國小高年級學生在立方積木三視圖的推理表現

通訊作者：陳韻如，e-mail：math007@nhush.tp.edu.tw 收稿：2017 年 5 月 22 日；

接受刊登：2018 年 3 月 26 日。

陳韻如、楊凱琳、林福來（2018）。

國小高年級學生在立方積木三視圖的推理表現。

臺灣數學教育期刊，5（1），1-34。

doi: 10.6278/tjme.201804_5(1).001

國小高年級學生在立方積木三視圖的推理表現

陳韻如¹ 楊凱琳² 林福來²

1 臺北市立南湖高級中學

2 國立臺灣師範大學數學系

本研究的目的在了解國小高年級學生在立方積木三視圖的推理表現，並探討年級、操作工具和任務類型 對學生解題的影響。本研究中，界定立方積木為限制內嵌於 2 × 2 × 2 的正方體且不得懸空的立體圖形。

研究者自編立方積木三視圖測驗，該測驗包括「視圖與立體圖的對應」、「由底層和視圖計數」和「視圖 與視圖的對應」三種分測驗，測驗的目的在以三視圖評估學生空間推理的表現。研究樣本為台北市國小高 年級學生：五年級學生 127 名、六年級學生 133 名。施測時按操作工具的有無將學生以班級為單位隨機 分派為積木操作組和心智想像組。研究結果發現：（1）六年級學生的表現顯著優於五年級學生。而操作 工具的有無，學生的作答表現並無顯著差異。（2）「視圖與視圖的對應」顯著較「視圖與立體圖的對應」

和「由底層和視圖計數」困難。進一步檢驗不同視圖所造成的影響，發現在積木由堆疊產生的情境下，提 供俯視圖有助於學生的推理表現。（3）依據學生三視圖的作答表現，共區分出四種類型：試誤法、序列 思考、協調，和整合。

關鍵詞：三視圖、方塊計數、空間推理、測驗

Corresponding author：Yun-Zu Chen，e-mail：math007@nhush.tp.edu.tw Received：22 May 2017;

Accepted：26 March 2018.

Chen, Y. Z., Yang, K. L., & Lin, F. L. (2018).

Fifth and sixth graders’ reasoning performance with orthogonal views of cubic blocks.

Taiwan Journal of Mathematics Education, 5(1), 1-34.

doi: 10.6278/tjme.201804_5(1).001

Fifth and Sixth Graders’ Reasoning Performance with Orthogonal Views of Cubic Blocks

Yun-Zu Chen ¹ Kai-Lin Yang ² Fou-Lai Lin ²

1Taipei Municipal Nanhu High School

2Department of Mathematics, National Taiwan Normal University

The aim of this study was to investigate fifth- and sixth-grade students’ spatial reasoning performance with orthogonal views of cubic blocks. The cubic blocks were restricted to a 2 × 2 × 2 structure, with no flying ones. Three variables were considered in the study: grades, manipulatives, and tasks. The developed instrument comprised three categories of tasks: choosing isometric versus orthogonal views, cube enumeration given a base, and a compatibility task. The participants in the study were 127 fifth graders and 133 sixth graders from schools in Taipei, divided into two groups.

The first group was assessed using tangible cubes (manipulatives), and the second group was tested without them.

The results of the study were as follows: First, sixth graders significantly out-performed fifth graders, but the groups with and without manipulatives exhibited no significant difference. Second, the compatibility task was significantly more difficult than the other tasks. Further examination of the effects of the different given views proved the benefits of the top view. Finally, students were classified into the following four categories based on their performance: trial- and-error, sequential thinking, coordination, and integration.

Keywords: spatial reasoning, orthogonal views, instrument, cube enumeration

壹、緒論

一、研究背景與動機

空間能力與幾何的學習密切相關（左台益、梁勇能，2001；Pittalis & Christou, 2010）。在日 常生活中，我們常需要解讀或畫出空間物件的表徵。其中，將空間物體表示為二維表徵，如：剖 面圖、立體圖、三視圖，可稱作編碼；而由二維表徵對空間物體的性質進行推理或進行二維表 徵間的轉換，可稱為解碼（Parzysz, 1988；Pittalis & Christou, 2013）。青少年的空間能力是影響 其大學科系選擇的重要因素（Wai, Lubinski, & Benbow, 2009）。解讀或畫出空間物件的表徵，可 促進空間溝通，也是跨領域的 STEM（science, technology, engineering, and mathematics）科技整 合學習所必備的能力。因此，培養學生具備空間思考的習慣、熟悉空間表徵與推理，判讀空間 資訊，是各學科所應共同努力的目標，此即空間素養的內涵（National Research Council, 2006）。

台灣現行的九年一貫數學課程中，四年級課程包含點數積木方塊以發展體積概念，五年級 課程則包含長方體的體積計算公式（教育部，2008）。十二年國教的數學領域課程綱要，則在七 年級課程，加入了由積木方塊堆積成立體圖形的三視圖內容（教育部，2015）。本研究選定國小 高年級學生作為三視圖空間推理能力的研究對象，主要有兩個原因：一是因為國小高年級學生 正進入形式運思期，其思考的特徵為能進行假設的演繹，有系統的運用法則，以獲得結論（江 淑卿，2007；Siegler, 1998）。二是因為國小高年級學生已有積木方塊計數的經驗，有機會將其經 驗內化，形成積木方塊的心像並進行操弄，此即視覺化的歷程（McGee, 1979）。

空間的表徵的學習，需包含解讀與畫出表徵的完整歷程。參考既有的三視圖任務（林玉珠，

2009；林慧美，2011；Battista & Clements, 1996; Ben-Chaim, Lappan, & Huang, 1988; Cooper, 1990;

Gutiérrez, 1996; Shyi & Huang, 1995），我們可將三視圖任務分為「視圖與立體圖的對應」與「視 圖與視圖的對應」兩類。其中，「視圖與立體圖的對應」任務，多是以孩童或青少年為受試對象，

例如：Ben-Chaim 等人（1988）以五至八年級的學生為對象，進行空間視覺化的測驗，其測試題 目包含：由立體圖選視圖。而「視圖與視圖之間的對應任務」，多是以成年人為受試對象。例如：

