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2.1 節節節 三角形的重要基本觀念節 三角形的重要基本觀念三角形的重要基本觀念三角形的重要基本觀念 ... 1
定義 定義 定義
定義：：：：2.1-1 三角形三角形 ... 1三角形三角形 定義
定義 定義
定義：：：：2.1-2 三角形的外角三角形的外角、三角形的外角三角形的外角、、內對角、內對角內對角內對角... 2 定義
定義 定義
定義：：：：2.1-3 銳角三角形銳角三角形、銳角三角形銳角三角形、、直角三角形、直角三角形直角三角形、直角三角形、、、鈍角三角形鈍角三角形鈍角三角形鈍角三角形 ... 2 定義
定義 定義
定義：：：：2.1-4 正三角形正三角形、正三角形正三角形、、等腰三角形、等腰三角形等腰三角形... 3等腰三角形 定義
定義 定義
定義：：：：2.1-5 全等三角形全等三角形 ... 6全等三角形全等三角形 定義
定義 定義
定義：：：：2.1-6 對應點對應點、對應點對應點、、對應邊、對應邊對應邊、對應邊、、、對應角對應角對應角 ... 6對應角 定理
定理 定理
定理：：：：2.1-1 兩全等三角形的對應角相等且對應邊相等兩全等三角形的對應角相等且對應邊相等 ... 7兩全等三角形的對應角相等且對應邊相等兩全等三角形的對應角相等且對應邊相等 定理
定理 定理
定理：：：：2.1-2 全等三角形對全等三角形對應角的對邊相等全等三角形對全等三角形對應角的對邊相等應角的對邊相等 ... 12應角的對邊相等 定理
定理 定理
定理：：：：2.1-3 全等三角形對應邊的對角相等全等三角形對應邊的對角相等 ... 13全等三角形對應邊的對角相等全等三角形對應邊的對角相等
習題 習題 習題
習題 2.1 ... 14
2.2 節節節 兩邊夾一角三角形全等定理節 兩邊夾一角三角形全等定理兩邊夾一角三角形全等定理兩邊夾一角三角形全等定理 （（（（S.A.S.三角形全等定理三角形全等定理三角形全等定理三角形全等定理）））） ... 17
定理 定理 定理
定理：：：：2.2-1 兩邊夾一角三角形全等定理兩邊夾一角三角形全等定理，兩邊夾一角三角形全等定理兩邊夾一角三角形全等定理，，，又稱又稱又稱又稱 S.A.S.三角形全等定理三角形全等定理三角形全等定理三角形全等定理 ... 17 定義
定義 定義
定義：：：：2.2-1 若三角形中有一角為直角若三角形中有一角為直角，若三角形中有一角為直角若三角形中有一角為直角，，，則此三角形為一直角三角形則此三角形為一直角三角形則此三角形為一直角三角形則此三角形為一直角三角形。。。。 ... 20 定理
定理 定理
定理：：：：2.2-2 直角三角形全等定理直角三角形全等定理... 20直角三角形全等定理直角三角形全等定理 定理
定理 定理
定理：：：：2.2-3 等腰三角形底角相等定理等腰三角形底角相等定理 ... 23 等腰三角形底角相等定理等腰三角形底角相等定理 定理
定理 定理
定理：：：：2.2-4 等腰三角形頂角平分線平分底邊等腰三角形頂角平分線平分底邊等腰三角形頂角平分線平分底邊等腰三角形頂角平分線平分底邊……….……..………24 定理定理定理定理：：：2.2-5 ： 等腰三角形頂角平分線垂直底邊等腰三角形頂角平分線垂直底邊等腰三角形頂角平分線垂直底邊等腰三角形頂角平分線垂直底邊……….…………..…………25
定理定理定理定理：：：2.2-6 一線段之中垂線上任一點到此線段的兩端點等： 一線段之中垂線上任一點到此線段的兩端點等一線段之中垂線上任一點到此線段的兩端點等一線段之中垂線上任一點到此線段的兩端點等距離距離距離………….…………..………27 距離
習題 習題 習題
習題 2.2 ... 38
2.3 節節節 兩角夾一邊三角形全等定理節 兩角夾一邊三角形全等定理兩角夾一邊三角形全等定理兩角夾一邊三角形全等定理 （（（（A.S.A. 三角形全等定理三角形全等定理三角形全等定理）三角形全等定理））） ... 42
定理 定理 定理
定理 2.3-1 兩角夾一邊定理兩角夾一邊定理兩角夾一邊定理兩角夾一邊定理，，，又稱，又稱又稱 A.S.A.三角形全等定理又稱 三角形全等定理三角形全等定理 ... 42三角形全等定理
習題 習題 習題
習題 2.3 ... 52
2.4 節節節 三邊相等三角形全等定理節 三邊相等三角形全等定理三邊相等三角形全等定理三邊相等三角形全等定理 ( S. S. S.三角形全等定理三角形全等定理三角形全等定理三角形全等定理 ) ... 55
定理 定理 定理
定理 2.4-1 三邊相等三角形全等定理三邊相等三角形全等定理三邊相等三角形全等定理三邊相等三角形全等定理 (S.S.S 三角形全等定理三角形全等定理三角形全等定理三角形全等定理 ) ... 55
習題 習題 習題
習題 2.4 ... 66
2.5 節節節 三角形的邊角關係節 三角形的邊角關係三角形的邊角關係三角形的邊角關係 ... 69
定理 定理 定理
定理 2.5-1 三角形兩邊和定理三角形兩邊和定理三角形兩邊和定理三角形兩邊和定理 ... 69 定理
定理 定理
定理 2.5-2 三角形二邊差定理三角形二邊差定理三角形二邊差定理三角形二邊差定理 ... 71 定理
定理 定理
定理 2.5-3 三角形外角大於內對角定理三角形外角大於內對角定理三角形外角大於內對角定理三角形外角大於內對角定理 ... 75 定理
定理 定理
定理 2.5-4 三角形大邊對大角定理三角形大邊對大角定理三角形大邊對大角定理三角形大邊對大角定理... 81
定理 定理 定理
定理 2.5-5 三角形大角對大邊定理三角形大角對大邊定理三角形大角對大邊定理三角形大角對大邊定理... 85 定理
定理 定理
定理 2.5-6 兩三角形之大角對大邊定理兩三角形之大角對大邊定理兩三角形之大角對大邊定理兩三角形之大角對大邊定理(樞紐定理樞紐定理樞紐定理) ... 89樞紐定理 定理
定理 定理
定理 2.5-7 兩三角形之大邊對大角定理兩三角形之大邊對大角定理兩三角形之大邊對大角定理兩三角形之大邊對大角定理(逆樞紐定理逆樞紐定理逆樞紐定理) ... 91逆樞紐定理
習題 習題 習題
習題 2-5 ... 93
本章重點 本章重點 本章重點
本章重點 ... 97
進階思考題 進階思考題 進階思考題
進階思考題 ... 98
歷年基測題目 歷年基測題目 歷年基測題目
歷年基測題目 ... 100
第二章 第二章
第二章 第二章 三角形 三角形 三角形 三角形
2.1 節 節 節 節 三角形的重要基本觀念 三角形的重要基本觀念 三角形的重要基本觀念 三角形的重要基本觀念
定義 定義 定義
定義：：：：2.1-1 三角形三角形三角形三角形
如果三個線段，兩兩相連於三點，則此三線段所圍成的圖形叫做三角形，
