Numerical Analysis

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(1)Numerical Analysis.

(2)  請問對於多項式P(x)=3x4+2x3+2x2-4x+3，. 使用直接代入法求x=0.5時的值，需要幾次乘法運算?幾次加法運算?.

(3)  請問對於多項式P(x)=3x4+2x3+4x2-5x+6，使. 用直接代入法求x=0.5時的值，需要幾次乘法運算?幾次加法運算?  Ans.: • • • • • •. 3x4：3*x*x*x*x  4個乘 2x3：2*x*x*x  3個乘 4x2：2*x*x  2個乘 -5x：-5*x  1個乘所以共4+3+2+1=10個乘 3x4+2x3+4x2+(-5)x+6  有四個加號出現。所以有四個加。 ( 共四個加 ).

(4)  請問對於多項式P(x)=3x4+2x3+2x2-4x+3，. 使用巢狀乘法求x=0.5時的值，需要幾次乘法運算?幾次加法運算?.

(5)  請問對於多項式P(x)=14x4+13x3+12x2-. 11x+10，使用巢狀乘法求x=0.5時的值，需要幾次乘法運算?幾次加法運算?  Ans.: • 以巢狀乘法求值，首先需將多項式整理成巢狀形式：  冪次0係數+變數×(冪次1係數+變數×(冪次2係數 +變數 ×(…))  所以得：  (+10)+x×((-11)+x×((+12)+x×((+13)+x×(+14))) • 上式中出現四個乘法與四個加法 • 所以用巢狀乘法求值需要四個乘法與四個加法。.

(6)  請問對於多項式P(x)=6x6-3x3+2x2+3，使. 用巢狀乘法求x=0.5時的值，需要幾次乘法運算?幾次加法運算?.

(7)  請問對於多項式P(x)=6x6-3x3+2x2+3，使. 用巢狀乘法求x=0.5時的值，需要幾次乘法運算?  Ans.: • 表示成巢狀乘法形式：  冪次0係數+變數×(冪次1係數+變數×(冪次2係數 +變數 ×(…))  所以得：  3+x×(0+x×(2+x×(-3+x×(0+x×(0+x×(6))))))  有六個乘法出現，所以需要六次乘法。.

(8) . 若多項式在電腦中是以如下的線性串列方式表示： (其會依據冪次由小往大排列) pow. head. coff. next. pow. coff. next. NULL. 例： P(x)=16x6-13x3+10表示成： head. . 0. 10. 3. -13. 6. 16. NULL. 則請用遞迴法(Recursive)程式設計技巧來實作巢狀乘法求多項式的值，實作出的方法可以輸入任意的一個多項式與要求值的變數值。多項式的係數與變數可以是浮點數。.

(9) . 機器常數(machine epsilon)，以ϵmach表示，其值為1和比 1大的最小浮點數之間的距離。以下表格為IEEE 754浮點數標準中各部份所佔的位元數：精準度類型符號部分指數部分假數部分 (sign) (exponent) (mantissa) 單精準 1 8 23 (single) 雙精準 1 11 52 (double) 長倍精準 1 15 64 (long-double). 請問依據IEEE 754浮點數標準，單精準度下，ϵmach的值為何？.

(10) Ans.: 由下表知：精準度類型符號部分 (sign) 單精準 1 (single) 雙精準 1 (double) 長倍精準 1 (long-double). 指數部分 (exponent) 8. 假數部分 (mantissa) 23. 11. 52. 15. 64. 依據IEEE 754浮點數標準，單精準度下，ϵmach的值為： 2-23.

(11)  對於一個二進位實數+1.010111，若只要表. 示到該數值的小數點後第三位。當採用截去法(chopping)時，結果的值為多少？.

(12)  對於一個二進位實數+1.010111，若只要表. 示到該數值的小數點後第三位。當採用截去法(chopping)時，結果的值為多少？  Ans.: • +1.010.

(13)  對於一個二進位實數+1.010111，若只要表. 示到該數值的小數點後第三位。當採用捨入法(rounding)時，結果的值為多少？.

(14)  對於一個二進位實數+1.010111，若只要表. 示到該數值的小數點後第三位。當採用捨入法(rounding)時，結果的值為多少？  Ans.: • +1.011.

