3～4

3～4 ^冊

重點回顧 課×習經典題 ＋

會考×基測 基礎題

會考仿寫類題 模擬試題 ＋

會考×基測 精熟題

會考×基測 素養題

課習解題影片＋會考解題影片＋仿寫類題＝最佳複習

第三冊 第四冊 第一章 乘法公式與多項式

【重點回顧】 ………．

01

【課本習作】經典題型(第○49○50回)…

02

【會考基測】基礎題、精熟題、素養題 ( 第○51○52○53回 )…………

04 第二章 平方根與畢氏定理

【重點回顧】 ………．

07

【課本習作】經典題型(第○54○55回)…

08

【會考基測】基礎題、精熟題、素養題 ( 第○56○57○58回 )…………

10 第三章 因式分解

【重點回顧】 ………．

13

【課本習作】經典題型(第○59○60回)…

14

【會考基測】基礎題、精熟題、素養題 ( 第○61○62○63回 )…………

16 第四章 一元二次方程式

【重點回顧】 ………．

19

【課本習作】經典題型(第○64○65回)…

20

【會考基測】基礎題、精熟題、素養題 ( 第○66○67○68回 )…………

22 第五章 統計資料處理與圖表

【重點回顧】 ………．

25

【課本習作】經典題型(第○69○70回)…

26

【會考基測】基礎題、精熟題、素養題 ( 第○71○72○73回 )…………

28 仿寫類題 (第 ○

回 )

31

(含基礎題、精熟題、A^＋＋題、非選題)

第一章 數列與等差級數

【重點回顧】 ………．

35

【課本習作】經典題型(第○75○76回)…

36

【會考基測】基礎題、精熟題、素養題 ( 第○77○78○79回 )…………

38 第二章 函數及其圖形

【重點回顧】 ………．

41

【課本習作】經典題型(第○80○81回)…

42

【會考基測】基礎題、精熟題、素養題 ( 第○82○83○84回 )…………

44 第三章 三角形的性質與尺規作圖

【重點回顧】 ………．

47

【課本習作】經典題型(第○85○86回)…

49

【會考基測】基礎題、精熟題、素養題 ( 第○87○88○89回 )…………

53 第四章 平行與四邊形

【重點回顧】 ………．

57

【課本習作】經典題型(第○90○91回)…

58

【會考基測】基礎題、精熟題、素養題 ( 第○92○93○94回 )…………

60

仿寫類題 (第 ○

回 )

63

(含基礎題、精熟題、A^＋＋題、非選題)

第 1～4 冊模擬試題(第 ○

回 )

70

【掃QR-CODE 小撇步，將邊長約 10 公分的正方形紙，挖個邊長約 2 公分的正方形孔】

*本《會考特訓班》所附之均一教育平台影片二維碼連結，皆經由均一平台教育基金會以「創用

主題 重 點 內 容 分配律

設a、b、c、d 是任意數，則 ( a＋b ) ( c＋d )＝ac＋ad＋bc＋bd。

○例 102×108＝(100＋2) (100＋8)＝100×100＋100×8＋2×100＋2×8＝11016。

○例 102×99＝(100＋2) (100－1)＝100×100－100×1＋2×100－2×1＝10098。

平方 公式

設a、b 是任意數，則

(1) 和的平方公式：(a＋b)²＝(a＋b) (a＋b)＝a²＋2ab＋b² (2) 差的平方公式：(a－b)²＝［a＋(－b )〕²＝a²－2ab＋b²

○^例 37²＋2×37×23＋23²＝( 37＋23 )²＝60²＝3600

○^例 10.5²＝(10＋0.5)²＝10²＋2×10×0.5＋0.5²＝100＋10＋0.25＝110.25

○^例 299²＝( 300－1 )²＝300²－2×300×1＋1²＝90000－600＋1＝89401

○^例 212²－2×212×12＋12²＝( 212－12 )²＝200²＝40000 平方差

公式

設 a、b 是任意數，則 ( a＋b ) ( a－b )＝a²－ab＋ba－b²＝a²－b²

○^例 103×97＝( 100＋3 ) ( 100－3 )＝100²－3²＝10000－9＝9991

○^例 12.5²－2.5²＝( 12.5＋2.5 ) ( 12.5－2.5 )＝15×10＝150

多項式

(1)由數與文字符號 x 進行加法和乘法運算的 代數式稱為x^的多項式。○^例 5x³－2x²＋7。

(2)一個多項式中，係數不為 0 的最高次項，其 次數為此多項式的^次數，如右為^{三次多項式}。 多項式

的 加減法

(1)橫式計算：先去括號再合併同類項。○^例 (5x²＋3x＋1)＋(x²－x)＝5x²＋3x＋1＋x²－x＝6x²＋2x＋1 (2)用直式計算：習慣上先把多項式按降冪排列，再缺項補 0，最後對齊同類項做運算。

○^例 2x² － x ＋ 3 ○^例 2x² － x ＋ 3 ＋) 5x² ＋ 0x － 1 －) 5x² ＋ 0x － 1

7x² － x ＋ 2 －3x² － x ＋ 4

多項式 的 乘除法

多項式的乘法 多項式的除法：

(1)橫式：利用分配律展開後再合併同類項。 (1)餘式的次數必須低於除式或等於 0。

○^例 (2x＋1)(3x－1)＝6x²－2x＋3x－1＝6x²＋x－1。 (2)先降冪排列，缺項補 0 後再做運算。

(2)直式：降冪排列，缺項補 0，對齊同類項。 ○^例

○^例 3x ＋ 4 ×) x² ＋ 2x － 3

－ 9x －12 ← (3x＋4)×(－3) 6x² ＋ 8x ← (3x＋4)×(2x) 3x³ ＋ 4x2 ← (3x＋4)×(x²)

3x³ ＋10x² － x －12 (6x²＋5x－7)÷(2x－1)的商式為 3x＋4，餘式為－3 利用

乘法公式 做多項式 的乘法

做多項式的乘法時，若能寫成乘法公式的型式，可以用乘法公式展開。

○^例 利用和的平方公式：(3x＋4)²＝(3x)²＋2‧3x‧4＋4²＝9x²＋24x＋16

○^例 利用差的平方公式：(5x－6)²＝(5x)²－2‧5x‧6＋6²＝25x²－60x＋36

○^例 利用平方差公式：(x²＋7) (x²－7)＝(x²)²－7²＝x⁴－49 被除式、

除式與商 和餘式的 關係

多項式除法中：被除式＝除式×商＋餘式。

○^例 (9x²＋8)÷(3x＋1)的商式為 3x－1，餘式為 9。 9x²＋8＝( 3x＋1 ) ( 3x－1 )＋ 9

○^例 若多項式A 除以 2x＋3 得商式為 4x－1，餘式為 7，求多項式 A。

[解] A＝( 2x＋3 ) ( 4x－1 )＋7＝8x²－2x＋12x－3＋7＝8x²＋10x＋4

國中

數學 會 考 特 訓 班 第一章 乘法公式與多項式

第 3 ^冊 重點回顧

a b c d ac

ad

bc bd a b

a

b a²

ab ba

b²

a

a a－b b

a－b

b

(a－b )²

_三次項 二次項 一次項 常數項 5x³ ＋ (－2 ) x² ＋ 0x ＋ 7 ↑ ↑ ↑ 三次項係數 二次項係數 一次項係數

性質符號為數字的＋、－，讀作正、負；

運算符號＋、－表示運算，讀作加、減。

第1.、2. 題，每題 6 分；3.～5. 題，每格 6 分；6.～9. 題，每題 7 分，共 100 分 ( C ) 1. 若A 為正整數，且滿足 999²＝A＋1，則 A 與下列何者相等？

