國
立
交
通
大
學
電信工程研究所
碩
士
論
文
OFDM 系統在 60 GHz 頻帶之非直視傳輸
Non Line-of-Sight Transmission in 60 GHz OFDM
Systems
研 究 生：莊勝富
指導教授：吳文榕 教授
OFDM 系統在 60 GHz 頻帶之非直視傳輸
Non Line-of-Sight Transmission in 60 GHz OFDM
Systems
研 究 生：莊勝富 Student：Sheng-Fu Chuang
指導教授：吳文榕 Advisor：Wen-Wrong Wu
國 立 交 通 大 學
電信工程研究所
碩 士 論 文
A ThesisSubmitted to Department of Communication Engineering College of Electrical Engineering and Computer Science
National Chiao-Tung University in partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of Master
in
Communication Engineering March 2010
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
OFDM 系統在 60 GHZ 頻帶之非直視傳輸
學生：
莊勝富指導教授
：吳文榕 教授國立交通大學電信工程研究所碩士班
摘要
IEEE 802.15.3c 是一個高傳輸速率的規格，被提出用來傳遞無壓縮、高畫質之影像、 聲音、資料。然而此規格操作在無執照的 60 GHz 頻帶，此頻帶有很嚴重的傳遞、穿透 損耗。為了解決這個問題，平面陣列天線(planar antenna array)以及波束形成(beamforming) 技術是一個經常使用來補償損耗的方法。本論文在探討使用波束形成與混合式平面陣列 天線(hybrid planar antenna)如何克服 60GHz 頻帶非直視環境(NLOS)的傳輸障礙，一個可 能的解決方法是利用牆壁或天花板的一次反射。首先我們討論如何藉由多輸入多輸出 (MIMO)傳輸來增加通道容量(channel capacity)，也就是說傳送端利用波束形成技術造出 許多傳送波束，而接收端也利用波束形成技術造出許多接收波束，藉由此來形成等效多 輸入多輸出系統進而增加通道容量。另一個解決非直視環境傳輸障礙的辦法是使用中繼 站，中繼站可以接收來自資料源的資料然後轉傳給目的地，傳統的中繼站是半雙工，也 就是說傳輸速率少了一半，在本論文中我們提出一個方法來解決此問題。我們把平面陣 列天線分成兩區塊，其中之一負責接收，另一區塊負責傳送，形成了全雙工傳輸。因為 同時傳送與接收，接收區塊會受到傳送區塊的干擾，我們設計了迴音消除器來把干擾消 除。對於上述的接收機而言，接收機需要知道訊號抵達方位(direction of arrival)，因此我 們也提出了適用於混合式平面陣列天線的新訊號抵達方位估測演算法。Non Line-of-Sight Transmission in 60 GHz OFDM Systems
Student：
Sheng-Fu ChuangAdvisor
：Wen-Wrong WuDepartment of Communication Engineering
National Chiao-Tung University
Abstract
IEEE 802.15.3c is a high data rate specification proposed to transfer uncompressed high-definition video, audio, and data in short distance. Since it is operated in unlicensed 60GHz band, it endures severe propagation and penetration losses. To solve the problem, a planar antenna array conducting beamforming is usually used for the system. In this thesis, we discuss how to overcome the difficulties of non line-of-sight (NLOS) transmission in 60GHz band using hybrid antenna arrays. One solution is transmitting signal with the reflection from wall or ceil. We first discuss how to increase channel capacity by multiple-input-multiple-output (MIMO) transmission. This means that the transmitter forms multiple beams in the transmission directions and the receiver forms multiple beams in the receiving directions. By doing this, an equivalent MIMO system can be constructed and channel capacity can be enhanced. Another solution for NLOS transmission is using relays. Relays can receive the data from the source transmitter and forward them to the destination receiver. Conventional relaying can only conduct half-duplexing transmission. As a result, the transmission rate is reduced by half. In this thesis, we propose a method to solve the problem. We divide the planar antenna array into two blocks; one beamforms to the transmit direction and conducts data transmission. The other beamforms to the receive direction and conduct data receiving. This results in a full-duplexing relay. Since data transmission and data receiving are conducted simultaneously, the receiver may be interfered by the signal transmission. We then design an echo canceller to overcome this problem. For all the receivers mentioned above, we need to know the direction of arrival (DoA) of the signal. We also propose a new DoA estimation algorithm for the hybrid antenna array.
誌謝