Shyi 與 Huang（1995）以大學生為對象，發展視圖相容任務。其研究中，刺激物為三立方積木：

限制內嵌於 3 × 3 × 3 的正方體的立體圖形，而積木方塊可以懸空。受試者必須按給定的雙視圖 資訊選出與之相容的另一視圖，由於滿足的單視圖可能不只一種，此類試題恰可滿足 Ragni 與 Knauff（2013）所提空間推理的另一個向度：多種可能空間模式的想像與建立。

研究者預設國小高年級學生的三視圖表現受到年級、操作工具、任務類型的影響。六年級 學生較五年級學生有更多操作積木的經驗，因此更有機會將其經驗內化，完成三視圖相關的任 務。至於具體操作工具的有無，對學生影響如何呢？對於已能形成積木方塊心像並進行操弄的

學生而言，其影響不大；但對於尚未將具體經驗內化的學生而言，提供具體物應有助於其三視 圖的表現，因此，提供操作工具是否影響學生的三視圖表現，應視這兩群學生所占比例而定。

三視圖任務方面，有鑑於「視圖與視圖的對應」任務，在無鷹架的情境下，對於國小學生可能過 於困難，因此研究者在既有的「視圖與立體圖的對應」，和「視圖與視圖的對應」任務外，另外 設計了「由底層和視圖計數」作為中介任務。該任務是在告知積木方塊底層的情境下，請學生 透過前視圖和右視圖進行正方體計數；這與學生在計數時，先由底層開始計數的習慣相符（林 玉珠，2009）。基於以上的討論，本研究共發展三種三視圖的任務類型：「視圖與立體圖的對應」、

「由底層和視圖計數」，和「視圖與視圖的對應」。而本研究也根據三視圖任務所預設的解題層 次，和實際施測結果，界定三視圖的四種表現類型，除了計算各類型學生在各年級所占的比例；

也根據訪談，描述各類型學生的主要解題特徵，可作為三視圖教學設計時的參考。

二、研究目的與問題

思考與推理是數學教育的核心，而空間推理指的是受試者由空間物件或表徵建造心像並進 行操弄，以進行空間表徵間的變換的認知歷程（Clements & Battista, 1992）。本研究的目的，即 在藉由積木方塊的三視圖，調查國小高年級學生空間推理的表現，以及探究影響其空間推理表 現的可能原因。依據本研究目的，形成主要的研究問題如下：

（一）受試者年級（五或六年級）、操作工具，和任務類型，對國小高年級學生在立方積木三視 圖的推理表現影響為何？

（二）根據立方積木三視圖任務的作答結果，所區分出不同表現層次的學生有何解題特徵？

貳、文獻探討

一、三視圖與空間能力

畫出與解讀三視圖需要哪些空間能力呢？畫出三視圖，受試者必須想像自己的位置改變，

而空間物體內部各部分的相對位置不變，也就是空間定位的能力（McGee, 1979）。由三視圖進 一步對空間物件的組態進行推理，可稱為三視圖的解碼，受試者需組織由不同方向所觀察之空 間影像，而揣想其他方向之影像或立體，也就是需具備空間組織的能力（康鳳梅、鍾瑞國、劉俊 祥、李金泉，2002）。

解讀積木方塊的立體圖，學生的困難點是什麼呢？Battista 與 Clements（1996）研究小學生 對於積木方塊的計數，發現學生解讀立體圖時的困難是：不了解與邊相鄰的兩個小正方形，代 表的是同一個方塊。這個辨識空間的組成元件、結合元件成為空間組合物，以及建立元件與組 合物之間的關係的歷程，可稱作空間結構化（spatial structuring）。後續的研究則發現，除了空間 結構化，進行積木方塊的計數，還需要形成積木方塊的心像並進行操弄，此即視覺化能力（張

碧芝、吳昭容，2009；van Nes & van Eerde, 2010）。

解讀積木方塊的三視圖，除了空間結構化的歷程，還需要協調和整合的能力：協調是指學 生在不經實際的方塊增減或調整前，即可操弄心像，預測移動或增減積木所帶來的視圖改變。

而整合較協調更進一層，指的是受試者可以根據過去操弄積木的經驗，直接形成符合三視圖的 積木方塊心像（Battista & Clements, 1996）。

綜而言之，由積木方塊的三視圖對其組態作推理，可能的困難點可以 Ragni 與 Knauff（2013）

對空間推理模式所作的分類來區分：一是建立與操弄心智模型的複雜度；二是模式推理的複雜 度，符合已知條件的可能模式多，解題加困難。這些都可作為變化三視圖任務難易時的參考。

二、三視圖的任務類型

既有的研究，將三視圖任務按表徵變換的方式分為：三維至二維空間組織（由立體圖選出 三視圖），二維至三維空間組織（由三視圖選出立體圖）以及二至三至二維空間組織（由視圖畫 出視圖）（林慧美，2011）。然而學生的解題順序不一定是按照從標準圖形到選項圖形的順序。例 如：林慧美的研究發現，從視圖選出立體圖，學生的策略是從立體圖出發，一一檢核每一個視 圖是否與之相符。因此，我們將前兩個任務合併命名為：「視圖與立體圖的對應」；將第三個任 務重新命名為：「視圖與視圖的對應」。

以積木方塊為任務情境的「視圖與視圖的對應」任務，有兩種型式：其一是不需額外假設 即可解題，例如：由右視圖選出左視圖，或由編碼俯視圖（即在俯視圖上標註數字，代表該位置 的方塊數，如圖一所示）選出前視或右視圖。此類試題可見於 Ben-Chaim 等人（1988）以五至 八年級的學生為對象，所發展的 MGMP（Middle Grades Mathematics Project）空間視覺化測驗 中。其二是需要額外假設才可解題，例如：視圖相容任務。受試者必須從給定立體模型的前、俯 兩個視圖判斷，第三個視圖（右視圖）是否與之相容。此類試題可見 Shyi 與 Huang（1995）的 設計當中。

