你們。

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目

錄

摘要 ...I

致謝 ... IV

目錄 ... V

圖目錄 ...VII

表目錄 ... IX

第一章

緒論 ... 1

第一節

研究背景與動機 ... 1

第二節

研究目的與待答問題 ... 3

第三節

名詞釋義 ... 4

第四節

研究範圍與限制 ... 6

第二章

文獻探討 ... 7

第一節

van Hiele 幾何思考層次 ... 7

第二節

新、舊課程標準的角概念 ... 10

第三節

有關角的研究 ... 14

第四節

電腦的教育功能 ... 19

第五節

Logo 語言與在教育上的應用 ... 20

第三章

研究方法 ... 31

第一節

研究架構 ... 31

第二節

研究對象 ... 33

第三節

研究工具 ... 34

第四節

研究步驟 ... 45

第四章

質性的結果與討論 ... 47

第一節

Logo 程式設計輔助角概念學習課程 ... 47

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第二節

Logo 程式設計輔助角概念學習課程實例分析 ... 58

第五章

量的結果與討論 ... 69

第一節

吳－薛氏 van Hiele 幾何測驗前、後測分析 ... 69

第二節

角概念測驗前、後測分析 ... 74

第六章

結論與建議 ... 83

第一節

結論 ... 83

第二節

建議 ... 86

第三節

未來研究的建議 ... 87

參考文獻 ... 88

中文文獻 ... 88

英文文獻 ... 93

附錄 ... 97

附錄一

角概念測驗工具 ... 98

附錄二

Fuys 等人 (1988) 提出針對 van Hiele 層次的描述和學

生反應的例子 ... 105

附錄三

專家意見表 ... 118

附錄四

吳 —薛氏 van Hiele 幾何概念測驗使用同意書 ... 122

附錄五

分年細目 ... 123

附錄六

研究甘梯圖 ... 127

附錄七

國小學童電腦程式 Logo 學習課程 ... 128

指導教授簡歷 ... 161

作者簡歷 ... 162

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圖目錄

圖 3-1 研究架構圖 ... 31 圖 3-2 研究流程圖 ... 46 圖 4-1 StarLogo 的視窗介面 ... 48 圖 4-2 創造一隻圖龜畫面 ... 49 圖 4-3 圖龜左轉畫面 ... 49 圖 4-4 圖龜轉角度的練習圖 ... 50 圖 4-5 圖龜數字圖 ... 50 圖 4-6 StarLogo 迷宮 ... 51 圖 4-7 創造新程序圖 ... 52 圖 4-8 圖龜畫正方形 ... 53 圖 4-9 圖龜利用 REPEAT 畫正方形 ... 53 圖 4-10 圖龜利用 REPEAT 畫正三角形 ... 54 圖 4-11 圖龜利用 REPEAT 畫正多邊形 ... 54 圖 4-12 使用變數畫圖 ... 55 圖 4-13 正 360 邊形 ... 56 圖 4-14 扇形 ... 56 圖 4-15 圖畫創作 ... 57 圖 4-16 幾何圖形創作 ... 57 圖 4-17 單元一學生作品 1 ... 58 圖 4-18 單元一學生作品 2 ... 58

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圖 4-19 單元二學生作品 ... 59 圖 4-20 單元三學生作品 ... 60 圖 4-21 單元四學生作品 1 ... 61 圖 4-22 單元四學生作品 2 ... 61 圖 4-23 單元四學生作品 3 ... 62 圖 4-24 單元五學生作品 1 ... 62 圖 4-25 單元五學生作品 2 ... 63 圖 4-26 單元五學生作品 3 ... 63 圖 4-27 單元六學生作品 1 ... 64 圖 4-28 單元六學生作品 2 ... 64 圖 4-29 單元六學生作品 3 ... 65 圖 4-30 單元六學生作品 4 ... 65 圖 4-31 單元七學生作品 1 ... 66 圖 4-32 單元七學生作品 2 ... 66 圖 4-33 單元八學生作品 ... 67 圖 4-34 單元九學生作品 1 ... 68 圖 4-35 單元九學生作品 2 ... 68

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表目錄

表 3-1 實驗設計模式 ... 32 表 3-2 預試樣本數分布情形統計表 ... 33 表 3-3 van Hiele 幾何思考層次之角概念測驗雙向細目表 ... 38 表 3-4 van Hiele 幾何思考層次之角概念測驗項目分析 ... 40 表 3-5 Logo 程式設計輔助角概念學習課程大綱 ... 44 表 5-1 幾何測驗前測得分獨立樣本 t 檢定 ... 69 表 5-2 幾何概念得分組內回歸係數同質性考驗 ... 69 表 5-3 幾何概念得分單因子共變數分析檢定摘要表 1... 70 表 5-4 幾何概念得分單因子共變數分析檢定摘要表 2... 70 表 5-5 實驗組在不同 van Hiele 層次的通過人數及百分率 ... 70 表 5-6 不同 van Hiele 層次分測驗的前後測總分之描述性統計 ... 71 表 5-7 吳－薛氏 van Hiele 幾何概念分測驗成對樣本 t 檢定 ... 72

表 5-8 van Hiele 層次及角概念間之 Pearson 積差相關 ... 73

表 5-9 角概念前測得分獨立樣本 T 檢定 ... 74 表 5-10 角概念測驗組內回歸係數同質性考驗 ... 74 表 5-11 角概念測驗得分單因子共變數分析檢定摘要表 1 ... 75 表 5-12 角概念測驗得分單因子共變數分析檢定摘要表 2 ... 75 表 5-13 角概念前測之幾何思考層次獨立樣本 t 檢定 ... 76 表 5-14 角概念前測之幾何思考層次組內回歸係數同質性考驗 ... 76 表 5-15 角概念之幾何思考層次單因子共變數分析 1 ... 76

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表 5-16 角概念之幾何思考層次單因子共變數分析 2 ... 76 表 5-17 角概念前三個層次前測得分獨立樣本 T 檢定 ... 77 表 5-18 角概念測驗前三個層次組內回歸係數同質性考驗 ... 78 表 5-19 角概念前三個層次測驗得分單因子共變數分析 1 ... 78 表 5-20 角概念前三個層次測驗得分單因子共變數分析 2 ... 79 表 5-21 實驗組角概念前三個層次得分之成對樣本統計量 ... 79 表 5-22 實驗組角概念前三個層次得分之成對樣本 t 檢定 ... 80 表 5-23 不同組別的學生在角概念前測各層次之卡方考驗 ... 80 表 5-24 不同組別的學生在角概念後測各層次之卡方考驗 ... 81