感謝吳文榕教授的細心指導，在我課業遇到困難的時候，老師總能適時的提出幫 助，當我對所研究的問題絕望的時候，老師都能夠提出一盞明燈。除了課業與研究上的 幫助，生活上的問題，老師也提出自己的看法，而且會幫助、鼓勵我度過難關，從老師 那邊得到最大的收穫莫過於對遇到問題所應有的態度，要積極面對問題、鍥而不捨的解 決它。感謝我的父母與家人，在我忙碌的時候給我時間與勇氣，在我被挫折打敗的時候 給我家的溫暖。另外還感謝兆元、弘道、鈞陶、凡碩、俊芳、其翰、南鈞、光敏等學長 們，當我請教他們問題的時候，他們都耐心的回答，讓我受益良多。感謝閔堯、沁寧、 瑞慶、綺瑩等同學，一起作研究、一起玩樂，有你們的陪伴，讓我碩士生活精彩豐富。 感謝我女朋友在我有研究壓力的時候，帶我脫離有壓力的環境，出去遊玩，讓我體驗陽 光、以及好多漂亮的大自然美景。目錄
摘要 ... i Abstract ... ii 誌謝 ... iii 目錄 ... iv 圖目錄 ... vi 表目錄 ... ix 第一章: 簡介 ... 1 第二章: 波束形成與 DoA 估計 ... 3 2.1 平面陣列天線 ... 3 2.2 平面陣列天線的類比波束形成 ... 3 2.3 平面陣列天線的數位波束形成 ... 4 2.4 平面陣列天線的混合式波束形成 ... 5 2.5 傳統平面陣列天線的訊號抵達方位估計簡介 ... 62.5.1 利用 MUSIC(Multiple Signals Indentification Classification)演算法做平面 陣列天線的訊號抵達方位估測 ... 6
2.5.1.1 線陣天線(Uniform Antenna Array)的 MUSIC 演算法 ... 6
2.5.1.2 平面陣列天線(Uniform Antenna Array)的 MUSIC 演算法 ... 8
2.5.2 利用 TLS-ESPRIT(Total Least Squares-Estimation of Signals Parameters via Rotational Invariance Techniques)演算法做平面陣列天線的訊號抵達方位估測 10 2.5.2.1 線陣天線的 TLS-ESPRIT 演算法 ... 10 2.5.2.2 平面陣列天線的 TLS-ESPRIT 演算法 ... 11 2.6 所提出的平面陣列天線混合式訊號抵達方位估計 ... 15 2.6.1 混合式陣列天線用於 DoA 估測的數學模型 ... 15 2.6.2 所提出的平面陣列天線混合式訊號抵達方位估計 MUSIC 演算法 ... 18 2.6.3 所提出的平面陣列天線混合式訊號抵達方位估計 ESPRIT 演算法 ... 18 第三章: 通道模型 ... 21 3.1 簡介 ... 21 3.2 通道的數學模型 ... 21 3.3 會議室的 3D 模型與群集(cluster)路徑 ... 21 3.4 視線路徑的通道模型 ... 22 3.5 四面牆壁的一次反射的角度特徵 ... 22 3.6 天花板的一次反射的角度特徵 ... 23 3.7 天花板到牆壁或牆壁到天花板的二次反射的角度特徵 ... 23 3.8 牆壁到牆壁的二次反射的角度特徵 ... 24 3.9 非直視群集的路徑衰減與反射衰減 ... 24
3.11 通道模型模擬 ... 26 3.12 具波束形成( beamforming)的通道模型 ... 31 第四章: MIMO 傳輸與全雙工中繼傳輸 ... 39 4.1 直視傳輸與非直視傳輸的通道容量分析 ... 39 4.2 所提出的 MIMO 傳輸 ... 41 4.3 所提出的全雙工中繼傳輸與迴音干擾消除 ... 43 4.4 MIMO 傳輸通道模擬 ... 44 第五章: 模擬 ... 52 5.1 OFDM 系統訊號抵達方位估測模擬 ... 52 5.2 有誤差的波束形成模擬 ... 58 5.3 無直視傳輸下 MIMO 傳輸的通道容量與 SISO 傳輸的通道容量模擬分析 ... 62 5.4 迴音消除器模擬 ... 68 5.5 有波束形成與無波束形成在 802.15.3c 之比較 ... 69 5.6 使用通道模型的 OFDM DoA 估測模擬 ... 71 第六章: 結論 ... 75 Reference ... 76
圖目錄
圖 2-1: Nx x Ny個天線組成的平面陣列天線 ... 3 圖 2-2:混合式波束形成架構圖 ... 5 圖 2-3:混合式波束形成區塊化分 ... 5 圖 2-4 線陣天線架構圖 ... 7 圖 2-5 混合式天線的區塊分配，相同顏色代表共相同的數位類比轉換器 ... 20 圖 3-3-1: 會議室的 3D 模型 ... 22 圖 3-5-1: 四個從牆壁的一次反射的示意圖 ... 23 圖 3-9-1: 反射衰減，圖的左邊是一次反射的衰減量，圖的右邊是兩次反射的衰減量。 ... 24 圖 3-10-1: 群集裡面的射線 ... 25圖 3-10-2: 功率分佈 (Power Delay Profile) ... 26
圖 3-11-1: 傳送端與接收端位置俯視圖... 26 圖 3-11-2: 直視群集... 27 圖 3-11-3: 從左面牆壁來的一次反射群集... 27 圖 3-11-4: 從右面牆壁來的一次反射群集... 28 圖 3-11-5: 從天花板來的一次反射群集(最左邊那根比 LOS 還早到，這是因為 Possion 過 程的關係) ... 28 圖 3-11-6: 從左面牆壁與天花板來的二次反射群集... 29 圖 3-11-7: 從右面牆壁與天花板來的二次反射群集... 29 圖 3-11-8: 從左面牆壁打到右面牆壁的二次反射群集... 30 圖 3-11-9: 從右面牆壁打到左面牆壁的二次反射群集... 30 圖 3-11-10: 所有群集... 31 圖 3-12-1: 單一天線的場型(此圖的半徑長短為強度，半徑的方向為方位)。 .... 32 圖 3-12-2: 單一天線的場型(此圖橫軸為水平角，縱軸為垂直角)。 ... 33 圖 3-12-3: 平面陣列列天線場型，此圖半徑代表振幅大小，半徑的方向為方位，振幅最 大為 8。 ... 33 圖 3-12-4: 平面陣列天線的功率場型，此圖半徑代表功率大小，半徑的方向為方位，功 率最大為 64。 ... 34 圖 3-12-5: 原始的通道 ... 35 圖 3-12-6: 傳送端與接收端有波束形成的通道 ... 36 圖 3-12-7: 傳送端往左面牆壁一次反射方向的場型 ... 36 圖 3-12-8: 做波束形成之前的通道 ... 37 圖 3-12-9: 做波束形成之後的通道 ... 37 圖 3-12-10: 做波束形成之前的左面牆壁一次反射群集 ... 38 圖 4-1-1: 傳送端與接收端方位府視圖 ... 39
圖 4-1-3: 往天花板一次反射方向的波束形成的通道 ... 40
圖 4-1-4: 視線傳輸與無視線傳輸的通道容量差異 ... 41
圖 4-2-1: NLOS 中 1x1 SISO 與 2x2 MIMO 通道容量比較圖 ... 42
圖 4-4-1: 傳送端往天花板一次反射方向傳，接收端往天花板一次反射方向收的通道響應 ... 45 圖 4-4-2 傳送端往左面牆壁一次反射方向傳，接收端往天花板一次反射方向收的通道響 應 ... 45 圖 4-4-3: 傳送端往天花板一次反射方向傳，接收端往左面牆壁一次反射方向收的通道響 應 ... 46 圖 4-4-4: 傳送端往左面牆壁一次反射方向傳，接收端往左面牆壁一次反射方向收的通道 響應 ... 46 圖 4-4-5: 頻域的等效 MIMO 通道 1-1 ... 47 圖 4-4-6: 頻域的等效 MIMO 通道 1-2 ... 47 圖 4-4-7: 頻域的等效 MIMO 通道 2-1 ... 48 圖 4-4-8: 頻域的等效 MIMO 通道 2-2 ... 48 圖 4-4-9: 往天花板一次反次方向的場型 ... 49 圖 4-4-10: 往左面牆壁一次反射方向的場型 ... 49 圖 4-4-11: 傳送端往左面牆壁一次反射方向傳，接收端往左面牆壁一次反射方向收的通 道響應。 ... 50 圖 4-4-12: 傳送端往右面牆壁一次反射方向傳，接收端往左面牆壁一次反射方向收的通 道響應。 ... 50 圖 4-4-13: 傳送端往左面牆壁一次反射方向傳，接收端往右面牆壁一次反射方向收的通 道響應。 ... 51 圖 4-4-14: 傳送端往右面牆壁一次反射方向傳，接收端往右面牆壁一次反射方向收的通 道響應。 ... 51
