重力加速度的有趣實驗
周鑑恆
萬 能 科 技 大 學 航 空 暨 工 程 學 院 航 空 光 機 電 系壹、前言
與 重 力 加 速 度 相 關 的 實 驗 不 少，例 如： 直 接 量 測 重 力 加 速 度 的 實 驗、科 特 克 倒 擺、 蛇 擺 等 實 驗 。 其 中 ： 科 特 克 倒 擺 可 以 測 出 相 當 精 確 的 重 力 加 速 度 ； 蛇 擺 則 須 用 理 論 先 算 出 各 單 擺 周 期 之 間 的 關 係 ， 進 而 決 定 各 擺 長 ， 而 演 出 令 人 驚 奇 的 擺 動 效 果 。 本 文 所 討 論 的 實 驗 ， 既 非 直 接 測 量 重 力 加 速 度 ， 也 不 是 像 蛇 擺 或 科 特 克 倒 擺 那 樣 ， 利 用 精 密 計 算 得 出 擺 動 週 期 與 重 力 加 速 度 的 關 係，而 是 如 圖 一 所 示 的 射 猴 實 驗。 本 實 驗 必 須 將 目 標 與 飛 箭 同 時 釋 放 ， 才 能 使 飛 箭 在 射 出 一 段 距 離 之 後 ， 射 中 正 在 落 下 的 目 標 （ 靶 ）【 註 1-6】。 圖 一 、 俗 稱 「 射 猴 」 的 實 驗 實 驗 原 理 之 相 關 計 算 可 以 下 表 示 。 見 圖 一 ， 目 標 原 先 在 高 度h
， 在 時 間 為 零 時 自 由 落 下 ； 時 間 為 零 的 同 時 ， 瞄 準 目 標 的 箭 ， 無 論 以 什 麼 速 度 射 出 ， 如 果 忽 略 空 氣 阻 力 ， 箭 都 可 以 射 中 與 箭 射 出 之 瞬 間 同 時 下 墜 的 目 標 。 假 設 箭 的 初 速 為v
0，則 箭 在 垂 直 方 向 的 速 度 為 ：
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... （1） 其 中
為 仰 角 ， 在 水 平 方 向 速 度 為 ：
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... （2） 如 果 沒 有 重 力 加 速 度 ， 因 為 箭 的 初 速 度 指 向 目 標 ， 當 然 就 會 射 中 目 標 ， 相 關 計 算 如 下 ： ct
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... （3） ct
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... （4） 如 果 重 力 存 在，則：水 平 方 向 的 速 度 不 變， 依 然 只 需t
c的 時 間 就 到 達 目 標 所 在 的 水 平 位 置 。 ct
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... （5） 但 到 達 目 標 的 水 平 位 置 時，高 度 即 為y
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c 而 非h
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... （6） 因 為 箭 的 速 度 指 向 目 標 ， 所 以h
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... （7） 而 目 標 靶 因 從 高 度h
同 時 落 下 ， 所 以 目 標 靶 的 高 度 ，
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... （8） 因 此 箭 與 目 標 靶 ， 在t
c時 在 同 一 水 平 位 置 而 且 又 在 同 一 垂 直 高 度 ， 所 以 飛 箭 可 以 擊 中 目 標 靶 。貳、儀器組裝
