單元08-一維數據分析

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行政院主計處公布臺灣自2015年至2017 年每人年薪的中位數與平均數如右圖1所示。 中位數和平均數都是日常生活中常會接觸到的 數據。 透過統計,可以從眾多數據中取得關鍵的 指標,來代表整筆數據的特性。國中學過用平 均數、中位數與眾數描述一組資料的特性,這 個單元將略作複習,並介紹更多數據分析的方 法。

一維數據分析

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圖1

代表數據的數

我們經常用單一的數值來代表整筆數據的中心點或數據的集中情形,常用的 數值有眾數、中位數、算術平均數、加權平均數與幾何平均數。前三種數值在國 中已經學過,我們先複習一下,再介紹另外兩種數值。 (一)眾數 眾數是指一組數據中出現次數最多的數,也是在實際生活中經常被使用的 數值,以下面例題說明。

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有A,B兩群學生參加學科能力測驗,其數學科成績(級分)如下: 1 A群的級分為:11,13,14,10,11,12,8,11,15。 2 B群的級分分布如下表。 級分 9 10 11 12 13 14 15 人數 3 8 5 4 8 3 1 分別求這兩群成績的眾數。 解 1 因為11是出現次數最多的數,共出現3次,所以A群成績的眾數為11 (級分)。 2 因為10與13是出現次數最多的數,共各出現8次,所以B群成績的眾 數為10與13(級分)。

例題

1

(二)中位數 把一組數據由小到大排列之後,取最中間的數來代表這組數據的中心點,這 個數就是中位數。中位數是一組數據的中心點,其定義如下。 將一群數據由小到大排列後: 當數據為奇數個時,中位數是排序在正中間的數。 當數據為偶數個時,中位數是排序在正中間兩數的平均。 中位數 欲求一組數據的中位數,須先將數據由小到大排列,看下面例題。

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求下列各數據的中位數: 1 8,4,9,1,6。 2 8,4,9,1,6,8。 解 1 將這五個數由小到大排列如下: 1,4,6,8,9。 ↑ 中位數 因為這五個數(奇數個)中,位在正中間的是6,所以這組數據的中 位數是6。 2 將這六個數由小到大排列如下: 1,4,6,8,8,9。 ↑ 中位數 因為這六個數(偶數個)中,位在正中間的兩數是6和8,所以這組數 據的中位數是 2 6 8 7 + = 。

例題

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1 求連續整數數據1,2,3,…,48,49的中位數。 2 求連續整數數據1,2,3,…,49,50的中位數。

隨堂練習

中位數是一組數據的中心點,也就是說,至少有一半的數據小於或等於中位 數,也至少有一半的數據大於或等於它。

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一維數據分析

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(三)算術平均數 一組數據的算術平均數(簡稱平均數)就是所有數據的總和除以此組數據 的個數所得到的值,記作 n (讀作mu)。n個數據為x x1, 2,g,xn時,其算術平均數(簡稱平均數)為 n x1 x2 g xn n = + + + 。 算術平均數 算術平均數與中位數的含意不同,也不一定相等,來做一題練習。 已知某籃球校隊五位先發球員的身高(公分)分別為 186,188,189,191,226, 求其中位數與算術平均數。 解 這五個數的中位數為由小到大的第三個數,即中位數為189(公分); 而這五個數的算術平均數為 5 186 188 189 191 226 196 + + + + = (公分)。

例題

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在上面的例子中,不難看出身高226公分的球員會拉高他們隊員身高的算術 平均數。因此,在表示數據的集中情形時,算術平均數比中位數容易受到特別大 或特別小數值的影響。

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世界桌球錦標賽中,某國家代表隊六位球員的年齡(歲)分別為 21,13,23,21,22,20。 求其中位數與算術平均數。

隨堂練習

(四)加權平均數 對於一組給定的數據,當各項數據的重要性相同時,我們會以這組數據的算 術平均數作為此組數據的代表值;但當各項數據的重要性不盡相同時,通常我們 會衡量各項數據彼此之間的輕重關係,給予相對的權數。將各項數據乘以其相 對應的權數,然後把各項乘積的總和除以總權數所得的值,就稱為加權平均 數。 當n個數據x x1, 2,g,xn所對應的權數分別為w w1, 2,g,wn時,其加權平均 數為 w w w w x w x w x w n n n 1 2 1 1 2 2 g g = + + + + + + 。 加權平均數 學期成績的計算常使用加權平均數,以下面例題說明。 甲生本學期數學科的平常、第一次期中考、第二次期中考與期末考的分 數與其所占的比重如下表。 平常 第一次期中考 第二次期中考 期末考 分數 83 68 87 74 比重 30% 20% 20% 30% 試以比重為權數,計算甲生的數學科學期成績。

