(1)Numerical Analysis.
(2) 請問對於多項式P(x)=3x4+2x3+2x2-4x+3，. 使用直接代入法求x=0.5時的值，需要幾次 乘法運算?幾次加法運算?.
(3) 請問對於多項式P(x)=3x4+2x3+4x2-5x+6，使. 用直接代入法求x=0.5時的值，需要幾次乘法 運算?幾次加法運算? Ans.: • • • • • •. 3x4：3*x*x*x*x 4個乘 2x3：2*x*x*x 3個乘 4x2：2*x*x 2個乘 -5x：-5*x 1個乘 所以共4+3+2+1=10個乘 3x4+2x3+4x2+(-5)x+6 有四個加號出現。所以有四個 加。 ( 共四個加 ).
(4) 請問對於多項式P(x)=3x4+2x3+2x2-4x+3，. 使用巢狀乘法求x=0.5時的值，需要幾次乘 法運算?幾次加法運算?.
(5) 請問對於多項式P(x)=14x4+13x3+12x2-. 11x+10，使用巢狀乘法求x=0.5時的值，需 要幾次乘法運算?幾次加法運算? Ans.: • 以巢狀乘法求值，首先需將多項式整理成巢狀形式： 冪次0係數+變數×(冪次1係數+變數×(冪次2係數 +變數 ×(…)) 所以得： (+10)+x×((-11)+x×((+12)+x×((+13)+x×(+14))) • 上式中出現四個乘法與四個加法 • 所以用巢狀乘法求值需要四個乘法與四個加法。.
(6) 請問對於多項式P(x)=6x6-3x3+2x2+3，使. 用巢狀乘法求x=0.5時的值，需要幾次乘法 運算?幾次加法運算?.
(7) 請問對於多項式P(x)=6x6-3x3+2x2+3，使. 用巢狀乘法求x=0.5時的值，需要幾次乘法 運算? Ans.: • 表示成巢狀乘法形式： 冪次0係數+變數×(冪次1係數+變數×(冪次2係數 +變數 ×(…)) 所以得： 3+x×(0+x×(2+x×(-3+x×(0+x×(0+x×(6)))))) 有六個乘法出現，所以需要六次乘法。.
(8) . 若多項式在電腦中是以如下的線性串列方式表示： (其會依據冪次由小往大排列) pow. head. coff. next. pow. coff. next. NULL. 例： P(x)=16x6-13x3+10表示成： head. . 0. 10. 3. -13. 6. 16. NULL. 則請用遞迴法(Recursive)程式設計技巧來實作巢狀 乘法求多項式的值，實作出的方法可以輸入任意的 一個多項式與要求值的變數值。多項式的係數與變 數可以是浮點數。.
(9) . 機器常數(machine epsilon)，以ϵmach表示，其值為1和比 1大的最小浮點數之間的距離。以下表格為IEEE 754浮點 數標準中各部份所佔的位元數： 精準度類型 符號部分 指數部分 假數部分 (sign) (exponent) (mantissa) 單精準 1 8 23 (single) 雙精準 1 11 52 (double) 長倍精準 1 15 64 (long-double). 請問依據IEEE 754浮點數標準，單精準度下，ϵmach的值為 何？.
(10) Ans.: 由下表知： 精準度類型 符號部分 (sign) 單精準 1 (single) 雙精準 1 (double) 長倍精準 1 (long-double). 指數部分 (exponent) 8. 假數部分 (mantissa) 23. 11. 52. 15. 64. 依據IEEE 754浮點數標準，單精準度下，ϵmach的值為： 2-23.
(11) 對於一個二進位實數+1.010111，若只要表. 示到該數值的小數點後第三位。當採用截去 法(chopping)時，結果的值為多少？.
(12) 對於一個二進位實數+1.010111，若只要表. 示到該數值的小數點後第三位。當採用截去 法(chopping)時，結果的值為多少？ Ans.: • +1.010.
(13) 對於一個二進位實數+1.010111，若只要表. 示到該數值的小數點後第三位。當採用捨入 法(rounding)時，結果的值為多少？.
(14) 對於一個二進位實數+1.010111，若只要表. 示到該數值的小數點後第三位。當採用捨入 法(rounding)時，結果的值為多少？ Ans.: • +1.011.
(15) IEEE. 754對於雙精準度所採取的捨取最近數 規則(Rounding to Nearest Rule)為:如果小 數點後第53位元為0就捨去(截去第52位元 以後各位數)，如果第53位元為1就進位(將 第52位元加1)，但是若當第53位元以後全 部都是0，則只有在第52位元為1時，才要 加1。.
(16) 請問依IEEE 754對於雙精準度所採取的捨取最近數 規則(Rounding to Nearest Rule)規則下列數值在 IEEE 754雙精準度下，其小數點後第51和52位數的 值應該為何？ (a) +1.00000000010000000001000000000100000000 01000000000101000000×23. (b) +1.00000000010000000001000000000100000000 01000000000101000001×23. (c) +1.00000000010000000001000000000100000000 01000000000100000000×23. .
(17) . . . . . . 請問依IEEE 754對於雙精準度所採取的捨取最近數規則(Rounding to Nearest Rule)規則下列數值在IEEE 754雙精準度下，其小數點後第51和52位數的值應 該為何？ (a) +1.0000000001000000000100000000010000000001000000000101000000× 23. (b) +1.0000000001000000000100000000010000000001000000000101000001× 23. (c) +1.0000000001000000000100000000010000000001000000000100000000× 23. Ans.: (a) 10, 因為當第53位元以後全部都是0，則只有在第52位元為1時，才要加1。 +1.0000000001000000000100000000010000000001000000000110×23. (b) 01, 因為小數點後第53位元為0就捨去(截去第52位元以後各位數)，如果第 53位元為1就進位(將第52位元加1) +1.0000000001000000000100000000010000000001000000000101×23. (c) 00, 因為當第53位元以後全部都是0，則只有在第52位元為1時，才要加1。 +1.0000000001000000000100000000010000000001000000000100×23..
(18) 請問當描述近似解精確到p位小數，是指誤. 差小於多少？.
(19) 請問當描述近似解精確到p位小數，是指誤. 差小於多少？ Ans.: • 0.5*10-p.
(20) 請描述二分法求解方程式的根的演算法。.
