3 導數的應用

3 ^{導數的應用}

3.8 ^{指數成長與遞減}

指數成長與遞減

在自然生態中，許多量的成長或遞減速率都與這個量本身的 大小成正比。例如 y = f(t) 代表某種動物或者細菌在時間 t 的 數量，而很合理的，其變化率 f’(t) 應與數量 f(t) 成正比，也 就是 f’(t) = kf(t) ，其中 k 為常數。

在適當條件下(不受空間/生長環境的限制)， f’(t) = kf(t) 這個 數學方程式所給出的模型，的確能在短期內正確地預測 f(t) 的數量。

指數成長與遞減

另一個常見的例子是關於核物理：放射性物質的質量耗散速 度與該量成正比。

或者在化學反應中，單一相異分子間的化合反應也會與濃度 成正比。

在財務上，存款的數量在複利計算下，其利息的增加速度也 會與其數量成正比。

指數成長與遞減

如前所述，一般而言一個物種在時間 t 的數量 y(t) ，其變化 率正比於其數量 y(t) 。

其中 k 為常數。

這樣的方程式跟模型一般稱為自然生長律 (law of natural growth, 當 k > 0) 或者自然衰變律 (law of natural decay, 當 k < 0) 。

由於這牽涉到變數 y 跟其微分 y‘(t) ，因此這樣的方程式被稱

指數成長與遞減

這個自然成長律方程的解不難想像：我們可以想的是，哪一 種函數的微分剛好是它自己乘上一個倍數？答案就是指數函 數。

我們可以寫下指數函數的形式 y(t) = Ce^kt 其中 C, k 均為常數，

微分後有：

y(t) = C(ke^kt) = k(Ce^kt) = ky(t)

指數成長與遞減

因此我們可以知道任意有這樣形式的函數 y = Ce^kt ，便會是 dy /dt = ky 的解。另外常數 C 的意義，我們可以從這裡觀察

y(0) = Ce^{k  0} = C

其便是 y 在 t = 0 的初始值。我們之後會證明這樣的解，在 某種意義下會是唯一的解：

定理 微分方程式 dy/dt = ky 的唯一解為以下這樣的指數函數

族群數量的成長

族群數量的成長

至於代表變化律跟族群數量的比值，另一個常數 k ，我們把 方程式改寫成這樣：

此時這個常數：

成長率除以其族群數量是一個常數 k ，我們特別將其稱為相 對成長率 (relative growth rate).

族群數量的成長

從成長率除以族群數量的比值是一個常數的角度來看，與其 說族群生長率正比與其族群數量的規模，我們可以改一個說 法：這個族群的相對生長率是一個定值。

而此時，對於相對成長率為 k 的族群，其滿足族群成長模型 的解為指數函數 Ce^kt ，此時的 k 便是指數中時間 t 的係數，

表示族群數量對時間的指數成長。

族群數量的成長

舉例說明，考慮這樣的方程式

時間 t 的單位為年，相對成長率 k = 0.02 ，表示族群數量的 (瞬間) 相對成長率為每年 2% 。

若族群數量在時間 t = 0 時為 P₀ ，則我們可預期的族群數量 解為

P(t) = P₀e^0.02t

範例一

世界人口在 1950 年時是 2億5600萬，而在 1960 年時是 3 億 400 萬，試以此數據建立 20 世紀世界人口數量的模型。

(假設族群的生長率正比於族群數量，並不考慮其他因素)

試問相對生長率為何？並利用此模型預測 1993 年以及 2020 年時的世界人口數目。

解:

首先我們以年為時間 t 之單位，並訂 t = 0 代表 1950 年。

另外我們以十萬為人口數目的單位，則有 P(0) = 2560

P(10) = 3040

範例一 / 解

根據假設，我們有微分方程式 dP/dt = Kp ，此時我們帶入兩 年的數值 :

P(t) = P(0)e^kt = 2560e^kt P(10) = 2560e^10k = 3040 估算得

cont’d

範例一 / 解

因此年相對成長率為 1.7% ，而我們建立起來的模型為 P(t) = 2560e^0.017185t

以此估計 1993 年的人口數量：

P(43) = 2560e0.017185(43)  5360 (十萬) 而以此估計 2020 年的人口數量：

P(70) = 2560e0.017185(70)  8524 (十萬)

cont’d

範例一 / 解

下圖一繪出這個模型預估整個二十世紀人口數量的圖形。

另外圖形中的點代表實際的世界人口數目。我們可以發現在 1993 年時，預估數目跟實際數目還算穩合，但到了晚期，

甚至到 2020 年，估測的數目便有稍稍偏離。

cont’d

人口數量 (十萬)

年份(1950過後)

輻射物質衰變

輻射物質衰變

輻射物質會自發性衰變。令 m(t) 代表輻射物質自初始質量 m₀ 衰變經過時間 t 之後的質量，則其相對衰變速率為

也就是， m(t) 滿足方程式，

其中 k 為負常數。

範例二

物理學家常用半衰期的描述來代替物質衰變的速率。

已知鐳-226 的半衰期是 1590 年，試問

(a) 試寫下最初有 100 毫克的鐳-226 在經過 t 年衰變後剩下 質量的函數 m(t)

(b) 求 1000 年過後的剩餘質量(四捨五入至最近的整數位毫 克)

(c) 何時會衰變剩下 30 毫克?

