4-3-3矩陣-矩陣的應用
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(2) 2.. 一般而言， ⎡ t11 t12 t13 ⎤ 設矩陣 T = ⎢⎢t21 t22 t23 ⎥⎥ ，其中各元 tij 都是非負實數，且每行各元之和都是 1 ， ⎢⎣t31 t32 t33 ⎥⎦ 即 t11 + t21 + t31 = 1, t12 + t22 + t32 = 1, t13 + t23 + t33 = 1 ，. 這種矩陣 T 稱為轉移矩陣。 以上討論的轉移矩陣都是三階方陣。 事實上，這類問題可以推廣到較高階的轉移矩陣，其處理的方法仍是一樣的。. 3.. ⎡1 0 ⎤ ⎥ 與任何二階方陣 A 相乘， ⎣0 1⎦. 二階方陣 ⎢. 只要可以運算，無論 A 在左或在右，其乘積都是 A ， 如下： ⎡1 0 ⎤ ⎡ a b ⎤ ⎡ a b ⎤ ⎢0 1 ⎥ ⎢ c d ⎥ = ⎢ c d ⎥ ， ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ a b ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ a b ⎤ ⎢ c d ⎥ ⎢0 1 ⎥ = ⎢ c d ⎥ 。 ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡1 0 ⎤ 方陣 ⎢ ⎥ 稱為二階單位方陣， ⎣0 1⎦ ⎡1 0 ⎤ 常以 I 2 表示，即 I 2 = ⎢ ⎥。 ⎣0 1 ⎦ ⎡1 0 0 ⎤ 而三階單位方陣就定為 I 3 = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥ 。 ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦ 仿此，可定義 n 階單位方陣 I n ： I n 是一個 n 階方陣， 它的第 i 列中，第 i 行的元是 1 ，其他各元都是 0 （ 1 ≤ i ≤ n ）。 當不致混淆時， I n 可簡寫為 I ，並簡稱為單位方陣。. 4.. 單位方陣 I 與任何矩陣 A，只要可以相乘，無論 A 在左或在右，乘積恆為 A 。 特別當 A 是與 I 同階的方陣時， AI = IA = A 。 設 A 是方陣，若有一個同階方陣 B ，使 AB 與 BA 都等於單位方陣 I ， 即 AB = I 且 BA = I ，則稱 B 是 A 的反方陣。 當方陣 A 有反方陣時，反方陣是唯一的。 因為若 B 與 B′ 都是 A 的反方陣， 則 B = BI = B( AB′) = ( BA) B′ = IB′ = B′ 。 方陣 A 的反方陣以 A−1 表示。. 21.
(3) 5.. a b ⎡a b ⎤ ，且 ∆ = = ad − bc ≠ 0 ，求 A−1 。 ⎥ c d ⎣c d ⎦. 設A=⎢ 解：. ⎡ x1 ⎣ y1. x2 ⎤ ⎡ a b ⎤ ⎡ x1 ，且 AB = I ，即 ⎢ ⎥ ⎥⎢ y2 ⎦ ⎣ c d ⎦ ⎣ y1 ⎧ ax1 + by1 = 1 ⎧ax2 + by2 = 0 ，⎨ ， ⎨ ⎩cx1 + dy1 = 0 ⎩cx2 + dy2 = 1. 令B=⎢. 由於 ∆ =. a b c d. ≠ 0 ，上面兩個方程組都有唯一解，由克拉瑪公式得. ⎧ ⎪ ⎪x = ⎪ 1 ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ y1 = ⎩. 6.. x2 ⎤ ⎡1 0 ⎤ = ， y2 ⎥⎦ ⎢⎣0 1 ⎥⎦. ⎧ 1 b 0 b ⎪ 0 d 1 d −b d ⎪ = = x2 = ∆ ∆ ⎪ ∆ ∆ , ⎨ ， a 1 a 0 ⎪ c 0 c 1 a −c ⎪ ⎪ y2 = = = ∆ ∆ ⎩ ∆ ∆ ⎡ d −b ⎤ ⎢ ⎥ 故 B = ⎢ ∆ ∆ ⎥ ，此時 AB = I ， ⎢ −c a ⎥ ⎢⎣ ∆ ∆ ⎥⎦ ⎡ d −b ⎤ ⎡ ad − bc ⎤ ⎡∆ ⎤ 0 ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢∆ ⎥ ⎢ a b ⎡ ⎤ ⎡1 0 ⎤ ∆ ∆ ∆ =⎢ 又 BA = ⎢ =I， ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥=⎢ ⎥ ∆ ⎥ ⎣ 0 1 ⎥⎦ ad − bc ⎥ ⎢ ⎢ −c a ⎥ ⎣ c d ⎦ ⎢ 0 0 ⎢⎣ ∆ ⎢⎣ ∆ ⎥⎦ ∆ ⎥⎦ ⎢⎣ ∆ ⎥⎦ ⎡ d −b ⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎡ d −b ⎤ 得 A−1 = B = ⎢ ∆ ∆ ⎥ = ⎢ ⎥。 ⎢ −c a ⎥ ∆ ⎣ −c a ⎦ ⎢⎣ ∆ ∆ ⎥⎦ a ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡b ⎤ ⎧a x + a x = b ⎡a 一般而言，方程組 ⎨ 11 1 12 2 1 可以用矩陣表為 ⎢ 11 12 ⎥ ⎢ 1 ⎥ = ⎢ 1 ⎥ 。 ⎣ a21 a22 ⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣b2 ⎦ ⎩ a21 x1 + a22 x2 = b2 a ⎤ ⎡a ⎡x ⎤ ⎡b ⎤ 令 A = ⎢ 11 12 ⎥ , X = ⎢ 1 ⎥ , B = ⎢ 1 ⎥ ，則原方程組就是 AX = B ， ⎣ a21 a22 ⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣b2 ⎦ a a 當 A 的行列式 11 12 ≠ 0 時，就有唯一解 X = A−1 B 。 a21 a22. 22.