「視圖與立體圖的對應」和「視圖與視圖的對應」任務之間的難易關係如何呢？Ben-Chaim 等人（1988）以五至八年級學生為對象，進行教學實驗。教學實驗前後，測試受試者在 MGMP 空間視覺化測驗的表現，其中，「視圖與立體圖的對應」任務為：給定立體圖，請受試者選出前、

右、後、左等視圖。「視圖與視圖的對應」任務則分為兩類，一是「選出相對的視圖」，如：由後 視圖選出前視圖；二是給定底層和前、右視圖，請受試者「選出編碼俯視圖」。結果發現，相較 於「視圖與立體圖的對應」任務，兩種「視圖與視圖的對應」任務各有不同的難易：「選出相對 的視圖」較「視圖與立體圖的對應」容易，而「選出編碼俯視圖」則較「視圖與立體圖的對應」

任務更為困難。其原因可能是：「選出相對的視圖」任務僅蘊含單一結構的資訊；而「視圖與立 體圖的對應」和「選出編碼俯視圖」，皆蘊含多重結構的資訊；且後者尚需受試者綜合多面向的

資訊進行判斷。

三、學生在三視圖任務的表現

學生在積木方塊三視圖的表現如何呢？我們可分操作工具的有無來進行探究。在提供操作 工具的情境下，學生解讀與畫出三視圖。Cooper 與 Sweller（1989）請學生透過積木方塊的各種 表徵重製立體模型，發現對於七年級學生而言，三視圖是較難進行操弄的表徵。但也有研究發 現，國小學生已具有透過三視圖重製立體模型的能力。例如：林玉珠（2009）探討國小五年級資 優生的三視圖表現，發現在積木方塊不得懸空的前提下，學生會利用俯視圖，先介定積木底層 的範圍，再往上堆疊積木。也有學生具備不需實際移動或增減方塊，即能預測視圖改變的能力。

這個表現層次，即 Battista 與 Clements（1996）所謂能夠協調。

在不提供操作工具的情境下，學生必須以過去操作積木的經驗，形成並操弄積木方塊的心 像。林慧美（2011）以積木方塊和立體幾何物件為情境，探究國小六年級學生的三視圖表現。其 中「視圖與視圖的對應」任務，學生必須由給定的積木方塊的編碼俯視圖畫出前或右視圖。結 果發現，在不提供操作工具的情境下，學生在「視圖與立體圖的對應」任務的表現，無論從視圖 選立體圖，和從立體圖選視圖，其平均答對率均可達六成五以上。而學生在「視圖與視圖的對 應」任務中的表現，其平均答對率僅約五成。以此推論，在不提供操作工具的情境下，學生可在 立體圖的輔助下，形成積木方塊的心像；但能夠單純由三視圖形成積木方塊的心像，達到 Battista 與 Clements（1996）所謂整合層次的學生可能就較少。

四、三視圖任務設計的理論基礎

本研究選用 SOLO taxonomy（structure of the observed learning outcome）的理論進行三視圖 任務的設計（Biggs & Collis, 1982）。SOLO taxonomy 原是用以評定學生在開放式問題的表現層 次。依據學生處理任務中資訊的抽象化程度，將學生的表現分為五個層次。層次一：無結構

（ prestructural ）， 表 示學 生 無 法 運 用 任 務 中 的相 關 資 訊 來 處 理 問 題 。層 次 二 ： 單 一 結 構

（unistructural），表示學生只能運用問題的單一資訊來解題。層次三：多重結構（multistructural）， 表示學生能夠運用問題的多重資訊來解題（不需額外假設即可解題）。層次四：關係性（relational）， 表示學生能夠運用問題的多重資訊來解題（需額外假設才可解題）。層次五：延伸抽象（extended abstract）：表示學生能把解題的過程一般化，得到一般化的結論。Chick、Watson 與 Collis（1987）

進一步依此架構設計試題，試題任務的層次，取決於解題時所需運用的資訊複雜度，而學生答 對該層次的試題，即代表學生到達該表現層次。

依據 SOLO taxonomy 來劃分三視圖任務的層次，欲完成「視圖與立體圖的對應」，需同時 考量多個視圖的資訊，試題層次為多重結構。而欲完成「視圖與視圖的對應」中的視圖相容任

務，則需要透過進一步假設才能解題，試題層次為關係性。

五、試題層次分析的理論基礎

根據現有的試題層次分析理論來看，大概有兩種模式。第一種模式是根據所有受測者的作 答綜合表現，設定數個定錨點，以區分出：基本、精熟、進階。再根據這些定錨點，設定數個範 例試題，這個區分試題層次的方法，是建立在量尺分數之上，適用於大型測驗，如：美國全國教 育進展評量（National Assessment of Educational Progress，簡稱 NAEP），即是採用此方法（謝進 昌、黃秋華，2006）。第二種模式是根據學生在各題作答結果，將難易度相近且具有一致性的數 學特性的試題歸類在同一群，再將學生依所能夠完成的試題任務將學生分層，分層結果需滿足：

學生若能通過較難層次的試題，就應該能通過較低層次的試題，且不符合這個結果的錯誤樣本 不能太多，是英國 CSMS 小組（Concepts in Secondary Mathematics and Sciences），為分析學生的 概念理解層次所發展出來的方法（劉湘川、許天維、林原宏、郭伯臣，1994）。本研究由於樣本 數較少，不適於計算量尺分數，且因三視圖的學習，包含了投影、視圖等相關概念，因此適合採 用第二種模式，建立三視圖概念發展的層次。

參、研究方法

一、前置研究

前置研究的目的在探討學生在三視圖既有任務的表現，以了解「視圖與視圖的對應（畫編 碼俯視圖）」是否適合作為「視圖與立體圖的對應」和「視圖與視圖的對應（視圖相容）」的中介 任務。首先綜合既有的積木方塊三視圖任務（林玉珠，2009；林慧美，2011；Ben-Chaim et al., 1988），完成表 1 的前置問卷架構。

