波動度交易之風險與報酬-跳躍模型的應用

國 立 交 通 大 學

財務金融研究所碩士班

碩 士 論 文

波動度交易之風險與報酬:

跳躍模型的應用

The risk and return of Volatility trading :

The application of GARCH-Jump model

研 究 生：陳冠凱

指導教授：鍾惠民 博士

波動度交易之風險與報酬

-跳躍模型的應用

The risk and return of Volatility trading :

The application of GARCH-Jump model

研究生:陳冠凱 student : Guan-Kai Chen 指導教授:鍾惠民 Advisor :Huimin Chung

國立交通大學

財務金融研究所

碩士論文 A Thesis

Submitted to Graduate Institute of Finance College of Management

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of Requirements

for the Degree of Master

Of

Science in Finance June 2005

Hsinchu ,Taiwan ,Republic of China 中華民國

波動度交易之風險與報酬

-跳躍模型的應用

研究生:陳冠凱 指導教授:鍾惠民 國立交通大學財務金融研究所 摘要 本文使用多個模型來估計台灣選擇權市場的波動性，希望透過考慮 隨時間變化的跳躍頻率(jump intensity)和跳躍規模(jump size)的 GARJI 模型，能在金融市場上有較好的表現。

除了 GARJI 模型外，我們也使用其他波動度模型（GARCH、GJR-T、 EGARCH、歷史波動度、隱含波動率模型）一起比較對已實現波動率的 預測能力。本文使用三種方式：第一種為均方根誤差(root of mean squared error)RMSE。第二種方式為：利用所有的模型所估計出來的波動度對已 實現波動度跑單一廻歸，檢驗其係數是否顯著，並且比較調整後的 R-square。第三種方式為：使用隱含波動率和其他模型的波動度來跑包 含廻歸，檢定增加的波動度是否可以增加對已實現波動度的解釋能力。 根據我們的研究結果指出，GARJI 模型不管是在單一廻歸和包含廻歸 中，係數都相當顯著，顯示岀除了對已實現波動有預測能力外，且能夠 得到隱含波動度所不足的訊息。 但是，要在金融市場上有良好的運用才是我們主要的目的。因此利 用 GARJI 模型在波動度較佳的預測能力下 trading Straddle，看其是否能 在台灣選擇權市場上能否有好的獲利表現。結果顯示在未考慮手續費 時，我們每天有平均 2.8574%的日報酬率，但是考慮手續費後，日報酬 率為 2.6047%。

The risk and return of Volatility trading :

The application of GARCH-Jump model

student :Guan-Kai Chen Advisor :Huimin Chung

Institute of Finance

National Chiao Tung University

Abstract

This paper considers the forecasting performance of volatility models with applications in options trading strategies in Taiwan option market. The results reveal that the GARJI model that considering jump intensity and jump size can help us with better performance in the financial market. We compare GARJI model with other models, such as GARCH, GJR-T, EGARCH, historical volatility and implied volatility, to examine which is better in prediction. The three methods to evaluate the performance of volatility forecast in this paper are Root of Mean Squared Error (RMSE), Univariate regression and Encompassing regression. According to our results, GARJI model not only has better ability to predict the volatility, but also gets more information content. Besides, by trading straddle, the average profits are 2.8574% and 2.6047% in Taiwan option market with and without transaction cost, respectively.

誌謝

研究生生活轉眼間便要接近尾聲了，感謝交通大學提供內容豐富的 教學資源以及財金所開設許多前瞻性的課程，並且感謝資工、資科的老 師，在這兩年間的求學期間，我受益匪淺。 首先，我要感謝我的指導教授鍾惠民博士，於研究期間以其豐富的 經驗，賜與我許多寶貴的觀點，讓論文的內容更加豐富。此外，也感謝 三位口試委員，抽空審定我的論文以及給我的指正和建議。 -94.6.30 陳冠凱

目錄

中文摘要... I 英文摘要...II 誌謝... III 目錄... IV 圖目錄... VI 表目錄...VII 第壹章、緒論... 1 1.1 研究動機... 1 1.2 研究目的... 1 第貳章、相關文獻探討 ... 2 2.1 跳躍模型的文獻整理... 2 2.2 波動度交易... 4 第參章、資料選取和研究方法 ... 6 3.1 資料處理... 6 3.2 各種波動度模型... 6 3.2.1 GARCH Model ... 6 3.2.2 GJR-T Model ... 7 3.2.3 EGARCH Model... 8 3.2.4 GARJI Model... 9

3.2.5 歷史波動率模型(Historical volatility Model) ... 12

3.2.6 已實現波動度(Realized volatility) ... 13

3.2.7 隱含波動率(Implied volatility) ... 13

3.3 預測能力的比較... 14

3.3.1 均方根誤差(root of mean square) ... 15

3.3.2 單一迴歸(Univariate regression)... 15 3.3.3 包含迴歸(Encompassing regression) ... 15 3.4 交易策略利潤的比較... 16 3.4.1 夏普指數(Sharpe measure) ... 16 3.4.2 風險值(Value at risk)... 17 第肆章、實證結果與分析 ... 17 4.1 個別模型預測值的基本敘述... 17 4.2 預測能力的比較... 22 4.3 交易策略... 24 4.4 分析原因... 25 第伍章 結論... 29 參考文獻... 30 附錄一：各波動度模型樣本外預測波動度 ... 33

附錄二：賣權隱含波動率表格 ... 41 附錄三：補充 Black Model 的 Greek 值... 43 附錄四：價平選擇權，vega 值最大的推導... 44

圖目錄

圖一： GARCH & RV 波動度預測 ... 19 圖二： GJR-T & RV 波動度預測 ... 20 圖三： GARJI & RV 波動度預測... 20 圖四： EGARCH & RV 波動度預測... 20 圖五： HV & RV 波動度預測 ... 21 圖六： IV-call & RV 波動度預測 ... 21 圖七： GARCH 系列 & RV 波動度預測 ... 21

圖八： GARJI ,HV,IV & RV 波動度預測 ... 22

表目錄

表 1：波動度價差介紹 ... 5 表 2：模型預測值的基本統計量 ... 17 表 3：GARCH 系列模型的最後一次樣本外預測參數估計結果 ... 18 表 4：單一迴歸 (每天估計的波動度) 使用買權的隱含波動率 ... 22 表 5：包含迴歸 (每天估計的波動度) 使用買權的隱含波動率 ... 23 表 6：各模型買賣 straddle 基本資料... 25 表 7：每日報酬率(未考慮交易成本)的表格... 25 表 8：每日報酬率(考慮交易成本)的表格... 25 表 9：各模型最大獲利日 straddle 實際價格和預估價格 ... 26 表 10：各模型最大損失日 straddle 實際價格和預估價格 ... 27 表 11：各個模型在 92 年 7 月 11 號的績效表... 27 附錄一 1-1：樣本外預測 GARCH Volatility ... 33 1-2：樣本外預測 EGARCH Volatility... 34 1-3：樣本外預測 GJR_T Volatility... 35 1-4：樣本外預測 GARJI Volatility... 36 1-5：樣本外預測 HV Volatility ... 37 1-6：樣本外預測 IV Volatility ... 38 1-7：樣本外預測 RV Volatility ... 39 1-8：台灣加權指數報酬率基本統計量 ... 40 附錄二 2-1： 單一迴歸(每天估計的波動度) 使用賣權的隱含波動率 ... 41 2-2： 包含迴歸(每天估計的波動度) 使用賣權的隱含波動率 ... 42

第壹章、緒論

1.1 研究動機 在金融市場上，無論是在衍生性商品的定價、風險管理或選擇權的 交易上，金融商品的波動性皆扮演著舉足輕重的角色。 由 Black-Scholes 選擇權訂價模型可以看出波動度的重要性，雖然波 動性只是其中一個決定選擇權價格的因素，但是，其他四個變數可以直 接由市場上觀察而得，只有波動性需要事前預測。因此，我們可以認定 波動度乃為選擇權價格的主要決定因素。 傳統所研究的 GARCH 和隨機波動模型雖然對於風險之捕抓有不錯 的表現，然而此類模型對於市場突發事件所產生之跳躍現象的描述皆有 所不足，我們想透過考慮跳躍頻率和跳躍規模的 GARJI 模型來補抓市場 波動度，並與傳統模型如 GARCH、GJR-T、EGARCH、歷史波動度與 隱含波動率模型一起比較對已實現波動率的預測能力，藉由考慮了跳躍 現象的模型相較於傳統模型是否能有更好的表現。 1.2 研究目的 近年來的眾多文獻皆說明了跳躍現象對波動度的重要性，若是能夠 考慮跳躍現象，對於波動度的預測能力有很大的幫助。本篇論文將以考 慮跳躍現象的 GARJI 模型和傳統上的模型(GARCH，GJR-T，EGARCH， 隱含波動度，歷史波動度)來比較波動度預測能力和市場上的投資績效。 本研究的預測能力評估採用三種方法，1.均方根誤差(RMSE)。2.單一迴 歸。3.包含迴歸。並且從第 2 和第 3 種方法，比較每個模型的調整後的 R-square。 其次，本研究將理論與實務相結合，當模型的波動度預測出來後， 配合嚴謹的交易策略(除了以買賣價差為濾嘴(filter)外，並考慮交易成 本)，在台灣的選擇權市場中交易波動度。然後以夏普指數(Sharpe measure)和風險值來和同時段的台灣加權指數來比較。探討報酬率的最 大值和最小值發生的情況和原因。研究結果發現有考慮跳躍的 GARJI 模型，不管是在預測能力上，或在金融實務上都有較為傑出的表現。