(4) 【定義】 1. n 階單位矩陣(乘法單位元素)： ⎡1 0 L 0 ⎤ ⎢0 1 L 0 ⎥ ⎥ ，即 aij = ⎧⎨0, 當i ≠ j 且 I n k = I n , ∀k ∈ Z + 。 In = ⎢ ⎢M M M⎥ ⎩ 1, 當i = j ⎥ ⎢ ⎣0 0 L 1 ⎦ 註： 當不致混淆時， I n 可簡寫為 I ，並簡稱為單位方陣。 2. 反方陣： 設 A 是一個方陣，若存在一個同階方陣 B ，使 AB = BA = I ， 則稱 B 是 A 的反方陣。 當 A 有反方陣時，反方陣是唯一的，以 A−1 表之。 註： (1)事實上， B 只要滿足 AB = I ，必滿足 BA = I 。 (因 A( BA) = ( AB) A = IA = A ) (2)若 B 與 B' 都是 A 的反方陣，則 B = BI = B( AB' ) = ( BA) B' = IB' = B' 。 (3)可利用二元一次二式方程組有為一解之條件說明二階方陣有反方陣的充 要條件是它的行列式不等於零。 (4)設 A 為一方陣，若方陣 B 使 AB = I ，則 B 為 A 的反方陣。 (5)反方陣亦可稱為乘法反矩陣(乘法反元素)。 3. 轉置矩陣： 若將矩陣的行與列對調，稱之為轉置矩陣。 ⎡ a11 a12 L a1n ⎤ ⎡ a11 a 21 L a m1 ⎤ ⎢a ⎢a ⎥ a 22 L a 2 n ⎥ a22 L a m 2 ⎥⎥ 21 12 T ⎢ ⎢ 設A= ，則 A 的轉置矩陣為 A = 。 ⎢ M ⎢ M M M ⎥ M M ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣a m1 a m 2 L a mn ⎦ ⎣a1n a2 n L amn ⎦ 4. 轉移矩陣是一個方陣，它的各元都是非負實數，且每行各元之和都是 1 ， ⎡ t11 t12 以三階為例可表為 T = ⎢⎢t21 t22 ⎢⎣t31 t32. 5.. t13 ⎤ 3 t23 ⎥⎥ ，其中 tij ≥ 0 ，且 Σ tij = 1 ， j = 1, 2, 3 。 i =1 t33 ⎥⎦. n 階單位方陣 I n 中，第 i 列，第 i 行的元是 1 ，其餘各元都是 0 ( 1 ≤ i ≤ n )。 ⎡1 0 0 ⎤ 例如三階單位方陣 I 3 = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥ 。 ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦. 23.
(5) 【性質】 1. 設 A 是方陣，若有同階方陣 B ，使 AB = BA = I ，則稱 B 是 A 的反方陣。 A 有反方陣時必唯一，記為 A−1 。 事實上，當 AB = I 時，必定 BA = I ，即 B = A−1 。 【公式】 1. 二階方陣的反方陣：. 2.. ⎡d ⎢ a b a b ⎡ ⎤ = ad − bc ≠ 0 ，則 A−1 = ⎢ ∆ 設A=⎢ ，若 ∆ = ⎥ c d ⎣c d ⎦ ⎢ −c ⎣⎢ ∆ a ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡b ⎤ ⎧a x + a x = b ⎡a 方程組 ⎨ 11 1 12 2 1 可表為 ⎢ 11 12 ⎥ ⎢ 1 ⎥ = ⎢ 1 ⎥ ， ⎣ a21 a22 ⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣b2 ⎦ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2. −b ⎤ ∆ ⎥ 1 ⎡ d −b ⎤ 。 ⎥= a ⎥ ∆ ⎢⎣ −c a ⎥⎦ ∆ ⎦⎥. ⎡ a11 ⎣ a21. a12 ⎤ ⎡x ⎤ ⎡b ⎤ , X = ⎢ 1 ⎥ , B = ⎢ 1 ⎥ ，則原方程組即 AX = B ， ⎥ a22 ⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣b2 ⎦ a a 當 A 的行列式 11 12 ≠ 0 時，就有唯一解 X = A−1 B 。 a21 a22. 令A=⎢. 【問題】 1. (1)設 A = [aij ]m×n ，則下列何者正確？. I m A = A ？ I n A = A ？ AI m = A ？ AI n = A ？(解：正確，錯誤，錯誤，正確) (2)若 A = [aij ]m× n , m ≠ n ，是否可以考慮反矩陣？(解：否) (3)乘法反矩陣若存在是否唯一？(解：是) (4)是否每個方陣的乘法反矩陣都存在？(解：否) (5)乘法反矩陣若存在且唯一的條件為何？(解： det A ≠ 0 ⇒ A−1 存在). 24.
