不同幾何思考層次的國中生判別正立方體透視圖邊長關係之研究

通訊作者：袁媛，e-mail：yuan@cycu.edu.tw 收稿：2018 年 7 月 12 日；

接受刊登：2018 年 10 月 5 日。

李佳竹、袁媛（2018）。

不同幾何思考層次的國中生判別正立方體透視圖邊長關係之研究。

臺灣數學教育期刊，5（2），19-38。

doi: 10.6278/tjme.201810_5(2).002

不同幾何思考層次的國中生判別正立方體透視圖邊長關係之 研究

李佳竹¹ 袁媛²

1新北市立土城國民中學

2中原大學教育研究所

本研究主要在探討國中學生面對一個正立方體以平面表徵呈現時，其判別圖形中邊長關係的解題表現，

及學生的解題表現是否與 Van Hiele 幾何思考層次有關。本研究以新北市某所國中 146 名二年級學生為研 究對象，其中男生有 78 人，女生有 68 人，施以 Van Hiele 幾何思考層次測驗及立體圖形組成要素關係判 別測驗。具體的研究發現有二：國中學生在視覺線索與答案一致的問題表現優於視覺線索與答案不一致 的問題；Van Hiele 幾何思考層次 2 及層次 3 的學生在測驗結果的表現顯著優於層次 0 及層次 1 的學生，

特別是在視覺線索與答案不一致的問題上。 針對研究結果，本研究提出未來教學及研究上的建議。

關鍵詞：正立方體、國中、幾何思考層次

Corresponding author：Yuan Yuan，e-mail：yuan@cycu.edu.tw Received：12 July 2018;

Accepted：5 October 2018.

Li, C. T., & Yuan, Y. (2018).

Study to identify length relationships of a cube in perspective by junior high school students with different levels of geometric thinking.

Taiwan Journal of Mathematics Education, 5(2), 19-38.

doi: 10.6278/tjme.201810_5(2).002

Study to Identify Length Relationships of a Cube in Perspective by Junior High School Students with Different

Levels of Geometric Thinking

Chia-Tsu Li ¹ Yuan Yuan ²

1 New Taipei Municipal Tucheng Junior High School

2Graduate School of Education, Chung Yuan Christian University

This study explored students’ performance in solving questions related to a cube represented in a plane and discussing its relationship to Van Hiele geometric thinking levels. In total, 146 eighth graders (78 boys and 68 girls) of a junior high school in New Taipei City were studied. A Van Hiele geometric thinking level test and three-dimensional graphic component relationship judgment test were administered to all students. The conclusions were as follows. (1) Junior high school students performed better in three-dimensional graphic component relationship judgment test problems in which visual cues and answers are consistent than in those in which they are inconsistent; (2) students with Van Hiele geometric thinking levels of 2 and 3 performed better at three-dimensional graphic component relationship judgment test than those with levels of 0 and 1. The differences were apparent in questions in which visual cues and answers were inconsistent. Based on the research results, suggestions for teaching and future study are provided.

Keywords: cube, junior high school, levels of geometric thinking

壹、緒論

一、研究背景與動機

在幾何問題的解題過程中，學習者常常需要在腦海中建構或操作相關的幾何心像，在這個 過程中，學習者可能會出現錯覺中的「錯視」現象。「錯視」是指經由眼睛產生的錯覺，通常發 生在視網膜接收到外界刺激後把訊息傳給中樞神經的過程，使視知覺對訊息的判斷與原本的認 知產生誤差。因此，錯視圖形所傳達的並非真實的訊息或造形的本質。如圖 1(a)，圖中所展現的 是一個正立方體的透視圖，當學生看到圖形時，可能因為看到圖形呈現長度上的差異，而認為

FG

DH

FG

DH

FG

DH

會因圖形呈現方式的不同而出現錯視現象，因此有了不同的判別結果。

圖 1 正立方體旋轉前後透視圖

荷蘭數學教育家范希樂（Van Hiele）夫婦在 1957 年根據完形心理學的結構論及皮亞傑的認 知發展理論，研究學生幾何思考層次的發展，共同提出學生在幾何概念學習上的五個發展層次，

分別稱為：視覺的層次（Visualisation）、描述的層次（Analysis）、理論的層次（Informal deduction）、 形式邏輯的層次（deduction）以及邏輯法則本質的層次（Rigor），各層次的幾何思考特徵（Van Hiele, 1986）如表 1 說明。

(a) (b)

表 1

Van Hiele幾何思考層次特徵

層次 特徵

層次 0：視覺的層次（visualisation） 學生透過圖形外觀辨識圖形，解題策略是基於 直觀而非推理。

層次 1：描述的層次（analysis） 學生透過圖形的性質辨識圖形，能說出及分析 圖形的性質，但無法說出這些性質間的關係。

層次 2：理論的層次（informal deduction） 學生能確認一個概念成立的充份與必要條件，

能了解圖形的定義並對推理結果進行非正式的 論證。

層次 3：形式邏輯的層次（deduction） 學生能在一個公理系統內建立理論，並能了解 一個定理的充份必要條件。

層次 4：邏輯法則本質的層次（rigor） 學生能了解不同幾何系統的關係，並進行比 較、分析及論證。

但 Van Hiele 的幾何思考層次理論，主要值基於平面幾何系統的研究，Gutiérrez（1992）後 來延伸 Van Hiele 的幾何思考層次理論，並以 Van Hiele 層次為基礎去分析學生在比較與移動立 體形體的解題行為。他的研究發現，處在 Van Hiele 幾何思考的前兩個層次，學生對問題的反應 主要值基於對立體形體的視覺觀察結果，而在第三層次之後，學生才能進行非正式的論證及推 理。由於過去針對學生立體幾何思層次所做的研究，並未有像 Van Hiele 等人發展出適當的評估 工具，因此在立體幾何思考的研究也多依據 Van Hiele 的層次論去進行探討居多。故本研究認為，

