校正由影像扭曲所導致數位影像關係法分析誤差之研究

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校正由影像扭曲所導致數位影像關係法分析誤差之研究

Calibration of the Image Distortion in Digital-Image-Correlation

Techniques

童士恒

1*

郭瑞昭

2

施明祥

3

蔡源福

1 1

_{國立高雄大學土木與環境工程學系}

2

_{國立成功大學材料科學與工程學系}

3

_{國立高雄第一科技大學營建工程學系}

摘要

數位影像關係法為一非接觸式光學量測技術，近年來由於數位相機像素之提昇，

及電腦運算速度的快速發展，數位影像關係法被廣泛的應用在不同領域。然物體經過

數位相機鏡頭成像在 CCD 上時由於光線折射等因素會造成影像的扭曲，此現象會增加

數位影像關係法分析結果之誤差，因此本研究提出一校正模式，利用標準校正圖與其

影像間之座標系統轉換關係來校正扭曲的座標，以改善數位影像關係法之分析結果。

本研究以雙二次及雙立方內插函數來建立實體座標與扭曲影像座標間之轉換關

係，分析結果顯示，在小位移時，扭曲之影響很小，因此有無校正對分析結果影響不

大；在位移量較大時，以雙立方內插函數進行校正時，應變與位移場之變異性明顯變

小。藉由本研究所提出之校正方法可明顯改善由影像扭曲所造成之誤差。

關鍵字: 校正，數位影像關係法，影像扭曲，量測技術

Abstract

The digital image correlation technique is a type of non-contact measurement technique.

With the help of the rapid increment of the resolution of the digital camera and the calculation

capability of computer, this technique is widely applied in different research fields. However,

the optical dispersion gives rise to the image distortion, when a 2D image is recorded from a

3D surface. This image distortion can contribute an additional error at calculating strain tensor.

The main purpose of this work is to provide a calibration method in order to reduce the error

caused by the image distortion and to raise the precision at the calculation of strain.

In this work the bi-quadratic and bi-cubic interpolation functions are used to establish the

mapping relationship between the real coordinate and the distorted image coordinate systems.

The results show that the calibration has almost no influence on improving the precision of

calculated strain, when the displacement is small. In the case of large displacement, the

deviation of strain and displacement can be reduced with the help of the bi-cubic calibration

model.

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一、前言

數位影像關係法乃是利用影像相關係數，比對兩張影像的局部相關性，以此相關性判定變形前後影像中局部的對映關係。因其具有為一非接觸式之量測技術及能夠量測到平面上之應變場或位移場等優點，加上數位相機之快速發展，是以數位影像關係法之發展及應用愈來愈受到重視。數位影像關係法近年來的研究多著重於實務方面的應用[1-8]，例如：法國學者 Raffard 等人[1]於 2001 年將數位影像關係法應用於量測石頭間之泥灰的變形行為。Kuo 等人[2-4]將此法應用於雙晶鋁片之塑性變形分析上，將塑性變形的過程視覺化。然而經由相機所獲得之影像會有扭曲的現象發生，其形成原因如下： 1. 相機感光元件（CCD 或 CMOS）與被攝物體面不平行：此兩平面不平行造成物體面上各點與感光元件之距離不同，距離較近者成像後會較大，距離較遠者成像較小。 2. 鏡頭的扭曲[8-12]：光線入射鏡片及離開鏡片時都會有折射現象發生，因此光線由不同的位置入射後再成像就會發生影像扭曲的情形，尤其目前相機之鏡頭內幾乎均採用多片鏡片所構成之鏡片組，光線由進入鏡頭到成像在感光元件前會經過多次的光線折射。 3. 感光元件上之像素非方正：當感光元件上的像素非完美的方正時，則成像後就會發生水平與垂直方向的長度比不是 1，此情況同樣會造成些許影像扭曲的誤差。此影像扭曲的現象會造成數位影像關係法之分析誤差，目前針對影像扭曲所造成誤差進行校正之相關研究仍少，因此本研究提出一校正方法來降低影像扭曲所造成的誤差。

