94 第五章 控制系統時域響應

第五章 控制系統時域響應

5-1 前言

線性系統模型的動態行為可以用線性常微分方程式來 表示，而其解法為利用拉氏轉換將微分方程式化為代數方程 式，所得到系統轉移函數之特徵方程式的根則決定了系統的 模態或響應特徵，下面列出常見特徵方程式的根：

當系統的特徵根均有負實部時，系統是穩定的，在滿足穩定 的前題後，系統的動態性能自然成為討論的主角。系統的動 態性能主要分成暫態響應之敏捷性與穩態之精確性兩類，其 除與系統本身的結構直接有關外，它與命令輸入的型式也息 息相關。

5-2 系統之穩態性能

穩態性能是指系統的穩態誤差

e

ess ＝ lim e(t) = lim sE(s)

t→∞ s→0

5-2-1 靜態誤差常數

考慮如下圖的閉迴路穩定系統

系統輸入 R(s)到誤差 E(s)間的轉移函數推導如下：

或可直接將誤差函數表為

E = R – HY， Y/R = G/(1+GH) E/R = 1 –H Y/R

= 1

－

上式很明顯的可以看出系統的誤差 E(s)的大小由閉迴路系統 的迴路增益 G(s)H(s)及外部輸入 R(s)的型態所決定。

例 1 試求下圖系統在 r(t)為單位步階函數時的穩態誤差？

【解】：首先利用拉氏轉換中的終值定理將穩態誤差重寫為：

e_ss

＝

t→∞ s→0 s→0

例 2 欲改善上例的穩態誤差，可於迴路中加入一個積分控 制器如下圖。

【解】：

(i) 將 G(s)H(s)及 R(s)=1/s 代入上式可得穩態誤差為

上面例子很清楚的說明系統結構及命令輸入對穩態誤 差的影響。

系統結構(迴路增益)具有以下型式：

則系統稱為型式－N(Type-N)。故三種典型輸入之穩態誤差：

1. 階級輸入

1，t≧0 r(t) = Ru(t)

，

0，t﹤0 R(s) = R/s

∴e_ss

＝

s→0 s→0

R

＝

〃

K

≡

2. 斜坡輸入

r(t) = Rt

〃

→

∴

＝

＝

〃

s→0 s→0 s→0 R R

= lim =

s→0 s+sGH lim sGH

s→0

靜態速度誤差常數：

Kv

≡

s→0

3. 拋物線輸入

r(t) = Rt²

〃

→

∴

＝

s→0 s→0

R

＝

〃

s→0

^s→0 s²+s²GH

R

=

lims²GH

s→0

靜態加速度誤差常數 Ka

≡

s→0

系統型式

N K_p K_v K_a E_ss

階級 斜坡 拋物線

0 b₀/a₀ 0 0 R/(1+K_p)

∞ ∞

1

∞

∞

2

∞ ∞

由上表知，階級輸入信號採用為標準測試信號，主要係 在一般伺服系統型式均小於 2 時，其穩態誤差均可為零之 故。

5-3 系統之動態性能

5-3-1 二階系統之階級響應

標準二階閉迴路控制系統如下圖所示：

R(s) C(s)

－

標準二階系統

2 n n

2

2 n

2 n n

2 n

2 n

n 2

n C

n 2 n

s 2 s ) s ( R

) s ( C

) 2 s ( s

) 2 s ( s / 1

) 2 s ( s / GH

1 ) G s ( G

1 H ), 2 s ( ) s s ( G



























 





 





 

 

 



此系統的特徵方程式 A(s) = s² + 2ζωns +ωn

2 = 0 特徵方程式的根如下：

s1,2 = α± jω =

－

1 2

ωn2

s(s+2ζωn)

例：下圖表示樞控直流馬達之整體轉移函數數學方塊圖。

Ei(s) sΘ(s)