在面對前述各種不同的立體形體透視圖時，不同幾何思考層次的學生會因思考特徵的不同，而 出現解題表現上的不同，此成為本研究的動機。

另一方面，Kondo（2015）在其研究中，以 93 位國小五、六年級的學生為研究對象，探討 國小學生對立體幾何圖形的推理表現，他的研究發現，當正立方體以平面表徵呈現時，只有約 一半的六年級學生能正確判讀正立方體透視圖邊長間之關係，且很明顯地學生的判斷易受圖形 的平面表徵所影響，但他的研究並未基於學生的幾何思考層次給予進一步的論述。因此，本研 究除了以 Kondo 的研究為基礎，探討國中學生的解題表現外，並進一步探討學生判讀正立方體 透視圖邊長關係的能力是否與其幾何思考層次有關。

二、研究目的與問題

依據上述研究動機，本研究旨在探討國中學生判別正立方體透視圖邊長關係之表現情形，

並進一步探討其解題表現是否與 Van Hiele 理論層次有關。依據研究動機與目的，本研究主要探 討下列研究問題：

一、國中學生判別平面中呈現正立方體透視圖邊長關係之表現情形為何？

二、不同 Van Hiele 幾何思考層次的國中學生，對於平面中呈現正立方體透視圖邊長關係的判別 情形是否有顯著差異？

貳、文獻探討

一、影響學生判讀立體圖形的因素

生活中各種事物的結構千變萬化，不管是在二維或三維空間上的呈現，其基礎皆是在二維 平面上表現。學習者在學習幾何時，通常會先經由視覺的接觸，將形體在二維平面上的表現投 射至其腦海中形成心像，當心像中的圖形性質經由進一步的邏輯分析與討論，這些性質關係將 逐漸形成語意表徵。而在腦海中建構及操作相關的心像是學習幾何時經常需要的，這可視為一 種空間能力，這種空間能力又可分為空間視覺化與空間定位兩類，且在空間視覺化的過程中，

錯視為較常出現的學習現象。因此，以下將就「錯視」與「空間定位」進行探究。

（一）錯視

由於點構成線、線構成面、面構成體，因此要了解物體形狀及大小的表現，必須先具備點、

線、面、體的概念。而經由物體表面上的各點反射出來的光線，投射到一個平面上所構成的像，

稱為此物體的「投影」（王照明，1997）。簡而言之，投影是將立體空間的圖形表現在平面空間 上。

人類的視覺作用，是由視網膜上二維空間的成像獲取三維空間的訊息，在三維空間投射到 二維平面的過程中，將是一種遺漏訊息的轉換過程，因此，大腦需要透過某些線索，來彌補探 索空間深度的立體（深度）知覺時所需之訊息（洪明顯，2014）。錯覺是指外界的物質現象與內 在的心理現象產生差異的知覺歷程，即個人由感覺經驗所得之物象與實際物象互異的現象（三 民書局新辭典編纂委員會，2000）。因感覺來源的不同，錯覺有錯視、錯聽、錯觸等區別。在幾 何的學習與解題過程中，學習者經常需要在腦海中建構及操作相關的心像，在這過程中，學習 者可能會出現錯覺中的「錯視」現象。而「錯視」是指經由視覺（眼睛）而產生的錯覺，通常發 生在視網膜接收到外界刺激後把訊息傳給中樞神經的過程時，視知覺對訊息的判斷與原本的認 知產生誤差，例如：大小、移動、形態、長度、恆常、明度、位置等誤差，造成視覺心理的不安 定。

綜而言之，錯視即造形心理學上形的辨識，而錯視圖形所傳達的並非真實的訊息或圖形的 本質，這將使學習者無法正確判讀平面所呈現的立體圖形組成要素之間的關係。

（二）空間定位

學習者在學習立體幾何時，必須具備一些想像力或藉助立體模型教具來了解其在空間中的

相對位置。因此對一般缺乏訓練的學習者而言，要了解形體中組成要素間的相對位置及特性，

並不是一件容易的事。研究指出，當立體圖形呈現在二維平面時，這立體與平面之間的轉換，

立體圖形上的直角與邊長位置的轉換，都會造成學生學習時的盲點（程柏豪，2006）。Parzysz（1988）

曾指出立體圖形的平面表徵在幾何的教學中可能會給學生帶來學習困擾，且會對學習者產生不 同的影響，例如學習者不僅喜歡平行透視（其中平行線被繪製為平行線），他們更喜歡斜向平行 透視（即正立方體是以一個面作為正方形來繪製），如圖 2，然而這種表現方式會讓特定的幾何 關係看起來是明顯的，而使學生產生模稜兩可的理解，妨礙了幾何推理以最適當的方式發展。

圖 2 正立方體的斜向平行透視圖

在學習與解題的過程中，學習者在腦海中建構及操作相關的心像可視為一種空間能力，左 台益與梁勇能（2001）曾提到空間能力是以知覺為基礎的心像表徵，在概念基模中存取外界空 間的訊息至工作記憶區進行心像的運作，而此空間心像的形成及運作與其幾何思維的推理交互 影響。學生在學習幾何概念時，需要辨識幾何圖形、探索結構間的關係及其所蘊含的幾何性質，

顯示學生空間能力與幾何學習的交互影響性。因此，二維平面與三維空間互相轉換的空間能力，

在幾何學習中扮演相當重要的角色，即在二維平面表徵中，建構與處理三維空間心像的能力，

對立體幾何的學習是必要且重要的。

王學武、蔡佳穎、陳宜均與賴蕙慈（2011）實際訪談國小教師後發現，教師認為現在學生的 空間能力普遍不佳，而傳統教材以平面來呈現立體圖形，對於空間能力較差的學生而言，難以 想像圖形背後「看不見」的部份；洪明顯（2014）提到，由於「觀察視角的差異性」，學生在學 習繪製正投影視圖時，容易對紙張上的空間知覺與現實的視覺知覺感到困惑而產生學習恐懼；