(A) ( 999＋1 )² (B) ( 999－1 )²

(C) ( 999＋1 ) ( 999－1 ) (D) ( 999＋1 )² ( 999－1 )²

2. 設 a＝84²－14²、b＝82²－12²、c＝94²－46²，比較a、b、c 的大小順序。

答 ： ＞ ＞ 。 3. 利用乘法公式計算下列各式的值：

(1) 59²＋2×59×1＋1²＝ 。 (2) 89²－2×89×39＋39²＝ 。 (3) 38×0.3＋38×0.7＋41×0.3＋41×0.7＝ 。

(4) ( 251

4 )²－( 243

4 )²＝ 。 (5) 101 4 ×9

3

4 ＝ 。 (6) ( 50＋0.9＋0.8＋0.7 )²－( 50－0.9－0.8－0.7 )²＝ 。

4. 化簡下列各多項式：

(1) 3x²－4x＋5－2x＋7x²－9＝ 。 (2) 9x³＋8x²－7x＋6－5x³＋4x²＋3＝ 。 5. 計算下列各式：

(1) ( 4x²＋7 ) ( 3－x )＝ 。 (2) ( 3x－5 ) ( 2x²＋7x )＝ 。

6. 若 3x²－13x＋18 除以多項式 A 得商式為 x－3，餘式為 6，則 A＝ 。 7. 10 月 10 日是中華民國的國慶日，彥廷要自製國旗

前往總統府參加升旗典禮。如右圖，他先畫出國 旗手稿，塗上顏色，則塗上紅色部分的面積為何？

(以 x 的多項式表示) ^答 ： 。

8. 右圖是一個階梯圖案，若相鄰兩邊線段均互相垂直，其中 AB ＝ CD ＝ EF ＝3x＋2、 BC ＝ DE ＝ FG ＝3x－2，

則階梯圖案面積為 。( 以 x 的多項式表示 )

9. 如右圖，已知△ABC 的面積為 6x²＋13x＋6，若 AB ＝6x＋4，

求 AB 所對應的高為 。( 以 x 的多項式表示 )

49 [課本習作]經典題型 ^{會考特訓班}

第一章 乘法公式與多項式

第 冊

3

第1.～4. 題，每題 7 分；5.～6. 題，每小題 6 分；7.～9. 題，每題 10 分，共 100 分

1. 已知6x²－7x＋1＝( 2x＋1 ) ( 3x－5 )＋6，下列哪一個選項的敘述是錯誤的？ ^答 ： 。 (A) 6x²－7x＋1 除以 2x＋1 得商式為 3x－5 (B) 6x²－7x＋1 除以 2x＋1 得餘式為 6

(C) 6x²－7x＋1 除以 3x－5 得商式為 3x－5 (D) 6x²－7x＋1 除以 3x－5 得餘式為 6 2. 已知 A＝99²，則101²＋97²與下列哪個選項的結果相同？ ^答 ： 。

(A) 2A＋2 (B) 2A＋4 (C) 2A＋6 (D) 2A＋8 3. 計算 133×133

135 ，其值最接近下列哪一個數？^答 ： 。 (A) 131 (B) 133 (C) 135 (D) 137

4. 已知兩數 a 與 b，齊倫將兩數相加後得 a＋b＝14，家綺將兩數相減後得 a－b＝1 7 ， 則a²－b²＝ 。

5. 利用乘法公式計算下列各式：

(1) 93×77＋93×11＋8×77＋8×11＝ 。 (2) 10.5²＋9.5²＝ 。 (3) ( 35²－12² )× 1

47 ＝ 。 6. 計算下列各式：

(1) ( 5x²－4x＋3 )＋(－5x²＋2x－6 )＝ 。

(2) ( 7x²－3x＋6 )＋(－x²＋2x＋3 )－( 3x²＋x－5 )＝ 。 (3) ( 3x²＋2x＋1 ) ( x－2 )＝ 。

(4) ( 10＋x＋12x² )÷( 4x＋3 ) 得商式為 ，餘式為 。 7. 設 A 為多項式，若［A－( 5x²－x－4 )］÷( 3x＋ 4 ) 後，得商式為 2x－1，

餘式為 6，求多項式 A＝ 。 8. 右圖是一個凸形圖案，相鄰兩邊線段均互相垂直，

其中 AB ＝ BC ＝ DE ＝ EF ＝x， FG ＝3x－1，

GH ＝2x²＋3，求凸形圖案面積。(以 x 的多項式表示)

答 ： 。

9. 右圖是一個寬 3x－2、高 7x＋11 的長方形木門，內部有 六塊大小均為寬x－1、高 x＋1 的長方形玻璃。若承安打 算將木門的其中一面重新油漆，則除了這六塊玻璃，需 要油漆的面積為何？( 以 x 的多項式表示 )

答 ： 。

50 [課本習作]經典題型 ^{會考特訓班}

第一章 乘法公式與多項式

第 冊

3

【乘法公式】 基礎題［會考通過率≥ 60%；基測題號第 1~15 題］

( C ) 1. 利用乘法公式判斷，下列等式何者成立？【110 會考】^{通過率 76%}

(A) 248²＋248×52＋52²＝300² (B) 248²－248×48－48²＝200² (C) 248²＋2×248×52＋52²＝300² (D) 248²－2×248×48－48²＝200² ( D ) 2. 計算 ( 320²－160² )× 1