例題

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一維數據分析

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隨堂練習

以比重為權數,甲生的數學科學期成績為 . . . . . . . . . 0 3 0 2 0 2 0 3 83 0 3 68 0 2 87 0 2 74 0 3 78 1 # # # # + + + + + + = (分)。 某生本學期數學科的平常、第一次期中考、第二次期中考與期末考的分 數與其所占的比重如下表。 平常 第一次期中考 第二次期中考 期末考 分數 65 46 53 x 比重 30% 20% 20% 30% 已知該生的數學科學期成績為60分,求x的值。 (五)幾何平均數 變化率(如投資報酬率、經濟成長率、通貨膨脹率)是生活中常見的名詞, 而求變化率的平均值與計算其「幾何平均數」有關。 當n個數據為x x1, 2,g,xn時,其幾何平均數為 x x xn n 1 2g 。 幾何平均數 如何使用幾何平均數來求變化率的平均值呢?舉例說明如下: 設某公司去年的營業額比前年成長60%,而今年的營業額比去年衰退60% (記作-60%)。若用兩者的算術平均數 % % 2 1 60 + -^ 60 h =0 7 A 來代表這兩年的

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平均成長率,並解讀成「公司兩年來的營業額持平」,則這樣的解讀合理嗎?事 實不然,若設前年的營業額為k元,則去年的營業額為k 1^ +60%h 元,那麼今年 的營業額為 % % . . k^1+60 h^1-60 h=k^1-0 36h=0 64k(元)。 這表示兩年下來營業額只剩原來的64%,呈衰退現象,並非持平。也就是說, 平均成長率不適合用算術平均數來表示。那麼該如何求真正的平均成長率呢? 如果設過去兩年每年的平均成長率皆為r,那麼今年的營業額為 % % k^1+rh^1+rh=k^1+60 h^1-60 h , 可得 % % r 1+ 2= 1+60 1-60 ^ h ^ h^ h , 即 % % . . r 1+ = ^1+60 h^1-60 h= 0 64 =0 8。 因此, . . % r=0 8- =-1 0 2=-20 , 也就是說這兩年的營業額平均每年衰退20 。% 仿照上述的方法,當連續n年的成長率分別為 , ,r r1 2 g,rn,且設其平均年成 長率為r時,可得 r 1+ n= 1+r1 1+r2 g 1+rn ^ h ` j` j ` j , 整理得 r=n`1+r1j`1+r2jg`1+rnj-1。 當連續n年的成長率分別為 , ,r r1 2 g,rn時,其年平均成長率為 1 n n 1 2 g -r r r 1+ 1+ 1+ ` j` j ` j 。 平均成長率 生活上常常會接觸到平均成長率或平均漲跌幅的問題,看下面例題。

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一維數據分析

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已知自2013年至2016年我國的經濟成長率如下: . % 2 23 ,3 77. %,1 1. %, 2 88. %, 求這四年我國經濟的年平均成長率。 解 利用上述公式,得這四年的年平均成長率為 . % . % . % . % 1 2 23 1 3 77 1 1 1 1 2 88 1 4 + + + + -^ h^ h^ h^ h 利用計算機,依序按下 1.0223 1.0377 1.011 1.0288 4 1 可得 . . . % 1 0223 1 0377 1 011 1 0288 1 0 0249 2 49 4 # # # . - = 。 故這四年的年平均成長率約為 .2 49%。

例題

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油價在連續三年的年平均漲幅為20 。已知第一年油價跌% 10%,第二年 油價漲20%,求油價在第三年的漲跌幅。

隨堂練習

百分位數與四分位數

前一節我們用中位數來代表一組數據的中心點: 至少有50%的數據小於或等於中位數,且至少有50%的數據大於或等於它。 也就是說,我們用1個數將這組數據兩等分。 當一組數據的個數很大時,通常會將中位數的觀念予以擴大,用99個數將 這 組 數 據1 0 0 等 分 , 我 們 稱 這 9 9個 數 為百 分 位 數, 用 Pk表 示 第 k 百 分 位 數

