從兒童迷思概念談數常識之教學經驗分享

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從兒童迷思概念談數常識之教學經驗分享

楊德清 國立嘉義大學數學教育研究所教授

壹、 前言

數常識之教與學已被許多國家視為小學數學教育的主要目標之一，而其教學精 神更與九年一貫的理念相契合(徐俊仁和楊德清，2000)。因此如何發展數常識相關 之教學活動以融入數學課程中，以及發展能夠有效率地進行這些教學活動，進而幫 助兒童發展數常識能力之教學模式，實為當務之急。 數字常識並不是數學課程中的一個新主題，而是教與學方法上的改變。數常識 教學重視學習者的學習過程，主張兒童應該有意義地學習數字與運算的概念，並且 能夠將此種理解應用於日常生活情境中，而不只是汲汲於尋求「標準答案」；重視學 生思考層面的多元化，而不只是機械式的使用公式或規則以獲得答案；同時鼓勵兒 童發展「創造式」的解法，而不只是教師「供給式」的學習模式（Reys,et al., 1991）。

貳、 兒童迷思概念之探討

數常識教學之所以受到重視，乃是由於傳統的數學教育太過於強調程序性技能 的獲得，因而忽略了陳述性知識的培養，以致於兒童缺乏思考、判斷的能力。誠如 許多數學教育家的主張：思考的過程要比答案的獲得更重要，數學的學習應該是強 調概念的理解，而不只是機械式地練習以尋求正確的答案(Altizer-Tuning, 1984; Bezuk & Cramer, 1989; Cherry, 2001; Markovits & Sowder, 1994; Sowder, 1988)。因此 在教學的過程中，教師應重視的是如何協助兒童概念的發展，而不是熟稔計算的技 能，畢竟正確的答案並不代表理解。例如：例如，楊德清（2000, 2002）的研究顯示， 當要求學生不需使用紙筆計算的方式去判斷 534.6×0.545＝291357 之小數點的位置 時，多數的學生皆提供了錯誤的答案，經研究者進一步的追問，以深入瞭解學生的

思考過程，乃發現了問題的癥結之所在： 這個534.6有1位小數，而0.545 有3位小數。則這兩個 數目相乘的結果應該有1＋3＝4位小數，所以答案是 29.1357。 或 這個數字(指534.6)有1位小數，而這個數字(指0.545)有 3位小數，所以相乘的結果應該有1＋3＝4位小數，所以我 想答案應該是 2913.57。 雖然少數學生可以給予正確的答案，但是其解題過程仍無法跳脫算則的巢臼： 被乘數有1位小數，乘數有3位小數，所以本來應該有四位 小數才對。因為6×5＝30，因為0沒有寫上去，所以小數點 變為3位。所以答案為291.357。 從上述的結果可以發現兒童的迷思概念乃在於傳統的教學裡，教科書習慣性地 告訴兒童：「當兩數相乘時，其乘積之小數位數乃是由被乘數與乘數之小數位數相 加所得，同時由右至左數其位數以決定小數點之位置」。此迷思概念正反應了：過 度的強調算則的教學或計算技巧，將侷限了兒童對數字與運算的理解，以及思考與 判斷答案合理性的能力，亦即阻礙了兒童數常識能力的發展(Burns, 1994; Markovits & Sowder, 1994; Reys & Yang, 1998)。

參、 教學經驗之分享

誠如許多數學教育家的主張：思考的過程要比答案的獲得更重要，數學的學習 應該是強調概念的理解，而不只是機械式地練習以尋求正確的答案(Altizer-Tuning, 1984; Cramer, et al., 2002; Cherry, 2001; Sowder, 1988)。 因此在教學的過程中，教師 應重視的是如何協助兒童概念的發展，而不是熟稔計算的技能，畢竟正確的答案並 不能代表真正的理解。

中不斷的反省檢討，不斷的學習，以修正我們的教學方法。以下將從研究者多年的 實務與研究經驗，分享教學心得： 一、 培養自己隨時具教學反思能力的教學者 NCTM(2000)之學習原則認為：有效率的學習者能夠從錯誤中反思與學習。同 樣地，有效率的教學者亦能從教學中進行反思，隨時掌握學習者的狀況，能夠隨時 隨地發現問題，並尋求解決的策略。教師在教學中或教學後嘗試寫下反思札記，以 隨時讓自己有機會進行反思是不錯的方式。例如： 　 　 有時研究者雖然想有效地引導學生發表自己的解題方法，但卻仍 　 　 有許多不盡理想之處。例如：在教學時，研究者對「 4 1 和 8 2 是不 　 　 是同樣的大小？」這樣的教學方式，應該改為「 4 1 和下面哪一個答 　 　 案是同樣的大小呢？」，我想會是較理想的方式（890929 反省札記） 藉由上述的教學反省札記，教師可以經常反省以思考如何改進教學。 二、 教師必須為學生創造良好的學習情境，方能幫助學生學習