160 之值為何？【97 基測(二)】^{題序第 8 題} (A) 3 (B) 160 (C) 320 (D) 480

( B ) 3. 計算 899²－101²之值為何？【94 基測(一)】^{題序第 8 題} (A) 788000 (B) 798000

(C) 888000 (D) 898000

( D ) 4. 若 1999²－2000²＝1333×a，則 a＝？【93 基測(二)】^{題序第 14 題} (A) 1 (B)－1

(C) 3 (D)－3

【多項式的運算】

( D ) 5. 計算 2x²－3 除以 x＋1 後，得商式和餘式分別為何？【109 會考】^{通過率 73%}

(A) 商式為 2，餘式為－5 (B) 商式為 2x－5，餘式為 5 (C) 商式為 2x＋2，餘式為－1 (D) 商式為 2x－2，餘式為－1

( D ) 6. 計算 ( 2x－3 ) ( 3x＋4 ) 的結果，與下列哪一個式子相同？【108 會考】^{通過率 81%}

(A) －7x＋4 (B) －7x－12 (C) 6x²－12 (D) 6x²－x－12

( A ) 7. 計算 6x ( 3－2x ) 的結果，與下列哪一個式子相同？【106 會考】^{通過率 80%}

(A) －12x²＋18x (B) －12x²＋3 (C) 16x (D) 6x

( A ) 8. 計算 ( 2x＋1 ) ( x－1 )－( x²＋x－2 ) 的結果，與下列哪一個式子相同？

(A) x²－2x＋1 (B) x²－2x－3

(C) x²＋x－3 (D) x²－3 【105 會考】^{通過率 70%}

( D ) 9. 計算 ( 2x²－4 ) ( 2x－1－ 3

2 x ) 的結果，與下列哪一個式子相同？

(A) －x²＋2 (B) x³＋4

(C) x³－4x＋4 (D) x³－2x²－2x＋4 【105 會考(新店重考)】^{題序第 3 題} ( C ) 10. 計算多項式－2x ( 3x－2 )²＋3 除以 3x－2 後，所得商式與餘式兩者之和為何？

(A) －2x＋3 (B) －6x²＋4x

(C) －6x²＋4x＋3 (D) －6x²－4x＋3 【104 會考】^{通過率 66%}

( A ) 11. 若一多項式除以 2x²－3，得到的商式為 7x－4，餘式為－5x＋2，則此多項式為何？

(A) 14x³－8x²－26x＋14 (B) 14x³－8x²－26x－10

51 [會考基測]基礎題型 ^{會考特訓班}

第一章 乘法公式與多項式

第 冊

3

【乘法公式】 精熟題［會考通過率＜60%；基測題號第 16~34 題］

( D ) 1. 若 a、b 為兩質數且相差 2，則 ab＋1 之值可能為下列何者？【106 會考】^{通過率 49%}

(A) 39² (B) 40² (C) 41² (D) 42²

( B ) 2. 判斷下列各式的值，何者最大？【104 會考】^{通過率 55%}

(A) 25×13²－15² (B) 16×17²－18² (C) 9×21²－13² (D) 4×31²－12²

( D ) 3. 計算 ( 250＋0.9＋0.8＋0.7 )²－( 250－0.9－0.8－0.7 )²之值為何？

(A) 11.52 (B) 23.04

(C) 1200 (D) 2400 【100 基測(二)】^{題序第 26 題}

( C ) 4. 若 a 滿足 ( 383－83 )²＝383²－83×a，則 a 值為何？【99 基測(二)】^{題序第 24 題} (A) 83 (B) 383

(C) 683 (D) 766

( B ) 5. 下列四個式子，哪一個值最大？【96 基測(二)】^{題序第 26 題} (A) 777²－27² (B) 852²－48²

(C) 1001²－599² (D) 1006²－604²

【多項式的運算】

( D ) 6. 計算多項式 10x³＋7x²＋15x－5 除以 5x²後，得餘式為何？【103 會考】^{通過率 40%}

(A) 15x－5

5x² (B) 2x²＋15x－5 (C) 3x－1 (D) 15x－5

( D ) 7. 計算多項式 2x³－6x²＋3x＋5 除以 ( x－2 )²後，得餘式為何？【100 基測(一)】^{題序第 22 題} (A) 1 (B) 3

(C) x－1 (D) 3x－3

( B ) 8. 已知有一多項式與 ( 2x²＋5x－2 ) 的和為 ( 2x²＋5x＋4 )，求此多項式為何？

(A) 2 (B) 6

(C) 10x＋6 (D) 4x²＋10x＋2 【99 基測(一)】^{題序第 17 題} ( D ) 9. 將一多項式〔( 17x²－3x＋4 )－( ax²＋bx＋c )〕，除以 ( 5x＋6 ) 後，得商式為

( 2x＋1 )，餘式為 0。求 a－b－c＝？【98 基測(一)】^{題序第 24 題} (A) 3 (B) 23

(C) 25 (D) 29

52 [會考基測]精熟題型 ^{會考特訓班}

第一章 乘法公式與多項式

第 冊

3

【乘法公式】 素養題［歷屆基測應用題型］

( D ) 1. 如右圖，阿倉用一張邊長為 27.6 公分的正方形厚紙板，剪下邊長 皆為3.8 公分的四個正方形，形成一個有眼、鼻、口的面具。求 此面具的面積為多少平方公分？【97 基測(一)】^{題序第 13 題} (A) 552 (B) 566.44

(C) 656.88 (D) 704

( A ) 2. 如右圖，守守將邊長為 3a 的正方形沿著虛線剪成二塊正方形 及二塊長方形，如果拿掉邊長為2b 的小正方形後，再將剩下 的三塊拼成一塊矩形，則此塊矩形較長的邊長為何？

(A) 3a＋2b (B) 3a＋4b (C) 6a＋2b

(D) 6a＋4b 【90 基測(二)】^{題序第 17 題}

【多項式的運算】

( C ) 3. 如圖(一)，四邊形 ABCD、EFGH 均是長為 2x、寬為 3 的矩形。今將兩個矩形做部分疊合，

使得E 點在 AD 上，B 點在 FG 上，如圖(二)所示。若連接 CH ，則五邊形 AGHCD 的面 積為何？【93 基測(二】^{題序第 20 題}

圖(一) 圖(二) (A) 4x²－ 9

2 (B) 4x²＋ 9

2 (C) 2x²＋6x－ 9

2 (D) 2x²＋6x＋ 9 2 ( D ) 4. 如右圖，ㄅ、ㄆ、ㄇ、ㄈ是四個長方形。若用 x 的

多項式來表示它們的面積，則下列哪一個長方形的 面積不是 6x？【91 基測(二)】 ^{題序第 3 題}

(A) ㄅ (B) ㄆ (C) ㄇ (D) ㄈ

53 [會考基測]素養題型 ^{會考特訓班}

第一章 乘法公式與多項式

第 冊

3

主題 重 點 內 容 認識

根號 面積為a (a ≥ 0)的正方形，邊長為 a ，其中( a )²＝a＝ a² 。○^例( 2 )²＝2＝ 2²＝ 4 。

的值 a

(1)利用標準分解式求 a 的值。○^例 1225 ＝ 5²×7² ＝ (5×7)² ＝5×7＝35。 (2)以十分逼近法求 a 的近似值。○^例 5 ：

○1 2²＝4，( 5 )²＝5，3²＝92＜ 5 ＜3； ○2 2.2²＝4.84＜5，2.3²＝5.29＞52.2＜ 5 ＜2.3 ○3 2.23²＝4.9729，2.24²＝5.01762.23＜ 5 ＜2.24