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第一章

緒論

本章共分為五節，第一節為研究背景與動機，第二節為研究目的，第三節為研究問題，第四節為名詞釋義，第五節為研究範圍與限制。

第一節

研究背景與動機

人是視覺的動物，為了生存，人類天賦的「形」和「幾何」直覺，是非常重要的。幾何是數學教育中的重要議題（教育部， 2003），他們認為幾何圖形既有趣又能激發想像力，所以學童的幾何能力往往超越他們的數字技能（ National Council of Teachers of Mathematics; 簡稱

NCTM， 1989）。幾何學的重要性是無庸置疑的， Clements 和 Battista （ 1992）指出：幾何提供了我們詮釋和思考自然環境的一種方法，並且可以做為學習其他數學和科學主題的工具，更重要的是幾何中的空間思考有助於高層次數學的創造思考力。幾何是一門探討空間關係與邏輯推理的數學，幾何概念與表徵是數學與真實世界溝通的重要方式之一，且與數學其他領域緊密聯結（左臺益、梁勇能， 2001）。 1968 年的數學課程中，以數、計算與實測為教材之核心，視計算為教學的重點（譚寧君，1993）。1975 年版課程標準開始著重「形」的教學，所以把教材領域改變成數、量、形三個層面，自此幾何的教材才被歸為一類（吳貞祥， 1980）。而所謂的「形」就是指「圖形」，它是一種抽象的概念，是根據物體的形狀抽象化而成，是幾何學研究的範疇。 1993 年版課程標準將「圖形與空間」分為平面圖形以及立體圖形兩部分（教育部，1993）。2000 年公布的九年一貫課程暫行綱要中，數學領域分成五大主題，分別是數與量、圖形與空間、統計與機率、代數、連結（教育部，2000）；2003 公布的正式綱要裡的數學領域維持原本的五大主題，只是「圖形與空間」改為「幾何」（教育部， 2003）。顯示國小數學課程的幾何主題逐漸受到重視，它的地位也愈來愈重要。雖然教育不斷的改革，不論是課程的精神，甚至乎教育的最終目標都做了大幅度的變更。然而，在數學領域中，「角」的相關概念一直佔著十分重要的地位，不僅在 1993 年版國民小學數學課程標準甚至九年一

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貫課程數學領域之學習目標皆提到「角」的相關概念。

國內外相關學者如劉好（ 1996）、Ainley 和 Ronnie（1988）、 Mitchelmore（ 1998）、 Clements 和 Battista(1990)、 Wilson 和 Adams （ 1992）、Happs 和 Mansfield（1992）、Krainer（1993）、Wilson（1990）皆提到角的重要性，並進行「角概念」的相關研究。 Wilson（1990）進一步提到學童在發展空間觀念、描述、和分類幾何圖形時，都需要瞭解角的相關概念。換言之，角的概念對於學習幾何有著十分重要的影響。

NCTM（ 2000）強調所謂的「科技原則」（ The Technology Principle），指出科技可以增進學生數學的學習，並且也可以幫助教師做有效的教學；電子科技的運用，特別是計算機與電腦的普及，使它們成為在從事數學的教與學時，必要且不可或缺的工具。我國九年一貫課程也主張各學習領域應使用資訊科技為輔助學習的工具，以擴展各領域之學習，並提升學生解決問題的能力（教育部， 2003）。因此，如何將資訊教育與數學教育適當地連結，以符合九年一貫課程的精神，便成為一個重要議題。 1960 年代， Seymour Papert 根據皮亞傑的兒童認知發展理論以及建構主義的觀點，發展出一套適合兒童學習之程式語言 —Logo。Logo 語言的最大特色就是圖龜幾何學（ turtle geometry），兒童可以利用一些簡單的指令，指揮圖龜在電腦螢幕上繪圖。根據 Papert（1980）的看法，兒童在 Logo 中可以透過擬人化的心像（anthropomorphic images），以圖龜當作學習形式數學的媒介，並從中學習形式幾何的概念和思考之策略。劉好（ 1994）指出國小低年級學童大都屬於最初的視覺辨別層次；中、高年級的兒童則已逐漸進展到分析描述的層次，這時候的教學可以安排適當的觀察及實際驗證的方法，分析圖形的構成要素及圖形的性質。Logo 環境可以提供這種幫助，例如學童在畫各種圖形時，就必須去分析圖形的構成要素及構成要素間的關係，因此可以引導他們進入描述的層次。國內、外學者的研究（ Clements & Battista, 1989, 1990；Mason, 1989； Van de Walle, 2004；吳德邦、蔡淑芬、馬秀蘭、吳順治， 2010）發現 Logo 教學能幫助提升 van Hiele 的幾何思考層次。而兒童在 Logo 環境學習角的相關概念，對其幾何認知能力和思考層次是否有提升，研

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究者認為值得加以探討。因應九年一貫課程主張資訊教育融入數學領域，我國國小數學教育如何使用 Logo 或應用 Logo 環境學習角的相關概念，對學童角概念的認知是否有幫助？應是值得研究的問題。雖然國外已有學者利用 Logo 環境為基礎探究學童角概念進步的情形，但這些研究未以 van Hiele 幾何思考層次做進一步的探究，且國內目前並無以 Logo 環境為基礎，來探討 Logo 程式設計輔助角概念學習的相關研究。因此基於上述理由，研究者以 Logo 環境為基礎，來探討 Logo 程式設計輔助角概念學習對國小六年級學生角概念及 van Hiele 幾何思考層次上的影響。

第二節

研究目的

研究目的與待答問題

與待答問題

壹壹壹壹、、、、研究目的依據上述的研究動機研究目的依據上述的研究動機研究目的依據上述的研究動機，研究目的依據上述的研究動機，，本研究的目的如下，本研究的目的如下本研究的目的如下本研究的目的如下：：：：

一、在 Logo 環境中，對國小六年級學生 van Hiele 幾何思考層次之影響。

二、探討 Logo 程式設計輔助角概念學習對國小六年級學生角概念之影響。貳貳貳貳、、、、待答問題待答問題待答問題 待答問題根據上述的研究目的，本研究探討的問題如下：

一、國小六年級學生以 Logo 語言學習的程式設計中，van Hiele 幾何思考層次表現情況為何？包括以下四個項目：

（一）實施 Logo 教學後，實驗組於吳－薛氏 van Hiele 幾何測驗總分是否有顯著優於對照組？（二）實驗組 van Hiele 層次一至層次三各層次通過人數及百分率是否有所提升？（三）實驗組在不同 van Hiele 層次總分是否有顯著的進步？（四）吳－薛氏國小學童 van Hiele 幾何測驗層次及角概念之間有無關連性？