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k= 1 2, ,g,99),其中 至少有k%的數據小於或等於Pk,且至少有^100 -kh%的數據大於或等於Pk如圖 2 所示。 圖2 根據以上百分位數的定義,我們有以下的計算方法。 先將n個數據由小到大排序為x x1, 2,g,xn1 當 a n k 100 # = 為整數時,第k百分位數 P x x 2 k a a 1 = + +2 當 a n k 100 # = 不 為 整 數 時 , 令 b=^a的整數部分h+1, 第 k 百 分 位 數 Pk=xb。 第

k

百分位數

P

k的計算方法 當數據由小到大排列後,由百分位數就可以描述個別數據在整組的相對位 置,以下做一題練習。 某校250位學生,每位各投籃6次,他們的進球數如下表。 進球數 0 1 2 3 4 5 6 人數 13 29 42 66 38 35 27 求這250筆進球數數據的 1 第35百分位數 P352 第60百分位數 P60

例題

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一維數據分析

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解 將250個數據由小到大排序為x x1, 2,g,x2501 因為250 . 100 35 87 5 # = 不是整數,所以令b=^87 5. 的整數部分h+ =1 88, 且此時第35百分位數 P35=xb= x88。搭配表格計算累積人數可知 13+29+42=84(即 x84= )2 且 13+29+42+66=150(即 x150= ),3 因此 x85=x86=g=x150=3。 故 P35=x88=3(個)。 2 因為 250 100 60 150 # = 是整數,所以第60百分位數 P x x 2 60 150 151 = + 。又 由1得知 x150= , x3 151=4。 故P . 2 3 4 3 5 60= + = (個)。 在例題62中,第60百分位數P60=3 5. (個)的意思是:至少有60 的學% 生進球數小於或等於3.5個,同時至少有40 的學生進球數大於或等於% 3.5個。 270位成人在休息狀態時每分鐘的呼吸次數分配如下表。 呼吸次數 15 16 17 18 19 20 21 人數 16 31 48 71 67 34 3 求這270筆呼吸次數數據的 1第15百分位數 P15。  2第80百分位數 P80

隨堂練習

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百分位數在生活中有廣泛的應用,例如行政院主計處統計全臺薪資時,除 了中位數和平均數之外,也會提供 P10, P20,g , P90作為薪資分布的參考。 由百分位數的定義知:一組數據的百分位數 P25, P50, P75大約是排在這組數 據的 4 1 , 4 2 , 4 3 位置的數,這三個數又分別稱為這組數據的第 1、第 2、第 3 四 分位數(將數據四等分),也可記作 Q1, Q2與 Q3。因此,四分位數與百分位數 的關係為 Q1=P25, Q2=P50, Q3=P75, 其中第2四分位數 Q 2即為中位數。 某公司118位員工的薪資分配如下表。 薪資(千元) 22 25 32 36 43 48 52 員工數 10 15 26 35 16 11 5 對於這118個數據,分別求這組數據的四分位數 Q1, Q2及 Q3。 解 將118個數據由小到大排序為x x1, 2,g,x118,由四分位數與百分位數的關 係,得 Q1=P25, Q2=P50及 Q3= P751 因為118 . 4 1 29 5 # = 不是整數,所以令b=^29 5. 的整數部分h+ =1 30, 且此時百分位數 P25= xb=x30。 又從表中得知 x30=32。 故 Q1=P25=32(千元)。 2 因為118# 42 =59是整數,所以百分位數 P x x 2 50 59 60 = + 。

例題

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一維數據分析

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又從表中得知 x59= 36, x60=36。 故 Q P 2 36 36 36 2= 50= + = (千元)。 3 因為118 . 4 3 88 5 # = 不是整數,所以令b=^88 5. 的整數部分h+ =1 89, 且此時百分位數 P75= xb=x89。 又從表中得知 x89=43。 故 Q3=P75=43(千元)。 調查某班40名學生每週研讀數學的時數,統計結果得算術平均數為8.5 小時,第1四分位數為7小時,第3四分位數為10小時。下列何者可由 上列結果推斷為正確? 1 7小時 # 中位數 # 10小時 2 約有10名學生每週研讀數學的時數超過10小時 3 至少有30名學生每週研讀數學的時數大於或等於7小時 4 全班學生每週研讀數學的總時數超過350小時。