以四捨五入法求至小數點後第一位可得 5 ≒2.2。

平方 根

(1)對於一正數 a，若一數 b 滿足 b²＝a，則稱 b 為 a 的平方根。

○^例 3²＝9，(－3)²＝9，所以 3 和－3 皆為 9 的平方根

(2)當 a＞0 時，正數 a 的平方根為 a 與－ a ，兩數互為相反數，可合併簡記為± a 。 根式

的 意義

算式中含有根號的算式稱為根式；如同代數式的規則一樣，可以將×或÷的記號簡記。

○^例 3× 7 ＝3 7 ；(－1)× 5 ＝－ 5 。○^例 (－ ⁷ ₂ )× 6 ＝－ ⁷ ₂ 6 。○^例 5 ÷3＝ ⁵ ₃ 。 根式

的 乘除 運算

(1)根式的乘、除法：若 a≥0、b＞0，則 a× b＝ a×b； a÷ b＝ a

b ＝ a

b ＝ a÷b。 (2)最簡根式：若a＝b²×c，其中 a、b、c 為正整數，且 c 的因數中沒有大於 1 的完全平方數，則

a ＝ b²×c＝b c 。b c 稱為 a 的最簡根式。 ○^例 72 ÷ 3 ＝ 24 ＝ 2³×3 ＝2 6 。 根式

的 加減 運算

根式中如果含同類方根，可將同類方根合併以簡化根式，有時須先化簡再合併同類方根。

○^例 54＋ 27－ 96＋5 12＝ 3²×6＋ 3²×3－ 4²×6 ＋5 2²×3

＝3 6 ＋3 3 －4 6 ＋10 3 ＝13 3 － 6 。

根式 的 四則 運算

(1)調整係數。○^例 125 × 2 ＋5 10 ＝ 5²×5× 2 ＋5 10 ＝5 5 × 2 ＋5 10 ＝10 10 (2)利用乘法公式。○^例 ( 5 ＋ 3 ) ( 5 － 3 )＝( 5 )²－( 3 )²＝5－3＝2

(3)^{有理化分母}：a、b＞0，a≠b，○1 a× a；○2 a＋ b×( a－ b)；○3 a－ b×( a＋ b)

○^{例 3}

2 ＝ 3× 2

2 × 2 ＝3 2

2 ；○^{例 3}

5＋ 4 ＝ 3( 5－ 4)

( 5＋ 4)( 5－ 4) ＝3( 5－ 4)

5－4 ＝3( 5 － 4 )。

畢氏 定理

任一直角三角形ABC 中，若∠B 為直角，則兩股長平方和等於斜邊長平方，

即 AB ²＋ BC²＝ AC²。

○^例 右邊直角三角形ABC 中， AC ²＝6²＋8²＝100，

則 AC ＝± 100 ＝±10 (負不合)，故 AC ＝10。

畢氏 定理 生活 應用

○^例 有一臺30 吋的舊電視，螢幕長寬比為 4：3，求螢幕的寬約幾公分？( 1 吋≒2.5 公分) [解] 螢幕的長：寬＝4：3，假設長為 4r，寬為 3r，r＞0，由畢氏定理可知：

若d 為螢幕對角線長，則 d²＝( 4r )²＋( 3r)²＝25r²，d＝±5r (負數不合)，

30 吋≒30×2.5 公分＝75 公分，即 5r＝75，r＝15，寬為 3r，約為 3×15＝45 (公分)。

距離 公式

坐標平面上任意兩點A ( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 )，則

AB ＝ ( x2－x1 )²＋( y2－y1 )²＝ ( x坐標的差)²＋( y坐標的差)²。

○^例 已知坐標平面上R (－3 , 5 )、S ( 3 , 2 ) 兩點，求 RS 的長度。

[解] RS ＝ ［3－(－3 )］²＋( 2－5 )² ＝ 6²＋(－3 )² ＝ 36＋9 ＝ 45 ＝3 5

國中

數學 會 考 特 訓 班 第二章 平方根與畢氏定理

第 3 ^冊 重點回顧

1.～4. 題，每格 4 分；第 5.～8. 題，每個答案 6 分，共 100 分

1. 求下列各數的平方根： (1)(2) (3)(4)

(1) 49＝ 。 (2) 17＝ 。

(3) 2²×3⁴×5²＝ 。 (4) 1225＝ 。 (5)～(7)

(5) 49

16 ＝ 。 (6) 2 1

4 ＝ 。 (7) 0.09＝ 。 2. 已知 3x－5 的平方根為± 10 ，則 x＝ 。

3. 已知 m 為正整數，若 m＜ 10 ＜m＋1，則 m＝ 。 2. 3.

4. 計算下列各式，並將答案化為最簡根式：

(1) 3 6 ×(－3 )＝ 。 (2) －2 14 ÷3 7 ＝ 。 (3) 9

8 ÷ 3

2 ＝ 。 (4) 8 2 －2 18 ＝ 。 (5) ( 5 ＋ 2 ) ( 2 5 － 2 )＝ 。 (6) 2

2 2 ＋3 ＝ 。 (7) ( 3 － 2 )÷ 6 －( 3 ＋ 2 )＝ 。

5. 曉華家裡有一個正方形的房間，她想要在這個房間鋪上磁磚。已知這個房間 面積有5 坪 (1 坪約 3.3058 平方公尺)，請問房間邊長約為多少公尺？

(以四捨五入法求至小數點後第二位) ^答 ： 公尺。

6. 將一塊邊長為 3 的正方形，與四塊邊長為 8 的正方形，拼成 如右圖，其中 AB 、 BC 、 CD 、 AD 形成一個正方形，則 正方形ABCD 的面積為 平方單位。

7. 依霖發現家裡的院子裡有一個大約是長方形的坑洞，她 量出此長方形的長為36 公分，寬為 27 公分。試問：

(1) 此長方形的對角線長為 公分。

(2) 依霖想要用一個圓形鐵片將此坑洞蓋住，這個 圓形鐵片的直徑長至少要 公分。

8. 有天依霖在玩空拍機時，空拍機卡在樹上拿不下來，依霖拿了一把梯子往上爬想要取下空拍機。

已知梯子長260 公分，她將此梯子斜靠在樹上，試問：

(1) 若梯腳離樹的根部 100 公分遠，則梯子的頂部離地面的高度為 公分？。

(2) 依霖發現這樣還差 15 公分，那麼至少要將梯子往樹根移近多少公分，才能夠 順利將空拍機拿下來？( 取整數值 ) ^答 ：往樹根移近 公分。

54 [課本習作]經典題型 ^{會考特訓班}

第二章 平方根與畢氏定理

第 冊

3

第1.～5. 題，每格 4 分；第 6.～9. 題，每題 8 分，共 100 分 1. 求下列各數的平方根：

(1) 196＝ 。 (2) 81

121 ＝ 。 (3) 2.25＝ 。 (4) 2⁴×5²×7²＝ 。 (5) 15＝ 。

2. (1) 已知 a 為正整數，若 a＜ 135 ＜a＋1，則 a＝ 。 2. 3.