表 1

積木方塊三視圖前置問卷架構

任務分類 SOLO taxonomy

1. 視圖與立體圖的對應（選立體圖） 層次 3：多重結構（multistructural）

2. 視圖與視圖的對應（畫編碼俯視圖） 層次 3：多重結構（multistructural）

3. 視圖與視圖的對應（視圖相容） 層次 4：關係性（relational）

4. 視圖與立體圖的對應（畫立體圖） 層次 4：關係性（relational）

在這個架構下，研究者將三視圖問卷分為二立方和三立方兩卷，兩卷中的立體積木均限制 由積木方塊堆疊產生（不得懸空）。每位學生均在提供操作工具的情境下，以兩節課的時間，分 別完成二立方和三立方兩卷。受試者為台北市國小高年級學生，共計調查五年級學生 25 名，六 年級學生 26 名。問卷施測後，將學生按解題表現分為四組，各組均選取兩位學生進行訪談。其

中三立方的積木方塊的立體圖和編碼俯視圖對應關係如圖 1 所示。

圖 1 積木方塊的編碼俯視圖

前置研究的結果發現，學生經常是倚賴積木模型進行視圖相容任務，而非透過心智想像；

而受訪學生中，除了表現層次最高的學生外，均無法直接由編碼俯視圖看出視圖，而必須倚賴 積木。換言之，以編碼俯視圖作為「視圖與立體圖的對應」和「視圖與視圖的對應（視圖相容）」 的中介任務的研究假設需要調整，這也與 Ben-Chaim 等人（1988）的研究一致，對於未經過訓 練的受試者而言，和編碼俯視圖相關的任務，是 MGMP 測驗中平均得分最低的。因此，編碼俯 視圖在正式施測時，不直接列為評量試題，而積木情境也只鎖定在二立方且不得懸空，以免因 空間記憶負荷量過大影響學生的表現。

研究者刪除原有畫圖任務：任務 2 和任務 4，而改以選擇題的型式進行評量，以避免學生在 未提供操作工具的情境下，無法畫出積木方塊的立體圖。另外，為了提供較編碼俯視圖而言，

更具像的表徵，研究者選定積木方塊的底層發展試題，這也與 Ben-Chaim 等人（1988）在「視 圖與視圖的對應」任務中，直接告知底層、前視圖、右視圖的策略一致，差別在於，其任務是要 受試者選出編碼俯視圖；而研究者結合底層和前、右視圖，請受試者判斷可能的積木方塊數，

稱作「由底層和視圖計數」任務；此類任務因答案可能有一解或多解，因此適合發展成不同難 度的三視圖試題。

二、研究樣本

正式研究的對象是大台北地區的五至六年級學生，研究樣本的學生來自三所常態編班的公 立學校。每所學校以便利取樣的方式選取五和六年級各兩個班級，施測時，隨機分派各年級的 一個班級為積木操作組，提供操作工具；另一個班級為心智想像組，不提供操作工具。施測後，

將漏答題數超過兩成的樣本視為無效樣本，積木操作組刪去無效樣本 1 人，有效樣本為 133 人；

心智想像組刪去無效樣本 0 人，有效樣本為 127 人，年級分佈如表 2 所示。

表 2

積木方塊三視圖正式施測樣本數

5 年級 6 年級 合計

積木操作組 63 人 70 人 133 人 心智想像組 64 人 63 人 127 人 合計 127 人 133 人 260 人

三、研究工具

（一）三視圖問卷編製架構

本研究參考 SOLO taxonomy（Biggs & Collis, 1982; Chick et al., 1987）發展三視圖的不同任 務，並形成積木方塊三視圖問卷編製架構如表 3 所示。以下說明三種任務所對應到的解題層次：

 任務 1：視圖與立體圖的對應，給定資訊為：前視、右視、俯視三個視圖，學生需選出相容 的立體圖。對應 SOLO taxonomy 層次 3：多重結構。

 任務 2：由底層和視圖計數，給定資訊為：底層和前視、右視圖，學生需計數積木方塊數。

對應 SOLO taxonomy 層次 3：多重結構。

 任務 3：視圖與視圖的對應，給定資訊為：前視、右視、俯視三視圖中任兩個視圖，學生需 選出相容的單視圖。對應 SOLO taxonomy 層次 4：關係性。

表 3

積木方塊三視圖問卷編製架構

任務分類 題號（給定資訊） SOLO taxonomy 1.視圖與立體圖的對應（選立體圖） 1,2,3（前視+右視+俯視） 多重結構（multistructural）

2.由底層和視圖計數（底層計數） 4,5,6（底層+前視+右視） 多重結構（multistructural）

3.視圖與視圖的對應（視圖相容） 7,8,9,（右視+俯視）

10,11,12（前視+俯視）

13,14,15（前視+右視）

關係性（relational）

（二）三視圖任務說明

以下就各試題任務，分別說明其編製過程如下：

1. 視圖與立體圖的對應

由前視、右視、俯視三個視圖，選出積木方塊的立體圖。學生從視圖選立體圖，可能的錯誤 類型有：因空間定位的錯誤而選出鏡射物；或者因對視圖成因的不了解，誤把前視圖當作最前 層、右視圖當作最右層。本研究考慮此兩錯誤類型，設計誘答選項。試題範例如圖 2。

圖 2 試題範例：視圖與立體圖的對應 2. 由底層和視圖計數

在由三視圖進行積木方塊解碼時，受試者需額外假設才能解題；若告知底層取代告知俯視 圖，受試者不需額外假設即可解題，研究者預期可降低試題難度。試題範例如圖 3。

圖 3 試題範例：由底層和視圖計數 3. 視圖與視圖的對應

由雙視圖選出相容視圖，是典型的視圖相容作業。Shyi 與 Huang（1995）已探討了當積木 方木塊可以懸空時，給定包含前視圖的雙視圖時，有利於受試者形成積木方塊的心像。延續 Shyi 與 Huang 的設計，本研究在給定雙視圖時，也考慮給定前視＋右視（簡稱前右）、前視＋俯視（簡 稱前俯），和右視＋俯視（簡稱右俯），不同的雙視圖組合，請學生選出相容的單視圖。為防止答 題順序影響學生的作答表現，問卷分為 A, B, C 三卷，三卷題目相同，僅視圖作答順序不同，卷