(15)  IEEE. 754對於雙精準度所採取的捨取最近數規則(Rounding to Nearest Rule)為:如果小數點後第53位元為0就捨去(截去第52位元以後各位數)，如果第53位元為1就進位(將第52位元加1)，但是若當第53位元以後全部都是0，則只有在第52位元為1時，才要加1。.

(16) 請問依IEEE 754對於雙精準度所採取的捨取最近數規則(Rounding to Nearest Rule)規則下列數值在 IEEE 754雙精準度下，其小數點後第51和52位數的值應該為何？  (a) +1.00000000010000000001000000000100000000 01000000000101000000×23.  (b) +1.00000000010000000001000000000100000000 01000000000101000001×23.  (c) +1.00000000010000000001000000000100000000 01000000000100000000×23. .

(17) . . . .   . . 請問依IEEE 754對於雙精準度所採取的捨取最近數規則(Rounding to Nearest Rule)規則下列數值在IEEE 754雙精準度下，其小數點後第51和52位數的值應該為何？ (a) +1.0000000001000000000100000000010000000001000000000101000000× 23. (b) +1.0000000001000000000100000000010000000001000000000101000001× 23. (c) +1.0000000001000000000100000000010000000001000000000100000000× 23. Ans.: (a) 10, 因為當第53位元以後全部都是0，則只有在第52位元為1時，才要加1。 +1.0000000001000000000100000000010000000001000000000110×23. (b) 01, 因為小數點後第53位元為0就捨去(截去第52位元以後各位數)，如果第 53位元為1就進位(將第52位元加1) +1.0000000001000000000100000000010000000001000000000101×23. (c) 00, 因為當第53位元以後全部都是0，則只有在第52位元為1時，才要加1。 +1.0000000001000000000100000000010000000001000000000100×23..

(18)  請問當描述近似解精確到p位小數，是指誤. 差小於多少？.

(19)  請問當描述近似解精確到p位小數，是指誤. 差小於多少？  Ans.: • 0.5*10-p.

(20)  請描述二分法求解方程式的根的演算法。.

(21) 請描述二分法求解方程式的根的演算法。 Ans.: 對於單變數的方程式f(x)，已知根位於區間[a,b]之間，f(a)f(b)<0  While (b-a)/2<TOL   . • c = (a+b)/2  //取該區間的中間值 • 若 f(c)==0 , 停止。  //也就是代入f(x=c)，求方程式的值，若使f等於0，表示找到根，演算法停止。 • 若 f(a)f(c)<0 , b = c 否則 a = c 。  //若f(a) ×f(c)<0取新區間為[a,c]，否則取新區間為[c,b]。.  . EndWhile 近似根為(a+b)/2.

(22)  請問使用二分法求解方程式的根，若其重複. n次後，其解的誤差會小於何值？.

(23)   . 請問使用二分法求解方程式的根，若其重複n次後，其解的誤差會小於何值？ Ans.: 依據如下演算法分析 • •. 對於單變數的方程式f(x)，已知根位於區間[a,b]之間，f(a)f(b)<0 While (b-a)/2<TOL . c = (a+b)/2 . . . . //若f(a) ×f(c)<0取新區間為[a,c]，否則取新區間為[c,b]。. • •. EndWhile 近似根為(a+b)/2. •. 當n=0時，解位於區間[a,(a+b)/2] or [(a+b)/2, b]，區間大小 = b-(a+b)/21=(b-a)/ 21 or (a+b)/21 - a = (b-a)/ 21 , 所以此時正確解r與近似解(a+b)/2的差小於 (b-a)/ 21 當n=1時，解位於區間大小 (b-a)/ 22 內，所以此時正確解r與近似解的差小於 (b-a)/ 22 : 當n=m時，解位於區間大小 (b-a)/ 2m+1 內，所以此時正確解r與近似解的差小於 (b-a)/ 2m+1 當n=m+1時，解位於區間大小 (b-a)/ 2m+2 內，所以此時正確解r與近似解的差小於 (b-a)/ 2m+2. 知： • • • •. . //也就是代入f(x=c)，求方程式的值，若使f等於0，表示找到根，演算法停止。. 若 f(a)f(c)<0 , b = c 否則 a = c 。 . . //取該區間的中間值. 若 f(c)==0 , 停止。. 所以，若其重複n次後，其解的誤差 < (b-a)/2n+1.