(2) 比較 78 與 8 的大小。 ^答 ： 78 8。( 填入大於、小於或等於 )

3. (1) 已知3x＋4 的平方根為±4，則 x＝ 。(2) 已知 3x＋4 的平方根為±4，則 x＝ 。 4. (1) 設 m 為正整數，若 180＋m 為正整數，則 m 的最小值為 ；

此時 180＋m 的值為 。

(2) 設 n 為正整數，若 180－n 為正整數，則 n 的最小值為 ；此時 180－n 的值為 。 5. 計算下列各根式，並將答案化簡：

(1) 2

3 ＋1 ＝ 。 (3) ( 3 ＋ 5 )² ( 3 － 5 )²＝ 。 (2) 1

5 ＋2 ＋ 1

5 －2 ＝ 。 (4) 5 × 3 － 3 ÷( 5 ＋2 )＝ 。

6. 小新聽說爺爺有塊面積為 1 分的正方形土地，他上網查了一下，得知 1 分約為 293.4 坪，請問 這塊正方形土地的邊長約為多少公尺？( 利用計算機計算，以

四捨五入法求至小數點後第二位 ) ^答 ： 公尺。

7. 如右圖，公園裡有一個鞦韆，最低處為 A 點，已知盪到最高處的 B 點時，

與鞦韆支點O 的垂直距離為 60 公分，離地面的高度為 50 公分，

且A、B 兩點的水平距離為 80 公分，試求 此鞦韆在A 點時離地面 公分。

8. 坐標平面上有 A ( 0 , 3 )、B ( 5 , 5 )、C ( a , 0 ) 三點。

若 AC ＝ AB ，則 a 的值為多少？

答 ： 公尺。

9. 右圖為弘宇到學校的路線圖 ( 單位：公尺 )，

已知弘宇每分鐘走100 公尺，則弘宇從家裡 到學校最快要走 分鐘 ( 不能穿越公園 )？

55 [課本習作]經典題型 ^{會考特訓班}

第二章 平方根與畢氏定理

第 冊

3

【平方根與近似值】 基礎題［會考通過率≥ 60%；基測題號第 1~15 題］

( A ) 1. 下列哪一個選項中的等式成立？【106 會考】^{通過率 88%}

(A) 2² ＝2 (B) 3³ ＝3 (C) 4⁴ ＝4 (D) 5⁵ ＝5

( C ) 2. 判斷 2 11 －1 之值介於下列哪兩個整數之間？【105 會考(新店重考)】^{題序第 14 題} (A) 3，4 (B) 4，5

(C) 5，6 (D) 6，7

( B ) 3. 下列哪一個選項中的等式不成立？【104 會考】^{通過率 62%}

(A) 3⁸ ＝3⁴ (B) (－5 )⁶ ＝(－5 )³ (C) 3⁴×5¹⁰ ＝3²×5⁵

(D) (－3 )⁴×(－5 )⁸ ＝(－3 )²×(－5 )⁴

( A ) 4. 已知甲、乙、丙三數，甲＝5＋ 15 ，乙＝3＋ 17 ，丙＝1＋ 19 ，則甲、乙、丙的大小 關係，下列何者正確？【101 基測】 ^{題序第 4 題}

(A) 丙＜乙＜甲 (B) 乙＜甲＜丙 (C) 甲＜乙＜丙 (D) 甲＝乙＝丙

【根式的運算】

( B ) 5. 下列等式何者不成立？ 【110 會考】^{通過率 71%}

(A) 4 3 ＋2 3 ＝6 3 (B) 4 3 －2 3 ＝2 3 (C) 4 3 ×2 3 ＝8 3 (D) 4 3 ÷2 3 ＝2

( B ) 6. 算式 2 ×( 48 － 12 ) 之值為何？【109 會考】^{通過率 74%}

(A) 6 2 (B) 2 6

(C) 2 21 (D) 4 6 －2 3

( B ) 7. 若 44 ＝2 a ， 54 ＝3 b ，則 a＋b 之值為何？【108 會考】^{通過率 82%}

(A) 13 (B) 17 (C) 24 (D) 40 ( A ) 8. 算式 6 ×( 1

3 －1 ) 之值為何？【107 會考】^{通過率 62%}

(A) 2 － 6 (B) 2 －1 (C) 2－ 6 (D) 1

( D ) 9. 算式 ( 6 ＋ 10 × 15 )× 3 之值為何？【103 會考】^{通過率 64%}

(A) 2 42 (B) 12 5 (C) 12 13 (D) 18 2

56 [會考基測]基礎題型 ^{會考特訓班}

第二章 平方根與畢氏定理

第 冊

3

【平方根與近似值】 精熟題［會考通過率＜60%；基測題號第 16~34 題］

( B ) 1. 若一正方形的面積為 20 平方公分，周長為 x 公分，則 x 的值介於下列哪兩個整數之間？

(A) 16，17 (B) 17，18 (C) 18，19

(D) 19，20 【105 會考】^{通過率 55%}

( B ) 2. 右圖數線上有 A、B、C、D 四點，根據圖中各 點的位置，判斷哪一點所表示的數與11－2 39 最接近？【103 會考】^{通過率 55%}

(A) A (B) B (C) C (D) D

【根式的運算】

( D ) 3. 計算 114²－64²－50² 之值為何？【101 基測】^{題序第 26 題} (A) 0

(B) 25 (C) 50 (D) 80

( D ) 4. 下列何者是方程式 ( 5 －1 ) x＝12 的解？【100 基測(二)】^{題序第 17 題} (A) 3 (B) 6

(C) 2 5 －1 (D) 3 5 ＋3 ( B ) 5. 計算 9

12 ÷ 54 12 ×

3

6 之值為何？【100 基測(一)】^{題序第 17 題} (A) 3

12 (B) 3

6 (C) 3

3 (D)

3 3 4

( A ) 6. 下列選項中表示的數，哪一個不是整數？【99 基測(二)】^{題序第 27 題} (A) 98 ＋ 2

(B) 98 × 2 (C) 196 － 4 (D) 196 ÷ 4

57 [會考基測]精熟題型 ^{會考特訓班}

第二章 平方根與畢氏定理

第 冊

3

【畢氏定理】 素養題［歷屆基測應用題型］

( D ) 1. 右圖中甲、乙為兩張大小不同的 8×8 方格 紙，其中兩正方形PQRS、P'Q'R'S' 分別在 兩方格紙上，且各頂點均在格線的交點上。

設兩正方形的面積相等，根據圖中兩正方 形的位置，求甲、乙兩方格紙的面積比為 何？【99 基測(二)】^{題序第 31 題}

(A) 4：5 (B) 9：10 (C) 15：16 (D) 16：17

( B ) 2. 如右圖， AB ⊥ BC 、 AD ⊥ CD ，且 AB ＝7， BC ＝a、

CD ＝b、 AD ＝9，求 ( a＋b ) ( a－b )＝？

(A) 16 (B) 32 (C) 63

(D) 130 【95 基測(二)】^{題序第 10 題}

( A ) 3. 右圖為 A、B、C、D 四點在方格紙上的位置圖，其中每一 點均位於某兩線的交點上，關於△ABC 與△ABD 的形狀，

下列判斷何者正確？【95 基測(二)】^{題序第 28 題} (A) 兩個都是等腰三角形

(B) 兩個都不是等腰三角形

(C) △ABC 是等腰三角形，△ABD 不是等腰三角形 (D) △ABC 不是等腰三角形，△ABD 是等腰三角形 ( C ) 4. 如右圖，某車由甲地等速前往丁地，過程是：自甲向