別與視圖相容任務的作答順序的對應，如表 4 所示。由協助施測的教師隨機將 A, B, C 三卷分派 給該班學生作答。試題範例如圖 4。

表 4

卷別與視圖相容任務的作答順序

卷別

視圖作答順序 A 卷 B 卷 C 卷

右俯 1 3 2

前俯 2 1 3

前右 3 2 1

圖 4 試題範例：視圖與視圖的對應

（三）預試結果

根據三視圖問卷編製架構發展出三視圖預試問卷，在提供操作工具的情境下，請台北市一 個五年級班級進行試測，回收問卷並進行統計分析，由 Cronbach’s α 係數計算其內部一致性為 0.67，已達可接受的範圍（George & Mallery, 2003）。項目分析是以小樣本極端組的方法分析其 難度指數和鑑別度：以各題的平均得分除以單題分數，計算其難易度指數，得到 15 題試題的難 易度指數 p，均介於 0.46 和 0.80 之間（平均難易度為 0.66）。而以高分組學生（前 27%）得分 率－低分組學生（後 27%）得分率計算鑑別度，得到鑑別度 D 介於 0.14 和 0.44 之間（平均鑑 別度為 0.32）。由於預試施測人數少，適合以內部一致性效標法進行分析，即以 t 檢定檢驗高分 組和低分組的得分是否有顯著差異。為了避免過度拒絕的問題，取 CR 值

 3

生是否具有前視即最前層、右視即最右層的迷思概念，仍保留該題。

（四）研究工具的信效度 1. 信度研究

本測驗的信度是採內部一致性信度，與再測－複本信度。由於本測驗是採多選計分的題型，

故採 Cronbach’s α 係數計算其內部一致性；信度分析分積木操作組和心智想像組進行，全測驗 的Cronbach’s α 值分別為 .76 和 .72，屬於優良。各分測驗的內部一致性 Cronbach’s α 係數值，

除了心智想像組的視圖相容任務外，皆介於 .62 到 .71，亦屬於可接受的範圍（George & Mallery, 2003）。另外再以根據原試題 A 修改後的複本試題 B，請部分受試者（n = 39）在一個月後再施 測一次，以 Pearson 相關來考驗再測-複本信度。結果發現，三視圖測驗的再測-複本信度為 .53，

達統計上 .01 的顯著水準，以再測信度的標準而言，仍屬穩固的（Acock, 2008）。

2. 效度研究

本研究的效度是採專家效度和效標關聯效度。以既有的文獻為依據，形成積木方塊三視圖 問卷編製架構。問卷設計完成後，除請數學教育的專家（教授與博士班學生共 3 名）分析檢核 是否符合設計架構，亦請任教建築類科的教師以及國小學生進行填答，就文字說明不清楚的地 方進行修正。研究者以 Ben-Chaim 等人（1988）針對五至八年級學生所研發的 MGMP 空間視覺 化測驗作為效標，該測驗的重測信度是 .79，內部一致性係數介於 .72 至 .86 之間。正式問卷施 測後一個月後，研究者從 MGMP 空間視覺化測驗中選取和三視圖相關的試題共 16 題，請五、

六年級各一班學生完成，扣除 1 位學生漏答題數超過兩成，有效樣本為 47 名。得 MGMP 三視 圖相關的試題（共 16 題）內部一致性係數為 .80。研究者計算本研究中所發展出的三視圖問卷 和 MGMP 空間視覺化測驗的相關係數結果，作為效標關聯效度（預測效度）。結果發現，兩者 的 Pearson 相關係數為 r = .37，p < .01，已接近中度相關（邱皓政，2015）。

四、資料蒐集與處理

研究者在 2017 年 2 月至 3 月間，進行三視圖測驗的施測與訪談。三視圖施測前，請協助施 測的教師以紙製的立體方塊進行積木方塊三視圖的說明。而在問卷上，則以圖例告知積木方塊 不得懸空的意義。在訪談部分，研究者在問卷施測後，重新擬定三視圖能力架構（如表 6 所示）， 按該能力架構，將學生分為四種表現類型（如表 7 所示），各類型均選取男女學生各一名，進行 三視圖解題策略的訪談，訪談過程中全程錄音，並將學生在訪談過程中所作的畫記進行蒐集，

以利還原學生的解題歷程。

五、資料分析

本問卷在施測時，即告知學生每個試題可能不只一個正確選項。各題均為 4 個選項的多選 題，其中至少有一個是正確選項，因此適合以多選計分的方式來給分：每題全對得 4 分，答錯 一個選項得 3 分，答錯二個選項得 2 分，答錯三個選項得 1 分，未作答或答錯四個選項得 0 分。

量化的資料是以 SPSS 進行統計分析，主要是以變異數分析的方式來探討年級、操作工具，和任 務類型對學生作答的影響。為了進一步區分學生對於三視圖任務的表現類型，單題通過的標準，

設定為答對的選項數多於答錯的選項數：單題得分在 2 分（含）以下者稱為不通過，得分在 3 分

（含）以上者稱為通過。而為了區分學生的表現類型，則採 CSMS 的試題層次分析法，將具有 相同特性並且難易度相近的試題放在一群，再將學生依作答結果，分為不同表現類型。質化的 訪談資料，則先轉成逐字稿，以詮釋各表現類型學生的解題特徵。

肆、研究結果

一、年級、操作工具、任務類型對學生三視圖表現的影響

本測驗中，三視圖任務共有五種類型：選立體圖、底層計數、視圖相容（給定右視、俯視 圖）、視圖相容（給定前視、俯視圖），和視圖相容（給定前視、右視圖）。各類型均有 3 題試題，

