解可滿足性問題之新區域搜尋演算法
曾怜玉 國立中興大學資訊網路與多媒體研究所 國立中興大學資訊科學與工程學系 Email: [email protected] 林祐安 國立中興大學資訊科學與工程學系 Email: [email protected] 摘要－可滿足性問題(satisfiability problem) 為計算複雜度 NP 是否等於 P 問題的核心問題， 並在人工智慧、硬體設計、VLSI 測試與驗證、 最佳化問題等領域有諸多應用。本研究中使用一 改良的區域搜尋演算法來解可滿足性問題。針對 目前為止所發展的演算法的弱點，以下列方法加 以克服：1. 提出新的適應度函數以加強對搜尋之 引導；2. 並於區域搜尋演算法中加入重設條件， 捨棄陷於區域最佳解附近的解以達到系統化的 搜 尋 。 我 們 應 用 本 論 文 所 提 出 之 演 算 法 於 Gottlieb、Marchiori 與 Rossi 於 2002 年所匯整的 題組中，和其他演算法進行比較，獲得了不錯的 成果。 關鍵詞－區域搜尋演算法、可滿足性問題。一、前言
可滿足性問題(satisfiability problem, SAT)為 一決定性問題(decision problem)，並可簡述如 下：對一給定的布林表示式:Bn B,B
0,1 而言，是否存在有一組解
n n B x x x X 1, 2,, 而 滿 足 (satisfy) 此 一 布 林 表 示 式 ， 意 即 使
1 X ？此一問題自 1971 年經 Stephen Cook 證明為 NP-Complete 問題後，便一直處於計算複 雜度 NP 是否等於 P 問題的核心，近三十年來引 起相當多的討論與研究。此外可滿足性問題，在 諸如人工智慧、硬體設計、VLSI 測試與驗證、 最佳化問題等領域中，都有廣泛的應用。 截至目前為止，對於所有解可滿足性問題的 演算法，依概念不同，可分為兩大類：complete algorithms 與 incomplete algorithms 。 前 者 以Davis-Putnam algorithm ， 一 個 以 branch-and-bound 為基本概念的演算法為首，以 依序決定各個變數之值的方式，有效走訪並檢驗 所有可能的解；此類型演算法之優點在於，能夠 確實的驗證一布林表示式是否存有可滿足之 解，但相反的，由於其最壞情況的時間複雜度仍 然為指數複雜度，面對變數較多的題目將相當吃 力。因應前述弱點，泛指區域搜尋與基因演算法 等啟發式演算法(heuristic algorithms)為基礎的 incomplete algorithms 被大量提出，此類演算法由 一組或多組任意解出發，運用不同的策略，以一 次替換，或稱「翻動(flip)」一個或多個變數之值 的方式在解空間中搜尋，以期獲得可滿足布林表 示式之解。 有鑑於以區域搜尋為基礎的演算法在限制 滿足問題(constraint satisfaction problem, CSP)的 成功[1]，Gu [13]與 Selman、Levesque、Mitcheel [20]兩組人於 1992 年分別提出簡單而有效率 SAT 1.1 與 Greedy SAT(GSAT)兩種演算法，正式 將區域搜尋的概念引進解可滿足性問題的演算 法當中。同年稍晚，Gent 與 Walsh 歸納整理並提 出了一個泛用的區域搜尋演算法框架，GenSAT 架構[8]，使得接下來的數年內，以區域搜尋為基 礎的演算法包括 Walk SAT (WSAT) [21]、Historic SAT (HSAT) [9]等如雨後春筍般出現，也帶動了 屬 相 同 性 質 的 變 動 鄰 域 搜 尋 (variable
neighborhood search) [14]、禁忌搜尋(tabu search) [18]、模擬退火(simulated annealing) [3]為基礎的 演算法的投入。但是，以區域搜尋為基礎的演算 法其搜尋時間過長、容易陷入區域最佳解等缺點 仍未解決。 以基因演算法為基礎的演算法，早在 1989 年便由 de Jong 與 Spears [5]提出，但是由於效能 比 不 上 針 對 問 題 特 性 發 展 的 complete algorithms，因此沉寂了相當的一段時間。中途雖 歷經在基因表示法(chromosome representation)、 適應度函數(fitness function)等基本設定上的討 論，但一直到 1997 年，Eiben 與 van der Hauw 提出 SAWEA [6]，於傳統基因演算法中加入自動 調適的適應度函數，才再度引起眾人的注意，陸 續發展出 RFEA [10]、RFEA2 [11]、FlipGA [17]、 ASAP [19]等等不同的演算法；其中又以 FlipGA 結合基因演算法與區域搜尋演算法的作法最受 矚目。