範例二 / 解

由方程式 dm/dt = km 以及初始質量 m(0) = 100 ，我們直接 帶入通解得到

m(t) = m(0)e^kt = 100e^kt

接著我們要利用半衰期求得衰變速率 k ，考慮到經過 1590 年後只剩下一半的質量，因此 m(1590) = 50 ，於是

100e^1590k = 50 可得

取自然對數得到

cont’d

範例二 / 解

於是我們得到方程式

m(t) = 100e–(ln 2)t/1590

由於 e^{ln 2} = 2 ，我們可以改寫函數為 m(t) = 100  2^–t/1590

cont’d

範例二 / 解

(b) 帶入 1000 時可估算 (按計算機)

m(1000) = 100e–(ln 2)1000/1590  65 mg (c) 計算當 t 為何時有 m(t) = 30 ，即

100e–(ln 2)t/1590 = 30 或 e–(ln 2)t/1590 = 0.3 取自然對數，可得到：

=>

cont’d

輻射物質的衰變

利用繪圖軟體可以劃出 m(t) 的圖形，同時我們也可以去看 m(t) 與水平線 m = 30 的交點，觀察是否吻合前面估算的數 值 2762 年。

牛頓的冷卻定律

牛頓的冷卻定律

關於物體的冷卻，牛頓觀察到：物體冷卻的速率，正比於該 物體跟室溫的溫差。（也或者，物體在溫水中加熱的速率。）

我們令T(t) 表示物體在時間 t 時的溫度， T_s 表示物體所在環 境週遭的溫度，則我們可以將此冷卻定律寫成以下的微分方 程式

其中 k 為一常數。

牛頓的冷卻定律

注意到這個方程式與前面兩個方程式的不同，在於其變化的 速率是跟溫差有關，因此多了一個常數 T_s 在裡面。

但我們可以令新的變數 y(t) = T(t) – T_s ，則此時方程式變成

於是我們可以利用前面推導的公式解，來計算這個問題。

範例三

將在室溫 72F 下的一瓶汽水放入溫度為 44F 的冰箱中，在 經過半小時後，汽水的溫度降至 61F 。試問：

(a) 另外再經過半個小時後，溫度為何？

(b) 汽水需要多少時間才能冷卻到 50F ？

範例三 / 解

(a) 我們假設 T(t) 為經過 t 小時的溫度，冰箱環境溫度 T_s 為 44F ，根據冷卻定律

另外定義 y = T – 44 ，於是有 y(0) = 72 – 44 = 28 ，改寫方 程：

y(0) = 28

根據公式解，我們有

y(t) = y(0)e^kt = 28e^kt

cont’d

範例三 / 解

根據條件， T(30) = 61 ，計算得 y(30) = 61 – 44 = 17 ，代 入

28e^30k = 17

取自然對數，估計冷卻速率常數：

 –0.01663

cont’d

範例三 / 解

因此

y(t) = 28e^–0.01663t

T(t) = 44 + 28e^–0.01663t

T(60) = 44 + 28e–0.01663(60)

 54.3

可之若再經過半個小時，汽水溫度的估計值為 54 F 。

cont’d

範例三 / 解

(b) 希望 T(t) = 50 ，解方程式：

44 + 28e^–0.01663t = 50

估計再 93 分鐘左右，汽水便會冷卻到 50F 。

cont’d

牛頓的冷卻定律

注意到在前例中，當時間 t 趨近無窮大：

這個結果也就是預期汽水會逐漸趨近到環境溫度 44 F ，函 數圖形如下

連續複利問題

範例四

假設現在有 1000 元的投資，每年會有 6% 的利息收入，以 複利計算。我們可以計算第一年後，這筆投資會成長為

1000(1.06) = 1060 而第二年後則成長為

[1000(1.06)]1.06 = 1123.60 更進一步，經過 t 年後，其總值則增加為

1000(1.06)^t

一般來說，總量為 A₀ 的投資，假設獲利率為 r ，則經過 t 年 以後這筆投資會增長為

A (1 + r)^t.

範例四

若我們將一年分為 n 期，每一期結算一次複利，則此時利率 便為 r/n ，而一年過後便剛好是第 n 期結算，第 t 年過後則 是第 nt 期結算，則此時這個結算後的值為：

舉例說明，年利率為 6% 的投資，三年後的計算結果為：

$1000(1.06)³ = $1191.02 ，若每年計算一次複利

$1000(1.03)⁶ = $1194.05 ，若每半年計算一次複利

cont’d

範例四

$1000(1.015)¹² = $1195.62 ，若每一季計算一次複利

$1000(1.005)³⁶ = $1196.68 ，若每月計算一次複利 甚至若我們考慮每天計算，則有：

我們觀察到，當複利週期短，結算的次數多，最後獲得的利 息會跟著增加。若我們考慮取 n  ，也就是想像複利的 結算是不停連續不斷的計算，則此時第 t 年過後結算的值，

便會是以下這個極限

cont’d

範例四

其中，中括號 [ ] 內的極限會收斂至自然底數 e 。

(其中 m = n /r )

cont’d

範例四

於是在連續結算複利的情況下，年利率為 r 經過 t 年複利後 的結算值為

A(t) = A₀e^rt 我們對此函數微分可得

這個式子的意義也就是說，在連續結算複利的情況下，投資 增加的速率會正比於其當下結算的投資額。(錢滾錢!!)

cont’d

範例四

回到先前的範例，若考慮 1000 元在年利率 6% 的情況下，

連續時間結算複利，在三年過後這筆投資的錢將會增值到

A(3) = $1000e^(0.06)3 = $1197.22

注意到雖然仍比每天複利得到的 1197.20 要多，但這個值非 常接近。

cont’d