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二、 Logo 程式設計輔助角概念學習對國小六年級學生之幾何角概念認知影響情況為何？包括以下四個項目：（一）實施「 Logo 程式設計輔助角概念學習課程」對國小六年級實驗組學生的角概念認知是否有顯著優於對照組？（二）實施「 Logo 程式設計輔助角概念學習課程」的國小六年級學生，實驗組學生其於角概念認知層次上的表現是否顯著優於對照組？（三）實施 Logo 教學後角概念各層次得分上的是否有顯著優於對照組？（四）實驗組角概念各層次在測驗前後是否有顯著的進步？（五）利用卡方檢定實驗組、對照組與層次之間在角概念的關係為何？本研究之假設為實施「 Logo 程式設計輔助角概念學習課程」對國小六年級學生的幾何概念及角概念有顯著影響。

第三節

名詞釋義

針對本研究相關的名詞，研究者加以界定說明如下：壹壹壹壹、、、、 Logo

是由美國麻省理工學院（ Massachusetts Institute of Technology, 簡稱 MIT）人工智慧實驗室，和柏特公司（ Bolt, Beranek & Newman Inc.）進行專案研究所發展的電腦語言。本研究所用的 Logo 程式為 StarLogo，版本是 2.2 版。貳貳貳貳、、、、 Logo 環境環境環境環境是指在 Logo 程式語言的套裝軟體所營造的學習環境，由研究者自編十個單元的「 Logo 程式設計輔助角概念學習課程」，提供學童一些圖形或遊戲，要求學童利用已學過的指令來撰寫程式以完成任務。藉由程式設計和繪圖的過程，瞭解各種角的性質與關係。

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參參參參、、、、國小六年級學生國小六年級學生國小六年級學生 國小六年級學生係指 2009 年在學（即 2004 年入學）之彰化縣某國小六年級的學生，其一至六年級是接受 2003 年頒佈之九年一貫正式綱要的數學領域課程。肆肆肆肆、、、、九年一貫課程數學領域中之九年一貫課程數學領域中之九年一貫課程數學領域中之「九年一貫課程數學領域中之「角「「角角」角」」」概念概念概念 概念九年一貫暫行綱要數學領域，係根據學生的學習方式與思考型態兩項特徵，將國小至國中九個年級課程區分為四階段。本研究「角」概念相關部份係涵蓋階段一（國小 1～3 年級）及階段二（國小 4～5 年級）中，有關「數與量」主題中的「量與實測」子題的角度度量概念及「圖形與空間」主題的角概念之能力指標為主。根據上述，茲將角概念蓋分成下列八項：一、角的保留概念。二、圖形角概念。三、張開角概念。四、旋轉角概念。五、角的實測概念。六、角的估測概念。七、角的實作表現。八、角的迷思概念。伍伍伍伍、、、、 van Hiele 幾何思考層次幾何思考層次幾何思考層次 幾何思考層次

本研究所提及的 van Hiele 幾何思考層次，係指 van Hiele（1986）所提出的五個層次（Wu, D. B., & Ma, H. L., 2009; Wu, D. B., Ma, H. L., Chen, G. S., & Chang, H. T., 2009; 吳德邦， 1998、 1999、 2001、 2004；吳德邦、沈紀伶、馬秀蘭、許天維， 2009；吳德邦、李奇荃、馬秀蘭、李懿芳， 2009；吳德邦、林宜樺、馬秀蘭、許天維、吳順治，2009；吳德邦、馬秀蘭、紀小玉、林原宏、姚如芬， 2006；吳德邦、馬秀蘭、陳姿良、許天維， 2010；吳德邦、陳姿良、馬秀蘭、紀小玉，2009；吳德邦、鄭如君、馬秀蘭、許天維， 2009；吳德邦、戴秀雯、馬秀蘭、吳順治、紀小玉，2009），分別為層次一：視覺的（ visual）層次、層次二：描述的（ descriptive）層次、層次三：理論的（theoretical）層次、層次

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四：形式邏輯的（formal logic）層次、以及層次五：邏輯法則本質的（the nature of logical laws）層次。有關 van Hiele 理論的研究，許多學者的研究結果認為國小學童只能達到 van Hiele 幾何思考層次的前三個層次，後二個層次已超出國小學童的幾何認知能力，所以本研究僅針對前三個層次做探究。

第四節

研究範圍與限制

本研究採用「準實驗設計」，實驗處理以研究者自行設計的課程從事教學。在實驗過程中，由於一些難以控制的客觀因素的影響，所以產生以下的限制：一、本研究於前、後測皆使用相同的評量工具，加上會受到個體身心成熟因素所影響，以致影響研究結果。二、本研究屬實驗教學的研究，結果可能會隨教學者的特質而有所不同。三、本研究的對象為研究者任職之彰化縣某國小六年級其中一個班級的學生，研究結果只適用於類似學校背景的學生，對研究結果之推論須特別謹慎。

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第二章

文獻

文獻探討

探討

我國近二十年來，教育改革一直為社會大眾之期盼，因而教育部分別在 1993 年頒佈「新」的「國民小學課程標準」，又在 2000 年頒佈「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」，進而在 2003 年頒佈「國民中小學九年一貫課程正式綱要」。在這一波教育改革中，不論是課程的精神，甚至於教育的最終目標都做了大幅度的變更。然而，在數學領域中，「角」的相關概念一直占著十分重要的地位。因此，本章第一節先介紹本研究的理論基礎 — van Hiele 幾何思考層次理論；第二節首先透過 1993 年國民小學數學課程標準學習目標與九年一貫課程數學領域中所陳述與「角」相關之概念，藉此強調「角」相關概念之重要性，並據以界定本研究之研究範圍；第三節針對「角」的概念，深入探討國內外相關之研究及文獻；第四節藉由電腦輔助學習相關的研究，據以瞭解電腦輔助學習對幾何概念學習之影響；第五節說明本研究的相關研究之特色。

