• 沒有找到結果。

# 不同幾何思考層次的國中生判別正立方體透視圖邊長關係之研究

N/A
N/A
Protected

Share "不同幾何思考層次的國中生判別正立方體透視圖邊長關係之研究"

Copied!
20
0
0

(1)

doi: 10.6278/tjme.201810_5(2).002

## 不同幾何思考層次的國中生判別正立方體透視圖邊長關係之 研究

1新北市立土城國民中學

2中原大學教育研究所

(2)

Corresponding author：Yuan Yuan，e-mail：yuan@cycu.edu.tw Received：12 July 2018;

Accepted：5 October 2018.

Li, C. T., & Yuan, Y. (2018).

Study to identify length relationships of a cube in perspective by junior high school students with different levels of geometric thinking.

Taiwan Journal of Mathematics Education, 5(2), 19-38.

doi: 10.6278/tjme.201810_5(2).002

## Levels of Geometric Thinking

Chia-Tsu Li 1 Yuan Yuan 2

1 New Taipei Municipal Tucheng Junior High School

2Graduate School of Education, Chung Yuan Christian University

This study explored students’ performance in solving questions related to a cube represented in a plane and discussing its relationship to Van Hiele geometric thinking levels. In total, 146 eighth graders (78 boys and 68 girls) of a junior high school in New Taipei City were studied. A Van Hiele geometric thinking level test and three-dimensional graphic component relationship judgment test were administered to all students. The conclusions were as follows. (1) Junior high school students performed better in three-dimensional graphic component relationship judgment test problems in which visual cues and answers are consistent than in those in which they are inconsistent; (2) students with Van Hiele geometric thinking levels of 2 and 3 performed better at three-dimensional graphic component relationship judgment test than those with levels of 0 and 1. The differences were apparent in questions in which visual cues and answers were inconsistent. Based on the research results, suggestions for teaching and future study are provided.

Keywords: cube, junior high school, levels of geometric thinking

(3)

### (a) (b)

(4)

Van Hiele幾何思考層次特徵

(5)

### 一、影響學生判讀立體圖形的因素

（一）錯視

（二）空間定位

(6)

立體圖形上的直角與邊長位置的轉換，都會造成學生學習時的盲點（程柏豪，2006）。Parzysz（1988）

(7)

### 二、立體幾何能力與學生的立體幾何思維

Pittalis、Mousoulides 與 Christou（2010）根據相關文獻整理有關立體幾何能力（3D Geometry Ability）的研究，發現目前研究的內容多在探討與學校課程有關的學生能力，他將這些研究所探 討的立體空間能力區分為五大類：畫出立體形體的能力、辨識及建構展開圖的能力、計數立體 積木數的能力、辨識立體形體的屬性（properties）及比較立體圖形、計算立體圖形的體積及面 積。由於學校教科書多以平面表徵立體形體，學生較少有機會自行將立體形體繪製出來，因此 學生會有錯誤解讀平面表徵圖的現象（Parzysz, 1988）。Battista（1999）也指出，有關立體幾何 學習內容一直為學校數學課程所忽視，即使有學生也只限於在平面表徵下進行探索，因此目前 針對學生的立體幾何思維，我們所知仍不多。

& Gutiérrez, 2000），該理論提出學生幾何思考發展的階段論，因為該理論並未涉及學生立體幾何 思維的探討，因此後續有一些學者以這些層次為基礎，將 Van Hiele 的理論拓展至立體幾何思維 的層次，即在 Van Hiele 幾何思考層次的各階段加上立體幾何思維的特徵。例如，在 Van Hiele 提 出幾何思考層次之後，Hoffer（1981）首先嘗試針對立體幾何進行幾何思考層次的分析研究，他 的研究描述了幾種幾何技能（視覺、語言、繪圖、邏輯和應用技能），並對每個技能和 Van Hiele 的五個層次作呼應。這個研究雖然提供了一些例子加以說明，但沒有像 Van Hiele 層次的分析一 樣給予各層次立體幾何思維的具體說明。

