角比例共軛點

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角比例共軛點

陳建燁

一、引言

對於平面幾何, 有些人抱持這樣的看法: 解析幾何的方法出現之後, 平面幾何還有什麼可研究的呢? 若你也這麼認為的話, 不妨參考 Morris Kline 所寫的「古今數學思想」 (Mathe- matical Thought from Ancient to Modern Times,1972), 在第 35 章, 「射影幾何學的復興」中, 提到了 19世紀, 對幾何學興趣的恢復。

在 19 世紀的英國和歐洲大陸, 有許多人對平面幾何進行研究, 得到大量的成果, 有興趣的讀者, 可以參考 Johnson, R. A. 所著的「近代歐氏幾何學」 (Modern Geometry:An Ele- mentary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle, 1929)。其中, 「等角共軛點」 (Isogonal Conjugates) 的定義, 給了我極其深刻的印象。

在接下來的文章中, 「角比例表現點」和「角比例共軛點」是本人的原創。想法的起源是考察重心的重心座標時, 發現「三角形某一角被中線分成兩角的正弦比」恰好是「此角的兩鄰邊的邊長比」, 聯想到角平分線定理也和邊長比有關, 聯結之後, 得到中線和角平分線的關連性, 即定理 1。接著, 嚐試將中點和角平分點推廣到邊上的任意點, 由此定義了「角比例表現點」, 發現了隱藏其中的對稱性-角比例表現定理, 即定理 2。再來, 由「等角共軛點」觀念的啟發, 類比地成功定義了「角比例共軛點」, 即定理 3。最後, 很自然地推導出「角比例共軛點」和「角比例自共軛點」的重心座標, 即定理 4 和定理 5。

二、本文

首先, 先介紹所謂的「等角共軛點」: 在 △ABC 中, 設 P¹、 P2、 P3 分別在三邊 BC、

CA、 AB 上, 且 AP¹、 BP2、 CP3 三線共點於 P 。分別在 BC、 CA、 AB 上取點 Q1、 Q2、 Q³, 使 ∠CAP¹ = ∠BAQ¹, ∠CBP² = ∠ABQ², ∠ACP³ = ∠BCQ³, 則 AQ¹、 BQ²、 CQ³ 三線共點於 Q, Q 就稱為 P 在 △ABC 中的等角共軛點。

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上述的事實, 可由 Ceva 定理的正弦形式加以證明。關於等角共軛點, 已有不少的研究, 本文不再贅述。接下來, 真正開始本文的工作:

(一) 中線與角平分線

以「平分」的觀點而言, 中線可稱為「邊平分線」; 同時, 不妨將一角的內角平分線和對邊的交點, 稱作此角在邊上的「角平分點」。透過面積方法, 筆者發現了中線與角平分線的一個連結:

定理1: 如圖 1, △ABC 中, 設 AP 為角平分線, AM 為中線, ∠BAM = θ¹, ∠CAM = θ2, 則 sin θ¹

sin θ2

= CP BP。

圖 1 證明: △ABC 的面積記為 S△ABC。

∵ AP 為角平分線, 可知 AB

AC = BP CP。

∵ AM 為中線, 可知 S_△ABM = S_△ACM

⇒ 1

2AB· AM sin θ¹ = 1

2AC· AM sin θ² ⇒ sin θ¹

sin θ² = AC

AB = CP

BP, 得證。

(二) 角比例表現點

中線與角平分線所產生的比例式, 帶來了啟發, 這個比例式的作用, 相當於「將三角形某一角所被分成兩角的正弦比, 轉化成對邊上的邊長比」, 由此, 我作出以下的定義:

定義 1: (角比例表現點) △ABC 中, 設 Q 為 BC 上一點, ∠BAQ = θ¹, ∠CAQ = θ²。設 P 為 BC 上一點, 滿足 sin θ¹

sin θ² = CP

BP, 則稱「P 為 Q 在 BC 上的角比例表現點」。(見圖 2)

(三) 角比例表現定理

圖 2

一方面, 從定理 1 可知, 從三角形的某一角出發, 對邊上的「角平分點」, 正是中點在這邊上的「角比例表現點」; 另一方面, 此角被角平分線分成的兩相等角之正弦比為 1: 1, 而中點恰好將邊分成 1: 1 的邊長比, 由此可知, 中點是角平分點在同一邊上的「角比例表現點」。結論是, 「在同一邊上, 中點和角平分點互為彼此在這一邊上的角比例表現點」。這個結論可以推廣到一般的點嗎? 答案是肯定的, 請看以下的定理:

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定理2: (角比例表現定理) △ABC 中, P 、Q 為 BC 上兩點, ∠BAQ = θ¹, ∠CAQ = θ²,

∠BAP = θ³, ∠CAP = θ⁴, 若 sin θ¹

sin θ² = CP

BP, 則 sin θ³

sin θ⁴ = CQ

BQ。亦即「若 P 為 Q 在 BC 上的角比例表現點, 則 Q 也是 P 在 BC 上的角比例表現點」。

證明:

∵ 1

2 · AB · AQ · sin θ¹ 1

2 · AC · AQ · sin θ²

= S_△ABQ

S_△ACQ = BQ CQ

⇒sin θ1

sin θ² = BQ CQ· AC

AB(此為角平分線定理的推廣), 同理 sin θ³

sin θ⁴ = BP CP · AC

AB。根據假設有 sin θ¹

sin θ² = CP BP

⇒BQ CQ · AC

AB

= CP BP

⇒sin θ³

sin θ⁴ = BP CP · AC

AB = CQ

BQ, 得證。

(四) 角比例共軛點

「角比例表現定理」可說是一種相互關係, 此關係具有「對稱性」。這導致了一個發現, 對於三角形內任一點, 可以透過角比例表現定理, 找到唯一的對應點, 這就是以下的定理:

定理3: (角比例共軛點) △ABC 中, 設 P¹、 P2、 P3 分別在三邊 BC、 CA、 AB 上, 且 AP1、 BP2、 CP3 三線共點於一點 P 。設 Q1、 Q2、 Q3 分別為 P1、 P2、 P3 在 BC、 CA、 AB 上的角比例表現點, 則 AQ1、 BQ2、 CQ3 三線共點於一點 Q, 稱 Q 為 P 的角比例共軛點。 (見圖 3)

圖 3 證明: ∵ AP¹、 BP²、 CP³ 三線共點, 由角度形

式的 Ceva 定理可知 sin BAP¹

sin CAP¹ · sin ACP³

sin BCP³ · sin CBP² sin ABP² = 1,

∵Q¹、 Q²、 Q³ 分別為 P¹、 P²、 P³ 在 BC、 CA、

AB 上的角比例表現點

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⇒ CQ¹

BQ¹ · BQ³

AQ³ · AQ²

CQ² = sin BAP¹

sin CAP¹ · sin ACP³

sin BCP³ · sin CBP² sin ABP² = 1, 由 Ceva 定理的逆定理, 得 AQ¹、 BQ²、 CQ³ 三線共點, 證完。

由於「角比例表現定理」是一種對稱關係, 我們可從「角比例共軛點定理」的證明過程中看出, 若 Q 為 P 的角比例共軛點, 則反過來看, P 也是 Q 的角比例共軛點。可以說, P 與 Q 互為角比例共軛點。更進一步地, 三角形中的點, 可以透過角比例共軛關係兩兩配對。回到最初中線與角平分線的關係, 現在我們知道, 重心 G 和內心 I 為一對角比例共軛點, 這是這兩心的一個對稱關係。

(五) 角比例自共軛點

是否有這樣的一個點, 本身就是自己的角比例共軛點? 欲回答此一問題, 可先設想, 若存在這樣的點, 則在圖 3 中, P 和 Q 會重合成一點, 從而 P1 和 Q¹ 也會重合成一點。由此可以得到,

sin BAP¹

sin CAP¹ = CQ¹

BQ¹ = CP¹ BP¹ 另一方面, 由角平分線定理的推廣, 知

sin BAP¹

sin CAP¹ = BP¹ CP¹ · AC

AB 結合以上兩式, 可得

CP1

BP¹ = BP1

CP¹ · AC

AB = BP1

CP¹ · b c, 即

BP1

CP1

=

√c

√b

同理, CP² AP2

=

√a

√c, 且 AP³ BP3

=

√b

√a。當然以上的過程, 可以總結成以下的定理:

定理4: (角比例自共軛點) △ABC 中, BC = a, CA = b, AB = c 。分別在 BC、 CA、 AB 上取點 D、 E、 F , 滿足 BD

CD =

√c

√b, CE AE =

√a

√c, AF BF =

√b

√a, 則 AD、 BE、 CF 三線共點於一點 J, 此點為本身的角比例共軛點, 稱 J 為「角比例自共軛點」。

證明: ∵ BD CD · CE

AE · AF BF =

√c

√b ·

√a

√c ·

√b

√a = 1,

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由 Ceva 定理的逆定理, 知 AD、 BE、 CF 三線共點於一點 J。再由「角平分線定理的推廣」