隨堂練習

統計數據的定義有時不盡相同,以致會產生不同的數據。事實上,第1四分 位數還有另外一個定義:將數據由小到大排序後,利用中位數將數據分成前後兩 組(不要把中位數放入已分好的組別),並將第1四分位數定為前面組別的中位 數。例如: 2,3,4,5,6 的中位數是4,利用4將數據分成2,3與5,6兩組,根據此時的定義,第1四分位數即 為2,3的中位數2.5。然而,根據之前第1四分位數的定義,我們須計算數據的第25 百分位數 P25:因為5 . 100 25 1 25 # = 不是整數,所以第1四分位數為 P25=x2= 。3

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變異數與標準差

對於一組數據,除了用單一的數值來代表整筆數據的中心點或數據的集中情 形之外,另一個重點是如何表示數據的分散情形。例如參加趣味競賽兩個團體的 隊員年齡如下: 〈甲團體〉14,15,16,16,16,16,17,18,其平均年齡為16歲。 〈乙團體〉3,3,4,5,6,6,6,16,55,56,其平均年齡也為16歲。 可以想見,這兩組平均年齡皆為「青少年」的團體在競賽時的體力可能會有很大 的差異。會造成這樣的差異,是因為沒有考慮數據間的分散情形。 一般而言,表示數據間的分散情形,最常用的是所謂的「標準差」,它是用 來描述「各數據與算術平均數的平均距離」。 當一組數據x x1, 2,g,xn的平均數為n 時,稱 x` i-nj 為 x i的離均差(其中 , , , i=1 2 g n)。離均差可能是正、負或0,但因為 n 1 + 2 +g+ x -n x -n x -n ` j ` j ` j n n n 0 n 1 2 n n n =`x +x +g+x j- = - = , 所以「離均差的總和為0」。 如果以所有離均差的絕對值來計算平均,顯然符合平均距離的概念,但是絕 對值的代數運算較不容易處理,於是我們以「離均差的平方」取代離均差的絕對 值,並計算所有離均差平方的平均值,稱為變異數,再取其正平方根,稱之為 標準差。我們以 v (讀作sigma)代表標準差,v 代表變異數。2 設n個數據x x1, 2,g,xn的平均數為 n 。 變異數v :所有離均差平方的平均,即2 g + + + n 1 n 2 1 2 2 2 2 v = c`x -nj `x -nj `x -nj m , 標準差 v :變異數的正平方根,即 g + + + n 1 n 1 2 2 2 2 v = c`x -nj `x -nj `x -nj m 。 變異數與標準差

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標準差是衡量數據分散程度時最通用的指標,來做一題練習。 求以下五個數據的算術平均數、變異數和標準差。 1,4,5,7,13。 解 這五個數據的算術平均數為 5 1 4 5 7 13 6 n = + + + + = , 變異數 + + + + 5 1 1 6 4 6 5 6 7 6 13 6 16 2 2 2 2 2 2 v = a^ - h ^ - h ^ - h ^ - h ^ - h k= 。 標準差v = 16 = 4。

例題

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求以下四個數據的算術平均數、變異數和標準差。 86,88,92,94。

隨堂練習

將例題8的數據,在數線上用點表示出來,如圖3所示,其中紫色線段顯示 出各數據與平均數的距離。 ▲ 圖3 一般而言,如果數據的分布較為離散,其標準差 v 就較大;如果數據的分 布較為集中,標準差 v 就較小;只有在所有數據都完全相等時,v才會等於 0

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下列各組數據,何者的標準差最大? 15,5,5,5,5。    21,3,5,7,9。    33,4,5,6,7。

隨堂練習

處理標準差時,有時為了計算上的方便,會將標準差公式改寫如下:因為 nv =2 `x1-nj2+`x2-nj2+g+`xn-nj2 x12 x22 g xn2 2n 1 2 n nn2 =a + + + k- `x +x +g+x j+ x12 x22 g xn2 2n nn nn2 =a + + + k- _ i+ x12 x22 g xn2 nn2 =a + + + k- , 所以標準差公式又可以寫成 n x x x 1 n 1 2 2 2 2 2 g v= a + + + k-n 。 設n個數據x x1, 2,g,xn的平均數為 n ,則標準差為 g + + + n 1 n 1 2 2 2 2 v = c`x -nj `x -nj `x -nj m n x x x 1 n 1 2 2 2 2 2 g n = a + + + k- 。 標準差公式 上方提供了兩個求標準差的公式,來練習使用第二個標準差公式。