(21) 請描述二分法求解方程式的根的演算法。 Ans.: 對於單變數的方程式f(x)，已知根位於區間[a,b]之 間，f(a)f(b)<0 While (b-a)/2<TOL . • c = (a+b)/2 //取該區間的中間值 • 若 f(c)==0 , 停止。 //也就是代入f(x=c)，求方程式的值，若使f等於0，表示找到根， 演算法停止。 • 若 f(a)f(c)<0 , b = c 否則 a = c 。 //若f(a) ×f(c)<0取新區間為[a,c]，否則取新區間為[c,b]。. . EndWhile 近似根為(a+b)/2.
(22) 請問使用二分法求解方程式的根，若其重複. n次後，其解的誤差會小於何值？.
(23) . 請問使用二分法求解方程式的根，若其重複n次後，其解的誤差會小於何值？ Ans.: 依據如下演算法分析 • •. 對於單變數的方程式f(x)，已知根位於區間[a,b]之間，f(a)f(b)<0 While (b-a)/2<TOL . c = (a+b)/2 . . . . //若f(a) ×f(c)<0取新區間為[a,c]，否則取新區間為[c,b]。. • •. EndWhile 近似根為(a+b)/2. •. 當n=0時，解位於區間[a,(a+b)/2] or [(a+b)/2, b]，區間大小 = b-(a+b)/21=(b-a)/ 21 or (a+b)/21 - a = (b-a)/ 21 , 所以此時正確解r與近似解(a+b)/2的差小於 (b-a)/ 21 當n=1時，解位於區間大小 (b-a)/ 22 內， 所以此時正確解r與近似解的差小於 (b-a)/ 22 : 當n=m時，解位於區間大小 (b-a)/ 2m+1 內， 所以此時正確解r與近似解的差小於 (b-a)/ 2m+1 當n=m+1時，解位於區間大小 (b-a)/ 2m+2 內， 所以此時正確解r與近似解的差小於 (b-a)/ 2m+2. 知： • • • •. . //也就是代入f(x=c)，求方程式的值，若使f等於0，表示找到根，演算法停止。. 若 f(a)f(c)<0 , b = c 否則 a = c 。 . . //取該區間的中間值. 若 f(c)==0 , 停止。. 所以，若其重複n次後，其解的誤差 < (b-a)/2n+1.
(24) 若用二分法求解f(x)=cos(x)-x在區間[0,1]. 的近似根，要求要精確到5位小數，請問二 分法的迭代次數為何？.
(25) 若用二分法求解f(x)=cos(x)-x在區間[0,1]. 的近似根，要求要精確到5位小數，請問二 分法的迭代次數為何？ Ans.: • 0.5*10-5>((1-0)/ 2n+1) => n > 5/(log102).
(26) 簡述定點迭代法如何求解方程式的根，及收. 斂的條件。.
(27) 簡述定點迭代法求解方程式的根，及收斂的條. 件。 Ans.: • 求f(x)的根(找出可滿足f(x)=0的x) 先整理f(x)=0 成 x = g(x) 的形式。 • 定點迭代法 x0 = 初始猜測值 xi+1 = g(xi) • 收斂條件 g連續可微 若r為f的根，g’(r)<1，當初始猜測值在r的附近時，可收斂到r。 收斂數率S=|g’(r)|.
(28) 已知f(x)=x3-18，若要使用迭代法求f(x)的. 根r，也就是f(r)=0。則請寫出適當的g(x)使 其滿足x=g(x)的關係。(hint: x = 18 / ? ).
(29) 已知f(x)=x3-18，若要使用迭代法求f(x)的. 根r，也就是f(r)=0。則請寫出適當的g(x)使 其滿足x=g(x)的關係。(hint: x = 18 / ? ) Ans.: • x = 18 / x2.
(30) 對於迭代法，若採用絕對誤差的停止準則. (stopping criterion)，則下列何者適用？ (a) |xi+1 – xi | < TOL (b) |xi+1 – xi |/|xi+1 | < TOL (c) |xi+1 – xi |/max(|xi+1|,θ) <TOL, where θ>0..
(31) 對於迭代法，若採用絕對誤差的停止準則. (stopping criterion)，則下列何者適用？ (a) |xi+1 – xi | < TOL (b) |xi+1 – xi |/|xi+1 | < TOL (c) |xi+1 – xi |/max(|xi+1|,θ) <TOL, where θ>0. Ans.: • Ans.: (a).
(32) 對於迭代法，若採用相對誤差的停止準則. (stopping criterion)，則下列何者適用？ (a) |xi+1 – xi | < TOL (b) |xi+1 – xi |/|xi+1 | < TOL (c) |xi+1 – xi |/max(|xi+1|,θ) <TOL, where θ>0..
(33) 對於迭代法，若採用相對誤差的停止準則. (stopping criterion)，則下列何者適用？ (a) |xi+1 – xi | < TOL (b) |xi+1 – xi |/|xi+1 | < TOL (c) |xi+1 – xi |/max(|xi+1|,θ) <TOL, where θ>0. Ans.: • (b).
(34) 對於迭代法，若採用混合絕對與相對誤差的. 停止準則(stopping criterion)，則下列何 者適用？ (a) |xi+1 – xi | < TOL (b) |xi+1 – xi |/|xi+1 | < TOL (c) |xi+1 – xi |/max(|xi+1|,θ) <TOL, where θ>0..
(35) 對於迭代法，若採用混合絕對與相對誤差的. 停止準則(stopping criterion)，則下列何 者適用？ (a) |xi+1 – xi | < TOL (b) |xi+1 – xi |/|xi+1 | < TOL (c) |xi+1 – xi |/max(|xi+1|,θ) <TOL, where θ>0. Ans.: • c.
(36) 已知方程式f(x)=x2-16，x=4為一個正確的. 根，若用某方法求出的近似根為3.4。請問 此近似解的後向誤差(backward error)的值 為何？.
(37) 已知方程式f(x)=x2-16，x=4為一個正確的. 根，若用某方法求出的近似根為3.4。請問 此近似解的後向誤差(backward error)的值 為何？ Ans.: • |3.42-16|=|11.56-16|=4.44.
(38) 已知方程式f(x)=x2-4，x=2為一個正確的根，. 若用某方法求出的近似根為2.4。請問此近 似解的前向誤差(forward error)的值為何？.