許多學者（Anghileri, 2000; Reys, et al.,1991; Yang, 2002, 2003; 楊德清，2002)主 張數常識教學應強調學習的過程。教師應營造自然的學習情境與愉快的室內對話氣 氛，以鼓勵學生積極從事數學概念的探索、參與討論的意願，以啟發學生思考和推 理的能力，讓師生從質疑與辯證的互動中，檢視過程或答案的合理性。因此，欲鼓 勵學生進行有意義的學習，教師必須創造一個良好與安全之學習情境，提供學生探 索問題的空間，讓學生有思考、辯證、質疑的機會，從討論的環境中發展與修正自 己的觀點，發展屬於自己的知識，引導學生成為自己學習的主宰者，如此之教學情 境對兒童數常識之發展，才是最好的途徑。誠如美國數學教師協會在「學校數學原 則與標準」(PSSM)之 教學原則中所提到的：「有效率的數學教學必須瞭解學生所要 學的知識及如何學習，並且要不斷的挑戰及支持他們，讓他們能學習的更好。」 （NCTM, 2000，p.16）。

三、 教師在有效率的教學過程中扮演一個極為重要的角色-佈題者，引導者，而非解 題者(NCTM, 2000) 教師在教學的過程中應清楚的瞭解本身所扮演的角色，為佈題者，以及鼓勵同 學進行合作解題，分享彼此的想法。是引導學生學習，而不是為他們解題。誠如 Sowder（1992）的主張：我們應該運用一種非直接的教學方法，以協助學生發展數常識。 而此種非直接的教學法即是重視學生的學習過程，是一種幫助學生察覺、探索、思考、 了解的學習歷程。因此教師於教學的過程中是引導者，引導學生往正確的方向前進。此 正與九年一貫數學學習領域之課程目標的精神「數學學習活動應讓所有學生都能積極參 與討論，激盪各種想法，激發創造力，明確表達想法，強化合理判斷的思維與理性溝通 的能力，期在社會互動的過程中建立數學知識」相呼應。例如：下列之教學討論中，教 師扮演的角色是追問者：「為什麼呢？」以及 S3： 10 3 比較接近 2 1 。 T：好，為什麼呢？ S3：請看我們的圖形(參考圖 1)因為 10 3 差 10 2 就是 2 1 了。 T：耶， 10 3 差 10 2 就是 2 1 了，然後呢？ S：可是 4 3 離 2 1 感覺就較遠了，所以答案是 10 3 比較接近 2 1 。 　 　 　 (891027 之教學活動) 圖 1： 以圖形及符號表徵的方式解釋　 引導者，鼓勵學生發表想法，而不是為學生解題。

四、 運用「重覆」與「回應」技巧，引導班級討論的進行 研究者認為教師在引導班級進行討論時，若有必要時應協助學生清楚的表達（重覆） 想法，使得每一位學生都能聽得清楚，並藉以集中學生注意的焦點；如果學生回答 的內容太過粗略，教師為了讓問題更明確，也為了引導學生能夠使用數學語言來溝 通，所以可運用「回應」（Resnick, 1983）技巧，將學生所提出的問題，傳達出更精 確的意義，以引導討論的進行。例如：學生的發表不夠清楚時，教師可適時協助學 生釐清發言內容。 S：（第四組的杰陞）這裡才 10 1 啊（指箭頭的另一端）！ T：好，這裡才 10 1 ，那這裡有沒有可能是 10 5 ？ S：不可能。 T：為什麼不可能呢？ S：因為 10 5 比 10 1 大。（有些同學回答） 五、 請學生寫「數學日誌」以記錄學習心得，如此可以幫助學生自我反省 　　數學日誌可以幫助學生反省學習心得，培養學生寫作的技巧，亦可以紀錄他們 在課堂進行中沒有表達出來的想法。學生的數學日誌更可以幫助教師做為反省教學 方式，教學內容與改進教學之用。同時數學日誌更可用以幫助教師瞭解學生的學習 心態，學習成效，與確定教學活動是否有助於他們的學習。例如: 　我們以前的觀念，就是 5 1 比 6 1 大，那 5 4 就比 6 5 大，可是我們聽 到上一次聖茲解釋說，如果剩下的 5 1 比 6 1 大，那用去的部分就會 比較小， 6 1 比 5 1 小，那用去的部份就會比較大。這時我們就用聖 茲說過的，用剩下的來比較。」 　 　 　 （筱詩的數學日誌） 但是我聽班上的聖茲說 6 5 剩下的部份比 5 4 小，所以 6 5 大。」 　 　 　 　　 （俊億的數學日誌） 藉由上述的數學日誌可以幫助教師更清楚的瞭解學生的學習情形。