圖 5-1-1: SNR=0 下的 OFDM 與單載波的 singular value 比較(使用 16 個 OFDM 符元， Hybrid DoA)。 ... 53
圖 5-1-2: 不同 SNR 下的 OFDM 與單載波 DoA 比較(使用 16 個 OFDM 符元，Hybrid DoA)。 ... 53
圖 5-1-3: SNR=0 下的 OFDM 與單載波的 singular value 比較(使用 4 個 OFDM 符元，Hybrid DoA)。 ... 54
圖 5-1-4: 不同 SNR 下的 OFDM 與單載波 DoA 比較(使用 4 個 OFDM 符元，Hybrid DoA)。 ... 54
圖 5-1-5: SNR=0 下的 OFDM 與 single carrier 的 singular value 比較(傳統 4x4)。55 圖 5-1-6: 不同 SNR 下的 OFDM 與 single carrier DoA 比較(傳統 4x4)。 ... 56
圖 5-1-7: SNR=0 下的 OFDM 與單載波的 singular value 比較(傳統 8x8)。 ... 56
圖 5-1-8: 不同 SNR 下的 OFDM 與單載波 DoA 比較(傳統 8x8)。 ... 57 圖 5-1-9: SNR=0 下的 OFDM 與 single carrier singular value 比較(等 4 個 OFDM 符元，
Hybrid DoA)。 ... 57 圖 5-1-10: 不同 SNR 下的 OFDM 與單載波 DoA 比較(等 4 個符元時間)。 ... 58 圖 5-2-1: 0指向正上方的波束 ... 59 圖 5-2-2: 10指向正上方的波束 ... 59 圖 5-2-3: 20指向正上方的波束 ... 60 圖 5-2-4: 30指向正上方的波束 ... 60 圖 5-2-5: 0指向垂直角 30 度，水平角 0 度的波束 ... 61 圖 5-2-6: 10指向垂直角 30 度，水平角 0 度的波束 ... 61 圖 5-2-7: 20指向垂直角 30 度，水平角 0 度的波束 ... 62 圖 5-2-8: 30指向垂直角 30 度，水平角 0 度的波束 ... 62 圖 5-3-1: 傳送與接收端位置府視圖 ... 63 圖 5-3-2: DoA 與波束形成都很完美的通道容量 ... 63 圖 5-3-3: DoA 有誤差的通道容量，5 ... 64 圖 5-3-4: DoA 有誤差的通道容量， 7 ... 64 圖 5-3-5: DoA 有誤差的通道容量， 9 ... 65 圖 5-3-6: 波束形成有誤差的通道容量， 10 ... 65 圖 5-3-7: 波束形成有誤差的通道容量， 40 ... 66 圖 5-3-8: 新的傳送端與接收端位置府視圖 ... 66 圖 5-3-9: DoA 與波束形成都很完美的通道容量 ... 67 圖 5-3-10: DoA 有誤差的通道容量，5 ... 67 圖 5-4-1: 迴音消除器架構圖 ... 68 圖 5-4-2: 估測與實際的誤差比較圖 ... 68 圖 5-4-3: 收斂速度比較圖 ... 69 圖 5-5-1: 沒有波束形成的通道 ... 70 圖 5-5-2:有波束形成的通道 ... 70 圖 5-5-3: 有無波束形成之錯誤率比較圖 ... 71 圖 5-5-4: 有無波束形成之錯誤率比較圖 ... 71 圖 5-6-1:傳送端與接收端位置府視圖 ... 72 圖 5-6-2:沒有波束形成的通道 ... 72 圖 5-6-3:能量最大 64 根的通道 ... 73 圖 5-6-4:每個方向每個頻率的通道增溢 ... 73 圖 5-6-5:不同 SNR 的 DoA 估測結果 ... 74
表目錄
表 2-1: 等待的符元時間與最大可偵測方向數目分析 ... 17 表 7-4-1: 不同之 MSE 比較 ... 69
第一章: 簡介
在數位家庭影音的需求下，無線個人網路越來越受到重視，因此 IEEE 制定了 802.15.3c 高品質影像傳輸標準。在此規格下，無線個人網路操作在沒有執照的 57 GHz 到 64GHz 頻段之間。60 GHz 頻帶的特色是通道之對訊號之衰減率高，且訊號之穿透性 不佳，使得此頻帶很適合用於短距離的傳輸。由於此頻帶之頻寬很寬，它可以支援 1 Gbps 以上的資料傳輸速率，使得 DVD 畫質的影音串流，可以透過無線網路來傳輸，為人類 帶來便利的數位家庭影音服務。 IEEE802.15.3c 使用兩種調變架構，分別是單一載波與多重載波。多重載波的架構 使用的是正交分頻多工(Orthogonal-Frequency-Division-Multiplexing)調變技術，正交分頻 多工調變是一種很可靠的技術而且已經使用在許多無線傳輸系統裡面，例如 IEEE 802.11 WLAN、IEEE 802.16e WiMAX、DVB-T 等。正交分頻多工最重要的優點是可以很輕易 的消除多重路徑干擾，接收機不用做很複雜的等化動作就可以將原本信號還原，再加上 數位信號處理的進步，正交分頻多工可以使用快速複利葉轉換來實現，大大減低在實做 方面的複雜度。 如前所述 60 GHz 頻帶的特色之一是通道對訊號之衰減率高，也因此有研究者在傳 送端與接收端使用陣列天線(antenna array)來做波束形成(beamforming)，希望可以藉此達 到能量集中提高傳輸效能，能量集中並不侷限於單一方位，陣列天線波束形成技術可以 把訊號集中在多個特定方位，也可以使某些特定方位收不到訊號。60 GHz 頻帶的另一 特色是訊號之穿透性差，但是當傳送端與接收端之間有障礙物沒辦法達到直視(Line of Sight;LOS)的傳輸時，接收性能會大受影響。 波束形成可以用類比或數位的方式來實現，如用類比的方式則無法達到干擾消除的 目的，但如用數位的方式則每一根天線都需要一組數位類比轉換器(digital-to-analog circuit; DAC)和類比數位轉換器(analog-to-digital circuit; ADC)，成本會 大大的提高，最近有研究者提出用混合式的波束形成(hybrid beamforming)來解決此問題 [1]-[3]，其想法是把陣列天線分成少許區塊，同一區塊共同使用同一個轉換器，如此一 來就可在效能與成本之間取得一平衡。 本論文旨在探討使用混合式的波束形成如何克服 60GHz 非直視環境(Non LOS;NLOS)的傳輸障礙，並提出可能的新方案。當傳輸環境是 NLOS 時，我們需藉由其 他路徑來做傳輸。ㄧ個可能的作法是藉由牆壁的反射。在 60 GHz 頻帶訊號的反射率不 佳，也就是說經過牆壁的反射，訊號的功率會大大的衰減，藉由陣列天線之波束合成可 以改善此問題。本論文的第一個主題是探討在 60GHz 的環境下作多輸入多輸出
(multi-input-multi- output; MIMO)傳輸的可能性，我們希望藉由陣列天線之波束形成把能 量指向兩個特定方向，接收端也是藉由波束形成接收兩個特定方向的訊號來達到等效
2 2 MIMO 系統，進而提高通道容量(Channel Capacity)，我們稱此作法為波束形成 MIMO。 當系統沒 LOS 傳輸時，另一個解決辦法是利用中繼站(relay)幫忙傳送端傳送資料， 也就是說傳送端把訊號傳給中繼站，中繼站進而把接收到的資料傳給接收端，然有此架 構有一大缺點，中繼站頇要等到將傳送端的資料接收完畢才把資料轉傳給接收端，亦即 傳輸率會減半，本論文的其中一個主題即在解決此問題。我們把中繼站的陣列天線劃分 兩區塊，一塊負責接收，另一塊負責傳送，使得中繼站擁有全雙工(full-duplexing)的功 能。然而中繼站同時間傳送與接收，中繼站會接收到本身傳遞出去的訊號，我們稱之為