混合區域搜尋的基因演算法，又稱基因區域 搜尋演算法(genetic local search algorithm)或瀰集 進化演算法(memetic algorithm)，是近年來新興的 概念：在基因演算的父代與子代之間，對部分或 全部的染色體執行區域搜尋演算法來改良染色 體品質，以期求得更佳解。除 FlipGA 與 ASAP 外，Hao、Lardeux 與 Saubion 三人於 2003 年所 提出、並於 2007 年改良的 GASAT 演算法也同屬 此類[15][16]。 綜觀 incomplete algorithms，其實仍存在有下 列主要缺點：1.搜尋不夠系統化，有可能在區域 最佳解附近花費過多時間搜尋；2.目前所慣用之 適應度函數對於引導搜尋的能力不夠，導致無法 有效獲得可滿足之解；3.演算法的泛用性不足， 對於變數數量較少的題組有效的演算法，在變數 數量較多的題組中則表現不佳，反之亦然。因應 以上缺點，本研究由目前已知最有效之區域搜尋 演算法 WSAT 出發，並提出下列方法加以克服： 1.提出新的適應度函數以加強對搜尋之引導，縮 短搜尋時間；2.並於區域搜尋演算法中加入重設 條件，捨棄陷於區域最佳解附近的解以達到更有 效率的搜尋。 本論文結構如下：第二節為問題之定義；第 三節簡介區域搜尋演算法 WSAT；於第四、五節 介紹本研究所提之改良方法；並於第六節將本研 究所提出之各項概念整合，一覽整個區域搜尋演 算法；最後於第七節列出本方法在各題組之實驗 成果並與其他演算法做一比較；第八節則總結本 論文研究成果，並建議後續之研究方向。
二、問題定義
可滿足性問題定義如下：對一指定的布林表 示式:Bn B,B
0,1 而言，是否存在有一組 解
n n B x x x X 1, 2,, 使得 X
1？ 在不影響複雜度的情況下，為求格式之簡 潔，所有可滿足性問題之布林表示Φ式皆轉為一 種稱作 conjunctive normal form (CNF)的標準格 式。此格式定義如下：令C
C1,C2,,Cm
為布 林變數x1,x2,,xn所構成 m 個子句(clause)之集 合，且每個子句C 為|i C |個字母(literal) l 以 ORi 運算子串聯，即： ij C j il
C
i 1
字母 l 可為任意變數 xj 或其相反﹁xj 其中之一 種；子句與子句之間則以 AND 運算子串聯，意 即： ij C j m i i m iC
l
i 1 1 1
換言之，若有一解組解 X 能夠使所有子句滿足， 意即使所有子句之運算結果為１，則此組解必能 滿足題目所給定的布林表示式。
三、WSAT 演算法與 minimizing breaks
WSAT 演算法於 1994 年由 Selman、Kautz、 Cohen 三人所提出，並於 1997 年時改良[22]。此 一演算法可敘述如下： 1. 初始化，以亂數隨機產生一組解。 2. 隨機選擇一未滿足之子句。 3. 隨機產生一介於 0 與 1 之間的數 r，並與事 先決定好的參數 p 比較：若 r > p，則在子 句中隨機選擇一變數，否則，評估子句內 所有的變數並選擇得分最高或最低者翻 動。 4. 當尋獲一可滿足布林表示式之解，或翻動 次數達到預先設定的上限，程式即終止。 與其他區域搜尋演算法相比，WSAT 有兩項 獨創之處：一是參考摸擬退火演算法，在搜尋過 程中加入 random walk 機制；二則是評估函數的 創新。 在 1997 年 Selman 等人所提出的論文中，一 共提出了六種不同的評估函式，其中最重要者， 便為 minimizing breaks 評估函式。 一般而言，對一解 X，翻動其中任意一變數 xj 將可能造成未滿足且含有 xj 之子句轉變為滿 足，但也有可能使得含有 xj且已滿足之子句轉為 不滿足，將此兩者的數量以前者減去後者，即可 得 出 翻 動 變 數 xj 所 能 夠 改 進 解 X 的 量 。 minimizing breaks 之概念，相較之下有些許不 同，只記錄翻動 xj後，原為滿足且含有 xj之子句 轉變為不滿足的子句數。此一方法十分簡單卻很 有效率，常做為後繼演算法比較之對象。 本研究則以 WSAT 演算法與 minimizing breaks 評估函式出發，加入第四節之輔助性適應 度函數與第五節之重設條件，加以改良，提出一 新的區域搜尋演算法。