東直行8 分鐘至乙後，朝東偏南直行 8 分鐘至丙，左 轉90 度直行 15 分鐘至丁。若此車由甲地以原來的速 率向東直行可到達丁地，則此車程需多少分鐘？

(A) 19.5 (B) 24 (C) 25

(D) 28 【94 基測(一)】^{題序第 17 題}

58 [會考基測]素養題型 ^{會考特訓班}

第二章 平方根與畢氏定理

第 冊

3

主題 重 點 內 容 因倍

式與 因式 分解

(1)設 A、B、C 皆不為 0 多項式，若 A＝B×C，則 B、C 都是 A 的因式，A 是 B、C 的倍式。

○^例 x²－1＝(x＋1) (x－1)，則 x＋1 和 x－1 是 x²－1 的因式，x²－1 是 x＋1 和 x－1 的倍式。

(2)將一個 x 的二次式寫成兩個 x 的一次式乘積，稱為將這個二次式因式分解。

○^例 x²－x－2 可因式分解為 ( x＋1 ) ( x－2 )。

提公因 式法

如果式子的各項有一次以上的公因式，可將此公因式提出，來完成因式分解。

○^例 6a＋8a²＝2a‧3＋2a‧4a＝2a ( 3＋4a )

○^例 x ( 2x－4 )－x ( x＋3 )＝x［( 2x－4 )－( x＋3 )］＝x ( x－7 )

○^例 ( 5x－3 )²－( 5x－3 ) ( 4x－5 ) ＝( 5x－3 )［( 5x－3 )－( 4x－5 )］＝( 5x－3 ) ( x＋2 ) 變號與

提兩次 公因式

有些多項式可透過適當的轉化，或者重新分組的策略，就能夠利用提公因式法做因式分解。

○^例 (3x²－5x)＋(6x－10)＝x (3x－5)＋2(3x－5)＝(3x－5) (x＋2)

○^例 (3x－4)＋(4－3x) (4－x)＝(3x－4)－(3x－4) (4－x)＝(3x－4)［1－(4－x)］＝(3x－4) (x－3) 利用平

方差公式

型如a²－b²的多項式。可以利用平方差公式，因式分解為 ( a＋b ) ( a－b )。

○^例 x²－4＝( x＋2 ) ( x－2 )。 ○^例 4x²－9＝( 2x )²－3²＝( 2x＋3 ) ( 2x－3 )

○^例 3x²－12＝3 ( x²－4 )＝3 ( x²－2² )＝3 ( x＋2 ) ( x－2 ) 利用和

的平方 公式

型如a²＋2ab＋b²的多項式。可以利用和的平方公式，因式分解為 ( a＋b )²。

○^例 x²＋6x＋9＝x²＋2‧x‧3＋3²＝( x＋3 )²。

○^例 50x²＋60x＋18＝2 ( 25x²＋30x＋9 )＝2［( 5x )²＋2‧( 5x )‧3＋3²］＝2( 5x＋3 )² 利用差

的平方 公式因 式分解

型如a²－2ab＋b²的多項式，可以利用差的平方公式，因式分解為 ( a－b )²。

○^例 x²－8x＋16＝x²－2‧x‧4＋4²＝( x－4 )²。

○^例 4x²－16x＋16＝( 2x )²－2‧( 2x )‧4＋4²＝( 2x－4 )² 另解：4x²－16x＋16＝4 ( x²－4x＋4 )＝4 ( x－2 )² 二次項

係數為 數項為1，常 質數

二次式x²＋(a＋b)x＋ab (其中 a、b 為整數)可因式分解成 (x＋a) (x＋b)。

常數項ab 若為質數，則其中一數為 1。

○^例 x²－8x＋7

故 x²－8x＋7＝( x－1 ) ( x－7 )

二次項 係數為 數項為1，常 正數或 負數

型如x²＋ax＋b 或 x²－ax＋b 的多項式， 型如 x²－ax－b 或 x²＋ax－b 的多項式，

其中a、b 為正整數，只要分解 b 為： 其中 a、b 為正整數，只要分解 b 為：

正整數×正整數 或 負整數×負整數。 正整數×負整數 或 負整數×正整數。

○^例 x²＋9x＋20 ○^例 x²－21x＋20 ○^例 x²－9x－10 ○^例 x²＋3x－10

＝(x＋4)(x＋5) ＝(x－1)(x－20) ＝(x＋1)(x－10) ＝(x－2)(x＋5)

二次項 係數不 為 1

型如ax²＋bx＋c 的多項式，其中 a 為大於 1 的整數且 b、c 為整數，因式分解時，a 的分解 只要考慮「正×正」，c 的分解則正、負都要。

○^例 －8x²－10＋3＝－( 8x²＋10－3 )＝－( 2x＋3 ) ( 4x－1 )  8＝1×8＝2×4

－3＝1×(－3)＝(－1)×3 ＝3×(－1)＝(－3)×1

國中

數學 會 考 特 訓 班 第三章 因式分解

第 3 ^冊 重點回顧

x －1 x －7

－1x－7x＝－8x ← 一次項 二次項x² 常數項7

x ＋4 x ＋5

＋4x＋5x＝＋9x

x² 20 x －1

x －20

－x－20x＝－21x

x² 20 x －2

x ＋5

－2x＋5x＝＋3x x² －10 x ＋1 －10

x －10

＋x－10x＝－9x x²

2x ＋3 4x －1

＋12x－2x＝＋10x

第1.～5. 題，每格 4 分；第 6. 題 8 分，共 100 分

1. (1) 判別 2x－1 是不是 2x²＋5x－3 的因式。 ^答 ： 。 (2) 判別 2x²＋5x－3 是不是 x＋2 的倍式。 ^答 ： 。 2. 因式分解下列各式：

(1) x－3x²＝ 。 (2) x ( x－3 )－3x²＝ 。 (3) x ( x－3 )－2 ( 3－x )＝ 。

(4) ( 3x＋4 ) ( 2x－5 )－( 2x－5 )²＝ 。 (5) ( 3x－1 ) ( 2x－5 )－3x＋1＝ 。 (6) ( 4x²－7x )＋( 8x－14 )＝ 。 3. 因式分解下列各式：

