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# 國小高年級學生在立方積木三視圖的推理表現

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doi: 10.6278/tjme.201804_5(1).001

## 國小高年級學生在立方積木三視圖的推理表現

1 臺北市立南湖高級中學

2 國立臺灣師範大學數學系

(2)

Corresponding author：Yun-Zu Chen，e-mail：math007@nhush.tp.edu.tw Received：22 May 2017;

Accepted：26 March 2018.

Chen, Y. Z., Yang, K. L., & Lin, F. L. (2018).

Fifth and sixth graders’ reasoning performance with orthogonal views of cubic blocks.

Taiwan Journal of Mathematics Education, 5(1), 1-34.

doi: 10.6278/tjme.201804_5(1).001

## Fifth and Sixth Graders’ Reasoning Performance with Orthogonal Views of Cubic Blocks

Yun-Zu Chen 1 Kai-Lin Yang 2 Fou-Lai Lin 2

1Taipei Municipal Nanhu High School

2Department of Mathematics, National Taiwan Normal University

The aim of this study was to investigate fifth- and sixth-grade students’ spatial reasoning performance with orthogonal views of cubic blocks. The cubic blocks were restricted to a 2 × 2 × 2 structure, with no flying ones. Three variables were considered in the study: grades, manipulatives, and tasks. The developed instrument comprised three categories of tasks: choosing isometric versus orthogonal views, cube enumeration given a base, and a compatibility task. The participants in the study were 127 fifth graders and 133 sixth graders from schools in Taipei, divided into two groups.

The first group was assessed using tangible cubes (manipulatives), and the second group was tested without them.

The results of the study were as follows: First, sixth graders significantly out-performed fifth graders, but the groups with and without manipulatives exhibited no significant difference. Second, the compatibility task was significantly more difficult than the other tasks. Further examination of the effects of the different given views proved the benefits of the top view. Finally, students were classified into the following four categories based on their performance: trial- and-error, sequential thinking, coordination, and integration.

Keywords: spatial reasoning, orthogonal views, instrument, cube enumeration

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### 一、研究背景與動機

2009；林慧美，2011；Battista & Clements, 1996; Ben-Chaim, Lappan, & Huang, 1988; Cooper, 1990;

Gutiérrez, 1996; Shyi & Huang, 1995），我們可將三視圖任務分為「視圖與立體圖的對應」與「視 圖與視圖的對應」兩類。其中，「視圖與立體圖的對應」任務，多是以孩童或青少年為受試對象，

Shyi 與 Huang（1995）以大學生為對象，發展視圖相容任務。其研究中，刺激物為三立方積木：

(4)

「由底層和視圖計數」，和「視圖與視圖的對應」。而本研究也根據三視圖任務所預設的解題層 次，和實際施測結果，界定三視圖的四種表現類型，除了計算各類型學生在各年級所占的比例；

### 二、研究目的與問題

（一）受試者年級（五或六年級）、操作工具，和任務類型，對國小高年級學生在立方積木三視 圖的推理表現影響為何？

（二）根據立方積木三視圖任務的作答結果，所區分出不同表現層次的學生有何解題特徵？

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### 二、三視圖的任務類型

「視圖與立體圖的對應」和「視圖與視圖的對應」任務之間的難易關係如何呢？Ben-Chaim 等人（1988）以五至八年級學生為對象，進行教學實驗。教學實驗前後，測試受試者在 MGMP 空間視覺化測驗的表現，其中，「視圖與立體圖的對應」任務為：給定立體圖，請受試者選出前、

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### 四、三視圖任務設計的理論基礎

（ prestructural ）， 表 示學 生 無 法 運 用 任 務 中 的相 關 資 訊 來 處 理 問 題 。層 次 二 ： 單 一 結 構

（unistructural），表示學生只能運用問題的單一資訊來解題。層次三：多重結構（multistructural）， 表示學生能夠運用問題的多重資訊來解題（不需額外假設即可解題）。層次四：關係性（relational）， 表示學生能夠運用問題的多重資訊來解題（需額外假設才可解題）。層次五：延伸抽象（extended abstract）：表示學生能把解題的過程一般化，得到一般化的結論。Chick、Watson 與 Collis（1987）

