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3 導數的應用

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Academic year: 2022

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(1)

3 導數的應用

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3.8 指數成長與遞減

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指數成長與遞減

在自然生態中,許多量的成長或遞減速率都與這個量本身的 大小成正比。例如 y = f(t) 代表某種動物或者細菌在時間 t 的 數量,而很合理的,其變化率 f’(t) 應與數量 f(t) 成正比,也 就是 f’(t) = kf(t) ,其中 k 為常數。

在適當條件下(不受空間/生長環境的限制), f’(t) = kf(t) 這個 數學方程式所給出的模型,的確能在短期內正確地預測 f(t) 的數量。

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指數成長與遞減

另一個常見的例子是關於核物理:放射性物質的質量耗散速 度與該量成正比。

或者在化學反應中,單一相異分子間的化合反應也會與濃度 成正比。

在財務上,存款的數量在複利計算下,其利息的增加速度也 會與其數量成正比。

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指數成長與遞減

如前所述,一般而言一個物種在時間 t 的數量 y(t) ,其變化 率正比於其數量 y(t) 。

其中 k 為常數。

這樣的方程式跟模型一般稱為自然生長律 (law of natural growth, 當 k > 0) 或者自然衰變律 (law of natural decay, 當 k < 0) 。

由於這牽涉到變數 y 跟其微分 y‘(t) ,因此這樣的方程式被稱

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指數成長與遞減

這個自然成長律方程的解不難想像:我們可以想的是,哪一 種函數的微分剛好是它自己乘上一個倍數?答案就是指數函 數。

我們可以寫下指數函數的形式 y(t) = Cekt 其中 C, k 均為常數,

微分後有:

y(t) = C(kekt) = k(Cekt) = ky(t)

(7)

指數成長與遞減

因此我們可以知道任意有這樣形式的函數 y = Cekt ,便會是 dy /dt = ky 的解。另外常數 C 的意義,我們可以從這裡觀察

y(0) = Cek 0 = C

其便是 y 在 t = 0 的初始值。我們之後會證明這樣的解,在 某種意義下會是唯一的解:

定理 微分方程式 dy/dt = ky 的唯一解為以下這樣的指數函數

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族群數量的成長

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族群數量的成長

至於代表變化律跟族群數量的比值,另一個常數 k ,我們把 方程式改寫成這樣:

此時這個常數:

成長率除以其族群數量是一個常數 k ,我們特別將其稱為相 對成長率 (relative growth rate).

(10)

族群數量的成長

從成長率除以族群數量的比值是一個常數的角度來看,與其 說族群生長率正比與其族群數量的規模,我們可以改一個說 法:這個族群的相對生長率是一個定值。

而此時,對於相對成長率為 k 的族群,其滿足族群成長模型 的解為指數函數 Cekt ,此時的 k 便是指數中時間 t 的係數,

表示族群數量對時間的指數成長。

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族群數量的成長

舉例說明,考慮這樣的方程式

時間 t 的單位為年,相對成長率 k = 0.02 ,表示族群數量的 (瞬間) 相對成長率為每年 2% 。

若族群數量在時間 t = 0 時為 P0 ,則我們可預期的族群數量 解為

P(t) = P0e0.02t

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範例一

世界人口在 1950 年時是 2億5600萬,而在 1960 年時是 3 億 400 萬,試以此數據建立 20 世紀世界人口數量的模型。

(假設族群的生長率正比於族群數量,並不考慮其他因素)

試問相對生長率為何?並利用此模型預測 1993 年以及 2020 年時的世界人口數目。

解:

首先我們以年為時間 t 之單位,並訂 t = 0 代表 1950 年。

另外我們以十萬為人口數目的單位,則有 P(0) = 2560

P(10) = 3040

(13)

範例一 / 解

根據假設,我們有微分方程式 dP/dt = Kp ,此時我們帶入兩 年的數值 :

P(t) = P(0)ekt = 2560ekt P(10) = 2560e10k = 3040 估算得

cont’d

(14)

範例一 / 解

因此年相對成長率為 1.7% ,而我們建立起來的模型為 P(t) = 2560e0.017185t

以此估計 1993 年的人口數量:

P(43) = 2560e0.017185(43)  5360 (十萬) 而以此估計 2020 年的人口數量:

P(70) = 2560e0.017185(70)  8524 (十萬)

cont’d

(15)

範例一 / 解

下圖一繪出這個模型預估整個二十世紀人口數量的圖形。

另外圖形中的點代表實際的世界人口數目。我們可以發現在 1993 年時,預估數目跟實際數目還算穩合,但到了晚期,

甚至到 2020 年,估測的數目便有稍稍偏離。

cont’d

人口數量 (十萬)

年份(1950過後)

(16)

輻射物質衰變

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輻射物質衰變

輻射物質會自發性衰變。令 m(t) 代表輻射物質自初始質量 m0 衰變經過時間 t 之後的質量,則其相對衰變速率為

也就是, m(t) 滿足方程式,

其中 k 為負常數。

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範例二

物理學家常用半衰期的描述來代替物質衰變的速率。

已知鐳-226 的半衰期是 1590 年,試問

(a) 試寫下最初有 100 毫克的鐳-226 在經過 t 年衰變後剩下 質量的函數 m(t)

(b) 求 1000 年過後的剩餘質量(四捨五入至最近的整數位毫 克)

(c) 何時會衰變剩下 30 毫克?