(6) 【方法】 1. 反方陣求法(三階餘因子法)： ⎡ a11 a12 a13 ⎤ ⎡b11 1 ⎢ ⎢ ⎥ −1 設 A = ⎢a 21 a 22 a 23 ⎥ ，則 A = b21 det A ⎢ ⎢⎣ a31 a 32 a33 ⎥⎦ ⎢⎣b31 其中 bij 為 aij 的餘因子，. 2.. b12 b22 b32. T. b13 ⎤ b23 ⎥⎥ ， b33 ⎥⎦. 即去掉 A 中第 i 列及第 j 行後所剩下矩陣的行列式值，再乘以 (−1) i+ j 。 反方陣求法(三階外積法)： ⎡ a11 a12 a13 ⎤ 設 A = ⎢⎢a 21 a 22 a 23 ⎥⎥ ， ⎢⎣ a31 a 32 a33 ⎥⎦ v ⎡a ⎤ v v v v 令 a = (a11 , a12 , a13 ), b = (a 21 , a 22 , a 23 ), c = (a31 , a32 , a33 ) ，即 A = ⎢⎢b ⎥⎥ ， v ⎢⎣ c ⎥⎦ ⎡b11 b12 b13 ⎤ 1 ⎢ −1 則A = b21 b22 b23 ⎥⎥ ， ⎢ det A ⎢⎣b31 b32 b33 ⎥⎦ v v v v v v 其中 (b11 , b21 , b31 ) = b × c , (b12 , b22 , b32 ) = c × a , (b13 , b23 , b33 ) = a × b ， 1 v v v v v v 即 A −1 = b ×c c ×a a×b 。 det A 證明： v ⎡a ⎤ v 1 v v v v v v AA −1 = ⎢⎢b ⎥⎥ × b ×c c ×a a ×b v det A ⎢⎣ c ⎥⎦ v ⎡a ⎤ 1 ⎢ v⎥ v v v v v v = b b ×c c ×a a ×b det A ⎢ v ⎥ ⎢⎣ c ⎥⎦ v v v v v v v v v ⎡a ⋅ (b × c ) a ⋅ (c × a ) a ⋅ (a × b ) ⎤ 1 ⎢v v v v v v v v v ⎥ = b ⋅ (b × c ) b ⋅ (c × a ) b ⋅ (a × b ) det A ⎢ v v v v v v v v v ⎥ ⎢ c ⋅ (b × c ) c ⋅ (c × a ) c ⋅ (a × b ) ⎥ ⎣ ⎦ 0 0 ⎤ ⎡det A 1 ⎢ = 0 det A 0 ⎥⎥ ⎢ det A ⎢⎣ 0 0 det A ⎥⎦. [. ]. [. [. ]. ]. ⎡1 0 0⎤ = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ = I 。 ⎢⎣0 0 1⎥⎦. 25.
(7) 3.. 反方陣求法(三階基本矩陣法)： ⎡ a11 a12 a13 ⎤ 求 A = ⎢⎢a21 a22 a23 ⎥⎥ 的反方陣 A−1 時， ⎢⎣ a31 a32 a33 ⎥⎦ ⎡ a11 可將 ⎢⎢a 21 ⎢⎣ a31. a12. a13. a 22. a 23. a 32. a 33. ⎡1 0 若能簡化成 ⎢⎢0 1 ⎢⎣0 0. 1 0 0⎤ 0 1 0⎥⎥ 利用列運算簡化， 0 0 1⎥⎦ 0 b11 b12 b13 ⎤ 0 b21 b22 b23 ⎥⎥ ， 1 b31 b32 b33 ⎥⎦. ⎡b11 b12 則 A = B = ⎢⎢b21 b22 ⎢⎣b31 b32. b13 ⎤ b23 ⎥⎥ 。 b33 ⎥⎦ 反方陣求法(一般基本矩陣法)： 將 [A | I n ] → [I n | B ] ，即可求出， −1. 4.. 1 0 L L 0⎤ 0 1 0⎥⎥ M O M M O M⎥ ， ⎥ M O M M O M⎥ a n 2 L L a nn 0 0 L L 1⎥⎦ 0 L L 0 b11 b12 L L b1n ⎤ 1 L L 0 b21 b22 b2 n ⎥⎥ M O M M O M ⎥， ⎥ M O M M O M ⎥ 0 L L 1 bn1 bn 2 L L bnn ⎥⎦ 此即為同時求出數組聯立方程組的解之意， 即將高斯消去法合併處理之意。 [A | I n ] → [E1 A | E1I n ] → [E2 E1 A | E2 E1I n ] → L → [Ek Ek −1 L E1 A | Ek Ek −1 L E1I n ] → [I n | B ] ， 如此則左側變為 I n ，右側變為 B ， ⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 將⎢ M ⎢ ⎢ M ⎢⎣ a n1 ⎡1 ⎢0 ⎢ 化成 ⎢ M ⎢ ⎢M ⎢⎣0. a12 a 22. L L a1n L L a2n. 即 A 的乘法反矩陣，且 AB = BA = I n 。 此時 B = A−1 = Ek Ek −1 L E1 且 A = E1−1 L Ek −1 ， −1. −1. 且 AB = ( E1 L Ek )( Ek Ek −1 L E1 ) = I n −1. −1. 及 AB = ( Ek Ek −1 L E1 )( E1 L Ek ) = I n 。. 26.