第一節

van Hiele 幾何思考層次

幾何思考層次

本研究所提及之 van Hiele 幾何思考層次，係指 van Hiele（1986）所提出的五個層次（Wu, D. B., & Ma, H. L., 2009; Wu, D. B., Ma, H. L., Chen, G. S., & Chang, H. T., 2009; 吳德邦， 1998、 1999、 2001、 2004；吳德邦、沈紀伶、馬秀蘭、許天維， 2009；吳德邦、李奇荃、馬秀蘭、李懿芳， 2009；吳德邦、林宜樺、馬秀蘭、許天維、吳順治，2009；吳德邦、馬秀蘭、紀小玉、林原宏、姚如芬， 2006；吳德邦、馬秀蘭、陳姿良、許天維， 2010；吳德邦、陳姿良、馬秀蘭、紀小玉，2009；吳德邦、鄭如君、馬秀蘭、許天維， 2009；吳德邦、戴秀雯、馬秀蘭、吳順治、紀小玉，2009），分別為層次一：視覺的（ visual）層次、層次二：描述的（ descriptive）層次、層次三：理論的（theoretical）層次、層次四：形式邏輯的（formal logic）層次、以及層次五：邏輯法則本質的（the nature of logical laws）層次。有關 van Hiele 理論之研究，許多學者的研究結果認為國小學童只能達到 van Hiele 幾何思考層次的前三個層次，後

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二個層次已超出國小學童的幾何認知能力，所以本研究只針對前三個層次做探究。

根據 van Hiele 的理論，以學生之幾何思考為例，可以分為五個層次 (van Hiele, 1986)。本研究中，將採用 van Hiele 1986 年的用法及其名詞，分別稱之為層次一：視覺的層次、層次二：描述的層次、層次三：理論的層次、層次四：形式邏輯的層次、以及層次五：邏輯法則本質的層次。玆將這五個層次分述如下：一、層次一：視覺的層次屬於這個層次之兒童藉著視覺觀察各種具體事物，從各種實體物的外形輪廓來辨認圖形。如：由從前生活經驗中知道長方形是瘦瘦長長的，圓圓的東西是圓形，像門的形狀是長方形，像太陽的形狀是圓形，又如 ◇ 看起來，不像正方形，兒童認為這不是正方形，這個層次兒童的思考推理，受視覺外觀之影響很大。只要圖形外表特徵差異稍大時，就不會將長方形看成正方形；或是將橢圓形看成圓形。此層次的兒童可透過實體物操作，例如旋轉或移動，就可辨別圖形之異同，他們可使用非數學的術語，知道各種圖形，但卻無法了解這些圖形的真實意義。教師應多提供各種機會，讓兒童透過實際操作，使其視覺感官進行圖形之分類、描繪、著色、堆積、造形等活動，來獲得幾何圖形之正確概念。學生能根據圖形的外表，來識別、操弄圖形（ Shape）（如：正方形，三角形），和其它幾何構形要素（ Configurations）（如：線，角，網狀格子）。二、層次二：描述的層次這個層次的兒童已經有辨別圖形特徵的能力，他們能利用視覺來觀察組成圖形之構成要素（頂點、邊、角）與這些要素之間的關係，分析幾何概念。因此，能察覺到圓形沒有邊，正方形有四個邊，且每邊都相等；三角形有三個邊，可是無法說明這些圖形特徵之間有何關係存在。如：菱形、正方形、平行四邊形、長方形之間有何關係，兒童不一定能知道正方形與長方形雖然都有四個邊，當這兩個圖形之邊長不相等時，面積可能相等，此層次的兒童尚無法經由推理而瞭解其道理何在。學生藉由組成元素之名稱，和組成元素之間的關係來分析圖形。同時，依其經驗建立同一類圖形所具之特性，並運用圖形之特性來解題。三、層次三：理論的層次

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這個層次之兒童，不但能了解、掌握、運用構成圖形的各種要素，並且能進一步探求各種幾何圖形的內在屬性（即構成要素間關係之非形式推理）以及各圖形之間的包含關係。如，平行四邊形的兩雙對邊相等；長方形是平行四邊形的一種，當平行四邊形其中一角為 90°時，這個四邊形就是長方形。又如，任何三角形之外角，都等於其相對兩內角的和，多邊形的內角和為 180°×（n-2）。這層次的兒裡開始建構不同類型圖形之間的關係，如：正方形、菱形、長方形、平形四邊形。學生使用公式表示和使用定義，整理先前發現之性質，給一非正式的討論，並跟著給一演繹上的討論。四、層次四：形式邏輯的層次這個層次的學生能經由抽象推理的過程，證明各種幾何問題，同時能知道證明的方法不只一種。換句話說，兒童不必靠記憶公式來證明幾何問題。此外，他們能夠理解幾何問題之解決，必須具備充分或必要條件。如：不必透過拿實體物來操作，就能夠證明畢氏定理。譬如：這個層次兒童可以知道菱形也是長方形，又是正方形。學生能用邏輯推理的方法，來證明幾何之性質。五、層次五：邏輯法則本質的層次這個層次是屬於最高層次，達到這個層次的學習者能在不同的公設體系中，建立定理並且分析或比較包括非歐幾何（ non-Euclidean Geometry）或比較不同公設系統；同時也能了解抽象的幾何概念。在此層次的學生，能學習不同之幾何公設系統，了解抽象推理幾何，並能互相比較不同公設系統。根據 van Hiele 之實証研究顯示，人類幾何概念的發展，在上述這五個層次有其次序性，學習者必須具有前一層次的各項概念與能力，教師才能夠進行更高一層次之幾何教學活動。大體來說，國民小學低年級學生，其幾何程度大都屬於視覺的層次，因此，學生必須透過實體物之操作，比較拼湊或推疊，在實際經驗之後，教師才能循序漸進，教導學生逐漸達到更高之層次。van Hiele 之理論與 Piaget 的認知發展理論，實有不謀而合的境界。

根據 van Hiele 之理論，幾何思考的層級是依序漸次晉升，在升至下一個層次之前，必須對這個層次的技能和策略有充分的了解。而各層次

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與年齡不一定有相關。大體來說，學前幼兒與小學低年級學生屬於第一層次，不過也有中學生仍然處於這個層次（ Burger and Shaughnessy， 1986）。