如圖 2.1-1 所示。
C A
B
圖 圖 圖 圖 2.1-1
因為三角形有三個端點，我們可以此三端點來代表這個三角形，以圖 2.1-1 中的三角形為例，我們可以以△ABC 表示，也可以以△BAC，△BCA，△CAB，
△CBA，△ACB 等等表示之。
任何一個三角形，都有三個角，以圖 2.1-1 的三角形為例，△ABC 的三個角 是∠A，∠B，和∠C，也可以用∠BAC(或∠CAB)，∠ABC(或∠CBA)，∠ACB(或
∠BCA)表示之。此三個角都是△ABC 的內角內角內角。 內角
三角形的每一個角都有一個對對對對邊邊邊邊，∠A 的對邊是 ，∠B 的對邊是 ，∠C 的對邊是 。
定義 定義 定義
定義：：：：2.1-2 三角三角三角三角形的外角形的外角形的外角形的外角、、、、內對角內對角內對角內對角
三角形的任一邊與其相鄰一邊的延長線所夾的角，稱為三角形的外角。
與外角不相鄰的兩個內角，都叫做內對角。
A
B C D
圖圖 圖圖 2.1-2
圖 2.1-2 的△ABC 中，∠ACD 為∠ACB 的外角外角外角外角，∠A 及∠B 都是∠ACD 的內對角內對角內對角。 內對角
定義 定義 定義
定義：：：：2.1-3 銳角三角形銳角三角形銳角三角形銳角三角形、、、、直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形、、、、鈍角三角形鈍角三角形鈍角三角形鈍角三角形
三角形中若三個角都小於 90°，則稱此三角形為銳角三角形；若有一角等於 90°，則稱此三角形為直角三角形；若有一角大於 90°，則稱此三角形為鈍 角三角形。
鈍 鈍鈍
鈍正正正正正正正 正正正正正正正正正 直
直直
直正正正正正正正正正正正正正正正正 銳
銳 銳
銳正正正正正正正正正正正正正正正正
圖圖 圖圖 2.1-3
定義 定義 定義
定義：：：：2.1-4 正三角形正三角形正三角形正三角形、、、、等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形
三角形中若三個邊都相等，則稱此三角形為正三角形，如圖 2.1-4(a)。
若有二個邊相等，則稱此三角形為等腰三角形，相等的邊為腰，另一邊為 底，兩個腰所夾的角叫做頂角，腰和底所夾的角叫做底角，如圖 2.1-4(b)。
正 正 正
正正正正正正正正正正正正正
A
B C
圖圖
圖圖 2.1-4(b) 等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形
如圖 2.1-4(b)所示，△ABC 中， ，△ABC 是一個等腰三角形，其中，
和 為腰， 為底，∠A 為頂角，∠B 和∠C 為底角。
圖 圖圖
圖 2.1-4(a) 正三角形正三角形正三角形 正三角形
例題 例題 例題
例題 2.1-1：：：：
連連看，將下列各三角形與其正確的名稱連起來：
(1) (2) (3) (4)
● ● ● ●
● ● ● ●
正三角形 銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形 想法
想法 想法
想法：：：：(1) 三角形三內角皆小於 90°為銳角三角形 (2) 三角形中，有一個角等於 90°為直角三角形 (3) 三角形中，有一個角大於 90°為鈍角三角形 (4) 三角形的三邊中，有兩邊等長，為等腰三角形 (5) 三角形中若三個邊都相等，為正三角形
解 解 解 解：：：：
(1) (2) (3) (4)
● ● ● ●
● ● ● ●
正三角形 銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形
例題例題
例題例題 2.1-2：：：：
下列敘述何者錯誤？
(A) 直角三角形只有一個內角為 90°
(B) 正三角形的內角都相等
(C) 銳角三角形中，只有一個內角是銳角 (D) 鈍角三角形中，只有一個內角是鈍角 想法
想法 想法
想法：：：：(1) 三角形三內角皆小於 90°為銳角三角形 (2) 三角形中，有一個角等於 90°為直角三角形 (3) 三角形中，有一個角大於 90°為鈍角三角形 (4) 三角形的三邊中，有兩邊等長，為等腰三角形 (5) 三角形中若三個邊都相等，為正三角形
解 解 解 解：：：：
敘述 理由
(A) 直角三角形只有一個內角為 90°
(B) 正三角形的內角都相等
(C) 銳角三角形中，三個內角皆是銳角 (D) 鈍角三角形中，只有一個內角是鈍角 所以本題選(C)
直角三角形定義
正三角形的三內角皆為 60 度 銳角三角形定義
鈍角三角形定義
定義 定義 定義
定義：：：：2.1-5 全等三角形全等三角形全等三角形全等三角形
可以完全相合的兩個三角形，叫做全等三角形，圖 2.1-5 中，△ABC 與△DEF 全等，可以△ABC △DEF 表示之。
F D
B E
A
C
圖 圖 圖 圖 2.1-5
定義 定義 定義
定義：：：：2.1-6 對應點對應點對應點對應點、、、、對應邊對應邊對應邊對應邊、、、、對應角對應角對應角對應角
兩圖形的點數若相等，則兩圖的各點可以依序一一對應，互相對應的點叫做 對應點
對應點 對應點
對應點；兩對應點的連線叫對應邊對應邊對應邊對應邊；兩對應邊的夾角叫做對應角對應角對應角對應角。
以圖 2.1-5 為例，△ABC 與△DEF 相對應，A 點對應 D 點，B 點對應 E 點，
C 點對應 F 點。 的對應邊為 ， 的對應邊為 ， 的對應邊為 。∠A
的對應角為∠D，∠B 的對應角∠E，∠C 的對應角∠F。
定義 定義 定義
定義：：：：2.1-7 周長周長周長周長
封閉曲線圖形一周的長度，叫做周長周長周長。周長也就是圖形所有邊長的總和。如周長 圖 2.1-6，△ABC 周長＝ ＋ ＋ 。
A
B C
在證明很多有關三角形的定理時，我們常會引用一個公理，叫做移形公理。
利用移形公理以及有關全等三角形的定義，我們可以得到以下的定理：
定理 定理 定理
定理：：：：2.1-1 兩兩兩兩全等三角形的對應角相等全等三角形的對應角相等全等三角形的對應角相等全等三角形的對應角相等且且且且對應邊相等對應邊相等對應邊相等對應邊相等
F D
E C
A
B
圖 圖 圖 圖 2.1-7
已知 已知 已知
已知：：：：如圖 2.1-7，△ABC 及△DEF 兩三角形全等，△ABC △DEF。
求證 求證 求證
求證：：：：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F。
＝ ， ＝ ， ＝ 。 證明
證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) 移動△DEF 使與△ABC 完全相合 (2) D 與 A 相合，E 與 B 相合，F 與 C
