幾 幾 幾何 何 何學 學 學的 的 的昨 昨 昨日 日 日與 與 與今 今 今日 日 日
王金龍 Chin-Lung Wang
國立臺灣大學
Nov. 17, 2010, 鳳山高中
• Euclid
歐幾里得 直線• Newton
牛頓 二次曲線 (圓錐曲線)• Gauss
高斯 一般曲線 (曲面)•
古典幾何學Pythagoras (畢達哥拉斯, 570-495 B.C.) Euclid’s Elements (歐幾里得原本, 300 B.C.)
•
公理化數學 / Logic•
尺規作圖 (三大難題)畢 畢 畢氏 氏 氏定 定 定理 理 理 (幾 幾 幾何 何 何的 的 的起 起 起源 源 源)
1
2
(
a+
b)
2=
a2+
2ab+
b2 kc2
+
4 ×ab⇒ a2
+
b2=
c2Dynamical Proof 動 動 動畫 畫 畫式 式 式證 證 證明 明 明
3
y b
=
bc ⇒ b2
=
yc xa
=
xc ⇒ a2
=
xca2
+
b2= (
x+
y)
c=
c2方 方 方法 法 法的 的 的延 延 延伸 伸 伸
1
Vol=
16 錐體積
=
13 底面積 × 高 Key formula
12
+
22+
32+
· · ·+
n2=
16n
(
n+
1)(
2n+
1)
How can one ” find this ”?2
(
a+
b)
3=
a3+
3a2b+
3ab2+
b323
= (
1+
1)
3=
13+
3 · 12+
3 · 1+
1 33= (
2+
1)
3=
23+
3 · 22+
3 · 2+
1 43= (
3+
1)
3=
33+
3 · 32+
3 · 3+
1...
(
n+
1)
3=
n3+
3n2+
3n+
1⇒
(
n+
1)
3=
1+
3
12
+
22+
· · ·+
n2
+
3n(
n+
1)
2+
n⇒ 12
+
· · ·+
n2=
1 3
(
n+
1)
3− 1 −32n
(
n+
1)
− n阿基米德－祖沖之
第 k 層的體積
A·
(
k n)
2·hn 加起來
=
Ah 1 n3
12
+
22+
· · ·+
n2→n→
1 3Ah
3
Ptolemy (托勒密, AD 90 ∼ 168)ac
+
bd=
e f yb
=
d e x a=
ce ac
+
bd= (
x+
y)
e=
f e古 古 古代 代 代的 的 的正 正 正弦 弦 弦 和 和 和角 角 角公 公 公式 式 式（ （ （天 天 天文 文 文觀 觀 觀測 測 測 ） ） ）
2 sine
(
α+
β)
=
ap4 − b2
+
bp 4 − a2a = sine ( α )
=
2 sin(
α 2)
幾何 (imagination)
代數 (量化)
33
座標化 (笛卡兒 Descartes)
獨立變數的概念
kk
解析幾何 analysis (Fermat, Newton, Gauss)
OO
Find R ∈ L such that PR
+
QR 最小`
(
x) =
`1(
x) +
`2(
x)
b=
pa2+
x2+
q
b2
+ (
c− x)
2 R:仲介者極值發生時 必有
`0
(
x) =
limh→0
`
(
x+
h)
− `(
x)
h=
0`10
(
x)
: 1 hq
(
x+
h)
2+
a2−p x2+
a2
=
1 h(
x+
h)
2+
a2− x2− a2(
p(
x+
h)
2+
a2+
√x2+
a2=
1 h2xh
+
h2(
p(
x+
h)
2+
a2+
√x2+
a2 →h→0
√ x x2
+
a2同理:
`0
(
x) =
√ xx2
+
a2− c− x p(
c− x)
2+
b2 故`0
(
x) =
0 ⇐⇒ sin α=
sin β ⇐⇒ α=
β折 折 折射 射 射 定 定 定律 律 律
Fermat’s Least Action Principle 最小作用原理
T
(
x) =
`1(
x)
v1
+
`2(
x)
v2 T0(
x) =
`0 1
(
x)
v1
+
`0 2
(
x)
v2 T0
(
x) =
0 ⇐⇒ sin αv1
=
sin β v2How about PR/QR ?
h`1
(
x)
`2
(
x)
i0: 1 h
h p
(
x+
h)
2+
a2 p(
x+
h− c)
2+
b2−√ x2
+
a2 p(
x− c)
2+
b2i
=
1 hp
( x + h ) 2 + a 2
p( x − c ) 2 + b 2
−√x 2 + a 2
p( x + h − c ) 2 + b 2
p( x + h − c ) 2 + b 2
p( x − c ) 2 + b 2
=
???Apollonius (BC 260 ∼ 190) 圓 圓 圓
求
√
x2
+
y2√
(
a−x)
2+
y2=
定值 e 之軌跡x2
+
y2=
e2(
x2− 2ax+
a2+
y2) (
1 − e2)
x2+ (
1 − e2)
y2+
2ae2x=
e2a2→ circle
Homework: R
=
?`1/`2之極值發生於當 L 為 Apollonius circle之切線時
解析法
(
`1`2
)
0=
`0
1`2− `1`20
`22
=
0⇐⇒`10
`1
=
`0 2
`2
i.e. sin α
`1
=
sin β`2
Remark
Lebnitz 1646 - 1716 (萊布尼茲)
(
f g)
0=
f0g+
f g0作 PR0⊥PR
`1
sin α
=
RR0 同理, 作 QR00⊥QR`2
sin β
=
RR00⇒ R0
=
R00二 二 二次 次 次曲 曲 曲線 線 線 (beyond circles)
√
x2
+
y2`−x
=
定值 ex2
+
y2=
e2(
x2− 2`x+
`2) (
1 − e2)
x2+
y2+
2`e2x=
e2`2Polar coor.
(
r,θ)
r
` − r cos θ
=
e⇒ r=
`e 1+
ecos θ圓 圓 圓錐 錐 錐曲 曲 曲線 線 線 (Ancient Greek’s viewpoint)
Kepler’s Law ( 開普勒, 1619)
80 年天文觀測
Newton (牛 頓, 1643-1727)
Physics:~F
=
m~a; ~F=
−GMm r2 ˆr Mathematics: CALCULUSPrincipia Mathematica 自然哲學的數學原理
更 更 更 一 一 一般 般 般的 的 的曲 曲 曲線 線 線理 理 理論 論 論
Q:長度 `, 半徑 r 的水管表面積 及容積
=
?Area
=
2πr` ±(
· · ·)
?曲 曲 曲率 率 率的 的 的概 概 概念 念 念 (Curvature)
Gauss高斯 1777-1855
1818 地形測量 → 微分幾何誕生
曲率 K
=
± limΩ→p
|N
(
Ω)
||Ω|
這是一個 不變量 (invariant)
測地線
k> 0
半徑 R 的球, K
=
1 R2k< 0
Gauss 的 的 的偉 偉 偉大 大 大發 發 發現 現 現
三角形之內角和 6
=
180◦= π +
Z
Ω KdA
半徑 r 的圓周長
L
=
2πr −π3r3K
+
o(
r3)
⇒ 在真實的世界中, 畢氏定理不一定正確！
Gauss-Bonnet定理 (陳省身, 高維度) Z
S
KdA
=
2πχ(
S)
其中, χ
(
S) =
4點 − 線+
面=
2 − 2g Euler number我們如何知道我們所在的世界是否是彎曲的?
•
Riemann (黎曼, 1855)ds2
= ∑gi jdxi⊗ dxj
•
Einstein (愛因斯坦, 1907-1915) Ri j−12gi j