(19)

範例二 / 解

由方程式 dm/dt = km 以及初始質量 m(0) = 100 ,我們直接 帶入通解得到

m(t) = m(0)ekt = 100ekt

接著我們要利用半衰期求得衰變速率 k ,考慮到經過 1590 年後只剩下一半的質量,因此 m(1590) = 50 ,於是

100e1590k = 50 可得

取自然對數得到

cont’d

(20)

範例二 / 解

於是我們得到方程式

m(t) = 100e–(ln 2)t/1590

由於 eln 2 = 2 ,我們可以改寫函數為 m(t) = 100  2–t/1590

cont’d

(21)

範例二 / 解

(b) 帶入 1000 時可估算 (按計算機)

m(1000) = 100e–(ln 2)1000/1590  65 mg (c) 計算當 t 為何時有 m(t) = 30 ,即

100e–(ln 2)t/1590 = 30 或 e–(ln 2)t/1590 = 0.3 取自然對數,可得到:

=>

cont’d

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輻射物質的衰變

利用繪圖軟體可以劃出 m(t) 的圖形,同時我們也可以去看 m(t) 與水平線 m = 30 的交點,觀察是否吻合前面估算的數 值 2762 年。

(23)

牛頓的冷卻定律

(24)

牛頓的冷卻定律

關於物體的冷卻,牛頓觀察到:物體冷卻的速率,正比於該 物體跟室溫的溫差。(也或者,物體在溫水中加熱的速率。)

我們令T(t) 表示物體在時間 t 時的溫度, Ts 表示物體所在環 境週遭的溫度,則我們可以將此冷卻定律寫成以下的微分方 程式

其中 k 為一常數。

(25)

牛頓的冷卻定律

注意到這個方程式與前面兩個方程式的不同,在於其變化的 速率是跟溫差有關,因此多了一個常數 Ts 在裡面。

但我們可以令新的變數 y(t) = T(t) – Ts ,則此時方程式變成

於是我們可以利用前面推導的公式解,來計算這個問題。

(26)

範例三

將在室溫 72F 下的一瓶汽水放入溫度為 44F 的冰箱中,在 經過半小時後,汽水的溫度降至 61F 。試問:

(a) 另外再經過半個小時後,溫度為何?

(b) 汽水需要多少時間才能冷卻到 50F ?

(27)

範例三 / 解

(a) 我們假設 T(t) 為經過 t 小時的溫度,冰箱環境溫度 Ts 為 44F ,根據冷卻定律

另外定義 y = T – 44 ,於是有 y(0) = 72 – 44 = 28 ,改寫方 程:

y(0) = 28

根據公式解,我們有

y(t) = y(0)ekt = 28ekt

cont’d

(28)

範例三 / 解

根據條件, T(30) = 61 ,計算得 y(30) = 61 – 44 = 17 ,代

28e30k = 17

取自然對數,估計冷卻速率常數:

 –0.01663

cont’d

(29)

範例三 / 解

因此

y(t) = 28e–0.01663t

T(t) = 44 + 28e–0.01663t

T(60) = 44 + 28e–0.01663(60)

 54.3

可之若再經過半個小時,汽水溫度的估計值為 54 F 。

cont’d

(30)

範例三 / 解

(b) 希望 T(t) = 50 ,解方程式:

44 + 28e–0.01663t = 50

估計再 93 分鐘左右,汽水便會冷卻到 50F 。

cont’d

(31)

牛頓的冷卻定律

注意到在前例中,當時間 t 趨近無窮大:

這個結果也就是預期汽水會逐漸趨近到環境溫度 44 F ,函 數圖形如下

(32)

連續複利問題

(33)

範例四

假設現在有 1000 元的投資,每年會有 6% 的利息收入,以 複利計算。我們可以計算第一年後,這筆投資會成長為

1000(1.06) = 1060 而第二年後則成長為

[1000(1.06)]1.06 = 1123.60 更進一步,經過 t 年後,其總值則增加為

1000(1.06)t

一般來說,總量為 A0 的投資,假設獲利率為 r ,則經過 t 年 以後這筆投資會增長為

A (1 + r)t.

(34)

範例四

若我們將一年分為 n 期,每一期結算一次複利,則此時利率 便為 r/n ,而一年過後便剛好是第 n 期結算,第 t 年過後則 是第 nt 期結算,則此時這個結算後的值為:

舉例說明,年利率為 6% 的投資,三年後的計算結果為:

$1000(1.06)3 = $1191.02 ,若每年計算一次複利

$1000(1.03)6 = $1194.05 ,若每半年計算一次複利

cont’d

(35)

範例四

$1000(1.015)12 = $1195.62 ,若每一季計算一次複利

$1000(1.005)36 = $1196.68 ,若每月計算一次複利 甚至若我們考慮每天計算,則有:

我們觀察到,當複利週期短,結算的次數多,最後獲得的利 息會跟著增加。若我們考慮取 n  ,也就是想像複利的 結算是不停連續不斷的計算,則此時第 t 年過後結算的值,

便會是以下這個極限

cont’d

(36)

範例四

其中,中括號 [ ] 內的極限會收斂至自然底數 e 。

(其中 m = n /r )

cont’d

(37)

範例四

於是在連續結算複利的情況下,年利率為 r 經過 t 年複利後 的結算值為

A(t) = A0ert 我們對此函數微分可得

這個式子的意義也就是說,在連續結算複利的情況下,投資 增加的速率會正比於其當下結算的投資額。(錢滾錢!!)

cont’d

(38)

範例四

回到先前的範例,若考慮 1000 元在年利率 6% 的情況下,

連續時間結算複利,在三年過後這筆投資的錢將會增值到

A(3) = $1000e(0.06)3 = $1197.22

注意到雖然仍比每天複利得到的 1197.20 要多,但這個值非 常接近。

cont’d

參考文獻

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