相合，且 與 完全相合， 與 完全相合， 與 完全相合
(3) ＝ ， ＝ ， ＝
(4) ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
已知△ABC △DEF
移形公理， ＆ △ABC △DEF 的 假設
兩點之間只有一條直線 相同兩邊的夾角相等
Q. E. D.
例題 例題 例題
例題 2.1-3：：：：
圖 2.1-8 中，已知△ABC △DEF，且 A、B、C 的對應頂點分別是 D、E、
F。 若 ＝16， ＝9， ＝15，∠A＝70°，∠F＝60°，∠B＝50°。則：
(1) ＝？ (2) ＝？ (3) ＝？
(4) ∠D＝？ (5) ∠E＝？ (6) ∠C＝？
F D
E C
A
B
圖 圖 圖 圖 2.1-8 想法
想法 想法
想法：：：：兩全等三角形的對應角相等且對應邊相等 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) ＝ ＝15
(2) ＝ ＝16
(3) ＝ ＝9
(4) ∠D＝∠A＝70°
(5) ∠E＝∠B＝50°
(6) ∠C＝∠F＝60°
已知△ABC △DEF ＆ 對應邊 與 相等
＆ 已知 ＝15
已知△ABC △DEF ＆ 對應邊 與 相等
＆ 已知 ＝16
已知△ABC △DEF ＆ 對應邊 與 相等
＆ 已知 ＝9
已知△ABC △DEF ＆ 對應角∠D 與∠A 相等
＆ 已知∠A＝70°
已知△ABC △DEF ＆ 對應角∠E 與∠B 相等
＆ 已知∠B＝50°
已知△ABC △DEF ＆ 對應角∠C 與∠F 相等
＆ 已知∠F＝60°
例題 例題 例題
例題 2.1-4：：：：
圖 2.1-9 中，已知△ABC △DEF，且 A、B、C 的對應頂點分別是 D、E、
F。 若 ＝3x＋6， ＝16， ＝9， ＝6y－2， ＝15，則 x－y＝ 。
F D
E C
A
B
圖 圖 圖 圖 2.1-9 想法
想法 想法
想法：：：：兩全等三角形的對應角相等且對應邊相等 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) ＝ (2) 3x＋6＝15 (3) x＝(15－6)÷3＝3 (4) ＝
(5) 6y－2＝16 (6) y＝(16＋2)÷6＝3 (7) x－y＝3－3＝0
已知△ABC △DEF ＆ 對應邊 與 相等 將已知 ＝3x＋6 ＆ ＝15 代入(1)
由(2) 解一元一次方程式
已知△ABC △DEF ＆ 對應邊 與 相等 將已知 ＝6y－2 ＆ ＝16 代入(4)
由(5) 解一元一次方程式 由(3)式 － (6)式
例題 例題 例題
例題 2.1-5：：：：
如圖 2.1-10，若△ABC △DEF，其中 A、B、C 的對應頂點分別是 D、E、
F，則：
圖圖
圖圖 2.1-10
(1) x＝ ，y＝ 。 (2) ＝ 。 想法
想法 想法
想法：：：：兩全等三角形的對應角相等且對應邊相等 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) ＝ (2) 5x＝4y (3) ＝ (4) 3x＝2y＋2
(5) x＝4 ＆ y＝5 (6) ＝ ＝2x＋y＋3
(7) ＝2×4＋5＋3＝16
已知△ABC △DEF ＆ 對應邊 與 相等 將已知 ＝5x ＆ ＝4y 代入(1)
已知△ABC △DEF ＆ 對應邊 與 相等 將已知 ＝3x ＆ ＝2y＋2 代入(3)
由(2) ＆ (4) 解二元一次聯立方程式
已知△ABC △DEF ＆ 對應邊 與 相等
＆ 已知 ＝2x＋y＋3
將(5) x＝4 ＆ y＝5 代入(6)
例題 例題 例題
例題 2.1-6：：：：
如圖 2.1-11，若△ABC △DEF，且∠A＝( 3x＋4 )°，∠B＝( 6y＋8 )°，
∠D＝70°，∠E＝50°，則 x＋y＝？
F D
E C
A
B
圖 圖圖
圖 2.1-11 想法
想法 想法
想法：：：：兩全等三角形的對應角相等且對應邊相等 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) ∠A＝∠D (2) ( 3x＋4 )°＝70°
(3) x＝(70－4)÷3＝22 (4) ∠B＝∠E
(5) ( 6y＋8 )°＝50°
(6) y＝(50－8)÷6＝7 (7) x＋y＝22＋7＝29
已知△ABC △DEF ＆ 對應角∠D 與∠A 相等 將已知∠A＝( 3x＋4 )° ＆ ∠D ＝70° 代入(1) 由(2) 解一元一次方程式
已知△ABC △DEF ＆ 對應角∠E 與∠B 相等 將已知∠B＝( 6y＋8 )° ＆ ∠E ＝50° 代入(4) 由(5) 解一元一次方程式
由(3)式 ＋ (6)式
定理 定理 定理
定理：：：：2.1-2 全等三角形全等三角形全等三角形全等三角形對應對應對應對應角角角角的對的對的對的對邊相等邊相等邊相等邊相等
兩全等三角形△ABC 及△DEF 中，如∠A 的對應角∠D，∠A＝∠D，則∠A 的對邊 等於∠D 的對邊 。
F D
E C
A
B
圖圖
圖圖 2.1-12 已知
已知 已知
已知：：：：圖 2.1-12 中，△ABC 及△DEF 兩三角形全等，∠A＝∠D。
求證 求證 求證
求證：：：： ∠A 的對邊 等於∠D 的對邊 證明
證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) 移動△DEF，使∠D 與∠A 完全相合 (2) 與 完全相合，E 與 B 相合 (3) 與 完全相合，F 與 C 相合 (4) ＝
移形公理及∠A＝∠D 的已知 已知△ABC △DEF
已知△ABC △DEF
由(2) ＆ (3) 兩點之間只有一條直線 Q. E. D.
用同樣的證明方法，我們可以得到以下的的定理。
定理 定理 定理
定理：：：：2.1-3 全等三角形對應邊的對角相全等三角形對應邊的對角相全等三角形對應邊的對角相全等三角形對應邊的對角相等等等等
兩全等三角形△ABC 及△DEF 中，如 的對應邊 ， ＝ ，則 的
對角∠A 等於 的對角∠D。
F D
E C
A
B
圖圖
圖圖 2.1-13 已知
已知 已知
已知：：：：圖 2.1-13 中，△ABC 及△DEF 兩三角形全等， ＝ 。 求證
求證 求證
求證：：：： 的對角∠A 等於 的對角∠D 證明
證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) 移動△DEF，使 與 完全相合
(2) 與 完全相合 (3) 與 完全相合 (4) ∠A＝∠D
移形公理及 ＝ 的已知 已知△ABC △DEF 已知△ABC △DEF
由(2) ＆ (3)相同兩邊的夾角相等 Q. E. D.