第二節

新

新、

新

、

、舊課程標準的角概念

、

舊課程標準的角概念

壹壹壹壹、、、、 82 年版年版年版「年版「「國民小學數學課程標準「國民小學數學課程標準國民小學數學課程標準國民小學數學課程標準」」」」在 82 年版「國民小學數學課程標準」之領域目標（教育部，1993）中提及：一、能瞭解各種量均可比較、保存、分割、併合等性質、能瞭解各種量的普遍單位的意義，並用以進行實測及估測。二、認識長度、重量、時間、角度等各量的普遍單位，並以此單位進行實測、估測比較。進一步，在教材綱要（教育部， 1993）中說明：三、角度的認識、角的張開程度的直接比較、使用以度為刻度單位之工具、角的張開程度的間接比較。四、角的旋轉程度的直接比較、角的旋轉程度之間接比較、認識度的意義、以度為單位，進行實測及估測之活動。五、透過摺紙製作直角，並在生活情境或圖形中辨認直角；利用直角，瞭解長方形、正方形、直角三角形之特性；角的初步概念。六、使用量角器量角度及畫角；透過直角認識直線的垂直與平行。而在實施方法（教育部， 1993）中強調：量與實測領域內容各單元的教學，應先進行估測後，加以實測驗證，所以必須借助角度的實測工具。因此，我們很清楚看出「角」的相關基本概念在 82 年版「國民小學課程標準」中之重要性：三年級中之角的認識（尤其是直角）、張開角的直接比較、張開角的間接比較、使用量角器實測等，到四年級之旋轉角之直接比較、旋轉角的間接比較、角的估測、利用量角器作實測活動及畫角等。事實上，「角」之重要性不單在其本身相關之概念，更重要的是其不可或缺的延伸至其他數學上的重要幾何概念，如：三角形、正方形、長方形等平面中之基礎幾何圖形的學習上。

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貳貳貳貳、、、、九年一貫課程之數學領域九年一貫課程之數學領域九年一貫課程之數學領域 九年一貫課程之數學領域首先，在國民中小學九年一貫課程中數學領域第一階段之能力指標提出有關如何進行角之概念活動：一、 N-1-9 能透過感官活動感覺一個量，並對兩個同類量做直接比較，進而對一個量作複製活動（量：長度、容量、重量、角度、面積、體積）。二、 N-2-10 能使用生活中常用之測量工具（刻度尺的方式，及不涉及其結構），以一階普遍單位描述一個量（量：長度、容量、重量、角度、面積、體積；普遍單位：米、厘米、分公升、千克、克、度、平方厘米、立方厘米）。接著，在其第二階段之能力指標指出有關如何進行角的概念活動：一、 N-2-9 能在保留概念形成後，進行兩個同類量之間接比較（利用完整複製）及個別單位之比較（利用等量合成的複製）（量：長度、容量、重量、角度、面積、體積）。三、 N-2-10 能認識各種量之普遍單位，應用在生活中的實測和估測活動，並培養出量感（普遍單位：千米、毫米、公升、毫公升、時、分、秒）。四、 N-2-11 能理解生活中，各種量之測量工具上刻度間的結構，進而對以同單位表達的量作形式計算。由以上所寫的課程綱要中，根據羅昭強（ 2001）的研究，我們可以很清楚看出「角」在第一階段和第二階段課程之重要性，包括第一階段：角之認識、角之直觀比較、角之直接比較、角之複製、角之測量等，以及第二階段：角之保留概念、角之間接比較、角之實測和估測、角之測量、繪製及計算等，而且也是其他主題的基礎課程，學習角變成為學童學習重要之課程。參參參參、、、、 82 年版國民小學數學課程標準與九年版國民小學數學課程標準與九年版國民小學數學課程標準與九年一貫課程數年版國民小學數學課程標準與九年一貫課程數年一貫課程數年一貫課程數學領域比較學領域比較學領域比較學領域比較 根據羅昭強（ 2001）的研究，從 1993 年版國民小學數學課程標準的三、四年級學習目標與九年一貫課程數學領域第一、二階段（一至五年級）提到角的學習目標，其說明如下：一、角的認識：含角之構成要素、張開角。

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二、認識直角：角之初步概念，並透過摺紙製作直角，在生活情境或圖形中辨認。三、張開角的直接比較：透過疊合，比較兩張開角之大小，不涉及角的單位。四、角的間接比較：透過拓印複製甲角，再透過保留概念，將複製角和乙角作直接比較，以比較出甲角和乙角的角度大小；不涉及角度單位。五、旋轉角：角旋轉之程度的直接和間接比較。六、角的測量：使用度為刻度的量角器描述圖形之角的大小（直接比對量角器上的刻度和圖形的角，以量角器上的刻度描述被測量角的大小，不涉及測量單位量的分解與合成；測量方式先從刻度 0 開始，再要求從任意刻度開始）。七、角的估測：以度為單位，進行估測。八、角的繪製：使用度為刻度之量角器來繪製角。九、直角概念延伸至其他幾何圖形：利用直角，瞭解相關平面圖形之特性。因此，綜合以上之說明，「角」的相關概念是國小學童必須學習之概念，而如何讓學童學好角的概念也是一個重要之議題。故此，針對國小三年級學童而言，本研究對「角」之相關概念界定於：角的辨識、角的估測、角的實測、及畫出指定的角等四種能力。肆肆肆肆、、、、九年一貫課程數學領域中之九年一貫課程數學領域中之九年一貫課程數學領域中之「九年一貫課程數學領域中之「角「「角角」角」」」概念概念概念 概念九年一貫暫行綱要數學領域，係根據學生的學習方式與思考型態兩項特徵，將國小至國中九個年級課程區分為四個階段。本研究「角」概念相關部份係涵蓋階段一（國小 1～3 年級）及階段二（國小 4～5 年級）中，有關「數與量」主題中之「量與實測」子題的角度度量概念及「圖形與空間」主題的角概念之能力指標為主。根據上述，茲將角概念蓋分成下列八項：一、角的保留概念：本研究中的「角的保留概念」是指角的大小不因「方位擺置的不同」、「切割重組」、「邊的長短不同」等因素而有所改變。

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二、圖形角概念：本研究中的「圖形角概念」是指由共一端點的兩射線所圍成平面區域的一部分角形，是一種限制範圍的角形。三、張開角概念：本研究中的「張開角概念」是指二線段以一共同的固定點（共一端點及相同指向），兩邊同時張開所形成的角，不計較始邊與終邊，只著重角的張開現象與程度，如：紙扇的張開現象。四、旋轉角概念：本研究中之「旋轉角概念」是指一線段從起點（朝某一方向）繞著一端點旋轉到另一位置（指向另一方向），所形成的角，也就是將角視為旋轉，著重角的旋轉程度。五、角的實測概念：本研究中之「角的實測概念」是指學生能使用量角器量測圖形角之度數或大小，並以「度」為量測值的單位。六、角的估測概念：本研究中的「角的估測概念」是指學生能對角形的兩邊張開程度大小，非使用量角器直接測量，而以心像或某種方式估出角兩邊張開程度之度數。七、角的實作表現：本研究中的「角的實作表現」是指實際操作的方式來探究學童角概念理解的情形，包含以下七項：（一）實物形體上角的辨認（二）三角形內角和之操作觀察（三）四邊形內角和的操作觀察（四）角大小的直接比較（五）角大小之間接比較（六）互補角之作圖（七）鈍角三角形之作圖。八、角的迷思概念：本研究中的「角的迷思概念」是指學童在認識角的過程中，可能自行發展出某些自以為是、對事實不當的解釋或錯誤混淆之想法，但這些是與教科書的教材內容、教師教學所傳達之知識、學者專家所公認的事實並不相容或不一致的情形。