(1) x²－400＝ 。 (2) 48x²－3＝ 。 (3) 16x²－24x＋9＝ 。 (4) －25x²＋10x－1＝ 。 (5) ( x－1 )²－25＝ 。

4. 因式分解下列各式：

(1) x²－x－20＝ 。 (2) x²－8x－20＝ 。 (3) x²－11x＋24＝ 。 (4) x²＋12x－45＝ 。 5. 因式分解下列各式：

(1) －x²＋13x－36＝ 。 (2) －2＋x＋15x²＝ 。 (3) 6x²－19x－55＝ 。 (4) 2x²＋23x－210＝ 。 (5) 2x²－6x－20＝ 。 (6) －5x²＋50x－105＝ 。

6. 可樂國中校慶，二年八班的同學負責組裝校史區的地毯，有35 塊大正方形地毯，66 塊長方形地毯，

16 塊小正方形地毯，各種地毯的數量及邊長大小如下圖所示，如果要將全部的地毯拼成一個無空 隙的大長方形地毯，則此大長方形地毯的兩邊分別為何？ ^答 ： 。

35 塊 66 塊 16 塊

59 [課本習作]經典題型 ^{會考特訓班}

第三章 因式分解

第 冊

3

第1.～2. 題，每格 5 分；第 3.～4. 題，每格 6 分；第 5. 題 8 分；第 6. 題 9 分，共 100 分 1. (1) 若 65x²－38x－48 可以被因式分解成 ( 5x－6 ) ( cx＋d )，則 c＋d＝ 。

(2) 已知 7x＋2 是 21x²－64x－20 的因式，則 21x²－64x－20 的因式分解為何？

^答 ：21x²－64x－20＝ 。 2. 因式分解下列各式：

(1) 7x²－x＝ 。

(2) ( 2x－1 ) ( x＋5 )＋( x＋6 ) ( 2x－1 )＝ 。 (3) ( 1－2x )²＋x ( 2x－1 )＝ 。

(4) ( 3x－1 ) ( x－1 )＋( x－2 ) ( 1－x )＝ 。 (5) ( 2x²＋4x )－( 7x＋14 )＝ 。

3. 因式分解下列各式：

(1) 64－( 2x＋1 )²＝ 。 (2) x²＋8x＋16＝ 。 (3) 2x²－32x＋128＝ 。

(4) 25－( 3x＋1 )²＝ 。 4. 因式分解下列各式：

(1) 3x²＋13x＋10＝ 。 (2) 3x²－13x－10＝ 。 (3) 3x²＋20x＋32＝ 。 (4) 3x²＋8x－35＝ 。 5. 有 A、B、C 三種不同類型的組合型地毯，如下圖所示：

若用A 型地毯 4 塊，B 型地毯 m 塊，C 型地毯 49 塊，恰可在不重疊的情況下，緊密的組合成一個 大的正方形地毯，則m＝ 。

6. 若x²＋3kx＋18＝( x＋a ) ( x＋b )，其中 a、b 是整數 ( a＞b )，k 為正奇數，分別求 a、b、k 的值。

解 ：

60 [課本習作]經典題型 ^{會考特訓班}

第三章 因式分解

第 冊

3

【因式分解】 基礎題［會考通過率≥ 60%；基測題號第 1~15 題］

( A ) 1. 若多項式 5x²＋17x－12 可因式分解成 ( x＋a ) ( bx＋c )，其中 a、b、c 均為整數，則 a＋c 之值為何？【108 會考】^{通過率 69%}

(A) 1 (B) 7 (C) 11 (D) 13

( C ) 2. 多項式 77x²－13x－30 可因式分解成 ( 7x＋a ) ( bx＋c )，其中 a、b、c 均為整數，求 a＋b＋c 之值為何？【105 會考】^{通過率 65%}

(A) 0 (B) 10 (C) 12 (D) 22

( A ) 3. 下列四個選項中，哪一個為多項式 8x²－10x＋2 的因式？【101 基測】^{題序第 14 題} (A) 2x－2

(B) 2x＋2 (C) 4x＋1 (D) 4x＋2

( A ) 4. 下列四個多項式，哪一個是 2x²＋5x－3 的因式？【100 基測(一)】^{題序第 5 題} (A) 2x－1

(B) 2x－3 (C) x－1 (D) x－3

( C ) 5. 下列何者為 5x²＋17x－12 的因式？【99 基測(一)】^{題序第 6 題} (A) x＋1

(B) x－1 (C) x＋4 (D) x－4

( C ) 6. 有兩個多項式 M＝2x²＋3x＋1，N＝4x²－4x－3，則下列哪一個為 M 與 N 的公因式？

(A) x＋1 (B) x－1 (C) 2x＋1

(D) 2x－1 【97 基測(一)】^{題序第 7 題}

61 [會考基測]基礎題型 ^{會考特訓班}

第三章 因式分解

第 冊

3

【因式分解】 精熟題［會考通過率＜60%；基測題號第 16~34 題］

( C ) 1. ( 3x＋2 ) (－x⁶＋3x⁵ )＋( 3x＋2 ) (－2x⁶＋x⁵ )＋( x＋1 ) ( 3x⁶－4x⁵ ) 與下列哪一個式子相同？

(A) ( 3x⁶－4x⁵ ) ( 2x＋1 ) (B) ( 3x⁶－4x⁵ ) ( 2x＋3 )

(C) －( 3x⁶－4x⁵ ) ( 2x＋1 )

(D) －( 3x⁶－4x⁵ ) ( 2x＋3 ) 【103 會考】^{通過率 55%}

( C ) 2. 下列何者是 22x⁷－83x⁶＋21x⁵的因式？【102 基測】^{題序第 24 題} (A) 2x＋3

(B) x² ( 11x－7 ) (C) x⁴ ( 11x－3 ) (D) x⁶ ( 2x＋7 )

( A ) 3. 若多項式 33x²－17x－26 可因式分解成 ( ax＋b ) ( cx＋d )，其中 a、b、c、d 均為整數，則

│a＋b＋c＋d│之值為何？【100 基測(二)】^{題序第 25 題} (A) 3

(B) 10 (C) 25 (D) 29

( C ) 4. 下列四個多項式，哪一個是 33x＋7 的倍式？【100 北北基】^{題序第 24 題} (A) 33x²－49

(B) 33²x²＋49 (C) 33x²＋7x (D) 33x²＋14x

( A ) 5. 已知 ( 19x－31 ) ( 13x－17 )－( 13x－17 ) ( 11x－23 ) 可因式分解成 ( ax＋b ) ( 8x＋c )，其 中a、b、c 均為整數，則 a＋b＋c＝？【98 基測(一)】^{題序第 18 題}