習題 習題
習題 習題 2.1
習題 習題 習題 習題 2.1-1
如圖 2.1-14，在△ABC 中，D、E 兩點分別在 、 上，且 交 於 F 點。則圖中可找出 個三角形。
圖圖
圖圖 2.1-14 習題習題
習題習題 2.1-2
△ABC 中，若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝120°，則△ABC 為下列何種三 角形？
(A) 銳角三角形 (B) 直角三角形 (C) 鈍角三角形 (D) 不能確定
習題 習題 習題 習題 2.1-3
若三角形中有三個內角為銳角，則此三角形為何種三角形？
習題習題 習題習題 2.1-4
三角形的三個內角中，最多可以有 個鈍角。
習題 習題 習題 習題 2.1-5
習題 習題 習題 習題 2.1-6
已知△ABC，則可作出幾個與△ABC 的三內角對應相等的三角形？
(A) 一個 (B) 兩個 (C) 無限多個 (D) 不能作三角形 習題習題
習題習題 2.1-7
圖 2.1-15 中，△ABC 及△DEF 為兩全等三角形，試述∠B 及∠C 的對應角 各為何角？ 及 的對應邊各為何邊？
F
E D
C B
A
圖 圖 圖
圖 2.1-15 習題
習題 習題 習題 2.1-8
圖 2.1-16 中，△ABC 及△DEF 為兩全等三角形，試述∠B 及∠E 的對邊各 為何？ 及 的對角各為何角？
F
E D
C B
A
圖圖
圖圖 2.1-16 習題習題
習題習題 2.1-9
圖 2.1-17 中，已知△ABC △DEF，且 A、B、C 的對應頂點分別是 D、
E、F。 若 ＝6， ＝8， ＝10，∠A＝37°，∠F＝90°，∠B＝53°
則： (1) ＝？ (2) ＝？ (3) ＝？
(4) ∠D＝？ (5) ∠E＝？ (6) ∠C＝？
圖圖
圖圖 2.1-17
習題 習題 習題
習題 2.1-10
圖 2.1-18 中，已知△ABC △DEF，且 A、B、C 的對應頂點分別是 D、E、
F。 若 ＝3x＋6， ＝14， ＝9， ＝6y＋2， ＝18，則 x－y＝ 。
圖圖
圖圖 2.1-18 習題習題
習題習題 2.1-11
圖 2.1-19 中，已知△ABC △PQR，若 ＝2x＋3， ＝4x－2， ＝3x，
＝x＋8，則 x＝ 。
圖圖
圖圖 2.1-19 習題習題
習題習題 2.1-12
圖 2.1-20 中，若△ABC △DEF，且∠A＝( 3x－4 )°，∠B＝( 6y＋10 )°，
∠D＝56°，∠E＝64°，則 x＋y＝？
2.2 節 節 節 節 兩邊夾一角 兩邊夾一角 兩邊夾一角 兩邊夾一角三角形全等 三角形全等 三角形全等定理 三角形全等 定理 定理 定理
（
（
（ （S.A.S.三角形全等 三角形全等 三角形全等定理 三角形全等 定理 定理 定理） ） ） ）
在以下的三節中，我們將介紹三種證明三角形全等的定理。
定理 定理 定理
定理：：：：2.2-1 兩邊夾一角兩邊夾一角兩邊夾一角兩邊夾一角三角形全等三角形全等三角形全等三角形全等定理定理定理定理，，，，又稱又稱又稱又稱 S.A.S.三角形全等三角形全等三角形全等三角形全等定理定理定理定理
假設有兩三角形△ABC 及△A'B'C'， ∠A 的夾邊為 與 ，∠A'的夾邊為 與 ，如∠A＝∠A'， ＝ 及 ＝ ，則△ABC △A'B'C'。
C' A'
B' A
B
C
圖圖 圖圖 2.2-1 已知
已知 已知
已知：：：：圖 2.2-1 中，△ABC 及△A'B'C'中，∠A 的夾邊為 與 ，∠A'的夾邊為 與 ，∠A＝∠A'， ＝ 及 ＝ 。
求證 求證 求證
求證：：：： △ABC △A'B'C' 想法
想法 想法
想法：：：：可以完全相合的兩個三角形，叫做全等三角形 證明
證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) 移動△A'B'C'，使∠A'與∠A 完全相合 (2) B 與 B'相合
(3) C 與 C'相合 (4) ＝
(5) △ABC △ A'B'C'
移形公理及已知 已知 ＝
已知 ＝
由(2) ＆ (3) 兩點之間只有一條 直線
全等三角形定義
Q. E. D
以上之定理也叫做 S.A.S.三角形全等定理。
例題 例題 例題
例題 2.2-1：：：：
如圖 2.2-2，△ABC 與△PQR 是否全等？為什麼？
圖 圖 圖 圖 2.2-2 想法
想法 想法
想法：：：：兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 解解
解解：：：：
敘述 理由
(1) 在△ABC 與△PQR 中 ＝ ＝7
∠A＝∠P＝75°
＝ ＝9 (2) △ABC △PQR
如圖 2.2-2，已知
由(1) S.A.S.三角形全等定理
例題 例題 例題
例題 2.2-2：：：：
圖 2.2-3(a)中的 (A)、(B)、(C)三圖，何者與圖 2.2- 3 的△PQR 全等？
圖 圖圖 圖 2.2-3
(A) (B) (C)
圖 圖 圖
圖 2.2-3(a) 想法
想法 想法
想法：：：：兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) 在△PQR 與△GHI 中 ＝ ＝3 ∠Q＝∠H＝45°
＝ ＝6 (2) △PQR △GHI (3) 所以答案選(C)
如圖 2.2-3 與圖 2.2-3(a)
由(1) S.A.S.三角形全等定理
定義 定義 定義
定義：：：：2.2-1 若若若若三角形三角形三角形三角形中有一角為直角中有一角為直角中有一角為直角中有一角為直角，，，，則此三角形為一直角則此三角形為一直角則此三角形為一直角則此三角形為一直角三角三角三角三角形形形形。。。。 如圖 2.2-4，△ABC 中，∠C＝90°，因此△ABC 是一直角三角形。
圖圖 圖圖 2.2-4
由 S.A.S. 三角形全等定理及直角三角形的定義，我們可以得到以下的定理。
定理 定理 定理
定理：：：：2.2-2 直角三角形全等定理直角三角形全等定理直角三角形全等定理直角三角形全等定理
若一直角三角形其直角的兩個夾邊等於另一直角三角形直角的兩個夾邊，則 此兩三角形全等。
已知 已知 已知
已知：：：：如圖 2.2-5，∠B 與∠B'都是直角，若 ＝ ， ＝ 求證
求證 求證
求證：：：：△ABC △A'B'C'
A'
C' B'
A
B C
圖 圖 圖 圖 2.2-5 想法
想法 想法
想法：：：：兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 證明
證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) 在△ABC 與△A'B'C'中 ＝