試求：二階轉移函數 sΘ(s)/Ei(s)所對應之ζ

及

解：

sΘ(s)/Ei(s) =

2ζωn = (RaJ+Laf)/ LaJ ωn

2 = (Raf+KiKm) / LaJ

∴ ωn = [(Raf+KiKm) / LaJ]^1/2

ζ = (RaJ+Laf)/ [4 LaJ (Raf+KiKm)]^1/2

下圖表示上式二階系統特徵方程式之根在 s 平面之位置關係 圖(當 0﹤ζ﹤1 時)：

K_i

L_aJs²+(R_aJ+L_af)s+ R_af+K_iK_m

Ki/LaJ

s²+[(RaJ+Laf)/ LaJ]s+(Raf+KiKm) / LaJ

故二階系統之動態行為可由 ζ 及 ωn兩個參數來描述。而 在不同阻尼比下，輸出之時域之階級響應如下圖所示，由圖 知，於 0﹤ζ﹤1 時，閉迴路極點為共軛複數且位於 s 平面之 左半部，此系統稱為欠阻尼，其暫態響應呈現振盪狀態。於 ζ=1 時，此系統稱為臨界阻尼。於ζ﹥1 時，系統為過阻尼，

臨界阻尼與過阻尼之暫態響應並不呈現振盪現象。若ζ=0，

暫態響應將不會消失。

以下將對圖 6-10 所示之系統求其對於單階輸入之響 應，此處考慮三種情況：欠阻尼(0﹤ζ﹤1)，臨界阻尼(ζ=1)，

與過阻尼(ζ﹥1)。

(1) 欠阻尼(0﹤ζ﹤1)：此種情形，C(s)/R(s)可寫為 C(s) ωn

2

=

R(s) ( s+ζω_n+jω_d )(s +ζω_n-jω_d) 其中 ωd = ωn

1 2，頻率 ωd稱為阻尼自然頻率，對於一單 階輸入，C(s)可寫為

ωn 2

C(s) =

s(s² + 2ζω_ns +ω_n²)

將上式改寫如下，則 C(s)之反拉氏轉換將可很容易求得

2 n n

2

n

s 2 s

2 s s

) 1 s (

C

 







 



2 d 2 n

n 2

d 2 n

n

) s

( )

s (

s s

) 1 s (

C

 











 





 





於第二章中曾求得

L

／

L

／

其中如 α =ζω_n

，

L

，

= 1 - sin(ωdt + θ)

，

θ = tan^-1( 1 ² / )

若阻尼比ζ等於零，響應變成無阻尼且無限制的繼續振盪下 去，等於零阻尼之情況，響應 c(t)可將ζ=0 代入上式而得到 c(t) = 1 – cos(ω_nt)

因此，由上式可知 ωn代表此系統之欠阻尼自然頻率，亦 即 ωn乃於阻尼減至零時，系統之振盪頻率。若線性系統有些 微之阻尼存在，欠阻尼自然頻率即無法由實驗觀得，此時所 觀得之頻率乃為阻尼自然頻率 ω_d，其等於 ω_n 1 ² 。此頻 率常小於欠阻尼自然頻率，ζ增加時阻尼自然頻率 ωd 將變 小，若ζ增加至大於一，此時系統變成過阻尼而不會有振盪 發生。

(2) 臨界阻尼(ζ=1)：若 C(s)/R(s)有兩個很靠近之極點，此系 統即可約略視為一臨界阻尼系統。

對於一單階輸入，R(s)=1/s

，

2

C(s) =

s(s+ω_n)² 上式之反拉氏轉換為

c(t) = 1

－

(3) 過阻尼(ζ ﹥1)：此種情況下，C(s)/R(s)之兩個極點為負實 數且不相等，對於單階輸入，R(s)=1/s

，

2

C(s) =

s(s+ζω_n+ω_n  ² 1)(s+ζω_n

－

ωn

c(t) = 1 + (e^-s1t/s1

－

其中 s₁ = (ζ+  ² 1) ωn

，

－

於ζ略大於一時，此二衰減指數項中之一會較另一項衰 減得快，故衰減得快(相當於時間常數較小者)那一項可予以 忽略。亦即若 s₂遠較 s₁靠近 jω 軸，則 s₁可予以忽略，由於 上式中含 s₁項遠較含 s₂之項衰減得快，故 s₁對響應之影響遠 較 s₂對應之影響為小，把衰減得快那項消去後，系統之響應 即與一階系統之響應相似。