(24)  若用二分法求解f(x)=cos(x)-x在區間[0,1]. 的近似根，要求要精確到5位小數，請問二分法的迭代次數為何？.

(25)  若用二分法求解f(x)=cos(x)-x在區間[0,1]. 的近似根，要求要精確到5位小數，請問二分法的迭代次數為何？  Ans.: • 0.5*10-5>((1-0)/ 2n+1) => n > 5/(log102).

(26)  簡述定點迭代法如何求解方程式的根，及收. 斂的條件。.

(27)  簡述定點迭代法求解方程式的根，及收斂的條. 件。  Ans.: • 求f(x)的根(找出可滿足f(x)=0的x)  先整理f(x)=0 成 x = g(x) 的形式。 • 定點迭代法  x0 = 初始猜測值  xi+1 = g(xi) • 收斂條件  g連續可微  若r為f的根，g’(r)<1，當初始猜測值在r的附近時，可收斂到r。收斂數率S=|g’(r)|.

(28)  已知f(x)=x3-18，若要使用迭代法求f(x)的. 根r，也就是f(r)=0。則請寫出適當的g(x)使其滿足x=g(x)的關係。(hint: x = 18 / ? ).

(29)  已知f(x)=x3-18，若要使用迭代法求f(x)的. 根r，也就是f(r)=0。則請寫出適當的g(x)使其滿足x=g(x)的關係。(hint: x = 18 / ? )  Ans.: • x = 18 / x2.

(30)  對於迭代法，若採用絕對誤差的停止準則. (stopping criterion)，則下列何者適用？  (a) |xi+1 – xi | < TOL  (b) |xi+1 – xi |/|xi+1 | < TOL  (c) |xi+1 – xi |/max(|xi+1|,θ) <TOL, where θ>0..

(31)  對於迭代法，若採用絕對誤差的停止準則. (stopping criterion)，則下列何者適用？  (a) |xi+1 – xi | < TOL  (b) |xi+1 – xi |/|xi+1 | < TOL  (c) |xi+1 – xi |/max(|xi+1|,θ) <TOL, where θ>0.  Ans.: • Ans.: (a).

(32)  對於迭代法，若採用相對誤差的停止準則. (stopping criterion)，則下列何者適用？  (a) |xi+1 – xi | < TOL  (b) |xi+1 – xi |/|xi+1 | < TOL  (c) |xi+1 – xi |/max(|xi+1|,θ) <TOL, where θ>0..

(33)  對於迭代法，若採用相對誤差的停止準則. (stopping criterion)，則下列何者適用？  (a) |xi+1 – xi | < TOL  (b) |xi+1 – xi |/|xi+1 | < TOL  (c) |xi+1 – xi |/max(|xi+1|,θ) <TOL, where θ>0.  Ans.: • (b).

(34)  對於迭代法，若採用混合絕對與相對誤差的. 停止準則(stopping criterion)，則下列何者適用？  (a) |xi+1 – xi | < TOL  (b) |xi+1 – xi |/|xi+1 | < TOL  (c) |xi+1 – xi |/max(|xi+1|,θ) <TOL, where θ>0..

(35)  對於迭代法，若採用混合絕對與相對誤差的. 停止準則(stopping criterion)，則下列何者適用？  (a) |xi+1 – xi | < TOL  (b) |xi+1 – xi |/|xi+1 | < TOL  (c) |xi+1 – xi |/max(|xi+1|,θ) <TOL, where θ>0.  Ans.: • c.

(36)  已知方程式f(x)=x2-16，x=4為一個正確的. 根，若用某方法求出的近似根為3.4。請問此近似解的後向誤差(backward error)的值為何？.

(37)  已知方程式f(x)=x2-16，x=4為一個正確的. 根，若用某方法求出的近似根為3.4。請問此近似解的後向誤差(backward error)的值為何？  Ans.: • |3.42-16|=|11.56-16|=4.44.

(38)  已知方程式f(x)=x2-4，x=2為一個正確的根，. 若用某方法求出的近似根為2.4。請問此近似解的前向誤差(forward error)的值為何？.