四、輔助性適應度函數
flit由 Eiben 與 van der Hauw [7]的研究結果可 知，單純以計算已滿足之子句數的適應度函數 MAXSAT f ，對於解可滿足性問題之引導是不足的， 因此，本研究提出一新的輔助性適應度函數 flit 以加強搜尋。此一函數可以以下列方式表示：
X
m
f
X
f
X
f
Total
MAXSAT
lit
m i i m i i lit C t X f 1 1 1 其中 m 為子句的數目，ti為子句 Ci中為真的字母 之個數，|C |為子句 Ci i中所含有的字母數，並以 少者為佳。 此一輔助性之 適應度函數 ，其概念來自 Gottlieb 與 Voss 提出之 RFEA 演算法，其建議可在原有之 fMAXSAT加上一精練函數以加強搜尋。對
lit
f 而言，其概念則來自 Selman 等人所提出之
WSAT 的 minimizing breaks 演算法及 Hoa 等人所 提出的 GASAT 演算法，但運算過程更為簡化而 易於計算：對所有的已滿足的子句而言，最好的 情況是子句中只存在有一個為真的字母，使得其 餘的字母能夠滿足更多其他的子句；對於含有 xj 且已滿足之子句轉為不滿足的情況，表示此一子 句中為真的字母只有 xj，故不應選擇此一 xj作為 翻動的目標；為達成此一概念，本適應度函數計 算一解 X 在布林表示式Φ中，所能使之為真的字 母數 ，並除以總字母數加一 ， 使其正規化至
1 0flit X 之間。【圖 1】區域搜尋法進入了一個平坦的高原地帶
在與 minimizing breaks 合用時， f 依照貪lit
婪原則，挑出翻動前與後進步最多者；但由於 minimizing breaks 是選擇最少者，故兩者合併 時，將 f 加上一負號再行加總，即：lit
x
j
Minimizing
breaks
x
j
Score
_
flip
X
x
f
X
f
lit,
j
lit 其中 flip(A,b)表示對解 A 其中的變數 b 作翻動。五、重設條件
在執行區域搜尋演算法的過程當中，有相當 多的機會會陷入區域最佳解而無法脫離，或遇上 一直專注於區域最佳解附近搜尋而不自知的情 況。在這種情形中，基因演算法或許可以發揮其 功能，帶領當前解往較好的區域移動，但仍不足 以避免陷入同一個區域最佳解；基因區域搜尋演 算法則往往會在區域最佳解附近花費過多的時 間進行區域搜尋，壓縮到對解空間其餘區域作搜 尋的時間，使得最後成果不佳。 本論文提出三種重設條件，顧名思義，當區 【圖 2】區域搜尋法在本次最佳解周圍反覆搜尋 域搜尋演算法遇到此三項條件的任一情況時，表 示目前解有可能位於一個區域最佳解附近，或位 於一個解品質不甚良好的高原區上，在對該區域 作短暫的搜尋以確認無全域最佳解存在於附近 後，即可終止目前搜尋，以亂數產生新的解，於 解空間中的另一區開始搜尋；更甚之，此一區域 最佳解會被列入禁忌列表中，以防止將來在同一 區浪費時間作搜尋。此三項重設條件詳細設定如 下： 第一項重設條件為 Stuck 次數，即未進步次 數。如同圖 1 所示，若區域搜尋演算法經過 stuck-limit 次的翻動仍未更新本次最佳解 pBest 時，則有可能表示搜尋進入了一個平坦的高原區 域，附近沒有任何全域或區域最佳解存在，在這 種情況下，多對此一區域進行搜尋有很大的可能 是浪費時間，故需經重設步驟跳離此一區域。 第二項重設條件為 Loop，即本次最佳解的 重複次數。如圖 2 所示，區域搜尋演算法有可能 在找到一區域最佳解後，不斷的在其周圍反覆的 搜尋而無法跳脫區域最佳解的範圍，此一情況同 樣也會造成搜尋時間的浪費，對此，本論文採用 solution space pBest 目前解 X solution space pBest 目前解 X【圖 3】 reSAT 演算法 Procedure reSAT(Φ, T, Max-flips, p)
pBest ← T, stuck ← 0, loop ← 0, f ← 0 for i ← 1 to Max-flips do
if T satisfies Φ then return (T, f)
Unsat-clause ← select-a-unsat-clause(Φ, T)
r ← random([0, 1]) ▽隨機選擇一未滿足之子句
▽並產生一介於零與一之間的數 if r < p then V ← random-pick(Unsat-clause)