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第三節

有關角的研究

有關「角」的相關研究，我們細分「角的辨識」、「角的估測」、「角的實測」及「畫出指定的角」等四方面作深入探討。壹壹壹壹、、、、角的辨識角的辨識角的辨識 角的辨識劉好（ 1996）在「角的課程設計理念」提到中年級之角的概念學習可分成：一、一般生活中所說的角概念：一般人所認為的角，常常是真正角概念的局部，如：產生一個尖尖的頂點、兩邊中夾著一塊區域，也常以角的頂點或頂點的鄰近區域來描述角，如：桌角、三角形的角。二、理想的角概念：簡單的說，就是自一點朝兩個不同方向延伸出兩條射線結構，故角的邊是射線不是線段。她又將學童角概念之認知分成：（一）圖形角：學童學習角之開始，最初是透過視覺觀察具體物，經由具體物的外觀來辨認圖形。（二）張開角：從相關實物產生聯結，如：扇子的開合現象，進一步引出張開角、角之方向可任意改變、邊為射線一部分可以任意延長。（三）旋轉角：這種旋轉的現象因動作停止而立即消失，通常以箭頭表示，記錄始邊與終邊。 Ainley 和 Ronnie（ 1988）談到學童開始學習角之概念，最好的方式就是在生活中經驗角之旋轉及其物理性質，例如：開門、轉水龍頭、使用剪刀、移動玩具時鐘的指針、或更重要讓他們感受身體之移動。 Mitchelmore（ 1989）的研究顯示，當學童提到「角」時，可能形容成將門開個小小的縫、將門開大一點，或者形容成將爐子的火轉熱一點、將爐子的火轉更熱一點，兩者雖然所表達之方式不同，其實意義都是一樣。由此可知，學童對於角之概念已有充足的生活體驗，而且可以使用非數學語言來表達。但是，若要作兩個旋轉角的大小比較、或旋轉角的角度測量時，苦於物體的移動沒有痕跡，因此無法真實的測量，故不可避免地將動態的角表徵為靜態的角，造成學童產生連結上的困難和測量

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答案之可疑性。如此一來，就會產生認知上的衝突和混淆，故學童要真正瞭解角之概念，必須能夠掌握角在靜態、動態情境下的變化，以及旋轉角之動態性質轉化為紙上之靜態性質。 Clements 和 Battista(1990)認為角應包括形狀、線段、傾斜線、方向等要素。Wilson 和 Adams（1992）研究學童角之迷思概念，如利用兩支鉛筆呈現的角，學童會誤解角的大小由鉛筆之長度所決定，或者角的一邊一定要呈水平狀態。Mitchelmore（ 1989）研究結果顯示：雖然大多學童能將鐘擺或時針的轉動抽象化而畫出「角」，然而只有極少數之二年級學童能正確指出「角」的兩邊及頂點與鐘擺或時針的相互對應關係。更甚者，很多學童不能將「角」之角度大小和鐘擺或時針的轉動多少作適當的連結。由此觀之，學童對角的邊長、旋轉角之認識等皆有迷思概念，而對於角的基本認識，仍存在著盲點。 Wilson 和 Adams（ 1992）提及學童對於角的概念之不足，可歸因於課程設計時忽略角的認識和角的測量的教學主題、或學校給予一般學童學習太抽象之角概念，導致學童到了中學階段仍然缺乏角概念。因此，他們建議學校從事角的教學應注意：一、角之觀念需要長時間培養。三、靜態角對於較小的學童是有困難。四、設計一些教學活動，幫助學童探討角、角的性質、以及角的關係等。進一步， Wilson 和 Adams 提到教師應提供真實情境，幫助學童專注於旋轉角轉向的四個特徵：（一）轉向的點（角的頂點）；（二）角的起始邊；（三）轉的方向；（四）角的終邊。然而，從事教育的我們不但要瞭解學童之迷思概念，而且在教學時也應協助學童避免迷思概念的形成。正如 Wilson 和 Adams（1992）所建議：教學時可以利用吸管裡面放竹子，將角固定而改變竹子長短。另外，相同的角，但開口方向不同，可將其中一個角轉方向；這樣學童可以知道相同的角，雖有多種不同面貌，但表示的意義都是一樣。

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貳貳貳貳、、、、角的估測角的估測角的估測 角的估測在 1993 年版數學學習目標第四部分第三項教具的設備及運用中指出：「量與實測領域內各單元之教學，應先進行估測後，加以實測驗證。」即看出教育專家學者對於估測作了一番重要之註解。同時也表示進行估測活動後，應緊接著進行實測活動，藉以幫助學童提昇估測之能力。國內外的研究（劉好， 1996、Happs 和 Mansfield, 1992）皆指出學童學習估測是困難的，除非在估測之前有過類似的經驗，否則會產生毫無理由的猜測、或沒有用標準單位來進行正確之估測，這樣子便失去估測活動之意義。 Happs 和 Mansfield（ 1992）認為一般學童估角會有以下策略：一、以量角器當作基準，如：以 10 度角當作估測最小單位。二、以直角當作基準，如： 45 度大約是直角的一半、87 度與 90 度差不多。三、以 180 度當作基準，如：160 度接近 180 度，可以估測比 180 度小一點點。四、以多邊形的角度當作基準，如：以正三角形的內角 60 度當作估測基準。因此，當學童在進行估角活動時，能利用自己所熟悉的單位、方法、和量感等經驗當作基準，必能提昇估測能力。因此，劉好（ 1996）認為估測能力是可以培養的，並且藉此增加學童的判斷能力。參參參參、、、、角的實測角的實測角的實測 角的實測 1993 年版數學學習目標第四部分第三項教具的設備及運用：「量與實測領域內各單元之教學，應先進行估測後，加以實測驗證，因而必須借等各種量之實測工具。」對於角之實測工具，毫無疑問，指的是量角器。Krainer（1993）指出利用量角器測量角主要是在報讀量角器上被測量的角所對應之刻度。 Wilson 和 Adams（ 1992）認為學童經驗動態角後，對於差異較大之兩個角，學童較易指出何者為大角、何者為小角。因此，他們覺得學童經驗動態角將有助於學童使用量角器。如，當學童量 30 度的角時，因 30 度和 150 度互為補角，在量角器上同一刻度。若學童對動態角有足夠