第貳章、相關文獻探討

由於大部分的文獻已經對 GARCH，GJR-GARCH，EGARCH，隱含 波動率，歷史波動度作過文獻探討，本文將只針對跳躍(Jump)模型做文 獻探討的整理。 2.1 跳躍模型的文獻整理 過去的數十年來，對於投機性市場報酬做過大量的統計分析。從這 些重要的實證結果即可發現資產報酬接近平賭差分序列(martingale difference sequence)，條件變異數會隨著時間變化，非條件變異數的分配 為高峽峰(leptokurtosis)等。 傳統的研究使用 GARCH 或 SV 模型，藉著條件變異數的自我迴歸 過程，來提供ㄧ個好的統計測量。但是，不管是 GARCH 或 SV 模型都 是設計用來描述波動度平滑且持續的改變，這些模型並不適合解釋資產 報酬突然大規模的改變。

Anderson, Benzoni, and Lund(1999) ;Gallant, Hsieh, and Tauchen (1997) 都提到在投機性較高的市場，需要捕抓到資料中報酬率跳躍的特性。 Bakshi, Cao, and Chen(1997) ;Bates (1996)也提到在投機度較高的市場， 要有辦法描述到資料中報酬率跳躍的特性，才能夠避免在選擇權市場上 的錯誤定價。除此之外，還有大量的文獻說明了在統計上和資產定價上 跳躍的重要性。

Press(1967)將基本的普瓦松跳躍模型(Possion jump model)應用在金 融市場上，稱為合成事件模型(compound events model)，此模型可以改 善在一段固定期間中價格改變的隨機數。普瓦松分配假設事件的發生數 決定了價格的改變，而一段期間中平均事件發生數，我們稱之為頻率。 所有的波動度過程通常都假設股票報酬率的跳躍規模是隨機且常態分 配的。有些早期的實證都證明了 Press 的模型是有用的，Akgiray and Booth(1998), Tucker and Pond(1988) , and Hsieh(1989)發現常態普瓦松跳 躍(normal-Possion jump)模型應用在匯率市場上有好的表現。Ball and Torous(1983)應用在美國股票市場上也有類似的結果。

基本的跳躍模型可以延伸至兩種模型上。第一種，在連續時間模型 上， SV 跳躍模型需要到使用模擬方法。如：Andersen et al. (1998), Craine, Lochstoer, and Syrtveit (2000) ,Chernov, Gallent, Ghysels, and Tauchen (2003), Eraker, Johannes, and Polson (2003)。第二種，在離散時間模型上， 直接結合跳躍模型和 GARCH 或 ARCH 模型。讓 GARCH 模型解釋波動 度平滑的改變，而讓跳躍解釋波動性突然性的大規模改變。如：Jorion

(1988), Nieuwland, Vershchoor, and Wolff (1994),Vlaar, and Palm(1993)。

GARCH-jump 這個混合模型在初期的發展是假設由不變的普瓦松分 配(Possion distribution)支配跳躍機率。然而，後來的一些文獻發現跳躍 機率是會隨著時間而改變的。Bates(1991)的研究就發現 1987 年美股崩 盤前後的跳躍機率是不同的。 最近的研究延伸了傳統的理論架構，提出了隨著時間變化的跳躍模 型。Chernov et al. (1999)假設這一期的跳躍頻率由前ㄧ期的跳躍規模決 定。Eraker et al. (1999)則在報酬率和波動度上考慮跳躍現象。 跳躍頻率可能只是條件跳躍動態過程在股市報酬率上的ㄧ個觀 點。特別的是，這個分配所支配的跳躍規模(jump size)可能會隨著時間 而變化。為了證明這一點， Chan and Maheu(2002) 假設跳躍規模的分 配是服從常態分配，但是允許條件平均數和條件變異數會受到過去資訊 的影響。Chan and Maheu 研究股票市場中的動態過程，使用 GARCH 的 結構加上 ARJI 模型，而且將這模型應用在超過 72 年日資料的道瓊工業 指數(DJIA)。透過推論事後分配在時點 t 的跳躍的濾嘴，他們發現美國 道瓊工業指數的跳躍頻率並非是ㄧ成不變的。除此之外，低階的 ARJI 模型在時間變化中能夠補抓到條件跳躍頻率。 在他們的研究上指出，在股票市場上的條件跳躍頻率，其自我迴歸 過程是正向相關且持續很久的。與 GARCH 變異數的參數類似，若今天 跳躍的機率很高的話，往往明天的跳躍機率也會很高，但跳躍通常是很 少發生的。然而，在 Chan and Maheu 的資料中，跳躍頻率在時間上會 有重大變化。舉例來說，從 1940 年起至 1950，每日的跳躍頻率範圍由 0.03 到 2.02 之間，這代表有些期間預期幾乎沒有跳躍(0.03)，有些期間 預期只有幾個跳躍(2.02)。他們並發現在 1929 年和 1987 年的大崩盤中， 條件跳躍頻率有明顯的增加趨勢。

若能允許跳躍規模分配的條件變異數和所衡量的市場波動度(過去 的報酬率平方)是線性相關的，將可以改善模型在樣本內的配適和對波 動度在樣本外的預測。Chan and Maheu 的模型確定了當條件跳躍規模的 改變造成市場衝擊(指壞消息)後，市場將會重整。舉例來說，當市場衰 退大於 2.5%或更多，暗示將在下ㄧ期會有正的條件跳躍規模。因此， 在股票市場遭受衝擊的隔天，跳躍的機率並不一定會降低，而是負向跳 躍的機率降低，而正向跳躍的機率提高了。 為了說明跳躍頻率的重要性，本研究提出一個離散時間的模型，其 條件跳躍頻率是一個內生的自我迴歸過程。為了使我們的估計更為直 接，我們假設條件跳躍頻率可以由過去的資訊中所產生。在我們的模型 中，跳躍是不可觀察的且很難去直接分析的。研究方法的第一步就是提 出一個濾嘴來推論事後分配在時點 t 的跳躍。使用這個濾嘴，我們接下 來可以將衝擊建構在跳躍的期望數。在時點 t 的衝擊可以提供我們下ㄧ 期條件跳躍頻率的基本資訊，我們這個自我迴歸條件(autoregressive conditional jump intensity )(ARJI)模型即代表了跳躍強度滿足自動移動 平均廻歸(autoregressive moving average)ARMA 過程。

本研究的模型在這裡和 Markov switching 模型有點相似，像是 Hamilton and Susmel(1994)所假設未觀察的馬可夫鏈(Markov chain)引導 報酬率的動態過程；和 Markov switching 模型相同，跳躍是離散且不可 觀察的。不同的是，我們模型的跳躍可由序列相關的普瓦松過程所支配。 本文使用的研究方法在偵測跳躍頻率上有好幾個優點。第一，因為 跳躍頻率是屬於 ARMA 過程的形式，所以它能夠處理序列相關的問題。 第二，而且它的最大概似估計(Maximum likelihood estimation)是很容易 計算的。最後，由估計所得到的濾嘴可以提供關於過去發生事件的事後 (ex post)推論，因此我們可以由過去資訊中得到跳躍頻率。 2.2 波動度交易 清楚了波動度在選擇權交易上的重要性後，我們藉著要選擇好的波 動度測量，才能夠在各類模型估計出較佳的波動度後，作出良好的應 用。為了加強獲利性，本研究選擇將波動度交易應用在選擇權上，因為 選擇權可以說是衍生性商品的基礎，除了交易成本低，可以小博大，且 隨著多空方向不同，有多種不同的操作策略的特色。而在選擇權方面，

又有多種不同的波動度價差。一般將所估計的波動性應用在 trading volatility 上，有五種 volatility spread 應用方式，如 Straddle、Strangle、 Butterfly、Condor、Iron Butterfly。

表 1：波動度價差介紹

名稱 定義

Straddle Long straddle 是指同時購買相同履約價和_{相同到期日的買權和賣權。}

Short straddle 是指同時賣出相同履約價和 相同到期日的買權和賣權。 Strangle Long strangle 是指同時購買不同履約價和 相同到期日的買權和賣權。 Short strangle 是指同時賣出不同履約價和 相同到期日的買權和賣權。 Butterfly Butterfly 價差涉及到三個不同履約價的選 擇權。買一個較低履約價 k1 的買權，買一 個較高履約價 k3 的買權，賣出兩個接近現 在股價的履約價 k2 的買權。 Condor Condor 價差和 Butterfly 價差非常類似。 唯一不同的地方在於，它賣出的兩個 k2 履約價是不同履約價的。 Iron Butterfly