六、 教師必需具備充足的數常識

數學教師必需具備深厚的數學背景與能力已被非常重視，誠如 Ma(1999)在她的 一本書「Knowing and teaching elementary mathematic」中已清楚明白地強調學科知 識的重要性，特別是數學教師應具有的數學素養。研究者亦認為教師欲幫助兒童發 展數常識能力，則教師必須首先具備穩固的與深厚的數常識。由於數學教室的學習 情況是千變萬化的，教師必須從學生的討論中隨時掌握情況，瞭解學生的迷思概念， 問題癥結之所在，並在適當時機適時介入以引導學生獲得正確的數學知識。例如：「當 沒有任何一小組的同學可以提供正確答案時，教師仍須有耐心地等待與聆聽學生的 解題方法與解釋，並思考如何配合學生的反應以引導學生發展正確的數學概念。教 師唯有具備堅實的數常識概念，方能知道何時與如何引導學生發展正確的思考方向 (891027 教學反思)」。

肆、 結論

教學是一門藝術、亦是一門學問，它沒有固定的模式，教學之妙，存乎一心；更何 況教學情境因人、事、時、地、物之不同而有顯著之差異存在。故如何營造良好之學習 情境，以利學生之學習，以及協助兒童發展數常識能力，端賴教師臨場之應變與反思能 力。 子曰：「學而不思則惘，思而不學則怠」，意思是說只知學習而不思考所學為何， 此種學習只是惘然而已；…。此種情境猶如傳統的數學教學，只知一昧地強調熟稔 數學公式的重要，強調解題速度、解題技巧、與快速地獲得答案。然而此種不重視 學習歷程，不強調理解，其學習結果往往是知其然而不知其所以然？的確，教師在 教學過程中應該思考如何讓學生能夠”學而後思，思而後學”，兩者並行，使學生的 學習達到完美的境界，以發揮教學的功效。

參考文獻

的能力指標，科學教育研究與發展季刊，21，51-67。

楊德清 (2002)：從教學活動中幫助國小六年級學生發展數字常識能力之研究，科學 教育學刊，10(3)，233-260。

Alitzer-Tuning, C. (1984). One point of view: Crisis in arithmetic teaching:The future is here. Arithmetic Teacher, 32, 2.

Burns, M. (1994). Arithmetic: The Last holdout. Phi Delta Kappen, (Feb.), 471-476. Cramer, K. A., Post, T. R., & delmas R. C. (2002). Initial fraction learning by forth-and

fifth- grade students: A comparison for the effects of using commercial curricula with the effects of using the rational number project curriculum. Journal for Research in

Mathematics Education, 33(2), 111-144.

Ma, Liping (1999). Knowing and teaching elementary mathematics: Teachers’

understanding of fundamental mathematics in China and the United States. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum

Markovits, Z., & Sowder, J.T. (1994). Developing number sense：An intervention study in grade 7. Journal for Research in Mathematics Education, 25(1), 4-29.

National Council of Teachers of Mathematics. (2000). The Principles and Standards for

School Mathematics. Reston, VA: NCTM.

Reys, B. J., Barger, R., Dougherty, B., Hope, J., Markovits, Z., Parnas, A., Reehm, S., Sturdevant, R., Weber, M., & Bruckheimer, M. (1991). Developing Number Sense in

the Middle Grades, Reston, VA: NCTM.

Reys, R. E. & Yang, D. C. (1998). Relationship between Computational

Performance and Number Sense among Sixth- and Eighth-Grade Students in Taiwan,

Journal for Research in Mathematics Education, 29, 225-237.

Sowder, J. (1992). Estimation and number sense, in D. A. Grouws (Ed.), Handbook of

research on mathematics teaching and learning (pp.371-389). New York:

Sowder, L. (1988). Children’s solution of story problems. Journal of Mathematical

Behavior, 7, 227-238.

Yang, D. C. (2002). Teaching and Learning number sense: one successful process-oriented activity with six grade students in Taiwan, School Science and

Mathematics Journal, 102(4), 152-157.

Yang, D.C. (2003). Teaching and Learning Number Sense－An Intervention Study of fifth grade students in Taiwan. International Journal of Science and Mathematics