此 自 製 儀 器 大 概 可 分 為 以 下 三 部 分 ： （a）十 字弓 與 箭；（b）靶 及掛 靶 裝 置；（c） 電 池 、 電 磁 鐵 和 破 壞 性 鋁 箔 開 關 等 構 成 的 同 時 裝 置 。 其 中 ： 靶 為 A4 之白 紙 （ 或更 小 尺 寸 的 白 紙 ） 白 紙 上 方 有 一 鐵 質 的 夾 子 ， 可 被 掛 靶 裝 置 上 的 電 磁 鐵 吸 住 ， 掛 靶 裝 置 有 一 支 架 及 支 架 上 的 電 磁 鐵 。 十 字 弓 以 橡 皮 筋 彈 力 發 射 簡 易 的 箭 。 電 池 盒 中 有 4 個 3 號 電 池 ， 電 壓 總 共 6 伏特 ， 電流 經 長 電 線流 過 掛 靶 器 上 的 電 磁 鐵 。 但 電 線 某 一 段 為 十 字 弓 上 的 鋁 箔 ， 發 射 箭 之 同 時 打 斷 鋁 箔 、 中 止 電 流 ， 靶 即 同 時 墜 落 。（
a）十字弓與箭
由 一 長 約 20 公 分，寬 約 0.6 公 分，高 約 1.2 公分 的 白楊 木 條 構 成箭 ， 在 白 楊木 條 之 前 端 先 鑽 一 直 徑 約 0.7 公 分的 孔 ，孔 中 置 入 0.7 公 分直 徑 的 小 鉛球 ， 用 AB 膠 黏 牢 。 另 外 ， 在 白 楊 木 條 的 另 一 端 鑽 幾 個 孔 ， 最 終 使 得 整 根 白 楊 木 的 重 心 移 至 白 楊 木 條 的 前 方。箭 尾 有 一 弧 形 凹 槽（ 見 圖 二 ）， 全 箭 重 約 15 公 克。此 白 楊 木條 雖 無 箭 羽， 但 此 白 楊 木 條 人 仍 然 與 箭 無 異 ， 當 此 白 楊 木 條 被 射 出 去 而 在 空 氣 中 飛 行 時 ， 空 氣 阻 力 對 白 楊 木 條 質 心 造 成 的 力 矩 ， 會 使 白 楊 木 條 較 重 的 一 端 向 前 飛 行 ， 以 便 維 持 箭 頭 向 前 進 方 向 的 飛 行 姿 勢 ， 使 得 空 氣 阻 力 只 會 略 微 降 低 箭 的 速 度 大 小 ， 而 不 至 於 明 顯 影 響 箭 的 飛 行 軌 跡 （ 這 樣 才 能 合 乎 理 論 計 算 ）。 圖 二 、 白 楊 木 條 製 成 的 箭 。 箭 頭 附 近 置 入 一 小 鉛 球 （ 釣 具 行 有 售 ）， 箭 的 後 方 鑽 有 七 孔 ， 箭 尾 中 間 有 凹 槽為 了 安 全 起 見 ， 十 字 弓 的 彈 力 主 要 由 七 條 小 橡 皮 筋 串 成 。 十 字 弓 本 身 則 由 兩 塊 木 板 以 AB 膠 拼接 而 成 ， 十字 弓 兩 臂 外側 兩 端 各 插 入 一 垂 直 的 短 桿 ， 以 此 短 桿 固 定 橡 皮 筋 繩 的 兩 端（ 見 圖 三 ）。十 字 弓 中 間 用 兩 條 很 直 的 小 木 條 製 成 一 個 容 得 下 箭 身 的 小 溝 槽 ， 小 溝 槽 之 深 度 大 約 只 有 箭 高 的 一 半 ， 所 以 箭 在 溝 槽 中 只 有 下 半 部 在 其 中 ， 橡 皮 筋 扣 住 箭 尾 上 之 小 凹 槽（ 見 圖 四 ），橡 皮 筋 繩 的 兩 端 高 度 不 能 高 過 溝 槽 高 度 。 在 十 字 弓 尾 部 ， 用 一 類 似 翹 翹 板 的 壓 板 ， 壓 住 箭 身 ， 使 得 在 已 經 拉 緊 的 弦 上 的 箭 身 不 至 於 飛 出 。 按 壓 此 壓 板 尾 部 ， 才 能 鬆 動 箭 身 ， 使 其 飛 出 （ 見 圖 五 ）。 十 字 弓 靠 近 中 間 溝 槽 處 ， 另 安 裝 瞄 準 器 ， 瞄 準 器 只 由 兩 前 後 並 列 的 木 塊 構 成 ， 木 塊 上 方 各 有 一 直 徑 12mm 公 釐 的 圓 孔， 就 可 以 通 視 這 兩 個 圓 孔 ， 大 致 瞄 準 標 靶 。 圖 三 、 十 字 弓 圖 四 、 橡 皮 筋 扣 住 箭 尾 凹 槽 之 特 寫