Iron Butterfly 和 Butterfly 價差類似，用到 三個不同履約價的選擇權。買進一個 k2 的買權和賣權，但是再發行一個 k1 的買權

和 k3 的賣權。

在 Chaput and Ederington (2002)的論文中，他們選擇了 Straddle 和 Strangle 來做研究，因為，在考慮交易成本下，Butterfly，Iron Butterfly， 和 Condor 會有較差的表現。Butterfly，Iron Butterfly，和 Condor 都需要 兩個以上的選擇權。在本質上，Straddle 和 Strangle 是最相似的，也可 以將 Straddle 可視為買權和賣權兩個選擇權價差為零的 Strangle。

而 我 們 選 擇 的 台 灣 選 擇 權 市 場 ， 對 於 兩 個 以 上 的 選 擇 權 ， 如 Butterfly，Iron Butterfly，和 Condor，並沒有手續費減免，於是在本論 文中會選擇價平 Straddle 來做交易。

度代進 Black-Scholes 模型，因為 Bakshi , Cao and Chen(1997)發現價平(at the money)選擇權的表現在 Black-Scholes 模型較 Stochastic Volatility 模型 為佳，因此，我們使用 Black-Scholes 模型來衡量選擇權價格。

第參章、資料選取和研究方法

3.1 資料處理 本研究主要是針對台灣金融市場中的指數選擇權市場進行研究。在 台灣加權指數方面，選取 88 年 1 月 5 日到 93 年 8 月 30 日作為研究期 間，因為 GARCH，GJR-T，GARJI，EGARCH 需要較多的樣本來進行 參數估計，而台灣期貨交易所資料(期貨和選擇權)，則選擇由 91 年 11 月 21 日到 93 年 8 月 30 日作為研究期間。樣本內期間取 1000 筆，為 88 年 1 月 5 日到 91 年 11 月 20 日，樣本外期間共選取 439 筆(大約有一年 半)，則是選擇 91 年 11 月 21 日到 93 年 8 月 30 日。資料來源為台灣經 濟新報資料庫。 在資料篩選上，下列為篩選原則： 1.選擇價平資料，我們定義價平資料為 F-K ≤ 50 。F:期貨價格， K:履約價格。 2.只選擇近月資料交易，因為遠月的交易量過小，且流動性不佳。 3.由於ㄧ年大約只有 252 個交易日,，平均一個月大約 21 個交易日， 我們選擇轉倉日為 3 天，恰好看出轉倉效果。 4.選擇買權和賣權為同ㄧ個履約價，(因為要做 straddle 交易)。 3.2 各種波動度模型 3.2.1 GARCH Model

Bollerslev(1986)提出了 GARCH 模型，假設 ARMA 模型可描述一串

t t r : , : 後 報 酬 率 ， 股票報酬率

µ

股票報酬率平均數 ， 所 以 服 從 於 GARCH(m，s)模型。 t a a =_t

σ ε

_{t t} , ~N(0,1)

ε

_t

σ α

∑

α

∑

β σ

m s 2 2 t 0 i t-i j t-j i=1 j=1 = + a + 2 (1)

α

β

i j :ARCH effect :GARCH effect m :ARCH效果階數 s :GARCH效果階數

α

α

β

α

β

≥ ≥

∑ ∑

0 i j m s i j i=1 j=1 參數的限制式為 >0 0 ,i=1.2...m 0 ,j=1.2...s + <1 3.2.2 GJR-T Model Glosten，Jagannathan 和 Runkle(1993)對GARCH模型提出修正，額 外考慮了在消息衝擊下，所產生的不對稱性效果，意即為好消息和壞消 息對金融市場的衝擊程度不ㄧ致。 此修正後的模型如下，

σ α

∑

α

∑

β σ

∑

ε

m s s 2 2 2 -t 0 i t-i j t-j j t-j t-j i=1 j=1 j-1 = + a + + L S 2 (2)

ε

⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ p t-j -t-j 1 , 0 S = 0 ,otherwise

α

_i :ARCH effect

β

_j :GARCH effect j L :asymmetry effect m :ARCH效果階數 s :GARCH效果階數

α

α

β

β

α

β

≥ ≥ ≥

∑ ∑

∑

0 i j j j m s s i j j i=1 j=1 j=1 參數的限制式為 >0 0 ,i=1.2...m 0 ,j=1.2...s +L 0 ,j=1.2...s 1 + + L <1 2 若L >0_j ，則存在不對稱性效果。 而在本模型中，為了更貼近報酬率分配會有肥尾現象，我們假設

ε

_t服 從t分配。 3.2.3 EGARCH Model Nelson(1991)針 對 GARCH 模 型 提 出 修 正 ， 提 出 ㄧ 般 化 的 EGARCH(P，Q)模型，他認為GARCH模型仍有下列缺失需要改進。 1．無法說明現在的報酬率與未來報酬的波動度呈現負向關係。 2．無法解釋前期的衝擊對當期條件變異數的影響。 3．在條件變異數中，對參數限制必須恆為正數，會破壞了條件變異數 的動態過程。 它的誤差項考慮到了不對稱性效果，還有其外在的機率分配如下：

ε

ε

ε

σ

α

β

σ

α

σ

σ

σ

⎡ ⎧_⎪ ⎫_⎪⎤ _{⎛ ⎞} ⎢ _{⎨ ⎬}⎥ _⎜⎜ ⎢ _{⎪⎩ ⎪⎭}⎥ _{⎝ ⎠} ⎣ ⎦

∑

P

∑

Q t-j t-j

∑

Q t-j 2 2 t 0 i t-i j j i=1 j=1 t-j t-j j=1 t-j log = + log + -E + L _⎟⎟ (3)

{ }

π

ε

σ

π

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ _{⎫ ⎪ ⎪} ⎪ ⎪ _{⎛ ⎞} Γ ⎨ ⎬ ⎨ _{⎜ ⎟} ⎬ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ _{⎛ ⎞} ⎪ Γ ⎪ ⎜ ⎟_{⎝ ⎠} ⎪ ⎩ ⎭ t-j t-j t-j 2 Gaussian v-1 E z =E = 自由度(v)>2 v-2 2 Student's t v 2 (4)

EGARCH(P，Q)模型它的log

σ

_t2是根據ARMA(P，Ｑ)模型而來。

在此需要注意的是，GARCH和 GJR-T模型在標準化的誤差項 是完全

不同的。GARCH 和 GJR-T 模型允許 ARCH 效果和 GARCH 效果來捕

捉波動度聚集性，但是，EGARCH(P，Q)模型則是全部由GARCH效果

來補抓波動度叢聚性。

t

z

3.2.4 GARJI Model

本論文參考Chan and Maheu(2002)，考慮資產報酬率的GARCH效

果，加上設定隨著時間變化的conditional jump intensity(ARJI 模型)，對

於單一的報酬率序列，提出ㄧ個混合的 GARCH-Jump 模型(Maheu and

McCurdy(2004)的設定)。

r = +_t

µ ε

_1,t+

ε

_2,t (5)

ε ε

= _1,t +

ε

_2,t= - r

µ

_t (6)

ε

_1,t=

σ

_tz , _t

σ

_t~N(0,1) (7)

其中，

ε

_1,t為正常的誤差項，正常消息的衝擊

A. Autoregressive Conditional Jump Intensity(ARJI)

j t t t t-1 exp(- ) P(n =j | ) = , j=0,1,2,... j!

λ λ

Φ 1 (8)

λ λ ρλ

_t= ₀+ _t-1+r

ξ

_t- (9) 其中，跳躍頻率(

λ

_t)會隨著時間而變化。 t-1 t-1 t-1 t-1 t-1 t-1 t-1 j=0 E [ n | ] = j P(n = j | ) -

ξ

λ

λ

∞ ≡ Φ Φ

∑

(10) E [ |

ξ

_t Φ_t-1] = 0 (11) 0 t E [ ] =

1-λ

λ

ρ

(12) t+i t-1 t _{i-1 i} 0 t E [ | ] = i = 0 (1+ +...+ )+ i 1

λ

λ

λ

ρ

ρ

ρ λ

Φ ≥ (13)

可以將ARJI 模型表示為 t 0 t-1 t-1 0 t-1 t-1 t-1 t-1 0 t-1 t-1 t-1 = + +r = + +r( E[n | ] - ) = +( -r) +r( E[n | ])

λ

λ ρλ

ξ

λ ρλ

λ

λ ρ λ

Φ Φ (14) B. Jump 的誤差項和 Jump-Size 的分配 2 t,k Y ~N( ,

θ δ

) (15)

θ

: 跳躍規模平均數

δ

: 跳躍規模標準差 (16) t n t k=1 J =

∑

Y_t,k 跳躍的誤差項 t n 2,t t t t-1 t,k t k=1 = J - E [ J | ] = Y -

ε

Φ

∑

θλ

(17) C. 隨著時間變化的波動率組成因子

Var(r | _t Φ_t-1) =Var(

ε

_1,t | Φ_t-1) + Var(

ε

_2,t | Φ_t-1)

2 1,t t-1 t Var( | ) = (18) 其中，

ε

Φ

σ

2 2 t-1

σ

_t2 = w + g( , Λ Φ_t-1)

ε

_t-1 +

βσ

(19) g(.)代表參數向量, (Λ 資訊集合)