(39) 已知方程式f(x)=x2-4，x=2為一個正確的根，. 若用某方法求出的近似根為2.4。請問此近 似解的前向誤差(forward error)的值為何？ Ans.: • |2-2.4|=0.4.
(40) 請問用牛頓法求解f(x)的根時，xi+1與xi的關. 係式為何？.
(41) 請問用牛頓法求解f(x)的根時，xi+1與xi的關. 係式為何？ Ans.: • xi+1 = xi - f(xi)/f’(xi).
(42) magnification factor) 是相對前向誤差(relative forward error)與 相對後向誤差(relative backward error)的 比值，也就是. 誤差放大倍數(Error. • 誤差放大倍數=相對前向誤差/相對後向誤差 若已知相對後向誤差為2.5，相對前向誤差. 為0.5。求誤差放大倍數。.
(43) magnification factor) 是相對前向誤差(relative forward error)與 相對後向誤差(relative backward error)的 比值，也就是. 誤差放大倍數(Error. • 誤差放大倍數=相對前向誤差/相對後向誤差 若已知相對後向誤差為2.5，相對前向誤差. 為0.5。求誤差放大倍數。 Ans.: • 誤差放大倍數=0.5/2.5=0.2.
(44) 請問割線法求解f(x)的根時，xi+1與xi和xi-1. 的關係式為何？.
(45) 請問割線法求解f(x)的根時，xi+1與xi和xi-1. 的關係式為何？ Ans.: • xi+1 = xi - f(xi)( xi - xi-1 )/( f(xi) - f(xi-1) ).
(46) 請問用假位法求解f(x)的根時，若目前要求. 出x2的區間是[a,b], 其中a=x0, b=x1，則要 如何求出x2？若所求出的f(x2)>0，且 f(x0)<0，f(x1)>0，請問求x3時，要使用的 區間a=?, b=?.
(47) 請問用假位法求解f(x)的根時，若目前要求. 出x2的區間是[a,b], 其中a=x0, b=x1，則要 如何求出x2？若所求出的f(x2)>0，且 f(x0)<0，f(x1)>0，請問求x3時，要使用的 區間a=?, b=? Ans.: • x2 = ( bf(a) - af(b) )/( f(a) – f(b) ). • a = x0 , b = x 2.
(48) 求解以下的線性聯立方程式，若擬使用高斯. 消去法，請問將其用表列型式描述的結果為 何？ x + 3y - 2z = 1 3x - 2y + z = 2 -x + y + z = -5.
(49) 求解以下的線性聯立方程式，若擬使用高斯. 消去法，請問將其用表列型式描述的結果為 何？ x + 3y - 2z = 1 3x - 2y + z = 2 -x + y + z = -5 Ans.: 1 3 2 1 3 2 1 2 1 1 1 5.
(50) 求解下列矩陣A的LU分解，並證明LU=A。. (要有過程) . 1 2 1 A 2 1 2 3 1 1 .
(51) Ans.:. 由 . 1 2 1 A 2 1 2 3 1 1 . 欲使第1行中第1列以下的各元素為零。 列2. - (2/1)×列1得. 2 1 1 0 0 1 2 1 0 0 3 0 A 0 0 1 3 1 1 .
(52) . Ans.: 由 A 欲使第1行中第1列以下的各元素為零。 列2 - (2/1)×列1得 列3 - (-3/1)×列1得 欲使第2行中第2列以下的各元素為零。 列3- (7/-3)×列2得 所以 , 驗證.
(53) 列3. - (-3/1)×列1得. 1 0 0 1 2 1 A 2 1 0 0 3 0 3 0 1 0 7 2 欲使第2行中第2列以下的各元素為零。.
(54) Ans.:. 列3-. (7/-3)×列2得. 0 0 1 2 1 1 A 2 1 0 0 3 0 3 7 / 3 1 0 0 2. 所以 . 0 1 L 2 1 3 73. 0 0 1. 1 2 1 U 0 3 0 0 0 2.
(55) 驗證. 0 0 1 2 1 1 LU 2 1 0 0 3 0 3 73 1 0 0 2 2 0 0 1 0 0 1 0 0 200 4 3 0 2 0 0 3 0 0 6 7 0 3 0 2 . . 1 2 1 2 1 2 A 3 1 1 .
(56) 求解下列矩陣A的PA=LU分解，並證明. LU=PA。(要有過程). 2 1 5 A 4 4 4 1 3 1 .
(57) Ans.:. 2 1 5 A 4 4 4 1 3 1 .
(58) Ans.:. 2 1 5 A 4 4 4 1 3 1 欲使第1行中第1列以下的各元素為零。 因為第1列到最後列於第1行中，具有最大絕對. 值元素的列是第2列，故第1列與第2列互換， 得.
(59) 因為第1列到最後列於第1行中，具有最大. 絕對值元素的列是第2列，故第1列與第2列 互換，得 4 4 4 0 1 0 P 1 0 0 , PA 2 1 5 1 3 1 0 0 1.
(60) 開始消去第1行中第1列以下的元素為零，. 列2+. (-2/4)×列1=列2+ (-1/2)×列1，得. 1 0 0 4 4 4 PA 1 / 2 1 0 0 1 7 0 0 1 1 3 1 .
(61) 開始消去第1行中第1列以下的元素為零，. 列2+. (-2/4)×列1=列2+ (-1/2)×列1，得. 1 0 0 4 4 4 PA 1 / 2 1 0 0 1 7 0 0 1 1 3 1 列3+. (-1/4)×列1得. 1 0 0 4 4 4 PA 1 / 2 1 0 0 1 7 1 / 4 0 1 0 2 2 .
(62) 欲使第2行中第2列以下的各元素為零。. 因為第2列到最後列於第2行中，具有最大. 絕對值元素的列是第3列，故第2列與第3列 互換，得 1 0 0 0 1 0 0 1 0 P 0 0 1 1 0 0 0 0 1, 0 1 0 0 0 1 1 0 0. 1 0 0 4 4 4 PA 1 / 4 1 0 0 2 2 1 / 2 0 1 0 1 7 .