▽若 r < p，則在字句中隨機挑選一變數 else for each variable in Unsat-clause do
scorej ← score(xj) ▽否則，評估子句內所有的變數 end V ← minimum(score) ▽取 score 最小之變數為 V end T ← flip(T, V)
if T is in tabu list then f ← 1, return (T, f)
else if T is better than pBest then
pBest ← T, loop ← 0, stuck ← 0 else if T = pBest then
loop ← loop+1
if loop > loop_limit then f ← 1 else if T is worse than pBest then
stuck ← stuck+1
if stuck > stuck_limit then f ← 1 end
end
if f = 1 and pBest is not in tabu list then add pBest into tabu list
end
【圖 4】 測試區域搜尋演算法之虛擬碼 的策略如下：當區域搜尋演算法得到一新的本次 最佳解 pBest 後，計算其找到同一個解的次數， 當次數大於 loop-limit 時，則視為陷入區域最佳 解之中，準備重設該解。 第三項重設條件為 Tabu，即禁忌搜尋。為了 防止反覆對可能沒有全域最佳解的區域進行搜 尋，本論文所提出之區域搜尋演算法會在一解因 前述兩者原因重設時，將其加入禁忌名單(tabu list)之中；在執行區域搜尋時，若目前解可於禁 忌名單中尋獲，則視為重複搜尋之前認定無全域 最佳解的區域，並重設該解。在實作上，根據所 觀察到的結果，對本論文所提出的適應度函數 TOTAL f 來說，內容相異的兩個染色體，得出相同 的適應度值的機率相當低；故利用此一現象，我 們可以設計一非常長的禁忌名單而不使系統負 荷過重且節省比對搜尋的時間，以確保無全域最 佳解的區域不會被重複搜尋。
六、區域搜尋演算法整體架構
圖 3 詳列出本論文所提出之區域搜尋演算 法。為了易於記憶，取其反覆重設之意，將此演 算法記為 reSAT。區域搜尋演算法 reSAT 可敘述 如下： 1. 初 始 化 ： 將 輸 入 解 X 設 為 本 次 最 佳 解pBest，並將未進步次數 stuck、重複次數 loop
設為 0、「需重設」旗標 f 設為 0。 2. 從布林表示式Φ中，隨機選出一未被目前 解 X 滿足之子句 Ck。 3. 亂數產生一介於 0 與 1 的數，若此數小於 門檻值 p，則執行步驟 4，否則執行步驟 5。 4. 依步驟 3 之結果在 Ck中隨機選擇一變數 x。j 5. 對 Ck中所有出現的變數執行評估，並選出 分數最小者 xj。 6. 對目前解 X 中之變數 xj執行翻動。 7. 檢查目前解 X 是否存於禁忌列表中，若 有，則結束演算法並回傳「需重設」。 8. 檢查目前解 X 是否與本次最佳解 pBest 相 等，若相等，則重複次數 loop 加一，且若 重複次數已達上限 loop-limit，則將需重設 旗標 f 設為 1。 9. 檢查目前解 X 是否大於本次最佳解 pBest， 若大於，則未進步次數 stuck 加一，且若未 進步次數已達上限 stuck-limit，則將需重設 旗標 f 設為 1。 10. 重複步驟 2 至 9，直到達到停止條件或尋 獲全域最佳解為止。 為了使本研究所提出之區域搜尋演算法能 夠獨立運作，以利測試其效能，我們用一簡易的 演算法外加於區域搜尋演算法之外，來達到測試 的目的。圖 4 說明了此一演算法之虛擬碼。
七、研究結果與資料分析
本研究中所使用的題組為 random 3-SAT 問 Procedure reSAT-test(Φ) T ← initial(Φ) ▽隨機產生一組初始解 for i ← 1 to Max-flip do (T, f) ← reSAT(Φ, T, flips-limit, p) ▽執行區域搜尋演算法if T satisfies Φ then return T if f = 1 then T ← initial(Φ) ▽若 T 需重設，產生另一組解 end