ε

_t-1 =

ε

_1,t-1 +

ε

_2,t-1 (20)

g( ,Λ Φ_t-1) =exp( +

α α

_jE[n |_t-1Φ_t-1]+I(

ε

_t-1)(

α α

_a+ _a,jE[n |_t-1Φ_t-1]) (21)

t-1 t-1 t-1 t-1 I( ) 1 , < 0 ( ) I( ): 0 , 0 ( )

ε

ε

ε

ε

⎧ ⎫ ⎨ _≥ ⎬ ⎩ ⎭ 是一個指標函數 壞消息 好消息 t-1 t-1 j t-1 a t-1 a j a,j

good news , no jump, g( , ) = exp( )

good news , 1 jump, g( , ) = exp( + )

bad news , no jump, g( , ) = exp( + )

bad news , 1 jump, g( , ) = exp( + + + )

α

α α

α α

α α α α

Λ Φ Λ Φ Λ Φ Λ Φ (22)

由於在 中有四個參數不好估計。於是，我們將 這 個函數改成在 Garch 模型中所設定的 t-1 g( ,Α Φ ) g( ,Α Φ_t-1) α 係數。 簡化後的模型與原先模型的差異在式（21）中，g( ,Α Φ_t-1) =

α

模型少考慮了好壞消息衝擊所造成的不對稱性效果，而比 GARCH 模型 多考慮了跳躍效果，其他地方與原先模型設定一致。 D.報酬率的動差 E [ r | _t Φ_t-1] =

µ

(23) Var(r | _t Φ_t-1) =

σ

_t2 + (

θ δ λ

2+ 2) _t (24) 3 2 t t t-1 2 2 2 3/2 t t t ( + 3 ) r | ) = ( + + )

λ θ

θδ

σ λ δ λ θ

Φ SK( (25) 4 2 2 4 t t t-1 2 2 2 2 t t t ( +6 +3 Ku(r | ) = 3 + ( + + ) )

λ θ

θ δ

δ

σ λ δ λ θ

Φ (26) 2 2 2 2 0 0 t w ( + ) Var(r ) = + +( + ) (1- - ) (1- - ) (1- ) (1- )

λ

λ

α θ δ

_{θ δ}

α β

α β

ρ

ρ

(27) 由式(19)可以看出來，變異數由正常消息的衝擊和異常消息的衝擊 所構成。而在式子(21)中，可以看出此為高峽峰。 E. Likelihood Function（概似函數） 2 t t t t t-1 _{2 2} 2 2 t t -(r - + - j) 1 f(r | n =j, ) = exp ( ) 2( +j ) 2 ( +j )

µ θλ θ

σ

δ

π σ

δ

Φ (28) _{t t-1 t t t-1 t t-1} (29) j=0 f(r | ) = f(r | n = j , )P(n = j | ) ∞ Φ

∑

Φ Φ 這個濾嘴可以寫成 t t t-1 t t-1 t t t t-1 f(r | n = j , )P(n = j | ) P(n = j | ) = j=0,1,2... f(r | ) Φ Φ Φ Φ (30) 關於跳躍個數的設定，在本篇論文中，我們加總 4 項。Chan and Maheu(2004)將跳躍個數設定為 25 個，但是 Ball and Torous(1985)提到跳

t 躍個數設定為 10 個或更小，可達到更精準之估計。 F.簡化後的 GARJI 模型的設定

ε ε

= + ₁

ε

₂= - r

µ

(31)

σ

_t2 = w +

αε

_t-12 +

βσ

_t-12 (32)

λ

_t =

λ

₀+ ( -r)

ρ λ

_t-1+ r( E[n | _t-1 Φ_t-1]) (33) _{t-1 t-1 t-1 t-1} (34) j=0 E [ n | ] = j P(n = j | ) ∞ Φ

∑

Φ t t t-1 t t-1 t t t t-1 f(r | n = j , )P(n = j | ) P(n = j | ) = j=0,1,2... f(r | ) Φ Φ Φ Φ (35) 2 t t t t t-1 _{2 2} 2 2 t t -(r - + - j) 1 f(r | n =j, ) = exp ( ) 2( +j ) 2 ( +j )

µ θλ θ

σ

δ

π σ

δ

Φ (36) j t t t t-1 exp(- ) P(n =j | ) = , j=0,1,2,... j!

λ λ

Φ (37) t t-1 t t t-1 t t t-1 t t-1 j=0 j=0 2 j n t t t 2 2 2 2 j=0 _t t f(r | ) = f(r ,n =j | )= f(r |n =j, )*P(n =j| ) ( - + - j) exp(- ) 1 = exp (- )* 2( +j ) j! 2 ( +j ) t

σ µ θλ θ

λ λ

σ

δ

π σ

δ

∞ ∞ Φ Φ Φ Φ

∑

∑

∑

(38) 我們發現這些模型可以提升模型的配適與預測能力。Chan and Maheu（2002）則結合 GARCH 模型與跳躍-擴散模型並應用在股票市場 上，將跳躍頻率設定為 ARMA 模式。其跳躍頻率會隨著時間變化，而 跳躍規模方面，則將參數設定為具有隨時間變化的特性。在此設定下， 無論在樣本內的配適和樣本外波動性的預測會有較好的結果。

3.2.5 歷史波動率模型(Historical volatility Model)

歷史波動率是過去期間中所產生的波動，通常都是利用過去的股價 報酬率的標準差來衡量。若是觀察期間取越長，所得到的波動率通常就 越會失真，在跳躍時，特別明顯，所以觀察期數盡量不要取太長，本篇 論文採取 Chiras 和 Manaster(1978)，以 20 個交易日為一期，來估算歷 史股價報酬率的標準差，再經過年化的處理。歷史波動率模型，對於每

ㄧ個觀察直接給予一樣的權重，忽略了金融市場上有波動性聚集的現 象。事實上，越接近近日的觀察值對當期波動度的影響越大，這也是歷 史波動率模型估計能力不強的原因。 根據 Kroner(1996)，若期數選越短，在高波動的樣本資料中，較能 夠看出波動性聚集的現象，若選取期間過長，就無法看出跳躍的效果。 _t t t-1 S u = ln ( ) t=1,2,...n S 模型的表示 HV n _ ^ 2 t _{t t} t=1 1 = (u - u n-1

σ

∑

) (39) n _ t t-i i=1 t t _ t t 1 u = u n S : t u : t u : u 252

∑

第 日收盤價 第 日股價報酬率 的平均值 此處ㄧ年交易日皆假設 天 3.2.6 已實現波動度(Realized volatility)

根據 Andersen, Bollerslev, Diebold and Labys (1999b)的定義，真實波 動度是以日內指數報酬率(每五分鐘一筆)平方加總後開根號後，再年化。 RV n ^ 2 t _it i=1 = r * 25

σ

∑

2 (40) it r : 是指第 天的第 筆的五分鐘資料 t i 3.2.7 隱含波動率(Implied volatility) 在 Black-Scholes 的選擇權評價模式中，我們透過已知標的資產價 格，履約價格，標的資產波動性，無風險利率，與存續期間這五個變數， 可求得選擇權價格。但是，在現實情況下，波動度是無法直接觀察出來 的。於是，我們透過已知的選擇權的價格，代入Black Scholes 模型，再 利用反函數反推出其標的資產的波動度。一般來說，利用已知市價來反

推出的波動度，稱之為隱含波動度，因為這個波動度它隱含了市價的資 訊。

σ

_{Implied volatility} = f (S,X,r,T,C)-1 (41) S : X: r : T : C : 標的資產價格 履約價 無風險利率 存續期間 選擇權價格 我們首先檢驗已實現波動度在預測未來的波動度時，對隱含波動度 是否有增額效果？根據 Fleming(1998)提出的方法，採用隱含波動率和隨 著時間變化的波動率如下：考慮 Hull and White(1987)所提出的資產價格 和波動度無關且波動度風險溢酬為零的假設。 t T 在時點 時，ㄧ個到期日為 的選擇權價值為 t t f =E[BS(

σ

;T)|Φ_t] T 2 t;T x t 1 = T-1

σ

_∫

σ

dx (42) 在短期的價平選擇權中，E[BS(

σ

_t;T)|Φ ≈_t] BS(E_⎣⎢

σ

_t;T|Φ_t⎥_{⎦ (43)} ) t t;T t , f ≈ BS(E⎢_⎣

σ

|Φ ⎥_⎦) 因此 我們可以得到 ] Φ (44) IV -1 t;T=BS (f )t

σ

隱含波動率為 (45) IV t;T t;T t ,

σ

≈E[

σ

| 因此 (46) 這代表隱含波動率是對未來預期波動度不偏的估計。 3.3 預測能力的比較 為了比較不同模型波動度的比較，我們這裡提出三種方法。

第一種為均方根誤差(root of mean square)，可用來比較何種模型的測量 誤差是最小的。第二種和第三種方法為，先前的學者 Christen and Prabhala (1998)，和 Jiang and Tian(2003)所提出的單一迴歸和包含迴 歸，我們使用這兩種方法來檢驗波動度預測的資訊內容。