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的經驗，應知道 150 度的角比 30 度的角大，而在報讀時不易作出錯誤的判斷。 Wilson 和 Adams（ 1992）列出有關角之測量的教學四個階段：一、探討角的概念，學童通常會想可以試著量一射線的長度或兩射線間之距離，所以要避免這樣的錯誤，應該把角認識清楚再作測量。二、比較角之大小，但不用特定單位，當學童瞭解如何判斷角的大小時，就會刺激他們學習利用特定單位。三、練習利用特定單位比較，慢慢討論，而使用量角器。四、發現關係、規則，如此可以快速運用角之知識，如：發現三角形三個內角和 180 度或互補。 Wilson（ 1990）同時也提到學童在發展空間觀念、描述、和分類幾何圖形時，這些的知識都需要瞭解角和角之測量。學童學習角應該注意：一、測量角度時應量那裡；五、不用任何單位來比較角之大小；六、發展非標準的單位來做角之比較；七、使用測量的標準單位。在此我們清楚的看出，角之實測之重要性。它不但可用作驗證估測值、培養學童估算能力，同時也是學習、發展其他幾何圖形的基本能力。肆肆肆肆、、、、畫出指定的角畫出指定的角畫出指定的角 畫出指定的角 Wilson（ 1990）強調角的開口方向之重要性，他建議剛開始學習角時，只給學童起始邊來建立角，並提出角可以被建立在起始邊的任兩端，這樣學童便可創造出不同的角。同時，教師應讓學童知道角與終邊之長度無關。當學生創造角之後，他建議使用透明片來呈現出不同的角。劉好（ 1996）提出使量角器之方法：畫出角的頂點和一個邊；用量角器量出角度，確定另一邊所落的位置，作上記號；把所作記號和頂點連出另一邊。她認為畫角應該建立在學童是否認識角的概念之上。

皮亞傑等（ Piaget & Inhelder, 1967）曾設計一個研究實驗：在小孩面前呈現一平面幾何圖形，然後將該圖形收藏起來，並要求小孩從袋子

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中用觸摸的方式來指出該平面幾何圖形。研究結果發現，幼稚園之小孩只能分辨出類似但實際不一樣的物體；稍微大一點的孩子則能夠區分出方形和圓形，卻不能區分方形和三角形；而中年級的學生能夠憑觸摸之感覺來區分長方形和三角形。他們認為小孩在學習幾何概念的初始階段時，他們之探索能力處於被動期，只會對物體作局部而非整體性之探索；稍微大一點的小孩就會觸摸其他部分，而當他們能掌控整體性之探索，同時能夠建立物體間的關係，那麼他們就能在心中形成更精確之圖像。因此，皮亞傑等提出：小孩學習幾何概念並不能單靠被動式的接受幾何物體而學會，他們必須能夠協調他們心裡對該幾何概體之概念心像，從而產生抽象化之幾何概念。所以，如何讓學童學習幾何概念時， 能夠協調他們心裡對該幾何概體的概念心像便值得我們深入探討。

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第四節

電腦的教育功能

由於全球化、資訊化的趨勢再加上網際網路之普及，我國在 2001 學年度起正式實施之國民中小學九年一貫課程，除了七大學習領域外，且提出了六項重大議題，「資訊教育」也羅列其中。新公布的 2008 年國民中小學九年一貫課程綱要中，資訊教育之基本理念也同樣指出，在資訊化的社會中，培養每個國民具備運用資訊科技的基本知識與技能，已為世界各國教育發展的共同趨勢。傳統之讀、寫、算基本素養已不足以因應資訊社會的需求，因此，具備資訊科技的能力儼然成為現代國民應具備的第四種基本素養。（教育部， 2008）教育部於 1997 年起推動之「資訊教育基礎建設計畫」並配合擴大內需的政策，已完成提升中小學資訊教學設備，使所有國民中小學均有電腦教室，且電腦數量可達一人一機，至今亦持續補助、更新資訊設備；推動臺灣學術網（ Taiwan Academic Network,簡稱 TANet）到中小學，使所有學校均可接網際網路；辦理資訊應用教師之培訓，使中小學教師均有基本資訊素養，讓資訊教育得以在中小學奠定基礎（韓善民，2000）。教育部為推動中小學資訊科技融入教學，於 2001 年規劃出「中小學資訊教育總藍圖」，以確立我國資訊教育發展之願景。我國九年一貫課程強調將資訊科技融入各學習領域中，落實資訊科技普及化，藉著使用電算器及電腦來學習數學之概念，一方面可以培養國民獨立思考之能力，另一方面也可以提升國民資訊素養，以為國民終生學習奠下基礎，並能立足於未來的科技時代（羅昭強， 2001）。將資訊科技與數學教育做連結，不但符合九年一貫課程落實資訊科技融入數學教學之目標，而且可以幫助學生理解重要的數學概念並能更深入地探究數學的內涵，並且能從事較高層次的思考和增進解題之能力。近年來由於電腦的普及，在教育上的應用逐漸增多，目的是希望電腦能改進傳統之教材教法，以增進學習效果。 Taylor（ 1980）曾以三個模式說明電腦在教育上的運用：

一、電腦是教學者（ The computer as tutor）

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三、電腦是受教者（ The computer as tutee）當電腦是教學者時，它擔任「教師」的角色，當電腦是工具時，它是「機械」的角色，當電腦是受教者時，它扮演「反映思考歷程」的角色（王萬清， 1988）。羅昭強教授認為電腦之使用，可促使學生建立數學概念的認知發展層次 (Law，1993a)，而任何數學概念都可以透過認知發展理論來描述該概念的認知發展層次，並可利用其結果作為幫助學生學習該概念之途徑 (Law， 1993b)。羅昭強教授進一步認為要求學生透過撰寫電腦程式可以幫助學生深入瞭解數學的內涵，而達到從較低的認知層次進展到較高之認知層次 (Law，1996)。