題。在所有子句之字母數為三的情況下，根據研 究指出，子句數量與變數數量與的比值低於 4.3 時，由於子句數量、或限制條件過少，使得題目 容易被找到可滿足之解；Back、Eiben 與 Vink[2]， Gottlieb 與 Voss[10]，Marchiori 與 Rossi[17]，de Jong 與 Kosters[4]等四組研究人員，利用 mkcnf 產生器，以強迫有可滿足之解的方式，分別產生 四小組題目，並在 Gottlieb 等人發表的論文中， 統整為一個大題組[12]。此題組包括題目數量、 大小等詳細資料請見表 1。對此題組，我們採用 Gottlieb 等人論文之中的比較方法，在限制條件 為 300,000 次翻動的上限下，對每個題目執行 50 次的測試，以比較於各個題目中，尋獲可滿足方 程式之解的成功率(success rate, SR)及比較尋獲 最佳解所需翻動的平均步數。 本研究以表 2 所列之參數設定進行實驗，並 將測試之結果與表 3 列出。 此 外 ， 本 研 究 將 與 GASAT 、 SAWEA 、 RFEA、RFEA2+、FlipGA、ASAP、WSAT 共七 種演算法做比較，以下為各演算法簡單的介紹：
GASAT：2006 年，Hoa 等人提出，採用與 FlipGA 相似的，結合基因演算法與區域搜尋演算法的概 念 ， 並 加 入 了 禁 忌 搜 尋 演 算 法 及 改 良 式 的 uniform crossover 等方法。
SAWEA：由 Eiben 與 van der Hauw 於 1997 年提
出，利用一隨時間改變的適應度函數 fSAW，或稱
權重逐步適應法(Stepwise Adaptation of Weights, SAW)，搭配基因演算法做搜尋；若某一子句在 搜尋過程中一直沒有被滿足，則此法會將該子句 之權重提高，藉以加強對其之搜尋力度。
RFEA2 與 RFEA2+：此兩種演算法由 Gottlieb 與 Voss 於 1998 年提出，利用精練函數將所有的變 數加上一權重，並隨時間經過調整權重，以決定 在搜尋時，該變數的值應該偏向零或一。 【表 1】 題組之詳細資料 小 題 題 目 數 不同變 數量的 題目數 變數數量 n 出處 A 12 3 30, 40, 50, 100 參考文獻[2] B 150 50 50 參考文獻[10] 75, 100 參考文獻[17] C 500 100 20, 40, 60, 80, 100 參考文獻[4] 【表 2】 測試區域搜尋演算法之參數設定
每回合執行步數 flips-limit p stuck-limit loop-limit
Φ所含變數量之 4 倍 0.3 1000 3
FlipGA：由 Marchiori 與 Rossi 於 1999 年提出， 此法先由基因演算法產生子代，再由區域搜尋演 算法來改進子代的品質，並重複以上步驟來做搜 尋。 ASAP：FlipGA 之變體，於 2000 年提出，不同 點在於改進了區域搜尋演算法的做法，及利用一 表格儲存目前已知的十個最佳解，用以自動調整 各個變數之突變率(mutation rate)。 WSAT：詳見第三節之敘述。 與其他演算法的比較結果列於表 3 中，另為 求註記簡潔，表 3 採英文標示，第二行各項為：
【表 3】reSAT 區域搜尋演算法與其他演算法之比較結果 Instances Suite A A A A B B B C C C C C n.b. 3 3 3 3 50 50 50 100 100 100 100 100 var. 30 40 50 100 50 75 100 20 40 60 80 100 reSAT SR(%) 100 100 100 100 100 99 89 100 100 100 99 90 flips 810 414 4947 11260 4757 23125 49891 256 1849 11269 30055 52249 GASAT SR(%) 99 100 91 95 96 83 69 100 100 97 66 74 flips 1123 1135 1850 7550 2732 6703 28433 109 903 9597 7153 1533 SAWEA SR(%) 100 93 85 72 - - - 100 89 73 52 51 flips 34015 53289 60743 86631 - - - 12634 3598 8 47131 62859 69657 REFA2 SR(%) 100 100 100 99 100 95 77 100 100 99 92 72 flips 3535 3231 8506 26501 12053 41478 71907 365 3015 18857 50199 68053 REFA2+ SR(%) 100 100 100 97 100 96 