∠B＝∠B'＝90°
＝
如圖 2.2-5，
已知 ＝
已知∠B 與∠B'都是直角 已知 ＝
例題 例題 例題
例題 2.2-3：：：：
圖 圖 圖 圖 2.2-6 已知
已知 已知
已知：：：：如圖 2.2-6， ⊥ ， ⊥ ， ＝ 。 證明
證明 證明
證明：：：：∠A＝∠D。
想法 想法 想法
想法：：：：(1) 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 (2) 兩全等三角形之對應角相等
證明證明 證明證明：：：：
敘述 理由
(1) 在△ABC 與△DCB 中 ＝
∠ABC＝∠DCB＝90°
＝
(2) △ABC △DCB (3) ∠A＝∠D
如圖 2.2-6，
已知 ＝
已知 ⊥ ， ⊥ 共同邊
由(1) S.A.S.三角形全等定理 由(2) 對應角相等
例題 例題 例題
例題 2.2-4：：：：
圖 圖 圖 圖 2.2-7 已知已知
已知已知：：：：如圖 2.2-7， ⊥ ，若 ＝ ， ＝ ， 證明證明
證明證明：：：：∠DEB＝∠ACB 想法
想法 想法
想法：：：：(1) 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 (2) 兩全等三角形之對應角相等
證明 證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) 在△ABC 與△DBE 中 ＝
∠ABC＝∠DBE＝90°
＝
(2) △ABC △DBE (3) ∠DEB＝∠ACB
如圖 2.2-7，
已知 ＝ 已知 ⊥ 已知 ＝
由(1) S.A.S.三角形全等定理 由(2) 對應角相等
以下我們要證明一個很重要而且經常用到的定理，在證明的過程中，我們要 做一條輔助線，所謂輔助線，乃是原來題目中並未有的線段，為了證明的需要，
必須做的線段。
在幾何學中，作角的平分線並不是容易的事，屬於幾何作圖這一節所要教的 項目，我們以後會教大家如何做一個角的平分線，目前，先假設我們可以作一個 角的平分線。
定理 定理 定理
定理：：：：2.2-3 等腰三角形底角相等定理等腰三角形底角相等定理等腰三角形底角相等定理等腰三角形底角相等定理 一等腰三角形的兩底角相等。
圖圖 圖圖 2.2-8 已知
已知 已知
已知：：：： △ABC 中， ＝ 求證
求證 求證
求證：：：： ∠B＝∠C 想法
想法 想法
想法：：：：(1) 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 (2) 兩全等三角形之對應角相等
證明 證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) 作∠BAC 之平分線，此線與 交於 D，
則∠1＝∠2
(2) △ADB 及△ADC 中
＝
∠1＝∠2
＝
(3) △ADB △ADC (4) ∠B＝∠C
如圖 2.2-8 所示 角平分線的定義 如圖 2.2-8
兩三角形共用 邊 由(1) ∠1＝∠2 已知 ＝
由(2) S.A.S 三角形全等定理 由(3) 對應角相等
Q. E. D.
S.A.S.定理是很有用的定理，我們可以利用它來證明很多三角形全等，也可 以經由三角形全等而進一步證明對應邊與對應角的相等。
定理 定理 定理
定理：：：：2.2-4 等腰三角形頂角平分線平分等腰三角形頂角平分線平分等腰三角形頂角平分線平分等腰三角形頂角平分線平分底邊底邊底邊底邊 等腰三角形頂角平分線平分底邊。
1 2
D A
B C
圖圖 圖圖 2.2-9 已知
已知 已知
已知：：：：如圖 2.2-9，△ABC 中， ＝ ，∠BAC 之平分線與 相交於 D 點 求證
求證 求證
求證：：：： ＝ 想法
想法 想法
想法：：：：(1) 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 (2) 兩全等三角形之對應邊相等
證明 證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) △ADB 和△ADC 中
＝
∠1＝∠2
＝
(2) △ADB △ADC (3) ＝
如圖 2.2-9 所示 兩三角形共用
已知∠BAC 之平分線與 相交於 D 點 已知 ＝
由(1) S.A.S.三角形全等定理 由(2) 對應邊相等
Q. E. D.
定理 定理 定理
定理：：：：2.2-5 等腰三角形頂角平分線垂直等腰三角形頂角平分線垂直等腰三角形頂角平分線垂直等腰三角形頂角平分線垂直底邊底邊底邊底邊 等腰三角形頂角平分線垂直底邊。
圖 圖 圖
圖 2.2-10 已知已知
已知已知：：：：如圖 2.2-10，△ABC 是等腰三角形， ＝ ， 是∠BAC 的角平分線 證明證明
證明證明：：：： ⊥ 想法
想法 想法
想法：：：：若能證得∠ADB＝∠ADC＝90°，則可得 ⊥ 證明證明
證明證明：：：：
敘述 理由
(1) 在△ABD 與△ACD 中 ＝
∠BAD＝∠CAD ＝
(2) △ABD △ACD (3) ∠ADB＝∠ADC
(4) ∠ADB＋∠ADC＝180°
(5) ∠ADC＋∠ADC＝180°
(6) ∠ADC＝90°
(7) ⊥
如圖 2.2-10 所示 已知 ＝
已知 是∠BAC 的角平分線 為共同邊
由(1) SAS 三角形全等定理 由(2) 對應角相等
如圖 2.2-10，∠ADB＋∠ADC＝∠CDB 為平角 將(3) ∠ADB＝∠ADC 代入(4)
由(5) 解一元一次方程式 由(6) ∠ADC＝90°
由定理 2.2-3(等腰三角形底角相等定理) ＆ 定理 2.2-4(等腰三角形頂角平分線平 分底邊) ＆ 定理 2.2-5(等腰三角形頂角平分線垂直底邊)
我們可以得知 我們可以得知 我們可以得知
我們可以得知，，，等腰三角形有以下的性質，等腰三角形有以下的性質等腰三角形有以下的性質：等腰三角形有以下的性質：： ： 1. 等腰三角形兩腰等長等腰三角形兩腰等長等腰三角形兩腰等長等腰三角形兩腰等長。。。 。
2. 等腰三角形兩底角等腰三角形兩底角等腰三角形兩底角等腰三角形兩底角相等相等相等。相等。。 。
3. 等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊。。。 。
(也就是說等腰三角形頂角平分線為底邊的中垂線也就是說等腰三角形頂角平分線為底邊的中垂線也就是說等腰三角形頂角平分線為底邊的中垂線也就是說等腰三角形頂角平分線為底邊的中垂線)。。。 。 以上等腰三角形的性質
以上等腰三角形的性質 以上等腰三角形的性質