圖 五 、 壓 板 扳 機 。
（b）靶及掛靶裝置
目 標 靶 由 一 張 A4 的 紙 構 成，A4 紙 上 方 用 小 鐵 夾 夾 住 ， 下 緣 黏 上 一 支 普 通 鉛 筆 或 等 重 的 木 條 。 掛 靶 裝 置 由 一 支 架 與 其 上 的 電 磁 鐵 構 成 ， 鐵 夾 以 一 自 製 電 磁 鐵 吸 住 （ 見 圖 六 ），電 磁 鐵 中 的 電 流 若 終 止，目 標 靶 即 落 下 ， 因 為 下 方 有 較 重 的 鉛 筆 ， 小 鐵 夾 和 鉛 筆 的 重 量 大 致 配 合（ 見 圖 七 ），所 以 目 標 靶 落 下 時 ， 可 以 保 持 垂 直 地 面 而 不 翻 轉 的 姿 勢 。 本 實 驗 的 條 件 是 ： 無 論 以 什 麼 速 度 射 出 箭 ， 被 瞄 準 的 靶 必 須 同 時 落 下 ， 這 樣 才 能 讓 箭 射 到 靶 。 所 以 必 須 再 設 計 同 時 裝 置 來 控 制 靶 落 下 的 時 間 點 。圖 六 、 自 製 電 磁 鐵 圖 七 、 垂 直 落 下 而 不 翻 轉 的 姿 勢 的 目 標 靶
（c）同時裝置
基 本 上 4 顆 串 聯的 1.5 伏特 3 號 小 電 池 作 為 電 源 ， 經 由 長 長 的 兩 條 電 線 導 通 電 磁 鐵 上 的 漆 包 線 ， 使 電 磁 鐵 具 有 磁 力 。 某 條 連 接 電 池 和 電 磁 鐵 的 導 線 中 間 再 串 接 十 字 弓 上 的 鋁 箔（ 見 圖 八 ），鋁 箔 固 定 在 彈 力 橡 皮 筋 最 後 掃 過 的 位 置 。 射 出 箭 的 同 時 橡 皮 筋 會 打 斷 鋁 箔（ 家 庭 廚 房 用 的 鋁 箔 ），於 是 形 成 斷 路 ， 電 流 中 止 ， 電 磁 鐵 瞬 間 失 去 磁 力 ， 靶 即 立 刻 落 下 。 同 時 裝 置 事 實 上 是 這 項 實 驗 時 的 核 心 部 件 ， 目 的 在 使 目 標 靶 下 落 的 瞬 間 與 箭 發 射 出 去 的 瞬 間 同 時 。 它 基 本 設 計 的 理 念 很 簡 單 ， 就 是 利 用 電 磁 鐵 把 目 標 靶 吸 在 電 磁 鐵 上 ， 電 磁 鐵 用 電 線 通 電 ， 只 要 電 線 當 中 有 電 流 ， 目 標 靶 就 會 吸 在 磁 鐵 上 而 不 會 下 墜 ， 只 要 電 流 瞬 間 消 失 ， 則 目 標 靶 會 瞬 間 降 落 ， 所 以 就 要 在 箭 發 射 的 瞬 間 確 定 電 流 會 立 即 消 失 ， 以 便 使 目 標 靶 在 箭 發 射 的 瞬 間 同 時 下 落 。 詳 如 圖 九 所 示 。 圖 八 、 破 壞 性 鋁 箔 開 關 圖 九 （ 上 ）、 同 時 裝 置 的 全 圖 。 箭 發 射 時 ， 利 用 鋁 箔 開 關 ， 中 斷 電 磁 鐵 中 的 電 流圖 九 （ 下 ）、 電 池 連 結 鋁 箔 開 關 的 特 寫 ， 橡 皮 筋 會 打 斷 鋁 箔 開 關 吸 住 目 標 靶 的 電 磁 鐵，所 需 要 的 電 流， 由 電 池 供 應 ， 但 是 可 以 再 另 外 加 裝 一 個 開 關 ， 以 控 制 電 池 供 應 電 磁 鐵 的 電 流 。 這 個 開 關 可 以 使 整 個 電 路 瞬 斷 路 。 怎 麼 做 到 呢 ？ 就 是 將 電 池 正 負 極 連 接 到 電 磁 鐵 的 兩 條 電 線 中 的 某 一 小 段 做 成 鋁 箔 ， 鋁 箔 是 可 以 被 打 斷 ， 鋁 箔 一 旦 被 破 壞 ， 電 流 就 中 止 了 。 所 以 在 箭 射 出 去 的 瞬 間 ， 讓 橡 皮 筋 製 成 的 弦 打 斷 鋁 箔 ， 用 這 個 辦 法 就 能 使 箭 射 出 去 的 瞬 間 ， 目 標 靶 同 時 下 落 ， 這 就 是 同 時 裝 置 的 設 計 細 節 。
參、實驗