(39)  已知方程式f(x)=x2-4，x=2為一個正確的根，. 若用某方法求出的近似根為2.4。請問此近似解的前向誤差(forward error)的值為何？  Ans.: • |2-2.4|=0.4.

(40)  請問用牛頓法求解f(x)的根時，xi+1與xi的關. 係式為何？.

(41)  請問用牛頓法求解f(x)的根時，xi+1與xi的關. 係式為何？  Ans.: • xi+1 = xi - f(xi)/f’(xi).

(42) magnification factor) 是相對前向誤差(relative forward error)與相對後向誤差(relative backward error)的比值，也就是.  誤差放大倍數(Error. • 誤差放大倍數=相對前向誤差/相對後向誤差  若已知相對後向誤差為2.5，相對前向誤差. 為0.5。求誤差放大倍數。.

(43) magnification factor) 是相對前向誤差(relative forward error)與相對後向誤差(relative backward error)的比值，也就是.  誤差放大倍數(Error. • 誤差放大倍數=相對前向誤差/相對後向誤差  若已知相對後向誤差為2.5，相對前向誤差. 為0.5。求誤差放大倍數。  Ans.: • 誤差放大倍數=0.5/2.5=0.2.

(44)  請問割線法求解f(x)的根時，xi+1與xi和xi-1. 的關係式為何？.

(45)  請問割線法求解f(x)的根時，xi+1與xi和xi-1. 的關係式為何？  Ans.: • xi+1 = xi - f(xi)( xi - xi-1 )/( f(xi) - f(xi-1) ).

(46)  請問用假位法求解f(x)的根時，若目前要求. 出x2的區間是[a,b], 其中a=x0, b=x1，則要如何求出x2？若所求出的f(x2)>0，且 f(x0)<0，f(x1)>0，請問求x3時，要使用的區間a=?, b=?.

(47)  請問用假位法求解f(x)的根時，若目前要求. 出x2的區間是[a,b], 其中a=x0, b=x1，則要如何求出x2？若所求出的f(x2)>0，且 f(x0)<0，f(x1)>0，請問求x3時，要使用的區間a=?, b=?  Ans.: • x2 = ( bf(a) - af(b) )/( f(a) – f(b) ). • a = x0 , b = x 2.

(48)  求解以下的線性聯立方程式，若擬使用高斯. 消去法，請問將其用表列型式描述的結果為何？  x + 3y - 2z = 1  3x - 2y + z = 2  -x + y + z = -5.

(49)  求解以下的線性聯立方程式，若擬使用高斯. 消去法，請問將其用表列型式描述的結果為何？  x + 3y - 2z = 1  3x - 2y + z = 2  -x + y + z = -5  Ans.: 1 3 2 1 3 2 1 2 1 1 1 5.

(50)  求解下列矩陣A的LU分解，並證明LU=A。. (要有過程) .  1 2  1   A  2 1 2    3 1 1 .

(51)  Ans.:. 由 .  1 2  1 A   2 1  2    3 1 1 .  欲使第1行中第1列以下的各元素為零。  列2. - (2/1)×列1得. 2  1 1 0 0   1  2 1 0  0  3 0  A      0 0 1  3 1 1 .

(52)              . Ans.: 由 A 欲使第1行中第1列以下的各元素為零。列2 - (2/1)×列1得列3 - (-3/1)×列1得欲使第2行中第2列以下的各元素為零。列3- (7/-3)×列2得所以 , 驗證.

(53)  列3. - (-3/1)×列1得.  1 0 0 1 2  1 A   2 1 0  0  3 0      3 0 1 0 7  2  欲使第2行中第2列以下的各元素為零。.

(54)  Ans.:.  列3-. (7/-3)×列2得. 0 0 1 2  1 1 A 2 1 0  0  3 0      3  7 / 3 1 0 0  2.  所以 . 0 1 L 2 1   3  73. 0 0  1. 1 2  1 U  0  3 0    0 0  2.

(55)  驗證. 0 0 1 2  1 1 LU   2 1 0  0  3 0      3  73 1 0 0  2 2  0  0 1 0  0  1 0  0   200 4  3  0  2  0  0    3  0  0  6  7  0 3  0  2 . .  1 2  1   2 1  2  A    3 1 1 .

