行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
三維 Timoshenko 梁在等角速度下的非線性穩態變形及自由
振動分析 (II)
計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC91-2212-E-009-024-執行期間： 91 年 08 月 01 日至 92 年 07 月 31 日 執行單位： 國立交通大學機械工程學系 計畫主持人： 蕭國模 報告類型： 精簡報告 處理方式： 本計畫可公開查詢中
華
民
國 92 年 8 月 20 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
三維 Timoshenko 梁在等角速度下的非線性穩態變形
及自由振動分析(II)
The nonlinear steady state defor mation and fr ee vibr ation analysis of
thr ee Dimensional Timoshenko Beam under
constant angular velocity(II)
計畫編號：NSC 91-2212-E009-024
執行期限：91 年 08 月 1 日至 92 年 07 月 31 日
主持人：蕭國模 國立交通大學機械工程學系
計畫參與人員：黃于哲
中文摘要 本研究主要是利用共旋轉法來推導雙對稱三維 Timoshenko 旋轉梁的運動方 程式，並探討三維旋轉梁振動的自然頻率。旋轉梁存在一個穩態，本文中的振動 是指基於穩態的微小振動。本文利用非線性梁理論的一致線性化、d'Alembert 原 理和虛功原理在旋轉元素座標上推導梁元素的節點變形力和節點慣性力。在推導 過程中保留穩態變形的節點參數和其微分到二次項以及扭率的三次項，而振動部 份保留節點參數和其微分到一次項。本文最後以數值例題探討不同斷面、不同長 度、不同轉速及不同設定角對旋轉梁自然頻率的影響。 關鍵詞：Timoshenko 梁、穩態解、自然頻率 Abstr actThe equations of motion for the doubly symmetric three dimensional rotating Timoshenko beam is derived using a co-rotational total Lagrangian finite element formulation combined with rotating frame method. The natural frequency of the infinitesimal free vibration of the rotating beam measured from the position of the steady-state deformation of rotating beam is investigated.
r X1 A O X3 L O A Ω Ω G G X2 G G X1 0
in the current rotating element coordinates. The terms up to the second order of nodal parameters, their spatial derivatives, and the third order term of twist rate corresponding to the steady-state deformations are all retained. However, only the terms up to the first order of nodal parameters, and their spatial derivatives and time derivatives corresponding to the free vibration are retained.
Numerical examples are studied to demonstrate the accuracy and efficiency of the proposed method and to investigate the effect of angular velocities, setting angles, cross sections and slenderness ratios of the beam on the natural frequency of the rotating beams.
Keywor ds：Timoshenko beam,steady state, natural frequency
1. 緒論 對於旋轉梁的振動分析已有很多的研究[1-5]。文獻[7]中將旋轉梁的運動方 程式的時間函數去掉求得旋轉梁的穩態平衡方程式，再利用 Galerkin Method 及牛頓法求得旋轉梁在穩態時，軸向變形與扭轉變形的數值穩態解。 本文擬將[7]中提出的方法作適當的修改，採用有限元素法來探討三維 Timoshenko 旋轉梁的振動行為。本文採用文獻[7]中提出的共旋轉法及三維 Timoshenko 旋轉梁元素的變形機制，再以虛功原理和有限元素法配合非線性梁 理論的一致線性化推導梁元素節點慣性力和節點變形力，再將其組合成系統的非 線性運動方程式。本研究擬將穩態解代入運動方程式，以求得旋轉梁的振動方程 式，進而分析旋轉梁振動的自然頻率和振動模態，並探討旋轉速度和扭轉剛度對 自然頻率的影響。 2. 理論推導 2.1 問題的描述 如圖. 1.所示，考慮一具均勻斷面且雙軸對稱之三維的 Timoshenko 梁，支承 端以設定角β 剛接在一圓柱上，該圓柱以等角速率o Ω繞其軸心旋轉。本文中考 慮梁的軸向位移及旋轉，和兩個側方向的位移及旋轉。