(A) －12 (B) －32 (C) 38 (D) 72

( B ) 6. 有兩多項式 A＝x² ( 2x－3 ) ( 5x＋6 )，B＝( 5x＋6 )² ( 4x²－9 )。關於 A、B 兩多項式，下列 敘述何者正確？【97 基測(二)】^{題序第 22 題}

(A) x ( 5x＋6 ) 為 A、B 的公因式

(B) ( 2x－3 ) ( 5x＋6 ) 為 A、B 的公因式 (C) x ( 2x－3 ) ( 5x＋6 ) 為 A、B 的公倍式 (D) ( 2x－3 )² ( 5x＋6 )²為A、B 的公倍式

62 [會考基測]精熟題型 ^{會考特訓班}

第三章 因式分解

第 冊

3

【因式分解】 素養題［歷屆基測應用題型］

( A ) 1. 如右圖，有 A 型、B 型、C 型三種不同的紙板，其中 A 型：邊長為 π 公分 ( π 為圓周率 ) 的正方形，共有 7 塊；

B 型：長為 π 公分，寬為 1 公分的長方形，共有 17 塊；

C 型：邊長為 1 公分的正方形，共有 12 塊。

從這36 塊紙板中，拿掉一塊紙板，使得剩下的紙板在不重疊的 情況下，可以緊密的排出一個大長方形，請問拿掉的是哪一種 紙板？【91 基測(二)】^{題序第 31 題}

(A) A 型 (B) B 型 (C) C 型

(D) 完全不用拿掉，就可排出一個大長方形

( B ) 2. 如右圖，有甲、乙、丙、丁四種不相似的矩形，已知邊長均為 正整數，其中有2 個甲，1 個乙，2 個丙，1 個丁。今將這 6 個 圖形，拼成一個大的矩形，則其兩鄰邊的邊長分別為多少？

(A) 2x＋1，x＋b (B) 2x＋b，x＋1 (C) x＋2b，2x＋1

(D) x＋1，2x＋2b 【90 基測(一)】^{題序第 23 題}

63 [會考基測]素養題型 ^{會考特訓班}

第三章 因式分解

第 冊

3

主題 重 點 內 容 用公式

解一元 二次 方程式

提公因式( 分配律 )：○^例 x²－7x＝0  x(x－7)＝0  x＝0 或 x－7＝0x＝0 或 x＝7 平方差公式：○^例 x²－25＝0  (x＋5) (x－5)＝0 x＋5＝0 或 x－5＝0 x＝－5 或 x＝5 和的平方公式：○^例 x²＋8x＋16＝0  x²＋2‧x‧4＋4²＝0(x＋4)²＝0  x＝－4 (重根)。

差的平方公式：○^例 x²－8x＋16＝0  (x－4)²＝0  x＝4 (重根)。

係數 化為 整數後 再求解

○^例 0.25x²－1.25x－6＝0 (同乘以 100)  25x²－125x－600＝0 (同除以 25)  x²－5x－24＝0 (十字交乘法因式分解)  ( x＋3 ) ( x－8 )＝0  x＝－3 或 x＝8。

○^{例 x}

2＋1 2 ＝

x²＋2x

3 (同乘以 6) 3x²＋3＝2x²＋4xx²－4x＋3＝0 (x－1)(x－3)＝0x＝1 或 x＝3 已知 一解

或兩解 求 方程式

○^例 ax²＋x－6＝0 有一解為 2，求另一個解。

[解] 將 x＝2 代入方程式，得 a＝1  x²＋x－6＝(x＋3) (x－2)＝0x＝－3 或 2，另一個解為－3。

○^例 若2x²＋bx＋c＝0 的解為 2 和 3，求 b、c 的值。

[解] 將 2 和 3 代入 2x²＋bx＋c＝0 



8＋2b＋c＝0

18＋3b＋c＝0  b＝－10、c＝12 解

k(ax＋

b)²＝c

○^例 解一元二次方程式－3 ( 2x－5 )²＋18＝0。

[解]－3(2x－5)²＋18＝0 (同除以－3)(2x－5)²－6＝02x－5＝± 62x＝5± 6x＝ 5± 6 2 配完全

平方式

型如x²＋mx 的式子，若要配成完全平方可以利用平方公式 a²±2ab＋ b²＝( a±b )²來處理。

○^例 x²－12x x²－2‧x‧6＋6²＝( x－6 )²

配方法 ○^例 x²＋4x－2＝0 x²＋4x＝2 x²＋4x＋2²＝2＋2² (x＋2)²＝6 x＋2＝± 6 x＝－2± 6

公式解

方程式ax²＋bx＋c＝0，a≠0，判別式 b²－4ac：○1 b²－4ac＜0，則方程式無解。

○2 b²－4ac＝0 為重根，x＝^－b _2a 。 ○3 b²－4ac＞0 兩相異根；x＝^{－b± b} _2a ^2－4ac 。

○^例 x²－5x＋5＝0 [解] b²－4ac＝(－5)²－4×1×5＝5＞0 x＝－(－5)± 5

2×1 ＝ ^{5± 5} ₂ 面積

關係 (一)

有一個面積216 平方公分的長方形，長是寬的 3 倍少 3 公分，則寬是多少公分？

[解] 設寬 x 公分，則長為(3x－3)公分，依題意可得 x (3x－3)＝216  3x²－3x－216＝0  x²－x－72＝0  (x＋8) (x－9)＝0，x＝－8 (不合) 或 x＝9。故寬為 9 公分。

面積 關係 (二)

一塊長方形田地的面積是55 平方公尺，長邊比短邊要長 6 公尺，請問短邊是多少公尺？

[解] 設短邊為 x 公尺，則長邊為 (x＋6) 公尺。依題意可以列式 x (x＋6)＝55，則 x²＋6x＝55

x²＋6x－55＝0  (x＋11) (x－5)＝0  x＝－11 (不合) 或 x＝5，故短邊為 5 公尺。

寬度 問題

如圖，大正方形內有一個邊長10 cm 的小正方形，且深灰色面積和淺灰面積相等，

求x 為多少？

[解] 依題意可列式 (10＋2x)²＝10²×2 10＋2x＝±10 2  2x＝－10±10 2 ， x＝－5±5 2 ，其中 x＝－5－5 2 ＜0 (不合)；因此 x＝－5＋5 2 。

買賣 問題

某餐飲店推出購買餐券優惠，基本張數為10 張，每張 350 元，若超過基本張數，每多買一張，全 部餐券每張再便宜10 元，但一次最多只能買 20 張。若品謙花了 4500 元購買餐券，他買了幾張？

[解] 設購買 10＋x 張，也就是超過基本張數 x 張，則 (10＋x) (350－10x)＝4500

 x²－25x＋100＝0  (x－5) (x－20)＝0，x＝5 或 20 (超過限購)，故品謙買了 15 張。

國中

數學 會 考 特 訓 班 第四章 一元二次方程式

第 3 ^冊 重點回顧

x x x x

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