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### 一、前置研究

1. 視圖與立體圖的對應（選立體圖） 層次 3：多重結構（multistructural）

2. 視圖與視圖的對應（畫編碼俯視圖） 層次 3：多重結構（multistructural）

3. 視圖與視圖的對應（視圖相容） 層次 4：關係性（relational）

4. 視圖與立體圖的對應（畫立體圖） 層次 4：關係性（relational）

(8)

(9)

5 年級 6 年級 合計

### 三、研究工具

（一）三視圖問卷編製架構

 任務 1：視圖與立體圖的對應，給定資訊為：前視、右視、俯視三個視圖，學生需選出相容 的立體圖。對應 SOLO taxonomy 層次 3：多重結構。

 任務 2：由底層和視圖計數，給定資訊為：底層和前視、右視圖，學生需計數積木方塊數。

 任務 3：視圖與視圖的對應，給定資訊為：前視、右視、俯視三視圖中任兩個視圖，學生需 選出相容的單視圖。對應 SOLO taxonomy 層次 4：關係性。

2.由底層和視圖計數（底層計數） 4,5,6（底層+前視+右視） 多重結構（multistructural）

3.視圖與視圖的對應（視圖相容） 7,8,9,（右視+俯視）

10,11,12（前視+俯視）

13,14,15（前視+右視）

（二）三視圖任務說明

1. 視圖與立體圖的對應

(10)

(11)

（三）預試結果

###  3

（邱皓政，2015）。 結果發現預試問卷 15 題中有 14 題達此標準。未達標準的題目是第 5 題，但由於此題可檢驗學

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（四）研究工具的信效度 1. 信度研究

2. 效度研究

(13)

### 五、資料分析

（含）以上者稱為通過。而為了區分學生的表現類型，則採 CSMS 的試題層次分析法，將具有 相同特性並且難易度相近的試題放在一群，再將學生依作答結果，分為不同表現類型。質化的 訪談資料，則先轉成逐字稿，以詮釋各表現類型學生的解題特徵。

(14)

### 

p2=.031。而以 Cohen’s d 計算其效果量，得 Cohen’s d = .359。根據 Cohen（1988）的判斷準則，屬於低度效果量。六年 級學生整體表現（M=40.66, SD=7.32）顯著地優於五年級學生（M = 38.09，SD = 7.01）。操作工 具對三視圖表現無顯著效果，F (1, 256) =0.52，p = .474，

### 

2p=.002。任務類型對三視圖表現有顯 著效果，F (3.45, 881.96) = 93.82，p < .001，

### 

2p=.268。而以 Cohen’s d 計算其效果量，得 Cohen’s d = .556。根據 Cohen（1988）的判斷準則，屬於中度效果量。以 Scheffe 法進行事後檢定顯示，

SD = 0.88）也顯著優於各種視圖相容任務：右俯、前俯和前右（p < .001）；選立體圖和底層計數

### 二、學生的表現類型與解題特徵

1. 未通過層次Ⅰ的試題，無法完成視圖與立體圖的對應，與由底層和視圖計數。

2. 能通過層次Ⅰ的試題，即能夠完成視圖與立體圖的對應，與由底層和視圖計數。

(15)

3. 能通過層次Ⅰ至層次Ⅱ的試題，即在提供俯視圖的情境下，能完成視圖相容任務。

4. 能通過層次Ⅰ至層次Ⅲ的試題，即在不提供俯視圖的情境下，能完成視圖相容任務。

5 年級

（%）

6 年級

（%）

（%）

44.1 42.1 43.1

32.3 27.8 30.0

10.2 18.0 14.2

0.8 4.5 2.7

1. 試誤法：以試誤法進行解碼學生的解題特徵為每次參照一個視圖作判斷，但無法協調兩個 視圖，以進行單層解碼。如以下 S1 的回答。

T：第 5 題你是怎麼想的？

S1：底層有 4 個，看前視圖知道左前方有方塊。看右視圖知道右後方有方塊。

(16)