每題滿分均為 4 分。經計算各三視圖任務的單題得分平均數 M 和標準差 SD，如表 5 所示。

表 5

三視圖測驗各任務類型描述統計之平均數（標準差）

操 作 工 具

年 級

人

數 選立體圖 底層計數

視圖相容：

給定右俯

視圖相容：

給定前俯

視圖相容：

給定前右 心

智

五 64 2.88（0.85） 2.76（0.82） 2.51（0.70） 2.40（0.76） 1.94（0.65）

六 63 3.11（0.84） 2.98（0.94） 2.78（0.48） 2.71（0.60） 1.96（0.71）

積 木

五 63 2.88（0.88） 2.84（0.93） 2.58（0.72） 2.61（0.72） 2.00（0.64）

六 70 3.01（0.84） 3.09（0.80） 2.75（0.60） 2.67（0.72） 2.04（0.71）

以三因子混合設計 ANOVA 分析受試者年級、操作工具、任務類型對三視圖分數之影響，

其中受試者年級、操作工具、為獨立組設計，任務類型為相依組設計，由於球形檢定未滿足，且 Epsilon >.75，根據 Girden（1992）的建議，我們以 Huynh-Feldt 作修正。結果發現：二因子和三 因子交互作用分析顯示：年級、操作工具、任務類型三個變因之間沒有交互作用；任兩個變因 間也沒有交互作用。檢驗各變因的主效果發現：

受試者年級對三視圖表現有顯著效果，F (1, 256) = 8.13，p=.005，







選立體圖（M = 2.97，SD = 0.85）表現顯著地優於各種視圖相容任務：右俯（M = 2.66，SD = 0.64）、 前俯（M = 2.60，SD = 0.71）和前右（M = 1.99，SD = 0.68）（p < .001）；底層計數（M = 2.92，

SD = 0.88）也顯著優於各種視圖相容任務：右俯、前俯和前右（p < .001）；選立體圖和底層計數

無顯著差異。而視圖相容任務中，提供右俯兩視圖顯著地優於提供前右兩視圖（p < .001）；提供 前俯兩視圖顯著地優於提供前右兩視圖（p < .001）；提供右俯兩視圖和提供前俯兩視圖無顯著 差異（p < .001）。根據研究分析結果，重新擬定三視圖能力架構，並計算各任務的單題得分平均 數和標準差，結果如表 6。

表 6

積木方塊三視圖能力架構

三視圖任務 題號（給定資訊） 層次 各題項平均數（標準差）

視圖與立體圖的對應 1, 2, 3（前視+右視+俯視） 層次Ⅰ 2.97（0.85）

由底層和視圖計數 4, 5, 6（底層+前視+右視） 層次Ⅰ 2.92（0.88）

視圖與視圖的對應 7, 8, 9（右視+俯視） 層次Ⅱ 2.66（0.64）

視圖與視圖的對應 10, 11, 12（前視+俯視） 層次Ⅱ 2.60（0.71）

視圖與視圖的對應 13, 14, 15（前視+右視） 層次Ⅲ 1.99（0.68）

經單因子變異數分析且經 Turkey 法進行事後比較分析發現，各層次試題均有顯著差異：國 小高年級學生在層次Ⅰ試題：視圖與立體圖的對應，與由底層和視圖計數任務（M = 2.95，SD = 0.77）表現顯著優於層次Ⅱ試題：「視圖與視圖的對應（提供俯視圖）」（M = 2.64，SD = 0.56）； 而在層次Ⅱ試題：「視圖與視圖的對應（提供俯視圖）」的表現也顯著優於層次Ⅲ試題：「視圖與 視圖的對應（不提供俯視圖）」（M = 1.99，SD = 0.68）（p < .001）。

二、學生的表現類型與解題特徵

為了劃分學生的三視圖表現類型，我們設定各題的通過標準為：單題得分在 2 分以下者稱 為不通過，得分在 3 分以上者稱為通過。在這個標準下，我們區分學生為四個層次：

1. 未通過層次Ⅰ的試題，無法完成視圖與立體圖的對應，與由底層和視圖計數。

2. 能通過層次Ⅰ的試題，即能夠完成視圖與立體圖的對應，與由底層和視圖計數。

3. 能通過層次Ⅰ至層次Ⅱ的試題，即在提供俯視圖的情境下，能完成視圖相容任務。

4. 能通過層次Ⅰ至層次Ⅲ的試題，即在不提供俯視圖的情境下，能完成視圖相容任務。

經統計，各類型的學生人數比例如表 7。而統計可通過層次 n+1，但無法通過層次 n 的學生 人數，共有 26 位，約占 10%。在計算各表現類型學生的比例時，我們不計算這些錯誤樣本，因 此各層次學生總數未達 100%。

表 7

各表現類型學生的解題特徵

表現類型 解題特徵 檢驗標準

5 年級

（%）

6 年級

（%）

整體

（%）

試誤法 每次只考慮單一視圖，無法協調 未通過層次Ⅰ 的試題

44.1 42.1 43.1

列思考 一次檢驗一個視圖，能夠完成單 層解碼

通過層次Ⅰ的 試題

32.3 27.8 30.0

協調 給定俯視圖，能透過積木方塊的 調整，完成視圖相容任務

通過層次Ⅰ至 層次Ⅱ的試題

10.2 18.0 14.2

整合 不需給定俯視圖，能夠自行想像 積木方塊的組態，完成視圖相容 任務

通過層次Ⅰ至 層次Ⅲ的試題

0.8 4.5 2.7

經由訪談，研究者確認各類型學生的解題特徵如下：

1. 試誤法：以試誤法進行解碼學生的解題特徵為每次參照一個視圖作判斷，但無法協調兩個 視圖，以進行單層解碼。如以下 S1 的回答。

T：第 5 題你是怎麼想的？

S1：底層有 4 個，看前視圖知道左前方有方塊。看右視圖知道右後方有方塊。

所以是 6 個方塊。

圖 5 學生無法協調兩個視圖

2. 序列思考：此類型的學生能透過逐一檢驗視圖完成單層解碼，即在提供底層的情形下，推 理出上方哪個位置有方塊。如以下 S2 的回答。

T: 你第 5 題是怎麼做的？

S2：我先把底層畫出來。看前視圖知道方塊是在左前或左後，或是都有。再看 右視圖就知道只能在左後。

3. 協調：此類型的學生能夠想像積木移動所帶來的視圖改變，因此可藉由既有積木立體圖的 調整，形成一個符合已知視圖的心像，以完成視圖解碼。如以下 S3 的回答。

T：第 7 題您怎麼做？

S3：看範例去想。上視圖（俯視圖）和範例的這個圖一樣。但是由右視知道這 裡沒有方塊。所以就把這個方塊移動過來就可以了。

T：其他題呢？如果沒有剛好符合怎麼辦？

S3：我就（把題本）往前、往後翻，或是自己再把積木拆開。

圖 6 學生利用立體圖的調整以協調視圖

4. 整合：此類型的學生，可由視圖畫出立體圖，並能夠想像積木增減或移動所帶來的視圖改 變，在沒有俯視圖的情境下，也可自行假設俯視圖，以完成視圖解碼。如以下 S4 的回答。