實 驗 時 ， 先 將 箭 上 弦 ， 並 拉 緊 弦 ， 以 壓 板 壓 住 箭 身 ， 蓄 勢 待 發 。 將 鋁 箔 （ 寬 約 8mm，長 約 8cm，並 在一 側 撕出 一 小 缺 口， 保 證 被 橡 皮 筋 打 斷 ） 一 端 用 鱷 魚 夾 夾 在 十 字 弓 上 的 銅 片 ， 鋁 箔 則 另 一 端 夾 在 固 定 於 瞄 準 器 上 的 鱷 魚 夾 ， 兩 個 鱷 魚 夾 均 連 接 同 時 裝 置 的 導 線 ， 於 是 形 成 通 路 。 小 心 地 將 靶 吸 在 支 架 上 的 電 磁 鐵 上 ， 以 瞄 準 器 最 後 確 認 瞄 準 了 靶 。 輕 按 壓 板 尾 端 ， 箭 立 即 彈 射 出 去 ， 而 靶 也 同 時 下 落 ， 於 是 遠 處 飛 來 的 箭 ， 經 拋 物 線 軌 跡 （ 箭 的 初 速 無 須 很 大 ， 一 方 面 更 為 安 全，一 方 面 大 弧 度 軌 跡，更 令 人 驚 奇 ）， 擊 中 下 墜 中 的 靶（ 圖 十 ），可 令 圍 觀 的 民 眾 或 學 生 相 當 驚 奇 。 箭 的 速 度 若 太 快，還 是 可 能 打 傷 眼 睛， 須 注 意 安 全 。 實 驗 時 所 用 的 橡 皮 筋 繩 ， 基 本 上 只 由 單 一 的 橡 皮 筋 串 成 。 實 驗 時 靶 與 十 字 弓 的 距 離 約 4 公 尺 到 5.5 公 尺 為 宜。圖 十 、 遠 處 飛 來 的 箭 擊 中 下 墜 靶 的 瞬 間
肆、結果與討論
這 是 一 項 相 當 著 名 的 重 力 加 速 度 的 實 驗 ， 頗 具 教 學 效 果 。 坊 間 廠 商 也 有 生 產 精 密 儀 器 來 進 行 這 項 實 驗【 註7】，效 果 卻不 如 自 製 教 具 精 彩 。 筆 者 的 日 本 好 友 杉 本 憲 広 老 師 以 「 吹 箭 」 進 行 這 項 實 驗 ， 較 不 方 便 ， 容 易 失 敗 ， 又 影 響 演 出 者 講 解 。 本 實 驗 以 極 簡 易 的 材 料 與 製 程，完 成 這 項 實 驗。 一 般 國 高 中 教 師 一 個 下 午 即 能 製 成 這 項 教 具 。 本 實 驗 是 根 據 忽 略 空 氣 阻 力 的 計 算 來 完 成 的 ， 也 就 是 說 ： 假 設 沒 有 空 氣 阻 力 ， 箭 會 擊 中 同 時 落 下 的 物 體 。 但 我 們 生 活 周 遭 到 處 是 空 氣 ， 空 氣 阻 力 是 存 在 的 ， 所 以 這 項 實 驗 中 ， 必 須 要 做 適 當 的 設 計 ， 將 空 氣 阻 力 、 或 者 空 氣 阻 力 的 “ 影 響 ” 降 到 最 小 。 首 先 談 下 落 的 靶 ， 下 落 的 靶 如 果 下 落 的 距 離 很 長 ， 它 的 速 度 變 得 很 快 ， 空 氣 阻 力 顯 然 就 不 能 忽 略 ， 但 是 在 實 驗 中 ， 靶 下 落 的 距 離 最 多 不 到 一 公 尺 ， 所 以 下 落 的 靶 的 速 度 並 不 快（ 不 到 4m/s）；下 落 的 距 離 也 不 長 ， 即 使 有 空 氣 阻 力 ， 但 是 在 這 樣 短 短 的 時 間 、 短 短 的 距 離 當 中 ， 空 氣 阻 力 的 影 響 並 不 明 顯；再 加 上 速 度 不 快、靶 又 很 薄， 空 氣 阻 力 事 實 上 也 不 大 。 因 為 實 驗 中 下 落 不 到 一 公 尺 的 距 離 ， 空 氣 阻 力 的 影 響 是 幾 乎 可 以 忽 略 的 。 另 外 再 談 射 出 去 的 箭 ， 這 個 箭 的 設 計 當 然 需 要 特 別 考 慮。實 驗 中 的 箭 不 加 箭 羽， 以 便 使 空 氣 阻 力 降 到 最 低 。 巧 妙 的 是 ， 實 驗 的 箭 不 加 箭 羽 ， 照 樣 要 考 慮 它 飛 行 的 姿 勢 ， 以 便 空 氣 阻 力 造 成 的 影 響 只 是 些 微 地 降 低 它 的 速 度 ， 而 不 會 影 響 它 拋 物 線 的 軌 跡 。 