使用波束形成之一重要的前提是訊號的接收方位頇能準確的估計，此問題在文獻上 稱之為(Direction of Arrival; DoA)，數位波束形成之 DoA 的問題已經廣泛的被討論 [4]-[5]，然而這些方法不能用於混和式數位波束形成，在本篇論文中我們也提出了混合 式陣列天線的訊號來源方位估測演算法。另外在本篇論文裡，我們探討了 60 GHz 頻帶 通道模型之建立，通道模型可以分類為兩大部分，一個是沒有波束形成的通道，另一個 是有波束形成的通道。我們利用文獻[6]的方法來建立波束形成 MIMO 通道模型。 本篇論文的組織如下:第二章我們討論混合式波束形成與混合式天線陣列之 DoA， 第三章討論 60 GHz 頻帶在會議室的通道模型，第四章討論 MIMO 傳輸與利用中繼站之 傳輸，第五章是敘述所提出方法之模擬結果，第六章則是總結。
第二章: 波束形成與 DoA 估計
Equation Section 2
2.1 平面陣列天線
平面陣列天線[7]是由許多相同的天線所組成，天線排列方式一般是成矩形，如圖 2-1 所示，每一個圓點都代表著一個天線。我們定義平面陣列天線的長跟寬分別是在 x 軸與 y 軸，在 x 軸上面的天線每個相距離dx，在 y 軸上面的天線每個相距離d ，y dx與dy 都是 / 2 ，令此陣列共有NxNy個天線。 y d x d (0,0) (Nx-1,0) (Ny-1,0) (Nx-1,Ny-1) x y Isotropic radiator 圖 2-1: Nx x Ny個天線組成的平面陣列天線 平面陣列天線的每一個元件都有一個自己的移相器(phase shifter)，移相器是用來調 整每一根天線所發射出去訊號的相位。2.2 平面陣列天線的類比波束形成
我們的平面陣列天線裡面的每一個單一天線是使用矩形平面天線(patch antenna)，矩 形平面天線的遠區電場(Far-Zone electric field)定義如下[7]:( , ) r r E E a E a E a (2.1) 0 r E (2.2) 0 sin sin cos cos ( )( ) jkr hWkE e Y Z E j X r Y Z (2.3)
0 cos sin cos (sin )(sin )
jkr hWkE e Y Z E j X r Y Z (2.4) 所對應的參數定義如下: sin cos 2 kL X (2.5) sin sin 2 kW Y (2.6) sin 2 kW Z (2.7) 2 k (2.8) 0 E 是常數，W 跟L是每一個天線的寬與長。
( 1) ( 1) , 1 1 ( , ) y x x x N N j m j n m n m n RF w e e
(2.9) sin cos 2 2 sin cos y (2.10) sin sin 2 2 sin sin y (2.11) , , m n j m n w e (2.12) 場型RF( , ) 的物理意義是說把接收天線擺放在遠區(Far Zone)所接收到的訊號振幅。我 們可以適當的調整wm n, 使得RF( , ) 可以在某個特定方位有最大強度。例如接收端方位 是在( , 0 0)，我們可以設定 0 0 0 0[( 1)sin cos ( 1)sin sin ] , j m n m n w e (2.13) 使得此平面陣列天線往( , 0 0)方位發射出訊號。
2.3 平面陣列天線的數位波束形成
平面陣列天線的數位波束形成場型[8] (digital beamforming pattern)可表示為:
( 1) ( 1) , 1 1 ( , ) y x x x N N j m j n m n m n DF w e e
(2.14) sin cos 2 2 sin cos y (2.15) sin sin 2 2 sin sin y (2.16) , , , m n j m n m n w k e (2.17) 平面陣列天線的數位波束形成與類比波束形成的主要差別是在於數位波束形成的wm n, 可以調整振幅與相位而類比波束形成的wm n, 只能調整相位。數位波束形成可以調整振幅 與相位的原因是每一根天線都接著數位轉類比轉換器，我們可以在數位端做振幅跟相位 之調整，然而在類比端只能用移相器來做相位調整。 可以同時調整振幅與相位的數位波束形成有一個很大的優點，它可以使在特定方位 的接收天線收不到能量並且在另外一個特定方位的接收天線接收到的訊號強度是最大 的，也就是說可以作干擾消除。例如我們想要往( , 0 0)方位發射訊號並且使得在( , ) 1 1 方位的接收機收不到往( , 0 0)發射的訊號。則我們只需要讓wm n, 滿足下列方程式: 0 0 0 0 1 1 1 1[( 1)sin cos ( 1)sin sin ] [( 1)sin cos ( 1)sin sin ]
, 0 1 j m n j m n m n w e e (2.18) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) 0 RF RF RF RF (2.19) 0 0 0 0
[( 1)sin cos ( 1)sin sin ] [( 1)sin cos ( 1)sin sin ] 0 0 0 ( , ) y x N N j m n j m n m n RF e e
(2.20)1 1 1 1
[( 1)sin cos ( 1)sin sin ] [( 1)sin cos ( 1)sin sin ] 1 0 0 ( , ) y x N N j m n j m n m n RF e e
(2.21) 上列數學式子所代表的意義是，類比波束先形成到兩個不同的方位，然後解數位 的權重使得某一特定方位可以接收到最大能量，另一方位則為零。由上列數學式 子也可以看出wm n, 振幅跟相位會隨著m n, 改變而改變。2.4 平面陣列天線的混合式波束形成
由於 DAC 和 ADC 的成本比較高，如果我們可以使用比較少的 DAC 和 ADC [1]-[3]， 就可以節省成本。混合式波束形成的平面陣列天線架構如下圖 2-2 所示:
圖 2-2:混合式波束形成架構圖
圖 2-2 中不同的區塊(Section)分享相同的 DAC 和 ADC，因此可以把 DAC 和 ADC 的數 量大幅降低。區塊的劃分有很多種，圖 2-3 是其中之一[7]，在此我們有 8 8 根天線，共 劃分成 4 個區塊，分別是 A、B、C、D，每個區塊分享同一個數位轉類比轉換器。 圖 2-3:混合式波束形成區塊化分 混合式波束形成的場型可表示為: 1 section1 2 section2 ( , ) ( , ) ( , ) BP w RF w RF (2.22)
4 4
[( 1)sin cos ( 1)sin sin ] section1 section1 , 1 1 ( , ) m n j m n m n RF w e
(2.23) 4 44 (sin sin ) [( 1)sin cos ( 1)sin sin ]
section2 section2 , 1 1 ( , ) j m n j m n m n RF e w e
(2.24) 4 44 (sin cos ) [( 1)sin cos ( 1)sin sin ]
section3 section3 , 1 1 ( , ) j m n j m n m n RF e w e
(2.25) 4 44 (sin cos ) 4 (sin sin ) [( 1)sin cos ( 1)sin sin ]
section4 section4 , 1 1 ( , ) j j m n j m n m n RF e e w e
(2.26) sec 1 , section1 , tion m n j m n w e (2.27), sec 2 , section2 , tion m n j m n w e (2.28) sec 3 , section3 , tion m n j m n w e (2.29), sec 4 , section4 , tion m n j m n w e (2.30) 在混合式波束形成中，假如要往( , 0 0)方位發射訊號，同時讓( , ) 1 1 方位的天線收不到 訊號的話，w1~w4頇滿足下列方程式: 1section1 0 0 section2 0 0 section3 0 0 section4 0 0 2