(8) 5.. 求反矩陣例子： ⎡3 5⎤ 求A=⎢ ⎥ 的反矩陣的高斯消去法過程與其對應的矩陣運算： ⎣1 2⎦. ⎡3 5 1 0⎤ ⎢1 2 0 1⎥ ( ⇔ [ A | I ] ) ⎦ ⎣ ⎡ ⎡0 1 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎤ ⎡1 2 0 1⎤ →⎢ ( ⇔ ⎢⎢ ⎥ ⎥A⎢ ⎥I ⎥ ) ⎢⎣ ⎣1 0⎦ ⎣1 0⎦ ⎥⎦ ⎣3 5 1 0⎦ ⎡ ⎡ 1 0 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡ 1 0 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎤ ⎡1 2 0 1 ⎤ ( ⇔ ⎢⎢ →⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥A⎢ ⎥⎢ ⎥I ⎥ ) ⎢⎣ ⎣− 3 1⎦ ⎣1 0⎦ ⎣− 3 1⎦ ⎣1 0⎦ ⎥⎦ ⎣0 − 1 1 − 3⎦ ⎡ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡0 1⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡0 1⎤ ⎤ ⎡1 2 0 1⎤ ( ⇔ ⎢⎢ →⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥A⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥I ⎥ ) ⎢⎣ ⎣0 − 1⎦ ⎣− 3 1⎦ ⎣1 0⎦ ⎣0 − 1⎦ ⎣− 3 1⎦ ⎣1 0⎦ ⎥⎦ ⎣0 1 − 1 3⎦ ⎡1 0 2 − 5⎤ →⎢ ⎥ ⎣0 1 − 1 3 ⎦ ⎡ ⎡1 − 2⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡0 1⎤ ⎡1 − 2⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡0 1⎤ ⎤ ( ⇔ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥A⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥I ⎥ ) ⎢⎣ ⎣0 1 ⎦ ⎣0 − 1⎦ ⎣− 3 1⎦ ⎣1 0⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎣0 − 1⎦ ⎣− 3 1⎦ ⎣1 0⎦ ⎥⎦ ⎡0 1 ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡1 − 2 ⎤ , 設 E4 = ⎢ E E E , , = = = 3 2 1 ⎢1 0⎥ ， ⎢− 3 1⎥ ⎢0 − 1⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣0 1 ⎦ 則最後一式可改成 [ E 4 E3 E 2 E1 A | E 4 E3 E 2 E1 I ] ， −1. −1. −1. −1. 也就是 E 4 E3 E 2 E1 A = I ⇒ A = E1 E 2 E3 E 4 ， −1. −1. −1. −1. −1. −1. −1. −1. 可得 ( E 4 E3 E 2 E1 )( E1 E 2 E3 E 4 ) = ( E1 E 2 E3 E 4 )( E 4 E3 E 2 E1 ) = I ， 故 E 4 E3 E 2 E1 為 A 之乘法反元素， 由 (det E4 )(det E3 )(det E2 )(det E1 )(det A) = det I = 1 ， 也可知當 det A ≠ 0 時，乘法反矩陣存在。. 6.. ⎧ x1 + 2 x 2 + 3 x3 + x 4 = 2 ⎪ ⎪ x + 3x 2 + 3x3 + 2 x 4 = 4 對聯立方程組： ⎨ 1 可以寫成 AX = B ， ⎪2 x1 + 4 x 2 + 3 x3 + 3 x 4 = 5 ⎪⎩ x1 + x 2 + x3 + x 4 = 6. 1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 4⎥ x 2⎥ , X = ⎢ 2 ⎥, B = ⎢ ⎥ ， ⎢5⎥ ⎢ x3 ⎥ 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 1⎦ ⎣6⎦ ⎣ x4 ⎦ 先如下求出 A −1 ，則可得到解 X = A −1 B 。 ⎡1 2 3 1 1 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎢ 1 3 3 2 0 1 0 0⎥ ⎢ [A I ] = ⎢ 2 4 3 3 0 0 1 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣1 1 1 1 0 0 0 1⎥⎦ ⎡1 ⎢1 其中 A = ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣1. 2 3 4 1. 3 3 3 1. 27.