二、文獻回顧

影像扭曲所造成的問題在數位影像關係法相關研究中之討論不多，但是其所引發的問題及如何校正，在其他領域中已有不少討論。 Hartley(1994)[9]提出了自我校正法，此法不需要校正模型，只需在一個靜態場景中移動相機，取得影像再經由數學公式還原，此類方法之優點為自由度較高。 Bowden(2000)[10]提出照相校正法，經由觀察校正模型變形狀況，再將其還原，其特點為效率較高且較精準。許捷皓(2003) [11]使用校正板經由內視鏡取像之後，利用數位影像處理技術將校正板圓點從扭曲的影像中萃取出來。他們提出一個二階的數學模型，並考量廣角鏡頭的光學參數，將萃取出來的校正板圓點給定座標之後，代入數學模型中來進行內視鏡影像校正。實驗結果顯示失真影像與校正後影像相對區域面積計算之平均誤差分別為 76.46%與 4.68%。林志鴻(2000) [12]亦針對如何校正影像扭曲所造成內視鏡於量測面積誤差進行研究，證明輻射的扭曲效應在極座標上會更加容易分析。簡大淵(2001) [13]提出快速的廣角鏡頭變形影像校正機制，利用簡單的校正板與數學校正模型，對一組內視鏡儀器進行形變影像校正。對同一台內視鏡，只需進行一次校正，爾後便可利用所得到的鏡頭校正參數進行影像校正，不需重複校正。

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林高輝(2000) [14]提出新的三維座標非接觸量測方法及其校正技術，其主要演算法係直接利用物體的三維座標與數位影像的映射關係，使用最小平方誤差擬合技術來完成簡單且有效率的校正程序。其具體作法係利用在量測空間中已知座標的一系列特徵點形成一組校正網格，經透視投影成像在雙 CCD 攝影機中，得到二組對應 2D 平面特徵點影像座標，使用高次多項式函數擬合成為三維的對映函數轉換關係，即完成了量測系統的校正程序，而量測時則將 CCD 攝影機影像中欲求點的像素位置值代入對映函數中即可得到三維之空間位置。 Chang[15]及 Tai[16]提出二維平面空間與二維影像座標的映射函數轉換，其函數轉換的過程中，並不需要考慮 CCD 攝影機參數的特性，而直接應用在非接觸影像量測技術上。

三、影像校正法

本研究所採用校正方法的基本原理是建立標準校正圖與其數位影像間之映射關係，再將此關係套用在其他數位影像上，將經由數位影像關係法比對得到之座標，利用映射關係由相片座標系統轉換至實體座標系統，最後再利用轉換後的實體座標來計算應變及位移場。

3.1 標準校正圖

本研究使用之校正圖如圖 1 所示，單一網格尺寸為 20 mm × 20 mm，小方格之作用在於增加程式自動定位之準確度。此標準校正圖在與其他試體同樣的拍攝條件下取得數位影像後，以程式在校正圖之數位影像上取得已知實體座標點位之相片座標，而後再以內插函數建立兩座標系統之映射關係。圖 1 標準校正圖之數位影像 (焦距 55 mm)

3.2 內插函數

較常用之二維內插函數有雙線性(bi-linear)內插函數與雙立方(bi-cubic)內插函數，檢視圖二所示鏡頭焦距為 18 mm 時標準校正圖之數位影像可發現，直線部份被扭曲成近似二次曲線，因此本研究不採用雙線性內插函數，將採用雙二次內插函數與雙立方內插函數來建立座標間之映射關係。

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圖 2 焦距 18 mm 時之標準校正圖方法 1：雙二次(bi-quadratic)內插函數以雙二次內插函數描述兩座標系統間之關係時，相片座標

( , )

x y

與實體座標

( ,

x y

′ ′

)