以上等腰三角形的性質，，，在以後的幾何題目中，在以後的幾何題目中在以後的幾何題目中，在以後的幾何題目中，，將會經常使用，將會經常使用將會經常使用，將會經常使用，，，請同學熟記請同學熟記請同學熟記請同學熟記。。。。
例題 例題 例題
例題 2.2-5：：：：
如圖 2.2-11，△ABC 是等腰三角形， ＝ ，且 是∠BAC 的角平分線，
若 ＝5，則：
(1) ∠ADC＝？ (2) ＝？
圖 圖圖
圖 2.2-11 想法想法
想法想法：：：：等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) ∠BAC 為等腰三角形 ABC 的頂角
(2) ⊥ ＆ ＝
(3) 所以∠ADC＝90°
(4) 所以 ＝5
已知△ABC 是等腰三角形， ＝ 由(1) ＆ 已知 是∠BAC 的角平分線
＆等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊 由(2) ⊥
由(2) ＝ ＆ 已知 ＝5
定理 定理 定理
定理：：：：2.2-6 一線段之一線段之一線段之一線段之中垂線上任一點到中垂線上任一點到中垂線上任一點到中垂線上任一點到此線段的此線段的此線段的此線段的兩端點等距離兩端點等距離兩端點等距離兩端點等距離 一線段之中垂線上任一點到此線段的兩端點等距離。
圖圖
圖圖 2.2-12 已知
已知 已知
已知：：：：如圖 2.2-12，L 為 的垂直平分線(中垂線)，A、D 為 L 上任意之兩點 求證
求證 求證
求證：：：： ＝ ＆ ＝ 想法
想法 想法
想法：：：：兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 證明
證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) △ABE 和△ACE 中
＝
∠AEB=∠AEC＝90°
＝
(2) △ABE △ACE (3) ＝
(4) △DBE 和△DCE 中
＝
∠DEB=∠DEC＝90°
＝
(5) △DBE △DCE (6) ＝
如圖 2.2-12 所示 共同邊
已知 L 為 的垂直平分線(中垂線) 已知 L 為 的垂直平分線(中垂線) 由(1) S.A.S.三角形全等定理 由(2) 對應邊相等
如圖 2.2-12 所示 共同邊
已知 L 為 的垂直平分線(中垂線) 已知 L 為 的垂直平分線(中垂線) 由(4) S.A.S.三角形全等定理 由(5) 對應邊相等
Q.E.D
例題 例題 例題
例題 2.2-6：：：：
如圖 2.2-13，L 為 的垂直平分線(中垂線)，A、D 為 L 上任意之兩點，若 ＝10， ＝8，則：
(1) ＝？ (2) ＝？
圖圖
圖圖 2.2-13 想法
想法 想法
想法：：：：中垂線上任一點，到線段的兩端點等距離 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) ＝ ＝10
(2) ＝ ＝8
已知 L 為 的垂直平分線(中垂線)，A 為 L 上 任意之點 ＆ 中垂線上任一點，到線段的兩端 點等距離 ＆ 已知 ＝10
已知 L 為 的垂直平分線(中垂線)，D 為 L 上 任意之點 ＆ 中垂線上任一點，到線段的兩端 點等距離 ＆ 已知 ＝8
例題 例題 例題 例題 2.2-7
1 2
D O
A
B C
圖 圖 圖
圖 2.2-14 已知
已知 已知
已知：：：：圖 2.2-14 中， 與 交於 O 點， ＝ ， ＝ ， 試證
試證 試證
試證：：：： ＝ 想法
想法 想法
想法：：：：兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 證明
證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) △AOC 和△BOD 中
∠1＝∠2
＝
＝
(2) △AOC △BOD (3) ＝
如圖 2.2-14 所示 對頂角相等 已知 ＝ 已知 ＝
由(1) S.A.S.三角形全等定理 由(2) 對應邊相等
Q. E. D.
例題 例題 例題 例題 2.2-8
1 2
C
A B
D
圖 圖 圖
圖 2.2-15 已知
已知 已知
已知：：：：圖 2.2-15 中，∠1＝∠2， ＝ 試證
試證 試證
試證：：：： ＝ 想法
想法 想法
想法：：：：兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 證明
證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) △ABC 和△BAD 中
∠1=∠2
＝
＝
(2) △ABC △BAD (3) ＝
如圖 2.2-15 所示 已知∠1=∠2 共同邊 已知 ＝
由(1) S.A.S.三角形全等定理 由(2) 對應邊相等
Q. E. D.
例題 例題 例題 例題 2.2-9
3 4
1 2
D E
A
B C
圖 圖 圖
圖 2.2-16 已知
已知 已知
已知：：：：圖 2.2-16 中， ＝ ， ＝ 試證
試證 試證
試證：：：：∠1＝∠2。
想法 想法 想法
想法：：：：兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 證明
證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) △ABE 和△ACD 中
∠A＝∠A
＝
＝
(2) △ABE △ACD (3) ∠3＝∠4
(4) △ABC 為等腰三角形 (5) ∠ABC＝∠ACB (6) ∠1＝∠ABC－∠3
∠2＝∠ACB－∠4 (7) ∠2＝∠ABC－∠3＝∠1
因此∠1＝∠2
如圖 2.2-16 所示 兩三角形共用∠A 已知 ＝
已知 ＝
由(1) S.A.S.三角形全等定理 由(2) 對應角相等
已知 ＝
等腰三角形底角相等
如圖 2.2-16 所示，∠1＝∠ABC－∠3 如圖 2.2-16 所示，∠2＝∠ACB－∠4 將(3) ∠3＝∠4 ＆ (5) ∠ABC＝∠ACB 代入(6) ∠2＝∠ACB－∠4
Q. E. D.
D E A
B C
例題 例題 例題
例題 2.2-10
圖 圖 圖
圖 2.2-17 已知
已知 已知
已知：：：：圖 2.2-17 中， ＝ ， ＝ 。 試證
試證 試證
試證：：：：∠ CDB＝∠BEC 想法
想法 想法
想法：：：：兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 證明
證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) △ABC 為等腰三角形 (2) ∠DBC=∠ECB (3) △DBC 和△ECB 中