鄭美玲與陳光勳（2015）在其研究提到，空間關係的視覺化及推理能力是相當重要的，例如當 立體圖形呈現在二維平面時，常常有許多學生因為忽略了看不到的面（即物體的隱藏面），而在 學習上產生了困難和盲點；王毓婕與陳光勳（2016）探討二年級學生以 Cabri 3D 幾何軟體與實 體積木融入空間旋轉概念教學之後，發現多數學生會先以直觀的方式做判斷，找出整體結構類 似的立方塊，接下來大多會使用心像旋轉的解題策略來確認答案，並再以整體或是切割立方連 塊、進行分析比對來做確認，也有部分學生以直觀方式做判別後，並未做心像旋轉，因此這類

學生容易出現鏡射形體迷思。

綜上所述，學習者在面對立體圖形的平面表徵時，受錯視及空間定位的影響很大。當視覺 感官接受訊息後，若受錯視的影響，學習者將無法正確判讀平面所呈現的立體圖形之元素關係，

而陷入「眼見為憑」的假象之中，形成錯誤的判斷，或進一步形成錯誤的心像，在進行操弄後而 形成錯誤的判斷。因此，學習者在判別立體形體透視圖的困難是否與學習者的幾何思考方式有 關，成為本研究的一個探究方向。

二、立體幾何能力與學生的立體幾何思維

Pittalis、Mousoulides 與 Christou（2010）根據相關文獻整理有關立體幾何能力（3D Geometry Ability）的研究，發現目前研究的內容多在探討與學校課程有關的學生能力，他將這些研究所探 討的立體空間能力區分為五大類：畫出立體形體的能力、辨識及建構展開圖的能力、計數立體 積木數的能力、辨識立體形體的屬性（properties）及比較立體圖形、計算立體圖形的體積及面 積。由於學校教科書多以平面表徵立體形體，學生較少有機會自行將立體形體繪製出來，因此 學生會有錯誤解讀平面表徵圖的現象（Parzysz, 1988）。Battista（1999）也指出，有關立體幾何 學習內容一直為學校數學課程所忽視，即使有學生也只限於在平面表徵下進行探索，因此目前 針對學生的立體幾何思維，我們所知仍不多。

過去針對平面幾何系統的研究，主要值基於 Van Hiele 的幾何思考層次理論（Lawrie, Pegg

& Gutiérrez, 2000），該理論提出學生幾何思考發展的階段論，因為該理論並未涉及學生立體幾何 思維的探討，因此後續有一些學者以這些層次為基礎，將 Van Hiele 的理論拓展至立體幾何思維 的層次，即在 Van Hiele 幾何思考層次的各階段加上立體幾何思維的特徵。例如，在 Van Hiele 提 出幾何思考層次之後，Hoffer（1981）首先嘗試針對立體幾何進行幾何思考層次的分析研究，他 的研究描述了幾種幾何技能（視覺、語言、繪圖、邏輯和應用技能），並對每個技能和 Van Hiele 的五個層次作呼應。這個研究雖然提供了一些例子加以說明，但沒有像 Van Hiele 層次的分析一 樣給予各層次立體幾何思維的具體說明。

Gutiérrez（1992）則在給予學生立體形體的比較與移動活動中，分析學生的解題行為，並進 一步將這些行為表現對應至 Van Hiele 的幾何思考層次。他指出在第一個層次，學生從一個整體 的觀點（global perception）去比較立體形體，能看到形體的形狀及特定組成元素，如面、邊及頂 點，但未能注意到像角、邊長及平行等性質，當這些數學的特徵出現在他們的答案中時，只是 視覺的結果；在第二個層次，學生仍停留在整體的觀點去比較立體形體或元素，但能從觀察或 立體形體的名字去檢驗單一的數學性質差異，例如：能比較一個形體中兩個角度的大小，但他 們的說明仍是基於觀察；第三層次的學生能分析立體形體及其元素，他們的回答能針對單一的 數學性質進行非正式的論證，而這些性質可能是經由觀察形體表徵而來，或經由先前的知識；

第四個層次的學生能不透過操弄進行分析，他們的推理是值基於立體形體或元素的數學結構，

甚至能經由定義或其它的性質推導出另外的性質。在其研究中，指出立體幾何的教學或學習涉 及空間能力，特別是空間可視化能力的發展程度，會影響學生在立體幾何的學習成就。在 Gutiérrez 提出在空間可視化領域中對應 Van Hiele 層次的立體幾何思維的行為描述後，較少有人 再基於 Van Hiele 層次來研究立體幾何，唯有在 Gutiérrez、Pegg 與 Lawrie（2004）後續的研究 中，他們調查學生的思考層次和涉及棱鏡問題的證明能力，其結果顯示較低層次的表徵為基於 圖紙的簡單描繪，而在較高層次的學生才開始使用更多的推理分析。

近年來，Kondo（2015）在其研究中，以 93 位國小五、六年級的學生為研究對象，探討國 小學生對立體幾何圖形的推理表現，他比較了作答情形並分析學生所選的錯誤答案，他將學生 的解釋歸類為以下五個類別：（1）沒有回應；（2）解釋結果是根據圖形的外觀或測量；（3）解釋 中並未說明他們判斷結果的理由；（4）解釋中說明了一些判斷結果的理由（然而，它是不恰當 的或不足的）；（5）解釋中說明了一個正立方體和／或一個正方形某些性質作為判斷結果的理由。

他的研究發現，當立體形體以平面表徵呈現時，只有約一半的六年級學生能正確判讀圖形中的 邊長關係，且很明顯地學生的判斷易受圖形的平面表徵所影響，但他的研究並未基於學生的幾 何思考層次給予進一步的論述。