所 以 本 實 驗 只 在 箭 頭 的 部 分 加 裝 一 小 小 的 鉛 球 ， 在 箭 尾 的 部 分 多 鑽 幾 個 孔 ， 以 便 將 質 心 調 到 近 箭 頭 的 部 分 ， 這 樣 一 來 ， 飛 行 的 時 候 ， 箭 身 所 受 的 空 氣 阻 力 ， 對 質 心 造 成 的 力 矩 ， 就 會 使 箭 身 的 方 向 與 飛 行 的 方 向 平 行，使 氣 流 不 會 影 響 飛 行 的 方 向。 此 外 ， 箭 身 的 方 向 平 行 飛 行 的 方 向 ， 也 可 以 盡 可 能 降 低 阻 力 ， 因 為 箭 身 已 經 被 製 成 流 線 型 ， 而 且 箭 身 的 體 積 並 不 大 ， 這 是 降 低 阻 力 的 第 一 種 辦 法 。 其 次 ， 發 射 箭 的 時 候 ， 箭 的 速 度 其 實 相 當 慢 ， 所 以 短 短 的 距 離 之 間 ， 就 可 以 看出 它 的 軌 跡 是 一 個 拋 物 線 ， 一 方 面 讓 參 觀 者 能 看 出 拋 物 線 的 軌 跡 ， 增 加 實 驗 的 驚 奇 效 果 ； 另 外 一 方 面 ， 因 為 速 度 很 慢 ， 所 以 它 的 阻 力 也 下 降 。 箭 速 度 相 當 慢 ， 是 降 低 箭 所 受 阻 力 的 第 二 種 方 法 。 第 三 種 方 法 是 ， 因 實 驗 的 距 離 很 短 ， 大 約 只 有 四 到 五 公 尺，所 以 即 使 有 些 阻 力， 但 是 阻 力 造 成 的 影 響 不 很 明 顯 。 利 用 以 上 三 點 ， 就 可 以 在 實 驗 中 將 空 氣 阻 力 的 影 響 降 到 最 小 。 實 驗 結 果 與 經 驗 顯 示 ： ① 鋁 箔 開 關 的 位 置 大 約 在 十 字 弓 的 前 端 ， 鋁 箔 位 置 如 果 略 有 前 後 2 公 分左 右 的 變 化， 不 妨 礙 成功 進 行 實 驗 。 ② 箭 在 十 字 弓 的 溝 槽 中 必 須 儘 量 減 少 摩 擦 力 ， 必 要 時 ， 用 最 細 的 砂 紙 ， 將 箭 身 和 溝 槽 內 部 都 磨 得 相 當 光 滑 。 ③ 橡 皮 筋 繩 兩 端 固 定 處 ， 必 須 不 高 於 箭 尾 中 間 的 凹 槽（ 參 見 圖 四 ），否 則 箭 飛 出 的 瞬 間， 箭 尾 會 受 向 上 的 力 ， 使 箭 身 受 到 翻 轉 的 力 矩 ， 箭 飛 出 之 後 ， 箭 身 一 時 之 間 不 能 平 行 飛 行 方 向 ， 增 加 了 阻 力 ， 同 時 也 改 變 了 飛 行 路 徑 ， 就 射 不 中 靶 了 。 當 然 ， 因 為 此 教 具 十 分 簡 單 ， 所 以 很 容 易 改 進，例 如：① 用 三 弓 弩【 註 8】，發 射 箭 ， 雖 不 必 刻 意 增 加 箭 的 速 度 ， 但 三 弓 弩 的 精 巧 與 力 學 原 理 ， 額 外 增 添 實 驗 之 樂 趣 與 故 事 性 。 ② 箭 與 十 字 弓 的 尺 寸 可 略 為 放 大 ， 即 可 在 箭 上 加 裝 用 水 銀 電 池 或 最 小 電 池 點 亮 的LED 燈，實 驗 更為 絢 麗。③ 靶 上 也 可 以 加 裝LED，在 稍 暗環 境 中，更 可 凸 顯 ： 在 重 力 場 之 中 ， 靶 自 由 落 下 ， 箭 以 拋 物 線 軌 跡 運 動 ， 而 兩 者 可 以 在 空 中 於 電 石 火 光 中 相 遇 。
致謝
感 謝 科 技 部 計 畫 的 支 持 （ 編 號 MOST106-2511-S-238-001-MY2）， 同 時 也 感 謝 計 畫 助 理 鈺 婷 協 助 校 稿 與 實 驗 ， 使 得 這 項 工 作 得 以 完 成 。參考文獻及附註
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