波動度預測方面，則採用 Chiras 和 Manaster(1978)取 20 個交易日為 一期，所算出的歷史波動度，GARCH 模型，考慮跳躍的 GARJI 模型， 考慮不對稱性效果和肥尾現象的 GJR_T 模型，和隱含波動度模型。此 外 ， 為 了 避 免 由 重 疊 資 料 所 產 生 的 telescoping error ， 我 們 採 用 Fleming(1998)提出的一般化動差法(generalized method of moment)。 3.3.1 均方根誤差(root of mean square)

均方根誤差： n 2 0.5 i=1 1 RMSE =[ ( - ) ] n

∑

已實現波動度 其他模型波動度 (47) 這裡的其他模型是指 GARCH，GJR-T，EGARCH，歷史波動度，隱含 波動率模型和 GARJI 模型，我們用均方根誤差來比較，看哪一個模型誤 差最小。 3.3.2 單一迴歸(Univariate regression)

σ

_t,Trealized = a + b₁

σ

_t,TIV +

ε

_1t,T (48)

σ

_t,Trealized = a + b₁

σ

_t,THV +

ε

_2t,T (49)

σ

_t,Trealized = a + b₁

σ

_t,TGARCH +

ε

_3t,T (50)

σ

_t,Trealized = a + b₁

σ

_t,TGARJI +

ε

_4t,T realized GJR-T t,T = a + b1 t,T + 5t,T (51)

σ

σ

ε

(52)

σ

_t,Trealized = a + b₁

σ

_t,TEGARCH +

ε

_6t,T (53) 由式(48)至式(53)中，測試波動率的預測對未來的已實現波動率是否 有解釋能力， 檢驗各個模型(IV，GARCH，GJR-T，GARJI， EGARCH，HV)所估計出來的波動度對於已實現波動度是否有顯著的解 釋能力。若檢定結果越顯著，代表了其他模型的波動度對已實線波動度 的預測能力越強。 0 1 H :b =0 檢定 3.3.3 包含迴歸(Encompassing regression)

σ

_t,Trealized = a + b₁

σ

_t,TIV+b₂

σ

_t,THV+

ε

_1t,T (54)

σ

_t,Trealized = a + b₁

σ

_t,TIV+b₂

σ

_t,TGARCH+

ε

_2t,T (55)

σ

_t,Trealized = a + b₁

σ

_t,TIV+b₂

σ

_t,TGARJI+

ε

_3t,T (56)

σ

_t,Trealized = a + b₁

σ

_t,TIV+b₂

σ

_t,TGJR-T+

ε

_4t,T (57)

σ

_t,Trealized = a + b₁

σ

_t,TIV+b₂

σ

_t,TEGARCH+

ε

_5t,T (58) 由式(54)至式(58)中，測試隱含波動率的預測對未來的已實現波動率 是否包含所有資訊？若加上其他模型(IV，GARCH，GJR-T，GARJI， EGARCH，HV)所估計出來的波動度去解釋是否能夠增強對已實現波動 度的解釋能力？檢驗H :b =0_{0 2} 檢驗出的b 是否為零₂ ，有兩種意義。第一種，可以驗證出隱含波動 率是否有包含已實現波動率的所有資訊。第二種，我們也可以說，加入 其他模型的波動度增加了對已實現波動度的預測能力，亦即其他模型的 波動度預測出隱含波動度無法說明的訊息。若係數越顯著，代表此種訊 息越強烈。 3.4 交易策略利潤的比較 結合理論與實務，在金融市場上能夠真正獲利，為本文主要目的。 本研究透過夏普指數和風險值的衡量這兩個衡量指標，希望經由好的投 資評估，使得我們的投資方法可以同時兼顧風險與獲利。 3.4.1 夏普指數(Sharpe measure) 我們在比較各個模型獲利能力時，我們加入市場上常用來檢測投資 組合績效的夏普指數。夏普指數是一種經過風險調整後的績效指標，代 表投資人多承擔一分超額風險，便可以多拿到幾分的超額報酬。

夏普指數是直接由市場資本線(Capital market line)推導而來，

m f p f m E(R )-R CML E(R )=R +

σ

_p

σ

： 。 其中，R :無風險利率_f ，

σ

_p:個別公司面臨的風險，R :市場的報酬率_m ，

m:

σ

市場面臨的風險。因此，我們直接比較 p f p E(R )-R

σ

和 m_m f R -R

σ

，可以得 知我們交易 straddle 的獲利能力是否在大盤指數之上。而這裡我們所謂 的大盤指數是指台灣加權指數，交易期間則是和交易 straddle 一致(91 年 11 月 21 日到 93 年 8 月 31 日)。 3.4.2 風險值(Value at risk) 所謂風險值是利用統計方法，衡量在ㄧ特定的信賴水準下，衡量某 ㄧ特定期間中，面對不確定因素的衝擊下，使得整個投資組合或公司資 產所可能的最大損失。因為 Var 是最新且普遍被運用的風險測量指標， 但衍生性商品交易為相對上高槓桿、高風險之交易，因此我們選定 Var 為衡量指標。

第肆章、實證結果與分析

先由表 2 和表 3 介紹各模型預測值的基本統計量和最後ㄧ次樣本預 測值所估計出來的參數估計。而實證結果主要是分三個部份：預測能力 的比較、交易策略、市場投資績效，並分析其報酬率最大值和報酬率最 小值的情況和原因。1 4.1 個別模型預測值的基本敘述 表 2： 模型預測值的基本統計量

GARCH GJR_T GARJI EGARCH HV IV_call IV_put

平均數 0.25212 0.2494 0.24679 0.24209 0.22749 0.24383 0.23941 標準誤 0.00275 0.00324 0.00298 0.00302 0.00384 0.00293 0.00457 中間值 0.24296 0.23386 0.22838 0.2302 0.20436 0.24216 0.23563 標準差 0.05772 0.06797 0.06252 0.06338 0.08052 0.06133 0.09584 變異數 0.00333 0.00462 0.00391 0.00402 0.00648 0.00376 0.00918 峰度 0.80102 0.11842 2.13435 0.28654 0.55847 0.71754 1.38537 偏態 0.90994 0.79202 1.51125 0.79138 1.04992 0.5606 0.36188 最小值 0.14898 0.13606 0.17896 0.13317 0.12063 0.11832 3.1E-05 最大值 0.4723 0.44595 0.49889 0.46197 0.49064 0.50082 0.74149 1_{此處IV-call和IV-put為價平履約價的隱含波動率}

個別波動度的平均數和中間值並無顯著不同，不過個別模型在標準 差、偏態係數、和峰態係數有較大的差別。以標準差來看，歷史波動度 和賣權的隱含波動度似乎特別高。而峰態係數和偏態係數在各個模型中

沒有較ㄧ致的結果。2

表 3： GARCH 系列模型的最後一次樣本外預測參數估計結果

GARCH GJR-T GARJI EGARCH

P 1 1 1 1 Q 1 1 1 1 Beta 0.91084 0.93265 0.937134 0.9687 (0.016823) (0.018023) (0.01624) (0.011443) Alpha 0.072829 0.018735 0.03858 0.13448 (0.01427) (0.013957) (0.010286) (0.034695) K 0.056604 0.045223 0.042412 0.032723 (0.023033) (0.020985) (0.020855) (0.012927) C 0.038092 0.00034437 -0.01163 -0.00356 (0.051701) (0.051031) (0.051886) (0.023673) R 0 0 0 1 M 0 0 0 1 AR 0 0 0 0.58236 (0.29011) MA 0 0 0 -0.52361 (0.30749) LEVERAGE 0 0.069867 0 -0.08127 (0.020865) (0.020716) LAMBDA0 0 0 0.009627 0 (0.005615) RHO 0 0 0.884285 0 (0.038987) GAMMA 0 0 0.383835 0 (0.092845) ETAO 0 0 -2.302407 0 (0.577639) 2_{DoF:自由度的設定是否需要大於二} P,Q 為 beta,alpha 的階數 括號內為標準誤

ZETA0 0 0 0.936127 0 (0.972766)

DoF 13.532 15.73

(4.9808) (6.4056)

ERROR Normal T Normal T,Normal

由上列對 GARJI 模型的最後一次樣本外預測參數估計結果，可以明 顯看出跳躍頻率的自我迴歸式中的 LAMBDA0，RHO，GAMMA 和跳 躍規模的 ETAO 和 ZETAO 都是顯著拒絕零，因此檢定結果似乎顯示台 灣金融市場中的確有跳躍效果。而在所有 GARCH 系列模型中，Beta 係 數幾乎都在 0.93 左右，而 Alpha 係數大小相異性則較大，從 0.1 到 0.13 都有。同時有考慮不對稱性效果的 EGARCH 和 GJR-T 模型，在不對稱 性效果係數上卻有很顯著不同，EGARCH 模型為-0.08127，而 GJR-T 模 型為-0.08127，可以得知當事件衝擊發生時，對 GJR-T 模型中波動性的 影響為正向，對 EGARCH 模型中波動性的影響則為負向的。接下來， 由圖一到圖八，我們來看各種模型樣本外波動度預測值的圖形。 圖一： GARCH & RV 波動度預測