目前，在學生幾何思維的層次判定上已有 Usiskin（1982）發展出 Van Hiele 幾何思考層次測 驗工具，且多數研究者針對學生立體幾何思考層次的研究也都值基於 Van Hiele 的理論。例如：

過去 Gutiérrez 的研究是以 Van Hiele 的幾何思考層次為基礎，加上各層次學生的立體幾何思考 特徵，顯見學生的立體幾何思維也有層次之分，並可和 Van Hiele 的理論層次有所呼應。另一方 面，由於 Kondo 只做小學生表現的調查研究，因此本研究和 Kondo 的不同，在於本研究進一步 想探討這個能力和 Van Hiele 幾何思考層次的關係，且因為國中生的發展層次可到層次三，故取 國中生為研究對象。

參、研究方法

一、研究對象

本研究以方便取樣方式，選取新北市土城區一所國中的學生為研究對象。該校位於工業區 中，全校約五十班，屬於中型學校，70%的學生家長之社經背景為基層勞工，有 30%的學生來自 弱勢家庭。學校為常態編班，但實施英文及數學領域的分組教學，約有一半的學生有數學學習 上的困難。本研究以該校六個二年級班級學生為研究對象，其中男生有 78 人，女生有 68 人，

共 146 人，施以 Van Hiele 幾何思考層次測驗及立體圖形組成要素關係判別測驗。

二、研究工具

（一）Van Hiele 幾何思考層次測驗

本研究所採用的 Van Hiele 幾何思考層次測驗是研究者直接翻譯自 Usiskin（1982）根據 Van Hiele 幾何思考理論所編製而成的試題，所設計的題目是選擇題的形式，每個層次上各有 5 題，

各題答對得 1 分，答錯得 0 分，每個層次總分 5 分。試題原本共有 25 題選擇題，每個層次上各 有 5 題，是 Usiskin 根據 Van Hiele 幾何思考層次的行為特徵所命題的，但他根據施測結果，提 到對於第五個層次的存疑，認為可能不存在或是無法測出，加上本研究中的受試者為國二學生，

可能無法達到第五個層次，故在本研究中只選擇前四個層次，共 20 題來進行施測。為求能較準 確的評估學生的 Van Hiele 幾何思考層次，根據 Usiskin 的 Van Hiele 測驗，本研究以較嚴格的標 準（各層次 5 題對 4 題以上），若未達層次 1，則判定為層次 0。此翻譯後試題經一位大學教授 及三位數學教師加以檢核以獲致專家效度，再以新北市某所國中之二級學生共 26 位為施測對象 進行預試，得內部一致性信度為 .78。各層次試題示例如下：

1. 層次 0 問題

下列三個圖中，哪些是正方形？

（A）只有 K

（B）只有 L

（C）只有 M

（D）只有 L 和 M

（E）全部都是 2. 層次 1 問題

若 PQRS 是一個正方形，則下列哪一個選項是正確的？

（A）

PR

RS

（B）

QS

PR

（C）

PS

QR

（D）

PS

QS

（E）∠Q 比∠R 大

3. 層次 2 問題

什麼性質是所有的長方形皆有而平行四邊形沒有的？

（A）對邊等長

（B）對角線等長

（C）對邊平行

（D）對角相等

（E）以上皆非 4. 層次 3 問題

以下有三個有關平行線性質的描述：

（1）兩直線垂直於同一直線則平行。

（2）A 線垂直於兩條平行線之一也會垂直於另一條直線。

（3）如兩線的距離相等，那麼它們是平行的。

在下圖中，已知直線 m 垂直直線 p，直線 n 垂直直線 p。請問可以依據上述哪些描述說明直 線 m 平行直線 n？

（A）

只有（1）

（B）只有（2）

（C）只有（3）

（D）（1）和（2）

（E）（2）和（3）

（二）立體圖形組成要素關係判別測驗

本測驗主要是參考 Kondo（2015）的研究問題設計，主要探討的立體圖形組成要素關係是 界定在判斷正方形邊長關係、對角線與正方形邊長的關係及正方形的對角線相等關係，因此本 測驗的主要目的在檢測學生是否能判別正立方體透視圖上所見的邊長關係。

因為本研究的測驗對象為國中生，其應可由題目中已知正立方體的說明得知邊長都一樣的 條件，為探討不同呈現方式對學生解題的影響，在設計問題時是以正立方體的各視角去設計平 面視圖，且錯視圖是本研究的重點，因此在設計上會把透視圖的視角放在邊差異較大的情形，

以視角呈現圖形略為偏向長方形是刻意想了解學生是否具有跳脫視覺圖形影響而進行推理的能 力。在平面圖形的呈現上，為呈現不同的視圖結果，本研究將透視圖的邊長與實際結果一致的 問題，歸類為視覺線索與答案一致的問題，如第 1 題；將透視圖的邊長與實際結果不一致的問 題，歸類為視覺線索與答案不一致的問題，如第 3 題。本測驗有選擇題 8 題及填充題 2 題，共 有 10 題，各題答對得 1 分，答錯得 0 分，總分 10 分，測驗試題見附錄。本測驗經一位大學教 授及三位數學教師加以檢核以獲致專家效度，再以新北市某所國中之二年級學生共 26 位為施測 對象進行預試，得內部一致性信度為.82。原設計在各題最後請學生寫出理由，作為分析學生推 理想法的資料，但因非硬性要求，學生多未在此部分作答，故這部分的資料並未進行分析。

（三）資料分析

根據研究問題需要，依序的統計分析方法說明如下：

1. 以描述統計來分析國中學生判別平面呈現正立體透視圖邊長關係之表現情形，以探究研究問 題一。

2. 以變異數分析來檢驗不同 Van Hiele 幾何思考層次的國中學生，對於平面中呈現正立方體透 視圖邊長關係的判別情形是否有顯著差異；若有差異，則進行事後比較來瞭解在哪些層次之 間有差異，以探究研究問題二。