＝
∠DBC＝∠ECB
＝
(4) △DBC △ECB (5) ∠ CDB＝∠BEC
已知 ＝
由(1) 等腰三角形底角相等 如圖 2.2-17 所示
兩三角形共用此邊 由(2)已證
已知 ＝
由(3) S.A.S.三角形全等定理 由(4) 對應角相等
Q. E. D.
例題 例題 例題
例題 2.2-11：：：：
圖 圖 圖
圖 2.2-18 已知
已知 已知
已知：：：：圖 2.2-18 中， 是∠BAC 的角平分線，且 ＝ 證明
證明 證明
證明：：：：△ABD △ACD 想法
想法 想法
想法：：：：兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 證明
證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) 在△ABD 與△ACD 中 ＝
∠BAD＝∠CAD ＝
(2) △ABD △ACD
如圖 2.2-18 所示 已知 ＝
已知 是∠BAC 的角平分線 為共同邊
由(1) S.A.S.三角形全等定理
Q. E. D.
例題 例題 例題
例題 2.2-12：：：：
圖圖圖
圖 2.2-19 已知已知
已知已知：：：：如圖 2.2-19，△ABC 為正三角形， ＝ 證明證明
證明證明：：：： ＝ 想法
想法 想法
想法：：：：兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 證明
證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) 在△ABD 與△BCE 中 ＝
∠ABD＝∠BCE ＝
(2) △ABD △BCE (3) ＝
如圖 2.2-19 所示
已知△ABC 為正三角形＆正三角形為等邊三角形 已知△ABC 為正三角形＆正三角形為等角三角形 已知 ＝
由(1) S.A.S.三角形全等定理 由(2) 對應邊相等
Q. E. D.
例題 例題 例題
例題 2.2-13：：：：
圖 圖 圖
圖 2.2-20 已知
已知 已知
已知：：：：△ABC 中， ＝ ， ＝ ，如圖 2.2-20。
證明 證明 證明
證明：：：： ＝ 想法
想法 想法
想法：：：：兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 證明
證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) 在△ABC 中
＝ 且 ＝
(2) － ＝ －
所以 ＝
(3) 在△ABE 與△ACD 中 ＝
∠A＝∠A ＝
(4) △ABE △ACD (5) ＝
如圖 2.2-20 所示 已知 ＝ 且 ＝ 由(1) 等量減法公理
如圖 2.2-20 所示 已知 ＝
共用角 由(2)已證
由(3) S.A.S.三角形全等定理 由(4) 對應邊相等
Q. E. D.
例題 例題 例題
例題 2.2-14：：：：
圖 圖 圖
圖 2.2-21 已知
已知 已知
已知：：：：如圖 2.2-21，△ABC 與△ADE 都是等腰三角形 證明
證明 證明
證明：：：： ＝ 想法
想法 想法
想法：：：：兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 證明
證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) 在△ADC 與△AEB 中 ＝
∠A＝∠A ＝
(2) △ADC △AEB (3) ＝
如圖 2.2-21，
已知△ADE 是等腰三角形 共同角
已知△ABC 是等腰三角形 由(1) S.A.S.三角形全等定理 由(2) 對應邊相等
Q. E. D.
例題 例題 例題
例題 2.2-15：：：：
圖圖
圖圖 2.2-22 已知
已知 已知
已知：：：：如圖 2.2-22， ＝ ，D、E 分別為 、 之中點。
證明 證明 證明
證明：：：：∠AEB＝∠ADC 想法想法
想法想法：：：：兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 證明證明
證明證明：：：：
敘述 理由
(1) 在△ABE 與△ACD 中 ＝
∠A＝∠A ＝
2
1 ＝
2
1 ＝
(2) △ABE △ACD (3) ∠AEB＝∠ADC
如圖 2.2-22 所示 已知 ＝
共同角
已知 D、E 分別為 、 之中點
由(1) S.A.S.三角形全等定理 由(2) 對應角相等
Q. E. D.
習題 習題 習題 習題 2.2
習題 習題 習題 習題 2.2-1
2 1
D A
B C
圖 圖 圖
圖 2.2-23 已知
已知 已知
已知：：：：圖 2.2-23 中， ⊥ ， ＝ 試證
試證 試證
試證：：：：△ABC 為一等腰三角形。且∠1＝∠2。
習題 習題 習題 習題 2.2-2
D E
A
B C
圖 圖 圖
圖 2.2-24 已知
已知 已知
已知：：：：圖 2.2-24 中， ⊥ ， ⊥ ， ＝ ， ＝ 試證
試證 試證
試證：：：： ＝
習題習題 習題習題 2.2-3
2 1
C A
D
B
圖圖
圖圖 2.2-25
習題 習題 習題 習題 2.2-4
2 1
D
B C
A
圖 圖 圖
圖 2.2-26 已知
已知 已知
已知：：：：圖 2.2-26 中，∠1＝∠2， ＝ 試證
試證 試證
試證：：：： ＝
習題 習題 習題 習題 2.2-5
4 1 3
2
D A
C B
圖 圖 圖
圖 2.2-27 已知
已知 已知
已知：：：：圖 2.2-27 中， ＝ ， ＝ ，∠A＝∠D 試證
試證 試證
試證：：：：∠1＝∠2，∠3＝∠4
習題習題 習題習題 2.2-6
1 2
D A
B C
圖圖
圖圖 2.2-28 已知
已知 已知
已知：：：：圖 2.2-28 中， ＝ ，∠1＝∠2 試證
試證 試證
試證：：：：∠A＝∠D
習題 習題 習題 習題 2.2-7
1
2
D
B C
A
圖 圖 圖
圖 2.2-29 已知
已知 已知
已知：：：：圖 2.2-29 中，∠1＝∠2， ＝ 試證
試證 試證
試證：：：：∠A＝∠D
習題 習題 習題 習題 2.2-8
D A
B C
圖 圖 圖
圖 2.2-30 已知
已知 已知
已知：：：：圖 2.2-30 中， ⊥ ， ⊥ ， ＝ 試證
試證 試證
試證：：：： ＝
習題習題 習題習題 2.2-9
B C
A D
圖圖
圖圖 2.2-31
習題 習題 習題
習題 2.2-10
如圖 2.2-32，已知 與 相交於 E 點， ＝ ， ＝ 。若∠1＝32°，
∠A＝78°，則∠B＝_______度。
圖圖
圖圖 2.2-32 習題
習題 習題
習題 2.2-11：：：：
如圖 2.2-33，△ABC 是等腰三角形， ＝ ，且 是∠BAC 的角平分線，
若 ＝10，則：
(1) ∠ADC＝？ (2) ＝？
圖 圖 圖
圖 2.2-33 習題
習題 習題
習題 2.2-12：：：：
如圖 2.2-34，L 為 的垂直平分線(中垂線)，A、D 為 L 上任意之兩點，若 ＝7， ＝5，則：
(1) ＝？ (2) ＝？
圖圖
圖圖 2.2-34
2.3 節 節 節 節 兩角夾一邊 兩角夾一邊 兩角夾一邊 兩角夾一邊三角形全等 三角形全等 三角形全等定理 三角形全等 定理 定理 定理
（
（
（ （A.S.A. 三角形全等 三角形全等 三角形全等 三角形全等定理 定理 定理 定理） ） ） ）
上一節，我們提出了兩邊夾一角定理，在此一節，我們將提出另一個有關全 等三角形的定理，所謂兩角夾一邊三角形全等定理。
定理定理
定理定理 2.3-1 兩角夾一邊定理兩角夾一邊定理兩角夾一邊定理兩角夾一邊定理，，，，又稱又稱又稱 A.S.A.三角形全等定理又稱 三角形全等定理三角形全等定理 三角形全等定理
假設有兩個三角形△ABC 及△ A'B'C'，∠A＝∠ A'，∠B＝∠ B'， ＝ ， 則△ABC △ A'B'C' 。
圖 圖 圖 圖 2.3-1 已知
已知 已知
已知：：：：如圖 2.3-1，△ABC 與△ A'B'C' 中，∠A＝∠ A' ，∠B＝∠ B'， ＝ 求證
求證 求證
求證：：：：△ABC △ A'B'C' 想法
想法 想法
想法：：：：可以完全相合的兩個三角形，叫做全等三角形 證明
證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) 移動△ A'B'C' ，使 與 完全相合
如圖 2.3-1(a)所示
移形公理及已知 ＝
(2) 與 為同一條直線
(也就是說 A、C、C'三點共線) (3) 假設 C、 C'為不同的兩個點 (4) ∠ABC≠∠ A'B'C'
(5) 所以 C、 C'為相同的點
(6) 所以 ＝ 、 ＝
(7) 所以△ABC △ A'B'C'