(63) 開始消去第2行中第2列以下的元素為零，. 列3+. (-(-1)/2)×列2 =列3+ (1/2)×列2，得. 0 0 4 4 4 1 PA 1 / 4 1 0 0 2 2 1 / 2 1 / 2 1 0 0 8 .
(64) 所以. 1 0 0 0 1 0 1 1 0 L P 0 0 1 4 1 1 2 2 1 1 0 0. 4 4 4 U 0 2 2 0 0 8 .
(65) 驗證 0 1 0 2 1 5 4 4 4 PA 0 0 1 4 4 4 1 3 1 1 0 0 1 3 1 2 1 5 0 0 4 4 4 4 0 0 4 0 0 4 0 0 4 4 4 1 LU 1 / 4 1 0 0 2 2 1 0 0 1 2 0 1 2 0 1 3 1 1 / 2 1 / 2 1 0 0 8 2 0 0 2 1 0 2 1 8 2 1 5 . 故得證，PA=LU.
(66) 對於下列線性聯立方程式，請問若要用. Jacobi法求解，其迭代式為何？ 5u + v =4 -u +2v =1.
(67) Ans.:. 由. ˆx k 1 D1 (bˆ (L U)xˆ k ), where xˆ k 1. u k u k 1 , xˆ k , vk vk 1 . 0 1 0 0 , L , U 0 0 1 0. 1/ 5 0 D , 0 1 / 2 1. 4 ˆb 1 .
(68) Ans.:. 得. u k 1 (4 vk ) / 5 vk 1 (1 u k ) / 2.
(69) 對於下列線性聯立方程式，請問若要用高斯. -賽德法(Gauss-Seidel method)求解，其迭 代式為何？ 3u - v = 2 u +2v = 1.
(70) Ans.:. 由. xˆ k 1 D1 (bˆ Lxˆ k 1 Uxˆ k ),. where. xˆ k 1. u k 1 uk 1 / 3 0 1 , , xˆ k , D 0 1 / 2 vk 1 vk . 0 0 L , 1 0. 0 1 U , 0 0 . ˆb 2 1 .
(71) 得. u k 1 (2 vk ) / 3 vk 1 (1 u k 1 ) / 2.
(72) 對於下列線性聯立方程式，請問若要用逐次. 超鬆弛法(Successive Over-Relaxation method)求解，其迭代式為何？ 3u + 2v =1 u -4v = 2.
(73) Ans.:. 由. xˆ k 1 (1 )xˆ k D1 (bˆ Lxˆ k 1 Uxˆ k ),. where. xˆ k 1. u k 1 uk , xˆ k , vk 1 vk . 0 0 L , 1 0. 0 2 U , 0 0 . 0 1 / 3 D , 0 1 / 4 1. ˆb 1 2 . 1.
(74) 得. u k 1 (1 )u k (1 2vk ) / 3 vk 1 (1 )vk (1 u k 1 ) / 4.
(75) 請對下列方程組，以(1,1)為初值，使用多. 變數牛頓法求解。請只要執行兩次迭代。 u 2 4v 2 4 2 2 (u 1) v 4.
(76) 請對下列方程組，以(1,1)為初值，使用多. 變數牛頓法求解。請只要執行兩次迭代。 u 2 4v 2 4 2 2 (u 1) v 4 Ans.:. • 由多變數牛頓法. x 0 初始向量 DF (x k )s F(x k ) x k 1 x k s.
(77) u 2 4v 2 4 u 2 4v 2 4 F ( x) 0 2 2 2 2 (u 1) v 4 (u 1) v 4 where u x v .
(78) 8v 2u DF 2 ( u 1 ) 2 v x0. = (u,v) = (1,1). 2 8 s1 1 0 2 s 3 2 . 由高斯消去法與倒置法得. s1 (1 8 3 / 2) / 2 11/ 2 s 3 / 2 3 / 2 2 .
(79) u1 1 11 / 2 13 / 2 x1 x 0 s v 1 3 / 2 5 / 2 1 8 5 / 2 13 20 2 13 / 2 DF (x1 ) 2 ( 13 / 2 1 ) 2 5 / 2 11 5 (13 / 2) 2 4 (5 / 2) 2 4 53 / 4 F(x1 ) 130 / 4 2 2 (13 / 2 1) (5 / 2) 4 .
(80) 得. 13 20 s1 (53 / 4) 11 5 s (130 / 4) 2 由高斯消去法與倒置法得. 13 20 s1 (53 / 4) 0 285 / 13 s 1107 / 52 2 s1 ((53 / 4) 20 (1107 / 1140)) / 13 s ( 1107 / 52 ) /( 285 / 13 ) 2 2.513 2.513 1107 / 1140 0 . 971 .
(81) 得. u2 13 / 2 2.513 9.013 x 2 x1 s v 5 / 2 0 . 971 3 . 471 2.
(82) 試描述Broyden法I.
(83) 試描述Broyden法I. Ans.:. • P172~P173.
(84) 試描述Broyden法II.
(85) 試描述Broyden法II. Ans.:. • P173~P174.
(86) 已知數據點(1,2),(2,3),(4,5),(5,1)，請寫出. 其拉格朗奇公式。.
(87) 已知數據點(1,2),(2,3),(4,5),(5,1)，請寫出. 其拉格朗奇公式。 Ans.: ( x 2)( x 4)( x 5) L3 ( x) 2 (1 2)(1 4)(1 5) ( x 1)( x 4)( x 5) 3 (2 1)(2 4)(2 5) ( x 1)( x 2)( x 5) 5 (4 1)(4 2)(4 5) ( x 1)( x 2)( x 4) 1 (5 1)(5 2)(5 4).
(88) 已知數據點(1,2),(2,3),(4,5),(5,1)，請藉由. 牛頓均插公式，以牛頓均插法求出其內差多 項式。.
(89) 已知數據點(1,2),(2,3),(4,5),(5,1)，請藉由. 牛頓均插公式，以牛頓均插法求出其內差多 項式。 Ans.: • 以牛頓均插公式求出係數 1 2 1 2 3. 0 5 / 12. 1 5/3. 4 5 4 5 1.
(90) 1 2 1 2 3. 0 5 / 12. 1 5/3. 4 5 4 5 1. • 依牛頓均插公式求出之係數，列出內插多項式：. P( x) 2 ( x 1) (5 /12)(x 1)(x 2)(x 4).