及定理中的設定, 可得

sin BAD

sin CAD = BD CD · b

c =

√c

√b ·b c =

√b

√c = CD BD,

根據「角比例表現點」的定義, 此式表示「D 為 D 在 BC 上的角比例表現點」, 同理, E、 F 分別為 E、 F 在 AC、 AB上的角比例表現點,

根據「角比例共軛點」的定義, 可得「J 為 J 的角比例共軛點」, 證完。

在「三角形幾何學」中, 有一套和直角座標相比擬的系統, 叫作「重心座標」:

定義 2: 重心座標 (Barycentric Coordinates) 給定 △ABC, 對於三角形內一點 P , 將三角形的面積比 S_{△P BC} : S_{△P CA} : S_{△P AB} = µ¹ : µ² : µ³ 稱為點 P 的重心座標, 記為 P(µ¹ : µ² : µ³) 或 P (µ¹, µ2, µ3)。

設直線 AP 交 BC 於 D, BP 交 AC 於 E, CP 交 AB 於 F 。在決定一個點的重心座標時, 很常用的一個技巧是 µ2 : µ³ = S_{△P CA}: S_{△P AB} = S_△DCA : S_△DBA = CD : BD, 將面積比轉化為線段比。

由定理 4, 「角比例自共軛點」 J 的「重心座標」可表示成 (√ a : √

b : √

c), 相較於重心 G 的重心座標 (1 : 1 : 1), 以及內心 I 的重心座標 (a : b : c), 我們有理由將「角比例自共軛點」J 視為三角形的「特殊點」, 對其幾何性質進行更深入的研究。

(六) 角比例共軛點的重心座標

引入重心座標之後, 很自然的一個問題是, 若給定 P 點的重心座標為 (x : y : z), Q 為 P 的角比例共軛點, 則 Q 的重心座標是否可以 x, y, z 的具體函數表達? 答案是肯定的, 請看以下的定理:

定理5 [角比例共軛點的重心座標] △ABC 中, 設 P 點的重心座標為 (x : y : z), 且 Q 為 P 的角比例共軛點, 則 Q 點的重心座標為 (a

x : b y : c

z), 其中 BC = a, CA = b, AB = c 。證明: 設 Q 點的重心座標為 (µ¹, µ², µ³)。設 P 在 BC、 CA、 AB 上的垂足分別為 D、 E、

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F 。由 P(x : y : z) 可知, S_{△P CA}: S_{△P AB} = y : z 。注意到 µ² : µ³= S_△QCA: S_△QAB

= CQ¹ : Q¹B (面積比轉化成線段比)

= sin BAP¹ : sin CAP¹ (角比例共軛點的性質)

= sin BAP : sin CAP

= (P A · sin BAP ) : (P A sin CAP )

= P F : P E

= S_{△P AB}

c : S_{△P CA}

b (高=面積/底)

= z c : y

b

= b y : c

z, 同理, µ¹ : µ² = a

x : b

y, 可得 Q(a x : b

y : c

z), 證完。

在定理 5 中, 取 P (√ a : √

b : √

c), 則 Q( a

√a : b

√b : c

√c) = Q(√ a : √

b : √ c), 得 P = Q, 從另一個角度再次證明了定理 4。

三、結語

從中線與角平分線的關聯性出發, 定義了「角比例表現點」, 「角比例共軛點」, 最後開發出

「角比例自共軛點」。其中角比例共軛點可視為一種對應關係, 而角比例自共軛點為三角形的特殊點, 都可以作更進一步的探索。

後記

對於數學愛好者而言, 有一部份的人, 是由「平面幾何」燃起了火花。優美的圖形, 簡明的敘述, 嚴謹的論證, 充滿了吸引力。入門階段, 在「證明」的過程中, 訓練了我們的數學思維; 但到了一個階段之後, 單純地證明已知的結論, 已無法令人滿意。更進一步地, 我們會有這樣的期望: 我也能有所發現嗎? 我能證明自己的發現嗎? 本文是作者一番探索之後的心得, 願與有心人分享。若有不周之處, 尚祈先進予以指正, 不勝感激!

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參考文獻

1. R. A. 約翰遜著, 單墫譯, 近代歐氏幾何學, 上海教育出版社, 1999 年 8 月, p.186∼191。

2. Johnson, R. A., Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle ,Boston, MA: Houghton Mifflin, 1929。

3. 黃家禮, 幾何明珠, 九章出版社, 2000 年 9 月, p.90∼91。

4. http://mathworld.wolfram.com/IsogonalConjugate.html 5. http://mathworld.wolfram.com/BarycentricCoordinates.html

— 本文作者任教台北市立第一女子高級中學—

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