section1 1 1 section1 1 1 section1 1 1 section1 1 1 3
4 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 w RF RF RF RF w RF RF RF RF w w (2.31)
2.5 傳統平面陣列天線的訊號抵達方位估計簡介
在這個章節，我們介紹一些傳統的訊號抵達方位估計[4]-[5]，在下一個章節我們將 敘述我們所發展之適用於混合式陣列天線訊號 DoA 估計。我們之所以要做方位估測是 因為在做波束形成之前，需要知道訊號的傳收方向因而在那些方向造出波束。值得注意 的是 DoA 只能決定訊號之接收方向，如果我們假設通道是是可逆的(Reciprocal)，那麼 最好的接收方向也將是最好的傳送方向，因此接收端照著 DoA 所估出的方向發射訊號 就可以讓傳送端收到最強的訊號。2.5.1 利用 MUSIC(Multiple Signals Indentification Classification)演算法做平
面陣列天線的訊號抵達方位估測
2.5.1.1 線陣天線(Uniform Antenna Array)的 MUSIC 演算法
圖 2-4 線陣天線架構圖 假設有 K 個期望值是零、彼此不相干而且是窄頻的訊號入射到有 N 根天線的線陣 天線上，入射到線陣天線的角度分別是θ{ , , 1 1 ,K}，k[0 ,180 ] ，而且 KN。 此陣列的 N 個單一天線彼此相距離 d，而且 d 剛好是頻率是fc的弦波的半波長。 線陣天線接收到的訊號可以看成一個向量y，其數學模型可以表示如下:
1 2 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) N K K K y y y s n s n s n y a a a As n (2.32) 其中 2 sin( ) / 2 ( 1) sin( ) / ( ) 1 c k c k T j f d C j f N d C k e e a 是一個操控向量(steering vector)， n是期望值為零的複數加性高斯白雜訊向量。 y的協方差矩陣(covariance matrix)為: 2 0 [ ] [ ] [ ] 1 n P m m m E E E P
H y H H H H s H R yy A ss A nn AR A I y y (2.33) 其中Rs為s的協方差矩陣， 2 n I 是單位矩陣對角為n2。我們可以證明在雜訊為高斯分布 d d θ d sinθ一個滿秩(full rank)矩陣。 更進一步來把R 做 SVD 分解我們可以得到: y
H s n s y s n H n n Σ Σ 0 U R U U 0 Σ U (2.34) 其中Σs與Σn為對角矩陣， K K R s Σ 、 2 2 ( ) ( ) Diag{ , , } N K N K n n n R Σ 。從以上觀察， 我們可以得到下面結論: span( )=span(A Us) (2.35) span( )A span(Un) (2.36) 令enUn是R 的特徵向量(eigenvector)，我們可以得到: y 2 2 2 ( ) n n n H H n y n n n n H H n s n H s e (R - )e e e e 0 e AR A e v R v (2.37) 其中 H nv = A e 。因為Rs是正定矩陣(positive definite matrix)，我們得到 H s v R v 0 ，所以 說 H n v = A e = 0 。從以上討論，我們可以看出a( ) ， θ ，跟特徵向量en垂直，然後我 們可以由以下數學計算得到: 1 max PMUSIC( ) H H n n a ( )U U a( ) (2.38) 其中a( ) 是操控向量(steering vector)。 然而在我們真正執行 DoA 計算之前，我們需要估計有多少個不相干訊號入射到線 陣天線。我們假設所有天線的雜訊功率都相等而且 KN，我們可以重新排列R 的特y 徵值(eigenvalue)由大排到小，也就是說 1 2 N 0。當SNR0，我們得到 2 1 2 K K N n ，其中不相干的訊號源共K個。[9]中敘述了估計不相干的訊號 源個數的方法，有兩個常被用到的準則，第一是 MDL(minimum description-length criterion)，第二是 Akaike’s information criterion。
2.5.1.2 平面陣列天線(Uniform Antenna Array)的 MUSIC 演算法
我們在 2.2.4.2.1 介紹了線陣天線的 MUSIC 演算法，而平面陣列天線的 MUSIC 演 算法可以由線陣天線的 MUSIC 演算法加以延伸而得，他們主要的差別是在於線陣天線 只搜尋一個角度，而平面陣列天線是要搜尋兩個角度。平面陣列天線的訊號抵達方位估 測是估計三維空間的方位，平面陣列天線的訊號抵達方位估測需要估測兩個角度，一個 是垂直角，另外一個是水平角
y d x d (0,0) (Nx-1,0) (Ny-1,0) (Nx-1,Ny-1) x y Isotropic radiator 圖 2-1: Nx x Ny個天線組成的平面陣列天線 平面陣列天線收到的訊號y可以排成一個向量，它的數學模型表示如下: 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y N N y x y K K x K K N N K y y y n s n s n s y a a a a As n
其中 2 sin( ) cos( ) / 2 ( 1) sin( ) cos( ) /
( , ) 1 c x k k c x k k T j f d C j f N d C x k k e e a ，
2 sin( )sin( ) / 2 ( 1) sin( )sin( ) /
( , ) 1 j f dc y k k C j fc N dy k k C T y k k e e a ，是克羅內克積 (kronecker product)。 y的協方差矩陣(covariance matrix)可表示為: 2 0 [ ] [ ] [ ] 1 n P m m m E E E P
H y H H H H s H R yy A ss A nn AR A I y y (2.39) 更進一步來把R 做 SVD 分解可得: y
y R H s n s s n H n n Σ Σ 0 U U U 0 Σ U (2.40) 跟 2.5.1.1 一樣的分析，我們可以得到: span( )A span(U s) span( )A span(Un) 然後我們可以由以下數學計算得到與:2.5.2 利用 TLS-ESPRIT(Total Least Squares-Estimation of Signals Parameters
via Rotational Invariance Techniques)演算法做平面陣列天線的訊號抵達方位
估測
2.5.2.1 線陣天線的 TLS-ESPRIT 演算法
MUSIC 演算法需要高複雜度的搜尋，而 ESPRIT 演算法[5]改良天線排列的幾何圖 形，讓我們不需要很複雜的搜尋。ESPRIT 演算法把線陣天線分成兩個子線陣天線。或 者從數學上等價的角度，我們可以把它看成是做適當的行(row)交換來做訊號來源方位估 計。 線陣天線接收到的訊號y可以看成一個向量，並且數學模型如下:
1 2 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) N K K K y y y s n s n s n y a a a As n (2.42) 其中 2 sin( ) / 2 ( 1) sin( ) / ( ) 1 c k c k T j f d C j f N d C k e e a 。 我們把y向量做適當的行(row)交換，數學模型可以改寫為: 1 3 1 2 4 N N y y y y y y A y s n AΦ (2.43)其中ΦDiag{e-j2 f sin(c 1) /C, ,e-j2 f sin(c K) /C}。
跟之前一樣的做法，我們找出y的協方差矩陣(covariance matrix)如下: 2 n H H H y s s s s n n n A A R R I U Σ U + U Σ U AΦ AΦ (2.44) 接下來我們推導 REPRIT 演算法找出如下:
2 , , 2 1 , , 2 1 , , 2 1 , min min min min 1 1 1 1 s A Φ T s2 F s A Φ T s2 F s B Φ T s2 F s2 s Φ T F U A T AΦ U U AT ATT ΦT U U B BT ΦT U U U T ΦT (2.45) 其中 1 s U 、 2 s U 分別為U 的上下兩半部。 s 由最小平方誤差(least-squares)我們可以得到: 1 1 2 † s s T ΦT U U (2.46) 我們要求的方向Φ即為 1 2 † s s U U 的特徵值(eigenvalue)。 然而由最小平方誤差求得的Φ是有偏差的最佳解，這是因為雜訊的影響或者時間平 均造成的誤差，使得 1 2 s sspan(U )span(U )。我們可以使用 total least squares 演算法，利 用最小的校正量，使得 1 2 s s span(U )=span(U ) ，解得的解即: 1 -1 12 22 T ΦT V V (2.47) 其中 1 2 1 1 2 2 H H H s 11 12 11 2 s s H H H 21 22 1 22 s U V V V V U U Λ V V V V U (2.48) 我們要找的方向Φ就是 -1 12 22 V V 的特徵值(eigenvalue)
2.5.2.2 平面陣列天線的 TLS-ESPRIT 演算法
平面陣列天線的訊號抵達方位估測[10]也可以適當的分成兩個子平面陣列天線，或 者從數學上的等價，我們可以把接收到的訊號做適當的行(row)交換，來找出方位，跟線 陣天線不同的是我們需要做兩次行(row)交換，解出兩個角度，並且要配對，因為假設垂 直角解出來有 30 度跟 60 度，水平角解出來有 0 度跟 180 度，那真正的方位是垂直角 30 度必頇配水平角 0 度還是配水平角 180 度?在接下來的推導可以得到答案。 跟線陣天線一樣我們把接收到的訊號排成向量:1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y N N y x y K K x K K N N K y y y n s n s n s y a a a a As n
其中 2 sin( ) cos( ) / 2 ( 1) sin( ) cos( ) /
( , ) 1 c x k k c x k k T j f d C j f N d C x k k e e a ，
2 sin( )sin( ) / 2 ( 1) sin( )sin( ) /
( , ) 1 j f dc y k k C j fc N dy k k C T y k k e e a ，是克羅內克積 (kronecker product)。
我們先解出{y1, ,yK}也就是{sin( ) sin( ),1 1 , sin(K) sin(K)}，其中k是第 k 個訊 號源的垂直角，k是第 k 的訊號源的水平角:
2 n H y s H s n s s n H n n R AR A I Σ Σ 0 U U U 0 Σ U (2.49) 利用 span( )A span(U s) (2.50) 做更進一步的推導:1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 , 2 1 1 ,
2 sin( )sin( ) / 2 sin( )sin( ) /
1 1
,
( ) 2 sin( )sin( ) / ( ) 2 sin( )sin( ) /
min min min x xK c y c y K K x xK y c y y c y K K x xK j f d C j f d C N j f d C N j f d C e e e e s A T s A T s A T U AT E U E AT a a a a E U E a a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
2 2 sin( )sin( ) / 2 2 sin( )sin( ) /
1 1 2 sin( )sin( ) / 1 2 sin( )sin( ) / , 3 2 sin( )sin( ) / 3 min x xK c y c y K K x xK c y c y K K x xK c y x j f d C j f d C j f d C j f d C j f d C e e e e e e F s A T T a a a a E U a a a
2 2 sin( )sin( ) / 2 , , 2 1 , , 2 1 , , 1 , min min min min c y K K xK j f d C 1 1 1 1 F s A Φ T s2 F s A Φ T s2 F s B Φ T s2 F s2 s Φ T F T a U A T U AΦ U AT U ATT ΦT U B BT ΦT U U U T ΦT 2其中 2 sin(1)sin(1) / 2 sin( )sin( ) /
Diag{ j f dc y C, , j f dc y K K C} e e Φ ， 1 s U 、 2 s U 分別為E U1 s的 上下半部，E1為行(row)交換矩陣。 如此一來，我們可以得到: 1 -1 12 22 T ΦT V V (2.51) 其中 1 2 1 1 2 2 H H H s 11 12 11 2 s s H H H 21 22 1 22 s U V V V V U U Λ V V V V U (2.52)
我們就解出了 2 sin(1)sin(1) / 2 sin( )sin( ) /
Diag{ j f dc y C, , j f dc y K K C} e e Φ 為 -1 12 22 V V 的特徵值 (eigenvalue)。 接著我們用另外一種行(row)交換方式解出{x1, ,xK}也就是 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 , 2 2 2 ,
2 sin( )sin( ) / 2 sin( )sin( ) /
2 2
,
( ) 2 sin( )sin( ) / ( ) 2 sin( )sin( ) /
min min min x xK c y c y K K x xK y c y y c y K K x xK j f d C j f d C N j f d C N j f d C e e e e s A T s A T s A T U AT E U E AT a a a a E U E a aa 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
2 2 sin( ) cos( ) / 2 2 sin( ) cos( ) /
2 1 2 sin( ) cos( ) / 1 2 sin( ) cos( ) / , 3 2 sin( ) cos( ) / min y yK c y c y K K y yK c y c y K K y yK c y y j f d C j f d C j f d C j f d C j f d C e e e e e e F s A T T a a a a E U a a a 2 3 2 sin( ) cos( ) / 2 , , 2 1 , , 2 1 , , , min min min min c y K K yK j f d C 1 1 1 F s A Φ T s2 F s A Φ T s2 F s B Φ T s2 F Φ T T a U A T AΦ U U AT ATT ΦT U U B BT ΦT U 2 1 Us2 U T ΦTs1 F