(9) 3 (−1) R1 + R2 ⎡1 2 ⎢ 0 (−2) R1 + R3 ⎢0 1 (−1) R1 + R4 ⎢0 0 − 3 ⎢ ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎣⎢0 − 1 − 2. 0 0 0⎤ ⎥ 1 − 1 1 0 0⎥ 1 − 2 0 1 0⎥ ⎥ 0 − 1 0 0 1⎦⎥. 1 1. 1 1 0 0 0⎤ ⎥ 1 − 1 1 0 0⎥ 0 − 3 1 − 2 0 1 0⎥ ⎥ 0 − 2 1 − 2 1 0 1⎥⎦ 2 3 1 1 0 0 0⎤ ⎥ 1 0 1 − 1 1 0 0⎥ 0 − 3 1 − 2 0 1 0⎥ ⎥ 1 2 2 0 0 − 1 − 1⎥ 3 3 3 ⎦ 2 3 1 1 0 0 0⎤ ⎥ 1 0 1 − 1 1 0 0⎥ 0 − 3 1 − 2 0 1 0⎥ ⎥ 0 0 1 − 2 3 − 2 3⎥⎦ 2 3 0 3 − 3 2 − 3⎤ ⎥ 1 0 0 1 − 2 2 − 3⎥ 0 − 3 0 0 − 3 3 − 3⎥ ⎥ 0 0 1 − 2 3 − 2 3 ⎦⎥. ⎡1 ⎢ (1) R2 + R4 ⎢0 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢0 ⎢ ⎢⎣0 ⎡1 ⎢ 2 (− ) R3 + R4 ⎢0 3 ⎢0 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢0 ⎢ ⎣ ⎡1 ⎢ (3) R4 ⎢0 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢0 ⎢ ⎢⎣0 (−1) R4 + R1 ⎡1 ⎢ (−1) R4 + R2 ⎢0 (−1) R4 + R3 ⎢0 ⎢ ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎣⎢0. 2 1. ⎡1 (−2) R2 + R1 ⎢ ⎢0 R3 + R1 ⎢0 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢ ⎢⎣0 ⎡1 1 ⎢ (− ) R3 ⎢0 3 ⎢0 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢ ⎣⎢0. 0. 3 0. 0⎤ ⎥ 1 0 0 1 − 2 2 − 3⎥ 0 − 3 0 0 − 3 3 − 3⎥ ⎥ 0 0 1 − 2 3 − 2 3 ⎥⎦ 0 0 0 1 −2 1 0⎤ ⎥ 1 0 0 1 − 2 2 − 3⎥ = [ I A−1 ] ⎥ 0 1 0 0 1 −1 1 ⎥ 0 0 1 − 2 3 − 2 3 ⎦⎥ 0 ⎤ ⎡ 2⎤ ⎡ − 1 ⎤ ⎡ 1 −2 1 ⎢ 1 − 2 2 − 3⎥ ⎢4⎥ ⎢− 14⎥ ⎥。 ⎥⎢ ⎥ = ⎢ 則可得 X = A −1 B = ⎢ ⎢0 1 − 1 1 ⎥ ⎢5⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣− 2 3 − 2 3 ⎦ ⎣6⎦ ⎣ 16 ⎦ 0. 0 1. −2. 28. 1.
(10) 7.. ⎡ 4 −1 −1 −1 1 0 ⎢ [A I ] = ⎢⎢−− 11 −41 −41 −− 11 00 10 ⎢ ⎣⎢− 1 − 1 − 1 4 0 0 ⎡1 1 ⎢ ( R2 + R3 + R4 ) + R1 ⎢− 1 4 ⎢− 1 − 1 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢ ⎢⎣− 1 − 1 ⎡1 1 1 1 1 R1 + R2 ⎢ R1 + R3 ⎢0 5 0 0 1 ⎢0 0 5 0 1 R1 + R4 ⎢ ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎣⎢0 0 0 5 1 1 ⎡ 1 ( ) R2 5 ⎢1 1 1 1 1 ⎢ 1 5 ( ) R3 ⎢0 1 0 0 1 5 ⎢0 0 1 0 5 ⎢ 1 ( ) R4 0 0 0 11 ⎢ 5 ⎢ 5 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎣ ⎡ 2 ⎢ (−1) R2 + R1 ⎢1 0 0 0 15 ⎢ (−1) R3 + R1 ⎢0 1 0 0 5 (−1) R4 + R1 ⎢0 0 1 0 1 ⎢ ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ⎢0 0 0 1 15 ⎢ 5 ⎣ ⎡2 1 1 1⎤ ⎢5 5 5 5⎥ ⎢1 2 1 1⎥ ⎢ ⎥ 即 A−1 = ⎢ 5 5 5 5 ⎥ 。 ⎢1 1 2 1⎥ ⎢5 5 5 5⎥ ⎢1 1 1 2⎥ ⎢ ⎥ ⎣5 5 5 5⎦. 0 0⎤ ⎥ 0 0⎥ 1 0⎥ ⎥ 0 1⎦⎥. 1 1 1 1 1 1⎤ ⎥ − 1 − 1 0 1 0 0⎥ 4 − 1 0 0 1 0⎥ ⎥ − 1 4 0 0 0 1⎥⎦ 1 1 1⎤ ⎥ 2 1 1⎥ 1 2 1⎥ ⎥ 1 1 2⎦⎥. 1 2 5 1 5 1 5. 1 1 5 2 5 1 5. 1⎤ 1⎥ 5⎥ 1⎥ ⎥ 5⎥ 2⎥ 5 ⎥⎦. 1 5 2 5 1 5 1 5. 1 5 1 5 2 5 1 5. 1⎤ 5 ⎥⎥ 1 ⎥ 5 ⎥ = [ I A −1 ] 1⎥ 5⎥ 2⎥ ⎥ 5⎦. 29.
