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SATURDAY 7 AUGUST 2010
高級卷（11—12 年級）
考試時間：75 分鐘
注意事項
一般規定
1. 未獲監考老師許可之前不可翻開此測驗題本。 2. 各種通訊器材一律不得攜入考場，不准使用電子計算器、計算尺、對數表、數學公式等 計算器具。作答時可使用直尺與圓規，以及兩面全空白的草稿紙。 3. 題目所提供之圖形只是示意圖，不一定精準。 4. 最前 25 題為選擇題，每題有五個選項。最後 5 題要求填入的答案為 0 至 999 的正整數。 題目一般而言是依照越來越難的順序安排，對於錯誤的答案不會倒扣分數。 5. 本活動是數學競賽而不同於學校測驗，別期望每道題目都會作。考生只與同地區同年級 的其他考生評比，因此不同年級的考生作答相同的試卷將不作評比。 6. 請依照監考老師指示，謹慎地在答案卡上填寫您的基本資料。若因填寫錯誤或不詳所造 成之後果由學生自行負責。 7. 進入試場後，須等待監考老師宣佈開始作答後，才可以打開題本進行答題。作答須知
1. 限用 B 或 2B 鉛筆填寫答案。 2. 請用 B 或 2B 鉛筆在答案卡上將您認為正確選項的圓圈塗滿（不是在題本上）。 3. 您的答案卡將由電腦閱卷，為避免電腦誤判，請不要在答案卡上其他任何地方塗劃任何 記號。填寫答案卡時，若需要修改，可使用軟性橡皮小心擦拭，並確定答案卡上無殘留 痕跡。特別約定
為確保競賽之公平性及認證成績優異學生，AMC 主辦單位保留要求考生重測之權利。────────────────────────────────────────────────
高級卷(11-12 年級)
────────────────────────────────────────────────1-10 題，每題 3 分
1. 算式 2010－20.10 等於 （A）1990.09 （B）1990.9 （C）1989.09 （D）1989.9 （E）1998.9 ──────────────────────────────────────────────── 2. 若m=3且 3 5 n= − ，則m n 等於 （A）−5 （B）5 （C） 9 5 − （D） 5 3 − （E）15 ──────────────────────────────────────────────── 3. 線段 PQ 的中點是 M( 4− , 6)。已知點 Q 的座標是(10, 12)，請問點 P 的座標 是什麼？ （A）( 18− , 0) （B）( 18− , 18) （C）( 10− , 0) （D）(3, 9) （E）(3, 18) ──────────────────────────────────────────────── 4. 請問63是下列哪一個數的 87.5％？ （A）45 （B）70 （C）72 （D）74 （E）75 ──────────────────────────────────────────────── 5. 請問圖中陰影部分的正方形面積佔整個大正方形面積的百分比為何？ （A）6.25％ （B）10％ （C）12.5％ （D）16％ （E）25％ ──────────────────────────────────────────────── 6. 有七個正整數8、10、24、28、23、9、x，它們的中位數與平均數都是 x。 請問 x 之值是什麼？ （A）15 （B）17 （C）19 （D）21 （E）23 ────────────────────────────────────────────────────────────────────── S 2 ───────────────────── 7. 圓 P 之半徑等於圓 Q 之半徑的2 3，而圓 Q 之半徑等於圓 R 之半徑的 3 4。 請問上圖中塗上陰影部分的面積佔圓 R 面積的幾分之幾？ （A）1 3 （B） 5 9 （C） 1 4 （D） 3 16 （E） 5 16 ───────────────────────────────────────────────── 8. 連續投擲一枚硬幣五次，請問沒有連續出現五次反面的機率是多少？ （A）15 16 （B） 27 32 （C） 4 5 （D） 9 10 （E） 31 32 ───────────────────────────────────────────────── 9. 將一個矩形分割為 x 行 y 列個全等的小正方形。它的外圍塗上陰影部分都是 佔 1 個正方形的寬度，且其面積佔整個矩形面積的一半。 請問 x 與 y 之和可能是多少？ （A）17 （B）20 （C）18 （D）19 （E）16 ───────────────────────────────────────────────── 10. 將五個數x3、x2、x、−x、 x 依照從小到大的順序排列，其中 x 之值為 0< <x 1，請問位居中間的數是哪一個？ （A） 3 x （B） 2 x （C）x （D） x− （E） x ─────────────────────────────────────────────────
11-20 題，每題 4 分
11. 對於所有的 x 值，算式 3 2 2 7 7 7 7 x x x x + + 等於？ （A）49 （B） 2 7 x （C）7 （D） 7x （E）1 ───────────────────────────────────────────────── P Q R────────────────────── S 3 ───────────────────── 12. 點 R 在三角形 PQS 的 QS 邊上，已知 PQ =PS =SR 且∠QRP =∠QPS。請問 ∠PSR 等於多少度？ （A）30 （B）36 （C）45 （D）60 （E）70 ───────────────────────────────────────────────── 13. 若3 4 5 2 2 a b a b + = − ，則 2 2 2 a b ab + 等於 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （E）5 ───────────────────────────────────────────────── 14. 算式123456785 123456782 123456783 123456784× − × 等於 （A）−2 （B）−1 （C）0 （D）1 （E）以上皆非 ───────────────────────────────────────────────── 15. 類似下圖的三角形之每條邊長都是互不相同的質數，且它的周長也是個質 數。 請問符合上述條件的三角形中最小的周長是多少？ （A）11 （B）17 （C）19 （D）23 （E）29 ───────────────────────────────────────────────── 16. 有一個五位數a986b可被 72整除，其中 a是萬位數、b 是個位數。請問a+b 之值是什麼？ （A）9 （B）10 （C）12 （D）13 （E）15 ───────────────────────────────────────────────── 17. 一頂帽子由6 片相同尺寸相同形狀的元件組成。 若每片元件的表面可上塗金色或棕色，請問共可做出多少種不同的帽子？ （A）12 （B）14 （C）16 （D）18 （E）20 ───────────────────────────────────────────────── R S Q P