美國數學教師協會（ National Council of Teachers of Mathematics, 1989），以下簡稱 NCTM，認為在小學階段中，Logo 環境能提供較具體的方式來呈現出抽象之算術運算、程序概念、次程序概念、及變數的概念等，甚至乎更敏銳的後設認知之議題，如計畫的需要等。同時，NCTM 在學校數學課程與評鑑中更明確地指出，Logo 可以協助學校提昇數學教育之目標。因此，如何將 Logo 環境應用在數學學習領域中便值得我們深入探討之主題。

第五節

Logo 語言與在教育上的應用

語言與在教育上的應用

近年來，我國數學教育專家學者也有相關之研究，如羅昭強（ 2000）探討 Logo 電腦輔助學習系統如何實質落實於我國學生數學學習和數學虛擬教室上，並針對「角概念」之 Logo 電腦輔助學習教材，設計學習單；羅昭強（ 2001）在國小 Logo 電腦輔助學習之研究，其中三個研究目的之一即設計出一套適合我國國小數學的 Logo 電腦輔助之學習教材，研發出多款 Logo 電腦輔助學習教材，研發的教材可分為：三角形、四邊形、平行與垂直、三角形的高等；吳德邦（ 2001）則使用 van Hiele 五階段學習模式來開發九年一貫課程圖形與空間教材教法；林保平（ 1996）探討國民小學動態幾何教材及學習模式，主要研究動態幾何軟體的各種特質在教學上可能之應用；周武男（ 1993）則對我國國中一、二年級學生幾何概念之 van Hiele 思考模式作探究；而郭汾派（1993）採用 van Hiele 階段理論探討我國國一學生幾何概念之瞭解情形。

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本節首先對 Logo 語言的發展做簡介，並詳述 Logo 語言的特性；其次探討 Logo 在教育的應用與研究，包括 Logo 的教育功能及 Logo 與數學學習之相關研究。

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壹、、、、 Logo 簡介與其特性簡介與其特性簡介與其特性簡介與其特性

在 1960 年代中期，曾在瑞士的日內瓦和 Piaget 共事過的數學家 Seymour Papert 與 Marvin Minsky 在 MIT 創立人工智慧實驗室，後來 Papert 和他的同僚在 1967 年開發了 Logo 第一個版本。 1970 年代 Logo 開始在 MIT 和一些研究單位進行研究活動。

Logo 起源於希臘字 logos，其意義是「詞彙」或「思想」（ word or thought）。當初該程式語言之設計者以此命名，具有特殊的含意，即希望利用它作為一種思考之對象，藉此來激盪兒童的心智發展，所以 Logo 也代表著一種教育哲學觀（ Clements, 1985；王振德，1984）。尹玫君（ 1991）指出 Logo 是一種學習的語言，它是一種程式設計的語言，為了使一般人儘可能很容易的了解電腦程式設計工作所設計而成的；Logo 也是一種「學習如何思考」（ learning how to think）的語言。

Logo 語言具有下列特性（王振德，1984；王萬清，1988；尹玫君， 1991；林裕雲，2002；陳勝利，1989；張富強，1992；Clements, 1985； Hoyles & Sutherland, 1989）：

一、 Logo 具有程序性（ procedural），如 Pascal、C 和與其他高階的程式語言一樣，以簡單命令組成程序，再由程序組成更複雜的程序。

二、 Logo 具有互動性（ interactive），使用者在輸入一個指令或已完成定義的程序後敘述後可以立刻執行，不需經由編譯程式（ compiler）的編譯，因此可以迅速且容易的改變程式中之任何錯誤。

三、 Logo 具有完整的資料型態（data type），能處理數字、字串、字組及串列（ list），適合兒童及大人學習，是小型的人工智慧語言。四、 Logo 具有擴充性，可創立新程序，並當作原始指令（primitives）一樣的使用，增加兒童自由探索的機會。五、 Logo 具有遞迴性（ recursion），可使複雜的問題化成簡易的形式。在具有程序性的語言中，一個程序可以呼叫另一個程序，當作副程式來完成部分工作。所謂遞迴性就是一個程序可以成為本身的一個

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副程序，也就是一個程序可以呼叫本身（ call itself），這是 Logo 語言的一大特色。六、 Logo 具有趣味性。Logo 的圖龜幾何學讓兒童可以透過簡單的指令，以嘗試錯誤、自我探索的方式來指揮螢幕上的圖龜前進、後退、左轉、右轉，畫出有趣又富變化的圖形。 Logo 絕不只是一般的程式語言而已，它同時也代表一種教育哲學觀。 Logo 的教育哲學觀念係源於 Piaget 的發展認識論和人工智慧的理論，兒童主動地與電腦互動之經驗，將會影響其思考與認知發展。Logo 提供一個良好的學習環境，使得兒童把它當成一種思考之對象。Logo 如 BASIC、Pascal、C 語言等是一種程式語言，它同時是一種適合兒童學習的語言，能讓兒童去探索問題、在嘗試錯誤中學習，因此 Logo 是一種學習思考的語言。貳貳貳貳、、、、 Logo 在教育的應用與研究在教育的應用與研究在教育的應用與研究在教育的應用與研究 一、 Logo 的教育功能 Logo 在教育上有許多功用，它可提供學習者自我建構之學習環境，幫助學習者發展思考學習的歷程、問題解決能力及創造思考能力，除了適合普通學生學習，也適合特殊學生之學習。此外，可應用在許多學科的學習環境中。許多學者皆強調 Logo 在教育上具有良好的功能，茲進一步說明如下：（一）尹玫君的看法 Logo 是一種專門為兒童所設計的一種電腦語言，它建立了一個能讓兒童主動積極的學習環境，以實際接觸及嘗試錯誤的方式學習，獲得知識（尹玫君， 1991）。在 Logo 的環境中，學生扮演的是教學者，而電腦則成為受教者。學生只要瞭解一些簡單之指令，就可以繪出複雜、有教育意義的幾何圖形。Logo 是一種結構化、模組化之程式語言，學生經由學習活動，可以培養解決問題之能力。（二）李文政的看法李文政（ 1991）認為 Logo 是一種根據 Piaget 的學習理論而發展出來之電腦程式語言，其目的在提供學童一種主動學習的環境，使他們能掌握他們自己的學習，並協助教師以一種新的方式來觀察學習過程。 Logo 程式環境發展之基礎乃是源自於 Piaget 建構主義的教育哲學，而且

透過Logo環境探討國小六年級學生van Hiele幾何思考層次與角概念之研究

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指 導 教 授 ： 吳 德 邦 博 士