其中 2 sin(1)cos(1) / 2 sin( )cos( ) /
Diag{ j f dc y C, , j f dc y K K C} e e Φ ， 1 s U 、 2 s U 分別為E U2 s的上下半 部，E2為行(row)交換矩陣。 如此一來，我們可以得到: 1 -1 12 22 T ΦT V V (2.53) 其中 1 2 1 1 2 2 H H H s 11 12 11 2 s s H H H 21 22 1 22 s U V V V V U U Λ V V V V U (2.54)
我們就解出了 2 sin(1)cos( ) /1 2 sin( )cos( ) /
Diag{ j f dc y C, , j f dc y K K C} e e Φ 為 -1 12 22 V V 的特徵值 (eigenvalue)。 接下來我們要配對Φ跟Φ，從以上的觀察我們發現 2-1 11 2 -V V 跟-V V 有相同的特徵11 22-1 向量(eigenvector)T，把相同的特徵向量所對應個別的特徵值配對起來，就是我們要的 配對方式。 配對完後我們要把Φ跟Φ轉換到k跟k，方法是我們取出 2 c ysin(k)sin(k) / j f d C k e
跟 j2 f dc ysin(k)cos(k) /C k e 的相位，相除得到tank，此時的做 tan 的反函數得到兩個可能 的k，把這兩個帶回 j2 f dc ysin(k)sin(k) /C e 跟 j2 f dc ysin(k)cos(k) /C e ，會發現只有一組( k, k)滿 足 j2 f dc ysin( k)sin( k) /C k e 跟 j2 f dc ysin( k)cos(k) /C k e ，即解得我們要的相位。 我們可以從幾何意義上來看我們所做的兩次行(row)交換把接收到的訊號排成向量 y換成y1 E y1 與y2 E y2 ，如下圖 2-1。y所對應的天線座標為: y y [(0, 0) (1, 0) (2, 0) (0,1) (1,1) (2,1) (0,N -1) (1,N -1) (Nx1,Ny1)]T 也就是說y即順著 x 軸方向照順序排成一個向量。y1所對應的天線座標為: [(0, 0) (1, 0) (2, 0) (0, 2) (1,2) (2, 2) (0,1) (1,1) (2,1) (0, 3) (1,3) (2,3) ]T 也就是說把 x 軸方向的奇數次序(order)先排，再來排 x 軸方向的偶數次序(order)。y2所 對應的天線座標為: [(0, 0) (0,1) (0, 2) (2, 0) (2,1) (2, 2) (1,0) (1,1) (1, 2) (3, 0) (3,1) (3, 2) ]T 即把 y 軸方向的奇數次序先排，再來排 y 軸方向偶數次序。 y d x d (0,0) (Nx-1,0) (Ny-1,0) (Nx-1,Ny-1) x y Isotropic radiator 圖 2-1: Nx x Ny個天線組成的平面陣列天線
2.6 所提出的平面陣列天線混合式訊號抵達方位估計
由於 DAC 和 ADC 的成本比較高，如果我們可以使用比較少的數位類比轉換器，就 可以節省成本。混合式波束形成的平面陣列天線架構如圖 2-2 所示。以一個 88 的平面 陣列天線為例，傳統的 DoA 估計需要 64 個 ADC，然而我們使用圖 2-3 的混合式平面陣 列天線，只需要 4 個數位類比轉換器，成本可以大幅降低，但是傳統的訊號抵達方位估 測演算法並不適用於混合式平面陣列天線，因此我們提出了一個新的演算法適用於混合 式平面陣列天線之 DoA 估測。2.6.1 混合式陣列天線用於 DoA 估測的數學模型
圖 2-3 的區塊 A 的天線共同用一個 ADC，也就是說 A 區塊的所有天線接收到的訊 號經過移相器(phase shifter)後，在經過 ADC 器之前需要把它們加起來。所以區塊 A 的 ADC 的輸出數學模型是: A A y ur n (2.55) 其中rA是區塊 A 的所有天線接收到的訊號所排成的向量，u是區塊 A 每根天線經過移 相器後所位移的相位。 我們把區塊 A~D 的天線，相對位置一樣的天線讓它們經過移相器後所位移的相位 相同，也就是對於不同的區塊，u都相同: D D y ur n (2.58) 我們把四個區塊的數位類比轉換器的輸出排成一個向量: A A A B B B C C C D D D A A x A y A x y y y y y ur uA s ur uA s y ur uA s ur uA s uA uA Φ s n uA Φ uA Φ Φ (2.59) 其中 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) A y x y K K x K K A a a a a T，
2 sin( ) cos( ) / 2 ( 1) sin( ) cos( ) /
( , ) 1 j f dc x k k C j fc Nx dx k k C x k k e e T a ， 2 ( 1) sin( )sin( ) / 2 sin( )sin( ) / ( , ) 1 j f dc x k k C j fc Ny dx k k C y k k e e T a ， c 1 1 c
4 -j2 f sin cos / 4 -j2 f sin cos /
Diag{e d C, ,e d K K C} x Φ c 1 1 c
4 -j2 f sin sin / 4 -j2 f sin sin /
Diag{e d C, ,e d K K C} y Φ ，n還是為獨立的高斯雜訊。 那麼y的協方差矩陣(covariance)為:
2 [ ] A A A x A x s n A y A y A x y A x y E H y H H s n s n s n n R yy uA uA uA Φ uA Φ R I uA Φ uA Φ uA Φ Φ uA Φ Φ Σ Σ 0 U U U U 0 Σ (2.60) 從上面數學式子的觀察我們得到: sapn( ) span( ) A A x A y A x y s uA uA Φ U uA Φ uA Φ Φ (2.61) sapn( ) span( ) A A x A y A x y n uA uA Φ U uA Φ uA Φ Φ (2.62) 上面的推導u是1 16 的向量，代表著我們只利用一種相位位移，並且此時y的維度是 四，如果時間允許的話，我們可以多等幾個符元時間(symbol time)，每個符元(symbol)利用不同的相位位移，來增加y的維度。例如我們利用兩個符元時間，其中一個符元的 數位類比轉換器輸出是yA1u r1 A1另一個符元的輸出是yA2 u r2 A2，考慮四個區塊 A~D， 則接收向量y[yA1 yA2 yB1 yB2 yC1 yC2 yD1 yD2]T的維度從四增加到八，最多可 偵測的方向從三增加到七。 因此R 可以改寫成: y
[ ] A A A x A x s A y A y A x y A x y E H y H H s n s n s n n R yy UA UA UA Φ UA Φ R UA Φ UA Φ UA Φ Φ UA Φ Φ Σ Σ 0 U U U U 0 Σ (2.63) 從上面數學式子推論: sapn( ) span( ) A A x A y A x y s UA UA Φ U UA Φ UA Φ Φ (2.64) sapn( ) span( ) A A x A y A x y n UA UA Φ U UA Φ UA Φ Φ (2.65) 其中: 1 & rank( ) n n u U U u (2.66) k u 是相位位移相量。 表格 2-1 分析了等待的符元時間與最大可偵測方向數的關係 一個符元時間 兩個符元時間 16 個符元時間 最大解析度 可偵測 3 個 可偵測 7 個 可偵測 63 個 表 2-1: 等待的符元時間與最大可偵測方向數目分析2.6.2 所提出的平面陣列天線混合式訊號抵達方位估計 MUSIC 演算法