2. 序列思考：此類型的學生能透過逐一檢驗視圖完成單層解碼，即在提供底層的情形下，推 理出上方哪個位置有方塊。如以下 S2 的回答。

T: 你第 5 題是怎麼做的？

S2：我先把底層畫出來。看前視圖知道方塊是在左前或左後，或是都有。再看 右視圖就知道只能在左後。

3. 協調：此類型的學生能夠想像積木移動所帶來的視圖改變，因此可藉由既有積木立體圖的 調整，形成一個符合已知視圖的心像，以完成視圖解碼。如以下 S3 的回答。

T：第 7 題您怎麼做？

S3：看範例去想。上視圖（俯視圖）和範例的這個圖一樣。但是由右視知道這 裡沒有方塊。所以就把這個方塊移動過來就可以了。

T：其他題呢？如果沒有剛好符合怎麼辦？

S3：我就（把題本）往前、往後翻，或是自己再把積木拆開。

4. 整合：此類型的學生，可由視圖畫出立體圖，並能夠想像積木增減或移動所帶來的視圖改 變，在沒有俯視圖的情境下，也可自行假設俯視圖，以完成視圖解碼。如以下 S4 的回答。

T: 再看一下第 15 題。

S4: 我一樣把它畫出來。

T: 你畫出來選的答案是？

S4: 第 1 個。但是第 3 個也可以。因為我也有畫出來。

(17)

### 一、結論

（一）年級對國小學生積木方塊三視圖表現有顯著影響

（二）操作工具對學生的影響不顯著

(18)

（三）任務對國小學生積木方塊三視圖表現有顯著影響

### 二、建議

（一）空間課程宜注重縱向和橫向的連貫，並提供學生解讀與畫出空間表徵的機會

(19)

（Sack, 2013）。

（二）建議未來可進一步探討學生由三視圖重製立體模型的策略

（三）建議未來針對不同空間表徵的轉換進行研究，以了解合適的教學時機

(20)

### 參考文獻

Science Education, 46(1-2), 1-20. doi: 10.6300/JNTNU.2001.46.01 (in Chinese)】

National Taipei University of Education, Taipei. (in Chinese)】

【Haw-Jeng Chiou (2015). Quantitative study and statistical analysis: Data analysis using SPSS (PASW) (5th ed.). Taipei: Wunan. (in Chinese)】

10.6251/BEP.20081212 (in Chinese)】

(21)

(2016). 12-year basic education mathematics curriculum (Draft). Taipei: Author. (in Chinese)】

Item rating level and its application in mathematical education. Journal of Educational Measurement and Statistics, 2, 1-15. (in Chinese)】

Acock, A. C. (2008). A gentle introduction to Stata (2nd ed.). College Station, TX: Stata Press.

Battista, M. T. & Clements, D. H. (1996). Students' understanding of three-dimensional rectangular arrays of cubes. Journal for Research in Mathematics Education, 27(3), 258-292. doi:

10.2307/749365

Ben-Chaim, D., Lappan, G., & Huang, R. T. (1988). The effect of instruction on spatial visualization skills of middle school boys and girls. American Educational Research Journal, 25(1), 51-71. doi:

10.3102/00028312025001051

Biggs, J. B., & Collis, K. F. (1982). Evaluating the quality of learning: The SOLO taxonomy (Structure of the Observed Learning Outcome). New York, NY: Academic Press.

Chick, H. L., Watson, J. M., & Collis, K. F. (1987, July). Using the SOLO taxonomy for error analysis in mathematics. Paper presented at the Mathematics Education Research Group of Australia, Townsville, Australia.

Clements, D. H., & Battista, M. T. (1992). Geometry and spatial reasoning. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 420-464). Reston, VA: NCTM.

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Hillsdale, NJ: Eribaum.

Cooper, L. A. (1990). Mental representation of three-dimensional objects in visual problem solving and recognition. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 16(6), 1097- 1106. doi: 10.1037//0278-7393.16.6.1097

Cooper, M., & Sweller, J. (1989). Secondary school students’ representations of solids. Journal for Research in Mathematics Education, 20(2), 202-212. doi: 10.2307/749283

George, D., & Mallery, P. (2003). SPSS for Windows step by step: A simple guide and reference,11.0 update (4th ed.). Boston, MA: Allyn & Bacon.

Girden, E. R. (1992). ANOVA: Repeated measures (Sage university paper series on quantitative applications in the social sciences, series no. 07-84). Newbury Park, CA: Sage. doi:

10.4135/9781412983419.n2

Gutiérrez, A. (1996). Children’s ability for using different plane representations of space figures. In A.