(91)
(2) 請問對於多項式P(x)=3x4+2x3+2x2-4x+3，. 使用直接代入法求x=0.5時的值，需要幾次 乘法運算?幾次加法運算?.
(3) 請問對於多項式P(x)=3x4+2x3+4x2-5x+6，使. 用直接代入法求x=0.5時的值，需要幾次乘法 運算?幾次加法運算? Ans.: • • • • • •. 3x4：3*x*x*x*x 4個乘 2x3：2*x*x*x 3個乘 4x2：2*x*x 2個乘 -5x：-5*x 1個乘 所以共4+3+2+1=10個乘 3x4+2x3+4x2+(-5)x+6 有四個加號出現。所以有四個 加。 ( 共四個加 ).
(4) 請問對於多項式P(x)=3x4+2x3+2x2-4x+3，. 使用巢狀乘法求x=0.5時的值，需要幾次乘 法運算?幾次加法運算?.
(5) 請問對於多項式P(x)=14x4+13x3+12x2-. 11x+10，使用巢狀乘法求x=0.5時的值，需 要幾次乘法運算?幾次加法運算? Ans.: • 以巢狀乘法求值，首先需將多項式整理成巢狀形式： 冪次0係數+變數×(冪次1係數+變數×(冪次2係數 +變數 ×(…)) 所以得： (+10)+x×((-11)+x×((+12)+x×((+13)+x×(+14))) • 上式中出現四個乘法與四個加法 • 所以用巢狀乘法求值需要四個乘法與四個加法。.
(6) 請問對於多項式P(x)=6x6-3x3+2x2+3，使. 用巢狀乘法求x=0.5時的值，需要幾次乘法 運算?幾次加法運算?.
(7) 請問對於多項式P(x)=6x6-3x3+2x2+3，使. 用巢狀乘法求x=0.5時的值，需要幾次乘法 運算? Ans.: • 表示成巢狀乘法形式： 冪次0係數+變數×(冪次1係數+變數×(冪次2係數 +變數 ×(…)) 所以得： 3+x×(0+x×(2+x×(-3+x×(0+x×(0+x×(6)))))) 有六個乘法出現，所以需要六次乘法。.
(8) . 若多項式在電腦中是以如下的線性串列方式表示： (其會依據冪次由小往大排列) pow. head. coff. next. pow. coff. next. NULL. 例： P(x)=16x6-13x3+10表示成： head. . 0. 10. 3. -13. 6. 16. NULL. 則請用遞迴法(Recursive)程式設計技巧來實作巢狀 乘法求多項式的值，實作出的方法可以輸入任意的 一個多項式與要求值的變數值。多項式的係數與變 數可以是浮點數。.
(9) . 機器常數(machine epsilon)，以ϵmach表示，其值為1和比 1大的最小浮點數之間的距離。以下表格為IEEE 754浮點 數標準中各部份所佔的位元數： 精準度類型 符號部分 指數部分 假數部分 (sign) (exponent) (mantissa) 單精準 1 8 23 (single) 雙精準 1 11 52 (double) 長倍精準 1 15 64 (long-double). 請問依據IEEE 754浮點數標準，單精準度下，ϵmach的值為 何？.
(10) Ans.: 由下表知： 精準度類型 符號部分 (sign) 單精準 1 (single) 雙精準 1 (double) 長倍精準 1 (long-double). 指數部分 (exponent) 8. 假數部分 (mantissa) 23. 11. 52. 15. 64. 依據IEEE 754浮點數標準，單精準度下，ϵmach的值為： 2-23.
(11) 對於一個二進位實數+1.010111，若只要表. 示到該數值的小數點後第三位。當採用截去 法(chopping)時，結果的值為多少？.
(12) 對於一個二進位實數+1.010111，若只要表. 示到該數值的小數點後第三位。當採用截去 法(chopping)時，結果的值為多少？ Ans.: • +1.010.
(13) 對於一個二進位實數+1.010111，若只要表. 示到該數值的小數點後第三位。當採用捨入 法(rounding)時，結果的值為多少？.
(14) 對於一個二進位實數+1.010111，若只要表. 示到該數值的小數點後第三位。當採用捨入 法(rounding)時，結果的值為多少？ Ans.: • +1.011.
(15) IEEE. 754對於雙精準度所採取的捨取最近數 規則(Rounding to Nearest Rule)為:如果小 數點後第53位元為0就捨去(截去第52位元 以後各位數)，如果第53位元為1就進位(將 第52位元加1)，但是若當第53位元以後全 部都是0，則只有在第52位元為1時，才要 加1。.
(16) 請問依IEEE 754對於雙精準度所採取的捨取最近數 規則(Rounding to Nearest Rule)規則下列數值在 IEEE 754雙精準度下，其小數點後第51和52位數的 值應該為何？ (a) +1.00000000010000000001000000000100000000 01000000000101000000×23. (b) +1.00000000010000000001000000000100000000 01000000000101000001×23. (c) +1.00000000010000000001000000000100000000 01000000000100000000×23. .
(17) . . . . . . 請問依IEEE 754對於雙精準度所採取的捨取最近數規則(Rounding to Nearest Rule)規則下列數值在IEEE 754雙精準度下，其小數點後第51和52位數的值應 該為何？ (a) +1.0000000001000000000100000000010000000001000000000101000000× 23. (b) +1.0000000001000000000100000000010000000001000000000101000001× 23. (c) +1.0000000001000000000100000000010000000001000000000100000000× 23. Ans.: (a) 10, 因為當第53位元以後全部都是0，則只有在第52位元為1時，才要加1。 +1.0000000001000000000100000000010000000001000000000110×23. (b) 01, 因為小數點後第53位元為0就捨去(截去第52位元以後各位數)，如果第 53位元為1就進位(將第52位元加1) +1.0000000001000000000100000000010000000001000000000101×23. (c) 00, 因為當第53位元以後全部都是0，則只有在第52位元為1時，才要加1。 +1.0000000001000000000100000000010000000001000000000100×23..
(18) 請問當描述近似解精確到p位小數，是指誤. 差小於多少？.
(19) 請問當描述近似解精確到p位小數，是指誤. 差小於多少？ Ans.: • 0.5*10-p.
(20) 請描述二分法求解方程式的根的演算法。.