T: 再看一下第 15 題。

S4: 我一樣把它畫出來。

T: 你畫出來選的答案是？

S4: 第 1 個。但是第 3 個也可以。因為我也有畫出來。

圖 7 學生整合視圖以畫出立體圖

伍、結論與建議

一、結論

本研究探討受試者年級、操作工具、任務類型三個因素對國小高年級學生立方積木三視圖 表現的影響。研究結果主要有三點：

（一）年級對國小學生積木方塊三視圖表現有顯著影響

年級對積木方塊三視圖表現有顯著影響（低度效果量）。這可能是因為六年級學生較五年級 學生有較多的積木方塊操作經驗，能夠內化形成積木方塊的心像，並進而操弄；也可能是因為 六年級學生的推理能力較為成熟，能對積木方塊的位置進行假設，再透過既有的視圖一一檢驗，

以獲得結論。本研究結果和 Gutiérrez（1996）的研究發現一致，學生解讀與畫出積木方塊各種 表徵的能力均隨著年級增長。比較五年級和六年級學生的表現，試誤法和序列思考類型的學生 的比例相差不多，而六年級學生中，屬於協調和整合類型的學生比例則較五年級學生多約一成。

研究者推論，影響國小高年級學生三視圖解碼表現的主要因素，並非空間定位或是空間結構化 的能力，而是單一視圖可能對應到多種積木模式的空間推理能力。因此，教師在教學時，需隔 外注意如何破除學生前視圖即最前層、右視圖即最右層的迷思概念；並提供學生主動發現在積 木不得懸空的條件下，俯視圖即底層的關鍵解題策略的機會。

（二）操作工具對學生的影響不顯著

操作工具對學生的影響不顯著，而且操作工具與任務間也沒有交互作用。其可能原因是，

國小高年級學生已具有足夠的積木操作經驗，因而空間結構化能力已發展成熟。這可能與台灣 現行課綱下，四年級學生即有點數正方體積木以發展體積概念的經驗有關。進一步訪談學生時 也發現，國小高年級學生，可透過畫立體圖，或想像範例中積木方塊的移動，來建立積木方塊 的心像。這些學生因具有對積木方塊組態進行空間想像的能力，不需仰賴操作工具即可形成積 木方塊的心像，到達 Battista 與 Clements（1996）所謂可以協調的層次。

（三）任務對國小學生積木方塊三視圖表現有顯著影響

任務對國小高年級學生的三視圖表現有顯著影響（中度效果量）。Scheffe 法事後比較的結果 發現，「由底層和視圖計數」明顯易於「視圖與視圖的對應」任務，而「視圖與立體圖的對應」

任務也明顯易於「視圖與視圖的對應」任務；而「視圖與立體圖的對應」和「由底層和視圖計 數」任務，則無顯著差異。由此可知，「由底層和視圖計數」適合作為「視圖與立體圖的對應」

和「視圖與視圖的對應」之間的中介任務。「視圖與視圖的對應」任務中，給定不同視圖如何影 響試題的難易？本研究發現，提供右、俯或前、俯視圖，顯著易於提供前、右視圖。也就是說，

在積木方塊不超過 2 × 2 × 2 且不得懸空的情境下，提供俯視圖有利於受試者確立底層而重製立 體模型或形成積木方塊的心像。此結果不同於 Shyi 與 Huang（1995）的研究結果：在積木方塊 不超過 3 × 3 × 3 且可以懸空的情境下，提供前視圖有利於受試者形成積木方塊的心像。其理由 可能是：本研究所設定的積木方塊是不得懸空，而 Shyi 與 Huang 所設定的情境是可以懸空。本 研究與林玉珠（2009）的個案研究結果相符：在積木不得懸空的情境下，提供俯視圖，有利於受 試者確立底層，進一步形成積木方塊的心像；而本研究則更進一步提供了量化的證據。

二、建議

如何藉由三視圖培養學生空間推理的能力？空間推理的培養，可依循 Ragni 與 Knauff（2013）

所指出的兩個路徑：培養空間視覺化的能力，以及思考空間模式的多種可能性。三視圖能力的 培養，可由具體的積木操作任務開始，使學生由具體操作：解讀與畫出三視圖，逐步內化形成 空間推理（Ben-Chaim et al., 1988）。而透過適當的三視圖任務設計，可使學生循序漸近，思考空 間模式的多種可能性。本研究對於三視圖的課程與教學，以及三視圖相關的研究，提出具體建 議如下：

（一）空間課程宜注重縱向和橫向的連貫，並提供學生解讀與畫出空間表徵的機會

本研究發現，國小高年級學生，在既有立體圖的學習基礎上，已具有解讀三視圖的基本能 力。由於三視圖相較於立體圖，是更容易繪製的表徵（Gutiérrez，1996），而表徵三維物件是立 體幾何思維中的重要能力（Pittalis & Christou, 2010），研究者建議，三視圖課程可向下延伸至國 小，建立學生由立體圖形畫出視圖的具體經驗，以促進空間課程縱向的連貫。

空間課程的橫向連貫上，考量各種平面表徵在 STEM 等相關學科中廣泛的被使用，例如：

剖面圖之於地理和生物學，展開圖、三視圖之於空間形體的製作。（National Research Council, 2006）。研究者建議，空間與形體的學習，除著重在空間物件與表徵的性質與推理，也應強調與 生活中事物或相關學科的連結，以增進學生的內在學習動機，並呼應素養導向的學習。