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求以下四個數據的標準差。 2,5,6,9。 解 這四個數據的算術平均數 n 為 4 2 5 6 9 2 11 n = + + + = , 又四數的平方和為 22+52+62+92= 146, 故標準差 v 為 4 146 2 11 2 5 2 v = -e o = 。

例題

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求以下四個數據的標準差。 5,8,9,12。

隨堂練習

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數據的伸縮與平移

日常生活中,數據常因使用單位的不同而改變,例如身高(公分與呎)、體 重(公斤與磅)、溫度( C

c

與 F

c

),當同一組數據採用不同的單位呈現時,其 平均數與標準差會有什麼改變呢? 事實上,將一組數據中的各數據同乘以一個數(伸縮)或同加一個數(平 移)後,其平均數與標準差的變化如下: 設n個數據x x1, 2,g,xn的平均數為n ,標準差為x v 。將每個數據乘以x a 再加b,形成一組新數據y y1, 2,g,yn,即 yi=axi+ (b i=1 2 g, , ,n), 並令這些新數據的平均數為n ,標準差為y v 。y 這兩組數據的平均數與標準差有如下的關係: 1 ny =anx+b2 vy= a vx。 數據的伸縮與平移 證明: 1 n y y y y n 1 2 g n = + + + n n 1 2 g = `ax +bj+`ax +bj+ +`ax +bj a n x x x n nb n 1 2 g = f + + + p+ anx b = + 。

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一維數據分析

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2 因為 n y y y y y n y 2 1 2 2 2 2 g v =a -n k +a -n k + + ya -n k x x 1 2 2 2 =a`ax +bj-`an +bjk +a`ax +bj-`an +bjk n x 2 g + +a`ax +bj-`an +bjk g + + + a x x n x 2 1 2 2 2 2 = c`x -n j `x -n j `x -n j m a n2 vx2 = , 即 y a x 2 2 2 v = v ,所以 x a a y x 2 2 v = v = v 。 以攝氏與華氏溫度的轉換為例,利用數據的伸縮與平移來做個練習。 攝氏溫度x( C

c

)與華氏溫度y( F

c

)的關係為 y x 5 9 32 = + 。 某地區七月份平均溫度為30

c

C,標準差為 . C6 5

c

。如果改用華氏溫度表 示,那麼該地區七月份的平均溫度與標準差各為華氏幾度呢? 解 設該地區七月份溫度以華氏溫度表示時,其平均溫度為ny

c

F,標準差為 F y

c

v 。 利用數據的伸縮與平移,得 平均數 5 9 30 32 86 y # n = + = ( F

c

)。 標準差 y . . 5 9 6 5 11 7 # v = = ( F

c

)。

例題

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某次數學期中考試共有25題單選題,每題4分。班上成績不太理想,平 均數為36分,標準差為12分,老師決定調整每位學生的成績如下: 將每題4分改為5分,計算總分後再加10分。 已知調整後最高分不會超過100分,求調整後班上數學成績的平均數與 標準差。

隨堂練習

事實上,有一種常用的數據伸縮與平移,就是將原數據減去平均數後除以標 準差變換成一組新數據。也就是說,當一組數據 xi的平均數為 n ,標準差為 vv20)時,我們將原數據 xi變換成新數據 yi,其中 y x x 1 i i i v n v v n = -= - 。 利用數據的伸縮與平移,得 yi的 平均數ny 1 0 vn v n = - = , 標準差vy 1 1 v v = = 。 像這種利用伸縮與平移將數據變換,並使得新數據的平均數為0,標準差1的方式,稱為數據標準化。 設n個數據x x1, 2,g,xn的平均數為 n ,標準差為 v (v20)。將每一 個數據減去 n 後再除以 v ,形成一組新數據 ,y y1 2,g,yn,即 y x i i v n = -,i=1 2 g, , ,n。 這樣的變換稱為數據標準化。 數據標準化 因為原數據 xi的平均數 n 與標準差 v 單位相同,所以標準化後的新數據無 單位。