(56)  求解下列矩陣A的PA=LU分解，並證明. LU=PA。(要有過程). 2 1 5    A  4 4 4   1 3 1 .

(57)  Ans.:. 2 1 5    A  4 4 4   1 3 1 .

(58)  Ans.:. 2 1 5    A  4 4 4   1 3 1   欲使第1行中第1列以下的各元素為零。  因為第1列到最後列於第1行中，具有最大絕對. 值元素的列是第2列，故第1列與第2列互換，得.

(59)  因為第1列到最後列於第1行中，具有最大. 絕對值元素的列是第2列，故第1列與第2列互換，得  4 4  4 0 1 0      P  1 0 0 , PA  2 1 5    1 3 1  0 0 1.

(60)  開始消去第1行中第1列以下的元素為零，.  列2+. (-2/4)×列1=列2+ (-1/2)×列1，得.  1 0 0  4 4  4 PA  1 / 2 1 0 0  1 7      0 0 1 1 3 1 .

(61)  開始消去第1行中第1列以下的元素為零，.  列2+. (-2/4)×列1=列2+ (-1/2)×列1，得.  1 0 0  4 4  4 PA  1 / 2 1 0 0  1 7      0 0 1 1 3 1   列3+. (-1/4)×列1得.  1 0 0  4 4  4 PA  1 / 2 1 0 0  1 7     1 / 4 0 1 0 2 2 .

(62)  欲使第2行中第2列以下的各元素為零。.  因為第2列到最後列於第2行中，具有最大. 絕對值元素的列是第3列，故第2列與第3列互換，得 1 0 0 0 1 0 0 1 0 P  0 0 1 1 0 0  0 0 1,      0 1 0 0 0 1 1 0 0.  1 0 0  4 4  4 PA  1 / 4 1 0 0 2 2    1 / 2 0 1 0  1 7 .

(63)  開始消去第2行中第2列以下的元素為零，.  列3+. (-(-1)/2)×列2 =列3+ (1/2)×列2，得. 0 0  4 4  4  1 PA  1 / 4 1 0 0 2 2     1 / 2  1 / 2 1 0 0 8 .

(64)  所以. 1 0 0 0 1 0   1 1 0   L  P 0 0 1 4    1 1  2  2 1 1 0 0.  4 4  4 U  0 2 2    0 0 8 .

(65)  驗證 0 1 0   2 1 5   4 4  4  PA  0 0 1 4 4  4  1 3 1       1 0 0 1 3 1  2 1 5  0 0  4 4  4  4  0  0 4  0  0  4  0  0  4 4  4   1 LU  1 / 4 1 0 0 2 2   1  0  0 1  2  0  1  2  0   1 3 1         1 / 2  1 / 2 1 0 0 8  2  0  0 2  1  0  2  1  8  2 1 5 .  故得證，PA=LU.

(66)  對於下列線性聯立方程式，請問若要用. Jacobi法求解，其迭代式為何？  5u + v =4  -u +2v =1.

(67)  Ans.:. 由. ˆx k 1  D1 (bˆ  (L  U)xˆ k ),  where xˆ k 1. u k  u k 1    , xˆ k   ,  vk   vk 1 . 0 1   0 0 , L , U   0 0    1 0. 1/ 5 0  D  ,   0 1 / 2 1. 4  ˆb   1   .

(68)  Ans.:. 得. u k 1  (4  vk ) / 5 vk 1  (1  u k ) / 2.

(69)  對於下列線性聯立方程式，請問若要用高斯. -賽德法(Gauss-Seidel method)求解，其迭代式為何？  3u - v = 2  u +2v = 1.

(70)  Ans.:. 由. xˆ k 1  D1 (bˆ  Lxˆ k 1  Uxˆ k ),.  where. xˆ k 1. u k 1  uk  1 / 3 0  1 ,   , xˆ k   , D     0 1 / 2  vk 1   vk . 0 0  L ,  1 0. 0  1 U ,  0 0 . ˆb  2 1   .

(71) 得. u k 1  (2  vk ) / 3 vk 1  (1  u k 1 ) / 2.