Gutiérrez（1992）則在給予學生立體形體的比較與移動活動中，分析學生的解題行為，並進 一步將這些行為表現對應至 Van Hiele 的幾何思考層次。他指出在第一個層次，學生從一個整體 的觀點（global perception）去比較立體形體，能看到形體的形狀及特定組成元素，如面、邊及頂 點，但未能注意到像角、邊長及平行等性質，當這些數學的特徵出現在他們的答案中時，只是 視覺的結果；在第二個層次，學生仍停留在整體的觀點去比較立體形體或元素，但能從觀察或 立體形體的名字去檢驗單一的數學性質差異，例如：能比較一個形體中兩個角度的大小，但他 們的說明仍是基於觀察；第三層次的學生能分析立體形體及其元素，他們的回答能針對單一的 數學性質進行非正式的論證，而這些性質可能是經由觀察形體表徵而來，或經由先前的知識；

(8)

(9)

### 二、研究工具

（一）Van Hiele 幾何思考層次測驗

1. 層次 0 問題

（A）只有 K

（B）只有 L

（C）只有 M

（D）只有 L 和 M

（E）全部都是 2. 層次 1 問題

（A）

（B）

（C）

（D）

### QS

（E）∠Q 比∠R 大

(10)

3. 層次 2 問題

（A）對邊等長

（B）對角線等長

（C）對邊平行

（D）對角相等

（E）以上皆非 4. 層次 3 問題

（1）兩直線垂直於同一直線則平行。

（2）A 線垂直於兩條平行線之一也會垂直於另一條直線。

（3）如兩線的距離相等，那麼它們是平行的。

（A）

### 只有（1）

（B）只有（2）

（C）只有（3）

（D）（1）和（2）

（E）（2）和（3）

（二）立體圖形組成要素關係判別測驗

(11)

（三）資料分析

1. 以描述統計來分析國中學生判別平面呈現正立體透視圖邊長關係之表現情形，以探究研究問 題一。

2. 以變異數分析來檢驗不同 Van Hiele 幾何思考層次的國中學生，對於平面中呈現正立方體透 視圖邊長關係的判別情形是否有顯著差異；若有差異，則進行事後比較來瞭解在哪些層次之 間有差異，以探究研究問題二。

### AH

(12)

< .001，顯示這四個問題的答對百分比具有顯著的差異，進一步以信賴區間進行兩兩試題比較，

(13)

### *

7 4 146 第 6 題 3 58* 75

### **

6 4 146 第 7 題 2 57* 78

### **

5 4 146 註：*為正確答案，**為直觀答案。

p = .018，達到.05 的顯著水準，表示第 5 題的答對率顯著低於第 7 題。而第 5 及第 10 題的百分 比同質性檢定結果為χ2(1) = 0.72，p = .788，顯示第 5 及第 10 題對學生而言是一樣的相對困難，

(14)

### 二、不同幾何思考層次的國中學生對於平面中呈現正立方體透視圖邊長關係的之判別 情形

(15)

p = .001 < .01）、第 5 題（F = 3.329; p = .022 < .05）、第 6 題（F = 11.187; p = .000 < .001）、第 7 題（F = 8.496; p = .000 < .001）及第 10 題（F = 2.958; p = .035 < .05）有達顯著水準，進一步 以 LSD 法作事後比較，得到第 1 題（層次 0、層次 1＜層次 3）、第 2 題（層次 0、層次 1＜層 次 2、層次 3）、第 3 題（層次 0、層次 1＜層次 2、層次 3）、第 4 題（層次 0、層次 1＜層次 2、層次 3）、第 5 題（層次 0、層次 1＜層次 2）、第 6 題（層次 0、層次 1＜層次 2、層次 3）、

### 一、結論

（一）國中學生在「視覺線索與答案一致」的問題表現優於「視覺線索與答案不一致」的問題 對於求解視覺線索與答案一致的問題，學生除了具備解決題目相關的知識，憑藉視覺所得

(16)