肆、研究結果與討論

一、國中學生在平面呈現正立方體透視圖邊長關係之判別情形

表 2 顯示全體施測樣本 146 人，在立體圖形組成要素關係判別測驗各問題的答對人數、答 錯人數、答對率。其中，第 1 題、第 2 題、第 6 題和第 7 題可以透過使用正立方體各邊的長度 都等長的概念來解決；而第 3 題、第 4 題、第 8 題和第 9 題需要知道正方形的對角線比邊長長，

並配合正立方體各邊的長度都等長的概念來解決；最後第 5 題和第 10 題則需要連接

AH

表 2

立體圖形組成要素判別測驗施測結果摘要表（總人數146人）

題目屬性 答對人數 答錯人數 答對率

第 1 題 邊等長，與視覺一致 104 42 71.23%

第 2 題 邊等長，與視覺不一致 59 87 40.41%

第 3 題 對角線比邊長長，與視覺不一致 93 53 63.70%

第 4 題 對角線比邊長長，與視覺一致 99 47 67.81%

第 5 題 正方形對角線等長，正三角形 38 108 26.03%

第 6 題 邊等長，與視覺不一致 58 88 39.73%

第 7 題 邊等長，與視覺不一致 57 89 39.04%

第 8 題 對角線比邊長長，與視覺一致 110 36 75.34%

第 9 題 對角線比邊長長，與視覺一致 114 32 78.08%

第 10 題 正方形對角線等長，正三角形 36 110 24.66%

第 1 題、第 4 題、第 8 題和第 9 題的圖形所呈現的視覺線索與答案是一致的，因此，要答 對此四題除了具備解決題目相關的知識及猜測外，憑藉視覺所得到的線索也是有機會答對的，

故此四題的答對率為全部測驗題目的前四名。為了確認各題答對率百分比的差異性，本研究進 一步以百分比同質性檢定這四個試題答對率的差異性，獲得χ²(3) = 25.412，p < .207，顯示這四 個問題的答對率並未具有統計上的差異。

第 2 題、第 3 題、第 6 題和第 7 題的圖形所呈現的視覺線索與答案是不一致的，因此，若 不具備解決題目相關的知識，只憑藉視覺所得到的線索是無法答對的，故此四題的答對率均較 低於前述四題。進一步以百分比同質性檢定這四個試題答對率的差異性，獲得χ²(3) = 4.556，p

< .001，顯示這四個問題的答對百分比具有顯著的差異，進一步以信賴區間進行兩兩試題比較，

發現第 3 題的答對率顯著高於第 2、第 6 題和第 7 題。為了解學生在這四個問題的答題反應，

表 3 呈現學生在這四個問題的反應分析表，我們可以發現在第 2 題、第 6 題和第 7 題中，分別 有較高比例的學生選擇了直觀比較的結果，分別為 74 人、75 人及 78 人。第 3 題是屬於這四題 中答對率較高的問題，答對率有 63.70%。從題目的呈現及表 3 的學生作答反應來看，有可能這 個問題的線段差異不像其它三個問題明顯，因此分別有 17 人選了看起來

FG

表 3

樣本學生在四個視覺線索與答案不一致問題的作答反應分析表

題目 選答 A 選答 B 選答 C 選答 D 未作答 總計 第 2 題 74** 59* 4 4 5 146 第 3 題 17** 26** 92

*

**

**

而第 5 題和第 10 題的答對率較低，都在 30%以下，進一步分析第 5 題及第 7 題(前 8 題最 低的一題)的答對率差異，以百分比同質性檢定這兩個試題答對率的差異性，獲得χ²(1) = 5.632，

p = .018，達到.05 的顯著水準，表示第 5 題的答對率顯著低於第 7 題。而第 5 及第 10 題的百分 比同質性檢定結果為χ²(1) = 0.72，p = .788，顯示第 5 及第 10 題對學生而言是一樣的相對困難，

這可能和解決這兩個問題所需具備的解題知識及過程較其他八題更為繁複有關。

綜合上述分析結果，我們可以發現學生在圖形所呈現的視覺線索與答案一致時，都有較高 的答對率（六成以上），而在視覺線索與答案不一致的問題上，就出現較低的答對率（四成以下）， 至於涉及較多概念的應用問題，則表現更不理想，只有不到三成的答對率。Fischbein（1993）指 出，我們所見的幾何圖形同時具有概念的及圖形的性質，而一個圖形雖然可見與可觀察，但其 所具有的圖形概念（figure concept）通常是抽象的、一般的、理想的、單純的及邏輯決定的，且 呈現的圖形受到表徵上的限制，多無法把這些圖形概念一一的具體表現出來，例如：數學上定 義扇形為兩個半徑及圓上的弧所形成的封閉圖形，當我們畫出一個扇形時，它的幾何性質包含 了扇形弧上的點到端點的距離都是半徑長這個性質，但圖示並不能明顯的看出，這需要由數學 定義去推想。在本研究中，雖然題目很清楚地寫出各題中的透視圖為正立方體，但學生可能根 本沒有注意到這個訊息或直接看圖作答，再加上本研究的視圖可能讓學生誤認為長方體，所以 在視覺線索與答案不一致的問題上，學生受視覺影響多於連結到數學定義或性質來做判斷。正 如 Fischbein 所言，許多學生在進行幾何推理時所犯的錯誤可解釋為圖形概念中概念與圖形間的 分裂（split）或欠缺一致性，他們未能掌握圖形的概念性質，而受到受限的圖形表徵影響，因此 以實際所見的資訊來作為解題的判斷依據。