GARCH VOL & REALIZED VOL

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 91/11/21 91/12/13 92/01/07 92/02/06 92/03/04 92/03/26 92/04/17 92/05/12 92/06/03 92/06/26 92/07/18 92/08/11 92/09/02 92/09/25 92/10/20 92/11/11 92/12/03 92/12/25 93/01/27 93/02/18 93/03/11 93/04/02 93/04/26 93/05/19 93/06/10 93/07/05 93/07/27 93/08/18 DATE VO L V A L U E GARCH RV

圖二： GJR-T & RV 波動度預測

GJR-T VOL & REALIZED VOL

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 91/11/21 91/12/13 92/01/07 92/02/06 92/03/04 92/03/26 92/04/17 92/05/12 92/06/03 92/06/26 92/07/18 92/08/11 92/09/02 92/09/25 92/10/20 92/11/11 92/12/03 92/12/25 93/01/27 93/02/18 93/03/11 93/04/02 93/04/26 93/05/19 93/06/10 93/07/05 93/07/27 93/08/18 DATE V O L VA LU E GJR_T RV 圖三： GARJI & RV 波動度預測

GARJI VOL & REALIZED VOL

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 91/11/21 91/12/13 92/01/07 92/02/06 92/03/04 92/03/26 92/04/17 92/05/12 92/06/03 92/06/26 92/07/18 92/08/11 92/09/02 92/09/25 92/10/20 92/11/11 92/12/03 92/12/25 93/01/27 93/02/18 93/03/11 93/04/02 93/04/26 93/05/19 93/06/10 93/07/05 93/07/27 93/08/18 DATE VO L V A L U E GARJI RV 圖四： EGARCH & RV 波動度預測

EGARCH VOL & REALIZED VOL

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 91/11/21 91/12/13 92/01/07 92/02/06 92/03/04 92/03/26 92/04/17 92/05/12 92/06/03 92/06/26 92/07/18 92/08/11 92/09/02 92/09/25 92/10/20 92/11/11 92/12/03 92/12/25 93/01/27 93/02/18 93/03/11 93/04/02 93/04/26 93/05/19 93/06/10 93/07/05 93/07/27 93/08/18 DATE V O L VA LU E EGARCH RV

圖五： HV & RV 波動度預測

HISTORICAL VOL & REALIZED VOL

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 91/11/21 91/12/12 92/01/03 92/01/24 92/02/25 92/03/19 92/04/09 92/04/30 92/05/22 92/06/13 92/07/04 92/07/25 92/08/15 92/09/05 92/09/29 92/10/21 92/11/11 92/12/02 92/12/23 93/01/14 93/02/12 93/03/04 93/03/25 93/04/15 93/05/07 93/05/28 93/06/18 93/07/12 93/08/02 93/08/23 DATE V O L VA LU E RV HV 圖六： IV-call & RV 波動度預測

IV & REALIZED VOL

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 91/11/21 91/12/13 92/01/07 92/02/06 92/03/04 92/03/26 92/04/17 92/05/12 92/06/03 92/06/26 92/07/18 92/08/11 92/09/02 92/09/25 92/10/20 92/11/11 92/12/03 92/12/25 93/01/27 93/02/18 93/03/11 93/04/02 93/04/26 93/05/19 93/06/10 93/07/05 93/07/27 93/08/18 DATE V O L VA LU E RV IV_call 圖七： GARCH 系列 & RV 波動度預測

GARCH 系列 & REALIZED VOL

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 91/11/21 91/12/13 92/01/07 92/02/06 92/03/04 92/03/26 92/04/17 92/05/12 92/06/03 92/06/26 92/07/18 92/08/11 92/09/02 92/09/25 92/10/20 92/11/11 92/12/03 92/12/25 93/01/27 93/02/18 93/03/11 93/04/02 93/04/26 93/05/19 93/06/10 93/07/05 93/07/27 93/08/18 DATE V O L VA LU E GARCH GJR_T GARJI EGARCH RV

圖八： GARJI ,HV,IV & RV 波動度預測

GARJI & HV & IV AND RV

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 91/11/21 91/12/13 92/01/07 92/02/06 92/03/04 92/03/26 92/04/17 92/05/12 92/06/03 92/06/26 92/07/18 92/08/11 92/09/02 92/09/25 92/10/20 92/11/11 92/12/03 92/12/25 93/01/27 93/02/18 93/03/11 93/04/02 93/04/26 93/05/19 93/06/10 93/07/05 93/07/27 93/08/18 DATE VO L V A L U E GARJI RV HV IV_call 4.2 預測能力的比較 預測能力的比較，我們使用三個方法：1.均方根誤差 2.單一迴歸 3.包含 迴歸。在表 4 和表 5 可以看到我們分析的結果。 表 4：單一迴歸 (每天估計的波動度) 使用買權的隱含波動率 M1 M2 M3 M4 M5 M6 a -0.05645 0.05531 -0.0556 -0.06165 -0.01926 -0.03917 (-2.85823) (3.572997) (-2.48615) (-3.17947) (-1.02175) (-2.04) IV_call 1.07093 (13.63374) HV 0.65659 (10.23363) GARCH 1.03249 (11.9294) GJR_T 0.8979 (12.31518) GARJI 1.07918 (14.16991) EGARCH 1.00727 (13.1) Adj R2 0.2968 0.1915 0.2439 0.2559 0.3133 0.2802 RMSE 0.10083 0.10812 0.10455 0.10372 0.09965 0.10201

realized other mod el estimated t,T t,T t Fleming 1998 GMM M1 M6 = a + b + GARCH,GJR-T,GARJI,EGARCH,IV,HV t-value σ σ ε 這是由 在 使用 方法去估計的模型，由 到 的模型是檢驗 ，而在此模型是指 等 模型所估計出來的波動度。括號內是 。 單一迴歸的結果可由表 4 可以看出來，上列的六個模型的波動度預 測值對於已實現波動度都有解釋能力。在以上六個模型中(IV、HV、 GARCH、GARJI、GJR-T、EGARCH)，有考慮隨著時間變化 jump 的 GARJI 模型表現最好，其調整後的 R-square 最高，均方根誤差亦最小； 在所有模型中，則歷史波動度模型表現最差。而使用賣權的隱含波動率 在單一迴歸也有類似的結果，請參照附錄 2-1。 表 5：包含迴歸 (每天估計的波動度) 使用買權的隱含波動率 M7 M8 M9 M10 M11 a -0.05512 -0.08774 -0.06898 -0.08774 -0.07671 (-2.77823) (-4.00274) (-3.45245) (-4.00274) (-3.82) IV_call 1.00023 0.78593 0.7591 0.78583 0.6618 (8.120727) (6.5953) (5.951858) (6.5953) (5.16) HV 0.06994 (0.74547) GARCH 0.39982 (3.158136) GJR_T 0.3551 (3.085411) GARJI 0.66365 (5.150563) EGARCH 0.49575 (3.99) Adj R2 0.2961 0.311 0.3103 0.3356 0.32 RMSE 0.10088 0.09981 0.09986 0.09981 0.09915

realized IV_CALL other mod el estimated

t,T t,T t,T t Fleming 1998 GMM M1 M6 = a + b +c + GARCH,GJR-T,GARJI,EGARCH,HV t-value σ σ σ ε 這是由 在 使用 方法去估計的模型，由 到 的模型是檢驗 ，而在此模型是指 等 模型所估計出來的波動度。括號內是 。 包含迴歸的結果可由表 5 得知，GARCH、GARJI、EGARCH、GJR-T 模型對於隱含波動率模型都有明顯的增加資訊的能力。而歷史波動度模 型的表現則較差，對於隱含波動度模型並沒有增加額外資訊的能力。在 多考慮了隱含波動度之後，GARJI 模型的預測能力相較於其他的模型擁 有較高的預測能力。而使用賣權的隱含波動率在包含迴歸也有類似的結 果，請參照附錄 2-2。

4.3 交易策略

本篇交易策略參考 Chan, Kalimipalli, and Sivakumar (2004)年論文使 用的交易策略步驟 1．將各個模型所估計出的波動率代入 Black-Scholes 定價模式，得到每 天所估算出來的 straddle。 2．在所有的交易中，採用 Noh et al.(1994)的買賣價差為濾嘴，交易員只 有在模型和市價的絕對值超過 1 點(NT50)才會交易。也就是說，當 - ≤ 預測值 市價 1，保留原先部位。 3．買或賣價平的 straddle，以這個模型的 straddle 價格與市價比較，若 市價高估則賣，若市價低估則買，當 straddle 賣出時，以無風險利率再 投資。 4．原始報酬率可計算如下： t t t-1 t-1 t-1 t-1 t t t-1 t-1 f t-1 t-1 t t C +P -C -P straddle C +P (C +P -C -P ) straddle r -C +P C ,P 買 的報酬率： 賣 的報酬率： 此處 指的是台指選擇權的買權和賣權 5．每ㄧ個交易日中重複 1-4 的步驟。 6．考慮交易成本後的報酬率： t t t-1 t-1 t-1 t-1 t t t-1 t-1 f t-1 t-1 t=0.125% (C +P )*(1-t)-(C +P )*(1+t) straddle (C +P )*(1+t) (C +P )*(1+t)-(C +P )*(1-t) straddle r -(C +P )*(1-t) 法人交易稅率 買 的報酬率： 賣 的報酬率：