(21) 請描述二分法求解方程式的根的演算法。 Ans.: 對於單變數的方程式f(x)，已知根位於區間[a,b]之 間，f(a)f(b)<0 While (b-a)/2<TOL . • c = (a+b)/2 //取該區間的中間值 • 若 f(c)==0 , 停止。 //也就是代入f(x=c)，求方程式的值，若使f等於0，表示找到根， 演算法停止。 • 若 f(a)f(c)<0 , b = c 否則 a = c 。 //若f(a) ×f(c)<0取新區間為[a,c]，否則取新區間為[c,b]。. . EndWhile 近似根為(a+b)/2.
(22) 請問使用二分法求解方程式的根，若其重複. n次後，其解的誤差會小於何值？.
(23) . 請問使用二分法求解方程式的根，若其重複n次後，其解的誤差會小於何值？ Ans.: 依據如下演算法分析 • •. 對於單變數的方程式f(x)，已知根位於區間[a,b]之間，f(a)f(b)<0 While (b-a)/2<TOL . c = (a+b)/2 . . . . //若f(a) ×f(c)<0取新區間為[a,c]，否則取新區間為[c,b]。. • •. EndWhile 近似根為(a+b)/2. •. 當n=0時，解位於區間[a,(a+b)/2] or [(a+b)/2, b]，區間大小 = b-(a+b)/21=(b-a)/ 21 or (a+b)/21 - a = (b-a)/ 21 , 所以此時正確解r與近似解(a+b)/2的差小於 (b-a)/ 21 當n=1時，解位於區間大小 (b-a)/ 22 內， 所以此時正確解r與近似解的差小於 (b-a)/ 22 : 當n=m時，解位於區間大小 (b-a)/ 2m+1 內， 所以此時正確解r與近似解的差小於 (b-a)/ 2m+1 當n=m+1時，解位於區間大小 (b-a)/ 2m+2 內， 所以此時正確解r與近似解的差小於 (b-a)/ 2m+2. 知： • • • •. . //也就是代入f(x=c)，求方程式的值，若使f等於0，表示找到根，演算法停止。. 若 f(a)f(c)<0 , b = c 否則 a = c 。 . . //取該區間的中間值. 若 f(c)==0 , 停止。. 所以，若其重複n次後，其解的誤差 < (b-a)/2n+1.
(24) 若用二分法求解f(x)=cos(x)-x在區間[0,1]. 的近似根，要求要精確到5位小數，請問二 分法的迭代次數為何？.
(25) 若用二分法求解f(x)=cos(x)-x在區間[0,1]. 的近似根，要求要精確到5位小數，請問二 分法的迭代次數為何？ Ans.: • 0.5*10-5>((1-0)/ 2n+1) => n > 5/(log102).
(26) 簡述定點迭代法如何求解方程式的根，及收. 斂的條件。.
(27) 簡述定點迭代法求解方程式的根，及收斂的條. 件。 Ans.: • 求f(x)的根(找出可滿足f(x)=0的x) 先整理f(x)=0 成 x = g(x) 的形式。 • 定點迭代法 x0 = 初始猜測值 xi+1 = g(xi) • 收斂條件 g連續可微 若r為f的根，g’(r)<1，當初始猜測值在r的附近時，可收斂到r。 收斂數率S=|g’(r)|.
(28) 已知f(x)=x3-18，若要使用迭代法求f(x)的. 根r，也就是f(r)=0。則請寫出適當的g(x)使 其滿足x=g(x)的關係。(hint: x = 18 / ? ).
(29) 已知f(x)=x3-18，若要使用迭代法求f(x)的. 根r，也就是f(r)=0。則請寫出適當的g(x)使 其滿足x=g(x)的關係。(hint: x = 18 / ? ) Ans.: • x = 18 / x2.
(30) 對於迭代法，若採用絕對誤差的停止準則. (stopping criterion)，則下列何者適用？ (a) |xi+1 – xi | < TOL (b) |xi+1 – xi |/|xi+1 | < TOL (c) |xi+1 – xi |/max(|xi+1|,θ) <TOL, where θ>0..
(31) 對於迭代法，若採用絕對誤差的停止準則. (stopping criterion)，則下列何者適用？ (a) |xi+1 – xi | < TOL (b) |xi+1 – xi |/|xi+1 | < TOL (c) |xi+1 – xi |/max(|xi+1|,θ) <TOL, where θ>0. Ans.: • Ans.: (a).
(32) 對於迭代法，若採用相對誤差的停止準則. (stopping criterion)，則下列何者適用？ (a) |xi+1 – xi | < TOL (b) |xi+1 – xi |/|xi+1 | < TOL (c) |xi+1 – xi |/max(|xi+1|,θ) <TOL, where θ>0..
(33) 對於迭代法，若採用相對誤差的停止準則. (stopping criterion)，則下列何者適用？ (a) |xi+1 – xi | < TOL (b) |xi+1 – xi |/|xi+1 | < TOL (c) |xi+1 – xi |/max(|xi+1|,θ) <TOL, where θ>0. Ans.: • (b).
(34) 對於迭代法，若採用混合絕對與相對誤差的. 停止準則(stopping criterion)，則下列何 者適用？ (a) |xi+1 – xi | < TOL (b) |xi+1 – xi |/|xi+1 | < TOL (c) |xi+1 – xi |/max(|xi+1|,θ) <TOL, where θ>0..
(35) 對於迭代法，若採用混合絕對與相對誤差的. 停止準則(stopping criterion)，則下列何 者適用？ (a) |xi+1 – xi | < TOL (b) |xi+1 – xi |/|xi+1 | < TOL (c) |xi+1 – xi |/max(|xi+1|,θ) <TOL, where θ>0. Ans.: • c.
(36) 已知方程式f(x)=x2-16，x=4為一個正確的. 根，若用某方法求出的近似根為3.4。請問 此近似解的後向誤差(backward error)的值 為何？.
(37) 已知方程式f(x)=x2-16，x=4為一個正確的. 根，若用某方法求出的近似根為3.4。請問 此近似解的後向誤差(backward error)的值 為何？ Ans.: • |3.42-16|=|11.56-16|=4.44.
(38) 已知方程式f(x)=x2-4，x=2為一個正確的根，. 若用某方法求出的近似根為2.4。請問此近 似解的前向誤差(forward error)的值為何？.