R. Batturo (Ed.), New directions in geometry education (pp. 33-42). Brisbane, Australia: Centre for Math. and Sc. Education.

McGee, M. G. (1979). Human spatial abilities: Psychometric studies and environmental, genetic, hormonal, and neurological influences. Psychological Bulletin, 86(5), 889-918. doi:

10.1037//0033-2909.86.5.889

(22)

National Research Council. (2006). Learning to think spatially. Washington, DC: The National Academies Press. doi: 10.17226/11019

Parzysz, B. (1988). “Knowing” vs “seeing”. Problems of the plane representation of space geometry figures. Educational Studies in Mathematics, 19(1), 79-92. doi: 10.1007/BF00428386

Pittalis, M., & Christou, C. (2010). Types of reasoning in 3D geometry thinking and their relation with spatial ability. Educational Studies in Mathematics, 75(2), 191-212. doi: 10.1007/s10649-010- 9251-8

Pittalis, M., & Christou, C. (2013). Coding and decoding plane representations of 3D shapes. The Journal of Mathematics Behavior, 32(3), 673-689. doi: 10.1016/j.jmathb.2013.08.004

Ragni, M., & Knauff, M. (2013). A theory and a computational model of spatial reasoning with preferred mental models. Psychological Review, 120(3), 561-588. doi: 10.1037/a0032460.supp

Sack, J. J. (2013). Development of a top-view numeric coding teaching-learning trajectory within an elementary grades 3-D visualization design research project. The Journal of Mathematical Behavior, 32(2), 183-196. doi: 10.1016/j.jmathb.2013.02.006

Shyi, G. C. W., & Huang, S. T. T. (1995). Constructing three-dimensional mental models from viewing two-dimensional displays. Chinese Journal of Psychology, 37(2), 101-122.

Siegler, R. S. (1998). Emerging minds: The process of change in children's thinking. New York, NY:

Oxford University Press.

Uttal, D. H., Meadow, N. G., Tipton, E., Hand, L. L., Alden, A. R., Warren, C., & Newcombe, N. S.

(2013). The malleability of spatial skills: a meta-analysis of training studies. Psychological Bulletin, 139(2), 352-402. doi: 10.1037/a0028446

van Nes, F. & van Eerde, D. (2010). Spatial structuring and the development of number sense: A case study of young children working with blocks. The Journal of Mathematical Behavior, 29(3), 145- 159. doi: 10.1016/j.jmathb.2010.08.001

Wai, J., Lubinski, D., & Benbow, C. P. (2009). Spatial ability for STEM domains: Aligning over 50 years of cumulative psychological knowledge solidifies its importance. Journal of Educational Psychology, 101(4), 817-835. doi: 10.1037/a0016127

(23)

(24)

### 正確答案為 (A) (D)

1. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

(25)

2. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

3. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

(26)

### 正確答案為 (B)(C)

4. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

(27)

5. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

6. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

(28)

### 正確答案為 (A)(B)(C)

7. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

(29)

8. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

9. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下視圖。

(30)

### 正確答案為 (A)(B)(C)

10. 觀察者站在箭頭 所示位置，已知立體積木符合以下資訊。

(31)

11. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下資訊。

12. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下資訊。

(32)

### 正確答案為 (A)(C)(D)

13. 觀察者站在箭頭 所示位置，已知立體積木符合以下資訊。

(33)

14. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下資訊。

15. 以箭頭 方向為前方，觀察立體積木，已知立體積木符合以下資訊。

(34)

### 附錄二：立方積木三視圖測驗正式試題之敍述統計

1 2.912 0.9922 2 2.969 1.0393 3 3.027 1.1025 4 3.138 1.1741 5 2.662 1.0873 6 2.965 1.0988 7 2.692 1.0643 8 2.769 0.9508 9 2.508 0.9726 10 2.623 0.9963 11 2.588 1.1028 12 2.681 1.0481 13 2.058 0.9589 14 1.800 1.0278 15 2.104 0.9009

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Wells, “Using a Maze Case Study to Teach Object-Oriented Programming and Design Patterns,” Proceedings of the sixth conference on Australasian computing education, pp. Line, “Age

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