三視圖的教學，考量各種表現類型的學生在各年級所占比例不同，應發展適合各年級階段 學生的三視圖任務。例如：對於國小高年級學生，可透過立方積木或生活物件，使學生建立繪

製空間物件的具體經驗；並進而發展學生對於相同平面表徵下，空間物件可能具有多種空間模 式的空間推理機會，以進一步銜接七年級的三視圖課程。課程中並可考量合適的加深加廣任務，

以提供更多的空間想像機會。例如：由二立方進入三立方，由繪製三視圖到解讀三視圖，由對 應到單一模式的三視圖到對應多種模式的三視圖。

針對教學的設計，教師可考量班級學生程度，作適性的調整。為使學生發展三視圖相關概 念，可設計相關的三視圖奠基學習活動，並在教學中適時提供操作工具輔助，但需審慎評估去 除鷹架的時機，以免抺煞學生空間想像的機會。三視圖作為平面表徵之一，宜提供學生自然發 展出各種平面表徵的機會，至於編碼俯視圖，因其和三視圖同屬於較抽象的表徵，宜審慎評估 教學介入的方式與時機，以豐富學生使用多元表徵（如：語言、圖像）來溝通空間物件的機會

（Sack, 2013）。

（二）建議未來可進一步探討學生由三視圖重製立體模型的策略

本研究中，區分出三視圖任務的四種表現類型：試誤法、序列思考、協調，和整合，並探討 不同表現類型的學生的三視圖解題策略。恰與 Pittalis 與 Christou（2013）所提出表徵立體形體 的四種行為層次：二維、直覺、隱規約，和規約相呼應。但差別是 Pittalis 與 Christou 所設計的 解題任務是著重在立體形體的多種表徵間的轉換，而本研究則著重在評估學生在立方積木的情 境下，以三視圖進行空間推理的表現。為了解學生由三視圖重製立體模型的策略，本研究所訪 談的樣本稍嫌不足，因此，有必要進一步對學生的三視圖解題策略進行訪談與研究，以深入探 討不同的解題策略，以及相關的迷思概念對解題帶來的影響。

（三）建議未來針對不同空間表徵的轉換進行研究，以了解合適的教學時機

三視圖、展開圖，和立體圖，都是常見的空間表徵，針對由小立方塊堆積而成的立體圖形 進行繪製或解讀，已有相關研究證實，立體圖的繪製較三視圖困難，但立體圖的判讀則較三視 圖簡單（Gutiérrez, 1996）。相較於三視圖，立體圖由於可同時呈現較多的空間資訊，其表徵的學 習往往先於三視圖。展開圖也是立體幾何形體的重要表徵，展開圖的摺合，常見於立體幾何形 體的學習內容中。展開圖的摺合和三視圖任務，都需要對空間物件進行動態的轉換（Uttal et al., 2013）。什麼是展開圖和三視圖學習的合適時機？展開圖是否是相較於三視圖更容易進行轉換的 表徵？有必要進一步研究探討兩種任務的難易，以建立合適的教學進路。

三、研究限制

本研究中，研究者受限於時間與能力，無法對目標族群進行抽樣調查，因此調查結果中，

受測對象對各三視圖任務的答對率僅能提供參考，但受試者的個別差異不是影響三視圖任務難 易的主要來源，因此本研究結果對於三視圖任務的設計仍具有參考性。另外本研究中的受試者

並非隨機分派為積木操作組和心智想像組，因此無法準確評估操作工具的有無，對受試者答題 帶來的影響，是本研究的限制。

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附錄一：立方積木三視圖測驗正式試題 三視圖作答說明

以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，可畫出立體積木的三個視圖：

前視圖 右視圖 上視圖

練習題

以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，請畫出以下立體積木的三個視圖：

前視圖 右視圖 上視圖 上

前

右

前

右

上

題型一

練習題

以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

請選出符合以上條件的立體積木。

正確答案為 (A) (D)

1. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

請選出符合以上條件的立體積木。

2. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

請選出符合以上條件的立體積木。

3. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

請選出符合以上條件的立體積木。

題型二

練習題

以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下資訊。

這個立體積木可能由多少個小立方塊組成？

正確答案為 (B)(C)

4. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

這個立體積木可能由多少個小立方塊組成？

5. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

這個立體積木可能由多少個小立方塊組成？

6. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

這個立體積木可能由多少個小立方塊組成？

題型三

練習題

以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

請選出立體積木可能的前視圖。

正確答案為 (A)(B)(C)

7. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

請選出立體積木可能的前視圖。

8. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

請選出立體積木可能的前視圖。

9. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

請選出立體積木可能的前視圖。

題型四

練習題

以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下資訊。

請勾選出立體積木可能的右視圖。

正確答案為 (A)(B)(C)

10. 觀察者站在箭頭 所示位置，已知立體積木符合以下資訊。

請勾選出立體積木可能的右視圖。

11. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下資訊。

請勾選出立體積木可能的右視圖。

12. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下資訊。

請勾選出立體積木可能的右視圖。

題型五

練習題

以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下資訊。

請選出立體積木可能的上視圖。

正確答案為 (A)(C)(D)

13. 觀察者站在箭頭 所示位置，已知立體積木符合以下資訊。

請選出立體積木可能的上視圖。

14. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下資訊。

請勾選出立體積木可能的上視圖。

15. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下資訊。

請勾選出立體積木可能的上視圖。

附錄二：立方積木三視圖測驗正式試題之敍述統計

題號 平均數 標準差

1 2.912 0.9922 2 2.969 1.0393 3 3.027 1.1025 4 3.138 1.1741 5 2.662 1.0873 6 2.965 1.0988 7 2.692 1.0643 8 2.769 0.9508 9 2.508 0.9726 10 2.623 0.9963 11 2.588 1.1028 12 2.681 1.0481 13 2.058 0.9589 14 1.800 1.0278 15 2.104 0.9009