(39) 已知方程式f(x)=x2-4，x=2為一個正確的根，. 若用某方法求出的近似根為2.4。請問此近 似解的前向誤差(forward error)的值為何？ Ans.: • |2-2.4|=0.4.
(40) 請問用牛頓法求解f(x)的根時，xi+1與xi的關. 係式為何？.
(41) 請問用牛頓法求解f(x)的根時，xi+1與xi的關. 係式為何？ Ans.: • xi+1 = xi - f(xi)/f’(xi).
(42) magnification factor) 是相對前向誤差(relative forward error)與 相對後向誤差(relative backward error)的 比值，也就是. 誤差放大倍數(Error. • 誤差放大倍數=相對前向誤差/相對後向誤差 若已知相對後向誤差為2.5，相對前向誤差. 為0.5。求誤差放大倍數。.
(43) magnification factor) 是相對前向誤差(relative forward error)與 相對後向誤差(relative backward error)的 比值，也就是. 誤差放大倍數(Error. • 誤差放大倍數=相對前向誤差/相對後向誤差 若已知相對後向誤差為2.5，相對前向誤差. 為0.5。求誤差放大倍數。 Ans.: • 誤差放大倍數=0.5/2.5=0.2.
(44) 請問割線法求解f(x)的根時，xi+1與xi和xi-1. 的關係式為何？.
(45) 請問割線法求解f(x)的根時，xi+1與xi和xi-1. 的關係式為何？ Ans.: • xi+1 = xi - f(xi)( xi - xi-1 )/( f(xi) - f(xi-1) ).
(46) 請問用假位法求解f(x)的根時，若目前要求. 出x2的區間是[a,b], 其中a=x0, b=x1，則要 如何求出x2？若所求出的f(x2)>0，且 f(x0)<0，f(x1)>0，請問求x3時，要使用的 區間a=?, b=?.
(47) 請問用假位法求解f(x)的根時，若目前要求. 出x2的區間是[a,b], 其中a=x0, b=x1，則要 如何求出x2？若所求出的f(x2)>0，且 f(x0)<0，f(x1)>0，請問求x3時，要使用的 區間a=?, b=? Ans.: • x2 = ( bf(a) - af(b) )/( f(a) – f(b) ). • a = x0 , b = x 2.
(48) 求解以下的線性聯立方程式，若擬使用高斯. 消去法，請問將其用表列型式描述的結果為 何？ x + 3y - 2z = 1 3x - 2y + z = 2 -x + y + z = -5.
(49) 求解以下的線性聯立方程式，若擬使用高斯. 消去法，請問將其用表列型式描述的結果為 何？ x + 3y - 2z = 1 3x - 2y + z = 2 -x + y + z = -5 Ans.: 1 3 2 1 3 2 1 2 1 1 1 5.
(50) 求解下列矩陣A的LU分解，並證明LU=A。. (要有過程) . 1 2 1 A 2 1 2 3 1 1 .
(51) Ans.:. 由 . 1 2 1 A 2 1 2 3 1 1 . 欲使第1行中第1列以下的各元素為零。 列2. - (2/1)×列1得. 2 1 1 0 0 1 2 1 0 0 3 0 A 0 0 1 3 1 1 .
(52) . Ans.: 由 A 欲使第1行中第1列以下的各元素為零。 列2 - (2/1)×列1得 列3 - (-3/1)×列1得 欲使第2行中第2列以下的各元素為零。 列3- (7/-3)×列2得 所以 , 驗證.
(53) 列3. - (-3/1)×列1得. 1 0 0 1 2 1 A 2 1 0 0 3 0 3 0 1 0 7 2 欲使第2行中第2列以下的各元素為零。.
(54) Ans.:. 列3-. (7/-3)×列2得. 0 0 1 2 1 1 A 2 1 0 0 3 0 3 7 / 3 1 0 0 2. 所以 . 0 1 L 2 1 3 73. 0 0 1. 1 2 1 U 0 3 0 0 0 2.
(55) 驗證. 0 0 1 2 1 1 LU 2 1 0 0 3 0 3 73 1 0 0 2 2 0 0 1 0 0 1 0 0 200 4 3 0 2 0 0 3 0 0 6 7 0 3 0 2 . . 1 2 1 2 1 2 A 3 1 1 .
(56) 求解下列矩陣A的PA=LU分解，並證明. LU=PA。(要有過程). 2 1 5 A 4 4 4 1 3 1 .
(57) Ans.:. 2 1 5 A 4 4 4 1 3 1 .
(58) Ans.:. 2 1 5 A 4 4 4 1 3 1 欲使第1行中第1列以下的各元素為零。 因為第1列到最後列於第1行中，具有最大絕對. 值元素的列是第2列，故第1列與第2列互換， 得.
(59) 因為第1列到最後列於第1行中，具有最大. 絕對值元素的列是第2列，故第1列與第2列 互換，得 4 4 4 0 1 0 P 1 0 0 , PA 2 1 5 1 3 1 0 0 1.
(60) 開始消去第1行中第1列以下的元素為零，. 列2+. (-2/4)×列1=列2+ (-1/2)×列1，得. 1 0 0 4 4 4 PA 1 / 2 1 0 0 1 7 0 0 1 1 3 1 .
(61) 開始消去第1行中第1列以下的元素為零，. 列2+. (-2/4)×列1=列2+ (-1/2)×列1，得. 1 0 0 4 4 4 PA 1 / 2 1 0 0 1 7 0 0 1 1 3 1 列3+. (-1/4)×列1得. 1 0 0 4 4 4 PA 1 / 2 1 0 0 1 7 1 / 4 0 1 0 2 2 .
(62) 欲使第2行中第2列以下的各元素為零。. 因為第2列到最後列於第2行中，具有最大. 絕對值元素的列是第3列，故第2列與第3列 互換，得 1 0 0 0 1 0 0 1 0 P 0 0 1 1 0 0 0 0 1, 0 1 0 0 0 1 1 0 0. 1 0 0 4 4 4 PA 1 / 4 1 0 0 2 2 1 / 2 0 1 0 1 7 .