(11) 【性質】 1. 有乘法反矩陣的充要條件為 det A ≠ 0 。 2. 若 AB = AC ， A 為方陣且 A −1 存在，則 B = C 。 3. AB 乘法反矩陣為 ( AB) −1 = B −1 A −1 ， 即 ( AB)( B −1 A −1 ) = A( BB −1 ) A −1 = A( I n ) A −1 = AA −1 = I n ， 且 ( B −1 A −1 )( AB) = B −1 ( A −1 A) B = B −1 ( I n ) B = BB −1 = I n 。. 4.. 5.. 6. 7. 8. 9.. ⎡a b ⎤ 若A=⎢ ⎥ ， det A ≠ 0 (反矩陣才存在)， ⎣c d ⎦ −b ⎤ ⎡ d ⎥ ⎢ 1 ⎡ d − b⎤ 1 ⎡ d − b⎤ 則 A −1 = ⎢ ad − bc ad − bc ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢− c a ⎥ 。 −c a − c a − det ad bc A ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎥ ⎢ ⎣ ad − bc ad − bc ⎦ 方陣 A 有乘法反矩陣的充要條件為 det A ≠ 0 。 註： 因聯立方程組有唯一解的充要條件為 det A ≠ 0 。 ( AB) T = B T AT 。 ( AT ) −1 = ( A −1 ) T (因 AT ( A−1 )T = ( A−1 A)T = I T = I )。 ( AB) −1 = B −1 A−1 。 反矩陣唯一性： 若 A 為方陣且 B, C 皆為 A 的反矩陣，則 B = C 。 證明： 設 B, C 皆為 A 的反矩陣 則 AB = BA = I 且 AC = CA = I 得 B = BI = B( AC ) = ( BA)C = IC = C 。. 30.
(12) 【思考】 生活中的事務，經量化後，有些問題可以藉著矩陣加以處理；首先將數據資料整 理並以矩陣表示，再配合其實值意義與矩陣運算的關係可處理之。尤其是與機率 有關的問題，矩陣之應用更是有利的工具。 【定義】 1. 機率矩陣（機率向量）： ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ 若 X = ⎢ 2 ⎥ ，且滿足 xi ≥ 0, (i = 1,2,L, n) ， ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦ n. 其中 ∑ xi = x1 + x2 + L + xn = 1 ， i =1. 2.. 則稱 X 是一個機率矩陣。 ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ 即若行矩陣 X = ⎢ 2 ⎥ 中的每一個行矩陣的元都是非負的實數， ⎢M⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦ 且各元的和為 1 ， 這種矩陣稱之為機率矩陣(或稱機率向量)。 轉移矩陣(特例)： ⎡t11 t12 t13 ⎤ 設矩陣 T = ⎢⎢t 21 t 22 t 23 ⎥⎥ ，其中各元 tij 都是非負實數， ⎢⎣t 31 t 32 t 33 ⎥⎦ 且每一行各元之和皆為 1 ，即 t1 j + t2 j + t3 j = 1, j = 1,2,3 ，. 3.. 稱矩陣 T 為轉移矩陣。 註： 轉移矩陣必須滿足下列兩個條件： (1)每一元都是一個非負的實數。 (2)每一行的各元相加之總和都等於 1 。 轉移矩陣(推移矩陣、隨機矩陣、馬可夫矩陣)(一般)： ⎡ a11 a12 L a1n ⎤ ⎢a a 22 L a 2 n ⎥⎥ 若 A = ⎢ 21 ， ⎢ M M M ⎥ ⎥ ⎢ ⎣a n1 a n 2 L a nn ⎦ 且滿足 aij ≥ 0, (i = 1,2,L, n; j = 1,2,L, n) ， n. 其中 ∑ aij = a1 j + a2 j + L + anj = 1, (1 ≤ j ≤ n) ， i =1. 則稱 A 是一個轉移矩陣。 註：. 31.
(13) ⎡ a11 ⎢a 即用 A = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣a n1. L a1n ⎤ a 22 L a 2 n ⎥⎥ ，表示從現在狀態 S1 , S 2 ,L , S n ， M M ⎥ ⎥ a n 2 L a nn ⎦ 至下一觀察期狀態 S1 , S 2 ,L , S n 的機率變換情形，. a12. 狀態. 形如. 下期狀態. 現在狀態 S1 S 2 L. Sn. L a1n. S1. a11. a12. S2 M. a21 M. a22 L a2 n M O M. Sn. an1. an 2 L ann. 32. 。.