（二）不同 Van Hiele 幾何思考層次的國中學生在「視覺線索與答案不一致」的問題出現表現 上的差異

### 二、建議

（一）教學設計宜幫助學生善用視覺能力以降低錯視的困擾

(17)

（二）擴充研究的母群體及進行長期的追蹤研究

### 參考文獻

(in Chinese)】

(18)

Education, Taichung. (in Chinese)】

Battista, M. T. (1999). Fifth graders’ enumeration of cubes in 3D arrays: Conceptual progress in an inquiry-based classroom. Journal for Research in Mathematics Education, 30(4), 417-448. doi:

10.2307/749708

Gutiérrez, A. (1992). Exploring the links between Van Hiele levels and 3-dimensional geometry.

Structural Topology, 18, 31-48.

Gutiérrez, A., Pegg, J., & Lawrie, C. (2004). Characterization of students’ reasoning and proof abilities in 3-dimensional geometry. In M. J. Høines, & A. B. Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (vol. 2, pp.

511-518). Bergen, Norway: PME.

Fischbein, E. (1993). The theory of figure concepts. Educational Studies in Mathematics, 24(2), 139- 162. doi: 10.1007/BF01273689

Hoffer, A. (1981). Geometry is more than proof. Mathematics Teacher, 74(1), 11-18.

Kondo, Y. (2015). Characteristics of student's 3D geometrical reasoning in elementary school: Focus on the student's explanations. In C. Vistro-Yu (Ed.), In pursuit of quality mathematics education for all: Proceedings of the 7th ICMI-East Asia Regional Conference on Mathematics Education (pp.731-736). Cebu, Philippines: Philippine Council of Mathematics Teacher Educators.

Lawrie, C., Pegg, J., & Gutiérrez, A. (2000). Coding the nature of thinking displayed in responses on nets of solids. In T. Nakahara, & M. Koyama (Eds.), Proceedings of the 24th International Conference for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp. 215-222). Hiroshima, Japan:

PME.

Parzysz, B. (1988). “Knowing” vs “seeing”: Problems of the plane representation of space geometry figures. Educational Studies in Mathematics, 19(1), 79-92. doi: 10.1007/BF00428386

Pittalis, M., Mousoulides, N., & Christou, C. (2010). Students’ 3D geometry thinking profiles. In V.

Durand-Guerrier, S. Soury-Lavergne, & F. Arzarello (Eds.), Proceedings of the Sixth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (pp. 816-825). Lyon, France: Institut National de Recherche Pédagogique.

Usiskin, Z. (1982). Van Hiele levels and achievement in secondary school geometry (Final Report of the cognitive development and achievement in secondary school geometry project). Chicago, IL:

University of Chicago.

Van Hiele, P. M. (1986). Structure and insight: A theory of mathematics education. Orlando, FL:

(19)

1.右圖為一正立方體，請比較

（A）

（B）

（C）

（D）無法判斷

2.右圖為一正立方體，請比較

（A）

（B）

（C）

（D）無法判斷

3.右圖為一正立方體，請比較

（A）

（B）

（C）

（D）無法判斷

4.右圖為一正立方體，請比較

（A）

（B）

（C）

### AH

（D）無法判斷

5.右圖為一正立方體，∠AFH＝ 度。為什麼？

(20)

6.

（A）

（B）

（C）

（D）無法判斷

7.

（A）

（B）

（C）

（D）無法判斷

8.

（A）

（B）

（C）

（D）無法判斷

9.

（A）

（B）

（C）

### AH

（D）無法判斷

10.右圖為一正立方體，∠AFH＝ 度。為什麼？

(三) 變率與微分、 求和與積分: “變率” 與 “求和” 是函數的兩種定量型 (quantitative) 的基本性質。 但是它們的定義本身就是理論的起點, 有如當年

Hamilton 以很多方式從跟均曲率流 (mean curvature flow) 做類比 得到關於他的 Ricci 流的直觀。曲線縮短流 (curve shortening flow) 已被 Grayson 研究過，而

Based on Cabri 3D and physical manipulatives to study the effect of learning on the spatial rotation concept for second graders..

Department of Mathematics, National Taiwan Normal University,