下圖表示在 s 平面上各種根位置所對應響應之比較，上述 三種不同ζ值之響應情況分別顯示於圖中，由圖知欠阻尼 (0﹤ζ﹤1)情況為後續探討之重點。

5-3-2 暫態響應規格

系統之階級響應性能規格說明如下，下圖則以時域響應 示意圖標示對應之性能規格：

(1) 最大超越量(maximum percent overshoot)POmax

系統單位階級響應之最大(首次)尖峰值 Mp 與期望值 之差與穩態輸出響應值之比。

(2) 尖峰時間(peak time)t_p

系統單位階級響應發生最大尖峰值所需的時間。

(3) 上昇時間(rise time)tr

系統單位階級響應從穩態值的 0 %至 100%

(0﹤ζ﹤1)或 10%至 90%(ζ＞1)所需的時間。

(4) 安定時間(settling time)t_s

系統單位階級響應進入穩態值的±5%或±2%範圍內且 不再離開此範圍所需的時間。

M_p

5-3-3 暫態響應規格關係式

假若標準二階系統受單位階級輸入，則其輸出為：

c(t) = 1 - e^-ζωnt (cosωdt + ζd sinωdt)

，

= 1 - sin(ω_dt + θ)

，

θ = tan^-1( 1 ² /ζ) = cos^-1ζ 下面推導時域上之性能指標：

(1) 峰值 M_p

令 dc(t)/dt = 0，可得峰值發生時間 t_p = π/ω_d

將峰值時間代入 c(t)可得 Mp = c(tp) = 1e^{ / 12}

其中最大超越量為 PO_max = e^{ / 12} (2)安定時間 t_s

直觀上，安定時間與動態系統的時間常數有關，而事實 上它可由系統動態的包絡線求得，一般以下式近似之

ts = 4τ= 4/ζωn

，

(3)上昇時間 t_r

若考慮系統首次達穩態值所需的時間，可令 c(t)=1，

並算得

t = (π

－

因此，根據上面的性能規格即可大略繪出系統的時域響應與 相對的性能(參考下圖)。

例1 假設系統轉移函數為

25 G(s) =

s²+5s+25

求系統的 t_r

，

，

，

Sol:

由標準二階系統之定義可知 ωn

2 = 25

，

，

，θ

= 1.047，利用上面導得的結果可算出：

峰值時間 t_p =

π

π－θ

因此，系統的時域響應大致如下圖。

例 2 考慮下圖之閉迴路系統

r(t) e(t) c(t)

－

(1) 設計一積分控制器，即求 K 值使系統之最大超越量

=0.0432。

(2) 求此時之 t_r

及

(1) 系統閉迴路轉移函數為

(K/s)[1/(s+2)] K Gc(s) = =

1+ (K/s)[1/(s+2)] s²+2s+K 因此，

ωn

2 = K

，

，故

，

，

POmax = e^{ / 12} = 0.0432 K/s 1

s+2

兩邊取對數，可算得 ζ= 1/ 2，可求得控制器參數為 K = 2

(2) 由(1)知閉迴路系統轉移函數為 2

G_c(s) = s²+2s+2

且可知，ωn= 2，ζ= 1/ 2，

ω_d = ω_n 1 ² = 1

，θ

代入前面所推導的公式可得到上昇時間及尖峰值 tr = (

π－θ

tp =

π

5-4 增加極、零點對動態性能之影響 (1) 增加零點

輸入

輸出

輸入

輸出

G_Z(s) = G(s)

〃

〃

∴

〃

∴

G(s)