(14) 【性質】. 1.. ⎡a1 ⎤ 令第 1 期狀態 X 1 = ⎢⎢ b1 ⎥⎥ ，其中 a1 , b1 , c1 都是非負實數，且 a1 + b1 + c1 = 1 ， ⎢⎣ c1 ⎥⎦ 又令 X n +1 = TX n ，即 X n +1 = T n X 1 。 ⎡ an ⎤ 若第 n 期狀態 X n = ⎢⎢ bn ⎥⎥ ，則 an , bn , cn 皆非負，且 an + bn + cn = 1 。 ⎢⎣ cn ⎥⎦ 在大部分情況下，可以證明 X n 會趨於穩定，. 2.. ⎡a ⎤ 假設 X = ⎢⎢b ⎥⎥ 是其穩定狀態( a, b, c 非負，且 a + b + c = 1 )，即 TX = X 。 ⎢⎣ c ⎥⎦ 穩定狀態： ⎡a ⎤ 通常情況下， X n 會趨於穩定，設 X = ⎢⎢b ⎥⎥ 是其穩定狀態，則 TX = X ， ⎢⎣ c ⎥⎦. 給定 T 時，可以 a, b, c 為未知數，由 TX = X 建立方程組，加上 a + b + c = 1 才 能求得解 a, b, c ，解之即得 X 。. 3.. L a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎥ ⎢x ⎥ a 22 L a 2 n ⎥ 是一個轉移矩陣，且 X = ⎢ 2 ⎥ 是一個機率矩陣， ⎢M⎥ M M ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ a n 2 L a nn ⎦ ⎣ xn ⎦ 則 aij ≥ 0(i = 1,2,L, n; j = 1,2,L, n) ，且 xi ≥ 0(i = 1,2,L, n) ，. ⎡ a11 ⎢a 若 A = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣a n1. a12. n. n. 其中 ∑ aij = a1 j + a2 j + L + anj = 1, (1 ≤ j ≤ n) ，且 ∑ xi = x1 + x2 + L + xn = 1 ， i =1. i =1. n. 則 AX 的每一個元 ∑ aik xk 都大於或等於零， k =1. ⎡ a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn ⎤ ⎢a x + a x + L + a x ⎥ 22 2 2n n ⎥ 且 AX = ⎢ 21 1 中各元相加的和也必等於 1 ， ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎣a n1 x1 + a n 2 x2 + L + a nn xn ⎦ (a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n ) + (a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n ). + L + (an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn ) = (a11 + a21 + L + an1 ) x1 + (a12 + a22 + L + an 2 ) x2 + L + (a1n + a2 n + L + ann ) xn = x1 + x2 + L + xn = 1 ， 所以 AX 也是一個機率矩陣。. 33.
(15) 4.. 設 A, B 皆為 n × n 階馬可夫矩陣，則 AB 也是馬可夫矩陣。 證明： 設 A = [aij ] n×n , B = [bij ] n×n ，且 ∀i, j , aij ≥ 0, bij ≥ 0 ， n. ∑ aij = 1, i =1. n. ∑b i =1. ij. = 1( j = 1,2,L, n) ，. 令 AB = [cij ] n×n ， n. n. i =1. i =1 n. 則 ∑ cij = ∑ (ai1b1 j + ai 2 b2 j + L + ain bnj ) n. n. i =1. i =1. = (∑ ai1 )b1 j + (∑ ai 2 )b2 j + L + (∑ ain )bnj = b1 j + b2 j + L + bnj = 1 ， i =1. 5.. 故 AB 也是馬可夫矩陣。 馬可夫性質： 若 A 是一個 n 階轉移矩陣，且 A 或 A 的某一次方的所有元都是正數，則對於 任意的 X 0，當 n 趨近無限大時，若 X n = A n X 0 會趨近一個行矩陣 X ，這個 X 滿足性質 ( A − I n ) X = O ，且 X 的各元之和為 1 。 證明： 若 lim X n = lim A n X 0 = X ， n →∞. n →∞. 則 X = lim X n+1 = lim AX n = A lim X n = AX n→∞. n→∞. n→∞. ⇒ AX = X ⇒ AX − X = O ⇒ ( A − I n ) X = O 又 X 之各元和為 1(機率矩陣)，故用上述性質可以求出 X 之各元的值。 註： ⎡0 0 1 ⎤ (1)一般的馬可夫鏈不一定會趨近穩定的狀態，例如 A = ⎢⎢1 0 0⎥⎥ 。(循環) ⎢⎣0 1 0⎥⎦. 6.. ⎡u ⎤ (2)點 P(u, v) ↔ 行矩陣(行坐標) ⎢ ⎥ 。 ⎣v ⎦ 若矩陣 A 為一馬可夫鏈的推移矩陣，其中 P 為 A 的穩定狀態矩陣，Q 為任一 狀態矩陣，則 lim A k Q = P 。 k →∞. 證明： lim A k Q = lim A k + h P ( 0) = lim P k + h = P 。 k →∞. k →∞. k →∞. 34.