從 Kondo（2015）的研究結果來看，國小五、六級學生在與本研究相對應的問題 1、3 中達 到近 9 成、6 成的答對率，而本研究國二學生卻只有 7 成、6 成的答對率，這可能和本研究選擇 視角較像長方體的視圖平面表徵有關，因此出現較低的答對率，顯示視覺線索的確會影響學生 對問題結果的判讀，本研究並非有意比較兩群體的表現差異。但本研究與 Kondo 的研究發現一 致，即在視覺線索與答案不一致的問題上，不論國小或國中學生都有較多的困難，顯示學生在

解決正立方體透視圖邊長關係的判別問題時，可能多以視覺線索判別，而非依題意中的正立方 體條件去進行推理判別。本研究除了和 Kondo 在研究對象的年齡有所不同之外，Kondo 的研究 還以訪談方式將學生的解題想法加以探討，並分為五類的解釋表現，說明了學生多以形體外觀 或不知道如何有效說出其想法，較少涉及圖形的性質進行判斷，而本研究並未對學生的解題想 法進行探討，只以測驗結果加以解讀學生的表現，但從表 3 的試題作答反應分析，本研究也發 現學生在視覺線索與答案不一致的問題上，作答錯誤學生多選擇視覺上直觀的結果作為答案，

與 Kondo 的訪談結果一致。但 Kondo 並未進行學生的解題表現與其幾何思考層次關係的探討，

是本研究與 Kondo 最大的不同。

二、不同幾何思考層次的國中學生對於平面中呈現正立方體透視圖邊長關係的之判別 情形

本研究以國二學生在 Van Hiele 幾何思考層次測驗的結果判定其幾何思考層次，分析結果顯 示不符合各層次歸類的人數有 22 人，另外層次 4 只有 3 人，人數過少，故在進行各層次學生的 統計分析時，將不採用這 25 人的資料，僅以 121 人作為分析資料，表 4 呈現各層次學生在立體 圖形組成要素判別測驗上的表現情形。依據表 4，可以看出 Van Hiele 層次越高的學生，其在立 體圖形組成要素關係判別測驗的成績也越高。

表 4

各層次學生在立體圖形組成要素判別測驗上的平均數與標準差統計結果摘要表 Van Hiele 層次 人數 平均數 標準差

層次 0 29 3.45 1.975

層次 1 31 3.77 1.978

層次 2 31 6.55 2.656

層次 3 30 6.73 2.803

總計 121 5.14 2.806

而由變異數分析結果可知，各層次學生在立體圖形組成要素關係判別測驗成績的 F 值達到 顯著水準（F = 16.304; p < .001），也就是立體圖形組成要素關係判別測驗的成績會因為受試者 Van Hiele 層次的不同而有所差異，進一步以謝費法作事後比較，得到層次 0 與層次 1 並無顯著 差異，且層次 2 與層次 3 也無顯著差異，但層次 0 及層次 1 的表現顯著低於層次 2 及層次 3。

這個結果呼應了 Gutiérrez（1992）對學生立體幾何思維層次的描述，在 Gutiérrez 的研究中，屬 於 Van Hiele 前兩個層次的學生在面對立體幾何問題時，多依賴視覺的觀察結果，因此在本研究 的問題中，即使已告知圖形為一正立方體，學生仍受圖形表徵的影響而無法正確地利用圖形的 定義或特徵去進行推理判斷。

而為了進一步了解不同層次的學生在立體圖形組成要素關係判別測驗的各題表現是否有顯 著差異，本研究進一步以 Van Hiele 幾何層次為自變項，各題的成績表現為依變項，進行單因子 變異數分析。各層次學生在立體圖形組成要素關係判別測驗的第 1 題（F = 3.025; p = .032 < .05）、 第 2 題（F = 11.625; p = .000 < .001）、第 3 題（F = 5.100; p = .002 < .01）、第 4 題（F = 6.142;

p = .001 < .01）、第 5 題（F = 3.329; p = .022 < .05）、第 6 題（F = 11.187; p = .000 < .001）、第 7 題（F = 8.496; p = .000 < .001）及第 10 題（F = 2.958; p = .035 < .05）有達顯著水準，進一步 以 LSD 法作事後比較，得到第 1 題（層次 0、層次 1＜層次 3）、第 2 題（層次 0、層次 1＜層 次 2、層次 3）、第 3 題（層次 0、層次 1＜層次 2、層次 3）、第 4 題（層次 0、層次 1＜層次 2、層次 3）、第 5 題（層次 0、層次 1＜層次 2）、第 6 題（層次 0、層次 1＜層次 2、層次 3）、

第 7 題（層次 0、層次 1＜層次 2、層次 3）及第 10 題（層次 0＜層次 2、層次 3）。

至於未出現差異的第 8 題和第 9 題，主要判讀的是邊長和對角線之長短關係，學生可能存 有對角線比邊長長的心像，且其圖形所呈現的視覺線索與答案是一致且明顯的，對於比較低層 次的學生，可能一部分會只依靠視覺所得到的線索來進行判讀，一部分知道對角線（斜邊）比 較長的結果來進行判讀，所以無論層次高低，答對的機會都很大，各層次的表現差異不大。第 2 題、第 3 題、第 6 題和第 7 題的圖形所呈現的視覺線索與答案是不一致的，比較低層次的學生，

只憑藉視覺所得到的線索是無法答對的，而第 5 題和第 10 題所需具備的解題知識及過程較為繁 複，比較高層次的學生較有機會答對，所以各層次的表現會有明顯差異。

因此，不論是以整體或是以各題來看，不同 Van Hiele 幾何思考層次的國中學生，對於平面 中呈現正立體透視圖形邊長關係的判別情形，是有差異存在的，特別是視覺線索與結果不一致 的問題及較複雜的問題，顯示了不同幾何思考層次學生的表現差異。本研究資料顯示，在解決 正立體透視圖形邊長關係的判別問題時，受測學生可以 Van Hiele 幾何思考層次大分為兩組，即 層次 0 和層次 1 一組，而層次 2 和層次 3 一組。因此，學生在視覺線索與結果不一致問題的解 題策略，可能是不同立體幾何思考層次的特徵表現，未來可進一步分析與探討。未來或許可以 利用相關問題的設計，發展判別學生立體幾何思考層次的工具。