已知∠A＝∠ A' ＆ 由(1) 與 完全相合 假設
由(1) ＝ ＆ (2) A、C、 C' 三點共線 ＆ (3) C、 C'為不同的兩 個點
由(4) ∠ABC≠∠ A'B'C' 與已知
∠B＝∠ B'互相矛盾，所以(3)的 假設不成立
由(5) C、 C'為相同的點
＆ (1) 與 完全相合 由(1) ＝ ＆
(6) ＝ 、 ＝
有了兩角夾一邊定理，我們可以證明很多定理，有些過去已經證明過的例 子，仍然可以用這個定理來證明。
1 2
D A
B C
例題 例題 例題
例題 2.3-1：：：： ( 等腰三角形頂角平分等腰三角形頂角平分等腰三角形頂角平分等腰三角形頂角平分角角角線平分底邊角線平分底邊線平分底邊 ) 線平分底邊
圖 圖 圖 圖 2.3-2 已知
已知 已知
已知：：：：如圖 2.3-2，△ABC 中， ＝ ，∠1＝∠2 求證
求證 求證
求證：：：： ＝ 想法
想法 想法
想法：：：：已知判斷兩個三角形全等的方法有：
1. 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理，又稱 A.S.A.三角形全等定理 證明
證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) △ABC 為等腰三角形 (2) ∠B＝∠C
(3) △ADB 和△ADC 中
∠1＝∠2
＝
∠B＝∠C
(4) △ADB △ADC (5) ＝
已知 ＝
由(1)等腰三角形底角相等 如圖 2.3-2 所示
已知∠1＝∠2 已知 ＝ 由(2)已證
由(3) A.S.A.三角形全等定理 由(4) 對應邊相等
Q. E. D.
例題 例題 例題
例題 2.3-2：：：： ( 等腰三角形頂角平分角線垂直底邊等腰三角形頂角平分角線垂直底邊等腰三角形頂角平分角線垂直底邊等腰三角形頂角平分角線垂直底邊 )
1 2
D A
B C
圖 圖 圖 圖 2.3-3 已知
已知 已知
已知：：：：如圖 2.3-3，△ABC 中， ＝ ，∠1＝∠2，
求證 求證 求證
求證：：：： ⊥ 想法
想法 想法
想法：：：：已知判斷兩個三角形全等的方法有：
1. 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理，又稱 A.S.A.三角形全等定理 證明
證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) △ABC 為等腰三角形 (2) ∠B＝∠C
(3) △ADB 及△ADC 中
∠1＝∠2
＝
∠B=∠C
(4) △ADB △ADC (5) ∠ADB＝∠ADC
(6) ∠ADB＋∠ADC＝180°
(7) ∠ADC＋∠ADC＝180°
(8) ∠ADC＝180°÷2＝90°
(9) 所以 ⊥
已知 ＝
由(1) 等腰三角形底角相等 如圖 2.3-3 所示
已知∠1＝∠2 已知 ＝ 由(2)已證
由(3) A.S.A.三角形全等定理 由(4) 對應角相等
如圖 2.3-3 所示， 為一直線 將(5) ∠ADB＝∠ADC 代入 (6) 由(7) 解一元一次方程式
由(8) ∠ADC＝90°已證
1 2
D E
A
B C
由定理定理定理定理 2.2-3(等腰三角形底角相等定理等腰三角形底角相等定理等腰三角形底角相等定理等腰三角形底角相等定理)、例題例題例題例題 2.3-1(等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形頂角平分線頂角平分線頂角平分線頂角平分線 平分底邊
平分底邊 平分底邊
平分底邊)及例題例題例題例題 2.3-2(等腰三角形頂角平分線垂直底邊等腰三角形頂角平分線垂直底邊等腰三角形頂角平分線垂直底邊)，我們可以再次得知，等腰三角形頂角平分線垂直底邊 等腰三角形有以下的性質
等腰三角形有以下的性質 等腰三角形有以下的性質 等腰三角形有以下的性質：：： ：
1. 等腰三角形兩腰等長等腰三角形兩腰等長 等腰三角形兩腰等長等腰三角形兩腰等長 2. 等腰三角形兩底角相等等腰三角形兩底角相等 等腰三角形兩底角相等等腰三角形兩底角相等
3. 等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊 等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊
(也就是說等腰三角形頂角平分線為底邊的中垂線也就是說等腰三角形頂角平分線為底邊的中垂線也就是說等腰三角形頂角平分線為底邊的中垂線也就是說等腰三角形頂角平分線為底邊的中垂線)
以上等腰三角形的性質，在以後的幾何題目中，將會經常使用，請同學熟記。
例題 例題 例題
例題 2.3-3：：：：
圖 圖 圖 圖 2.3-4 已知
已知 已知
已知：：：：如圖 2.3-4，△ABC 中， ＝ ，∠1＝∠2 求證
求證 求證
求證：：：：△BEC △CDB 想法
想法 想法
想法：：：：已知判斷兩個三角形全等的方法有：
1. 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理，又稱 A.S.A.三角形全等定理 證明
證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) △ABC 為等腰三角形 (2) ∠DBC＝∠ECB (3) △BEC 及△CDB 中
∠DBC＝∠ECB
＝
∠1＝∠2
(4) △BEC △CDB
已知 ＝
由(1) 等腰三角形底角相等 如圖 2.3-4 所示
由(2) 已證 共用邊
已知∠1＝∠2
由(3) A.S.A.三角形全等定理
1
2
B O
C
D A
例題 例題 例題 例題 2.3-4
圖圖 圖圖 2.3-5 已知
已知 已知
已知：：：：如圖 2.3-5，∠1＝∠2， ＝ 求證
求證 求證
求證：：：： ＝ 想法
想法 想法
想法：：：：已知判斷兩個三角形全等的方法有：
1. 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理，又稱 A.S.A.三角形全等定理 證明
證明 證明 證明：：：：
敘述 理由
(1) △AOC 及△BOD 中
∠AOC＝∠BOD
＝
∠1＝∠2
(2) △AOC △BOD (3) ＝
如圖 2.3-5 所示 對頂角相等 已知 ＝ 已知∠1＝∠2
由(1) A.S.A.三角形全等定理 由(2) 對應邊相等
Q. E. D.
例題 例題 例題
例題 2.3-5：：：：
圖 2.3-6 中，△ABC 與△PQR 是否全等？為什麼？
圖 圖 圖 圖 2.3-6 已知已知
已知已知：：：： △ABC 中∠A=70°，∠C=30°， =28，△PQR 中∠P=70°，∠R=30°， =28。
求證 求證 求證
求證：：：：△ABC △PQR 想法
想法 想法
想法：：：：已知判斷兩個三角形全等的方法有：
1. 兩邊夾一角三角形全等定理，又稱 S.A.S.三角形全等定理 2. 兩角夾一邊三角形全等定理，又稱 A.S.A.三角形全等定理 證明證明
證明證明：：：：
敘述 理由
(1) 在△ABC 與△PQR 中 ∠A＝∠P＝70°
＝ ＝28 ∠C＝∠R＝30°
(2) △ABC △PQR
如圖 2.3-6 所示
由(1) A.S.A.三角形全等定理