圖. 1. 旋轉梁之三視圖
2.2 基本假設
(1) 梁為等斷面、雙對稱的 Timoshenko 梁。
(2) 梁變形後，其斷面形狀不變，且斷面平面內的應變可以忽略。
(3) 斷面之軸向翹曲位移量(Warping Displacement)為扭轉率與該斷面之 Saint Venant 翹曲函數之乘積。 2.3 座標系統 本研究採用共旋轉法(co-rotational formulation)，為了描述梁元素及整個系統 的運動，本文用了三個座標系統： (1) 總體旋轉座標系統，X (i = 1, 2, 3) (如圖. 2).iG (2) 梁斷面座標系統， x (i = 1, 2, 3) (如圖. 2).iS (3) 旋轉元素座標系統： x (i = 1, 2, 3) (如圖. 2).iE 圖. 2. 座標系統 2.4 Timoshenko 梁的變形描述 令Q點(如圖. 2)為梁元素中的任意點，P點為Q點在形心軸上的對應點，即P 點與Q點位於梁的同一斷面上。在旋轉座標上，Q點在變形前後的位置向量可以 分別表示如下： Q X X S 2 S 3 x A P w v s xp z y P r P O 1 1 2 2 XE 3 2E X X 2G X 3G 1 E X G X1 XE3 2 XE P ϕ G ϕ ϕR u
及 i i S x S S z y z r y w v u x r e e e e e e e r = + + + + + + + = 1 , 1 3 2 3 2 1 ) , ( ) ( ω ϕ (2) ) , ( ) (x u xt u u = s + (3) ϕ1 =ϕs(x)+ϕ1(x,t) (4) 其中 t 為時間，r 為旋轉圓柱的半徑，x 為梁的固定端(A 點)到 P 點在梁變形前的 距離，x1≤ x≤x2，x 為元素節點j j(j =1,2)變形前的X1E或X1G座標，us(x)、 ) (x s ϕ 分別為穩態的軸向位移與軸向扭轉角。因us(x)及ϕs(x)為有限量(Finite quantity)故在本文中u 及ϕ 不視為一擾動量，1 u ,,vw是 P 點分別在X1E、X2E、X3E 軸方向上的微小位移，ϕ 為梁的扭轉率，1,x ω(y,z)為 Saint Venant 翹曲函數 (warping function) ，ei (i=1,2,3)為在X 軸方向的單位向量，iE eSi (i =1,2,3)為在XiS 軸方向的單位向量，e 在變形前和iS e 的方向一致。 ei i 及 eiS(i=1,2,3) 在旋轉 座標系統中的關係可表示如下 eiS =Rei (5) 其中 R 為旋轉矩陣。 2.5 旋轉梁的運動方程式 系統在總體座標中定義的非線性運動方程式可以表示為 0 Q Q Q F Q F F
Ø = = D( )+ I(Ω, , &,&&)= (6) 其中Ø 為系統不平衡力(unbalanced force)，F 為系統節點內力，FD為與變形 力有關的節點內力，F 為與慣性力有關的節點內力。 Q 為系統位移向量，其包I 含穩態位移及振動： ) ( ) (t Qs Q t Q = + (7) 其中Q 為和時間無關的穩態位移，s Q(t)為振動位移。 2.6 旋轉梁的穩態平衡方程式 旋轉梁在穩態時的位移不是時間函數，所以(7)式中的節點位移 Q 可以表示 成 s Q Q = (8) 將(7)式代入(6)可以得到 0 Q F Q F Ø = sD( s)+ sI( s,Ω)= (9)
其中FsD
、
F 為元素節點力的組合。sI 2.7 旋轉梁的振動方程式 本研究中旋轉梁的振動是以穩態為平衡點的振動，將(7)式代入(6)式並消去 穩態解可以得到如下的旋轉梁振動方程式 0 Q Q QF( ,&,&&,Ω)= (10) (10)式即為三維旋轉 Timoshenko 梁以穩態為平衡點的線性振動方程式，其中 F 是 由元素內力組合而成。 若振動方程式(10)式有自然頻率存在，則其解的形式可表示如下[9]： t i eλ ⋅ =È Q (11) 其中 i 為虛數 −1，λ 為自然頻率，È 為對應於 λ 的振態。 將(11)代入(10)式可得到 0 HÈ = ) ( ) , ( Ω = K+Ω C+ 2M+Ω2MΩ H λ λ λ (12) 其中 K 、ΩλC、λ2M、Ω2MΩ是由梁元素的的剛度矩陣 k 和質量矩陣 m 經座轉 換後對應組合而成。在某一轉速下， H 為振動頻率λ 的函數，所以滿足 = ) ( detH λ 0 之λ 即為(10)式的自然振動頻率。 3. 數值例題與結果 在本研究中梁的長度 L 與斷面高度比，在橢圓斷面指的是L/a，其中 a 為橢 圓的半長軸。本研究中假設固定端為抑制翹曲(Warping restraint)。 本研究的參數中，β 為設定角，k 為旋轉梁的無因次轉速。 N 為該例題所使o 用的元素數目，Ki (i=1,2,3...)指轉速為零時該頻率依大小為第 i 個無因次自然頻 率。本研究中將自然頻率分為 AI、BI、CI、DI (I = 1, 2, 3… )四種類： AI - 轉速為零時，第 I 個軸向振動 BI - 轉速為零時，第 I 個斷面主軸 y 方向的側向振動 CI - 轉速為零時，第 I 個斷面主軸 z 方向的側向振動 DI - 轉速為零時，第 I 個扭轉振動