Y = G R

GZ(s) YZ = GZ R

由上式可知增加零點，系統輸出將有如下圖的變化：

(a)系統的暫態行為受到影響，響應可能變快。

(b)附加的零點離虛軸愈遠(即 z 值為正很大時)，則對系統的 影響也相對減小。

(c)當 z 值為負時，GZ(s)為非最小相位系統。

【非最小相位系統】：

若一系統之轉移函數的所有零點都落在複數平面的左半 面上，則稱此系統為最小相位系統(minimum-phase system)，

若有零點落在複數平面的右半面上，則稱此系統為非最小相 位系統(nonminimum-phase system)。

(2) 增加極點

Gp(s) = G(s)

〃

低通濾波器 輸入 輸出 R(s) YP(s) 因此附加極點會有如下圖之效果：

(a) 系統的暫態行為受到影響，響應減慢。

(b) 附加極點離虛軸愈遠(即 p 值很大，濾波器的頻寬愈 寬)，則對系統的影響也相對減少。

G(s) p/(s+p)

5-5 位置控制系統的時域分析

在此節中將利用前幾節所建立的時域準則分析系統的 性能。假設控制系統的目的為控制現代航空器機翼的位置，

由於響應的改善及可靠度的要求，現代飛機的控制平面均以 電子式控制器加以控制。在以前飛機上的輔助翼、尾舵和昇 降舵均藉由機械連桿連接到駕駛艙加以控制，『線控飛行』

的控制系統是一種飛機姿態控制，其應用於近代飛機控制上 且不再完全使用機械連桿。下圖所示為此類位置控制系統的 功能方塊圖。

下圖則為此控制系統的數學方塊圖。此簡化系統將放大 器增益和馬達轉矩的飽和、齒輪背隙及軸的橈性忽略而得 到，此系統的目的為系統輸出

θ

θ

各系統參數的值如下：

 編碼器增益 K_s=1 V/rad

 前置放大器增益 K =變數

 功率放大器增益 K1=10 V/V

 電流回授增益 K2=0.5 V/A

 轉速計回授增益 K_t=0 V/rad/sec

 馬達電樞阻抗 R_a=5. 0 Ω

 馬達電樞電感 L_a=0.003 H

 馬達轉矩常數 Ki=9.0 oz-in/A

 馬達反電動勢常數 Kb=0.0636 V/rad/sec

 馬達慣量 J_m=0.001 oz-in-sec²

 負載慣量 J_L=0.01 oz-in-sec²

 馬達黏滯摩擦係數 Bm=0.005 oz-in-sec

 負載黏滯摩擦係數 BL=1.0 oz-in-sec

 馬達與負載間齒輪列比值 N=

θ

θ

由於馬達是經由一齒輪比為 N 的齒輪列接到負載，

θ

θ

J_t= J_m+N² J_L =0.0001+0.01/100 = 0.0002 oz-in-sec² Bt= Bm+N² BL =0.005+1/100 = 0.015 oz-in-sec

此系統的單回授系統的前向轉移函數可利用方塊圖合成規 則求得如下：

) s (

) s ) (

s ( G

e y





] K K KK K

K B K K B R s ) J K K B L J R ( s J L [ s

KN K K K

i t 1 b

i t 2 1 t a t

2 1 t a t a 2 t a

i 1 s













 

因此，此系統的數學方塊圖可簡化如下圖：

θ

θ

θ

－ ^K

4500 s( s+361.2)

在時域分析上，是以外加單位步級輸入，並設定初始條 件為零來分析系統性能。如此，系統的最大超越量、上升時 間與安定時間等均可加以研究。由簡化後的飛機姿態控制系 統(如上圖)知，當 K 值已知，由 Matlab 的工具箱 Simulink 軟體可以求得參考輸入是單位步級函數時的暫態響應。以下 為三種不同 K 值，利用 Simulink 所得到的結果，此三種響應 畫於下圖中。