(63) 開始消去第2行中第2列以下的元素為零，. 列3+. (-(-1)/2)×列2 =列3+ (1/2)×列2，得. 0 0 4 4 4 1 PA 1 / 4 1 0 0 2 2 1 / 2 1 / 2 1 0 0 8 .
(64) 所以. 1 0 0 0 1 0 1 1 0 L P 0 0 1 4 1 1 2 2 1 1 0 0. 4 4 4 U 0 2 2 0 0 8 .
(65) 驗證 0 1 0 2 1 5 4 4 4 PA 0 0 1 4 4 4 1 3 1 1 0 0 1 3 1 2 1 5 0 0 4 4 4 4 0 0 4 0 0 4 0 0 4 4 4 1 LU 1 / 4 1 0 0 2 2 1 0 0 1 2 0 1 2 0 1 3 1 1 / 2 1 / 2 1 0 0 8 2 0 0 2 1 0 2 1 8 2 1 5 . 故得證，PA=LU.
(66) 對於下列線性聯立方程式，請問若要用. Jacobi法求解，其迭代式為何？ 5u + v =4 -u +2v =1.
(67) Ans.:. 由. ˆx k 1 D1 (bˆ (L U)xˆ k ), where xˆ k 1. u k u k 1 , xˆ k , vk vk 1 . 0 1 0 0 , L , U 0 0 1 0. 1/ 5 0 D , 0 1 / 2 1. 4 ˆb 1 .
(68) Ans.:. 得. u k 1 (4 vk ) / 5 vk 1 (1 u k ) / 2.
(69) 對於下列線性聯立方程式，請問若要用高斯. -賽德法(Gauss-Seidel method)求解，其迭 代式為何？ 3u - v = 2 u +2v = 1.
(70) Ans.:. 由. xˆ k 1 D1 (bˆ Lxˆ k 1 Uxˆ k ),. where. xˆ k 1. u k 1 uk 1 / 3 0 1 , , xˆ k , D 0 1 / 2 vk 1 vk . 0 0 L , 1 0. 0 1 U , 0 0 . ˆb 2 1 .
(71) 得. u k 1 (2 vk ) / 3 vk 1 (1 u k 1 ) / 2.
(72) 對於下列線性聯立方程式，請問若要用逐次. 超鬆弛法(Successive Over-Relaxation method)求解，其迭代式為何？ 3u + 2v =1 u -4v = 2.
(73) Ans.:. 由. xˆ k 1 (1 )xˆ k D1 (bˆ Lxˆ k 1 Uxˆ k ),. where. xˆ k 1. u k 1 uk , xˆ k , vk 1 vk . 0 0 L , 1 0. 0 2 U , 0 0 . 0 1 / 3 D , 0 1 / 4 1. ˆb 1 2 . 1.
(74) 得. u k 1 (1 )u k (1 2vk ) / 3 vk 1 (1 )vk (1 u k 1 ) / 4.
(75) 請對下列方程組，以(1,1)為初值，使用多. 變數牛頓法求解。請只要執行兩次迭代。 u 2 4v 2 4 2 2 (u 1) v 4.
(76) 請對下列方程組，以(1,1)為初值，使用多. 變數牛頓法求解。請只要執行兩次迭代。 u 2 4v 2 4 2 2 (u 1) v 4 Ans.:. • 由多變數牛頓法. x 0 初始向量 DF (x k )s F(x k ) x k 1 x k s.
(77) u 2 4v 2 4 u 2 4v 2 4 F ( x) 0 2 2 2 2 (u 1) v 4 (u 1) v 4 where u x v .
(78) 8v 2u DF 2 ( u 1 ) 2 v x0. = (u,v) = (1,1). 2 8 s1 1 0 2 s 3 2 . 由高斯消去法與倒置法得. s1 (1 8 3 / 2) / 2 11/ 2 s 3 / 2 3 / 2 2 .
(79) u1 1 11 / 2 13 / 2 x1 x 0 s v 1 3 / 2 5 / 2 1 8 5 / 2 13 20 2 13 / 2 DF (x1 ) 2 ( 13 / 2 1 ) 2 5 / 2 11 5 (13 / 2) 2 4 (5 / 2) 2 4 53 / 4 F(x1 ) 130 / 4 2 2 (13 / 2 1) (5 / 2) 4 .
(80) 得. 13 20 s1 (53 / 4) 11 5 s (130 / 4) 2 由高斯消去法與倒置法得. 13 20 s1 (53 / 4) 0 285 / 13 s 1107 / 52 2 s1 ((53 / 4) 20 (1107 / 1140)) / 13 s ( 1107 / 52 ) /( 285 / 13 ) 2 2.513 2.513 1107 / 1140 0 . 971 .
(81) 得. u2 13 / 2 2.513 9.013 x 2 x1 s v 5 / 2 0 . 971 3 . 471 2.
(82) 試描述Broyden法I.
(83) 試描述Broyden法I. Ans.:. • P172~P173.
(84) 試描述Broyden法II.
(85) 試描述Broyden法II. Ans.:. • P173~P174.
(86) 已知數據點(1,2),(2,3),(4,5),(5,1)，請寫出. 其拉格朗奇公式。.
(87) 已知數據點(1,2),(2,3),(4,5),(5,1)，請寫出. 其拉格朗奇公式。 Ans.: ( x 2)( x 4)( x 5) L3 ( x) 2 (1 2)(1 4)(1 5) ( x 1)( x 4)( x 5) 3 (2 1)(2 4)(2 5) ( x 1)( x 2)( x 5) 5 (4 1)(4 2)(4 5) ( x 1)( x 2)( x 4) 1 (5 1)(5 2)(5 4).
(88) 已知數據點(1,2),(2,3),(4,5),(5,1)，請藉由. 牛頓均插公式，以牛頓均插法求出其內差多 項式。.
(89) 已知數據點(1,2),(2,3),(4,5),(5,1)，請藉由. 牛頓均插公式，以牛頓均插法求出其內差多 項式。 Ans.: • 以牛頓均插公式求出係數 1 2 1 2 3. 0 5 / 12. 1 5/3. 4 5 4 5 1.
(90) 1 2 1 2 3. 0 5 / 12. 1 5/3. 4 5 4 5 1. • 依牛頓均插公式求出之係數，列出內插多項式：. P( x) 2 ( x 1) (5 /12)(x 1)(x 2)(x 4).
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