之關係可表為(1)式所示，其中

p

₁

~

p

₉及

q

₁

~

q

₉為待定係數，所以需要至少 9 個點之已知座標來解得關係式中之待定係數。 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x p x p y p xy p x p y p x y p xy p x y p y q x q y q xy q x q y q x y q xy q x y q ′ = + + + + + + + + ′ = + + + + + + + + (1) 方法 2：雙立方(bi-cubic)內插函數考慮影像扭曲時相對於以影像中心為原點之 x、y 軸同時存在有對稱性與反對稱性，因此除了雙二次內插函數外，亦針對雙立方函數之校正效能進行研究。使用雙立方內插函數時，兩座標系統間之關係式與(1)式類似，唯未知數較多，需有至少 16 個已知座標方能求得關係式中之待定係數。以上內插函數分別有 18 個及 32 個待定係數，因此校正圖上應該至少有比待定係數數量一半為多的已知實體座標，才能求得待定係數值。然通常的情況是，已知實體座標數量遠大於待定係數的數量，此時可以利用最小二乘法擬合內插函數。這種作法的一個附帶好處是，影像擷取及數位影像分析時不可避免的雜訊及誤差，均可透過擬合過程過濾掉，有助於提高量測的準確性。

四、實驗結果與討論

本研究中將一試體放置於水平平移機上，此水平平移機可分別在 x 與 y 方向移動，最小的刻度為 0.02 mm。使用 Canon EOS 300D 單眼數位相機搭配 Canon EF-S 18-55mm f/3.5-5.6 變焦鏡頭，在焦距為 55 mm、水平平移機之 x、y 軸分別平行相機感光元件（CMOS）之 x、y 軸及相機固定不動的情況下分別攝取標準校正圖與試體在各種不同位移下之剛體位移影像。進而以數位影像關係法進行分析，以比較兩種校正法之效能。

圖 3 至圖 5 所示為一試片沿 x 軸位移 2.56 mm 時，經由數位影像關係法分析所得未經校正與經校正之 x 方向應變場及平均值與標準差。比較圖 3 與圖 4 可發現經由雙二次內插校正後之應變場與未經校正之應變場大致相同，平均應變量之誤差減小（剛體位移之理論應變值為

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0），但標準差幾乎不變。圖 5 所示為以雙立方內插校正後之 x 方向應變場及其平均值與標準差，與圖 3 比較可發現應變場的分佈有顯著不同且應變量較小，其平均值與標準差均有顯著改善。 (a) (b) 圖 3 沿 x 軸位移 2.56 mm 時，未經校正之應變場 (a)及平均值與標準差(b) (a) (b) 圖 4 沿 x 軸位移 2.56 mm 時，經雙二次內插校正後之應變場 (a)及平均值與標準差(b) (a) (b) 圖 5 沿 x 軸位移 2.56 mm 時，經雙立方內插校正後之應變場 (a)及其平均值與標準差 (b)

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同一試體在不同位移量未經校正與經校正後 x 方向應變之平均值與標準差如表 1 所示，由表中可發現在位移量不大時，未校正與經由兩種方法校正後之結果的差異不大，但隨著位移的增加，可發現雙二次內插可以降低平均值的誤差，但是標準差之變化不大，而雙立方內插除了可以降低平均值的誤差外，所得到的標準差也顯著的變小。故經校正後所得之應變結果較未校正結果好，雙立方內插之效能又優於雙二次內插。表 1 X 方向應變之平均值與標準差 ( ×10-6 ) 未校正雙二次內差雙立方內差位移(mm) 平均值標準差平均值標準差平均值標準差 0.02 -6 22 -6 22 -6 22 0.08 -8 33 -9 33 -9 33 0.32 -3 33 -7 33 -5 25 1.28 11 89 -7 90 5 39 2.56 22 222 -10 223 7 61 5.12 45 359 -13 367 12 111 圖 6 至圖 8 為試體沿 x 方向移動 2.56 mm 時未經校正與經二方法校正後之位移場及其平均值與標準差。圖 6 及圖 7 中位移場之變異性較圖 8 中大，此點亦可由比較統計之標準差大小得到，理論上剛體位移時各點之位移量均相同，所以在此位移下以雙立方內插進行校正可以得到較佳之位移分析結果。 (a) (b) 圖 6 沿 x 軸位移 2.56 mm 時，未經校正之位移場 (a)及平均值與標準差(b)