4.4 分析原因 在比較各個模型的投資績效後，本研究更進一步分析各模型買賣 straddle 的內涵，並探討其報酬率最大值和報酬率最小值的情況及其發生原因。 表 6：各模型買賣 straddle 基本資料 模型 總交易天數 買的次數 賣的次數 GARCH 427 233 194 EGARCH 429 200 229 GJR-T 428 234 194 GARJI 432 210 222 HV 425 100 325 IV 435 7 428 RV 434 86 348 由表 6 中可看出，運用 Noh et al.(1994)以買賣價差為濾嘴的狀態下， 原始總交易天數從 440 天降為 430 天。換句話說，若以總交易天數來看， 每個模型平均只有 10 天準確預估到實際交易的 straddle 值。但是，若再 進一步去分析買或賣的決策時，可以發現模型在買或賣的決定上有很大 的不同。 表 7：每日報酬率(未考慮交易成本)的表格

報酬率 GARCH EGARCH GJR-T GARJI HV IV RV 大盤 LS

平均值 0.0267 -8E-04 0.0178 0.0286 0.0061 -0.018 -0.002 0.0006 0.0355 標準差 0.3758 0.3689 0.3765 0.3775 0.3713 0.3659 0.3776 0.0148 0.3747 最大值 2.1017 2.0866 2.2161 2.2161 1.8427 1.8365 2.0866 0.0557 2.2161 日期 920711 921009 920711 920711 920110 921114 921009 930326 920714 最小值 -2.012 -2.215 -2.012 -2.012 -2.215 -2.215 -2.215 -0.067 -0.269 日期 930312 920711 930312 930312 920711 920711 920711 930319 930312 t 統計量 1.4711 -0.047 0.9753 1.575 0.338 -1.013 -0.116 0.9083 1.9808 Var(5%) -0.147 -0.162 -0.147 -0.147 -0.161 -0.273 -0.176 -0.023 -0.158 Sharpe 0.0699 -0.004 0.0459 0.0745 0.0151 -0.05 -0.007 0.0125 0.0934 表 8：每日報酬率(考慮交易成本)的表格

報酬率 GARCH EGARCH GJR-T GARJI HV IV RV 大盤 LS

平均值 0.0242 -0.003 0.0152 0.026 0.0035 -0.02 -0.005 -0.00136 0.033

標準差 0.3759 0.3693 0.3762 0.3776 0.3721 0.367 0.3784 0.001485 0.3747

日期 920711 921009 920711 920711 920110 921114 921009 930326 920714 最小值 -2.02 -2.223 -2.02 -2.02 -2.223 -2.223 -2.223 -0.06672 -0.271 日期 930312 920711 930312 930312 920711 920711 920711 930319 930312 t 統計量 1.3301 -0.192 0.8337 1.4338 0.1943 -1.158 -0.259 -1.91976 1.841 Var(5%) -0.149 -0.149 -0.147 -0.149 -0.163 -0.276 -0.178 -0.02462 -0.161 Sharpe 0.0632 -0.011 0.0391 0.0678 0.0082 -0.057 -0.014 -0.12232 0.0867 3 表 7 和表 8 在結果上十分的類似。由考慮手續費後的表 8 可知，以 夏普指數(Sharpe measure)來看，全部的模型和單純買進 Straddle 都有打 敗大盤的表現。在 5%的 Var 下，我們發現隱含波動率的報酬率的風險 值最高，但是以投資績效而言，卻是所有模型中最差的。但是比較單純 持有的策略和我們的投資策略之獲利性時，發現單純持有策略，平均報 酬率高達 3.3%，遠高於我們交易策略，由附錄二(圖 2-1 至圖 2-8)，我 們可以知道在高波動率期間，單純持有的策略會有較佳的表現。我們的 投資策略和單純買進 Straddle 相比較為合理，因為同樣都是交易波動度。 表 9：各模型最大獲利日 straddle 實際價格和預估價格 模型 報酬率最大執行日期 市場價格 模型價格 策略 稅後報酬 EGARCH 921009 83.75 111.6753 買 258.5 2.0789 GARCH 920711 118 134.7783 買 366 2.094 GARJI 920711 118 120.1038 買 379.5 2.2081 GJR-T 920711 118 121.7107 買 379.5 2.2081 HV 920110 89 100.6225 買 253 1.8356 IV 921114 93.25 98.65396 買 264.5 1.8294 RV 921009 83.75 100.5209 買 258.5 2.0789 3 _{此處LS是指Long-Straddle,單純買進Straddle的交易策略} 這裡 t 統計量是檢驗扣除交易成本後之報酬率是否為零 大盤證交稅 0.001

表 10：各模型最大損失日 straddle 實際價格和預估價格 模型 報酬率最小執行日期 市場價格 模型價格 策略 稅後報酬 EGARCH 920711 118 116.3958 賣 379.5 -2.2234 GARCH 930312 155 122.4408 賣 467 -2.02 GARJI 930312 155 136.04 賣 467 -2.02 GJR-T 930312 155 112.3994 賣 467 -2.02 HV 920711 118 109.3598 賣 379.5 -2.2234 IV 920711 118 62.98438 賣 379.5 -2.2234 RV 920711 118 97.5973 賣 379.5 -2.2234 接下來，進一步來分析選擇權獲利最大和損失最大所發生的時間。 我們將獲利最大和損失最大的時間點的 straddle 價格預測值和實際值列 出，因為交易 straddle 是由比較 straddle 價格的預測值和實際值來判斷要 買或是賣，故由表 9 和表 10 的結果中，可以發現一件很有趣的事情， 那就是有些模型獲利最大的日子，恰巧是其他模型損失最大的日子。如 在 92 年 7 月 11 日是 GARCH、GJR-T 和 GARJI 這三個模型獲利最大的 日子，卻是 EGARCH 模型、歷史波動率模型、隱含波動率模型和已實 現波動率模型損失最大的日子。 表 11：各個模型在 92 年 7 月 11 號的績效表 模型 日期 Straddle 市價 Straddle 預測值 差距值 報酬 稅後報酬 EGARCH 920711 118 116.3958005 1.6042 920714 379.5 317.0705059 -2.2153 -2.2234 GARCH 920711 118 134.7782521 16.7783 920715 366 354.0305147 2.1017 2.094 GARJI 920711 118 120.1037658 2.10377 920714 379.5 329.4928619 2.2161 2.2081 GJR-T 920711 118 121.7106753 3.71068 920714 379.5 332.6893553 2.2161 2.2081

HV 920711 118 109.3598142 8.64019 920714 379.5 308.3302029 -2.2153 -2.2234 IV 920711 118 62.98438305 55.0156 920714 379.5 337.8283782 -2.2153 -2.2234 RV 920711 118 97.59730357 20.4027 920714 379.5 322.863521 -2.2153 -2.2234 接下來由表 11 再來探討 92 年 7 月 11 日的買賣指標，也就是 straddle 價格的預測值和實際值的差距來看，可發現其實在當天 GARCH、GJR-T 和 GARJI 這三個模型並沒有明顯的判斷出目前的 straddle 價格被嚴重低 估，而 EGARCH 模型雖然當天判斷目前市價略微高估，但是，並沒有 像隱含波動率和現實波動率模型一樣是認為目前價格被嚴重高估。由於 隔天有跳躍現象，因此導致對判斷 straddle 價格高估或低估會有很大影 響。 圖九： 跳躍事件發生後，GARCG 和 GARJI 樣本外預測值 93/3/22事件的影響(3/15~4/26) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 93/0 3/15 93/0 3/17 93/03 /19 93/0 3/23 93/0 3/25 93/03 /29 93/0 3/31 93/0 4/02 93/0 4/06 93/0 4/08 93/04 /12 93/0 4/14 93/0 4/16 93/04 /20 93/0 4/22 93/0 4/26 Date si gm a GARCH GARJI RV 接下來比較 GARCH 和 GARJI 模型的異同：在 93 年 3 月 22 日(總 統槍擊案後)，金融市場發生跳躍現象(向下衝擊)，而我們可以觀察到， 在跳躍後 GARJI 模型的修正速度較傳統 GARCH 快許多，也就是說，在 跳躍後 GARCH 模型通常會高估市場波動度，而 GARJI 不會有此現象。