────────────────────── S 4 ───────────────────── 18. 對於所有正整數 n，定義 Snap(n)=2n，當 n 為偶數；定義 Snap(n)=3n，當 n 為奇數。若 p 為大於 2 的質數，請問 Snap(Snap(p－1)－p)之值是什麼？ （A）p－2 （B）2p－2 （C）2(p－2) （D）3p－2 （E）3(p－2) ───────────────────────────────────────────────── 19. 一個小圓內切於一個四分之一大圓。請問這個小圓的面積 與四分之一大圓的面積之比是什麼？ （A）2：3 （B）4：5 （C）3：( 2+ 3) （D） 2： 3 （E）4：(3+2 2) ───────────────────────────────────────────────── 20. 定義運算⊗為a⊗ = +b a b2。已知a >0且(a⊗ ⊗ = ⊗ ⊗a) a a (a a)，則a 等於 （A）1 （B） 2 （C） 2 1− （D） 2 +1 （E）2 ─────────────────────────────────────────────────
21-25 題，每題 5 分
21. 一個超級階乘 1!×2!×3!×…×12!可以表示成一個階乘與一個完全平方數的乘 積，即 2 ! m ×n 。請問 m之值是什麼？ （A）4 （B）6 （C）8 （D）10 （E）12 ───────────────────────────────────────────────── 22. 下圖所示矩形紙張的長AB=24cm、寬AD=10cm。將它沿著對角線AC翻摺， 然後將三角形ACD沿著直線AE翻摺使得AD與AC重合，然後將紙張展開。 請問線段DE的長度為多少 cm？ （A）13 2 （B） 10 3 （C） 20 3 （D）8 （E）12 ───────────────────────────────────────────────── A D C B E A D C B E A D C B E D C A 24 cm B 10 cm────────────────────── S 5 ───────────────────── 23. 使用數碼 1 和 0 可以寫出 16 種不同的四位數串，其中三個數串為 1010、 0100、1001，這三個數串都可以視為是 101001 的子數串。有一個十九位數 1 和 0 的數串，它包含有長度為 4 的 16 個子數串各恰一個。已知這個數串 以 1111 開頭，請問它的最後四碼是什麼？ （A）1110 （B）0000 （C）0110 （D）1010 （E）0111 ───────────────────────────────────────────────── 24. 將 n 個點任意放置在一個邊長為 16 單位長的正立方體內部或表面上，使得 無論怎麼放至少都有其中兩個點的距離小於 14 單位長。請問最小的 n 值是 什麼？ （A）8 （B）9 （C）11 （D）12 （E）13 ───────────────────────────────────────────────── 25. 小羅站在森林的正中央，以他所站的點作為原點，其它座標上的每個整數點 上都有一棵樹幹半徑都相等的樹。從他所站的位置，他無法看到任何方向第 二排以後的樹，此即，他無法看到任何兩個分量都大於 2 的座標上的樹。請 問這些樹的樹幹半徑最小是多少？ （A）1 2 （B） 1 3 （C） 1 10 （D） 1 13 （E） 1 2( 13−3) ─────────────────────────────────────────────────
問題 26～30 的答案為 000～999 之間的整數，
請將答案填在答案卡上對應的位置。
第 26 題佔 6 分，第 27 題佔 7 分，第 28 題佔 8 分，
第 29 題佔 9 分，第 30 題佔 10 分。
26. 已知m+ =n 11且m2 +n2 =99。請問m3 +n3之值是什麼？ ───────────────────────────────────────────────── 27. 將一個四位數減去一個三位數，所得的差也是一個三位數。 □□□□－□□□＝□□□ 且這些數的十個數碼全都互不相同。請問所得的差最小可能值是什麼？ ─────────────────────────────────────────────────────────────────────── S 6 ───────────────────── 28. 在三角形 PQR 中，PQ=PR=40 cm，點 S 在線段 QR 上使得 PS=25 cm。延長 線段 PS 交 PQR 的外接圓於點 T。 請問線段 PT 的長度是多少 cm？ ───────────────────────────────────────────────── 29. 給定多項式 f。我們知道它的所有係數是非負整數且 f(1)=6、 f(7)=3438。 請問 f(3)之值是什麼？ ───────────────────────────────────────────────── 30. 在夢幻島上有許多小鎮，小鎮間有一些道路相連。每個小鎮都有三條道路： 一條紅線、一條黃線、一條藍線與其它三個不同的小鎮相連，任兩條路除了 在端點以外沒有其它的交點。如果您從任何一個小鎮開始依照紅線、黃線道 路交錯(RYRY…)行駛，則您只要行駛超過六個不同的道路就將能回到原來 出發的小鎮。事實上，依照 RYRYRY 的方式行駛就一定會回到原來出發的 小鎮。同樣地，如果依照黃線、藍線道路交錯行駛六個不同的路段(YBYBYB) 也能回到原來出發的小鎮。另一方面，依照紅線、藍線道路交錯行駛四個不 同的路段(RBRB)也能夠回到原來出發的小鎮。請問夢幻島上共有多少個小 鎮？ ───────────────────────────────────────────────── ＊＊＊ S R Q P T