伍、結論與建議

一、結論

本研究探討 146 位國中二年級學生對於正立方體以平面表徵呈現時，其判別圖形邊長關係 的情形，並進一步探討其解題表現與 Van Hiele 幾何思考層次的關係。研究結論如下：

（一）國中學生在「視覺線索與答案一致」的問題表現優於「視覺線索與答案不一致」的問題 對於求解視覺線索與答案一致的問題，學生除了具備解決題目相關的知識，憑藉視覺所得

到的線索也是有機會答對的，但對於視覺線索與答案不一致的問題，若不具備解決題目相關的 知識，只憑藉視覺所得到的線索是無法答對的，所以國中學生在視覺線索與答案一致的問題之 答對率高於視覺線索與答案不一致的問題。在視覺線索與答案不一致的問題中，學生的答對率 多在 50%以下，這個結果也顯示國中學生在解決平面呈現的正立方體透視圖形問題時，的確受 到錯視及空間定位的影響。對於國中學生而言，在告知所呈現的圖形為正立方體時，理想上學 生應該能反應正立方體的外觀是六個相等的正方形，即使不看圖形也應能正確判讀圖形中的邊 長相等關係。然在視覺線索與答案不一致的問題上，由於呈現的平面圖形並非真實的訊息或造 形的本質，而使學生對原本的認知產生誤差，並對訊息做了錯誤的判斷（Fischbein, 1993）。另一 方面，可能國內學生在數學課程的學習一直少有繪製立體圖形的經驗，因此對於立體圖形的空 間定位經驗不足，所以容易造成學習的盲點及困擾。

（二）不同 Van Hiele 幾何思考層次的國中學生在「視覺線索與答案不一致」的問題出現表現 上的差異

由於視覺線索與答案一致的問題，學生憑藉視覺所得到的線索也是有機會答對，所以各幾 何思考層次學生的表現差異不大；但對於視覺線索與答案不一致的問題，只憑藉視覺所得到的 線索是無法答對的，所以各層次的表現會有明顯差異。本研究發現 Van Hiele 幾何思考層次 2 及 層次 3 的學生，在測驗結果的表現顯著優於層次 0 及層次 1 的學生，特別是在視覺線索與答案 不一致的問題上。幾何思考層次較低的學生，其解題策略大多是採用視覺的方式來判別，不論 解題時是否有利用幾何性質進行推論或是在腦中操弄心像，層次較低的學生易受視覺得到的訊 息所影響；而幾何思考層次較高的學生，其解題時大多利用形體的幾何性質來進行推論，甚至 可以不依靠圖示來解決問題。

二、建議

依據研究結論，本研究提出教學及未來研究建議如下：

（一）教學設計宜幫助學生善用視覺能力以降低錯視的困擾

本研究中發現，學生對於正立方體透視圖邊長關係的判別情形，大致上與 Van Hiele 幾何思 考層次的行為描述是符合的，所以除了依據學生的幾何思考特質來安排適當的教學活動外，學 生在判別正立方體透視圖邊長關係時所使用的策略，也能作為另一個教學時的考量。教師對於 判別表現較弱的學生，除了利用黑板上的平面圖形表徵外，尚可以利用立體教具的演示，如組 成要素的分解、不同角度的擺設方向等，呈現不同的視覺結果，幫助學生了解 3D 圖形使用二維 表徵時，可能造成的視覺差異，透過增加認知衝突的經驗，並配合投影幾何知識的教學，幫助 學生能夠善用視覺能力，降低錯視的困擾，建立操弄心像的基礎。另一方面，教師教學也要強

調二維表徵 3D 圖形的侷限性，因此必須抽象思考幾何意義，以培養學生能由直觀的判讀策略提 升至非直觀的判讀策略。

（二）擴充研究的母群體及進行長期的追蹤研究

本研究在研究設計上只是以新北市某國中的二年級學生為研究樣本，未涉及其他不同屬性 地區之國中學生及不同年段的學生，且本研究是以一個時間點進行資料收集及探究，較難獲致 學生對圖形元素判別及解題能力的發展情形。因此，建議未來的研究者，可以嘗試以其他不同 屬性地區及不同年段之國中學生為研究樣本，並可針對同一群研究樣本做長時間的追蹤探討，

以獲致更豐富的研究結果。

參考文獻

三民書局新辭典編纂委員會（2000）。新辭典。臺北：三民。【San Min Dictionary Compiling Committee. (2000). New dictionary. Taipei: San Min. (in Chinese)】

王毓婕、陳光勳（2016）。運用幾何軟體 Cabri 3D 與實體積木教具教學對國小二年級學童學習空 間旋轉概念之影響。臺灣數學教育期刊，3（1），19-54。doi: 10.6278/tjme.20160323.002【Wang, Yu-Jie, & Chen, Kaung-Hsung (2016). Based on Cabri 3D and physical manipulatives to study the effect of learning on the spatial rotation concept for second graders. Taiwan Journal of Mathematics Education, 3(1), 19-54. doi: 10.6278/tjme.20160323.002 (in Chinese)】

王照明（1997）。圖學（上）。臺北：全華。【Wang, Chao-Ming (1997). Graphics(I). Taipei: Quan Hua.