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(a) (b) 圖 7 沿 x 軸位移 2.56 mm 時，經雙二次內插校正後之位移場(a) 及平均值與標準差(b) (a) (b) 圖 8 沿 x 軸位移 2.56 mm 時，經雙立方內插校正後之位移場(a) 及平均值與標準差(b) 表 2 所示為沿 x 方向不同位移下經由數位影像關係法分析位移所得之 x 方向位移平均值與標準差，比較校正前後之位移平均值可發現，經由校正後之位移平均值較未校正時接近實際位移量，但無顯著改善，由校正前後之標準差可發現，在小位移量時三者之差異不大，但是在隨著位移量增加，由雙二次內插校正所得之標準差與校正前幾乎相同，但是雙立方內插所得結果之標準差相較於其他兩者有顯著的改善。表 2 X 方向位移之平均值與標準差(單位：mm) (×10-2 ) 未校正雙二次內插雙立方內插位移(mm) 平均值標準差平均值標準差平均值標準差 0.02 0.742 0.0600 0.745 0.0606 0.744 0.0596 0.08 5.812 0.0922 5.841 0.0943 5.836 0.0848 0.32 28.95 0.0902 29.09 0.0978 29.07 0.0642 1.28 125.6 0.3115 126.2 0.3011 126.1 0.1265 2.56 255.0 0.7694 256.1 0.7348 255.9 0.1931 5.12 509.0 1.342 511.2 1.286 510.8 0.3832

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沿 y 軸移動時，各不同位移量下之應變與位移分析結果如表 3 及表 4 所示，由表 3 可發現應變之平均值及標準差在小位移時變化不大，在位移較大時雙二次內插校正後所得之平均值較佳，但檢視標準差可發現雙立方內插之標準差較小，顯示其所得之應變場變異性較未校正與雙二次內插所得之結果小。比較表 4 中各不同位移量下之平均值與標準差時，獲得與沿 x 方向位移時相似之結果，在小位移時相差不大，而位移較大時，雙立方內插之校正效果較佳。表 3 Y 方向應變之平均值與標準差 ( ×10-6 ) 未校正雙二次內插雙立方內插位移(mm) 平均值標準差平均值標準差平均值標準差 0.02 7 26 7 26 7 26 0.08 -1 23 -1 23 -1 23 0.32 9 23 7 23 9 24 1.28 12 59 8 58 15 26 2.56 15 114 4 113 19 48 5.12 33 225 1 229 31 51 表 4 Y 方向位移之平均值與標準差(單位：mm) (×10-2 ) 未校正雙二次內插雙立方內插位移(mm) 平均值標準差平均值標準差平均值標準差 0.02 1.895 0.0927 1.898 0.0925 1.897 0.0932 0.08 6.955 0.0494 6.976 0.0508 6.973 0.0509 0.32 30.38 0.0837 30.49 0.085 30.48 0.0955 1.28 125.9 0.1900 126.4 0.1648 126.4 0.1343 2.56 254.9 0.3397 255.8 0.2806 255.7 0.1848 5.12 508.5 0.7173 510.4 0.5851 510.2 0.3225 由數位影像關係法分析所得之結果可發現應變與位移場之平均值與實際值相較仍有些許誤差，此誤差可能由下列原因所導致： 1. 實驗所使用的標準校正圖，系由 AutoCAD 繪製後再以印表機列印所獲得，印表機列印時在 x 與 y 方向長度之比值未必是 1。 2. 實驗時水平平移機之 x、y 軸與相機感光元件之 x、y 軸並未完全平行，因此分析所得沿 x 與 y 方向之位移僅為一分量，較實際位移量小。 3. 水平平移機之最小讀數為 0.02 mm，因此在實驗時實際位移量本身也有誤差。若能改善上述幾點，應可增加量測所得平均值之準確度。