(16) 【應用】 假設某地只有甲乙兩家工廠生產並販賣某一種產品，每一年甲工廠的顧客中有. 3 4. 1 1 轉向乙工廠購買此產品，只有 仍然向甲工廠購買；而乙工廠的顧客中有 轉向 4 3 2 甲工廠購買，其餘 的顧客仍然向乙工廠購買，則 3 一年、二年、三年後，甲乙兩家工廠的市場佔有率為何？ (1) (2)經過一段很長的時間後，最後甲乙兩工廠的市場佔有率為何？ 解答： 設甲乙兩工廠目前市場佔有率為 x0 , y 0 ，其中 x0 + y0 = 1 ， n 年後甲乙兩工廠市場佔有率分別為 x n , y n ， 1 1 第一年甲工廠的市場佔有率 x1 = x 0 + y 0 ， 4 3 3 2 乙工廠的市場佔有率 y1 = x0 + y 0 ， 4 3 ⎡1 1⎤ ⎢ ⎥ ⎡x ⎤ 令 A = ⎢ 4 3 ⎥ ，第 n 期的狀態為 P ( n ) = ⎢ n ⎥ ， 3 2 ⎣ yn ⎦ ⎢ ⎥ ⎣4 3⎦ (稱 P ( 0 ) , P (1) , P ( 2 ) ,L , P ( n ) 形成一個馬可夫鏈， 矩陣 A 稱為此馬可夫鏈的轉移矩陣或推移矩陣) ⎡1 1⎤ x ⎢ ⎥⎡ x ⎤ ⎡ ⎤ 則可用 P (1) = ⎢ 1 ⎥ = ⎢ 4 3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ = AP ( 0 ) 表示上述的關係， ⎣ y1 ⎦ ⎢ 3 2 ⎥ ⎣ y 0 ⎦ ⎣4 3⎦ 1 1 第二年甲工廠的市場佔有率 x 2 = x1 + y1 ， 4 3 3 2 乙工廠的市場佔有率 y 2 = x1 + y1 ， 4 3 2 ⎡1 1 ⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡ x2 ⎤ ⎢ 4 3 ⎥ ⎡ x0 ⎤ ⎢ 4 3 ⎥ ⎡ x1 ⎤ ( 2) 則P = ⎢ ⎥ = ⎢ =⎢ = AP (1) ， ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ y2 ⎦ ⎢ 3 2 ⎥ ⎣ y0 ⎦ ⎢ 3 2 ⎥ ⎣ y1 ⎦ ⎣4 3⎦ ⎣4 3⎦ 依據上述類推可得： n. ⎡1 1 ⎤ ⎡1 1 ⎤ x x ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ x ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ P ( n +1) = ⎢ n +1 ⎥ = ⎢ 4 3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ = ⎢ 4 3 ⎥ ⎢ n ⎥ = AP ( n ) ， ⎣ yn +1 ⎦ ⎢ 3 2 ⎥ ⎣ y0 ⎦ ⎢ 3 2 ⎥ ⎣ yn ⎦ ⎣4 3⎦ ⎣4 3⎦ 11 ⎤ ⎡ 5 11 ⎤ ⎡5 x0 + y0 x ⎢ ⎥ ⎢ ⎡ ⎤ 36 ⎥ ， 所以 P ( 2) = ⎢16 36 ⎥ ⎢ 0 ⎥ = ⎢16 11 25 ⎣ y0 ⎦ 11 25 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x0 + y0 ⎥ 36 ⎦ ⎣16 36 ⎦ ⎣16. 35.
(17) 133 ⎤ 133 ⎤ ⎡ 59 x0 + y0 ⎥ x ⎥ ⎢ ⎡ ⎤ 0 432 192 432 = ， P 299 ⎥ ⎢⎣ y0 ⎥⎦ ⎢132 299 ⎥ ⎥ ⎢ x0 + y0 ⎥ 432 ⎦ 432 ⎦ ⎣192 ⎡α ⎤ 經過多年之後的市場佔有率為 P = ⎢ ⎥ ， ⎣β ⎦ (n) 即 P = lim P ，且 α + β = 1 ， ( 3). ⎡ 59 ⎢ = ⎢192 132 ⎢ ⎣192. n→∞. ( n +1). 因為 P = AP ( n ) ， 所以 P = lim P ( n +1) = lim AP ( n ) = A lim P ( n ) n →∞. n→∞. n →∞. ⇒ P = AP ⇒ ( A − I ) P = O. 1 ⎧ 3 1 ⎤ ⎪⎪− 4 α + 3 β = 0 α ⎥ ⎡ ⎤ 3 =O ⇒⎨ 1 ⎥ ⎢⎣ β ⎥⎦ ⎪3α − 1 β = 0 − ⎥ ⎪⎩ 4 3⎦ 3 4 ⎧ ⎪α = 13 又α + β = 1 ⇒ ⎨ 。 9 ⎪β = 13 ⎩ 觀察可知： 1. A 的每一行都是非負的實數。 2. A 的每一行的元之和都等於 1 。 ⎡x ⎤ 3. P ( n ) = ⎢ n ⎥, x n + y n = 1 。 ⎣ yn ⎦ ⎡ 3 ⎢− ⇒⎢ 4 3 ⎢ ⎣ 4. 36.
(18)
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