第伍章、結論

由於眾多的波動度模型文獻皆指出，考慮跳躍模型的波動度模型相 較於傳統模型會有較好的表現，因此本文選定台灣選擇權市場，使用考 慮跳躍的 GARJI 模型和傳統模型(IV、HV、GARCH、GARJI、GJR-T、 EGARCH)相比較，並將所估計出來的波動度代入價平 Straddle，檢驗其 在現實市場中是否能夠獲利。 在模型的預測能力比較上，在以上六個模型中(IV、HV、GARCH、 GARJI、GJR-T、EGARCH)，有考慮跳躍的 GARJI 模型的 R-square 最 高，歷史波動度模型 R-square 最低，其餘模型表現則無顯著差別。 我們考慮加入其他模型的波動度後(HV、GARCH、GARJI、GJR-T、 EGARCH)，是否可以增加對已實現波動度的預測能力；也就是說，我 們 想 清 楚 隱 含 波 動 率 模 型 是 否 包 含 對 已 實 現 波 動 率 的 所 有 資 訊 。 GARCH、GARJI、EGARCH 和 GJR-T 模型對於隱含波動率模型都有明 顯的增加資訊的能力。而歷史波動度模型的表現則就較差，對於隱含波 動度模型並沒有增加額外資訊的能力。 將所估計出的波動度值，應用在台灣指數選擇權上，每天透過交易 策略買賣價平 straddle，看其是否有正的報酬外，我們並透過 Sharpe measure 來判斷我們的獲利能力是否能夠超越大盤，我們可以得知只有 GARCH，GJR-T，GARJI 的獲利能力在大盤指數之上。歷史波動率模型 雖然有正的績效，但是卻比市場獲利率低。隱含波動率模型相對上表現 最差。 同樣比較波動度交易，可知道單純的交易策略(Long Straddle)不ㄧ定 有比較差的結果。在本研究中，有設買賣指標的交易策略投資績效輸給 單純的投資策略，主要的決定因素還是視市場是否處於高波動度期間而 決定。 綜合以上結果，可以看出有考慮跳躍效果的模型預測能力較佳，考 慮交易成本後的 GARJI 模型，每天平均有高達 2.6047%的日報酬率，但 是高報酬伴隨著高風險，以最大損失來看，最大損失高達 2.02 倍。

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附錄一：各波動度模型樣本外預測波動度 1-1：樣本外預測GARCH Volatility 資料期間：台指選擇權的資料(從 91 年 11 月 21 日到 93 年 8 月 31 日)這個表格 使用了每日交易 Straddles 應用在台指選擇權。這個策略決定於對以實現波動率 模型預測，選擇權價格的預測則是由 Black-Scholes 選擇權訂價模式決定。 表格 A：價平 Straddles 的平均價格

Call Put Straddle Market price 123.7694 122.8702 246.6395

GARCH Volatility 127.0388 123.9384 250.9772

表格 B: 價平 Straddles 在考慮買賣價差為濾嘴，所買賣的個數 Total trades buys sells

GARCH Volatility 427 233 194

表格 C:在考慮交易成本後，買賣價平 Straddles 的報酬率 每日報酬 不考慮交易成本 考慮交易成本 Mean t-Stat Mean t-Stat

GARCH Volatility 2.6725% 1.4711 2.4198% 1.33086 此處交易成本是指法人的交易成本,交易稅 0.0125% 表格 D: 考慮手續費，價平 Straddles 的報酬率的敘述統計量 平均數 0.024198 標準誤 0.018193 標準差 0.375938 變異數 0.141329 峰態 17.49623 偏態 1.663408 最大值 2.094 最大值日期 92/07/11 最小值 -2.02 最小值日期 93/03/12 t-統計量 1.330086 *檢驗報酬率是否為零 VAR(5%) -0.14863 Sharpe-ratio 0.063151 *無風險利率:郵儲局公佈之風險利率為準

1-2：樣本外預測EGARCH Volatility

資料期間：台指選擇權的資料(從 91 年 11 月 21 日到 93 年 8 月 31 日)這個表格 使用了每日交易 Straddles 應用在台指選擇權。這個策略決定於對以實現波動率 模型預測，選擇權價格的預測則是由 Black-Scholes 選擇權訂價模式決定。 表格 A：價平 Straddles 的平均價格

Call Put Straddle Market price 123.7694 122.8702 246.6395

EGARCH Volatility 121.5871 118.4867 240.0738

表格 B: 價平 Straddles 在考慮買賣價差為濾嘴，所買賣的個數 Total trades buys sells

EGARCH Volatility 429 200 229

表格 C:在考慮交易成本後，買賣價平 Straddles 的報酬率 每日報酬 不考慮交易成本 考慮交易成本 Mean t-Stat Mean t-Stat

EGARCH Volatility -0.084% -0.04717 -0.343% -0.19213 此處交易成本是指法人的交易成本,交易稅 0.0125% 表格 D: 考慮手續費，價平 Straddles 的報酬率的敘述統計量 平均數 -0.00343 標準誤 0.017831 標準差 0.36933 變異數 0.136405 峰態 18.58472 偏態 -0.03526 最大值 2.0789 最大值日期 92/10/09 最小值 -2.2234 最小值日期 92/07/11 t-統計量 -0.19213 *檢驗報酬率是否為零 VAR(5%) -0.14863 Sharpe-ratio -0.01051 *無風險利率:郵儲局公佈之風險利率為準

1-3：樣本外預測GJR_T Volatility

資料期間：台指選擇權的資料(從 91 年 11 月 21 日到 93 年 8 月 31 日)這個表格 使用了每日交易 Straddles 應用在台指選擇權。這個策略決定於對以實現波動率 模型預測，選擇權價格的預測則是由 Black-Scholes 選擇權訂價模式決定。 表格 A：價平 Straddles 的平均價格

Call Put Straddle Market price 123.7694 122.8702 246.6395

GJR_T Volatility 125.5833 122.4829 248.0662

表格 B: 價平 Straddles 在考慮買賣價差為濾嘴，所買賣的個數 Total trades buys sells

GJR_T Volatility 428 234 194

表格 C:在考慮交易成本後，買賣價平 Straddles 的報酬率 每日報酬 不考慮交易成本 考慮交易成本

Mean t-Stat Mean t-Stat

GJR_T Volatility 1.771% 0.97534 1.5161% 0.833661 此處交易成本是指法人的交易成本,交易稅 0.0125% 表格 D: 考慮手續費，價平 Straddles 的報酬率的敘述統計量 平均數 0.015161 標準誤 0.018186 標準差 0.376236 變異數 0.141554 峰態 18.05871 偏態 1.434485 最大值 2.2081 最大值日期 92/07/11 最小值 -2.02 最小值日期 93/03/12 t-統計量 0.833661 *檢驗報酬率是否為零 VAR(5%) -0.14863 Sharpe-ratio 0.039081 *無風險利率:郵儲局公佈之風險利率為準

1-4：樣本外預測GARJI Volatility

資料期間：台指選擇權的資料(從 91 年 11 月 21 日到 93 年 8 月 31 日)這個表格 使用了每日交易 Straddles 應用在台指選擇權。這個策略決定於對以實現波動率 模型預測，選擇權價格的預測則是由 Black-Scholes 選擇權訂價模式決定。 表格 A：價平 Straddles 的平均價格

Call Put Straddle Market price 123.7694 122.8702 246.6395

GARJI Volatility 124.5508 121.4504 246.0012

表格 B: 價平 Straddles 在考慮買賣價差為濾嘴，所買賣的個數 Total trades buys sells

GARJI Volatility 432 210 222

表格 C:在考慮交易成本後，買賣價平 Straddles 的報酬率 每日報酬 不考慮交易成本 考慮交易成本 Mean t-Stat Mean t-Stat

GARJI Volatility 2.8574% 1.5751 2.6047% 1.433781 此處交易成本是指法人的交易成本,交易稅 0.0125% 表格 D: 考慮手續費，價平 Straddles 的報酬率的敘述統計量 平均數 0.026047 標準誤 0.018167 標準差 0.377591 變異數 0.142575 峰態 17.64218 偏態 1.747304 最大值 2.2081 最大值日期 92/07/11 最小值 -2.02 最小值日期 93/03/12 t-統計量 1.433781 *檢驗報酬率是否為零 VAR(5%) -0.14863 Sharpe-ratio 0.067772 *無風險利率:郵儲局公佈之風險利率為準

1-5：樣本外預測HV Volatility

資料期間：台指選擇權的資料(從 91 年 11 月 21 日到 93 年 8 月 31 日)這個表格 使用了每日交易 Straddles 應用在台指選擇權。這個策略決定於對以實現波動率 模型預測，選擇權價格的預測則是由 Black-Scholes 選擇權訂價模式決定。 表格 A：價平 Straddles 的平均價格

Call Put Straddle Market price 123.7694 122.8702 246.6395

HV Volatility 114.3646 111.2642 225.6288

表格 B: 價平 Straddles 在考慮買賣價差為濾嘴，所買賣的個數 Total trades buys sells

HV Volatility 425 100 325

表格 C:在考慮交易成本後，買賣價平 Straddles 的報酬率 每日報酬 不考慮交易成本 考慮交易成本

Mean t-Stat Mean t-Stat

HV Volatility 0.6081% 0.338 0.3506% 0.194254 此處交易成本是指法人的交易成本,交易稅 0.0125% 表格 D: 考慮手續費，價平 Straddles 的報酬率的敘述統計量 平均數 0.003506 標準誤 0.018048 標準差 0.3720595 變異數 0.138428 峰態 17.81827 偏態 -1.52721 最大值 1.8356 最大值日期 92/01/10 最小值 -2.2234 最小值日期 92/07/11 t-統計量 0.1942542 *檢驗報酬率是否為零 VAR(5%) -0.16301 Sharpe-ratio 0.0081936 *無風險利率:郵儲局公佈之風險利率為準