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五、結論

本研究針對影像扭曲造成數位影像關係法之分析誤差進行校正，並比較雙二次內插及雙立方內插兩種校正法之優劣。剛體位移之研究結果顯示在小位移時，影像扭曲之影響很小，校正與否對分析結果影響不大。在位移量較大時，以雙二次內插函數進行校正，應變與位移之平均值有改善卻不明顯，但是應變與位移場之變異性則幾乎不變；以雙立方內插函數進行校正時，應變與位移場之變異性明顯變小。本研究所提出之校正方法確能改善由影像扭曲所造成之誤 差，其中雙立方內插函數之校正效能優於雙二次內插函數。

六、參考文獻

[1] D. Raffard, P. Ienny and J.-P. Henry, “Displacement and Strain Fields at a Stone/Mortar Interface by Digital Image Processing”, Journal of Testing and Evaluation. 29, 2001, 115-122. [2] J.C. Kuo, S. Zaefferer, Z. Zhao, M. Winning and D. Raabe, “Deformation Behavior of

Aluminum Bicrystals”, Advanced Engineering Materials. 5, 2003, 563-566

[3] S. Zaefferer, J.C. Kuo, Z. Zhao, M. Winning and D. Raabe, “On the influence of the grain boundary misorientation on the plastic deformation of aluminum bicrystals”, Acta Materialia. 51, 2003, 4719-4735

[4] Shih-Heng Tung, Jui-Chao Kuo and Ming-Hsiang Shih, “Strain Distribution Analysis Using Digital-Image-Correlation Techniques”, 18th KKCNN Symposium on Civil Engineering, Taiwan, December 19-21, 2005, 213-218. [5] 李國誌，應用數位影像關係法於微試件變形之量測，國立成功大學機械工程學系碩士論文，2002。 [6] 陳天賜，應用數位影像相關法於微試件之測試，國立成功大學機械工程學系碩士論文， 2003。 [7] 江偉傑，數位影像法於變形量測，國立雲林科技大學機械工程學系碩士論文，2004。 [8] 郭瑞昭、童士恒、施明祥、陳志慶， “數位光學測量於固體材料變形分析之應用”，九十四年電子計算機於土木水利工程應用研討會，台南，2005 年 9 月。

[9] R. I. Hartley. “An algorithm for self calibration from several views.” In Proceedings of the IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, Seattle, WA, June 1994, 908-912,. [10] R. Bowden, T.A. Mitchell and M. Sarhadi,”Non-linear statistical models for the 3D

reconstruction of human pose and motion from monocular image sequences”, Image And Vision Computing. 18, 2000, 729-737。

[11] 許捷皓，應用校正板與鏡頭光學參數的內視鏡影像校正法，中原大學電子工程學系碩士論文，2004。

[12] 林志鴻，內視鏡影像之扭曲校正與病兆面積之量測，大葉大學電機工程學系碩士論文， 2000。

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[13] 簡大淵，內視鏡影像序列之自動校正、重構與病灶量測，國立成功大學資訊工程學系碩士論文，2001。

[14] 林高輝，映射函數三維空間影像量測技術研究，中原大學機械工程學系博士論文， 2000。

[15] M. Chang and W. C. Tai, “360-deg profile noncontact measurement using a neural network.” Opt. Eng. 34, 1995, 3572-3576.

[16] W. C. Tai and M. Chang, “Non-contact profilometric measurement of large-form parts,” Opt. Eng. 35, 1996, 2730-2735.