下 表 為 比 較 三 種 不 同 K 值 的 步 級 響 應 特 性 ， 當 K=181.17，此時阻尼比為 0.2(ζ=0.2)，系統為欠阻尼系統，

最大超越量為 52.7%，此值已超過太多。當 K=7.248，此時 ζ=1.0，系統為臨界阻尼系統，此時並無任何超越量。當 K=14.5，此時ζ=0.707，系統為欠阻尼系統，最大超越量為 4.3%。

5-5-1 單位步級輸入的暫態響應

預測控制系統的性能可由另一方法得之，即觀察特性方 程式的根。此單位回授控制系統的根為：

K 4500 616

. 32 6

. 180 s

K 4500 616

. 32 6

. 180 s

0 K 4500 s

2 . 361 s

2 1 2







  









由上兩式可以看出，當 K 值在 0 和 7.248 間，兩個根是負實 數，亦即 K 在這範圍內系統是過阻尼同時步級響應不會有超 越量。當 K 值增加到超過 7.248 後，系統無阻尼自然頻率亦 隨 K 而增加。下圖表示此系統的根軌跡圖，由此圖可以求 出暫態響應的動態特性如下表：

此系統的簡化模型(標準二階系統)是型態 1(Type 1)。因 此，當輸入是步級函數時系統的穩態誤差對所有的正 K 值都 是零。

位置控制最有效的方式是直接控制輸出訊號，而非只利 用布級輸入。換言之，系統必須設計成可以追蹤目標軌跡的 變化。因而有必要研究位置控制系統跟隨一輸入斜坡函數的 能力。對一單位斜坡輸入_r(t)tu_s(t)，系統輸出響應_y(t)可 以由 Simulink 軟體模擬求得上述三種不同 K 值的系統斜坡響 應，如下圖所示。注意斜坡響應的的穩態誤差不為零，可利

5-5-2 單位斜坡輸入的暫態響應

K 0803 . e_ss  0

由上式知，穩態誤差與 K 值成反比。如果我們想增加 K 值以 改善系統的穩態誤差，則暫態步級響應應會振盪的更厲害，

這個現象在所有的控制系統中非常普遍。對高階系統而言，

如果系統的迴路增益值太高則系統可能不穩定。若在系統迴 路中加入控制器，則暫態性能與穩態誤差可同時改善。

若直流馬達的電樞電感忽略不計，則控制系統是二階且 對 所 有 的 正 K 值 都 是 穩 定 的 。 現 在 探 討 在 電 樞 電 感 La=0.003H 時的性能。當 La=0.003H 時，系統的前向轉移函 數變為：

1204000 s

3 . 3408 s

( s

K 10 5 . ) 1

s (

G ₂

7





 

5-5-3 三階系統的時間響應

利用以前二階系統中所用三種不同 K 值求此三階系統 的特性方程式的根，而與近似二階系統比較，當 K=7.248 時，

二階系統為臨界阻尼，而三階系統則為輕微地過阻尼。當 K=14.5 時，二階系統阻尼比為 0.707，而三階系統阻尼比則 為 0.697。當 K=181.2 時，二階系統阻尼比為 0.2，而三階系 統阻尼比則為 0.0633，遠小於二階系統。因此，可以看出二 階系統近似的準確度隨 K 增加而降低。下圖為三階系統特性 方程式 K 值改變時的根軌跡圖。當 K=181.2 時，三階系統的 共軛複數根比相同 K 值下的二階系統的根較接近 jω 軸，此 解釋了為何三階系統在 K=181.2 時，較二階系統來得不穩定。

當 K=273.57 時，為穩定邊限的 K 值，大於此值系統就變成 不穩定。

下 圖 為三階 系統在不同 K 值時的 步級響 應，其中 K=7.248 和 14.5 的響應與二階系統相同，然而 K=181.2 時兩 個響應是不同的。當加以考慮電感時，三階系統仍為型式 1。

因此，若系統穩定，則馬達的電感並不影響系統穩態性能。