X a b S 2 3 S X 圖. 3. 梁的斷面圖 如圖. 3.所示，本例題為橢圓斷面，a/b=20，L/a =50。圖. 4.為設定角 ° =45 o β 、k=0.1的穩態位移分佈圖。 圖. 5.為橢圓斷面在 不同轉速下的自然頻 率曲線圖。而βo =45°,90°之 XI( X=A, B, C, D ; I=1, 2, 3,… )曲線和βo =0°的對應 XI 曲線在k=0時有共同的起 點。由圖. 5.可以看出當斷面為橢圓斷面時 BI 的頻率隨轉速增加而明顯的增加， CI 的頻率增加較小，扭轉振動 DI 的頻率則隨轉速變動不大。如圖. 5.中的 A 點 所示，依照圖. 6.的模態可以判斷設定角45 時 B3 頻率的大小在o k 等於 0 和 0.01 之間超越了 C1 頻率的大小。 圖. 7.在設定角為0 , o 15 , o 30 , o 45 , o 60 , o 75 , o 90 下的自然頻率。隨著轉o 速的增加，設定角的影響越大，其中 BI 的自然頻率隨著角度增加而上升，CI 的 自然頻率隨著角度增加而下降。
圖. 4. 位移分佈圖 圖. 5. 轉速－自然頻率曲線圖 圖. 6. 在不同轉速下的振態 圖. 7. 設定角－自然頻率曲線圖 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 2.0 4.0 6.0 4 3 2 1 a/b = 20 L/a = 50 k = 0.1 βo = 45 o Line 1 2 3 4 Disp Us Us' Ψs Ψs' d -3 -3 -1 -1 Di sp la cem en ts (1 0 d ) x / L 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 A ‧ βο 0o 45o 90o B4 B3 B2 C1 D1 B1 N ature Freque ncy K Rotation Velocity k 0.0 0.5 1.0 -1.0 0.0 1.0 k = 0 B3 K = 0.03085 M od al d ef lection x / L 0.0 0.5 1.0 -1.0 0.0 1.0 K = 0.03513 k = 0 C1 M od al d ef lection x / L 0.0 0.5 1.0 -1.0 0.0 1.0 K = 0.03613 k = 0.01 C1 M od al d ef lection x / L 0.0 0.5 1.0 -1.0 0.0 1.0 k = 0.01 B3 K = 0.05124 Ellipse a/b = 20 L/a = 50 βο = 45 o u / L v / L w / L ϕ1 ϕ2 ϕ3 Lϕ1,x M od al d ef lection x / L 0 15 30 45 60 75 90 0 3 6 9 12 0.1 0.05 0.01 k = 0 B1 N ature F re q u en cy K( 1 0 -2)
Setting Angle βο(deg)
0 15 30 45 60 75 90 0 6 12 18 24 30 0.1 0.05 0.01 k = 0 B2 N ature F re q u en cy K( 1 0 -2)
Setting Angle βο(deg)
0 15 30 45 60 75 90 0 9 18 27 36 45 0.1 0.05 0.01 k = 0 B3 N ature F re q u en cy K( 1 0 -2)
Setting Angle βο(deg)
0 15 30 45 60 75 90 3 6 9 12 0.1 0.05 0.01 k = 0 C1 N ature F re q u en cy K( 1 0 -2)
圖. 8. 振動模態圖 當轉速k=0時，各組的振動是互相獨立的，但是當轉速增加時，耦合的現 象會越來越明顯。如圖. 8.在設定角45 、o k=0.05時，兩個側方向會有明顯的耦 合發生。 4. 結論 本文利用共旋轉法，非線性梁理論的一致線性化，虛功原理，d’Alembert 原 理及有限元素法，在旋轉元素座標上推導出三維 Timoshenko 梁元素的運動方程 式，再將其組合成系統的非線性運動方程式。由本文的推導可以看出在旋轉梁的 振動問題中，即使是線性振動，仍然需由完整的非線性梁理論，才能推導出正確 的運動方程式。本文在分析旋轉梁的自然振動時，考慮梁的軸向位移及旋轉，和 兩個側方向的位移及旋轉。 由數值結果我們可以觀察到以下的結論： (1) 當Iy ≠Iz且設定角不為 0 度或 90 度時，會有扭轉變形的產生，且這個扭轉 變形會與軸向變形產耦合作用。當I 和y I 的值差距越大，所產生的扭轉變z 形也越大。 (2) 旋轉梁的振態會相互的耦合，當細長比超過一定值時，在低頻的自然頻率上 三維梁和二維梁會出現明顯的的差異。因此要達到可靠的結果，三維梁的分 析是必須的。 (3) 當轉速k=0時，各組的振動是互相獨立的，但是當轉速增加時，耦合的現 象會越來越明顯。 0.0 0.5 1.0 -1.0 0.0 1.0 K = 0.02512 B1 M odal def le cti on x / L 0.0 0.5 1.0 -1.0 0.0 1.0 K = 0.11974 B2 M odal def le cti on x / L 0.0 0.5 1.0 -1.0 0.0 1.0 K = 0.19666 B3 M odal def le cti on x / L 0.0 0.5 1.0 -1.0 0.0 1.0 K = 0.05976 C1
Ellipse a/b = 20 L/a = 50 βο = 45 o k = 0.05 u / L v / L w / L ϕ1 ϕ2 ϕ3 Lϕ1,x M odal def le cti on x / L
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