(in Chinese)】

王學武、蔡佳穎、陳宜均、賴蕙慈（2011）。應用 Van Hiele 幾何思考層次理論於國小學童體積概 念數位教材開發之研究。國民教育，51（6），90-99。doi: 10.6476/JNE.201108.0090【Wang, Hsueh-Wu, Cai, Jia-Yi, Chen, I-Chun, & Lai, Hui-Tzu (2011). A study of applying Van Hiele geometric thinking level theory to developing the multimedia materials of volume concept for elementary school students. Elementary Education, 51(6), 90-99. doi: 10.6476/JNE.201108.0090 (in Chinese)】

左台益、梁勇能（2001）。國二學生空間能力與 Van Hiele 幾何思考層次相關性研究。師大學報：

科學教育類，46（1&2），1-20。doi: 10.6300/JNTNU.2001.46.01【Tso, Tai-Yih, & Liang, Yung- Nong (2001). The study of interrelationship between spatial abilities and Van Hiele levels of thinking in geometry of eighth-grade students. Journal of Taiwan Normal University: Science Education, 46(1&2), 1-20. doi: 10.6300/JNTNU.2001.46.01 (in Chinese)】

洪明顯（2014）。互動式 3D 電腦輔助教學應用於正投影視圖（未出版之碩士論文）。私立臺中 科技大學，臺中市。【Hung, Ming-Hsien (2014). The computer-assisted instruction of 3D-based interaction for orthographic projection (Unpublished master’s thesis). National Taichung University of Science and Technology, Taichung. (in Chinese)】

程柏豪（2006）。資訊科技融入國小數學科教學效益之研究-以國小五年級體積與表面積為例（未 出版之碩士論文）。國立臺中教育大學，臺中市。【Cheng, Po-Hao (2006). A study of IT integrated instruction performance with Math’s teaching –Implement with volume and surface area concept on the fifth graders (Unpublished master’s thesis). National Taichung University of

Education, Taichung. (in Chinese)】

鄭美玲、陳光勳（2015）。國小六年級學生表面積與體積「量的公式概念」調查之研究。國民教 育，55（4），73-90。【Cheng, Mei-Ling, & Chen, Kaung-Hsung (2015). A study on the sixth graders' quantitative formula concept of surface area and volume. Elementary Education, 55(4), 73-90. (in Chinese)】

Battista, M. T. (1999). Fifth graders’ enumeration of cubes in 3D arrays: Conceptual progress in an inquiry-based classroom. Journal for Research in Mathematics Education, 30(4), 417-448. doi:

10.2307/749708

Gutiérrez, A. (1992). Exploring the links between Van Hiele levels and 3-dimensional geometry.

Structural Topology, 18, 31-48.

Gutiérrez, A., Pegg, J., & Lawrie, C. (2004). Characterization of students’ reasoning and proof abilities in 3-dimensional geometry. In M. J. Høines, & A. B. Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (vol. 2, pp.

511-518). Bergen, Norway: PME.

Fischbein, E. (1993). The theory of figure concepts. Educational Studies in Mathematics, 24(2), 139- 162. doi: 10.1007/BF01273689

Hoffer, A. (1981). Geometry is more than proof. Mathematics Teacher, 74(1), 11-18.

Kondo, Y. (2015). Characteristics of student's 3D geometrical reasoning in elementary school: Focus on the student's explanations. In C. Vistro-Yu (Ed.), In pursuit of quality mathematics education for all: Proceedings of the 7th ICMI-East Asia Regional Conference on Mathematics Education (pp.731-736). Cebu, Philippines: Philippine Council of Mathematics Teacher Educators.

Lawrie, C., Pegg, J., & Gutiérrez, A. (2000). Coding the nature of thinking displayed in responses on nets of solids. In T. Nakahara, & M. Koyama (Eds.), Proceedings of the 24th International Conference for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp. 215-222). Hiroshima, Japan:

PME.

Parzysz, B. (1988). “Knowing” vs “seeing”: Problems of the plane representation of space geometry figures. Educational Studies in Mathematics, 19(1), 79-92. doi: 10.1007/BF00428386

Pittalis, M., Mousoulides, N., & Christou, C. (2010). Students’ 3D geometry thinking profiles. In V.

Durand-Guerrier, S. Soury-Lavergne, & F. Arzarello (Eds.), Proceedings of the Sixth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (pp. 816-825). Lyon, France: Institut National de Recherche Pédagogique.

Usiskin, Z. (1982). Van Hiele levels and achievement in secondary school geometry (Final Report of the cognitive development and achievement in secondary school geometry project). Chicago, IL:

University of Chicago.

Van Hiele, P. M. (1986). Structure and insight: A theory of mathematics education. Orlando, FL:

Academic Press.

附錄：立體圖形組成要素關係判別測驗

1.右圖為一正立方體，請比較

FG

AB

（A）

FG

AB

（B）

FG

AB

（C）

FG

AB

（D）無法判斷

2.右圖為一正立方體，請比較

FG

DH

（A）

FG

DH

（B）

FG

DH

（C）

FG

DH

（D）無法判斷

3.右圖為一正立方體，請比較

FG

DE

（A）

FG

DE

（B）

FG

DE

（C）

FG

DE

（D）無法判斷

4.右圖為一正立方體，請比較

FG

AH

（A）

FG

AH

（B）

FG

AH

（C）

FG

AH

（D）無法判斷

5.右圖為一正立方體，∠AFH＝ 度。為什麼？

6.

右圖為一正立方體，請比較 FG 和 AB 的大小

並說明為什麼。

（A）

FG

AB

（B）

FG

AB

（C）

FG

AB

（D）無法判斷

7.

右圖為一正立方體，請比較 FG 和 DH 的大小？並說明為什麼。

（A）

FG

DH

（B）

FG

DH

（C）

FG

DH

（D）無法判斷

8.

右圖為一正立方體，請比較 FG 和 DE 的大小？並說明為什麼。

（A）

FG

DE

（B）

FG

DE

（C）

FG

DE

（D）無法判斷

9.

右圖為一正立方體，請比較 FG 和 AH 的大小？並說明為什麼。

（A）

FG

AH

（B）

FG

AH

（C）

FG

AH

（D）無法判斷

10.右圖為一正立方體，∠AFH＝ 度。為什麼？