(72)  對於下列線性聯立方程式，請問若要用逐次. 超鬆弛法(Successive Over-Relaxation method)求解，其迭代式為何？  3u + 2v =1  u -4v = 2.

(73)  Ans.:. 由. xˆ k 1  (1   )xˆ k  D1 (bˆ  Lxˆ k 1  Uxˆ k ),.  where. xˆ k 1. u k 1  uk    , xˆ k   ,  vk 1   vk . 0 0  L ,  1 0. 0 2  U ,  0 0 . 0  1 / 3 D  ,   0  1 / 4 1. ˆb  1   2  .  1.

(74) 得. u k 1  (1   )u k   (1  2vk ) / 3 vk 1  (1   )vk   (1  u k 1 ) / 4.

(75)  請對下列方程組，以(1,1)為初值，使用多. 變數牛頓法求解。請只要執行兩次迭代。  u 2  4v 2  4  2 2 (u  1)  v  4.

(76)  請對下列方程組，以(1,1)為初值，使用多. 變數牛頓法求解。請只要執行兩次迭代。  u 2  4v 2  4  2 2 (u  1)  v  4  Ans.:. • 由多變數牛頓法. x 0  初始向量 DF (x k )s  F(x k ) x k 1  x k  s.

(77)  u 2  4v 2  4  u 2  4v 2  4   F ( x)    0 2 2 2 2 (u  1)  v  4 (u  1)  v  4 where u  x  v .

(78)  8v   2u  DF    2 ( u  1 ) 2 v    x0. = (u,v) = (1,1). 2  8  s1  1 0 2   s     3   2   .  由高斯消去法與倒置法得.  s1  (1  8  3 / 2) / 2 11/ 2  s      3 / 2 3 / 2     2 .

(79) u1  1  11 / 2 13 / 2  x1     x 0  s      v 1  3 / 2 5 / 2      1  8  5 / 2 13  20  2  13 / 2 DF (x1 )      2  ( 13 / 2  1 ) 2  5 / 2 11 5     (13 / 2) 2  4  (5 / 2) 2  4  53 / 4  F(x1 )     130 / 4 2 2   (13 / 2  1)  (5 / 2)  4  .

(80) 得. 13  20  s1    (53 / 4)  11 5   s    (130 / 4)   2     由高斯消去法與倒置法得. 13  20   s1    (53 / 4)   0 285 / 13  s    1107 / 52   2     s1  ((53 / 4)  20  (1107 / 1140)) / 13    s  ( 1107 / 52 ) /( 285 / 13 )   2   2.513  2.513     1107 / 1140 0 . 971    .

(81) 得. u2  13 / 2  2.513 9.013  x 2     x1  s      v 5 / 2  0 . 971 3 . 471      2.

(82)  試描述Broyden法I.

(83)  試描述Broyden法I.  Ans.:. • P172~P173.

(84)  試描述Broyden法II.

(85)  試描述Broyden法II.  Ans.:. • P173~P174.

(86)  已知數據點(1,2),(2,3),(4,5),(5,1)，請寫出. 其拉格朗奇公式。.

(87)  已知數據點(1,2),(2,3),(4,5),(5,1)，請寫出. 其拉格朗奇公式。  Ans.: ( x  2)( x  4)( x  5) L3 ( x)  2 (1  2)(1  4)(1  5) ( x  1)( x  4)( x  5) 3 (2  1)(2  4)(2  5) ( x  1)( x  2)( x  5) 5 (4  1)(4  2)(4  5) ( x  1)( x  2)( x  4) 1 (5  1)(5  2)(5  4).

(88)  已知數據點(1,2),(2,3),(4,5),(5,1)，請藉由. 牛頓均插公式，以牛頓均插法求出其內差多項式。.

(89)  已知數據點(1,2),(2,3),(4,5),(5,1)，請藉由. 牛頓均插公式，以牛頓均插法求出其內差多項式。  Ans.: • 以牛頓均插公式求出係數 1 2 1 2 3. 0  5 / 12. 1  5/3. 4 5 4 5 1.

(90) 1 2 1 2 3. 0  5 / 12. 1  5/3. 4 5 4 5 1. • 依牛頓均插公式求出之係數，列出內插多項式：. P( x)  2  ( x  1)  (5 /12)(x  1)(x  2)(x  4).

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