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一維數據分析

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一個數據的標準化表示該數據與整組數據平均數之間的距離(以標準差為計 算單位)。當該數據高於平均數時,標準化後為正數,反之則為負數。這樣也可 以看出個別數據在整組的相對位置,並可以比較不同性質的兩組數據。以下面例 題說明。 某班段考的數學與英文成績之平均數與標準差如下表。 數學 英文 平均數 68 60 標準差 5 4 已知班上甲生此次段考數學成績為73分,英文成績為65分, 1 將甲生的數學與英文成績標準化。 2 相對於全班,甲生在這兩科中哪一科表現比較好?1 將成績標準化如下: 數學成績 y 5 73 68 1 1= -= , 表示該成績較全班的平均高出1個標準差。 英文成績y . 4 65 60 1 25 2= -= , 表示該成績較全班的平均高出1.25個標準差。 2 相對於全班,甲生在英文科的表現較好。

例題

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本單元為教學計算方便,只處理少數數據的算術平均數、幾何平均數、變異 數與標準差,作為熟悉理論的練習過程。當數據資料繁多時,可以使用計算機或 電腦軟體來輔助計算,以下面例題說明。

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玉山觀測站提供的2018年每月氣溫( C

c

)如下表。 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 氣溫 0.5 -0.3 1.4 4.8 8.0 8.3 7.6 7.2 7.1 4.8 4.4 5.1 利用電腦軟體Excel,求玉山2018年氣溫的平均數與標準差。(四捨五 入到小數點以下第1位) 解 如下圖所示。 1 將題目中的月份與氣溫分別輸入Excel的A欄與B欄。 2 在欲顯示平均數的儲存格輸入 =AVERAGE(B2:B13), 即計算儲存格B2到B13的平均數。 3 在欲顯示標準差的儲存格輸入 =STDEV.P(B2:B13), 即計算儲存格B2到B13的標準差。 故平均數為4.9,標準差為2.9。

例題

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一、觀念題

以下各小題對的打「○」,錯的打「×」。 1 在十個數據中加入一個新的數據20後,所得的算術平均數會增加 2。 2 若所有數據的值都相等,則其標準差為0。 3 若數據 xi與數據 yi的關係式為 yi=-3xi+2,則vy =-3vx 4 一組數據的中位數一定大於或等於它的平均數。

二、基礎題

已知十位同學的體重(公斤)如下:55,56,59,59,59,60,60,63,68,71,求 1眾數。    2中位數。    3算術平均數。 已知某地區人口近三年每年的成長率分別為10%, 21%與33 1. %,求此地區 人口這三年的平均成長率。

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2 若將原資料每個數據分別乘以3,則原資料的第40百分位數乘以3也會 是新資料的第40百分位數 3 若將原資料每個數據分別加3,則原資料的第40百分位數加3也會是新 資料的第40百分位數 4 若有A,B兩組資料且其第40百分位數分別為 xA, xB,則 xA+xB也是此兩 組資料合併成一組後的第40百分位數 5 任一組資料的第40百分位數必小於該組資料的算術平均數。 求下列各數據的標準差: 1 51,53,56,60,60,62。 2 1,2,4,5,6,8。 某次期中考試,班上的數學成績不太理想,全班的平均分數為42分,標準 差為12分,且全班的最高分為72分。數學老師決定將每位學生的原始成績 x乘以a再加b,調整為成績y,即 y=ax+b。 已知調整後的成績y的最高分為95分,且平均數為60分,求成績y的標準 差。

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三、進階題

班上40位同學某次數學平常考成績的次數分配如下表。 成績 20 30 40 50 60 70 80 90 100 次數 2 3 6 a b 5 4 3 2 已知眾數為50分,中位數為60分,求a,b的值。 已知由小到大排列的五個數:2,6,14,x,18,它們的標準差為6,求x 的 值。 某次段考後,老師將全班的成績依下列公式調整: 調整分數 2 40 = 原分數+ 。 已知每個人調整後的分數都不低於原分數,且調整後全班的平均為66分, 標準差5分,有五位同學仍低於60分。選出正確的選項。 1 學生原分數的平均低於60分 2 學生原分數的標準差為10分 3 有五位同學的原分數低於20分 4 沒有人的原分數超過80分。

數據

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參考文獻

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