從上面的討論我們可以得到下列之特性: sapn( ) span( ) A A x A y A x y n UA UA Φ U UA Φ UA Φ Φ (2.67) 其中 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) A y x y K K x K K A a a a a T，2 sin( ) cos( ) / 2 ( 1) sin( ) cos( ) /
( , ) 1 j f dc x k k C j fc Nx dx k k C x k k e e T a ， 2 ( 1) sin( )sin( ) / 2 sin( )sin( ) / ( , ) 1 j f dc x k k C j fc Ny dx k k C y k k e e T a 。 因此我們可以從以下數學式子找出( k, k): , 1 max ( , ) ( ( ( , ) ( , ))) ( ( ( , ) ( , ))) MUSIC y x y x P H H H n n U a a U U U a a (2.68) 要注意的是我們選擇的 U 不能跟 vec( ( , )ay ax( , )) 垂直，選法是不要讓 U 的相位有 一定的規律。
2.6.3 所提出的平面陣列天線混合式訊號抵達方位估計 ESPRIT 演算法
從上面的討論我們可以得到下列之特性: sapn( ) span( ) A A x A y A x y s UA UA Φ U UA Φ UA Φ Φ (2.69) 因此我們可以利用 ESPRIT 演算法解Φx與Φ ，推導如下: y
2 , 2 , , 2 1 , , 2 1 , min min min min y y y A A x A y A x y y y y 1 1 1 s A T s B Φ T s2 F s B Φ T s2 F s2 s Φ T F UA UA Φ U T UA Φ UA Φ Φ U B T BΦ U U BT BTT Φ T U U U T Φ T (2.70) 其中 1 s U 與 2 s U 是Us的上下半部。 由最小平方誤差(least-squares)我們可以得到: 1 y 1 2 † s s T Φ T U U (2.71)我們要求的方向Φ 即為y 1 2 † s s U U 的特徵值(eigenvalue)。 然而由最小平方誤差求得的Φ 是有偏差的最佳解，這是因為雜訊的影響或者時間y 平均造成的誤差，使得 1 2 s s
span(U )span(U )。我們可以使用 total least squares 演算法， 利用最小的校正量，使得 1 2 s s span(U )=span(U ) ，所得的解為: 1 y -1 12 22 T Φ T V V (2.72) 其中 1 2 1 1 2 2 H H H s 11 12 11 2 s s H H H 21 22 1 22 s U V V V V U U Λ V V V V U (2.73) 我們要找的方向Φ 就是y -1 12 22 V V 的特徵值(eigenvalue)。 接下來我們要找Φx: 2 , 2 2 2 , 2 2 , 1 , , min min min min A A x A A x A y A x y A A x A y A x y A A y A x A x y x 1 s A T s A T F s A T F s B Φ T s2 UA UA Φ U T UA Φ UA Φ Φ UA UA Φ E U E T UA Φ UA Φ Φ UA UA Φ E U T UA Φ UA Φ Φ U BT BTT Φ T U
2 2 1 , min x x 1 F s2 s Φ T U U T Φ T F (2.74) 其中 1 s U 與 2 s U 是E U2 s的上下半部。 由最小平方誤差(least-squares)我們可以得到: 1 x 1 2 † s s T Φ T U U (2.75) 我們要求的方向Φx即為 1 2 † s s U U 的特徵值(eigenvalue)。 如同前述，由最小平方誤差求得的Φx是有偏差的最佳解，這是因為雜訊的影響或 者時間平均造成的誤差，使得 1 2 s sspan(U )span(U )。我們可以使用 total least squares 演 算法，利用最小的校正量，使得 1 2 s s span(U )=span(U ) ，解得的解即: 1 x -1 12 22 T Φ T V V (2.76)
1 2 1 1 2 2 H H H s 11 12 11 2 s s H H H 21 22 1 22 s U V V V V U U Λ V V V V U (2.77) 我們要找的方向Φx就是 -1 12 22 V V 的特徵值(eigenvalue)。 接下來我們要配對Φ 跟y Φx，從以上的觀察我們發現 2-1 11 2 -V V 跟-V V 有相同的特徵11 2-12 向量(eigenvector)T，把相同的特徵向量所對應個別的特徵值配對起來，就是我們要的 配對方式。 配對完後我們要把Φx跟Φ 轉換到y k跟k，方法是我們取出 4 2j f dc ysin( k)sin( k) /C xk e 跟 4 2j f dc ysin( k)cos(k) /C yk e 的相位，相除得到tank，此時的做 tan 的反函數得到兩個可能的k，把這兩個代回 4 2j f dc ysin( k)sin(k) /C e 跟 4 2j f dc ysin( k)cos( k) /C e ，會 發現只有一組( k, k)滿足 4 2j f dc ysin(k)sin(k) /C xk e 跟 4 2j f dc ysin(k)cos(k) /C yk e ，如此即解 得我們要的相位。 因為區塊 A 與 B 的距離跟天線與天線的距離差了 4 倍，所以可解析的角度有一定 的範圍，如果我們重新劃分區塊[7]如圖 2-5，則可以解決此問題。 圖 2-5 混合式天線的區塊分配，相同顏色代表共相同的數位類比轉換器
![圖 2-2 中不同的區塊(Section)分享相同的 DAC 和 ADC，因此可以把 DAC 和 ADC 的數 量大幅降低。區塊的劃分有很多種，圖 2-3 是其中之一[7]，在此我們有 8 8 根天線，共 劃分成 4 個區塊，分別是 A、B、C、D，每個區塊分享同一個數位轉類比轉換器。 圖 2-3:混合式波束形成區塊化分 混合式波束形成的場型可表示為: 1 section1 2 section2( , )( , ) ( , )BP w RF w RF (2.22](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/7703932.145164/16.892.314.621.784.1006/中不同們有根天線共劃分個區塊分別是每個區塊分享一個BP.webp)
![圖 2-4 線陣天線架構圖 假設有 K 個期望值是零、彼此不相干而且是窄頻的訊號入射到有 N 根天線的線陣 天線上，入射到線陣天線的角度分別是 θ { , , 1 1 , K } ， k [0 ,180 ] ，而且 K N 。 此陣列的 N 個單一天線彼此相距離 d，而且 d 剛好是頻率是 f c 的弦波的半波長。 線陣天線接收到的訊號可以看成一個向量 y ，其數學模型可以表示如下: 12 1 1](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/7703932.145164/18.892.246.573.152.438/假設有根天線K而且此陣列可以看成一個向量其數.webp)