81 100 100 99 95 79 flips 2481 3081 7822 34780 11350 39396 80282 365 2951 19957 49312 74459 FlipGA SR(%) 100 100 100 89 100 82 57 100 100 100 73 62 flips 25490 17693 127900 116653 103800 29818 20675 1073 1432 0 127520 29957 20319 ASAP SR(%) 100 100 100 100 100 87 59 100 100 100 72 61 flips 9550 8960 68483 52276 61186 39659 43601 648 1664 4 184419 45942 34548 WSAT SR(%) 100 100 100 100 95 84 60 100 100 94 72 63 flips 1631 3742 15384 19680 16603 33722 23853 334 5472 20999 30168 21331
【表 4】 區域搜尋演算法 reSAT 測試結果 題 組 題 數 變數 量 成功率 SR (%) 平均翻動次 數 平均時間 (秒) 平均重設次 數 stuck 重設 數 loop 重設 數 tabu 重設 數 A 3 30 100 810.5 0.06 5.57 0 5.34 0.22 A 3 40 100 414.2 0.042 2.08 0 2.03 0.04 A 3 50 100 4947.9 0.52 20.92 0.13 20 0.79 A 3 100 100 11260.7 2.21 19.46 0.61 18.12 0.73 B 50 50 100 4757.9 0.50 19.54 0.16 18.42 0.96 B 50 75 99.32 23125.5 3.48 64.88 0.64 59.23 5.00 B 50 100 88.84 49891.3 9.76 99.68 1.62 89.51 8.55 C 100 20 100 256.7 0.02 2.25 0.01 2.16 0.09 C 100 40 100 1849.8 0.17 9.07 0.08 8.65 0.34 C 100 60 99.70 11269.1 1.39 39.54 0.33 36.47 2.74 C 100 80 99.14 30055.9 4.79 77.54 0.89 70.86 5.78 C 100 100 89.52 52249.0 10.23 104.71 1.69 93.56 9.46 題組 Suite、題數 n.b.、變數量 var.、成功率 SR、 平均翻動次數 flips。 在表 3 中可以看到，本論文所提出之 reSAT 區域搜尋演算法與其他演算法相比，尤其是在變 數數量等於一百的題目中，是相當具有效能的； 並於表 4 中可見，本論文為區域搜尋演算法所提 出之三種重設條件為可用的，而且以 loop 條件與 tabu 條件出現之頻率為最高。
八、結論與未來研究方向
在解可滿足性問題的演算法中，常存在有下 列主要缺點：1.搜尋不夠系統化，有可能在區域 最佳解附近花費過多時間搜尋；2.目前所慣用之 適應度函數對於引導搜尋的力道不夠，導致無法 有效獲得可滿足之解；3.演算法的泛用性不足， 對於變數數量較少的題組有效的演算法，在變數 數量較多的題組中則表現不佳，反之亦然。 本論文提出一新的區域搜尋演算法，除了加 入三種重設條件，使得搜尋過程中能夠提早預知 並避免重複搜尋區域最佳解外，利用「對所有的 已滿足的子句而言，最好的情況是子句中只存在 有一個為真的字母，使得其餘的字母能夠去滿足 更多其他的子句」的概念，加入了新的輔助性適 應度函數 f ，使得所提之區域搜尋演算法 reSATlit 搜尋能力更強。 實驗結果顯示，本論文中所提的兩項主要策 略，尤其在變數量等於一百的題目中，能夠有效 提升解可滿足性問題演算法的效能。 在未來的研究中，為了在能夠更快獲得更好 的解，有兩個主要方向可以改進：第一是本文中 之適應度函數，雖在本論文中已獲得不錯的成 果，但實際上對其理論驗證稍嫌不足，使其仍有 改進的空間；第二則是增加一個上層基因演算 法，使本演算法對於變數較多的題組也能有好的結果。另外，也可以往平行運算領域發展，藉以 增進解題效率。
九、參考文獻
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